XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO
Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção
Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.
A PESQUISA OPERACIONAL E O PROBLEMAS
DAS MÉDIAS
PAULO HENRIQUE DA SILVA COSTA (UnB)
[email protected]
MARCELLO DA COSTA VIEIRA (UnB)
[email protected]
Tafarel Carvalho de Gois (UnB)
[email protected]
Giseli Aparecida Ortolani (UnB)
[email protected]
Savage, et al. (2009) definiu “O Problema das Médias” como um dos
principais fatores que explica porque a maioria dos projetos geralmente está
atrasada e com o orçamento estourado. O “Problema das Médias” pode ser
definido então por um conjunto de erros observados quando um único
número, geralmente uma média, substitui uma distribuição. Mesmo
incorporando em sua formulação o cálculo de probabilidades, a Teoria das
Filas ainda deixa de proporcionar ao analista uma visualização da
distribuição dessas probabilidades. Esse artigo propôs o emprego da
simulação através do Método de Monte Carlo com o objetivo de corrigir essa
limitação da Teoria das Filas. Os resultados encontrados para o estudo de
caso da tramitação de documentos de uma seção da ANTT mostraram que o
Método de Mote Carlo pode ampliar a percepção dos analistas,
proporcionando melhor tomada de decisão.
Palavras-chave: problema das médias, Monte Carlo, teoria das filas, pesquisa
operacional
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1. Introdução
O levantamento bibliográfico realizado por Cardoso e Souza (2000) identificou 14 áreas de
pesquisa envolvendo aplicações de Teoria das Filas nos transportes. Dentre as áreas mais
contempladas com pesquisas destacam-se: planejamento dos transportes e modelos, operação
portuária, engenharia de tráfego, e operação de sistemas de transportes.
Portugal (2005) apresenta como um exemplo típico de aplicação de Teoria das Filas em
Transportes um terminal de ônibus com quatro baias operando como um conjunto de canais
de serviço independentes e em paralelo. Assume-se que, em média, 120 ônibus/hora usam a
instalação e que o tempo médio levado para o embarque e desembarque é de 90 segundos.
Para essas condições, que caracterizam um sistema de uma fila e diversos canais, são
oferecidas na literatura um conjunto de equações baseadas em λ (taxa média de chegada por
intervalo de tempo) e µ (taxa média de atendimento por intervalo de tempo). Essas equações
são capazes de determinar diversas medidas de desempenho do sistema, respondendo a
perguntas fundamentais ao dimensionamento de estruturas e sistemas. No caso do problema
do terminal:

Qual o número médio de ônibus na fila?

Qual o número médio de ônibus no terminal?

Qual o tempo médio gasto na fila?

Qual o tempo médio gasto no terminal? e

Qual a probabilidade de “n” ônibus ocuparem a fila, num determinado momento?
Mesmo sendo um dado de entrada do problema a informação de que tanto a chegada quanto o
atendimento são regidos por distribuições de probabilidade, os valores usados nas equações
são as médias dessas distribuições. Esse tipo de abordagem, chamada de determinística não é
uma exclusividade da Teoria de Filas. Outras áreas do conhecimento como engenharia,
administração, biologia e medicina também se utilizam de valores determinísticos em suas
atividades afins. Felizmente a própria Teoria das Filas incorpora em sua formulação o cálculo
de probabilidades, o que ameniza o problema. Mesmo assim, a interpretação dos resultados
ainda é limitada pela falta de uma visualização da distribuição dessas probabilidades.
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Savage, et al. (2009) definiu “O Problema das Médias” como um dos principais fatores que
explicam porque a maioria dos projetos geralmente está atrasada no cronograma, com
orçamento estourado e aquém das projeções. O “Problema das Médias” pode ser definido
então por um conjunto de erros observados quando um único número, geralmente uma média,
substitui uma distribuição.
O autor afirma que perguntas como as propostas por Portugal (2005) no problema do terminal
de ônibus não têm uma única resposta, mas um leque de possíveis respostas, cada uma delas
com sua própria probabilidade de sucesso. Ou seja, a resposta não deveria ser um número; e
sim uma distribuição de probabilidade.
De fato, reduzir uma resposta incerta, processada a partir de dados de entrada variáveis, a um
único valor médio ou esperado descarta uma quantidade significativa de informações
relevantes. No exemplo dado, o projetista responsável pelo dimensionamento das áreas de
espera do terminal de ônibus, poderia ter sido induzido ao erro a partir do uso das médias.
A solução apontada por Savage et al. (2009) para o problema das médias é substituir o
gerenciamento de dados determinísticos pelo gerenciamento de dados probabilísticos.
Esse artigo pretende identificar essa limitação da Teoria das Filas através de um estudo de
caso e propor uma metodologia para aumentar a confiança de seus resultados a partir do
emprego da Simulação de Monte Carlo.
Para tanto, o artigo foi estruturado em cinco seções. Na próxima seção serão apresentadas as
características do emprego e a formulação da Teoria das Filas; a seção 03 (três) abordará os
conceitos e aplicações do gerenciamento de probabilidades; a seção 04 apresentará um estudo
de caso com dados reais onde será aplicada a metodologia proposta; e na seção 05 (cinco)
serão comparados os resultados e apresentadas as recomendações para estudos futuros.
2. Características e limitações da Teoria das Filas
A Teoria das Filas trata de problemas de congestionamento de sistemas, cuja característica
principal é a presença de “clientes” solicitando “serviços” de alguma maneira. Em sua
expressão mais simples, um sistema de filas é composto de elementos que querem ser
atendidos em um posto de serviço e que, limitados por restrições do sistema, eventualmente
devem esperar até que o posto esteja disponível (Andrade, 2009).
3
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As filas se formam sempre quando existe mais de um usuário de um recurso limitado. Elas
podem aparecer de forma concreta ou abstrata em muitas atividades (Chase e Aquilano,
1997). Conhecê-las e saber administrá-las é importante para o dimensionamento de sistemas
de atendimento. Chase e Aquilano (1997) ensinam que quando uma fila é composta de
objetos inanimados que esperam algum tipo de processamento tem-se um problema
basicamente econômico.
O problema da fila é encontrar o trade-off entre o nível de serviço a ser ofertado e o custo que
a empresa está disposta a incorrer na prestação deste serviço. Por este motivo, em
determinadas situações, podem aparecer filas mesmo onde existem servidores mais que
suficientes para atendê-las.
As filas possuem seis elementos principais: uma população, que fornece os clientes para
formação da fila; a forma como estes clientes chegam às instalações dos serviços; a fila
propriamente dita; a forma como se selecionam os clientes para atendimento; as
características das instalações dos serviços; e a forma como o cliente deixa o sistema.
Os problemas clássicos de Teoria das Filas são divididos em modelos e cada modelo
apresenta uma formulação própria. Os modelos são variações do número de canais e do tipo
de população: finita ou infinita.
O Quadro 1 apresenta as principais características de cada modelo, conforme proposto por
Chase e Aquilano (1997).
Quadro 1 - Modelos de Filas
Modelo
Fase de
Fonte da
Estrutura
Disciplina
Serviço
População
de chegada
da fila
Distribuição
Estrutura
Comprimento
do
Serviço
Permitido da
fila
1
Um canal
Única
Infinita
De Poisson
PEPS
Exponencial
Ilimitada
2
Um canal
Única
Infinita
De Poisson
PEPS
Constante
Ilimitada
3
Um canal
Única
Infinita
De Poisson
PEPS
Exponencial
Limitada
4
Um canal
Única
Infinita
De Poisson
PEPS
Dist. discreta
Ilimitada
5
Um canal
Única
Infinita
De Poisson
PEPS
De Erlang
Ilimitada
6
Multicanal
Única
Infinita
De Poisson
PEPS
Exponencial
Ilimitada
4
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Um canal
Única
Finita
De Poisson
PEPS
Exponencial
Ilimitada
3. A Simulação de Monte Carlo
A simulação de um sistema é definida por Pedgen et al. (1990) como:
O processo de projetar o modelo computacional de um sistema real e
conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender
seu comportamento e / ou avaliar estratégias para sua operação.
(Pedgen, 1991)
Freitas Filho (2008) afirma que a simulação, principalmente a computacional, tem sido cada
vez mais empregada como técnica que permite aos analistas verificarem ou encaminharem
soluções, com a profundidade desejada, aos problemas com os quais lidam diariamente
Dentre as principais vantagens do uso da simulação, apresentadas por Andrade (2012), Freitas
Filho (2008), Pedgen et al. (1990), Shannon (1992), pode-se destacar:

A simulação possibilita o estudo e a experimentação de complexas interações
internas de um dado sistema;

A experiência adquirida em construir e operar modelos geralmente resulta em uma
melhor compreensão do sistema;

A simulação de sistemas complexos pode fornecer valiosa visão no sentido de
descobrir gargalos logísticos e operacionais e testar alternativas de minimizar seus
impactos;

A simulação pode ser usada para experiências com novas situações sobre as quais
se tenha pouca ou mesmo nenhuma informação;

Enquanto modelos analíticos requerem grande número de simplificações para
torná-lo matematicamente tratáveis, o que muitas vezes mascaram os resultados; o modelo
simulado não apresenta tais restrições;

A simulação é perfeita para o estudo de eventos futuros incertos, ou seja, permite a
identificação, a análise quantitativa de riscos e até a avaliação da eficácia da
implementação de respostas aos riscos;

A possibilidade de se comprimir e/ou expandir o tempo de simulação em relação ao
tempo real; etc.
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Entretanto, algumas desvantagens do emprego da simulação são apresentadas por Saliby
(1989), Pedgen et al. (1990), Shannon (1992), e Oliveira (1988) são:

Morosidade e falta de rigor científico;

Por incorporar componentes aleatórios, o resultado da simulação poderá levar a
análises inconclusivas;

A disponibilidade de tempos e recursos geralmente limita as faixas de valores dos
parâmetros que podem ser testados, incorrendo em possíveis perigos nas extrapolações;

A análise e interpretação dos resultados podem ser extremamente difíceis,
envolvendo testes e conhecimentos estatísticos;

Necessidade de treinamento tanto para a modelagem quanto para o uso do
simulador; etc.
O uso moderno do termo simulação no sentido em que é empregado em Pesquisa Operacional
tem sua origem em um trabalho de 1940 de Von Newmann e Ulam, que associaram a
expressão “Análise de Monte Carlo” a uma técnica matemática que utilizaram para resolver
problemas de blindagem em reatores nucleares (Andrade, 2012).
O Método de Monte Carlo (MMC) usualmente envolve técnicas mais complexas, na medida
em que a representação de uma variável é feita não por um valor, mas sim por uma série ou
distribuição de valores. Essa técnica aplica a amostragem randômica para representar a
ocorrência de um evento, procurando simular com realismo o fenômeno, o que garante a
ocorrência do mesmo de forma aleatória (Portugal, 2005).
O MMC baseia-se em um conceito estatístico simples. Seja x uma variável aleatória com as
seguintes características:

Função de distribuição de probabilidades: f(x);

Função cumulativa de probabilidades: F(x).
Se definirmos uma nova variável aleatória y = F(x), esta tem uma distribuição uniforme sobre
o intervalo fechado (0,1). Assim, como a função cumulativa de probabilidades representa as
características aleatórias da variável em questão, a função y = F(x) é uma relação entre duas
variáveis:
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
Variável x, com distribuição aleatória própria;

Variável y, com distribuição uniforme, entre 0 e 1.
Toda simulação de Monte Carlo é efetuada por meio de amostragens das funções densidade de
probabilidade e do uso das funções probabilidade cumulativa. Essas amostragens são
realizadas através de números aleatórios, portanto, qualquer programa computacional que
utiliza o MMC necessita de um gerador de números aleatórios.
Geradores de números aleatórios são baseados em algoritmos matemáticos que geram
números, cujas ocorrências obedecem a uma aleatoriedade, e que simulam a verdadeira
aleatoriedade encontrada na natureza. Neste sentido, os números gerados por estes algoritmos
são formalmente chamados de números pseudoaleatórios. Um conjunto de números definidos
dentro de um intervalo, por exemplo [0,1] ou [0,100], constitui uma sequência de números
aleatórios se eles estiverem uniformemente distribuídos neste intervalo e se nenhuma
correlação existir dentro dessa sequência.
Durante a simulação de um problema, os números aleatórios são utilizados no processo de
decisão de escolha, quando um evento físico possui vários resultados possíveis. Uma
simulação típica pode utilizar entre 107 a 1012 números aleatórios. Entre os métodos mais
utilizados para a geração de números aleatórios, pode-se citar o método linear congruencial, o
método congruencial misto e o método congruencial multiplicativo (Yoriyaz, 2009).
O MMC baseia-se no Teorema do Limite Central. De acordo com esse Teorema, sob
condições gerais, a função de distribuição acumulada (FDA) de uma soma de variáveis
aleatórias independentes aproxima-se a uma FDA de uma variável aleatória gaussiana apesar
das FDA das variáveis individuais estarem longe da distribuição normal. Ou seja, quaisquer
que sejam as distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias, o somatório delas
resultará sempre numa distribuição normal.
No entanto, para que os resultados do MMC sejam de fato representativos, é importante a
escolha da melhor distribuição de probabilidade para cada variável aleatória. Existem três
possibilidades para a obtenção dessas distribuições. A primeira, sempre desejável, é a
utilização de dados históricos. A partir de uma amostra é possível encontrar e testar a
distribuição de probabilidades que melhor representa este conjunto de dados. Se não houver
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dados históricos ou se eles forem insuficientes restam duas alternativas: investigar o emprego
de distribuições conhecidas que podem se adaptar ao tipo de evento aleatório ou utilizar a
distribuição triangular quando não se dispõe de dados e também não se consegue vincular o
formato da curva ao evento aleatório.
4. Estudo De Caso:
O estudo de caso foi realizado num setor de um órgão público que atende empresas de
transporte rodoviário interestadual e internacional de passageiros realizados em regime de
fretamento realizando as seguintes atividades: emissão, renovação e alteração de autorização
para prestação dos serviços.
A Figura 1 apresenta o fluxograma das atividades realizadas pelo setor do órgão público
estudado para emissão, renovação e alteração de autorização para prestação do serviço de
transporte rodoviário interestadual e internacional de passageiros sob regime de fretamento.
Figura 1: Fluxograma das atividades do setor estudado para o registro, alteração e
renovação de autorizações
Foram analisados os dados de atendimento do setor em questão no período de janeiro a maio
de 2014. Neste período, foram iniciados 4.664 atendimentos, desses 4.630 foram concluídos e
34 ficaram em aberto.
4.1. Análise e Tratamento de Dados
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Foram coletados, a partir do sistema informatizado da do setor estudado, o número de
solicitações protocoladas por dia e o número de análises concluídas por dia. O período de
observação proporcionou uma amostra de 107 observações de chegadas/dia e 101 tempos
médios de atendimentos/dia. A variável de chegada é discreta e a de atendimento é contínua.
O processo de tratamento dos dados se inicia pelo desenvolvimento da distribuição de
frequência dos dados seguida de uma representação gráfica da tabela, a partir da elaboração
de um histograma. Essa etapa proverá facilidades no processo de identificação da distribuição
de probabilidades mais adequada dentre as diferentes famílias de distribuições conhecidas. O
primeiro desafio para a montagem da tabela de distribuição de frequências é a determinação
do número de classes (K) e de seus limites (Freitas Filho, 2008).
Não existe técnica cientificamente comprovada para a definição exata. Segundo Barbetta
(2006), quanto maior o conjunto de dados, mais classes podem ser usadas. Vale a seguinte
regra para as variáveis discretas: para amostras pequenas, ou seja, n < 25 elementos, k = 5
classes; para amostras grandes, com n > 25, pode usar duas regras conhecidas – regra de
Sturges (para n < 100) ou regra da raiz quadrada de n. Para as variáveis contínuas usa-se
sempre a regra da raiz quadrada de n.
(1)
(2)
Para a distribuição de frequências da taxa de chegadas, as fórmulas (1) e (2) indicaram valores
entre 07 e 11. Foi escolhido um k = 11, pois foi o que apresentou menor erro quadrado. O
Quadro 2 apresenta o valor do Erro Quadrático para k = 11, considerando os tipos de
distribuição mais usadas. Desse modo, verificou-se que os dados de taxa de chegada não se
comportaram como era de se esperar. A distribuição exponencial foi uma das que menos se
ajustou aos dados levantados. Mesmo assim, tanto o valor do erro quadrado e o teste de
aderência apresentaram resultados que viabilizam a utilização dessa distribuição. Desse modo,
por conveniência ao emprego da modelagem por Teoria das Filas, optou-se pela distribuição
Poisson, com λ = 45,2 chegadas/dia.
Já para a distribuição de frequências do tempo de atendimento as fórmulas (1) e (2) indicaram
valores entre 7 e 10. Foi escolhido um k = 7. Assim como na taxa de chegadas, a distribuição
exponencial não foi a que melhor se ajustou aos dados, no entanto, os testes amparam sua
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escolha. Desse modo, por conveniência ao emprego da modelagem por Teoria das Filas,
optou-se pela distribuição Exponencial, com ß = 0,0287 dias. Nesse caso, o µ = 1/ß = 34,84
atendimentos/dia.
10
Quadro 2 - Erro Quadrado (λ)
DISTRIBUIÇÃO
ERRO QUADRADO
Normal
0.0159
Weibull
0.016
Beta
0.0168
Triangular
0.0173
Erlang
0.0193
Gamma
0.0212
Uniform
0.0265
Lognormal
0.0345
Exponential
0.0544
Poisson
0.149
Quadro 3 - Parâmetros (λ)
DISTRIBUTION SUMMARY
Distribution:
Poisson
Expression:
POIS (45.2)
Square Error:
0.149294
Chi Square Test
Number of intervals
4
Degrees of freedom
2
Test Statistic
Corresponding p-value
157
< 0.005
Figura 2 - Distribuição de Frequências de Chegadas (k = 11)
Quadro 4 - Erro quadrado (µ)
DISTRIBUIÇÃO
ERRO QUADRADO
Lognormal
0.0125
Gamma
0.0183
Erlang
0.0207
Weibull
0.0244
Beta
0.0317
Normal
0.0555
Exponential
0.0702
Triangular
0.201
Uniform
0.238
Quadro 5 - Parâmetros (µ)
DISTRIBUTION SUMMARY
Distribution:
Exponential
Expression:
EXPO(0.0287)
Square Error:
0.070153
Chi Square Test
Number of intervals
4
Degrees of freedom
2
Test Statistic
Corresponding p-value
29.2
< 0.005
Figura 3 - Distribuição de Frequências de Tempo de Serviço (k = 7)
4.2. Modelagem por Teoria das Filas
A modelagem do sistema de atendimento do setor do estudado por Teoria das Filas pode ser
descrita por três elementos básicos: processo de chegada, considerada a data de entrada dos
processos no protocolo, o processamento do pedido e a disciplina de atendimento (Fontanella
e Morabito, 1997).
Utilizando o modelo M/M/c, visto que as solicitações são recebidas em uma única fila e
distribuídos a diversos servidores, e ainda que as chegadas seguem a distribuição de Poisson e
os atendimentos seguem a distribuição exponencial, foram realizadas análises com dez e com
dois servidores.
Dimensionando-se o sistema com dez servidores, a probabilidade de não haver solicitação no
sistema (P0) é igual 27,3%. A probabilidade de mais de 10 solicitações simultâneas, o que
implica na formação de fila, é de 0,00012%, com um tempo médio de cada solicitação no
sistema de 0,03 dia.
Quando se refez os cálculos dimensionando o sistema com dois servidores para analisar as
solicitações, foi encontrada uma probabilidade de não haver nenhuma solicitação no sistema
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(P0) de 21,3%. A probabilidade de enfileiramento aumentou para 51,1% com o tamanho
médio da fila de 0,9 solicitações e um tempo médio de cada solicitação no sistema de 0,06
dia.
No primeiro caso, o sistema opera de maneira ideal para o solicitante (sem fila –
probabilidade < 0,001%, e tempo médio de análise de 14 minutos), porém o custo para se
manter 10 servidores não se mostra razoável. No segundo, o sistema apresenta uma alta
probabilidade de formação de fila – 51%, com um tempo médio de análise de 29 minutos e
uma fila média de aproximadamente 1,0 solicitação.
O segundo modelo, dimensionado com dois analistas mostra-se mais equilibrado de forma
que o custo para o setor não é elevado e o tempo médio no sistema reduzido.
Concluída a análise a partir da Teoria das Filas convém repetir os cenários utilizando desta
vez a simulação a partir do MMC.
4.3. Modelagem por Simulação de Monte Carlo
Para a simulação foi utilizado um software comercial vinculado ao Excel da Microsoft. O
procedimento de modelagem seguiu o seguinte roteiro:






Desenvolvimento da lógica da simulação, a partir da formulação proposta pela Teoria das
Filas para o modelo M/M/k;
Definição dos inputs conhecidos (número de analistas), dos inputs com incertezas (taxa de
chegada e taxa de atendimento) e dos outputs (taxa de utilização, P0, probabilidade de
enfileiramento, número médio na fila e tempo médio no sistema);
Definição das distribuições (Poisson para a taxa de chegada e Exponencial para a taxa de
atendimento);
Definição do número de iterações (1.000 iterações);
Execução da simulação; e
Análise dos resultados.
As figuras 4 e 5 apresentam os valores de intervalo de confiança de 90% das distribuições de
probabilidades utilizadas.
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Taxa de atendimentos (µ)
0,030
,050
0,025
,040
0,020
160
140
120
-20
70
60
50
40
0,000
30
,000
20
0,005
10
,010
0
0,010
100
Para Propósitos de Avaliação Apenas
,020
-10
5,0%
Versão Teste do @RISK
0,015
)
Figura 4 – Taxa de Chegada
104,4
80
Versão Teste do @RISKPoisson(45,2
60
,030
90,0%
1,8
Expon(34,84;RiskS
hift(0))
180
5,0%
40
,060
5,0%
57,0
0
90,0%
34,0
20
Taxa de chegadas
5,0%
Figura 5 - Taxa de Atendimento
A seguir são apresentados os resultados das iterações realizadas. Para cada output definido
foram simuladas 1.000 iterações a partir de números aleatórios gerados mecanicamente pelo
software. Foram simulados os mesmos cenários propostos no item anterior, com dois e dez
atendentes.
O Quadro 6 apresenta os resultados das simulações. Os valores destacados representam as
probabilidades acumuladas (P5%, P50% e P95%) geradas pelas diversas iterações.
Quadro 6 - Resultados da Simulação
5. Conclusões
O “Problema das Médias” foi definido como um conjunto de erros observados quando um
único número, geralmente uma média, substitui uma distribuição de probabilidades. Os
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problemas que encontramos comumente não têm uma única resposta, mas um leque de
possíveis respostas, cada uma delas com sua própria probabilidade de sucesso.
Mesmo incorporando em sua formulação o cálculo de probabilidades, a Teoria das filas ainda
deixa de proporcionar ao analista uma visualização da distribuição dessas probabilidades.
Esse artigo propôs o emprego da simulação através do Método de Monte Carlo combinada a
formulação tradicional da Teoria das Filas, uma vez que o método envolve técnicas mais
complexas, na medida em que a representação de uma variável é feita não por um valor, mas
sim por uma série ou distribuição de valores.
Para essa comparação foi apresentado como estudo de caso a tramitação de documentos,
entrada mais atendimento, numa repartição de um órgão público. Os dados coletados, depois
de tratados estatisticamente foram aproximados a curvas de distribuição conhecidas (Poisson
e Exponencial).
A Teria das Filas mostrou que a escolha por 2 atendentes é mais econômica. Mesmo com 51%
de probabilidade de haver fila de solicitações, o número médio de documentos na fila é de
apenas 1 e o tempo total no sistema de cada solicitação por volta de 14 minutos.
O que a Teoria das filas deixou de mostrar é que o número de solicitações na fila pode chegar
com 95% de certeza, a aproximadamente 6 unidades com um tempo médio no sistema
superior a 80 minutos.
Mesmo que esses resultados, no estudo de caso, não pareçam preocupantes, a metodologia
aqui proposta é aplicável ao dimensionamento de espaços, de infraestrutura, de frotas de
veículos e de equipamentos e outros elementos que compõem um sistema de transportes.
Se, ao invés, de documentos empilhados numa mesa estivéssemos tratando, como proposto
anteriormente por Portugal (2005), de ônibus num terminal de passageiros a diferença entre 1
e 6 unidades em média na fila, ou entre 14 e 80 minutos de tempo total no sistema seria
certamente relevante.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Freitas Filho, P. J. de (2008) Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas com Aplicações em Arena. 2ª
Edição. Visual Books. Florianópolis.
Pedgen, C. D.; Shannon, R. E.; Sadowski, R. P. (1990) Introduction to Simulation Using SIMAN. 2ª Edição.
McGraw-Hill. New York.
Yoriyas, Hélio (2009) Método de Monte Carlo: princípios e aplicações em Física Médica. Revista Brasileira de
Física Médica. 2009;3(1):141-9.
Prado, D.S. (2014) Teoria das Filas e da Simulação – Volume 2. (5ª Edição). Nova Lima. Ed. Falconi.
Chase, R.B.; Aquilano, N.J. (1995) Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. 6ª
Edição. McGraw-Hill Interamericana. México
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Fontenella, G.C.; Morabito, R. (1997) Modelagem por meio de teoria das filas do tradeoff entre investir em
canais de atendimento e satisfazer o nível de serviço em provedores de internet. Revista G&P – Gestão e
Produção, v.4, n.3, p. 278-295.
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