Princípio Fundamental da Contagem
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nesse
sistema de codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código
em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta
tabela:
Código
0000
0001
0010
0011
0100
Algarismo
0
1
2
3
4
Código
0101
0110
0111
1000
1001
Algarismo
5
6
7
8
9
Observe um exemplo de código e de seu número correspondente:
1. (Uerj 2015) Considere o código abaixo, que identifica determinado produto.
Esse código corresponde ao seguinte número:
a) 6835
b) 5724
c) 8645
d) 9768
2. (Uepa 2014) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu celular edita fotos, possibilitando
diversas formas de composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar molduras e mudar a cor
da foto. Considerando que esse aplicativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 tipos de
molduras e 4 possibilidades de mudar a cor da foto, o número de maneiras que esse jovem
pode fazer uma composição com 4 fotos distintas, utilizando apenas os recursos citados, para
publicá-las nas redes sociais, conforme ilustração abaixo, é:
a) 24  1204.
b) 1204.
c) 24  120.
d) 4  120.
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e) 120.
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3. (Upe 2014) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram
registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi
dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os
netos deveriam ficar entre os seus avós.
De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os
seus netos?
a) 100
b) 800
c) 40 320
d) 80 640
e) 3 628 800
4. (Ufpr 2014) A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de
acordo com as regras abaixo:
Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser pintados com
cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores
diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se
pintar o cubo, a partir da planificação apresentada?
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
5. (Uece 2014) Se X e Y são conjuntos que possuem 6 e 12 elementos respectivamente, então
o número de funções injetivas f : X  Y que podem ser construídas é
a) 665.280.
b) 685.820.
c) 656.820.
d) 658.280.
6. (Insper 2014) Desde o dia da partida inaugural até o dia da final de um torneio de futebol,
terão sido transcorridos 32 dias. Considerando que serão disputados, ao todo, 64 jogos nesse
torneio, pode-se concluir que, necessariamente,
a) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio.
b) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final.
c) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, 2.
d) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio.
e) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia.
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7. (Uece 2014) Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código
formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” assim definida: AAA,
AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o
segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com 26 letras, o código
associado ao último livro foi
a) BAG.
b) BAU.
c) BBC.
d) BBG.
8. (Upe 2014) A seguir, temos o fatorial de alguns números.
1!  1 2!  2  1 3!  3  2  1 4!  4  3  2  1
Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto vale a soma dos seus três últimos
algarismos?
a) 0
b) 6
c) 13
d) 20
e) 21
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contato com substâncias cujo pH (medida
da acidez) seja menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as partes
mais moles e internas do dente logo apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas
comuns é surpreendentemente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, podem
causar danos aos seus dentes com contato prolongado.
(BREWER. 2013, p. 64).
COMIDA/BEBIDA
SUCO DE LIMÃO/LIMA
CAFÉ PRETO
VINAGRE
REFRIGERANTES DE COLA
SUCO DE LARANJA
MAÇÃ
UVA
TOMATE
MAIONESE/MOLHO DE SALADA
CHÁ PRETO
PH
1,8 – 2,4
2,4 – 3,2
2,4 – 3,4
2,7
2,8 – 4,0
2,9 – 3,5
3,3 – 4,5
3,7 – 4,7
3,8 – 4,0
4,0 – 4,2
9. (Uneb 2014) Considere que em um laboratório foram verificadas, por um técnico, duas
amostras de alimentos que constam na tabela e verificado, por ele, que o pH dessas
substâncias era, respectivamente, 3,2 e 4,2.
Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afirmar que o número de maneiras distintas
que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos
examinados é igual a
a) 9
b) 10
c) 12
d) 14
e) 15
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
De acordo com as informações, temos:
Portanto, este código corresponde ao número 6835.
Resposta da questão 2:
[A]
Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos composições distintas, tem-se que o
número de maneiras possíveis de fazer uma composição é dado por
P4  (5  6  4)4  24  1204.
Resposta da questão 3:
[D]
Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os avós e
P8  8!  40320 possibilidades para os netos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da
Contagem, existem 2  40320  80640 maneiras distintas de fazer a foto.
Resposta da questão 4:
[B]
De acordo com as condições do problema temos no máximo três faces para utilizar a primeira
cor, duas faces no máximo para a segunda cor e finalmente 1 face para a terceira cor.
Portanto, o menor número de cores necessárias para pinta o cubo é 3.
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Resposta da questão 5:
[A]
Considerando a função bijetora, o primeiro elemento do conjunto X poderá ser associado a um
dos 12 elementos de Y, o segundo elemento de X poderá ser associado a um dos 11
elementos restantes, continuando assim até o sexto elemento de X que será associado a cada
um dos t elementos restantes de Y.
Temos, então, o seguinte produto: 12  11 10  9  8  7  665280.
Resposta da questão 6:
[E]
Seja [x] o maior inteiro menor do que ou igual a x.
Pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, haverá pelo menos
 64  1
 32   1  [1,96875]  1  1  1  2


partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia.
Resposta da questão 7:
[D]
Quantidade de códigos que começam por A: 1 26  26  676
Quantidade de códigos que começam por BA: 1 1 26  26
O restante dos livros começa por BB.
Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último. (709  676  26  7)
Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto).
O código associado ao último livro é BBG.
Resposta da questão 8:
[A]
Tem-se que 2013!  2013  2012   1000  999!. Daí, sendo 1000 um fator de 2013!, podemos
garantir que os três últimos algarismos de 2013! são iguais a zero. Portanto, o resultado é
zero.
Resposta da questão 9:
[C]
Existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode ser 4,2, temos então 12
maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram
os dois alimentos examinados.
4  3  12
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