BASES PARA O CÁLCULO
ESTÁDIOS
Aplicação de uma força: 0 até a ruptura da peça
ESTÁDIO 1
•Início do carregamento;
•Tensões atuantes menores que a resistência à tração do concreto;
•Diagrama linear de tensões – Vale Lei de Hooke;
•Momento de fissuração – limite entre Estádio 1 e 2.
ESTÁDIO 2
•Seção fissurada – concreto não resiste mais à tração;
•Concreto comprimido – diagrama linear – Lei de Hooke;
•Verificações de Estados Limites de Serviço (fissuração e flechas);
•Aumento do carregamento – aumento das fissuras;
•Plastificação do concreto comprimido – Término do Estádio 2.
ESTÁDIO 3
•Plastificação do concreto comprimido – limite de ruptura;
•Diagrama parábola-retângulo para o concreto;
ESTÁDIO 3
•Para cálculo – simplificação para diagrama retangular do concreto comprimido;
•É neste estádio que se realiza o dimensionamento das estruturas.
•Tensão de 0,85fcd – Seção constante paralela à LN;
•Tensão de 0,80fcd – Caso contrário.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA
•Aço ou concreto atinge o seu limite de deformação:
•Alongamento último do aço (ruína por deformação plástica excessiva do
aço):
SU
1, 0 %
•Encurtamento último do concreto (ruína por ruptura do concreto):
CU
0 , 35 %
CU
0 , 20 %
Considerações:
•Perfeita aderência entre o aço e o concreto;
•Seções planas permanecem planas.
Flexão
Compressão simples
Limites de deformação dos materiais:
•Alongamento máximo do aço: 1,0%;
•Encurtamento máximo do concreto: 0,35%.
Ruína por deformação plástica excessiva:
Reta a
•Tração simples: alongamento constante e igual a 1,0%;
•O alongamento se dá de forma uniforme na seção.
•Notação:
•‘x’ = posição da LN em relação à borda superior da seção (‘+’ abaixo da
borda);
•Na reta a: LN se encontra em - .
Domínio 1
•Tração em toda a seção, mas não uniforme (Tração excêntrica);
•As com =1,0%;
•Borda superior com 0
< 1,0%;
•LN - < x ≤ 0.
Domínio 2
•Flexão simples ou composta;
•Último caso de ruína por deformação plástica excessiva da armadura;
•As com =1,0%;
•Borda superior: 0 < c < 0,35%.
Ruína por ruptura do concreto na flexão:
•Flexão: LN dentro da seção.
Domínio 3
•Flexão simples ou composta;
•Concreto na ruptura e aço tracionado em escoamento;
•Seção subarmada (aço e concreto trabalham com suas resistências de cálculo);
•Aproveitamento máximo dos materiais – ruína com aviso;
•As com yd s 1,0%;
•Borda comprimida: cu = 0,35%.
Domínio 4
•Flexão simples ou composta;
•Seção superarmada (concreto na ruptura e aço tracionado não atinge o
escoamento);
•Aço mal aproveitado – ruína sem aviso;
•As com 0 < s < yd;
•Borda comprimida: cu = 0,35%.
Domínio 4a
•Duas armaduras comprimidas;
•Ruína pelo concreto comprimido;
•As com deformação muito pequena – mal aproveitada;
•Borda comprimida: cu = 0,35%;
•LN: d < x < h.
Ruína da seção inteiramente comprimida:
Domínio 5
•Seção inteiramente comprimida: x > h;
• cu = 0,20% - na linha distante 3/7 h;
•Compressão excêntrica;
•Borda comprimida: 0,35% < cu < 0,20%.
Reta b
•Deformação uniforme de compressão: cu = 0,20% ;
•LN: ‘x’ tenda a + ;
•Borda comprimida: 0,35% < cu < 0,20%.
Diagrama único
•LN: definição da posição por semelhança de triângulos.
•Da reta a para domínios 1 e 2: diagrama gira em torno do ponto A (Armadura
como limite com deformação de 1,0%);
•Nos domínios 3, 4 e 4a: diagrama gira em torno do ponto B (ruptura do concreto
na borda comprimida com deformação de 0,35%);
•Domínios 5 e reta b: diagrama gira em torno do ponto C (Concreto com 0,2%).
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA - EQUAÇÕES
Hipóteses
•Momento fletor separado da força cortante;
•Perfeita aderência entre concreto e armadura: c =
•Resistência à tração do concreto é desprezada;
•Manutenção da forma plana da seção transversal
distância em relação à LN
Diagramas de tensão do concreto
s;
são proporcionais à
Domínios possíveis
•Flexão: tração resistida pela armadura;
•LN: 0 < x < d Domínios 2, 3 e 4.
Domínio 2
•Ruína por deformação plástica excessiva do aço;
•Definindo:
x
x
d
c
ou
s
x
c
0 , 35
c
x 2 ,3
c
0
s
s
0 , 35
0 , 259
1
1, 0 %
c
sd
0 ,35 %
0
x
0 , 259
f yd
Domínio 3
•Ruína por ruptura do concreto com deformação máxima de 0,35%;
•Definindo:
yd
c
s
1, 0 %
sd
f yd
0 ,35 %
0 ,35
c
x 3, 4
c
0 ,35
yd
0 , 259
500
yd ( A )
1,15 210000
f yd
yd
yd
x
0 , 207 %
Es
x 3, 4
x , lim
( 3, 4 )
0 , 628
Domínio 4
•Ruína por ruptura do concreto com deformação máxima de 0,35%;
•Definindo:
0
s
c
yd
f yd
sd
0 ,35 %
•Solução antieconômica, além de perigosa – ruptura brusca (sem aviso);
•Alternativas:
•Aumentar a altura h;
•Adotar armadura dupla;
•Aumentar a resistência do concreto.
c
1, 0
x 4,4 a
c
s
s
0
Diagrama do aço
Domínio 2
Equações de equilíbrio
As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente:
Fx
M
0
As
Rc
0
M
'
Rs
d
Rs
f
M
0
k
(1)
Rc d
y
2
'
Rs (d
'
d )
(2)
As resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) são dadas por:
Rc
b y
y
cd
0 ,8 x
Rc
Rc
Rc
b d 0 ,8
x
0 ,85
x
cd
d
f cd
d
0 , 68 b d
d
b 0 ,8 x
f cd
Rs
As
'
As
Rs
s
'
'
s
Com isso, temos as seguintes equações:
0 , 68 b d
x
f cd
'
As
'
s
As
s
0
(1)
Colocando d em evidência e substituindo y=0,8x, na equação do equilíbrio do momento:
M
d
0 , 68 b d
2
x
f cd (1
0,4
x)
'
As
'
s (d
'
d )
(2)
Trabalhando nos domínios 2 e 3, com armadura simples (As'=0), tem-se:
0 , 68 b d
M
d
x
f cd
0 , 68 b d
As
2
x
s
f cd (1
0
'
(1 )
0,4
x)
'
(2 )
Temos, neste caso, 3 incógnitas ( x, As, s), para duas equações. A solução passa
por definir x e com isso temos os domínios de deformação.
Armadura mínima
A s . mín
f ct
0 , 20
para fct e fyd em MPa.
bh
f yd
Sendo:
f ct
1, 3 f ctm
A s , mín
2
f ctm
Aço
1, 4
f ck
mín
bh
3
( MPa )
10
fck (MPa)
20
25
30
35
40
45
50
CA-50 0,15% 0,15% 0,17% 0,19% 0,21% 0,23% 0,25%
CA-60 0,15% 0,15% 0,15% 0,16% 0,18% 0,19% 0,20%
Exemplos
C20; CA50; seção: 15x35cm; d’=4cm
C20; CA50; seção: 12x35cm; d’=3cm
Valores de característicos;
Unidades: kN e m.
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO
Momento de fissuração
M
f ct I c
r
yt
: relaciona as resistências à tração na flexão com a direta.
= 1,2 para seções T ou duplo T;
= 1,5 para seções retangulares.
fct: Resistência do concreto à tração direta.
f ct
f ctk , inf
f ct
f ctm
2/3
0 , 21 f ck
2/3
0 ,3 f ck
em MPa, para formação de fissura
em MPa, para deformação excessiva
Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto;
yt = distância do CG da seção à fibra mais tracionada (=h/2).
Homogeneização da seção
Seção composta de dois materiais: concreto e aço
Substituir As por uma Ac equivalente
e
homogeneizar;
Es
Ec
Estádio I
Concreto resiste à tração:
Es
210 GPa
Ec
0 ,85 E ci
0 ,85 5600
1/ 2
f ck ( em MPa )
Posição da LN: fazendo o momento estático da seção homogeneizada em relação à LN
x
b x
'
'
e As ( x
2
d )
b(h
x)
h
x
e
2
bh
x)
0
2
2
bh
x
As ( d
e ( As d
e ( As
'
'
As d )
'
As )
Momento de inércia:
I
bh
12
3
bh (
h
2
x)
2
'
e As ( x
' 2
d )
e As ( d
x)
2
Estádio II
Despreza-se a resistência à tração do concreto:
Posição da LN
x
b x
'
e
2
x
2
2
e
b
( As
As ( x
'
'
d )
As ) x
e
2
e
b
As ( d
( As d
x)
'
0
'
As d )
0
Momento de inércia:
I
bx
3
12
x 2
bx ( )
2
'
e As ( x
' 2
d )
e As ( d
x)
2
Formação de fissuras
Compara-se o valor de Mr com o valor de Md relativo à combinação rara de serviço:
São consideradas as seguintes combinações:
Freqüentes (95% vida útil)
1Fqk
(
1
= 0,4 para fissuras)
Se: Md > Mr há fissuração
Deformação (deslocamentos)
Compara-se o valor de Mr com o valor de Md relativo à combinação rara de serviço:
São consideradas as seguintes combinações:
Quase permanentes (50% vida útil)
2Fqk
(
2
= 0,3 para deformação)
Flecha imediata:
Comportamento elástico (tabelas)
Ec
0 ,85 E ci
0 ,85 5600
1/ 2
f ck ( em MPa )
Inércia equivalente:
I
I eq
(
M
r
M
a
3
) Ic
[1
(
M
r
M
a
3
) ] I2
Ic = Inércia da seção bruta de concreto;
I2 = Inércia no estádio II;
Ma = momento fletor na seção crítica, conforme combinação adequada;
Mr = Momento de fissuração.
Flecha diferida:
Leva em conta a fluência no cálculo das deformações
f
1
'
50
'
'
As
(t )
( t 0 ) (Tabela )
b d
t = tempo, em meses, em que se deseja o valor da flecha;
t0 = idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.
Tempo
(t)
meses
Coeficie
nte
(t)
0
0,5
1
2
3
4
5
10
20
40
>70
0
0,54
0,68
0,84
0,95
1,04
1,12
1,36
1,64
1,89
2
af
at
f
a i (1
ai
f
)
Flecha diferida
Flecha total
Verificação das flechas
Verificar flecha calculada com os limites impostos pela norma.
Caso os limites sejam ultrapassados:
Aumentar a idade para aplicação da carga;
Adotar contraflecha (ac).
ac
a i (1
f
)
2
Tipo de efeito
Razão da
limitação
Exemplo
Aceitabilidade
sensorial
Visual
Deslocamentos
visíveis em
elementos
estruturais
Vibrações sentidas
no piso
Coberturas e
varandas
Outro
Efeitos estruturais
em serviço
Superfícies que
devem drenar
água
Pavimentos que
devem
permanecer planos
Elementos que
suportam
equipamentos
sensíveis
Ginásios e pistas
de boliche
Laboratórios
ai
af
2
Deslocamento a
considerar
Deslocamento
limite
Total
l/250
Devidos a cargas
acidentais
l/350
Total
l/250
Total
l/350 + contraflecha
l/600
Ocorrido após a
construção do piso
Ocorridos após
nivelamento do
equipamento
De acordo com a
recomendação do
fabricante do
equipamento
Abertura de fissuras
Valor da abertura de fissuras:
Adotar o menor valor entre w1 e w2:
w1
i
12 , 5
si
1
(
E si
4
45 )
A si
ri
ri
w2
1
i
12 , 5
si
1
3
E si f ctm
= coeficiente de aderência
1 = 1 para barras lisas;
1 = 1,4 para barras dentadas;
1 = 2,25 para barras nervuradas.
f ctm
2/3
0 , 3 f ck
si
A cri
Cálculo de
si:
e
M d , freq ( d
s
x2 )
I2
Limites:
Tipo de concreto
Estrutural
Classe de
Agressividade
Ambiental (CAA)
Exigências relativas à
fissuração
Combinação de ações
em serviço a utilizar
Concreto simples
CAA I a CAA IV
Não há
***
CAA I
wk 0,4mm
CAA II a CAA III
wk 0,3mm
CAA IV
wk 0,2mm
Concreto armado
Caso os limites sejam excedidos:
Diminuir diâmetros;
Aumentar o número de barras mantendo o diâmetro;
Aumentar a seção transversal da peça.
Combinação frequente
CÁLCULO MEDIANTE TABELAS
Armadura simples
M
0 , 68 b d
d
b d
M
d
2
f cd (1
x
2
0 , 68
x
f cd (1
b d
M
0,4
'
(2 )
f cd
As
s
0 , 68 b d
x
f cd
As
s
Substituin do em ( 2 ' )
1
s (1
Chamando
0,4
: ks
x)
As d
M
d
x)
f(
x,
f cd )
d
x
As d
kc
2
0 , 68 b d
d
x)
1
Chamando : k c
M
0,4
M
0
d
'
(1 )
As
sd
(1
0,4
x)
ks
f(
x,
s)
Armadura dupla
Utilizadas quando
Para a seção 1:
M1
x
>
x,lim
Valor máximo do momento com armadura simples (
M
d , lim
M1
Para k c , lim
bd
2
A s1
k c , lim
k c para
x
x 3, 4
k s , lim
M1
d
x,lim)
Para a seção 2:
A equação de equilíbrio é a seguinte:
As 2
'
As
1
M
M2
2
1
'
s
M
(d
As 2
'
f yd ( d
d )
'
2
'
d )
As
ks2
M
'
ks
(d
Os valores de ks2 e ks são tabelados
A armadura tracionada total vale: As = As1 + As2
A armadura comprimida vale: As'.
'
A s 2 f yd ( d
M
d )
2
'
(d
d )
2
'
d )
'
As
'
s (d
'
d )
Dimensionamento Seção T
•Ocorrência: Estruturas com vigas e lajes maciças, peças pré-moldadas, etc..
bf
•Definir qual a “largura colaborante” (bf) da laje que contribui na resistência da
viga resistindo aos esforços de compressão.
bf
bf
hf
b1
b1
b3
b3
b2
bw
b1
bw
0 ,10 a
0 ,5 b 2
•Sendo 'a' igual a um dos seguintes valores:
•Viga simplesmente apoiada
a=l
•Tramo com momento em uma só extremidade
•Viga com momento nas duas extremidades
•Viga em balanço
b3
0 ,10 a
a
a
a
3
4
3
5
2l
l
l
Observação: Caso existam mísulas as distâncias b1 e b3 são definidas a partir do final
das mísulas, como indicado abaixo:
Verificação do comportamento
Seção retangular (LN na mesa)
Seção T verdadeira
Neste caso temos a LN passando pela nervura (alma) da seção transversal.
A condição limite para seção T é:
x
Se:
y hf
y > hf
x
x
xf
>
xf
x
y
d
0 ,8 d
hf
xf
seção retangular (bf)
seção T verdadeira
0 ,8 d
Durabilidade
Agressividade do ambiente
TABELA - Classe de Agressividade Ambiental
Classe de agressividade
ambiental
Agressividade
Risco de deterioração da
estrutura
I
fraca
insignificante
II
moderada
pequeno
III
forte
grande
IV
muito forte
elevado
(CAA)
Tabela - Classes de agressividade ambiental em função das condições de exposição
Macro-clima
Ambientes internos
Seco 1)
UR
65%
Micro-clima
Ambientes externos e obras em geral
Úmido ou ciclos 2) de
molhagem e
UR
secagem
Seco 3)
65%
Úmido ou ciclos 4) de
molhagem e
secagem
Rural
Urbana
Marinha
Industrial
Especial 5)
Respingos de maré
I
I
II
II
II
-----
I
II
III
III
III ou IV
-----
I
I
----II
III
-----
II
II
III
III
III ou IV
IV
Submersa
Solo
---------
---------
----não agressivo I
I
úmido e agressivo
II, III ou IV
1)
2)
3)
4)
5)
3m
Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes
com concreto revestido com argamassa e pintura.
Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens.
Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos.
Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel,
armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.
Macro clima especial significa ambiente com agressividade bem conhecida, que permite definir a classe de agressividade III ou
IV nos ambientes úmidos. Se o ambiente for seco, deve ser considerada classe de agressividade II nos ambientes internos e
classe de agressividade III nos externos.
A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto
e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.
Tabela - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto
Concreto
Tipo
Classe de agressividade (tabela 1)
I
II
III
IV
Relação
água/aglomerant
e em massa
CA
0,65
0,60
0,55
0,45
Classe de
concreto
CA
C20
C25
C30
C40
NOTA:
CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado
Cobrimento
Tabela - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal
para c=10mm
Classe de agressividade ambiental
Tipo de estrutura
Componente ou
elemento
I
II
III
IV2)
Cobrimento nominal
mm
Concreto armado
1)
Laje1)
20
25
35
45
Viga/Pilar
25
30
40
50
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais
como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências
desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal 15 mm.
2) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto,
condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente
agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45mm.