Nível B3
NÚMEROS RACIONAIS-CONJUNTO Q
Já foi estudado que:
N = {1; 2; 3; 4; 5; …} – conjunto dos números naturais.
N0= {0; 1; 2; 3; 4; 5; …} – conjunto dos números inteiros.
Z = {… ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} – conjunto dos números inteiros
relativos.
Q = Z ∪ (números fraccionários) – conjunto dos números racionais.
Qualquer número racional pode ser escrito na forma de dízima, bastando,
para isso, efectuar a divisão. As dízimas obtidas são finitas ou infinitas
periódicas.
Dízima finita – é uma dízima com um número finito dee casas decimais.
Por exemplo,
15
= 1,875.
8
Dízima infinita – é uma dízima com um número infinito de casas
decimais.
Dízima infinita periódica – é uma dízima infinita com um algarismo ou
grupo de algarismos que se repete indefinidamente a que se chama período
da dízima.
Por exemplo,
18
1559
= 1,6363 … = 1,(63) e
= 1,73222 … = 1,73(2).
11
900
Propriedade: Qualquer número racional é uma dízima finita ou infinita
periódica e reciprocamente.
Exemplos:
1. Escrever na forma de fracção as dízimas finitas 5,3 e 7,431.
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1
Resolução:
A fracção que representa o número tem como denominador 1 seguido de
tantos zeros quantos o número de casas decimais da dízima. Assim,
5,3 =
53
7431
e 7,431 =
10
1000
2. Escrever na forma de fracção a dizima infinita periódica simples 3,(21).
Resolução:
Começa-se por designar o número dado por uma letra.
N = 3,(21)
Multiplica-se os dois membros da igualdade por 10, 100, 1000, …
dependendo do número de algarismos do período da dízima. Obtém-se
100 N = 321,(21)
Subtraindo membro a membro as duas igualdades anteriores, tem-se
100 N – N = 321,(21) – 3,(21) ⇔ 99 N = 318 ⇔ N =
⇔N=
318
⇔
99
106
33
3. escreve na forma de fracção a dízima infinita peíodica composta
2,14(3).
Resolução:
N = 2,14(3), atendendo a que a dízima tem anteperíodo (14), multiplica-se
os dois membros da igualdade por 10, 100, 1000, … conforme o número de
algarismos desse anteperíodo.
100 N = 214,(3)
em seguida, multiplica-se os dois membros desta igualdade por 10 porque o
período da dízima tem um algarismo. Assim,
1000 N = 2143,(3)
Subtraindo membro a membro as duas últimas igualdades, decorre que
1000 N – 100 N = 2143,(3) – 214,(3) ⇔ 900 N = 1929 ⇔ N =
⇔N=
1929
⇔
900
643
300
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2
Números reais – O conjunto R
Existem números que na forma decimal são dizimas infinitas não
periódicas. Estes números, que não podem ser escritos na forma de
fracção, chamam-se números irracionais. Por exemplo:
3 ;
3 25 ;
π; ∅ =
1+ 5
e 3,010 010 001 …
2
Finitas
Números
racionais
Dízimas
Periódicas simples
ou compostas
Infinitas
Não periódicas - Números
irracionais
Ao conjunto formado pelos números racionais (Q) e irracionais, chama-se o
conjunto dos reais e representa-se por R, simbolicamente,
R = Q ∪ {números irracionais}
Sob a forma de diagrama de conjuntos, tem-se:
Subconjuntos de R
R- = {números reais negativos} e R0 = R- ∪ {0}
R+ = {números reais positivos} e R0 = R+ ∪ {0}
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3
Qualquer número real pode ser representado numa recta – recta real – de
tal forma que a todo o número real corresponde um ponto da recta e a todo
o ponto da recta corresponde um número real, que se diz a sua abcissa.
Construção de números irracionais
Para representar na recta real um número irracional, faz-se uma construção
com régua e compasso baseada no Teorema de Pitágoras.
Exemplos:
1. Representa na recta real o número irracional 5 .
Resolução:
Recorrendo ao teorema de Pitágoras, constrói-se um triângulo cuja
hipotenusa seja o número irracional pretendido.
Os catetos de tal triângulo têm como medidas dois números cuja soma dos
quadrados é o radicando, neste caso, 5.
Ora, 5 = 4 + 1 = 22 +12. Os catetos medem 1 e 2 unidades.
Com o compasso, transporta-se o comprimento 5 para a recta real.
2. Representa na recta real o número irracional 2 - 3 .
Resolução:
Sabe-se que 3 = 2 + 1 = ( 2 )2 + 12 e que 2 = 1 + 1 = 12 + 12 . É necessário
construir dois triângulos rectângulos auxiliares: o primeiro com catetos 1 e
1; o segundo com catetos 2 e 1. Como a parte racional do número dado é
2, deve iniciar-se a construção nesse ponto.
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4
Como a parte irracional do número dado é negativa, desenha-se o arco para
a esquerda.
Intervalos
O conjunto a = {x ∈ IN : 3 < x ≤ 6} está representado em compreensão.
Para o representar em extensão escreve-se: A = {4; 5; 6}.
O conjunto B = {x ∈ Z0- : x ≥ -4} está representado em compreensão. Em
extensão a sua representação é B = {-4; -3; -2; -1; 0}.
Para representar em extensão subconjuntos de IR não é possível utilizar o
mesmo método porque os elementos de IR não estão isolados. Adopta-se,
então, uma forma de escrever o conjunto que se designa por intervalo de
números reais.
Por exemplo, o conjunto {x ∈ IR : 2 ≤ x < 5}escrito na forma de intervalo
é [2 ; 5[, que se lê “intervalo de números de 2 fechado a 5 aberto2.
Geometricamente, representa-se o intervalo [2 ; 5[ por:
“Fecha-se” o intervalo, desenhando parênteses recto “virado para dentro” e
“bolinha fechada” sempre que o extremo respectivo lhe pertence.
“Abre-se” o intervalo, desenhando parênteses recto “virado para fora” e
“bolinha aberta” sempre que o respectivo extremo não lhe pretença.
Intervalos ilimitados
O conjunto {x ∈ IR: x ≥ 2} representa-se na forma de intervalo por [2 ; +∞[
e geometricamente por:
O conjunto {x ∈ IR: x < 6} representa-se na forma de intervalo por ]-∞ ; 6[
e geometricamente por:
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5
Os símbolos +∞ (mais infinito) e -∞ (menos infinito) não são números
reais, eles simbolizam que não há nenhum número maior que todos os
outros nem um número menor que todos os outros.
Exemplos:
Representa na forma de intervalo e geometricamente os conjuntos.
a)
b)
c)
d)
e)
A = {x ∈ IR: 3 ≤ x ≤ 7}
B = {x ∈ IR: -5 < x ≤ 0}
C = {x ∈ IR: -3 < x < 2}
D = {x ∈ IR: x ≤ -1}
E = {x ∈ IR: x ≥ - 2 }
Resolução:
a) A = [3 ; 7]
b) B = ]-5 ; 0]
c) C = ]-3 ; 2[
d) D = ]-∞ ; -1]
e) E = ]- 2 ; +∞[
Inequações
Inequação é uma desigualdade onde figura pelo menos uma letra que se
designa por incógnita. Por exemplo, 2 (x – 3) > -1 +
5
x
3
Resolver uma inequação é procurar as suas soluções, isto é, determinar o
seu conjunto solução.
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6
Inequações equivalentes são inequações que têm o mesmo conjunto
solução.
Resolução de uma inequação
Para resolver uma inequação deve seguir-se o método.
1
1
x−5
− ( x − 3) ≥ −
+
2
4
8
x
x−5
1
3
+
≥−
+
8
2( 4 )
2( 4 )
4( 2 )
Desembaraçar de parênteses
−
Desembaraçar de denominadores
Isolar os termos com incógnita. Os termos que
mudam de membro mudam de sinal.
Adicionar os termos semelhantes
Passar o coeficiente da incógnita para
denominador do 2º membro. Se for um número
negativo, troca-se o sentido da desigualdade.
Apresentar o conjunto solução
-4x + 12 ≥ -2x + 10 + 1
-4x + 2x ≥ 10 + 1 – 12
-2x ≥ -1
x≤
−1
1
⇔x≤
−2
2
C.S. = ]-∞ ;
1
]
2
Conjunção e Disjunção
Conjunção (∧) de duas condições é uma condição verificada pelos
números reais que são simultaneamente solução das duas condições. O seu
conjunto solução é a intersecção (∩) dos conjuntos solução.
Exemplos:
1. Determinar o conjunto solução das conjunções:
a) x ≤ 2 ∧ x < 0
b) x < -2 ∧ x ≥ 3
Resolução:
a) O conjunto solução de x ≤ 2 ∧ x < 0 é ]-∞ ; -2] ∩ ]- ∞ ; 0[
Graficamente:
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7
b) O conjunto solução de x < -2 ∧ x ≥ 3 é ]-∞ ; -2[ ∩ [3 ; +∞[ = ∅ que é o
conjunto vazio, porque não existem elementos comuns aos dois
intervalos.
Graficamente:
Disjunção (∨) de duas condições é uma condição verificada pelos números
reais que são solução de pelo menos uma das condições dadas. O seu
conjunto solução é a reunião (∪) dos conjuntos solução das condições
iniciais. O símbolo “∨” lê-se “ou”.
2. Determinar o conjunto solução das disjunções:
a) x ≥ 1 ∨ x > 3
b) x ≤ 0 ∨ x > −
1
2
Resolução:
a) O conjunto solução da condição x ≥ 1 ∨ x > 3 é [1 ; +∞[ ∪ [3 ; +∞[
= [1 ; +∞[
Graficamente:
b) O conjunto solução da condição x ≤ 0 ∨ x > −
1
1
é ]-∞ ; 0] ∪ [ − ; +∞[
2
2
= IR
Graficamente:
3. Determinar o conjunto solução da condição –1 <
Resolução:
A condição dada pode escrever-se –1 <
−
2− x
< 4.
5
2− x
2− x
∧
<4
5
5
1
2− x
2− x
4
<
∧
<
⇔ -5 < 2 – x ∧ 2 - x < 20 ⇔
5
5
1(5)
1(5)
⇔ x < 2 + 5 ∧ -x < 20 – 2 ⇔ x < 7 ∧ -x < 18 ⇔ x < 7 ∧ x > -18
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8
Como o conjunção de condições corresponde à intersecção dos conjuntos
solução, temos: C. S. = ]-∞ ; 7[ ∩ ]-18 ; +∞[
4. Escreve sob a forma de intervalo o conjunto solução do sistema:
5 x − 2 > 1 − 3 x

2( x − 5) ≥ 1
Resolução:
8

8
x>


5
x
−
2
>
1
−
3
x
5
x
+
3
x
>
1
+
2
8
x
>
3
x>



⇔
⇔
⇔  3 ⇔  3

2( x − 5) ≥ 1
2 x − 10 ≥ 1
2 x ≥ 1 + 10
2 x ≥ 11
 x ≥ 11

2
O conjunto solução de um sistema de inequações é a intersecção dos
conjuntos solução de cada uma delas. C. S. = [
11
; +∞[
2
Graficamente:
5. Determinar o conjunto de números reais para os quais o valor da
expressão
3( x − 2)
é menor que 6 ou maior que 9.
4
Resolução:
A condição que representa o enunciado é:
3( x − 2)
3( x − 2)
<6∨
>9
4
4
3( x − 2)
3( x − 2)
3( x − 2)
6
3( x − 2)
9
<6∨
>9 ⇔
<
∨
>
⇔
4
4
4
4
1( 4)
1( 4)
⇔ 3x – 6 < 24 ∨ 3x – 6 > 36 ⇔ 3x < 24 + 6 ∨ 3x > 36 + 6 ⇔
⇔ 3x < 30 6 ∨ 3x > 42 ⇔ x <
30
42
∨x>
⇔ x < 10 ∨ x > 14
3
3
Como a disjunção corresponde à reunião de conjuntos, temos:
C. S. = ]-∞ ; 10[ ∪ ]14 ; +∞[
Graficamente:
6. Escreve em extensão o conjunto A = {x ∈ Z- :
2( x + 4) 1
≥ ∧ x+2 ≤1}
5
3
Resolução:
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9
2( x + 4) 1
2 ( x + 4)
1
≥ ∧ x+2 ≤1 ⇔
≥
∧ x ≤ 1-2 ⇔ 6x + 24 ≥ 5 ∧ x ≤ -1 ⇔
5
3
5( 3 )
3(5)
⇔ 6x ≥ 5 - 24 ∧ x ≤ -1 ⇔ 6x ≥ -19 ∧ x ≤ -1 ⇔ x ≥ −
Então, C. S. = [ −
19
∧ x ≤ -1
6
19
; -1]
6
Graficamente:
Logo, A = {-3; -2; -1}
Inequações com módulos
Valor absoluto ou modulo de um número x é a distância do ponto de
abcissa x à origem. Por exemplo, |-3| = 3 e |+3| = 3
Procurar as soluções da equação |x| = 3 é determinar os pontos de abcissa x,
cuja distância à origem é 3.
Então |x| = 3 ⇔ x = 3 ∨ x = -3.
C. S. = {-3 ; 3}
As soluções da inequação |x| < 3 são os valores de x cujos os pontos
correspondentes estão a uma distância da origem inferior a 3. Ou seja,
Portanto, |x| < 3 ⇔ x < 3 ∧ x >-3 ⇔ -3 < x < 3.
C. S. = ]-3 ; 3[
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10
As soluções da inequação |x| > 3 são os valores de x, cujos pontos
correspondentes estão a uma distância da origem maior que 3, isto é,
Logo, |x| > 3 ⇔ x > 3 ∨ x < -3
C. S. = ]-∞ ; -3[ ∪ ]3 ; +∞[
Exemplos:
1. Resolver a condição |x – 2| ≤ 7.
Resolução:
|x – 2| ≤ 7 ⇔ x – 2 ≤ 7 ∧ x – 2 ≥ -7 ⇔ x ≤ 7 + 2 ∧ x ≥ -7 + 2 ⇔
⇔ x ≤ 9 ∧ x ≥ -5
C.S. = ]-∞ ; 9] ∩ [-5 ; 9]
2. Resolver a condição |2(1 – x| ≥ 1
Resolução:
|2(1 – x| ≥ 1 ⇔ |2 – 2x| ≥ 1 ⇔ 2 – 2x ≥ 1 ∨ 2 – 2x ≤ -1 ⇔
⇔ – 2x ≥ 1 – 2 ∨ – 2x ≤ -1 – 2 ⇔ – 2x ≥ – 1 ∨ – 2x ≤ – 3 ⇔
⇔x≤
Então, C.S. = ]-∞ ;
1
3
∨ x≥
2
2
1
3
] ∪ [ ; +∞[
2
2
3. Indicar o conjunto solução das condições |x| < -2 e |x| > -2.
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11
Resolução:
A condição x| < -2 é impossível porque, sendo o valor absoluto uma
distância, nunca pode ser um número negativo. Logo, o conjunto solução é
o conjunto vazio.
A condição |x| > -2 tem como conjunto solução o conjunto IR pois
qualquer número real é solução. Na realidade, sendo o valor absoluto não
negativo é sempre maior que qualquer número negativo.
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12
APLICA O QUE APRENDESTE
1. Qual das afirmações é verdadeira?
14
7
14
b)
7
14
c)
7
14
d)
7
a)
é um número inteiro e 4 é um número irracional.
é um número inteiro e 4 não é um número irracional.
não é um número inteiro e 4 é um número irracional.
não é um número inteiro e 4 não é um número irracional.
2. Dos elementos do conjunto A = {3,(2) ; 1 - 36 ; 2 ; - 1 } os números
irracionais são:
a) 2
b) 1 - 36 e 2
c) 1 - 36 ; 2 e - 1
d) Todos
3. Considerando duas casas decimais, um enquadramento do número
irracional 3 - 2 é:
a)
b)
c)
d)
1,58 < 3 1,58 > 3 –1,59 < 3 –1,58 < 3 -
2 < 1,59
2 > 1,59
2 < -1,58
2 < -1,59
4. A abcissa do ponto A é:
a) 5
c) 1 + 5
b) 3
d) 1 + 3
5. Escreve na forma de fracção as dizimas.
5.1. 3,(4)
5.2. 21,3(2)
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13
6. Sendo A = IR+ ∩ ]-∞ ; 3] e B = {x ∈ IR: x < 2 ∧ x ≤
é:
a) ]0 ; 2[
c) [ 5 ; 3]
5 } então A ∩ B
b) ]2 ; 3[
d) ]-∞ ; 5 ]
7. Resolve a inequação (1 + x)2 -
− 2( x + 3)
> 2 + x(2 + x).
3
8. Determina o maior número inteiro para o qual a expressão (x – 1)2 –x(x
– 1) representa um número não negativo.
9. Determina o conjunto de valores de x para os quais a expressão 3(x – 1)
-
2+ x
1
representa um número menor que ou maior que 2.
3
3
10. Resolve em IR a condição:
4x −1
7+ x
2x − 7
<
≤
5
2
5
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14
11. Representa em extensão o conjunto: A = {x ∈ Z 0+ : 3(x – 2) ≤ 5(1 – x) ∧
3 > -x + 2}
12. Sendo A = {x ∈ IR: 3 12.1. A ∩ B
12.2. A ∪ B
12.3. B ∩ IN
x −1
≤ 5} e B = ]-3 ; 2] determina:
2
13. Determina os valores de x de modo que 15, 12 e 4 – x representem as
medidas dos lados de um triângulo.
14. Sendo A = { x ∈ IR: |x| < 1} e B = ]0 ; 2] então:
a) A ∩ B = ]1 ; 2]
b) A ∩ B = ]0 ; 1[
c) A ∩ B = [-1 ; 2]
d) A ∩ B = [1 ; 2]
15. Determina sob a forma de intervalo ou reunião de intervalos o conjunto
solução do sistema:
| x − 1 |> 2

1 2+ x

6(1 − x) > 3 − 2
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