Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia
Engenharia Mecânica
Energia e Fenômenos de Transporte
Medição de Pressão em Fluidos
Medições Térmicas - ENG03108
Prof. Paulo Schneider
[email protected]
GESTE - Grupo de Estudos Térmicos e Energéticos
Setembro de 2000; Revisado 2003-1; 2005-1; 2007-1; 2007-2; 2010-2; 2012-1
Porto Alegre - RS - Brasil
UFRGS - Engª Mecânica - Medições Térmicas – Medição de Pressão em Fluidos - Prof. Paulo Schneider
PRESSÃO DE FLUIDOS
1. Conceitos básicos de medição de pressão
Para um fluído em repouso, define-se o escalar pressão p como sendo a razão do vetor força
r
r
F exercida pelo fluido perpendicularmente a uma área orientada unitária A , tal que
p=
dF
dA
(1.1)
Como mostra a relação, a pressão é dimensionalmente descrita em termos de massa M, comprimento L e tempo T.
A pressão é uma propriedade local do fluido, e para uma situação estática apresenta forte
dependência da posição, apesar de não ser dependente da direção. A figura que segue mostra uma
porção de um fluido na forma de uma cunha, de tamanho ∆x, ∆z e ∆s, e profundidade b, normal ao
plano, em repouso.
Fig. 1.1- Equilíbrio de forças sobre uma cunha de fluido em repouso [Fonte: WHITE, 2002]
A fim de manter o fluido em repouso, a resultante das forças deve ser nula, como expresso
no balanço que segue.
∑F
x
= 0 = p x b∆z − p n b∆s sin θ e
∑F
z
1
= 0 = p z b∆x − pn b∆s cos θ − γ b ∆x ∆z
2
(1.2)
Como ∆s sin θ = ∆z e ∆s cos θ = ∆x , verifica-se que
1
p x = pn e p z = pn + γ ∆z
2
(1.3)
o que estabelece para uma condição hidrostática que não há variação de pressão na direção horizontal e que a variação vertical é proporcional ao peso específico ( γ = ρg ) e a variação da profundidade.
Quando a cunha tende a um ponto ( ∆z → 0 ), as relações da equação anterior ficam:
p x = p z = pn = p
(1.4)
2
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A independência do ângulo θ e a dependência da profundidade é mostrada na figura que
segue:
Fig. 1.2- Aplicação da pressão num fluido estático e sua dependência com a altura e a direção
A existência de uma força líquida sobre um elemento de fluido não é provocada por uma
dada pressão, mas sim por sua variação. Para entender essa afirmação, basta observar a força líquida Fx, resultado da aplicação de uma pressão nas faces da direção x, como mostra a figura que segue:
Fig. 1.3- Força líquida na direção x de um elemento de volume de fluido.
O balanço que leva à força líquida provocada por forças de superfície é dado por:
∂p 
∂p

dFx = p dy dz −  p + dx  dy dz = − dx dy dz
∂x 
∂x

(1.5)
Considerando-se o volume infinitesimal completo, chega-se à expressão do vetor de força
líquida total Fpress, em N:
 ∂p
∂p
∂p 
dFpress =  − i − j − k  dx dy dz
∂y
∂z 
 ∂x
ou dFpress = −∇p dx dy dz
(1.6)
que confirma a afirmação que deu início a esta discussão.
Deve-se considerar a força de campo gravitacionais, dada por:
dFgrav = ρ g dx dy dz
(1.7)
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e ainda a força superficial viscosa,
dFvisc = µ∇ 2V
(1.8)
O equilíbrio do elemento de volume é resultante do seguinte balanço, já expresso em unidade de
volume:
∑f =f
press
+ f grav + f visc
ou
ρ a = − ∇p + ρg + µ∇ 2V
(1.9)
Como o volume encontra-se em repouso, V=0 e é possível eliminar-se as forças viscosas. Pela
mesma razão, a=0, e tem-se que a equação anterior fica:
dp
= −ρ g = −γ
dz
(1.10)
que integrada leva à solução do problema hidrostático, como segue:
2
p2 − p1 = − ∫ γ dz
(1.11)
1
Encerra-se essa apresentação com a conclusão [WHITE, 2002] que a pressão em um fluido
estático uniforme, distribuído continuamente, varia apenas com a distância vertical e é independente
da forma do recipiente. A pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano horizontal no
fluido, e aumenta com a profundidade do fluido.
2. Unidades e formas de medir pressão
De forma resumida, pode-se apresentar o conceito de pressão das seguintes maneiras:
Tabela 2.1- Diferentes maneiras de expressão da pressão
abordagem
equação
significado
mecânica
força
F sobre unidade de área A
dF
p=
dA
dp = − ρ g dz = − γdz
hidráulica
peso específico ρg vezes altura h
teoria cinética
energia
cinética molecular por unidade de volume V
2 KE
p=
3V
termodinâmica
trabalho W por unidade de volume V
δW + δF
p=
dV
Em muitos casos necessita-se medir a pressão absoluta, obtida por um barômetro, mas os
manômetros de pressão ou de vácuo tem como referência a pressão atmosférica local. A diferença
entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica local chama-se de pressão manométrica ou efetiva,
e sua relação é vista na figura que segue.
Pelo sistema internacional SI, a unidade de pressão é o newton por metro quadrado N/m2 ,
ou pascal Pa, tal que 1N/m2 = 1Pa. Com unidades derivadas do SI emprega-se o bar, sendo 1 bar =
105 Pa ou 0,1 MPa
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Fig. 2.1-Medição da pressão e seus termos
Existem várias outras unidades fora do SI, e as mais usuais são:
atm
kgf/cm2
mmHg
mCa
(1 atm = 101325 Pa)
(1 kgf/cm2 = 0.9678411 atm = 98066.5 Pa)
(760 mmHg = 1 atm)
(~10 mCa = 1 atm)
No sistema inglês, tem-se a libra por polegada quadrada lbf/in2, ou simplesmente psi (1 atm
= 14.69595 lbf/in2 ). Deve-se atentar para a diferença entre pressão absoluta psia e a manométrica
psig.
3. Instrumentos e sensores de pressão
Os instrumentos para medição de pressão podem ser classificados seguindo as categorias
que seguem [WHITE, 2002]:
Baseados na gravidade: barômetros, manômetros, pistão de peso morto.
Deformação elástica: tubo de bourdon, diafragma, extensômetro (stain-gage)
Comportamento de gases: compressão de gás (McLeod), condutância térmica (Pirani), impacto molecular (Knudsen), ionização, condutividade térmica, etc.
Saída elétrica: resistência (Bridgman), extensômetro, capacitivo, piezoelétrico, LVDT, freqüência
de ressonância, etc.
3.1 Manômetro de tubo em U
O estudo inicia pelo manômetro de tubo em U devido a sua simplicidade e importância. Ele
pode ser construído facilmente, e lê a diferença de pressão entre dois pontos desconhecidos, portanto, uma diferença monométrica. Nessa situação, conhecendo-se as massas específicas dos fluidos
envolvidos, o manômetro em de tubo em U não necessita de calibração para ler diferenças de pressão.
Trata-se de um instrumento histórico, pois serviu a Boyle para determinar a pressão estática
de fluidos, em 1662. Empregado para medidas de pressão de fluidos em regime permanente e em
condições controladas, é um instrumento padrão para as pressões na faixa de 2.54 milímetros de
coluna d'água (cerca de 25 Pa) até 0.7 MPa, com incertezas que variam de 0,02 a 0,2 % da leitura.
No caso dos manômetros de tubo em U, da figura que segue, a diferença entre a pressão pA
e a pressão de referência do sistema pB é dada em função da altura z.
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Fig. 3.1- Montagem genérica para um manômetro de tubo em U
Os fluidos A e B podem ser tanto líquidos ou gases, enquanto que o fluido manométrico M é
um líquido. Para os líquidos, pode-se assumir um comportamento incompressível ( ∂ρ / ∂p = 0) , e
assim o peso específico γ na equação
2
p2 − p1 = − ∫ γ dz
1
pode ser tomado como constante, e a equação anterior fica na forma:
p2 − p1 = γ ( z1 − z2 )
ou simplesmente
p j − pi = γ (zi − z j )
(3.1)
para dois pontos quaisquer i e j.
Para o caso dos gases, o peso específico γ também pode ser tomado como constante, mas
com o cuidado de tomá-lo na forma ρ = f ( p, T ) .
Uma maneira simples e prática de estabelecer o equacionamento que leva à diferença de
pressão entre pA e pB, para manômetros de diferentes fluidos, é de aplicar a equação anterior para
pontos limites, como segue:
p A + γ A ( z A + z B + ∆z ) − γ M (∆z ) − γ B ( z B ) = pB
(3.2)
Iniciando-se pelo ponto A, e progredindo no mesmo sentido da aceleração da gravidade g,
os sinais da equação são positivos, tornando-se negativo no sentido inverso. Ainda, o trecho 1-2, de
mesma altura, é desconsiderado. O valor de pB pode tanto assumir um valor conhecido, como o da
pressão atmosférica, como de um valor dado por um outro manômetro, ou ainda de pressão absoluta
nula, o que transforma o manômetro em um barômetro.
Essa equação pode ser reescrita de forma a colocar em evidência o grupo adimensional Ch

( p A − pB ) = γ M 1 + γ B

Se γA= γB, C h = 1 −
γM
zB γ A  z A + zB  
−
+ 1 ∆z = γ M Ch ∆z
∆z γ M  ∆z

γ A  zA 
+1
γ M  ∆z 
(3.3)
(3.4)
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e se além de γA= γB,também zA=0,tem-se que Ch = 1 −
γA
γM
(3.5)
Com todas essas simplificações, a equação que descreve a diferença de pressão lida fica:
∆p = p A − pB = (ρ M − ρ A ) g ∆z , sendo A=B
(3.6)
Para uma medição mais correta, é necessário se considerar a correção dos efeitos de capilaridade, no contato do fluido manométrico com o fluido para o qual se lê a pressão. O fator de correção de capilaridade CC , em metros, para manômetros é dado por:
CC =
2 cos θ M  σ A−M σ B −M

−
γ M  rA
rB



(3.7)
com o raio do tubo r, o ângulo de contato θ e a tensão superficial σ mostrados na figura e na tabela
que seguem
Fig. 3.2- Efeitos de capilaridade em manômetros de água e mercúrio
Tab. 3.1-Tensão superficial de fluidos
combinação
Mercúrio - vácuo (vidro)
Mercúrio - ar (vidro)
Mercúrio - água (vidro)
água - ar (vidro)
σ (N/m)
0,48
0,47
0,38
0,073
ângulo de contato θ
140
140
140
0
Como o resultado da equação anterior é em metros, o valor é somado na equação (3.3) na
forma
∆p = γ M (Ch ∆z ± CC )
(3.8)
É importante salientar que a pressão não é afetada pela forma do sensor, no interior do equipamento
ou sistema de medição, como mostra a figura.
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Fig. 3.3- Independência da forma do
sensor de medição em seu interior
3.2. Manômetro de poço
Similar ao de tubo em U, opera apenas com uma escala de medida, como mostra a figura
Fig. 3.4- Manômetro de poço
A diferença de pressão é dada por
d

p2 − p1 = γ M z1 1 + 
 D
(3.9)
3.3. Manômetros inclinados
Também de escala única, localizada no tubo inclinado (ver próxima figura), tem a vantagem
de operar com escalas de maior graduação que os manômetros verticais, para a mesma variação de
pressão. O ângulo α é de cerca de 10º em relação à horizontal, e chega-se a medidas de ± 0.254
mm.
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Fig. 3.5- Manômetro de escala inclinada
3.4. Micromanômetros
Serve como padrão de leitura de pressões na faixa de 0.005 até 500 milímetros de coluna
d'água (0,050 Pa até 5000 Pa), variando desde a pressão 0 absoluta até 0.7 MPa. Existem vários
tipos de micromanômetros, e os mais utilizados são:
Tipo Prandtl - Nele, os erros de capilaridade e de leitura com menisco são diminuídos pela movimentação tanto do reservatório de fluido manométrico como pelo tubo inclinado de medição, como
mostra a figura:
Fig. 3.6- Micromanômetro tipo Prandtl
Tipo micrômetro - Mede a altura h por meio de micrômetros, como mostra a figura. Esse instrumento serve como padrão para leituras na ordem de 0,0254 mmCa.
Fig. 3.7- Micromanômetro tipo micrômetro
9
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Tipo a Ar - Extremamente sensível, usa ar como fluido manométrico, combinado com óleo em gotas, que são aspergidas num disco rotativo. O emprego do ar elimina os erros de capilaridade e de
efeito de menisco.
Fig. 3.8- Micromanômetro tipo a Ar
3.5. Barômetros
Seu desenvolvimento se deve à Torricelli, e destina-se a medida da pressão absoluta do ar
atmosférico. Trata-se de um caso particular do manômetro de poço, e sua incerteza de medição pode variar na faixa de 0,001 a 0,03 % da leitura. A figura que segue mostra seu funcionamento.
Fig. 3.9- Barômetro
A parte superior da coluna contém vapor de mercúrio saturado a temperatura do local, cuja
pressão é desprezível em relação à pressão atmosférica. O poço (ou cisterna) é exposto à pressão
atmosférica, e quando ela for de 1 atm = 101 325 Pa, e a temperatura local for de 20 ºC, a coluna de
mercúrio se elevará a 760 mm.
A variação da massa específica do ar atmosférico deve ser prevista na equação diferencial da
hidrostática. O uso da lei dos gases perfeitos, onde p = ρ R T , leva a:
dp
p
= − ρg = −
g
dz
RT
(3.10)
cuja integração entre dois pontos quaisquer 1 e 2 resulta em
10
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2
2
dp
g dz
∫1 p = − R ∫1 T
(3.11)
A solução da equação anterior é dada por
 g ( z2 − z1 ) 
p2 = p1 exp −

R T0 

(3.12)
onde T0 é definida como a temperatura da atmosfera isotérmica. Essa hipótese merece ainda uma
correção, já que a temperatura média da atmosfera varia conforme mostra a figura abaixo:
Fig. 3.10- Distribuição de temperatura e pressão na atmosfera padrão dos EUA [WHITE, 2002]
Para a faixa de alturas que vai do nível do mar até cerca de 11 km (troposfera), a variação da
temperatura do ar na atmosfera pode ser tomada como linear, e assim estabelece-se a relação
T = T0 − B z
com
B = 0,00650 K/m
(3.13)
A equação (3.11) é então resolvida com auxílio de (3.13), ficando:
 Bz

p = pa 1 −
T0 

g /( RB )
, onde
g
= 5,26 para o ar
RB
(3.14)
onde pa é a pressão atmosférica padrão ao nível do mar, B uma constante que vale 0,00650 K/m, T0
a temperatura de referência de 288,16 K (15 ºC) e Z a altitude do local, em metros.
3.6. Sensor de Peso-Morto
É usado para a determinação de pressão de fluidos em equilíbrio, na faixa de pressões manométricas compreendida entre 70 Pa até 70 MPa, com incertezas entre 0,01 a 0,05 % da leitura.
O aparato é usado para calibração de sensores, com o sensor S da figura. O aparelho é preenchido com óleo, enquanto a bomba de deslocamento é deixada na sua posição de máximo curso.
Após a instalação do sensor S, aplica-se pressão ao sistema através do deslocamento da bomba. A
pressão é aplicada tanto ao sensor S quanto ao peso-morto , sendo que esse último tem massa e área
conhecidas. A incerteza da medida depende fundamentalmente dos atritos internos e da indeterminação das massas e das áreas.
11
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Fig. 3.11- Sensor de Peso-Morto
3.7. Sensor McLeod
Destina-se à determinação de pressões absolutas muito baixas. O aparato é usado como padrão para pressões barométricas a partir de 0,001333224 até 13,3 Pa. O aparato é um manômetro de
mercúrio em vidro modificado, como mostra a figura. Um gás a pressão desconhecida é confinado e
comprimido isotermicamente por uma coluna de mercúrio, conseguindo assim a amplificação da
pressão e possibilitando sua leitura manométrica por meios convencionais.
Fig. 3.12- Sensor McLeod
3.8. Manômetro de Bourdon
O elemento sensor desse manômetro é um tubo
com pequeno volume, elástico, fixo na extremidade
onde se aplica a pressão, e livre na extremidade
oposta. Esta última é fechada, e a aplicação de uma
diferença de pressão provoca a deformação no tubo
que pode ser observada pela movimentação na extremidade livre, como mostra a figura.
Fig. 3.12- Manômetro de Bourdon
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Com a aplicação da pressão, o tubo passa de oval a circular, e aumenta o raio do arco circular. O
movimento, praticamente sem atrito, é sentido pelo ponteiro, que é calibrado numa escala. A pressão de referência do manômetro é a atmosférica, mas ele também pode ser usado como barômetro.
A faixa de medida é ampla, o aparelho pode ser usado para medição de pressões barométrica, manométrica e ainda diferencial, e a incerteza é de 0,1% da leitura. O emprego de tubos trançados
permite o acoplamento de sensores elétricos passivos, que permitem a automação da medição.
3.9. Diafragma ou fole
Seu emprego de ambos é extremamente diversificado, servindo tanto em instrumentos de
campo como para calibração. Seu funcionamento é mostrado nos esquemas da figura que segue.
Fig. 3.13- (Esquerda) Montagens com sensor de diafragma e (direita a) de diafragma e (direita b) de
fole.
3.10. Sensor Piezoelétrico
São considerados sensores ativos porque a pressão que atua sobre o elemento sensor, um
cristal, gera uma força eletromotriz (fem) proporcional. Essa categoria de sensores é empregada
para captar pressão sonora, como em microfones, para perturbações aerodinâmicas, entre outros.
Os elementos piezoelétricos são cristais, como o quartzo , a turmalina e o titanato que acumulam cargas elétricas em certas áreas da estrutura cristalina, quando sofrem uma deformação física, por ação de uma pressão. São elementos pequenos e de construção robusta. Seu sinal de resposta
é linear com a variação de pressão, são capazes
de fornecer sinais de altíssimas freqüências de
milhões de ciclos por segundo.
O efeito piezoelétrico é um fenômeno reversível. Se for conectado a um potencial elétrico,
resultará em uma correspondente alteração da
forma cristalina. Este efeito é altamente estável e
exato, por isso é utilizado em relógios de precisão. A carga devida à alteração da forma é gerada
sem energia auxiliar, uma vez que o quartzo é um
elemento transmissor ativo. Esta carga é conectada à entrada de um amplificador (ver próxima
figura), sendo indicada ou convertida em um sinal de saída, para tratamento posterior.
Fig. 3.14- Sensor piezoelétrico
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3.11. Strain gauges
O princípio do strain gauge é de medir a variação da resistência de um sensor que sofre uma
elongação. O elemento sensor é colado num elemento, chamado célula de carga, que uma vez submetido a uma pressão sofre uma deformação, observada pela variação de seu comprimento. A célula pode ser acoplada a um diafragma ou a elementos elásticos, como mostra a figura, e a incerteza
de medição do conjunto pode chegar a 1% da medida de fundo de escala. As montagens e arranjos
possíveis para strain gauges pode ser obtida na literatura específica (HOLMAN 1996, OMEGA
1995 )
Fig. 3.14- Sensor com Strain Gauges
3.12. Potenciométrico
São montagens simples onde o elemento sensor de pressão, baseado em uma deformação
percebida por um tubo de Bourdon (Fole, na figura que segue) aciona um potenciômetro. Este, por
sua vez, que converte os valores de pressão em valores de resistência elétrica.
O potenciômetro tem custo baixo, opera sob diversas condições, e seu sinal dispensa amplificações. Deve-se tomar cuidado com os desvios inerentes ao mecanismo e aos efeitos de diferenças
de temperatura, além de seu desgaste em função do uso. São normalmente empregados para medir
pressões de 0,035 a 70 MPa, com incerteza na faixa de 0,5 a 1% do fundo de escala sem considerar
as variações de temperatura.
Fig. 3.15- Esquema de medição de pressão com
potenciômetro
(Fonte: http://www.mspc.eng.br/fldetc/press1.asp)
3.13. Capacitivo
Um sensor ou transdutor capacitivo é um condensador que exibe uma variação do valor nominal da capacidade em função de uma grandeza não elétrica. Uma vez que um condensador consiste basicamente num conjunto de duas placas condutoras separadas por um dielétrico, as variações
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no valor nominal da capacidade podem ser provocadas por redução da área frente a frente e da separação entre as placas, ou por variação da constante dielétrica do material.
Os sensores capacitivos permitem medir com grande precisão um grande número de grandezas físicas, tais como a posição, o deslocamento, a velocidade e a aceleração linear ou angular de
um objeto; a umidade, a concentração de gases e o nível de líquidos ou sólidos; a força, o torque, a
pressão e a temperatura; mas também detectar a proximidade de objetos, a presença de água e de
pessoas, etc.
A principal característica dos sensores capacitivos é a completa eliminação dos sistemas de
alavancas na transferência da força / deslocamento entre o processo e o sensor. Este tipo de sensor
resume-se na deformação, diretamente pelo processo de uma das armaduras do capacitor. Tal deformação altera o valor da capacitância total que é medida por um circuito eletrônico. Esta montagem, se por um lado elimina os problemas mecânicos das partes móveis, expõe a célula capacitiva
às rudes condições do ambiente, principalmente a temperatura do processo. Isto pode ser contornado através de circuitos sensíveis a temperatura montados juntos ao sensor. Outra característica inerente a montagem, é a falta de linearidade entre a capacitância e a distância das armaduras devido á
deformação não linear, sendo necessário uma compensação (linearização) à cargo do circuito eletrônico.
O sensor capacitivo é apresentado na figura que segue, juntamente com seus componentes
Fig. 3.16 – Elementos de um sensor capacitivo (FONTE: http://tecnociencia.com.br/revista)
O diafragma sensor (1) flexiona-se em função da diferença de pressões aplicadas aos diafragmas isoladores (2), que protegem a célula contra a corrosão provocada por fluidos de processos.
A pressão é diretamente transmitida ao diafragma sensor através do fluido de enchimento (3), provocando a sua deflexão. O diafragma sensor é um eletrodo móvel. As duas superfícies metalizadas
(4) são eletrodos fixos. A deflexão do diafragma sensor é percebida através da variação da capacitância entre os dois eletrodos fixos e o móvel. Uma montagem com o circuito de leitura é mostrada
na próxima figura
Fig. 3.17- Montagem de um sensor capacitivo
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O circuito eletrônico ressonante lê a variação da capacitância entre a placa móvel e a fixa. A
CPU condiciona o sinal e comunica de acordo com o protocolo do transmissor. Como não há conversão A/D, os erros e desvios são eliminados durante a conversão. O sensor de temperatura fornece a compensação da temperatura que, combinada com a precisão do sensor de pressão.
3.14. LVDT
Ou Linear Variable Differential Transformer Type, é um transformador composto por uma
espira primária e duas secundárias, todas elas fixas, além de um corpo magnético móvel, ligado à
um elemento elástico que percebe a pressão do ambiente, como mostra a figura.
Fig. 3.18- Sensor de pressão LVDT
Quando o corpo magnético móvel encontra-se em posição central, a tensão nas duas espiras
secundárias é igual e com defasagem de 180º. Uma diferença de pressão aplicada à extremidade do
corpo magnético provoca seu deslocamento, o que aumenta a tensão induzida em um dos secundários e reduz a tensão em outro. A diferença de tensão é associada a variação de pressão por calibração.
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4. Medição de Pressão em Escoamentos
4.1. Conceitos básicos
A pressão num escoamento apresenta a componente termodinâmica ou estática p, e soma-se
a essa uma componente pc, que depende da energia associada ao escoamento, dita cinética ou dinâmica. A pressão total pt é a soma de ambas, tal que
(4.1)
pt = p + p c
Aplicando-se a primeira lei da termodinâmica, sendo Q o calor, Ec a parcela de energia cinética, Ep a parcela de energia potencial e W o trabalho de um fluido em um escoamento, tem-se:
δ Q = dE + δ W ; δ Q = d (U + Ec + E p ) + δ W (4.2)
com U a energia interna, = , E p = mgz e = , onde m é massa do fluido (kg), u sua
velocidade (m/s), z a cota vertical (m), e V é seu volume (m3).
Considerando-se que o escoamento seja adiabático ( δQ = 0 ), e que não haja variação na
temperatura do fluido ao longo de uma transformação (dU=0), a equação anterior aplicada a uma
mesma linha de corrente ao longo de um escoamento fica:
0 = + + ou
0 = + + ()
(4.3)
Dividindo-se todos os termos por pelo volume V e integrando a equação, chega-se em
!" = # + # + (4.4)
válida para escoamentos incompressíveis, como acontece em líquidos e também em gases onde o
número de Mach é inferior a 0,3. Conhecida como equação de Bernoulli pode ser aplicada a dois
pontos diferentes ao longo de uma linha de corrente, o que leva à expressão
1
1
$ # + # + ' = $ # + # + '
2
2
Quando uma corrente atinge uma barreira ou obstáculo, anulando a velocidade u, a conservação de
energia pode ser escrita como
(( − )*+
=
,-
(4.5)
onde p é a pressão termodinâmica ou estática, po a pressão de estagnação, e o índice inc designa que
trata-se de um escoamento incompressível. O termos à esquerda da equação também é chamado de
pressão dinâmica pc, pois pc= po - p.
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Escoamento compressível
Iniciando-se pela lei dos gases ideais, expressa em base molar
= ./0 1
ou
2̅ = /0 1
com
2̅ =
4
+
onde /0 é a constante universal dos gases (8 314,472 J kmol-1K-1), n o número de moles e 2̅ o volume específico molar.
Em base mássica, com o emprego da massa molecular M (kg/kmol), tem-se
50
6
70
= 1
6
2 = / 1 ou ainda = #/ 1
onde ρ é a massa específica (kg/m3) e Rg é a constante do gás g
Os valores reais das propriedades termodinâmicas dos gases podem ser encontrados nas suas
tabelas, disponíveis na literatura (WHITE, 2002) ou por meio de correções aplicadas à equação dos
gases ideais. A mais simples dela é obtida pelo fator de compressibilidade Z, dado por
8 =
2̅
/0 1
que assume o valor unitário para o caso de gases ideais. A figura a seguir mostra valores de Z para
diferentes gases
Figura 4.1- Fator de compressibilidade Z para diferentes gases em funçã da pressão reduzida
7 = :9 e temperatura reduzida 17 = 1:1 [ÇENGEL and BOLES, 2006]
9
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A compressibilidade de um fluido escoando tem outro significado. Considera-se a compressibilidade de um fluido quando sua massa específica ρ apresenta variações em função da pressão
imposta, tal que
∂ρ
≠0
∂p
(4.6)
Esse efeito é geralmente desprezado em se tratando de fluidos líquidos, para uma grande faixa de
pressões, mas deve ser considerado para fluidos gasosos. Nesses, emprega-se o número de Mach M
como parâmetro de observação, e segundo WHITE (2002) pode-se classificar os tipos de escoamentos gasosos da seguinte maneira
Tabela 4.1 –Tipos de escoamentos gasosos segundo o número de Mach [WHITE (2002)]
Ma < 0,3
Incompressíveis
0,3 < Ma < 0,8 Escoamento subsônico, alteração da massa específica porém sem ondas de choque
0,8 < Ma < 1,2 Escoamento transônico, com aparecimento de ondas de choque porém com regiões distintas e separadas de escoamento sub e super sônicos
1,2 < Ma < 3,0 Escoamento supersônico
3,0 < Ma
Escoamento hipersônico
Para a análise do escoamento no interior de dutos basta classificá-los como subsônicos (Ma
< 1) ou supersônicos (Ma > 1). A variação da massa específica com a pressão não deve ser confundida com sua variação em função da temperatura, que vem de efeitos de expansão e contração.
Equacionamento
Os números adimensionais e grandezas importantes para a caracterização e o equacionamento de escoamentos compressíveis são apresentados a seguir.
O número de Mach Ma representa a natureza compressível do gás, na forma
Ma =
u
a
ou
Ma =
u
( k Rg T )1 / 2
(4.7)
onde a é a velocidade do som em um dado meio (m/s), u a velocidade real desse fluido a mesma
temperatura (m/s), Rg a constante do gás (J kg-1 K-1 ou Pa m3 kg-1 K-1) e T a temperatura (K).
A expressão ; = (k Rg T )1/ 2 é uma relação de gás ideal e apresenta desvios se comparada
aos valores da velocidade do som real, disponível em tabelas de dados do gás. A figura abaixo mostra o comportamento para dois gases.
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ar
CO2
a (m/s)
550
650
500
600
450
a (m/s)
400
ideal
500
450
300
400
250
350
200
200
300
400
500
600
real
550
real
350
ideal
700
800
900
300
300
1000
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Temperatura (K)
Temperatura (K)
Figura – Velocidade do som para CO2 e ar pela formulação de gás ideal comparada com dados de
comportamento real
Lembrando que processos isentrópicos são aqueles onde as transformações são adiabáticas e
sem atrito, e que a definição do coeficiente isentrópico k, adimensional, é dada pela razão entre o
calor específico a pressão constante cp e volume constante cv ,(kJ kg-1 K-1):
<=
=
>
onde
cp =
∂h
∂T
e
cv ' =
∂u
∂T
(4.8)
sendo h a entalpia específica (kJ/kg) e u a energia específica (kJ/kg).
Em se tratando de escoamentos isentrópicos, a correção para as propriedades termodinâmicas é dada por
1 /(@)
# =$ '
=$ '
1
#
Voltando-se na Equação (4.2), particularizada para processos adiabáticos
0 = de + δ w
" = −2
Sendo e a energia específica total (u + ec +ep) e ℎ = + 2, chega-se à equação (4.5)
(( − )*+
=
#
2
Que agora para escoamentos compressíveis é dada por
2
 po p 
 k −1 u
 − 
=

 ρ o ρ comp  k  2
(4.9)
Introduzindo o número de Mach Ma, a equação (4.5) pode ser reescrita na forma:
 Ma 2

Ma 4
1 +
+ (2 − k )
+ ...
2 
4
24

( po − p )comp = ρ u
2
(4.10)
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e observa-se que ela iguala-se à equação (4.5) quando Ma→0.
4.2. Pressão estática ou termodinâmica
A medida da pressão estática é importante para a identificação do estado termodinâmico do
fluido, além de ser necessária para a determinação da velocidade e direção de um escoamento. A
medição da pressão estática pode ser obtida por processos onde pequenos furos ou orifícios são
feitos na parede de interface do escoamento, sempre evitando perturbá-lo, como mostra a figura a
seguir.
Fig. 4.1- Tomada de pressão [Fonte: BENEDICT, 1984]
Os procedimentos mais comuns envolvem os registros de parede, em inglês tap, constituídos
por um furo normal ao escoamento do fluido. Os formatos e tipos de acabamentos que podem ser
empregados para a construção das tomadas de pressão estática podem provocar, para um mesmo
diâmetro d, diferentes erros ou comportamentos. A próxima figura mostra um catálogo de opções
usuais de construção e instalação dos furos, onde são apresentados os desvios percentuais na pressão estática lida, em relação a um orifício de referência, de bordas com ângulos retos ou vivos. As
montagens indicam as variações em percentagem da pressão dinâmica lida, que deve então
corrigir a pressão estática. Todos os efeitos são resultantes da componente de velocidade do escoamento, que passa a interferir na leitura da pressão estática.
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Fig. 4.2- Efeitos da forma dos orifícios na medição de pressão estática. As variações em percentagem da pressão dinâmica [Fonte: BENEDICT, 1984]
Os furos muito pequenos mostram-se ser mais indicados por causar pouca perturbação no escoamento, mas em compensação apresentam dificuldades de usinagem e de limpeza. Para uma correta
definição da dimensão do orifício a ser empregado para um escoamento, deve-se recorrer a um procedimento experimental de ajuste, onde o diâmetro d (ver figura anterior) é variado em torno de
uma faixa de dimensões, até que se construa uma curva semelhante a da figura que segue. O furo
de referência é determinado experimentalmente, bem como as curvas de correção correspondentes,
que indicam que os erros nesses dispositivos aumentam sempre com o aumento do diâmetro d, a
partir do furo de referência. .
Fig. 4.3- Determinação experimental do efeito da dimensão do diâmetro do furo, para a
relação 1,5 < L/d <6,0 [Fonte: BENEDICT,
1984]
A dimensão L/d nunca deve ser inferior a 1,5, e a Benedict, 1984, relata que a
literatura recomenda que essa relação se
mantenha em 1,5 < L/d < 15. A mesma literatura (cap 17) apresenta os procedimentos mais detalhados para o cálculo do erro de pressão estática em orifícios, mas que não serão abordados nesse texto. As montagens da figura que segue são empregadas para leitura da pressão média de um escoamento.
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Fig. 4.2 - Montagem em anel para medida da pressão estática média
Ainda se utilizam arranjos com tubos estáticos, aerodinâmicos e por bloqueio.
4.3. Pressão total ou de estagnação
A pressão total é importante para a determinação da altura manométrica H de uma máquina
de fluxo (ventiladores e bombas), também chamada de head. Esta é importante para a determinação
da velocidade e vazão do fluido de trabalho.
Uma maneira de medir a pressão total p0 é feita com a estagnação isentrópica de um escoamento, onde a energia cinética da corrente de fluido é convertida como mostra a figura que segue:
Fig. 4.3- Medição da pressão estática e de estagnação
Recorda-se a equação de Bernoulli, ou equação da energia sem perdas, aplicada a dois pontos 1 e 2 de uma linha de corrente de um escoamento,
1
1

 

2
2
 p + ρu + ρ g z =  p + ρu + ρ g z
2
2

1 
2
(4.11)
Nesse caso, não há variação de altura, e portanto o termo ρ g ∆z é nulo. A velocidade na
entrada do tubo (2) é nula, pois nele há a estagnação do escoamento. Assim, a equação de Bernoulli
é reescrita como:
1
p1 + ρ V12 = p0
2
(4.12)
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A origem dessa determinação deve-se a Pitot (1732), que montou o experimento da figura
que segue. Num escoamento de água, foi colocado o tubo 1, com a seção aberta perpendicular a
direção do escoamento, indicando a pressão estática do fluido. O tubo 2, com seção aberta normal
ao fluxo, provoca a estagnação (preferencialmente isentrópica) do escoamento, indicando sua pressão total. A diferença entre as pressões indicadas nos dois tubos é a pressão cinética ou dinâmica.
Modernamente empregam-se sensores de geometria esférica ou cilíndrica para obter-se a estagnação do escoamento.
Fig. 4.4 – Experimento de Pitot para a determinação da vazão de um rio
O procedimento proposto por Pitot hoje é realizado com o auxílio de sondas aerodinâmicas,
como as esferas ou cilindros da figura que segue:
Fig. 4.4 – Sondas aerodinâmicas de pressão de estagnação [BENEDICT, 1984]
A intensa prática nesse campo experimental já levou a determinar que a geometria mais indicada para a medição de pressão de estagnação é a cilíndrica, que é pouco sensível ao alinhamento
com a direção do escoamento. A figura que segue mostra o comportamento de diferentes montagens da tomada de pressão de estagnação, sempre em um tubo cilíndrico, em relação ao ângulo de
ataque formado entre a linha de simetria da sonda e a direção do escoamento.
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Fig 4.5- Correção da pressão de estagnação em função do ângulo de ataque para diferentes sensores
cilíndricos [Fonte: BENEDICT, 1984]
4.4. Pressão dinâmica ou cinética
A pressão p1 , indicada na equação (4.10), é a pressão estática ou termodinâmica medida na
superfície do tubo, seguida das precauções necessárias para que não haja efeitos cinéticos. A diferença entre a pressão de estagnação p0 e a pressão estática resulta na pressão dinâmica do escoamento, dada então por:
1
ρ u 2 = p0 − p
2
(4.13)
Dessa relação sai a determinação da velocidade local do escoamento, dada por:
u=
2( p0 − p )
ρ
(4.14)
Ainda é interessante ver graficamente os níveis de energia de um fluido durante um escoamento. A figura que segue mostra um fluido armazenado num reservatório de altura z1, ao qual é
instalada uma tubulação posicionada em uma cota mais abaixo, e que termina na cota z4. Na situação proposta, o escoamento é invícito, i.e., sem perdas de carga.
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Fig. 4.6- Linhas de energia em um escoamento [FOX e MCDONALD, 1995]
A equação de Bernoulli é dividida por ρ g de forma a expressar suas quantidades em metros, conhecido como altura ou head do escoamento.
p
u2
+
+ z = constante
ρ g 2g
(4.15)
A linha superior é a de energia total. Ela representa a altura z1 no reservatório, onde o fluido
está em repouso ( V = 0 ) e manterá o mesmo valor, se mantida a condição de escoamento sem perdas de carga. A linha hidráulica ou piezométrica é resultante da soma da altura z e da pressão estática, tal que z + p / ρg . Sua diferença é o termo V 2 / 2 g
É necessário considerar as perdas de carga por atrito nesse escoamento, e nesse caso será possível
observar que a linha de energia total sofrerá uma diminuição ao longo da canalização, e o nível de
energia envolvido é representado pelo último termo da equação da energia com perdas, como segue:
p1 u12
p2 u22
∆p
+
+ z1 =
+
+ z2 +
ρ g 2g
ρ g 2g
ρg
(4.16)
onde o termo ∆ p representa as perdas por atrito devido aos efeitos viscosos do fluido em movimento. Essas perdas se manifestam sempre que há a ação das forças de cisalhamento entre o fluido e as
paredes da canalização. Para efeito de cálculo, separa-se comumente o fenômeno em atrito ao longo
de dutos, de curvas e singularidades, como bocais, acessórios, válvulas, etc. A consideração dessas
perdas altera as linhas de energia, como mostra a figura que segue:
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Fig 4.6- Linhas de energia ao longo de uma tubulação considerando a perda de carga. [FOX e
MCDONALD, 1995]
Referências bibliográficas
ÇENGEL Y. A. and BOLES M. A., 2006. Thermodynamics: An Engineering Approach, 5th ed,
McGraw-Hill
FOX, R.W. e MCDONALD, A.T., 1995, Introdução à Mecânica de Fluidos, Editora Guanabara
Koogan S.A., Rio de Janeiro
BENEDICT, R.P., 1984, Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, 3ª
edição, John Wiley & Sons, Nova Iorque.
HOLLMAN, J.P., 1996, Experimental Methods for Engineers, , McGraw-Hill
OMEGA 1995, The Pressure, Starin and Force Handbook, Omega Engeneering Inc., Stamford
(www.omega.com)
WHITE, F.M., 2002, Mecânica dos Fluidos, 4ª edição, McGraw-Hill Interamericana do Brasil,
Ltda., Rio de Janeiro
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