Universidade Federal da Bahia
Instituto de Física
Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente
TEXTOS DE LABORATÓRIO
FIS 121 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I-E
FIS 125 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I-F
SALVADOR, BAHIA
2007
INTRODUÇÃO
Esta apostila é destinada aos alunos dos laboratórios dos Cursos de
Física Geral e Experimental I-E e Física Geral e Experimental I-F. Ela foi
elaborada para que o aluno menos preparado possa, ao lê-la, assimilar
facilmente o conteúdo das matérias e, conseqüentemente, provocar o interesse
pelo curso.
Nela está incluída uma pequena introdução à Teoria dos Erros, na qual
são apresentados conceitos básicos e essenciais desta teoria, além de roteiros e
de uma breve descrição teórica dos experimentos a serem desenvolvidos
durante o curso.
Esta apostila tem como objetivo ensinar aos estudantes a prática e os
métodos de medidas diretas e indiretas, com instrumentos simples, dando-lhes
segurança no que devem entender por medir grandezas físicas.
No texto, são preservados os aspectos que professores e alunos usuários
da Apostila de Teoria dos Erros e Mecânica (Roberto Max de Argollo, Clemiro
Ferreira, Tereza Sakai, 1998) consideraram desejáveis, ao mesmo tempo em
que incorporaram certo número de modificações e atualizações.
Esta nova versão foi elaborada por Francisco Clodorian Fernandes
Cabral, com a colaboração dos professores Alexandre Barreto Costa e Alberto
Brum Novaes (2006), digitada por Diva Andrade da Silva, ortografia revisada
por Antonio Silva Souza (Bello) com desenhos e diagramação de Friedrich W.
Gutmann.
ÍNDICE
CAPÍTULO I - TEORIA DOS ERROS
Parte 1 - Conceitos básicos
1. Introdução.............................................................................................
1
2. Medidas diretas e indiretas...................................................................
2
3. Classificação dos erros.........................................................................
2
4. População e amostra............................................................................. 3
5. Valor mais representativo duma grandeza............................................
4
6. Valor verdadeiro e valor mais provável.................................................
5
7. Erro, desvio e discrepância...................................................................
5
8. Desvio relativo e discrepância relativa..................................................
6
9. Exatidão e precisão...............................................................................
7
Parte 2 - Distribuição Normal
10. Freqüência e probabilidade.................................................................
9
11. Representação de medidas como uma distribuição............................
10
12. Função de Gauss................................................................................
12
13. Medidas de dispersão.........................................................................
13
14. Algarismos significativos...................................................................... 16
15. Nível de confiança com o desvio padrão............................................
18
16. Rejeição de dados...............................................................................
20
Parte 3 - Propagação de erros
17. Propagação de erros...........................................................................
22
18. Fórmulas especiais para propagação de erros Independentes..........
23
CAPITULO II – ROTEIROS DE LABORATÓRIO
Seção 1 - Instrumentos de medida e medidas físicas...............................
25
Seção 2 - Estudo de distribuições aleatórias...........................................
34
Seção 3 - Máquinas simples.....................................................................
36
Seção 4 - Análise gráfica de dados experimentais...................................
41
Seção 5 - Elasticidade e transformação de energia numa mola espiral...
49
Seção 6 - Pêndulo simples........................................................................
53
Seção 7 - Colisão elástica em uma e duas dimensões.............................
58
Seção 8 - Movimento de rotação e momento de inércia...........................
64
Seção 9 - Equilíbrio estático duma barra rígida........................................
67
Seção 10 - Pêndulo físico.........................................................................
72
Apêndice I – Tabela de dimensões e unidades........................................
75
Apêndice II – Regras para representação gráfica....................................
77
Bibliografia................................................................................................
79
CAPÍTULO I
CONCEITOS BÁSICOS
TEORIA DE ERROS
PARTE 1
Aos professores e alunos:
Este texto introduz os conceitos básicos e os parâmetros essenciais da
teoria de erros e contém algumas aplicações práticas de interesse dos trabalhos
de laboratório de Física Geral. Estudo mais aprofundado poderá ser feito na
bibliografia citada.
1 - Introdução
As determinações experimentais envolvem medidas e como as medidas
estão sempre sujeitas a alguma incerteza, é preciso fazer-se alguma estimativa
dessas incertezas antes que os resultados possam ser interpretados ou usa-los.
Assim, quando medimos uma grandeza um certo número de vezes, os valores
obtidos provavelmente não serão idênticos devido aos erros experimentais.
Surgem, então, as questões: qual o número que se deve adotar como o
valor mais representativo da grandeza medida? Com que grau de confiança
pode-se afirmar que o número adotado representa este valor?
Assim, para analisar os resultados de uma experiência torna-se
necessário, portanto, fixarem-se critérios para escolher o valor representativo e
seu domínio de flutuação, e estabelecer-se o nível de confiança a tal domínio.
Tais questões são objetos de estudos da teoria dos erros.
Tendo-se pois, uma série de medidas de uma grandeza, com a teoria de
erros, procuramos responder às questões:
1. Qual o valor mais representativo da grandeza?
2. Que medida de dispersão usar para definir um intervalo de variação para
a medida?
3. Como se associar uma chance de reprodutibilidade (nível de confiança) a
um dado intervalo?
4. Como propagar os erros associados às grandezas medidas a outras
grandezas calculadas a partir delas, através de expressões matemáticas?
2 – Medidas diretas e indiretas
As grandezas podem ser medidas direta ou indiretamente, havendo, em
cada caso, um modo diferente de tratar seus valores e os erros a eles
associados.
Medidas diretas são as obtidas por simples comparação utilizando-se
instrumentos de medida já calibrados para tal fim. Neste tipo de medida
devemos distinguir dois casos: (i) a medida é feita através de uma única
determinação onde o valor numérico ou é lido numa escala ( régua, paquímetro,
cronômetro , balança, etc ) ou é fornecido diretamente como no caso de massas
aferidas. (ii) a medida é obtida através de várias determinações onde o valor
numérico é dado pelo Valor Mais provável (definido posteriormente na seção 5).
Medidas indiretas são todas aquelas relacionadas com as medidas diretas
por meio de definições, leis e suas conseqüências. Neste tipo de medidas o valor
numérico assim como a dimensão e a unidade correspondentes, são
encontradas através de expressões matemáticas que as ligam as medidas
diretas envolvidas. Exemplo é a determinação do volume dum cilindro a partir da
medida de suas dimensões.
3 – Classificação de erros
As medidas experimentais são ordinariamente acompanhadas de alguma
incerteza e esta incerteza limita o objetivo de se conhecer o valor verdadeiro da
grandeza. Têm-se, assim, os erros, os quais podem ser classificados nos
seguintes tipos:
Erros grosseiros são aqueles cometidos devido à falta de atenção ou de
prática do operador. Deste tipo são os erros cometidos em operações
matemáticas, enganos na leitura ou escrita de dados, ou engano na leitura duma
escala. A possibilidade de ocorrência desses erros pode ser bastante reduzida
pela atenção do operador e pela repetição das medidas e dos cálculos.
Erros sistemáticos são aqueles decorrentes de causas constantes e se
caracterizam por ocorrerem sempre com os mesmos valores e sinal. São deste
tipo os erros devidos a aparelhos descalibrados, a métodos falhos, ao uso de
equações incompletas, a condições ambientais inadequadas aos instrumentos
de medida e a hábitos errados do operador. O modo de eliminarem-se esses
erros, ou reduzi-los a um mínimo, é trabalhar com instrumentos calibrados os
instrumentos devem estar "zerados" e, quando for o caso, com a calibração
corrigida para as condições ambientais — com métodos corretos e equações
adequadas. No caso de se ter medidas afetadas por um erro sistemático e se
conheça seu valor e sinal, é possível eliminá-lo, já que ele entra com valor e
sinal iguais em todas as medidas.
Erros acidentais são aqueles devidos a causas fortuitas. Também
chamados de erros aleatórios ou estatísticos, eles resultam do somatório de
pequenos erros independentes e incontroláveis afetando o observador, o
instrumento de medida, o objeto a ser medido e as condições ambientais. São
causas desses erros, por exemplo, a variação do "milímetro" ao longo duma reta
milimetrada; a flutuação dos instrumentos de medida ligados na rede elétrica; a
estimativa que o observador faz na leitura de dados, as pequenas variações da
grandeza medida quando comparadas à sensibilidade do arranjo experimental
(no caso de a variação da grandeza ser bem maior que a sensibilidade do
arranjo experimental, a diferença entre as medidas deve ser atribuída à própria
variação da grandeza). Sendo esses erros originados por um grande número de
causas, todas elas provocando variações, para mais e para menos, de
intensidade dentro da sensibilidade do arranjo experimental, eles obedecem a
leis matemáticas bem definidas e podem ser tratados pela teoria estatística.
4 – População e Amostra
População. As medidas e contagens em estatística, para terem sentido,
devem ser limitadas a certo grupo ou conjunto de objetos ou elementos
chamados em estatística de população. As populações podem ser classificadas
em finitas e infinitas, conforme seja finito ou infinito o número de objetos ou
elementos que as compõem. Exemplo de uma população finita é o número de
eleitores na Bahia (este número é limitado). Exemplo de uma população infinita
é a medida da massa de um objeto (pode-se fazer um número ilimitado de
medidas).
Amostra é uma parte de uma população estatística que foi tomada ao
acaso e usada como base para fazer-se estimativas e tirar-se conclusões sobre
a população. Assim, quando desejamos medir a massa dum objeto, na
impossibilidade de medirmos todos os valores possíveis, o que fazemos é medir
alguns valores e, a partir deles, inferir o valor da massa.
5 – Valor mais representativo de uma grandeza
Consideremos agora a primeira questão posta na Seção 1, qual seja: se
são feitas n medidas de uma grandeza, X 1 , X 2 ,..., X n , todas igualmente
confiáveis, isto é, observadas nas mesmas condições, mas nem todas com o
mesmo valor devido aos erros acidentais, qual o valor que melhor representa a
grandeza? Podemos resolver esta questão utilizando o método dos mínimos
quadrados, proposto por Legendre, em 1806, como segue.
Seja xi o resíduo da medida X i , definido como:
xi = X i – X
i = 1, 2,..., n ,
,
(01)
onde X é um valor qualquer. O método dos mínimos quadrados diz que o valor
X mais representativo das medidas Xi é um valor X tal que reduz a soma dos
quadrados dos resíduos a um mínimo. Esta soma é dada por,
U( X ) ≡
∑
xi =
2
i
∑ (X
i
− X) ,
2
i
i = 1, 2,..., n ,
(02)
onde, por conveniência, fizemos o somatório dos quadrados dos resíduos igual a
U( X ).
A representação gráfica de U( X ) versus X é uma parábola com a
abertura voltada para cima. As coordenadas U 0 e X de seu vértice dão,
respectivamente, o valor mínimo de U( X ) e, de acordo com o método dos
mínimos quadrados, o valor mais representativo das medidas Xi .
Desenvolvendo o quadrado de U( X ), vem:
U( X ) =
∑
Xi − 2 X ∑ i Xi + n X 2 .
2
i
O valor X que faz U( X ) um mínimo é obtido pela condição dU/d X = 0.
Então:
dU
= – 2 ∑ i X i + 2 n X = 0.
dX
O resultado é:
X =
∑
i
n
Xi
,
i = 1, 2,..., n .
(03)
X é, assim, a média aritmética dos n valores medidos X i .
6 – Valor verdadeiro e valor mais provável
O valor verdadeiro, μ (letra grega, lê-se mi), dos N elementos de uma
população é definido como o valor mais representativo da população, o qual, de
acordo com a Eq. (3), é a média aritmética desses N elementos, ou seja,
μ=
∑
i
Xi
N
,
i = 1, 2, ...N.
(04)
As populações mais comuns na Física (medidas de comprimento, massa,
tempo) são infinitas e, nestes casos, μ é definido como a média aritmética de
uma série infinita de medidas.
O valor verdadeiro assim definido não é uma variável aleatória, mas uma
constante, cujo valor se busca estimar. Ele é um parâmetro estatístico
importante na teoria da medida, ainda que sua determinação exata seja, em
geral, hipotética.
O valor mais provável ( v.m.p.), X , de uma amostra com n elementos, de
acordo com a Eq. (3), é a média aritmética dos n valores, ou seja,
X=
∑
i
n
Xi
,
i = 1, 2,..., n .
(05)
Como veremos adiante, na distribuição de Gauss, o v.m.p. X é uma
estimativa do valor verdadeiro μ e é a melhor estimativa que se pode obter dele
sem se fazer medida adicional.
7 – Erro, Desvio e Discrepância.
O erro, ei , de uma medida X i é a diferença entre este valor e o valor
verdadeiro da grandeza, ou seja:
e i = X i – μ.
(06)
Exceto em alguns casos triviais, o valor verdadeiro é desconhecido e,
portanto, o módulo do erro é hipotético. Contudo, este é um conceito útil na
teoria de erros.
O desvio, di , de uma medida X i é a diferença entre este valor e o valor
mais provável, ou seja:
di = X i – X .
(07)
O desvio assim definido tem duas propriedades importantes. A primeira se
refere à soma dos quadrados dos desvios é um mínimo, como vimos na Seção
5. O valor desta soma será usado adiante no cálculo de algumas grandezas e
uma expressão conveniente para calculá-la, pode ser obtida quadrando-se a Eq.
(7) e tomando-se a soma de seus termos. Então,
∑
di =
2
i
∑
Xi − 2 X
2
i
∑
i
Xi + n X 2 .
(08)
Pela Eq. (3), tem-se que Σ i X i = n X . Então,
∑
di =
2
i
∑
Xi − n X 2 .
2
i
(09)
A segunda propriedade, por sua vez, é a soma algébrica dos desvios é
zero e isto decorre da própria definição do valor médio. De fato, tomando-se o
somatório dos desvios na Eq. (7) e considerando a Eq. (3), vem:
∑
i
di =
∑
i
Xi − n X = n X − n X = 0
(10)
A discrepância é a diferença entre dois valores medidos de uma
grandeza, tal como a diferença entre os valores obtidos por dois estudantes ou a
diferença entre o valor encontrado por um estudante e um recomendado ou
tabelado. É incorreto usar-se os termos erro ou desvio para representar tais
diferenças
.
8 – Desvio relativo e discrepância relativa
O desvio relativo S, da medida de uma grandeza é definido como a relação
entre a dispersão s utilizada para a medida (desvio avaliado, desvio padrão, etc.,
vistos adiante) e o valor X no caso de apenas uma determinação (ou o v.m.p no
caso de uma série de medidas), expresso em %. Sua expressão é
S=
s
100 .
X
(11)
O desvio relativo tem significado somente quando as medidas são referidas
a um referencial zero que tenha significado físico. Quando o referencial é
arbitrário, o desvio relativo perde o sentido quando os desvios individuais forem
apreciáveis em comparação ao valor da medida.
A discrepância relativa, Δ, (letra grega, lê-se delta) entre duas medidas X '
e X " de uma grandeza é definida pela relação (em %)
Δ=
X ′ − X ′′
100 .
X ′′
(12)
X ' e X " podem ser os valores obtidos por dois observadores, ou X ' pode ser
um valor obtido por um observador e X " um valor tabelado ou recomendado da
grandeza.
9 – Exatidão e precisão
Exatidão é uma medida de quão próximo o valor experimental está do
valor verdadeiro. A exatidão tem a ver com os erros sistemáticos e uma medida
é dita ser tão mais exata quanto menores forem estes erros. A exatidão de uma
medida X ' pode ser avaliada pela discrepância relativa (Eq. 14), onde X " é o
valor verdadeiro da grandeza (alguns poucos casos em que ele é conhecido) ou
um valor recomendado. A exatidão é tanto maior quanto menor for a
discrepância relativa.
Precisão é uma medida de quão concentradas estão as medidas
experimentais em torno do valor mais provável. A precisão tem a ver com os
erros aleatórios e uma medida é dita ser tão mais precisa quanto menor forem
estes erros. A precisão duma medida pode ser avaliada através do desvio
relativo (Eq. 13), sendo tanto maior a precisão quanto menor for este desvio.
Uma distinção entre exatidão e precisão está ilustrada na Fig. 1, onde são
mostrados alvos com marcas de balas de dois rifles fixados rigidamente e
mirando o centro de cada alvo. Em ambos os casos, o centro de fogo (valor mais
provável) está sistematicamente deslocado do centro do alvo (valor verdadeiro),
menos em (b) do que em (a). Diz-se, então, que a exatidão em:
(a)
(b)
Figura 1
(b) é maior do que em (a). Já a dispersão dos tiros (valores individuais
distribuídos aleatoriamente) é menor em (a) do que em (b). Diz-se, então, que a
precisão é maior em (a) do que em (b).
PARTE 2
DISTRIBUIÇÃO NOMAL
10 – Freqüência e probabilidade
Quando as medidas experimentais produzem flutuações, a análise dos
dados experimentais requer que se fixem critérios para escolher o valor mais
representativo da série de medidas, para definir um domínio de flutuação para as
medidas e para estabelecer um nível de confiança associado a esse domínio.
Ambos os valores mais representativos e seu domínio de flutuação são
deduzidos univocamente dos dados experimentais e tais questões são o objeto
de estudo da teoria de erros.
Inicialmente, definamos freqüência e probabilidade, dois conceitos
importantes na teoria estatística.
Freqüência absoluta de um acontecimento é o número de vezes que o
mesmo (o quê) ocorreu. Assim, se um dado é lançado 30 vezes e ocorrem 8
duques, a freqüência absoluta do "duque" é 8.
Freqüência relativa, ou simplesmente freqüência é a relação entre o
número de vezes que o acontecimento ocorreu e o número de vezes que ele
poderia ter ocorrido, podendo ser expressa em %. Assim, no exemplo anterior, a
freqüência do "duque" é 8/30, ou 26,7 %.
Probabilidade de um acontecimento é definida como a relação entre o
número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Assim, se
designarmos por p o número de modos possíveis com que um dado evento pode
ocorrer e q o número de modos do evento deixar de ocorrer, as probabilidades P
de sucesso e Q de falha são dadas, respectivamente, por
P=
p
p+q
e
Q=
q
.
p+q
Definida deste modo a soma das probabilidades de todos os eventos
possíveis deve ser igual à unidade, portanto, o valor da probabilidade nunca
pode exceder a unidade; que é para ser interpretada como “certeza”. Nos casos
das probabilidades P e Q, que envolvem dois tipos de eventos (“sucesso” e
“falha”), P + Q = 1.
Como exemplos, a probabilidade de ocorrer um duque num único
lançamento de um dado com 6 faces é 1/ 6 e a de não ocorrer o duque é 5/6; a
de acertar uma dada dezena na Mega Sena é 1/60 e a de não acertar 59/60.
Em ambos os exemplos, a soma das probabilidades é 1.
Embora a probabilidade de ocorrer um duque seja 1/6, isso não implica
que em 30 lançamentos ocorram 5 duques (30 x 1/6). Na verdade, pode ocorrer
qualquer número entre 0 e 30, porque quando o número de lançamentos é
pequeno não há uma relação clara entre freqüência e probabilidade. No entanto,
quando o número de lançamentos cresce indefinidamente, o número de
"duques" tenderá a aproximar-se do previsto pela probabilidade. Daí a lei de
Jacques Bernouille: quando o número de experiências tende a infinito, a
freqüência tende à probabilidade. Esta lei, chamada de "Lei dos Grandes
Números", vale para acontecimentos aleatórios em que uma dada ocorrência
independe inteiramente da anterior.
11 – Representação gráfica de medidas como uma distribuição
Suponhamos que um dado comprimento é medido 51 vezes, obtendo-se
os seguintes valores, em mm:
4,008 4,025 4,033 4,039 4,044 4,049 4,051 4,057 4,062 4,065
4,068 4,078 4,087
4,018 4,027 4,033 4,039 4,044 4,049 4,053 4,058 4,063 4,066
4,070 4,081 4,090
4,019 4,027 4,038 4,039 4,047 4,050 4,054 4,058 4,064 4,067
4,073 4,081 4,104
4,023 4,031 4,039 4,043 4,048 4,051 4,054 4,059 4,065 4,067
4,076 4,086
Um modo de obter-se uma distribuição dessas medidas é representá-las
graficamente num histograma. O histograma é um gráfico onde no eixo das
abscissas são marcados intervalos de medidas e no eixo das ordenadas as
freqüências com que as medidas ocorrem em cada intervalo.
Para construirmos um histograma com os dados acima, vamos inicialmente
classificá-los em intervalos, como mostrado na Tabela 1.
Tabela 1
Intervalo (mm)
Freqüência absoluta
Freqüência relativa, %
4,005 a 4,014
1
2,0
4,015 a 4,024
3
5,9
4,025 a 4,034
6
11,8
4,045 a 4,054
8
15,7
4,055 a 4,064
10
19,6
4,065 a 4,074
7
13,7
4,075 a 4,084
8
15,7
4,085 a 4,094
4
7,8
4,085 a 4,094
3
5,9
4,095 a 4,104
1
2,0
No topo da tabela estão indicados os intervalos, com largura de 0,01 mm,
centrados nos pontos 4,01 mm, 4,02 mm, etc. Nas linhas que se seguem, estão
indicadas as freqüências absolutas e relativas das medidas em cada intervalo.
Na Fig. 2 os retângulos representam o histograma construído com os dados
da Tabela 1, com os intervalos centrados nos pontos 4,01, 4,02, etc. Nele
podemos observar que as medidas estão espalhadas em torno dum valor central
e que a distribuição mostra uma razoável simetria em torno deste valor com as
freqüências diminuindo à medida que os intervalos se afastam do ponto central.
10
f(x)
8
6
4
2
0
4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 x(mm)
Figura 2
Se fizermos uma outra série de 51 medidas, é muito provável que o
histograma construído com elas não coincida com o anterior. Em outras
palavras, as freqüências de medidas por intervalo nesta segunda série poderão
diferir daquelas da primeira, significando que a distribuição das freqüências da
série está sujeita ao que se denomina de flutuação estatística. Se repetirmos o
processo com 5.000 medidas, verificaremos que as flutuações serão bem
menores. Então, podemos concluir que quando o número de medidas crescer
indefinidamente e os intervalos forem permanentemente reduzidos, o histograma
tenderá a uma curva contínua. Essa curva é denominada curva de distribuição
normal ou curva de Gauss e se essa curva possuir uma representação analítica,
esta função é denominada função densidade de probabilidade normal ou função
de Gauss.
12 - A Função de Gauss
Na seção anterior, vimos que quando o número de observações é
suficientemente grande, pode-se tomar a freqüência de ocorrência das medidas
pela probabilidade delas ocorrerem.
Se para um grande número de medidas construirmos um gráfico no qual
as abscissas sejam os desvios x — as diferenças entre os valores medidos e o
valor médio das medidas — e as ordenadas sejam as freqüências com que
esses desvios ocorrem, obtemos uma curva do tipo mostrado na Fig. 2. Ela é
denominada curva normal ou curva de Gauss. Sua expressão analítica, chamada
de função densidade de probabilidade normal, ou, simplesmente, função de
Gauss é
f ( x) =
h
π
e− h
2 2
x
.
(13)
O gráfico de f ( x ) contra x é mostrado na Fig. 3. A curva obtida é do tipo
mostrado na Fig. 2; ela é simétrica em relação a um valor central máximo e
tende assintoticamente a zero.
f(x)
−σ
0
x1 x2
Figura 3
+σ
x
f(x)
h grande
h médio
h pequeno
x
0
Figura 4
O valor da ordenada na origem é dado por f (0) = h
π . Vê-se, então,
que quanto maior for o número de medidas igual ao valor médio, maior será h.
Na Fig. (4), as três distribuições têm a mesma área sob as curvas, mas
diferentes valores de h. Um valor grande de h significa uma alta precisão das
medidas e a curva é estreita. Inversamente, um h pequeno indica medidas de
baixa precisão e a curva é achatada. Por isso, Gauss denominou h de índice de
precisão.
13- Medidas de dispersão
Tendo-se chegado à expressão do v.m.p. de uma série de medidas, a
segunda questão proposta na Seção 1 é encontrar o erro que se está
cometendo, ou seja, a dispersão a que está sujeita o v.m.p. É necessário, pois,
definir-se grandezas que possam ser avaliadas numericamente e que
representem as propriedades de interesse visualizadas no gráfico. Em particular,
desejamos uma grandeza que tenha relação com a largura da curva de Gauss,
já que ela é uma indicação da precisão das medidas. A seguir, veremos algumas
dessas grandezas.
Desvio quadrático médio.
De acordo com a Eq. (2), U 0 é a soma dos quadrados dos desvios em relação à
média, ou seja,
U0 =
∑
i
( Xi - X ) 2
i = 1, 2,..., n .
(14)
Define-se como desvio quadrático médio, dqm, o valor médio de U 0 , ou
seja
U0
.
n
dqm =
(15)
Como já vimos, U0 representa o valor mínimo para a soma dos quadrados dos
desvios. Já a raiz do dqm dá uma indicação de como uma particular série de n
valores desvia de seu v.m.p.
Raiz do desvio quadrático médio. Vimos que o desvio quadrático médio,
dqm, representa o valor mínimo para a média aritmética dos quadrados dos
desvios. Podemos, então, utilizar a raiz do desvio quadrático médio, s′ , como um
desvio para a grandeza. A expressão para s′ , é:
s′ =
∑
i
di
2
n
=
∑
i
( X i − X )2
n
i = 1, 2,..., n .
(16)
Uma expressão alternativa, conveniente para uso de calculadora, é obtida
substituindo-se na Eq. (16), o somatório ∑ i di 2 pela expressão da Eq. (9).
Fazendo-se a substituição, vem:
s′ =
∑
2
i
Xi − n X 2
n
i = 1, 2,..., n
(17)
Infelizmente, apesar de s′ ter uma grande importância teórica, ele não tem
uma maior significância como desvio, porque ele indica apenas como uma
particular série de n valores desviam de seu v.m.p.. Não se sabe, porém, se ele
sistematicamente depende ou não do número de medidas na série. Ademais,
uma nova de série n medidas geralmente não produz nem um v.m.p. idêntico ao
primeiro, nem uma mesma série de desvios, devido às flutuações estatísticas.
Raiz do erro quadrático médio. Uma grandeza mais significativa para a
medida da dispersão, devido a sua conexão direta com a função de Gauss, é a
raiz do erro quadrático médio, σ (letra grega, lê-se sigma). O erro quadrático
médio, eqm, é definido como a média aritmética dos quadrados dos erros de
todos os elementos da população. Ele representa, portanto, o dqm de uma
medida individual em torno da média da população, ou seja, do valor verdadeiro.
O quadrado σ 2 é também denominado variância.
A relação de σ com os parâmetros da função de Gauss é
1
σ=
,
h 2
(18)
ou seja, σ é inversamente proporcional ao índice de precisão h. Ele é, então,
uma indicação da precisão da medida .
Desvio padrão. Vimos que, apesar da valia de σ como medida de
dispersão do v.m.p., sua determinação é hipotética pela impossibilidade de
fazermos todas as medidas da população. O melhor que podemos fazer é tomar
uma série finita de medidas e, usando-a como uma amostra da população,
calcular a melhor estimativa para σ. Pode-se mostrar que, para uma série de n
medidas a melhor estimativa de σ é o desvio padrão s , dado pela expressão:
s=
∑d
i
∑ (X
2
i
n −1
i
=
i
− X )2
n −1
,
i = 1, 2,..., n .
Como na Eq. (17), a expressão de s mais conveniente para
(19)
uso de
calculadora é
s=
∑
2
i
Xi − n X 2
n −1
,
i = 1, 2,..., n .
(20)
Entre s′ e s, a diferença numérica é geralmente pequena, mas a distinção
é importante conceitualmente. O fato de s ser maior do que s′ é esperado, pois
se viu que este é obtido com a soma dos quadrados dos desvios em torno da
média da amostra, a qual mostramos ter um valor mínimo. Desde que a média
da população geralmente não coincide com a da amostra, a soma dos
quadrados dos desvios de uma amostra finita em torno da média da população
não é um mínimo. Também, é interessante notar que o aparecimento do fator n –
1 deve-se ao fato de haver apenas n – 1 desvios funcionalmente independentes,
já que existe a relação de condição segundo a qual a soma dos quadrados dos
desvios é um mínimo. Ademais, quando n =1 o conceito de desvio perde o
significado.
14 – Algarismos significativos
Ao medir o comprimento do objeto da figura abaixo, usando uma régua
milimetrada, é possível, neste caso, apresentar esta medida com no máximo três
algarismos, ou seja, 29,4mm. Neste resultado os dois primeiros algarismos, o 2 e
o 9, temos certeza, enquanto que o algarismo 4 já é duvidoso. Associar a esta
medida um quarto algarismo, é errado, uma vez que este é desconhecido para a
régua milimetrada.
0
1
2
3
4
5
6
Fig. 5
Toda medida contém geralmente uma margem de erro e, por isso, o
resultado da medida deve ser escrito com um número de algarismos
significativos tal que procure representar a precisão obtida para a medida. O
último algarismo registrado é o duvidoso, porque ele é o algarismo sujeito as
incertezas. O algarismo duvidoso representa o último algarismo significativo do
valor da medida e é da ordem de grandeza do desvio avaliado da medida, como
será visto adiante.
São ditos significativos todos os algarismos além do primeiro não nulo.
Assim, o número 35 tem dois algarismos significativos; o número 3,50 tem três; o
número 0,047 tem dois; o número 2,8 x 104 tem dois (somente os algarismos em
frente à potência de 10 são significativos).
Pelo menos um algarismo duvidoso é incluído no resultado de uma
medida, mesmo que ele seja zero. Os dígitos excedentes são arredondados,
usando-se os seguintes critérios: se o primeiro dígito desprezado for de 0 a 4 o
anterior não será alterado; se for de 5 a 9 o anterior é acrescido de uma unidade.
A média aritmética (o vmp ) deverá ser escrita com um significativo a mais
que as medidas (isto se justifica já que a média é mais exata que as medidas
individuais
e
para,
nas
operações
matemáticas,
reduzirmos
os
erros
sistemáticos, dando, assim, maior segurança ao resultado). O desvio padrão
deve ser escrito com dois significativos e definirá o número de significativos do
resultado, exemplos 1 e 2.
Nas situações em que não se obtém flutuação alguma, seja porque as
medidas experimentais são todas iguais, seja porque se faz apenas uma medida
direta, deve-se, portanto, avaliar-se o desvio da medida.
Nas operações com algarismos significativos, onde não se tem uma
medida de dispersão para as grandezas envolvidas ( desvio padrão ou desvio
avaliado ), deve-se para, preservar a precisão do resultado final, usar-se as
seguintes regras:
Regra 1: Na multiplicação e divisão, o resultado final deve ser escrito com
um número de significativos igual ao do fator com menor número de
significativos. Exemplos:
3,7 × 4,384 = 16 ;
0,632 ÷ 0,20 = 3,2 ;
4,4 × 6242 = 2,9 × 10 4 .
Regra 2: Em operações envolvendo inverso de números e multiplicação por
fatores constantes, o número de significativos deve ser preservado no resultado.
Exemplos;
1
= 0,00403 ;
248
Regra 3:
2 × 6,23 = 12,5 ;
4 π × 13,5= 170 .
Na soma e subtração, o resultado final terá um número de
decimais igual ao da parcela com menos decimais. Exemplos:
3,4 + 0,256 – 2,22 = 1,4; 34 + 2,92 – 0,5 = 36;
0,831 – 6,26 × 10-3 – 0,79 = 0,03 .
________________________________________________________________
Exemplo 1– O diâmetro D de uma esfera de aço é medido 6 vezes com um
micrômetro, obtendo-se os seguintes valores :
D (mm) = 6,458; 6,450; 6,463; 6,454; 6,457; 6,451.
Calcule o v.m.p. D do diâmetro, o desvio padrão sD e o desvio padrão relativo SD
.
Solução:
Σ D 38,733
=
= 6,4555 mm .
n
6
Valor mais provável :
D =
Desvio padrão : sD =
Σ Di 2 − n D 2
=
6 −1
, × 10− 4
1175
= ± 0,004848 mm .
5
sD = ± 0,0048 mm.
sD
4,848 × 10 −3
100 =
×100 = 7,51 × 10 − 2 %
Desvio relativo: SD =
6,4555
D
Note que os desvios foram escritos com dois significativos, que é a regra a
ser usada em nossos trabalhos. Coerentemente, o v.m.p. deve ser escrito com
dois algarismos duvidosos. O número de significativos para expressar o v.m.p. é
definido pelo desvio padrão. Neste caso, D deve ser escrito como 6,4555 mm e
seus dois últimos algarismos (55) são duvidosos. Caso o desvio padrão fosse
± 0,048 mm, D deveria ser escrito como 6,456 mm e os duvidosos seriam 56.
________________________________________________________________
Exemplo 2- Para a série das 51 medidas apresentadas na Seção 11, calcule o
valor mais provável e o desvio padrão.
Solução:
Utilizando as Eqs. (05) e (17), obtemos para o valor mais provável v.m.p, o
desvio padrão s:
v.m.p.= 4,0540 cm; s = ± 0,0216 cm. s = ± 0,022 cm,
Coerentemente, o vmp = 4,054 cm.
15 – Nível de confiança com o desvio padrão
Definida a medida de dispersão (consideramos o desvio padrão), a
terceira questão posta na Seção 1 é como se associar uma chance de
reprodutibilidade a um intervalo de variação definido para a medida, mantidas as
condições de medição. Em outras palavras, definir um intervalo [ X ± α s ], onde
α é uma constante a ser definida pela lei de distribuição de tal modo que uma
nova medida X tenha uma dada chance de jazer neste intervalo.
Usando a Eq. (13), substituindo X pelo erro e o valor de σ dado pela
Eq. (18), a expressão resultante permite calcular a probabilidade de uma medida
jazer num dado intervalo. Assim, a probabilidade P( X 1 , X 2 ) de uma medida jazer
no intervalo [ X 1 , X 2 ] é:
X2
P( X 1 , X 2 )=
∫
X1
1
σ 2π
e
−
( X −μ)2
2σ 2
dx .
(21)
Para o intervalo [µ -σ, µ + σ], a integral da Eq. (21) vale 0,6826. Isso
significa que se deve esperar que 68,26 % das medidas jazam neste intervalo.
Temos, assim, para σ um significado qualitativo (indicação da precisão da
medida), um geométrico (± σ são os pontos de inflexão da curva de Gauss) e um
quantitativo (68,26 % das medidas jazem no intervalo [μ ± σ ].
Para os intervalos [μ ± 2σ] e [μ ± 3σ] as probabilidades são,
respectivamente, 0,9545 e 0,9973. Isto significa que se deve esperar que 95,45
% das medidas jazam no intervalo [μ ± 2σ] e 99,73 %, praticamente todas as
medidas, jazam no intervalo [μ ± 3σ].A probabilidade definida pela Eq. (21),
expressa em %, denomina-se nível de confiança, n.c. Assim, diz-se que o n.c.
para o intervalo [μ ± σ] é 68,26 %.
O problema é que não se conhece nem μ nem σ . O que se conhece são
suas aproximações X e s . A função densidade de probabilidade é gaussiana
para X , mas não é para s. Então, não se deve esperar que probabilidades para
intervalos definidos por s sejam as mesmas para os intervalos definidos por σ.
Quando o número de medidas é suficientemente grande (digamos, maior
que 20) podemos tomar σ por s sem muito erro e, neste caso, os níveis de
confiança são obtidos através da Eq. (21). A Tabela 2 dá os níveis de confiança
para os intervalos [ X ± α s] para n > 20 , ou seja, dá os valores de α pelo
qual se deve multiplicar s para se ter um intervalo com um dado n.c.
Quando n < 20, as probabilidades não podem ser obtidas através da Eq.
(21), já que não é mais possível substituir σ por s . Os valores para α, neste
caso, são obtidos através de uma outra distribuição devida a Student. A Tabela 3
apresenta esses valores de α em função do número de medidas n e para os
níveis de confiança de 60 %, 90 % e 95 %. Por exemplo, para n = 5, o
intervalo com um n.c. de 95 % é dado por [ X ± 2,776 s ].
Tabela 2
Valores de α para n > 20
Nível de confiança n.c. ( % )
α
50,00
0,670
60,00
0,842
68,26
1,000
90,00
1,645
95,00
1,960
95,45
2,000
99,73
3,000
Tabela 3
Valores de α para n ≤ 20
Nível de confiança, n.c. (%)
n
60%
90%
95%
2
1,376
6,314
12,706
3
1,061
2,920
4,306
4
0,978
2,353
3,182
5
0,941
2,132
2,776
6
0,920
2,015
2,571
7
0,906
1,943
2,447
8
0,896
1,895
2,365
9
0,889
1,860
2,306
10
0,883
1,833
2,262
15
0,868
1,761
2,145
20
0,861
1,729
2,093
16 – Rejeição de dados
Algumas vezes numa série de medidas ocorrerem valores que diferem
bastante do conjunto. A questão que se coloca é se esses valores
aparentemente anômalos devem ser rejeitados.
Em casos onde se sabe ter havido perturbações físicas durante a
medição (queda de tensão, trompaço na mesa, etc.), as medidas devem ser
rejeitadas, ainda que elas pareçam concordar com as outras. Em outras
situações, onde não se tem conhecimento de perturbações, a rejeição duma
medida é uma questão polêmica. Contudo, um critério comumente usado é
rejeitar-se as medidas cujos desvios em relação ao v.m.p. sejam maiores que
três vezes o desvio padrão. A justificativa para esse critério pode ser deduzida
das Tabelas 2 e 3, onde se constata que, para cinco ou mais medidas, todas
elas praticamente jazem no intervalo [ X ± 3s], sendo praticamente zero a
probabilidade de uma medida jazer fora deste intervalo.
Uma vez eliminada a medida anômala, novo v.m.p. e novo desvio padrão
devem ser calculados com as medidas restantes.
Exemplo 3 - Expresse a medida do diâmetro do Exemplo 1 (pg.19) com um n.c.
de 95 % em termos do desvio padrão.
Solução:
Em termos do desvio padrão, o intervalo é dado por D = D ± α s . Para n = 6
e um n.c. = 95 % , a Tabela 3 dá para o fator α , α= 2,571. Portanto, o
produto
α s é 2,571× 0,004848
= ± 0,01246 mm. A medida será, então,
expressa como
D = 6,456 ± 0,012 mm .
Este intervalo significa que uma nova medida, feita nas mesmas condições que
as anteriores, tem uma chance de 95 % de ter seu valor no intervalo acima, ou
seja, entre 6,444 mm e 6,468 mm.
PARTE 3
17 – Propagação de erros
Até aqui tratamos com medidas diretas. Trataremos, agora, da quarta
questão posta na Seção 1, qual seja, como tratar as medidas indiretas, ou seja,
aquelas calculadas através de expressões matemáticas envolvendo grandezas
medidas diretamente.
Suponhamos que uma grandeza R é calculada a partir das grandezas
medidas X e Y através duma expressão matemática R = R ( X ,Y ). Então, R tem
um erro como resultado dos erros das grandezas medidas X e Y . (Esses erros
devem ser compatíveis, ou seja, se, por exemplo, um representa um desvio
padrão, os outros devem ser também desvios-padrão.) A relação entre o erro de
R e os de X e Y é determinado pelo cálculo diferencial. Há duas situações
limites. Numa delas — a mais comum — o erro de X não tem qualquer relação
com o de Y e, neste caso, eles são ditos ser independentes. Por exemplo,
suponhamos que a velocidade de um objeto é determinada medindo-se o tempo
de percurso e a distância percorrida. Não há razão para supor-se que se o
tempo for muito grande a distância será também muito grande. Noutras
situações, os erros são relacionados e estes são ditos ser dependentes.
Trataremos, agora, dos erros relacionados às medidas indiretas, ou seja,
aquelas calculadas através de expressões matemáticas envolvendo grandezas
medidas diretamente. Suponhamos que uma grandeza R é calculada a partir das
grandezas medidas X e Y através duma expressão matemática R = R ( X ,Y ).
Nos experimentos realizados aqui no laboratório, as grandezas medidas são
independentes, ou seja, o erro de uma não varia com a outra grandeza medida.
Valor mais provável de uma medida indireta
Considerando uma função R = R ( X ,Y ) o valor médio da função é obtido
substituindo o valor mais provável das grandezas medidas diretamente na
relação matemática que expressa a grandeza indireta ou seja:
R = R( X , Y )
onde X e Y são os valores médios das grandezas medidas diretamente.
18 – Fórmulas especiais para propagação de erros independentes
Quando os erros são independentes, os coeficientes de correlação entre
as grandezas X e Y são nulos, assim, para duas grandezas X e Y temos:
2
2
⎛ ∂ R ⎞ 2 ⎛∂ R⎞ 2
⎟⎟ s X + ⎜⎜
⎟⎟ sY ,
s R = ⎜⎜
⎝∂ X ⎠
⎝∂ Y ⎠
onde as derivadas são tomadas nos pontos X = X
(22)
e Y = Y . Vamos agora
obter expressões para algumas funções que aparecem com mais freqüência em
trabalhos de laboratório.
Produto de fatores elevados a diferentes potências.
Seja R = A X p Y q , onde p e q são valores reais conhecidos e A é uma
constante ou número. As derivadas parciais de R nos pontos X e Y , são
∂R
= A p X p −1 Y q
∂X
∂R
= A q X p Y q −1 ,
∂Y
;
as quais, substituídas na Eq. (42) resulta em
s R = ( Ap X
p −1
2
Y q )2 s X + ( Aq X p Y q −1 )2 sY
2
(23)
Uma expressão mais conveniente para o cálculo de sR , neste caso, é
obtida dividindo-se a Eq. (44) pelo v.m.p. de R , ou seja, por R = A X p Y
q
.O
resultado é
2
sR = R
⎛s ⎞
⎛s ⎞
p ⎜ X ⎟ + q2 ⎜ Y ⎟
⎝ X ⎠
⎝Y ⎠
2
2
,
(24)
Vê-se que quanto maior for o valor absoluto do expoente da grandeza mais
potencialmente ela contribuirá para o desvio de R .
Nos casos particulares de produto ou quociente simples ( R =A X ⋅ Y , ou
R =A X ÷ Y ), onde p = ± 1 e q = ± 1, a Eq. (45) reduz-se a
2
sR = R
⎛ sX ⎞
⎛s ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ Y⎟
⎝ X⎠
⎝Y ⎠
2
(25)
Soma ou diferença.
Seja R = b X ± cY
, onde b e c são constantes reais . As derivadas
parciais de R são
∂R
=b
∂ X
∂R
= ±c
∂ Y
e
Portanto, pela Eq. (46), tem-se
sR =
b2 sX + c2 sY
2
2
, ou sR =
sX + sY
2
2
se
b = c =1.
(26)
Exemplo 4- A massa m da esfera do Exemplo 1 foi medida seis vezes, obtendose para m e sm
os valores:
m = 1,100 g e sm = ±0,012 g. Calcule (a) a
densidade da esfera e (b) expresse o resultado com um n.c. de 95 % em termos
do desvio padrão.
Solução:
(a) O v.m.p. ρ da densidade da esfera é ( D será tomado em cm )
ρ =
,
6m
6 × 1100
3
3 =
3 = 7 ,80916 g cm ;
πD
π × 0,64555
o desvio padrão da medida da densidade sρ é calculado através da Eq. (24)
2
sρ = ρ
2
⎛s ⎞
⎛s ⎞
3 ⎜ D ⎟ + ⎜ m ⎟ = 7,80916
⎝m⎠
⎝ D⎠
2
5,08 × 10− 6 + 119
, × 10− 4 = ± 0,08699 g cm 3
Os resultados para ρ são, portanto, ρ = 7 , 809 g cm 3 e sρ = ± 0, 087 g cm 3 ( sρ foi
escrito com dois significativos e observe a coerência nas escritas dele e de ρ ).
Verifique que, pelo valor das duas parcelas dentro da raiz, a medida da massa
contribuiu mais para o desvio de ρ , apesar de D estar elevado ao cubo e,
portanto, ter seu desvio multiplicado por três.
(b) Como são seis medidas de D e de m, n = 6; para um n.c. = 95 % a Tabela
3 nos dá α = 2,571. Então, αsρ = ±0,08699 × 2,571 = ±0,2237 g/cm3. Portanto,
para o n.c. de 95 % , ρ é expresso como
ρ = 7,81 ± 0,22 g cm 3
Observe que ajustamos novamente o valor de ρ para manter a coerência
na escrita de ρ e αsρ .
CAPITULO 2
ROTEIROS DE LABORATÓRIO
SEÇÃO 1
INSTRUMENTOS DE MEDIDA E MEDIDAS FÍSICAS
I - OBJETIVO
Operar com algarismos significativos, definir o limite do erro instrumental
para instrumentos de medição, definir o desvio avaliado para medidas feitas com
vários instrumentos e realizar medidas físicas.
II - PARTE TEÓRICA
1 – Sensibilidade de um instrumento
A sensibilidade de um instrumento corresponde à menor divisão de sua
escala e para alguns tipos de instrumentos ela é fornecida pelo fabricante. Numa
régua milimetrada a sensibilidade é 1 mm; num micrômetro 0,01 mm.
2 – Limite do erro experimental
O limite do erro instrumental (l.e.i.) dum instrumento de medição com
escala de leitura contínua (réguas, micrômetro, medidores com ponteiro) é
definido como a menor
fração da menor divisão da escala que pode ser
estimada visualmente. Um olho humano normal é capaz de distinguir dois pontos
distantes de 0,1 mm numa distância de 25 cm (distância normal de leitura).
Então, para instrumentos com a largura das divisões menores da escala da
ordem de 1mm pode-se tomar com segurança o l.e.i. como ± 0,2 unidades
dessas divisões. Por exemplo, pode-se tomar o l.e.i. duma régua milimetrada de
boa qualidade como ± 0,2 mm. Todavia, a depender da qualidade da escala e da
regularidade das divisões, este valor pode chegar a ± 0,5 mm (réguas de
plástico) e mesmo a ± 1mm (trenas e escalas de pedreiro); para um micrômetro,
cuja menor divisão da escala é 0,01 mm, o l.e.i. é ± 0,002 mm; para um
amperímetro com menor divisão da escala de 0,1 mA, o l.e.i. pode ser ± 0,02
mA a ± 0,05 mA a depender da qualidade da escala, se esta é espelhada, se a
leitura é feita com lupa, etc. (para essa estimativa admite-se que o amperímetro
tenha capacidade suficiente para responder a variações da ordem de 0,02 mA ou
0,05 mA, o que não decorre da menor divisão da escala, mas da capacidade de
resposta do instrumento, a qual é fornecida pelo fabricante. Se a sensibilidade do
amperímetro for , por exemplo, 0,1 mA , o correto é tomar-se o l.e.i. como
± 0,1mA). Para larguras maiores, o operador deve estabelecer um l.e.i. com
apenas um algarismo significativo tal que lhe dê segurança que o valor da
medida jaz no intervalo por este definido.
Nos instrumentos com escala de leitura descontínua (escala com vernier,
cronômetros mecânicos),o l.e.i. é estabelecido pelo fabricante e normalmente
corresponde à menor medida possível de ser feita no instrumento. Assim, em
instrumentos dotados de vernier, o l.e.i. é a própria natureza do instrumento.
Para um cronômetro mecânico que marca em intervalos de 0,1 s toma-se o l.e.i.
igual a este valor. Em medidores digitais o l.e.i. é, geralmente, a metade do
último dígito mostrado no visor.
3 – Desvio avaliado
Quando se vai realizar uma medida, a primeira providência do operador é
definir o desvio avaliado ( sa ) associado à medida a ser feita, para assim
conhecer a posição do algarismo duvidoso. Por exemplo, se o desvio avaliado
para medidas feitas com uma régua milimetrada for de ± 0,5 mm os valores
deverão conter a casa dos décimos de milímetro, sendo, então, dos tipos 30,5
mm , 46,58 cm , 4,00 cm; se para medidas com uma balança o desvio avaliado
é ± 0,1 g, os valores serão do tipo 4,5 g , 23,8 g , 200,0 g .
A definição do desvio avaliado deve levar em conta o l.e.i. do instrumento
de medida utilizado, o objeto a ser medido, o processo de medida e, em alguns
casos, as condições ambientais. Seu valor é nunca menor do que o do l.e.i. do
instrumento de medida, podendo ser igual a este se as condições de medida
forem favoráveis. Por exemplo, se a medida a ser feita é a da largura de um
objeto que tem arestas bem definidas e a régua pode encostar-se ao objeto,
pode-se tomar o desvio avaliado igual ao l.e.i. da régua. Entretanto, se o objeto
possuir contornos abaulados, o correto é tomar-se o desvio avaliado maior que o
l.e.i. Igualmente, se a corrente elétrica que está sendo medida oscila, deve-se
avaliar a amplitude de oscilação para definir o desvio avaliado, o qual será maior
que o l.e.i.
O desvio avaliado deve ser usado como desvio da medida nos casos de se fazer
poucas medidas (até três), quando as medidas repetidas têm o mesmo valor, ou
quando o desvio padrão calculado para uma série de medidas for menor que ele.
(Sobre o desvio padrão, veja a Seção 13, capítulo 1).
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 1.1 - RÉGUA MILIMETRADA
A régua milimetrada de aço, plástico ou madeira, é geralmente utilizada
para medir comprimento não muito pequenos e quando a precisão desejada para
a medida não é muito alta. Neste tipo de régua o l.e.i. fica entre ± 0,2 mm para
réguas de boa qualidade e ± 0,5 mm para réguas mais ordinárias. É conveniente
usar-se diferentes trechos da régua na repetição das medidas de modo a reduzir
os efeitos de diferenças na marcação da escala e tornar, assim, as medidas
mais independentes.
No caso de escalas de pedreiro e trenas de pano, o l.e.i. pode chegar a
± 1 mm ou mais.
1.1.1. – Procedimento experimental – Medidas com réguas
1. Dispõe-se de réguas com três tipos de sensibilidade: decimetrada (D),
centimetrada (C) e milimetrada (M). Defina o l.e.i. para cada uma delas.
2. Será fornecido um objeto para ser medido com as três réguas. Para cada
régua, na ordem D, C e M, defina o desvio avaliado para as medidas, faça
duas medidas do objeto utilizando diferentes trechos da régua, calcule seu
valor médio e o desvio relativo.
3. Verifique qual a régua que apresentou a medida do objeto com melhor
precisão e explique os critérios utilizados em sua avaliação.
4. Discuta a relação entre a sensibilidade das réguas e o número de
algarismos significativos das medidas. O que você sugere para melhorar a
precisão da medida do objeto? Justifique suas respostas.
EXPERIMENTO 1.2 – PAQUÍMETRO
O paquímetro é um instrumento de leitura descontínua para medidas de
pequenos comprimentos. É caracterizado por possuir uma escala especial,
conhecida como nônio ou vernier, que se move ao longo da escala principal e
que permite a leitura precisa de frações da menor divisão desta escala.
O paquímetro mostrado na Fig.1.1 é um tipo familiar de escala milimetrada. Ele
possui duas bases, sendo uma fixa e solidária com a escala principal e outra
móvel onde se encontra o vernier. Quando o paquímetro está fechado, o zero do
vernier coincide com o zero da escala. Quando se desloca o cursor, a distância
entre as bases — o comprimento a ser medido — é a indicada pelo zero do
vernier na escala principal. As bases possuem encostos onde se apóia o objeto a
ser medido (medidas externas). Comumente os paquímetros — como o
mostrado na figura — possuem também duas orelhas, uma fixa e outra móvel,
para medir diâmetros internos e uma haste para medir profundidade de
cavidades.
Medida interna
Parafuso de fixação
Medida de profundidade
0
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Haste
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vernier
Medida externa
Impulsor
Escala principal
Figura 1.1
O nônio ou vernier (Pierre Vernier, 1580-1637) é um dispositivo que
permite uma leitura precisa da parte fracional da menor divisão duma escala. Ele
consiste de uma escala móvel que desliza paralelamente à escala do
instrumento ( escala principal ). Seu comprimento corresponde a um número n
de divisões da escala principal e é dividido em m partes iguais. Define-se por
natureza do nônio ( N ), a diferença entre a k-ésima divisão da escala principal
imediatamente posterior a primeira divisão do nônio e esta, isto é:
N = ka – b,
onde a é a amplitude da menor divisão da escala principal e b é a amplitude da
menor divisão da escala do nônio. Neste caso a.n = b.m, então podemos
escrever:
N = a(km – n)/m.
A Fig. 1.2.a mostra um nônio (escala inferior) onde k = 1, a = 1mm,n = 9
e m = 10, neste caso sua natureza é N = 0,1mm. N = a(km – n)/m. A Fig. 1.2b
mostra um nônio onde k = 2, a = 1mm,n = 39 e m = 20, neste caso sua natureza
é N = 0,05mm.
0
10
5
5
0
10
Figura 1.2a
0
0
1
1
2
2
3
4
5
3
6
7
4
8
9
10
Figura 1.2.b
Na Fig.1.3 o vernier da figura 1.2a foi movido para a direita e seu "0" caiu entre
as marcas de 67 e 68 mm da escala principal. Note que a divisão 7 do
vernier foi a que melhor coincidiu com uma marca da escala principal (a marca
74mm).
70
Vernier
0
80
75
5
10
Fig. 1.3
Há, então, uma diferença de 0,1 mm entre a divisão 6 do vernier e a
marca 73 mm; de
0,2 mm
entre a divisão 5 e a marca 72 mm e assim
sucessivamente, até a diferença de 0,7 mm entre o zero do vernier e a marca 67
mm. A posição do zero indica, portanto, 67,7 mm.
No vernier da Fig. 1.4 o zero do vernier da figura 1.2b está entre as
marcas de 143 e 144 mm da escala principal e a marca 5,5 do vernier é a que
melhor coincide com uma marca da escala principal (a 154). A posição do zero
indica, portanto, 143,55 mm (se fosse a divisão 6 a coincidir, a leitura seria
143,60 mm ).
160
150
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Vernier
Fig. 1.4
Existem diferentes tipos de vernier adaptados a diferentes instrumentos.
Há o vernier linear, como os das Figs. 1.2a e 1.2b, adaptado a escalas lineares
para leitura de comprimentos como nos paquímetros e há o vernier circular,
adaptado a escalas circulares para leitura de ângulos como nos goniômetros.
O paquímetro é um instrumento de leitura descontínua e o intervalo de
medida é dado pela natureza do vernier. Assim, para um paquímetro de natureza
de 0,05 mm as leituras são do tipo 13,00 mm, 13,05 mm, 13,10 mm, etc. O l.e.i.
para o paquímetro é igual à natureza do vernier. Por exemplo, para um
paquímetro de natureza de 0,05 mm o l.e.i. é ± 0,05 mm.
1.2.1- PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL - MEDIDAS COM PAQUÍMETRO
1. Inicialmente, examine seu paquímetro, identifique sua natureza e defina seu
l.e.i.
2. Na leitura da medida note que a marca da escala principal anterior ao zero do
vernier indica o número inteiro de milímetros da medida e a marca do vernier que
melhor coincidir com uma marca da escala indica a fração dos milímetros.
3. Antes de efetuar medições, limpe as superfícies dos encostos e as faces da
peça. O contato dos encostos com a peça deve ser suave. Exageros na pressão
no impulsor pode danificar a peça e resultar medidas falsas.
4. Concluídas as medidas, feche o paquímetro e guarde-o na capa plástica.
EXPERIMENTO 1.3 – MICRÔMETRO
Fig. 1.5
O micrômetro, Fig. 1.5, é um instrumento de alta sensibilidade constituído
basicamente de um parafuso micrométrico capaz de mover-se num corpo
cilíndrico ao longo do próprio eixo. O passo do parafuso é 0,5 mm, o que
significa que, em cada volta completo, o parafuso avança ou recua de 0,5 mm
em extensão.
Para medir as voltas completas do parafuso há uma escala fixa no corpo
cilíndrico (S) e paralela ao eixo do parafuso e dividida a cada 0,5 mm com os
traços da divisão alternando-se acima e abaixo da linha central. Solidário ao
parafuso, há um tambor circular (T) dividido em 50 partes e, como a cada volta o
parafuso avança 0,5 mm, a cada divisão do tambor o parafuso avança 0,01 mm.
O micrômetro permite estimar milésimos de milímetro (micros) e o
algarismo duvidoso é lido entre as divisões do tambor. Leituras com micrômetro
são, portanto, do tipo 4,352 mm; 12,400 mm; 5,4328 cm. O l.e.i. para o
micrômetro é ± 0,002 mm.
O micrômetro deve ser manuseado com delicadeza. O objeto a ser
medido deve ser fixado entre suas mandíbulas A e R usando-se apenas o
parafuso de fricção ou catraca (H) existente na extremidade do tambor. Quando
o micrômetro está fechado o zero do tambor num instrumento calibrado deve
coincidir com o zero da escala fixa.
1.3.1- PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL - MEDIDAS COM MICRÔMETRO
1. Limpe as superfícies das mandíbulas e da peça a ser medida. Feche,
então, o micrômetro girando suavemente o tambor — para girar o tambor
utilize apenas a catraca, pois ela está devidamente regulada para dar a
pressão devida — e verifique se ele está calibrado. Caso não esteja, cada
medida deverá ser subtraída algebricamente do valor lido.
2. Dê uma rotação completa no tambor e identifique o passo do parafuso
micrométrico e a sensibilidade do micrômetro. Então, verifique a sensibilidade do
instrumento e defina o l.e.i.
3. Coloque a peça entre as mandíbulas e gire o tambor utilizando apenas a
catraca até que as mandíbulas encostem-se à peça.
4. Os inteiros de milímetros da medida são indicados pela última marca superior
que aparece na escala do corpo cilíndrico. Caso a última marca a aparecer seja
a inferior, o valor indicado pela última marca superior deve ser somado de 0,500
mm (veja Fig.1.6, no centro).
5. A leitura da fração de milímetros é feita no tambor estimando-se o algarismo
correspondente a milésimos de milímetro (micro). Observe os exemplos
mostrados na Fig. 1.6.
6. Concluídas as medidas, feche o micrômetro suavemente e guarde-o no
estojo.
Fig. 1.6
BALANÇA DE TRIPLO TRAVESSÃO
0
1
2
3
100
0
1
2
3
4
5
200
4
5
6
7
300
6
8
400
7
8
9
500
9
10g
Fig. 1.7
A balança de triplo travessão, Fig.1.7, é muito usada quando se deseja
fazer pesagens rápidas de massas relativamente grandes. A carga máxima das
balanças deste tipo, usadas comumente em laboratórios, é de 1.100 g sem o
auxílio de contra-pesos e de 2.110 g quando se penduram os contra-pesos C na
extremidade do travessão E. A sensibilidade da balança depende da carga: ela é
de 0,1 g para cargas leves e vai até 0,5 g para cargas de 2.000 g. O l.e.i. para
este tipo de balança é ± 0,2 g. A pesagem faz-se com o auxílio da tara central P
(100 g , 200 g , .., 500 g), da tara Q (10 g, 20 g, 100 g) e do ajuste contínuo R
que corre numa escala de 0 a 10 g com divisões de 0,1 g .
SEÇÃO 2
ESTUDO DE DISTRIBUIÇÕES ALEATÓRIAS
I - OBJETIVO
Estudar o modelo estatístico de distribuição das pintas produzidas pelos
impactos sucessivos no solo de uma esfera lançada através de uma calha sob
as mesmas condições.
II - PARTE TEÓRICA.
O espalhamento ou dispersão das pintas produzidas num papel colocado
no solo pelos impactos de uma esfera de aço solta várias vezes de uma mesma
posição de uma calha e sob as mesmas condições, é um excelente exemplo de
flutuações aleatórias devidas a um grande número de perturbações afetando o
sistema. Neste experimento será feito um estudo quantitativo da dispersão
longitudinal das pintas produzidas sobre um papel quadriculado por um
determinado número de impactos sob as mesmas condições.
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 2.1 - ESTUDO DE UMA DISTRIBUIÇÃO ALEATÓRIA
2.1.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Com a calha montada na borda da mesa, solte a esfera de aço de um
determinado ponto da calha e observe o ponto onde ela atinge o solo. Neste
ponto, ponha centrado o papel milimetrado com esta face para cima e sua
dimensão maior na direção da trajetória da esfera, sobreposto ao papel-carbono
com a face carbonada para cima. Fixe os papeis no solo com pesos e fita crepe
para que eles não se movam com o impacto da esfera.
2. Agora, solte a esfera o número n de vezes determinado pelo professor,
sempre do mesmo ponto da calha. É essencial que as condições permaneçam
imutáveis durante os lançamentos. Após cada impacto marque com um ponto o
centro da pinta marcada no papel, atentando para os casos de pintas muito
próximas ou superpostas.
3. Feitos os n lançamentos, remova cuidadosamente o papel e ponha-o sobre a
mesa. Para analisar a dispersão longitudinal da série de pintas, considere o eixox na direção da trajetória da esfera, trace uma linha-base perpendicular a esta
direção — por conveniência, antes da primeira pinta (veja Fig. 2.1). Meça e
anote as coordenadas Xi (i = 1, 2, . . . , n ) dos centros das n pintas em relação à
linha-base.
4. Calcule o v.m.p. X e o desvio padrão sX da série de valores Xi e anote seus
resultados.
5. Calcule e anote o número teórico de pintas em cada intervalo previsto pela lei
da distribuição normal. (Estes números podem ser obtidos com o auxílio da
tabela abaixo, onde P representa a probabilidade de as pintas jazerem no
intervalo X ± α s.)
Tabela 2.1
P
0,500
0,600
0,683
0,955
0,997
α
0,670
0,842
1,000
2,000
3,000
6.Verifique se os números experimentais de pintas são compatíveis com os
previstos pela lei da distribuição normal e discuta seus resultados.
No próprio papel milimetrado, construa o histograma da distribuição de pintas
usando as freqüências absolutas e tomando um intervalo adequado para X.
Desenhe a curva envoltória do histograma obtido e compare-a com a curva de
Gauss.
SEÇÃO 3
MÁQUINAS SIMPLES
I - OBJETIVO
Determinar parâmetros que avaliem vantagens mecânicas e eficiência de
máquinas simples.
II - PARTE TEÓRICA
Uma máquina simples é qualquer dispositivo mecânico simples pelo qual
o módulo, direção ou método de aplicação de uma força é mudado de modo a
obter-se alguma vantagem prática. Elas são encontradas em muitas atividades
em escritórios, oficinas e fábricas, sempre para ajudar as pessoas a realizarem
determinadas tarefas. Exemplos de máquinas simples são a alavanca, o plano
inclinado e a roldana.
Na medida que as máquinas movem objetos através de alguma distância
pela aplicação de uma força, elas podem também ser definidas como
dispositivos que ajudam as pessoas a produzir trabalho. Uma máquina, todavia,
não multiplica trabalho. O trabalho realizado por uma máquina é nunca maior do
que o trabalho fornecido a ela. Pelo princípio da conservação da energia, o
trabalho fornecido a uma máquina é igual ao trabalho realizado por ela mais o
trabalho despendido com o atrito.
Desde que máquinas são usadas para exercer uma grande força pela
aplicação de uma força menor, uma máquina pode ser vista como tendo uma
vantagem de força ou vantagem mecânica. Para uma dada força resistente, a
quantidade de força aplicada dependerá do tipo da máquina e da quantidade de
atrito presente.
Se uma máquina simples eleva um peso W através de uma altura h pela
aplicação de uma força F a qual é movida através de uma distância d, na
ausência de perdas por atrito o trabalho realizado W⋅ h é igual ao trabalho
fornecido F⋅ d. Havendo atrito, tem-se W⋅ h ≠ F⋅ d e, portanto, W / F ≠ d / h .
Os parâmetros que se seguem são alguns dos utilizados na avaliação
mecânica de uma máquina simples.
Vantagem Mecânica Ideal , VMI, é a relação entre o deslocamento d
realizado pela força F s e o conseqüente deslocamento vertical h produzido na
carga W . Então;
VMI =
d
h
(3.1)
Vantagem Mecânica Real , VMR , é a relação entre o módulo W da carga e o
módulo F, da força necessária para elevar a carga numa velocidade constante.
Então,
W
(3.2)
VMR =
FS
Como a relação d / h não é influenciada pelo atrito, VMI representa a vantagem
mecânica sob condições ideais, ou seja, onde o atrito estaria ausente. Como o
atrito está sempre presente tem-se VMI > VMR .
Eficiência ou rendimento, η (letra grega, pronuncia-se eta), duma máquina é a
relação entre o trabalho realizado pela carga W e o trabalho fornecido pela força
F, ou seja;
Wh
VMR
η=
=
(3.3)
Fs d
VMI
Relação Entre Velocidades, Rv, é a relação entre a velocidade vF do
ponto de aplicação da força Fs e a velocidade vw da carga. Assumindo-se que
essas velocidades são pequenas de modo a poder-se considerá-las como
uniforme e como os tempos de deslocamento de Fs e W são iguais, tem-se;
R v=
vF d / t d
=
= = VMI
vw h / t h
(3.4)
Vê-se que, numa máquina, multiplica-se força em detrimento de velocidade e
vice-versa.
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 3.1 - PLANO INCLINADO
Vários tipos de plano inclinado são usados, mas o mais comum deles
consiste de uma superfície lisa, articulada em sua base e suportada por uma
barra de modo a permitir variar a inclinação do plano ( Fig. 3.1 ).
Fig. 3.1
3.1.1- PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Monte o plano inclinado e meça o ângulo de inclinação θ. Ajuste o carro no
trilho do plano e até o porta-peso através de um fio passando pela roldana.
2. Produza um deslocamento d no porta-peso,
meça
o conseqüente
deslocamento vertical h produzido na carga W e calcule VMI usando a Eq. (3.1).
3. Coloque um peso no carro e considere a carga W como este peso mais o
peso do carro. Adicione pesos no portas-peso e, dando leves toques no plano,
determine a força F s (incluindo o peso do portas-peso) necessária para o carro
subir o plano com velocidade constante. Calcule VMR usando a Eq. (3.2)
4. Calcule a eficiência η.
EXPERIMENTO 3.2 - ROLDANA
As roldanas podem ser utilizadas como fixas ( têm apenas movimento de
rotação em torno de seu eixo) e como móveis (têm movimento de rotação em
torno de seu eixo e de translação). A Fig. 3.2ª e 3.2b mostra alguns sistemas
constituídos de uma ou mais roldanas.
sistema 2
sistema 1
F
F
Fig. 3.2a
sistema 4
sistema 3
F
F
Fig. 3.2b
Nos sistemas 2, 3 e 4, o peso P que se deseja levantar é pendurado numa
roldana móvel, a qual tem um peso próprio Q, e este peso pode ou não ser
considerado como carga útil. Na Eq. (3.3), se a carga W é apenas o peso P o
rendimento assim calculado é denominado rendimento verdadeiro (ηv); se a
carga W
inclui o peso da roldana, isto é, W = P + Q, o rendimento é dito
rendimento falso (η).
Perdas devido ao peso da parte móvel, pp. O rendimento falso seria
válido se a roldana fosse carga útil, o que não é correto. Definem-se, então, as
perdas devido ao peso próprio da parte móvel como,
pp = η – ηv
(3.5)
Perdas devido ao atrito, pa. Existe atrito principalmente no eixo da polia e
isto é causa de perdas. Como o rendimento duma máquina simples é sempre
menor que 100 %, o que faltar para este valor é devido a perdas por atrito.
Temos, então, ηv + pa + pp = 1, donde se conclui que
pa = 1 – η
(3.6)
3.2.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTRAL
1. Monte o sistema de roldana desejado e ponha um porta-pesos na ponta do fio
indicada por F. Pendure um peso P na outra ponta do fio e ponha pesos no
porta-pesos para que o sistema permaneça estático.
2. Para determinar a VMI, produza um deslocamento d no porta-pesos e meça
o deslocamento vertical h produzido no peso P. Para isso, ponha o sistema
porta-pesos e peso P numa dada posição e meça as alturas d1 e h1 do pesos e
do peso P, respectivamente, em relação a um referencial qualquer. Em seguida,
com o sistema deslocado para uma outra posição, meça as alturas d2 e h2
relativas ao mesmo referencial. Têm-se, então, os deslocamentos d = d2 – d1 e
h = h2 – h1. Calcule VMI usando a Eq. (3.1).
3. Para determinar a VMR, estando o sistema estático, anote o peso P e o peso
da roldana móvel, caso ela exista. A carga W será o peso P caso não haja
roldana móvel e P mais o peso da roldana de sustentação, caso esta seja móvel.
Agora, adicione pesos no porta-pesos e, dando nele leves toques, determine a
força FS
(incluindo o peso do porta-pesos) para a qual a carga sobe com
velocidade constante. Calcule VMR usando a Eq. (3.2).
4. Calcule as eficiências ηv , η e as perdas pp e pa.
SEÇÃO 4
ANÁLISE GRÁFICA DE DADOS EXPERIMENTAIS
I - OBJETIVO
Construir gráficos lineares, logarítmicos e semilogarítmicos; obter
equações empíricas utilizando métodos gráficos; comprovar leis físicas utilizando
métodos gráficos.
II - PARTE TEÓRICA
Com a análise gráfica busca-se um modo rápido e conveniente de
visualizar e interpretar
relações existentes entre dados experimentais de
grandezas relacionadas. De um gráfico, portanto, espera-se que ele possa ser
fácil e rapidamente interpretado e que forneça o maior número possível de
informações ( veja apêndice II ).
4.1 - INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO
A interpolação consiste em obter-se informações sobre pontos intermediários
às medidas realizadas. Trata-se de um
processo relativamente seguro e a
precisão das medidas interpoladas são equivalentes as daquelas obtidas nas
medidas.
Com a extrapolação procura-se obter informações sobre pontos fora do trecho
das medidas realizadas. Este processo envolve algum risco, já que ele implica
assumir-se como as grandezas se comportam fora do trecho medido. A precisão
da medida extrapolada pode, também, ser mais precária, devido à incerteza na
extensão da curva sem haver pontos de referência do lado a ser extrapolado.
4.2 - DETERMINAÇÃO GRÁFICA DOS PARÂMETROS DA FUNÇÃO LINEAR
O gráfico de uma função linear é uma
reta. Logo, quando os dados
experimentais de duas grandezas x e y são locados num papel linear e o gráfico
resultante é uma reta, o fenômeno estudado é regido por uma lei cuja expressão
analítica é:
y = A x + B,
(4.1)
Onde o parâmetro A representa o coeficiente angular da reta e o
parâmetro B o coeficiente linear, definido como o ponto de interseção da reta
com o eixo da ordenada em x = 0.
Resolvendo a Eq. (4.1) para os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) , obtém-se para o
coeficiente angular A ,
A=
y2 − y1
,
x2 − x1
(4.2)
onde os pares ( x1 , y1 ) e ( x2 , y2 ) são pontos tomados no gráfico.
O coeficiente angular não deve ser confundido com a tangente
trigonométrica do ângulo formado no gráfico pela reta com o eixo das abscissas.
A tangente trigonométrica é um número puro por ser uma relação entre dois
comprimentos e não possui sentido físico, desde que o ângulo muda quando
se modificam as escalas. Já o coeficiente angular, como definido pela Eq. (4.2),
independe das escalas adotadas e pode representar uma grandeza dimensional
se as variáveis x e y representarem grandezas diferentes. Por exemplo, num
gráfico de espaço contra o tempo, o coeficiente angular tem a dimensão de
velocidade.
O parâmetro B é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo x
= 0 e pode ser lido diretamente no gráfico. No caso de a reta não interceptar o
eixo x = 0 nos limites do gráfico, B pode ser calculado através da Eq. (4.1)
usando-se um par de pontos tirado do gráfico e o valor de A obtido pela Eq.
(4.2). Na Fig. 4.2 (a) a reta 1 tem A negativo e o valor de B pode ser lido
diretamente; a reta 2 tem A positivo e o valor de B tem que ser calculado, pois a
interseção cai fora dos limites do gráfico.
Tendo-se as coordenadas xi , yi duma reta, os parâmetros A e B podem
ser calculados de modo mais preciso, inclusive com seus desvios padrões,
utilizando-se o método de ajuste pelos mínimos quadrados (sobre este
método, ver a apostila Teoria de Erros, Seção 23, página 20). Esse método exige
uma calculadora e deve ser usado sempre que possível, inclusive para fornecer
os dados para se traçar a melhor reta ajustada aos pontos experimentais.
4.3 - LINEARIZAÇÃO DE CURVAS
Um modo conveniente de obter-se os parâmetros de funções não lineares
é através da linearização de curvas. A razão de procurar-se transformar gráficos
não lineares em lineares é que a reta permite maior facilidade em seu traçado
e maior precisão na determinação de seus parâmetros. Os tipos das funções que
mais comumente expressam as leis físicas são os de potência e os
exponenciais. Os gráficos de algumas dessas funções estão ilustrados na Fig.
4.1.
Para esses tipos de função, dois métodos são comumente usados para
linearização: o da
anamorfose
e o logarítmico. Há, ainda, o método das
diferenças tabulares que se aplica a funções mais complexas. (Sobre este
método veja Meiners, Harry F., et alli . Laboratory Physics. John Wiley, 1972.)
y
y
y = Ax+B
y = kx
2
n
y
y = kxn
1
n>1
A<0
n<0
A>0
0
x
x
(a) Linear
y
(b) Potência
x
(c) Potência
y
y = kxn
c>0
cx
y = ke
0<n<1
c<0
x
(d) Potência
x
(e) Exponencial
Fig. 4.1
4.3.1- LINEARIZAÇÃO PELO MÉTODO DA ANAMORFOSE
O método de linearização por anamorfose é utilizado quando se conhece
a priori o tipo da função que relaciona as grandezas envolvidas, ou quando se
pode especular sobre esse tipo. Ele consiste em se fazer uma mudança de
variável de modo a transformar uma função não linear numa função linear. Por
exemplo, se duas grandezas z e t são relacionadas por uma função do tipo z = α
t n, pode-se dizer que z varia diretamente com t n. Se n é conhecido e se se faz t
n
≡ , o gráfico de z contra u resultará numa linha reta de equação z = α u, cujo
coeficiente angular α (o parâmetro da função z = α t n ) é dado por
α=
z2 − z1
u 2 − u1 .
(4.3)
Numa outra situação, admita que há razões para supor-se que duas
grandezas T e m obedeçam a uma relação funcional do tipo T= k m. A partir
desta hipótese, tenta-se a linearização fazendo-se o gráfico de T contra
o resultado é
m . Se
uma reta, isto significa que a hipótese é correta e, então, a
constante k pode ser determinada através da Eq. (4.3).
4.3.2 - LINEARIZAÇÃO PELO MÉTODO LOGARÍTMICO
Este método aplica-se a funções de potência e exponenciais e consiste
em tomar-se o logaritmo de ambos os membros da função que se deseja
linearizar e construir-se o gráfico da expressão resultante.
FUNÇÃO DE POTÊNCIA
Sejam duas grandezas x e y que se relacionam por uma função de
potência do tipo
y =k xn.
(4.4)
Se se aplica o logaritmo decimal a ambos os membros desta equação, o
resultado é a expressão:
log y = log k + n log x.
Portanto, o gráfico de log y contra log x
(4.5)
resultará numa reta, de equação
idêntica à Eq. (4.1) (se se muda y por log y e x por log x), cujo coeficiente
angular n é dado por
n=
log y2 − log y1
,
log x2 − log x1
(4.6)
onde as coordenadas dos pontos (log x1 , log y1) e (log x2 ,log y2 ) são lidas
diretamente no gráfico. O coeficiente linear da reta é log k e o valor de k, pela
própria definição de logaritmo, é dado por k = 10log k.
Cabe, aqui, uma consideração sobre o valor de n obtido pela Eq. (4.6). Na
maioria das equações que expressam fenômenos físicos os expoentes são, ou
frações simples, ou números inteiros, tais como 2, 1/2, -2, -3/4, 1, etc. Então, o
valor calculado de n deve ser aproximado, dentro do erro experimental, para
inteiro ou relação entre inteiros. Por exemplo, 0,493 ≈ 1/ 2; - 0,991 ≈ - 1; 1,49 ≈
3/ 2; - 2,01 ≈ -2; 0,334 ≈ 1/ 3 ; - 1,486 ≈ - 3/2.
GRÁFICO LOGARÍTMO EM PAPEL DE GRÁFICO log-log
O gráfico de uma função logarítmica do tipo da Eq. (4.5) é comumente
construído em papel log-log. No papel log-log as escalas são logarítmicas
decimais ao invés de linear e o papel pode conter uma ou mais décadas em
cada eixo. Como cada década corresponde a uma ordem de grandeza, a
escolha do papel é feita em função das faixas de variação das variáveis. Um tipo
comum desse papel é o log-log (2x3 décadas); ele permite variações de duas
ordens de grandeza no eixo das ordenadas e três no eixo das abscissas.
O gráfico logarítmico da Eq. (4.5) neste tipo de papel é feito locando-se y contra
x. Para se calcular o coeficiente angular n, lê-se no gráfico as coordenadas (x1 ,
y1 ) e (x 2 , y 2 ) de um par de pontos, em seguida obtém-se os logaritmos dessas
coordenadas (log x1, log y1, log x2 e log y2) para serem utilizados na Eq. (4.6). O
valor de k é a ordenada da interseção da reta com o eixo x = 1 e pode ser lido
diretamente no gráfico. No caso de a interseção não se dar nos limites do papel
de gráfico, pode-se obter k pela Eq. (4.4) usando-se um par de valores tirado do
gráfico e o valor de calculado de n sem arredondamento.
4.4 - ANÁLISE DE UMA EXPERIÊNCIA
Para investigar uma nova lei física dois métodos são comumente
utilizados: o método teórico e o método empírico. No método teórico, o
pesquisador parte de leis e equações bem estabelecidas, ou de certas hipóteses
razoáveis e, num procedimento passo a passo, combina essas leis e obtém
novas relações. Noutras palavras, novas leis são derivadas de leis estabelecidas
por um processo de razão lógica.
No método empírico, as conclusões são baseadas inteiramente em
resultados experimentais. Nesse método, todos os fatores exceto dois são
mantidos constantes; destes, um deles é variado arbitrariamente e a variação
resultante no outro é medida. A análise gráfica desses resultados permite obterse uma relação matemática precisa mostrando como um desses fatores
depende do outro. Essa relação matemática é denominada de equação
empírica.
A investigação experimental algumas vezes precede ao desenvolvimento
teórico. E para que uma nova lei seja aceita como parte da ciência ela precisa
ser testada experimentalmente e suas conclusões têm que ser mostradas
consistentes com os resultados experimentais.
Na investigação duma lei física temos, portanto, dois casos a considerar.
No primeiro, deseja-se comprovar a validade duma lei física estabelecida
teoricamente. No segundo, deseja-se estabelecer uma equação empírica
relacionando duas grandezas.
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 4.1 - COMPROVAÇÃO DUMA LEI FÍSICA
Quando a expressão teórica que exprime a lei física é conhecida, o
método da anamorfose discutido na Seção 4.4.1 é o mais indicado para verificar
a validade da lei. A verificação neste caso consiste em comprovar a relação
funcional e o valor da constante numérica. Seja, por exemplo, investigar a lei da
queda livre dos corpos h = (1/2) gt2. Nesta lei, h é proporcional a t 2 e, portanto, o
gráfico linear de h contra t 2 deve resultar numa reta — também o gráfico de h
contra
t
deve resultar numa reta. Os tempos t de queda dum objeto para
diferentes valores da altura h de queda são obtidos experimentalmente. Faz-se,
então, o gráfico linear de h contra t 2 e se esse gráfico resultar numa reta, isso
significa que a relação funcional é correta, ou seja, a dependência de h é com t 2 .
O coeficiente angular da reta encontrada é calculado pela Eq. (4.3) e se esse
valor for igual, dentro do erro experimental, à metade da aceleração local devida
à gravidade — ela deve ser conhecida — isto significa que a constante também
está correta e, portanto, a lei é válida.
4.1.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Dada a lei física a ser comprovada, verifique, primeiramente, que mudança
(ou mudanças) de variável deve ser feita para que a expressão resultante seja
linear. Por exemplo, se a lei é t = k/d 3, o gráfico de t contra 1/ d 3 — também o
de
3
t contra 1/d — deverá dar uma reta.
2. Então, meça as grandezas envolvidas (no exemplo anterior seriam t e d)
determinando um mínimo de cinco valores para a variável independente e
medindo os valores correspondentes da variável dependente. Construa uma
tabela com valores obtidos.
3. Construa uma nova tabela com as variáveis transformadas (no exemplo dado
a tabela seria com os valores de t e 1/d 3). Faça, então, um gráfico linear da
variável dependente versus a independente. Se o gráfico (no exemplo, t contra
1/d 3) resultar numa reta isto significa que o tipo da função é correta.
4. Calcule o coeficiente angular da reta obtida e compare este valor com o
parâmetro constante da lei. Se os dois valores coincidem dentro do erro
experimental a lei é válida. Por exemplo, se a lei é S = 4π r2 e se faz o gráfico
de S contra r2, o parâmetro constante é 4π — se o gráfico feito é de S contra r,
o parâmetro constante é 4 π — ; se a lei é T = 2π D g , no gráfico de T contra
D , o parâmetro constante é 2 π
g.
5. Dê sua conclusão sobre os resultados do experimento.
EXPERIMENTO 4.2 - OBTENÇÃO DUMA EQUAÇÃO EMPÍRICA
Quando a lei física não é conhecida e deseja-se estabelecer uma
equação empírica relacionando as grandezas investigadas, o método logarítmico
discutido na Seção 4.4.2 é o mais indicado. Seja, por exemplo, estabelecer a
equação empírica relacionando os dados experimentais do tempo t de queda
livre dum objeto medido para diferentes valores da altura h de queda. Com os
pares de valores (h, t) ,faz-se o gráfico linear de t versus h e compara-se a curva
obtida com as ilustradas na Fig.4.2 para identificar o tipo da relação funcional.
A comparação, neste caso, mostrará que a curva assemelha-se a do tipo (d), o
que sugere a hipótese de a relação funcional ser do tipo t = α h n , com 0 < n <
1. Sendo a função do tipo potência, pode-se usar o método logarítmico discutido
no Item 1 da Seção 4.4.2, construindo-se o gráfico log-log de t versus h. Se o
gráfico der uma reta, isto significa que a hipótese de a função ser do tipo
t = α h n é correta. O coeficiente angular n da reta obtida é o expoente n da
função e a interseção da reta com o eixo h = 1 é o parâmetro α da função.
4.2.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Meça as grandezas entre as quais se deseja obter uma equação empírica.
Para isso dê um mínimo de cinco valores diferentes para a variável independente
e meça os valores correspondentes da variável dependente. Construa uma
tabela com os valores obtidos.
2. Com os dados da tabela, construa um gráfico linear da variável dependente
contra a variável independente e compare a curva obtida com as ilustradas na
Fig.4.2 para identificar o tipo da função relacionando as duas grandezas.
3. Se o gráfico é uma reta (tipo a) a função é do tipo linear y = Ax + B e os
parâmetros A e B podem ser obtidos com os modos descritos na Seção 4.3.
4. Se o gráfico é do tipo (b), (c), ou (d), a função é do tipo de potência y = kxn.
Um modo de obter-se os parâmetros k e n é através da linearização da curva
usando o método logarítmico, conforme discutido na Seção 4.4.2.
5. Ainda no caso anterior de a função ser do tipo de potência, em alguns casos
pode-se especular sobre o valor de n. Então, se existe uma razão física para
atribuir-se um valor para n, pode-se utilizar o método da anamorfose (Seção
4.4.1) e fazer-se o gráfico de y versus xn. Se se obtiver uma reta, isto significa
que a hipótese sobre n é correta e k pode ser obtido pela Eq. (4.3).
6. Se o gráfico é do tipo (e) a função é do tipo exponencial y = k ecx e os
parâmetros k e c podem ser determinados usando-se o método de linearização
logarítmica discutido na Seção 4.3.
7. Dê sua conclusão sobre os resultados do experimento.
SEÇÃO 5
ELASTICIDADE E TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA NUMA MOLA
I - OBJETIVO
Determinar a constante elástica duma mola, investigar as transformações
de energia numa mola vibrante e estudar o comportamento inelástico duma mola
sob pequenas forças.
II - PARTE TEÓRICA
Quando uma carga é gradualmente aplicada na extremidade livre de uma mola
suspensa num suporte fixo, a mola distende-se até a tensão na mola justamente
para contrabalançar o peso da carga. Se a mola é do tipo elástica, ou seja, se
ela retorna a suas dimensões originais logo que a carga aplicada é removida,
verifica-se experimentalmente que, dentro de limites da carga, a distensão x
produzida na mola é proporcional à força F nela aplicada. Essa é a lei de Hook
para uma mola elástica, cuja expressão matemática é:
F = k x,
(5.1)
onde k é denominada a constante elástica da mola e é numericamente igual à
força requerida para produzir uma unidade de distensão.
A lei de Hook para a mola vale somente dentro de limites do valor da força
aplicada. Quando esta força ultrapassa o limite de elasticidade ou de tensão
da mola, esta é distendida além de seu limite elástico e não mais retornará a
suas dimensões originais. Esta deformação é denominada plástica. Quando a
força aplicada é muito pequena, em algumas molas a distensão varia com a
força de um modo não linear. Este é o caso de algumas molas espirais, onde,
na ausência de qualquer força aplicada, as espiras estão pressionadas umas
contra as outras devido a tensões iniciais da própria mola. Quando uma força
pequena é aplicada, a mola distende-se um pouco e a orientação de cada espira
varia bastante, produzindo na mola uma distensão anisotrópica.
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 5.1 - DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA
A Fig. 5.1 mostra uma mola espiral suspensa verticalmente por uma
P
Fig. 5.1
de suas extremidades num suporte movível e tendo na outra extremidade um
porta-pesos com um ponteiro. A força F é aplicada na mola através de pesos
aferidos colocados no porta-pesos e a distensão x é medida pela indicação do
ponteiro na escala milimetrada.
5.1.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Usando a montagem da Fig. 5.1, ponha uma massa inicial no porta - pesos
para relaxar alguma tensão inicial da mola. Então, mova o suporte verticalmente
para ajustar o ponteiro numa marca conveniente da escala. Essa marca servirá
como origem para se medir as distensões da mola para os pesos que forem
sendo postos no porta-pesos.
2. A partir daí, adicione sucessivamente pesos aferidos F no porta-peso, meça
as distensões correspondentes x na escala e construa uma tabela com os
valores medidos de F e x.
3. Com os valores F e x, construa o gráfico de x contra F — a variável
independente é locada no eixo das abscissas — e calcule a constante elástica k
da mola: ela é o inverso do coeficiente angular da reta obtida.
EXPERIMENTO 5.2 - TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA NUMA MOLA ESPIRAL
Quando uma massa é suspensa numa mola na vertical e solta, a mola
distende-se como conseqüência da transformação da energia potencial
gravitacional da massa que cai em energia potencial
elástica
da mola. Na
Fig.5.2, na posição x0 a mola está em equilíbrio com uma
P
P
P
Fig. 5.2
Massa m0 de relaxamento no porta-pesos. Uma massa m é, então, adicionada
ao porta-pesos e se permite a mola distender até uma posição x1, Se, agora,
solta-se o porta-pesos, a mola distender-se-á até uma posição máxima x2 — e
continuará a oscilar entre as posições extremas x1 e x2. Nessas condições, o
trabalho Wk realizado sobre a mola para distendê-la de x1 a x2 e a perda da
energia potencial gravitacional Wg da massa (m0 + m) são dadas pelas equações
1
(5.2)
W k = k [ (x2 - x0)2 – (x1 - x0)2 ] + k x0 (x2 – x1),
2
Wg = m g (x2 - x1) + m0 g (x2 – x1) .
(5.3)
A massa m0 corresponde à massa posta inicialmente, mais a massa do
porta-pesos, mais a contribuição da massa da própria mola. Pela Eq. (5.1), m0g
= kx0 e, então, as últimas parcelas das Eqs. (5.2) e (5.3) são iguais. Assim, para
efeito de verificação de conservação de energia, podemos tomar apenas as
primeiras parcelas dessas equações, ou seja,
W’ k =
1
k [ (x2 - x0)2 – (x1 - x0)2 ]; W’g = m g (x2 - x1)
2
5.2.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
(5.4)
1. Usando a montagem da Fig. 5.1, ponha uma massa inicial no porta-peso para
relaxar alguma tensão inicial da mola e registre a posição xo a que desce o portapesos (Fig. 5.2).
2. Agora, adicione uma massa m conhecida no porta-pesos sustentado na mão,
permita-o descer um pouco até a marca x1, solte-o deste ponto e, após algumas
tentativas, determine o valor x2 como o ponto mais baixo atingido pelo portapesos. Anote os valores de m, x1 e x2.
3. Com os valores medidos e o valor obtido para k, calcule Wk e Wg usando as
Eqs. (5.4). Utilize o sistema MKS ou CGS e o valor de g local.
4. Compare os valores de Wk e Wg e, dentro do erro experimental, discuta a
conservação de energia no experimento. Dê sua conclusão sobre os resultados
do experimento.
EXPERIMENTO 5.4 - ESTUDO DA OSCILAÇÃO DA MOLA
Se uma massa suspensa numa mola espiral é deslocada da posição de
equilíbrio e solta, o sistema massa mais mola executará movimento harmônico
simples com um período T dado pela equação,
T= 2π
M
,
k
(5.6)
onde M é a massa efetiva de oscilação do sistema massa mais mola e k é a
constante elástica da mola. Demonstra-se (veja Sears/Zemansky, Física, vol.1,
pg. 53) que a massa efetiva M é igual à massa da carga suspensa M0 mais um
terço da massa m da mola, ou seja, M = M0 + m/3. Contudo, a parcela m/3 é
normalmente muito menor do que M0, de modo que ela pode ser desprezada e a
massa suspensa ser considerada como a massa efetiva de oscilação.
5.4.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Com a mola suspensa verticalmente no suporte pendure nela uma massa M e
ponha o sistema para oscilar com amplitude não muito grande. O período T de
oscilação pode ser determinado como no Experimento 6.1 (pg. 23). Meça T para
um mínimo de cinco massas diferentes e tabele os valores obtidos de M e T.
Use o método gráfico da anamorfose (Seção 4.4.1) e determine k.
SEÇÃO 6
PÊNDULO SIMPLES
I - OBJETIVO
Utilizar um método experimental para estudar como o período de um
pêndulo depende de vários fatores; determinar o valor da aceleração g devida à
gravidade.
II - PARTE TEÓRICA
Movimento periódico é um tipo de movimento onde o mesmo percurso é
repetido
em
intervalos
iguais
de
tempo.
Se
este
percurso
repetido
periodicamente é do tipo vai-e-vem, o movimento é dito ser vibratório. O
percurso completo de vai-e-vem deste tipo de movimento é denominado
vibração e o tempo gasto em fazer uma vibração é chamado período. O
número de vibrações por unidade de tempo é a freqüência, o deslocamento a
partir do ponto central é a elongação e a elongação máxima é denominada
amplitude. Um tipo especial de movimento vibratório, em que a força
restauradora é proporcional à elongação da partícula vibrante e de sinal contrário
a essa elongação, é denominado movimento harmônico simples (m.h.s.).
O pêndulo simples é o exemplo mais conveniente de um sistema que
executa m.h.s. Idealmente, o pêndulo simples é definido como uma partícula
suspensa por um fio inextensível e sem peso. Na prática, ele consiste de
uma esfera de massa m suspensa por um fio cuja massa é desprezível em
relação à da esfera e cujo comprimento L é muito maior do que o raio da esfera.
A Fig. 6.1 mostra um pêndulo simples afastado de uma elongação θ da
vertical (posição de equilíbrio). As forças que atuam sobre a esfera são seu peso
r
r
m g e a tensão na corda F . Decompondo o peso ao longo do fio e da
perpendicular a ele, vemos na Fig. 6.1 que o componente tangencial mg senθ é
a força restauradora do movimento o oscilatório.
F
mg mg cosθ
mg senθ
Fig. 6.1
Ela não é proporcional à elongação θ, m²
harmônico simples.
senθ . Logo o movimento não é
Contudo, se o ângulo θ é pequeno o valor de senθ é
aproximadamente igual a θ (em radiano). Nestas condições, demonstra-se que
o período de oscilação do pêndulo simples é dado por,
T = 2π
L
,
g
(6.1)
onde T é o período de oscilação e L o comprimento do pêndulo.
Estritamente falando, a Eq.(6.1) é válida para um pêndulo que tem toda
sua massa concentrada na extremidade de sua suspensão e que oscile com
pequenas amplitudes. Na prática procura-se satisfazer essas condições usandose uma esfera pesada (aço, chumbo), de pequeno raio, suspensa por um fio o
mais leve possível e trabalhando com amplitudes não maiores que 5°.
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 6.1 - DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DO PÊNDULO
Um modo de determinar-se o período T de um pêndulo é medindo-se o
tempo t
de n oscilações e calculando-se
T e seu desvio
sT
usando as
equações
T=
t
n
(6.2) e sT =
st
,
n
(6.3)
onde st é o desvio avaliado para as medidas com o cronômetro. A vantagem
desse processo é que, além de simples, ele dilui por um tempo maior do que o
período os erros de percepção no disparo e parada do cronômetro e reduz o
desvio de T, já que este decresce quando n cresce.
Da expressão de sT pode-se concluir que o desvio relativo da medida de
T é tanto menor quanto maior for n .Então, o número n deve ser escolhido em
função da precisão que se deseje para a medida de T.
6.1.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Inicialmente, defina o desvio avaliado st para as medidas com o cronômetro e
anote-o.
2. Ponha o pêndulo para oscilar com pequena amplitude (não maior que 5°)
e meça com o cronômetro pelo menos duas vezes o tempo t de n oscilações
completas. Os valores medidos de t não devem diferir por mais que uma fração
de segundos. Anote seus resultados.
3. Calcule t ,a média de t
e, com as Eqs. (6.2) e (6.3), o período T e seu
desvio sT.
EXPERIMENTO 6.2- DEPENDÊNCIA DO PERÍODO COM A MASSA DO PÊNDULO
Vê-se pela Eq. (6.1) que o período independe da massa do pêndulo. Isso
pode ser verificado experimentalmente utilizando-se um pêndulo feito com uma
esfera perfurada onde se podem introduzir bastões de diferentes materiais de
modo a variar a massa do pêndulo.
6.2.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Usando o pêndulo sempre com o mesmo comprimento, determine o período
de oscilação (veja Experimento 6.1) para o pêndulo com diferentes valores da
massa. Para variar a massa do pêndulo use bastões com diferentes massas.
Anote seus resultados.
2. Compare os valores dos períodos obtidos e discuta se, dentro do erro
experimental, eles podem ser considerados iguais.
EXPERIMENTO 6.3 - DEPENDÊNCIA DO PERÍODO COM A AMPLITUDE DE
OSCILAÇÃO DO PÊNDULO.
Vimos anteriormente, que a força restauradora do pêndulo depende de
senθ . Isto significa que somente para valores pequenos de θ, quando se pode
fazer senθ ≈ θ, o período pode ser considerado independente da amplitude.
Quando a amplitude não é pequena a Eq. (6.1) deixa de ser exata. O período,
neste caso, pode ser calculado com a exatidão que se deseje tomando-se um
número suficiente de termos da série (veja Symon, Mechanics, pg. 208),
T = 2π
⎞
12
12 32
L ⎛
θ
2θ
⎜ 1 + 2 sen
+ 2 ⋅ 2 sen 4
+ ⋅ ⋅⋅⎟ .
2
2
2 4
2
g ⎝
⎠
(6.4)
Vê-se, pois, que o período depende de θ. Para θ = 5° o período real
dado pela Eq. (6.4) difere do valor aproximado dado pela Eq. (6.1) em 0,05 %.
Assim, na Eq. (6.4), podemos tomar o fator 2π L g como igual ao período
medido para θ < 5°.
6.3.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Mantendo constantes o comprimento e a massa do pêndulo, determine os
períodos de oscilação (veja Experimento 6.1) para θ < 5° , θ = 45° e θ = 60°.
Anote seus resultados. Para θ < 5° meça 20 oscilações pelo menos e para
grandes amplitudes meça 10 oscilações.
2. Calcule os períodos reais para as amplitudes θ = 45° e θ = 60° usando a
Eq. (6.4), fazendo nela 2π L g igual ao período para θ < 5°. Compare os
períodos medidos com os calculados e discuta seus resultados.
EXPERIMENTO 6.4 - DEPENDÊNCIA DO PERÍODO DE OSCILAÇÃO COM O
COMPRIMENTO DO PÊNDULO
A verificação da relação entre o período T e o comprimento L do pêndulo
pode ser feita através da linearização da Eq. (6.1) pelo método da anamorfose
para pares de valores T e L obtidos experimentalmente. Se o gráfico de T contra
L for uma reta e, também, se o coeficiente angular desta for igual , dentro do
erro experimental, a 2π/ g (supõe-se conhecido o valor de g local), a validade
da lei é verificada.
6.4.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1.
Monte o pêndulo com um comprimento L não menor que 40 cm, medido
com precisão do ponto de suspensão ao centro da esfera. Ponha o pêndulo
para oscilar com pequena amplitude e determine o período de oscilação pelo
método descrito no Experimento 6.1.
2.
Repita este procedimento para, pelo menos, seis valores de L, com
intervalos não menores que 15 cm e construa uma tabela com os pares de
valores medidos (L ,T).
3. Com os pares de valores (L ,T) use o método da anamorfose (Seção 4.4.1) e,
tomando para g o valor local, verifique a validade da Eq. (6.1). Dê sua
conclusão sobre a validade da lei.
EXPERIMENTO 6.5 - DETERMINAÇÃO DO VALOR DE g
A Eq. (6.1) permite determinar graficamente o valor de g local. Para isso
constrói-se o gráfico de T contra
L com pares de valores L e T obtidos
experimentalmente e a comparação do coeficiente angular da reta obtida com a
constante 2π / g da Eq. (6.1) permite calcular g.
6.5.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1.
Execute o Passo 1 e o Passo 2 do procedimento 6.4.1 acima.
Construa o gráfico de T contra
L , determine o coeficiente angular da reta
obtida, iguale-o à constante 2π / g da Eq. (6.1) e calcule g. Compare este valor
de g com o recomendado localmente e discuta seus resultados.
SEÇÃO 7
COLISÃO ELÁSTICA EM UMA E DUAS DIMENSÕES
I - OBJETIVO
Verificar as conservações de momento e energia cinética em colisões
elásticas em uma e duas dimensões.
II - PARTE TEÓRICA
Colisão é um evento isolado no qual forças relativamente grandes atuam
em cada uma das partículas que colidem durante um intervalo de tempo
relativamente curto. Quando dois corpos colidem exercem forças iguais e
opostos sobre cada um, fazendo com que o momento linear e a energia cinética
de cada corpo varie. Se a energia cinética total dos corpos que colidem se
conserva, ou seja, se ela é a mesma antes e após a colisão, esta é dita ser
perfeitamente elástica. O momento linear total é sempre conservado, quer a
colisão seja elástica ou não, desde que as forças nela envolvidas sejam apenas
forças internas, ou seja, aquelas forças devidas às interações resultantes da
colisão. Muitas das colisões envolvendo partículas atômicas são do tipo elástica.
Apesar de não serem perfeitamente elásticas, colisões com esferas de aço e de
vidro possuem um alto grau de elasticidade.
r
Quando duas esferas de massas m1 e m 2 , deslocando-se com velocidades u 1 e
r
u2 , respectivamente, colidem num plano horizontal e saem com velocidades
r
r
v 1 e v2 , se ambos, momento linear e energia cinética, são conservados, as leis
de conservação são escritas como :
r
r
r
r
m 1 u1 + m 2 u2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 , (momento linear)
1
1
1
1
m 1 u12 + m 2 u2 2 = m 1 v12 + m 2 v2 2 . (energia cinética),
2
2
2
2
(7.1)
(7.2)
Numa colisão frontal de esferas de massas iguais, estando uma delas em
repouso, as equações de conservação reduzem-se a
u1 = v1 + v2
(7.3)
u12 = v 12 + v 2 2
(7.4)
v2
m1
2i
Q
θ2
u1
R
θ1
m2
v1
Fig. 7.1
Numa colisão oblíqua as esferas incidente e alvo após colidirem saem
segundo os ângulos θ1 e θ2, respectivamente, com a direção original de m1
(Fig.7.1). Sendo o momento uma grandeza vetorial, sua conservação tem de ser
considerada em duas dimensões. Por simplicidade, escolhe-se a direção da
trajetória da esfera incidente como o eixo-x e a direção perpendicular a esta linha
como o eixo-y. Se considera m 2 em repouso antes da colisão, a lei de
conservação de momento ( Eq. (7.1)) requer que:
( Eixo-x )
m 1u1 = m 1 v1 cosθ 1 + m 2 v 2 cosθ 2 ,
(7.5)
( Eixo-y )
0 = m 1 v 1 sen θ 1 − m 2 v 2 sen θ 2 .
(7.6)
Desde que a energia cinética seja uma grandeza escalar e não um vetor,
a Eq. (7.4) aplica-se a qualquer tipo de colisão elástica onde a esfera alvo esteja
inicialmente em repouso, quando se considera a conservação de energia.
IV - DESCRIÇÃO DO APARELHO
O aparelho utilizado para realizar as colisões é o mostrado na Fig.7.2. Ele
consiste de uma calha inclinada, plana em sua parte mais baixa de modo a
projetar a esfera incidente horizontalmente quando ela deixa a calha e, assim,
realiza uma colisão num plano horizontal com a esfera alvo montada no suporte.
As posições iniciais das esferas incidentes e alvo correspondem às projeções
horizontais de seus centros de massa no momento justo da colisão e elas devem
ser tais que as esferas estejam fora da calha no momento da colisão. A posição
final de cada esfera é onde ela toca o solo pela primeira vez após o impacto. As
posições iniciais e finais são marcadas numa folha de registro com carbono
colocada no solo. O alcance de cada esfera é a distância de sua posição inicial a
sua posição final, medida na folha de registro.
Fig. 7.2
Neste
experimento,
as
velocidades
horizontais
das
esferas
constantes. Portanto, os alcances das esferas são proporcionais
são
a suas
velocidades no instante seguinte ao impacto. Se os tempos de queda forem os
mesmos para as duas esferas, as velocidades nas Eqs. (7.1) e (7.2) podem ser
substituídas pelos respectivos alcances já que a constante de proporcionalidade
é a mesma para todas as parcelas dessas equações. Para se conseguir os
tempos de queda iguais usam-se esferas de mesmo diâmetro e posicionadas
numa mesma altura para a colisão.
V - DETERMINAÇÃO DO PONTO MÉDIO DE IMPACTO
A posição final dos alcances das esferas é usualmente obtida realizandose vários lançamentos ou colisões e determinando-se o ponto médio das pintas
produzidas pelos impactos das esferas na folha de registro. Se as pintas estão
relativamente próximas umas das outras, o ponto médio da distribuição das
pintas pode ser determinado visualmente, levando-se em conta para isso a
ponderação das pintas na distribuição. Se as pintas estão muito dispersas e
também se deseja calcular o desvio padrão da medida, pode-se utilizar a teoria
de erros para calcular o valor mais provável e o desvio padrão da distribuição
das pintas.
Como exemplo desse cálculo, seja a distribuição mostrada na Fig. 7.3
decorrente de dez lançamentos. O ponto inicial do alcance é O e deseja-se
determinar o ponto médio X da distribuição das pintas para medir-se o alcance
OX e obter-se o desvio padrão da medida de
OX . Para isso, execute os
seguintes passos
z
x
0
Fig. 7.3
• Trace uma linha partindo de O e dividindo a distribuição ponderadamente.
Essa "divisão" pode ser feita visualmente, já que um pequeno desvio nela não
causará diferença significativa na medida do alcance.
• Num ponto Z arbitrário, trace uma perpendicular à linha traçada, meça a
distância do centro de cada pinta a esta perpendicular e calcule o v.m.p. e o
desvio padrão dessas distâncias.
• A partir da linha Z e na reta passando por O, marque o v.m.p. obtido e
determine o ponto X . O desvio padrão obtido é o desvio do alcance OX .
EXPERIMENTO 7.1 - COLISÃO ELÁSTICA EM UMA E DUAS DIMENSÕES
7.1.2 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Montado o aparelho, ajuste o suporte de modo que o centro do parafuso —
onde será colocada a esfera alvo — fique a uma distância da extremidade da
Colisão oblíqua de duas esferas de aço de mesmo raio.
m1
m2
Calha
Fig. 7.4
Para o arranjo da colisão ilustrada na Fig. 7.1, folgue o parafuso do
suporte e mova o parafuso para a esquerda de tal modo que a esfera m1,
quando solta do topo da calha, passe lateralmente por ele justamente sem tocálo e num afastamento tal que a esfera m1 esteja justamente fora da calha no
momento do impacto, como mostrado na Fig. 7.4. (Nas condições do arranjo,
isso corresponde a ajustar o centro do parafuso a uma distância de 25 mm da
extremidade da calha. Pode-se, também, fazer esse ajuste pondo-se a esfera m2
sobre o parafuso e, com a esfera m1 sustentada nos dedos, ajeita-se a posição
do suporte.) Feito o ajuste, marque no papel com o fio-de-prumo a nova
posição do parafuso e denote-a por Q (posição inicial da esfera alvo). Ponha a
esfera m2 sobre o parafuso, realize uma colisão soltando a esfera m1 do topo da
calha e nos pontos de impacto de cada uma das esferas, ponha sob a folha de
papel um papel carbono com a face carbonada para cima e fixe-as com pesos.
Agora, realize cinco colisões sucessivas sob as mesmas condições, assinale
com 1, 2, etc., as pintas dos impactos das esferas no papel, faça um círculo em
torno de cada grupo de pontos e denote o grupo da esfera incidente por D e o da
esfera alvo por E.
5. Colisão oblíqua com esferas e raios iguais e massas diferentes. O arranjo
para esta colisão é igual ao anterior, só que a esfera alvo de aço é substituída
por uma esfera de vidro de mesmo raio. A posição Q é a mesma anterior e, após
realizar as colisões, denote o grupo da esfera incidente por F e o da esfera alvo
por H. Agora, use a esfera de aço como alvo e a de vidro como incidente e
observe o que acontece.
6. Verificação das leis de conservação na colisão frontal. Concluído o Passo
3, transfira a folha de registro para a mesa. Então, loque no papel a posição
inicial do centro da esfera m1 e denote-a por C. (Para fazer isso, atente que o
ponto C jaz sobre a linha OA e que as duas esferas estão em contato no
momento do impacto.) Como os tempos de queda foram os mesmos em todos
os casos, os alcances CA e PB podem substituir as velocidades u1 e v2 ,
respectivamente, nas equações de conservação. (Qual o valor de v1?) Meça os
alcances CA e PB , anote seus valores e verifique as conservações de momento
e energia através das Eqs. (7.3) e (7.4). Mostre seus cálculos e discuta seus
resultados.
Verificação das leis de conservação na colisão obliqua. Concluído o Passo 4
r
ou 5, transfira a folha de registro para a mesa. Então, trace o vetor alcance QE ,
loque a posição inicial do centro da esfera m1 e denote-a por R. (Para locar o
ponto R, atente na Fig. 7.1 que m1 , após a colisão, foi projetada de R, que R jaz
na linha QE e que as esferas estão em contato no momento do choque.) Caso o
ponto R não jaza sobre a linha OA (normalmente ele jaz), trace por R uma linha
r
paralela a OA e projete o ponto A para esta linha. Trace o vetor alcance RD .
Como os tempos de queda foram os mesmos em todos os casos, os alcances
RA , RD e QE podem substituir as velocidades u1 , v1 e v2 , respectivamente,
nas equações de conservação. Meça com uma régua esses alcances, anote
seus valores e verifique a conservação da energia cinética através da Eq. (7.2).
Para verificar a conservação do momento é necessário decompor os vetores
alcances em dois eixos ortogonais, como discutido alhures. Para isso, trace no
papel dois eixos ortogonais tomando o ponto R como origem, a linha RA , como
eixo-x e a linha perpendicular a esta como eixo-y, meça com uma régua
r
ros
componentes RA x , RA y , RDx , RDy , QE x e QE y dos vetores alcances RA , RD e
QE segundo estes eixos, anote os valores e verifique a conservação do
momento através das Eqs. (7.5) e (7.6). Discuta seus resultados.
SEÇÃO 8
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E MOMENTO DE INÉRCIA
I - OBJETIVO
Estudar as conservações de energia e de torque para sistemas em
rotação e determinar experimentalmente o momento de inércia de um disco em
torno de seu eixo.
II - PARTE TEÓRICA
O aparelho mostrado na Fig. 8.1 provê um método experimental de
determinar-se o momento de inércia do disco girante, como também de fazer-se
a análise energética do sistema em rotação e avaliar-se os torques que atuam
neste sistema, quando o momento de inércia é conhecido. Ele consiste de um
disco de aço D e de um tambor de plástico T montados rigidamente num eixo
r
horizontal em torno do qual o conjunto pode girar. Um peso mg , suspenso na
extremidade de um fio que está enrolado no tambor, produz a força motora que
supre o torque necessário para girar o disco e, assim, fazer descer a massa m.
D
T
F
mg
Fig. 8.1
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 8.1 - ANÁLISE ENERGÉTICA DO SISTEMA
No aparelho mostrado na Fig. 8.1, quando a massa m desce de uma
altura h, a energia potencial que ela perde é transformada em energia cinética
associada a sua translação, em energia cinética associada à rotação do disco e
em energia dissipada por atrito no eixo do tambor. Inicialmente, a massa m está
em repouso numa altura h e o disco D está parado. Solta, a massa m cairá da
altura h num tempo t com aceleração constante a. Se no instante t em que a
massa m chega ao solo (h = 0) sua velocidade é v e a velocidade angular do
disco é ω , a lei de conservação de energia requer que as energias inicial e final,
Ei(t=0) = mgh e EF(t=t) = (½)mv2 + (½)Iω2 + Q , sejam iguais, ou seja :
1
1
mgh = mv 2 + I ω 2 + Q .
2
2
(8.1)
Nesta expressão, EP = mgh é a energia potencial da massa m na altura h;
EC = (1/2)mv2 é a energia cinética de translação da massa m ao tocar no solo;
ER = ½ I ω 2 é a energia cinética de rotação do disco quando m toca o solo, onde I
é o momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação; e Q é a energia
dissipada por atrito no eixo de rotação do tambor durante a queda de m. Se o
momento de inércia I é conhecido, o experimento possibilita determinar os quatro
termos da Eq. (8.1) e, assim, verificar a conservação da energia.
As velocidades v e ω podem ser determinadas a partir das medidas da
altura h e do tempo de queda t da massa m, através das relações
(a) h =
1 2
at ,
2
(b) v = a t
e
(c) v = ω r ,
(8.2)
Onde a é a aceleração da massa m e r é o raio do tambor (o fio é enrolado em
apenas uma camada). A determinação da energia dissipada Q baseia-se na
medida experimental da energia dissipada durante o giro livre do disco, ou seja,
entre o instante em que a massa m toca o solo até o instante em que o disco
pára totalmente de girar. No instante inicial do giro livre, a energia rotacional do
disco é ER e toda ela é dissipada por atrito no eixo do tambor durante o giro livre
do disco. Assim, chamando de p a potência média dissipada durante o tempo t´
do giro livre, pt’ é igual à energia rotacional do disco quando a massa m toca o
solo, ou seja
pt' =
1
Iω2
2
(8.3)
Supondo, agora, que a potência média dissipada durante o tempo t de descida
de m seja também igual a p, a energia dissipada nesta descida é Q = pt.. Então,
medindo-se t´, p pode ser calculado e Q determinado.
8.1.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Monte o aparelho conforme a Fig. 8.1 e enrole o fio no tambor em forma
bobinada e em apenas uma camada. Suspenda, então, uma massa
conhecida na extremidade livre do fio e solte-a de uma altura
m
h. Anote os
valores de m, h e r (raio do tambor). Meça o tempo t gasto pela massa m para
chegar ao solo e o tempo t´ de giro livre do disco. Repita este procedimento um
mínimo de cinco vezes, e com os valores de t e t' obtidos determine seus v.m.p.
e os respectivos desvios padrões.
Escreva as expressões dos termos de energia EP , EC , ER e Q em função
das grandezas medidas m , h , r, t e t ' e das conhecidas I e g (g = 9,7833
m/s2), usando as Eqs. (8.2) e (8.3). Feito isso, calcule cada uma dessas energias
e seus respectivos desvios padrões. (No cálculo desses desvios, examine os
desvios relativos das grandezas envolvidas e em seus cálculos considere
apenas a grandeza, ou grandezas, cujo desvio relativo tenha maior ordem de
grandeza.) Calcule a energia inicial do sistema Ei (t= 0), a energia final Ef (t= t ) e
verifique a conservação da energia expressa pela Eq. (8.1) à luz dos erros
experimentais. Discuta seus resultados.
SEÇÃO 9
EQUILÍBRIO ESTÁTICO DUMA BARRA RÍGIDA
I - OBJETIVO
Estudar as condições de equilíbrio de uma barra rígida sujeita a forças
verticais.
II - PARTE TEÓRICA
Se se aplica uma força num ponto de uma barra rígida apoiada, a barra
poderá ter a tendência a girar e a essa tendência de giro em torno dum eixo
denomina-se torque .
r
r
Define-se o torque τ produzido por uma força F em relação a uma origem O,
pelo produto vetorial
r
r
r
τ =r ×F,
(9.1)
z
0
τ
y
r
x
F
d
Fig. 9.1
r
r
onde r é o vetor posição do ponto de aplicação da força F , ambos contidos
r
no plano xy (Fig. 9.1). Definido desta forma, o vetor torque τ , de acordo com
r
as regras do produto vetorial, é perpendicular ao plano que contém O e F .
r
Assim, a linha de ação de τ representa o eixo em torno do qual o corpo tende a
r
girar quando fixo em O e sujeito à força F . Este eixo é denominado eixo de
r
torque. Na Fig. 9.1, τ coincide com o eixo-z e tem o sentido de + z.
O módulo do torque é dado por
τ = Fr sen θ,
τ = Fd ,
ou,
r
onde θ é o ângulo entre os vetores τ
(9.2)
r
F e
d = r sen θ é a distância
r
perpendicular de O à linha de ação de F , denominada braço de alavanca de
r
F em relação a O.
e
1. AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Uma barra rígida é dita estar em equilíbrio estático se ela não se move em
nenhuma forma — nem em translação, nem em rotação — no sistema de
referência em que observamos o corpo. Translação num corpo é causada por
uma força não balanceada, enquanto rotação é produzida por um torque não
balanceado. Daí as duas condições necessárias e suficientes para que um corpo
esteja em equilíbrio são:
• a soma vetorial de todas as forças externas que agem sobre o corpo deve ser
nula;
• a soma vetorial de todos os torques externos — em relação a qualquer eixo
de torque no espaço — que atuam sobre o corpo deve ser nula.
Essas condições são expressas pelas relações:
r
Σ F ext = 0
(9.3 )
r
Σ τ ext = 0
(9.4)
e
2. CENTRO DE GRAVIDADE
O centro de gravidade ou baricentro de um corpo é definido como o
ponto no qual uma única força aplicada
para cima pode contrabalançar a
atração gravitacional sobre todas as partes do corpo, qualquer que seja a
posição deste. O centro de gravidade seria, então, o ponto de aplicação da
resultante de todas as forças gravitacionais sobre o corpo. Ele pode também ser
definido como o ponto em torno do qual a soma algébrica de todos os torques
gravitacionais é igual a zero para qualquer orientação do corpo. Num campo
gravitacional uniforme, o baricentro coincide com o centro de massa do corpo e
independe da posição deste.
3. EQUILÍBRIO DUMA BARRA SUSPENSA
Numa barra rígida suspensa, onde todas as forças externas aplicadas
sobre ela são verticais, portanto coplanares, as condições de equilíbrio
significam que a resultante das forças num sentido deve ser igual à resultante
das forças no sentido contrário; e que a soma dos torques no sentido horário
(negativo, por convenção), em relação a qualquer eixo de torques perpendicular
ao plano das forças, deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário
(positivo, por convenção), em relação ao mesmo eixo. Se a barra for equilibrada
na horizontal o braço de alavanca de cada força será simplesmente a distância
do ponto de aplicação desta força ao eixo de torque escolhido. Esse eixo deve
ser escolhido por conveniência de cálculo: normalmente o baricentro ou o ponto
de suspensão da barra é pontos convenientes.
III - PARTE EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO 9.1 – BARRA SUSPENSA POR SEU BARICENTRO
9.1.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Suspenda a barra por seu baricentro com um dinamômetro; ela deverá ficar
em equilíbrio na horizontal. Identifique as forças externas que agem sobre a
barra, seus pontos de aplicação e faça um diagrama dessas forças. Meça e
anote as intensidades dessas forças, calcule a força e o torque resultantes que
agem sobre a barra e explique o equilíbrio desta.
2. Agora, ainda com a barra suspensa por seu baricentro, pendure nela pesos
de modo a equilibrá-la na horizontal. Então, identifique as forças externas que
agem sobre a barra, seus pontos de aplicação e faça um diagrama delas. Meça
e anote as intensidades dessas forças, e, à luz dos desvios obtidos, verifique se
a condição de equilíbrio expressa pela Eq. (9.3) foi satisfeita. Agora, meça e
anote os braços de alavanca das forças externas em relação a um eixo de
torques de sua escolha, calcule os torques dessas forças e verifique, à luz dos
desvios calculados, se a condição de equilíbrio, expressa pela Eq. (9.4) foi
satisfeita. Discuta seus resultados.
EXPERIMENTO 9.2 - BARRA SUSPENSA POR UM PONTO FORA DE SEU
BARICENTRO
Quando uma barra é suspensa, a condição para seu equilíbrio é que a
linha de ação da força que a mantém suspensa passe por seu baricentro. Se,
portanto, uma barra é suspensa por um ponto fora de seu baricentro ela não
ficará em equilíbrio na horizontal, a menos que outras forças externas sejam nela
aplicadas.
9.2.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Suspenda a barra por um orifício não central com o dinamômetro e equilibre-a
na horizontal pendurando um ou mais pesos, conforme indicado pelo professor.
Então, identifique as forças externas que agem sobre a barra, seus pontos de
aplicação e faça um diagrama delas. Meça e anote as intensidades dessas
forças, e, à luz dos desvios obtidos, verifique se a condição de equilíbrio
expressa pela Eq. (9.3) foi satisfeita. Agora, meça e anote os braços de alavanca
das forças externas em relação a um eixo de torques de sua escolha, calcule os
torques dessas forças e verifique, à luz dos desvios calculados, se a condição
expressa pela Eq. (9.4) foi satisfeita. Discuta seus resultados.
EXPERIMENTO 9.3 - DETERMINAÇÃO DUM PESO DESCONHECIDO
A aplicação da Eq. (9.4) a forças aplicadas numa barra rígida permite
determinar o valor de um peso desconhecido.
9.3.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Com a barra suspensa e equilibrada na horizontal, pendure de um lado um
peso P desconhecido e reequilibre-a na horizontal pendurando nela um peso F
conhecido. Meça os braços de alavanca das duas forças e, através da Eq. (9.4),
determine o valor de P. Meça P numa balança e compare os dois valores.
EXPERIMENTO 9.4 - DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO PESO DUMA BARRA
A montagem mostrada na Fig. 9.2 permite determinar o peso duma barra
por métodos gráficos. Para isso, a barra é suspensa pelo ponto G’ e equilibrada
r
na horizontal por uma força F , aplicada a uma distância x de G’. Variando-se o
r
valor de x, F também variará e, pela Eq. (9.4), pode-se escrever que
F=
Wl
.
x
(9.5)
onde W é o peso da barra. O gráfico de F contra 1/x é uma reta, cujo coeficiente
angular Wl permite determinar W conhecendo-se l.
d
x
l
G
G’
F
W
Fig. 9.2
9.4.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Faça a montagem mostrada na Fig. 9.2 suspendendo a barra por um ponto G’
e anote o valor de l. Varie x e, para cada x , meça o valor da força F para a qual
a barra fica em equilíbrio na horizontal. Tabele os valores de F e x
Faça uma nova tabela com os valores de F e 1/x, construa o gráfico de F
versus 1/x e através do coeficiente angular da reta encontrada, determine W
usando o valor conhecido de l. Pese a barra e compare seus resultados.
SEÇÃO 10
PÊNDULO FÍSICO
I - OBJETIVO
Estudar as propriedades de um pêndulo físico e calcular a aceleração g
devida à gravidade.
II – PARTE TEÓRICA
Qualquer corpo rígido que é posto a oscilar em torno de um eixo horizontal
e sob a ação de seu próprio peso é denominado pêndulo composto ou pêndulo
físico.
S
θ
h
L
h’
G
0
mg
Fig. 10.1
A Fig. 10.1 representa um pêndulo físico de massa m que pode oscilar
livremente em torno de um eixo fixo passando pelo ponto S e perpendicular ao
plano da figura, o qual contêm o baricentro G. Na posição de equilíbrio o
baricentro está verticalmente abaixo do eixo de suspensão. Quando o corpo é
girado de um ângulo θ e solto, o peso do sistema, mg, considerado estar
concentrado no baricentro, exerce um torque restaurador N fora da posição de
equilíbrio, o peso e a reação vincular formam um binário que tende a levar o
sistema à posição de equilíbrio em torno de S dado
por mgh sen θ , onde h é a distância do eixo de suspensão S ao baricentro G.
A aplicação da segunda lei de Newton ao movimento de um corpo rígido
em torno de um eixo fixo permite escrever
&& = – m g h sen θ
Iθ
(10.1)
&&
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de suspensão e θ
significa a derivada segunda de θ em relação ao tempo; o sinal negativo indica
que o torque é restaurador, ou seja, ele atua sempre no sentido de anular o
ângulo θ .
Para movimentos de pequenas amplitudes podemos fazer sen θ ≈ θ e a
Eqs. (10.1) reduz-se, a
&& + m g h θ = 0
Iθ
(10.2)
que a equação de um movimento harmônico simples, cuja solução para o
período de oscilação T é
T= 2π
I
mgh
(10.3)
O pêndulo físico inclui o pêndulo simples como caso especial. No pêndulo
simples uma esfera é suspensa por um fio cuja massa é desprezível quando
comparada à massa m da esfera e cujo comprimento L é grande comparado ao
diâmetro da esfera. Neste caso, h = L, I = mL2 e a Eq. (10.3) resulta em
T = 2π
L
g
que é a conhecida lei do pêndulo simples (veja a Eq. (6.1)).
EXPERIMENTO 10.2 – PÊNDULO FÍSICO TIPO ANEL
Cutelo
Anel
Placa
Fig. 10.4
O pêndulo físico que iremos estudar é um anel homogêneo, portanto com
o baricentro coincidindo com seu centro geométrico e delgado ou seja, sua
espessura é muito pequena quando comparada com o diâmetro. O anel será
posto a oscilar em torno de um cutelo que intercepta um dos pontos de seu arco
(Fig. 10.4). O momento de inércia do anel em torno de tal eixo de suspensão é ,
de acordo com a Eq. (10.5)
1
mD 2
D
+ m( ) 2 = m D 2
I=
4
2
2
,
(10.14)
onde Io = m D2/4 é o momento de inércia de um anel delgado em relação a um
eixo passando por seu baricentro. A substituição desta expressão de I na Eq.
(10.3) resulta para o período
T= 2π
D
,
g
(10.15)
onde D é o diâmetro médio do anel.
10.2.1 - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Nivele a placa contendo o cutelo de modo que ela fique perfeitamente na
vertical. Ponha cada um dos anéis a oscilar em torno do cutelo com amplitude
não maior que 5o, atentando para que seu movimento seja paralelo à placa, faça
duas medidas do tempo t de um mínimo de 20 oscilações completas, calcule o
valor médio desses tempos e calcule T e seu desvio. Anote seus resultados.
2. Meça e anote o diâmetro médio D de cada anel. Com os pares de valores (D;
T) obtidos, use o método gráfico da anamorfose (Seção 4.4.1) e calcule a
aceleração g devida à gravidade. Compare o valor de g com o recomendado e
discuta seu resultado.
Pese um dos anéis e calcule seu momento de inércia em relação ao ponto de
suspensão através da Eq. (10.3) e compare seu valor com o obtido pela Eq.
(10.14). Qual é o centro de oscilação e o comprimento do pêndulo simples
equivalente para este anel?
APÊNDICE I
1-Tabela com as dimensões e unidades nos sistemas CGS e SI (MKS) das
principais grandezas de Mecânica
Grandeza
Compriment
Dimensão
Sistema
CGS
Sistema
MKS
LMT
Unidade
Nome
Unidade
Nome
[L]
Cm
centímetr
m
metro
o
o
Massa
[M]
G
grama
kg
quilograma
Tempo
[T]
S
segundo
s
segundo
Área
[L]2
cm2
—
m2
Volume
[L]3
cm3
—
m3
—
Velocidade
[L] [T]-1
cm/s
—
m/s
—
Aceleração
[L] [T]-2
cm/s2
—
m/s2
—
Força
[M] [L] [T]-2
g cm s-2
dina
kg m s-2
Newton
(dyn)
Energia
[M] [L]2 [T]- g cm2 s-2
—
(N)
erg
kg m2 s-2
Joule (J)
erg/s
kg m2 s-3
Watt (W)
dyn/cm2
kg m-1 s-2
Pascal (P)
dyn·cm
kg m2 s-2
N·m
2
Potência
[M] [L]2 [T]- g cm2 s-3
3
Pressão
[M]
[L]-1 g cm-1 s-2
[T]-2
Torque
[M] [L]2 [T]- g cm2 s-2
2
• Nos sistemas CGS e MKS as grandezas geométricas, cinemáticas e
dinâmicas, são expressas em função de três grandezas fundamentais:
comprimento (L), massa (M) e tempo (T) — no MKS as grandezas térmicas,
ópticas e eletromagnéticas requerem, cada uma, mais uma grandeza
fundamental. Convencionalmente, na escrita das equações dimensionais, as
grandezas são postas entre colchetes. Por exemplo, a equação dimensional da
aceleração g devida à gravidade é escrita como
[g] = [L] [T]-2 .
• Se uma dimensão — dimensão é o expoente de uma grandeza fundamental
— é zero ela não precisa ser escrita. Por exemplo, a constante elástica k duma
mola pode ser obtida pela relação entre uma força e um comprimento. Assim,
sua equação dimensional é escrita como:
[k] = [M] [L] [T]-2 [L]-1 = [M] [T]-2.
• Ao por os valores das grandezas numa equação, atente para que todos eles
estejam num mesmo sistema de unidades.
• Valor recomendado para g em Salvador, medido no Ano Geofísico
Internacional:
glocal = 9,7833 m/s2 ou glocal = 978,33 cm/s2
APÊNDICE II
4.1 - REGRAS (GUIAS) PARA A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA.
• Ponha a variável independente no eixo das abscissas (eixo-x) e a variável
dependente no eixo das ordenadas (eixo-y).
• O título do gráfico deve ser conciso, auto-explicativo e escrito no espaço
branco superior do papel com a referência da grandeza dependente escrita em
primeiro lugar. Exemplos: Relação entre o período e a órbita do satélite; Queda
livre: tempo versus altura.
• Os símbolos (ou nomes) das grandezas devem ser escritos no meio dos
espaços brancos, inferior e lateral esquerdo, com suas unidades entre
parênteses. Exemplos: h(m), Tempo (s).
• As escalas escolhidas devem ser tais que facilitem a leitura das coordenadas
dos pontos nas subdivisões do papel de gráfico e apresentem alguma relação
com a precisão dos dados. Os valores 1, 2 , 5 e 10 são os melhores; 4 já
apresenta alguma dificuldade; 3 , 7 e 9 devem ser evitados. As escalas não
precisam ser iguais nos dois eixos e não é necessário que a interseção dos
eixos represente o valor zero para uma, ou as duas variáveis.
• Use no máximo três dígitos para indicar os valores nas divisões principais. Se
os valores são
excessivamente grandes ou pequenos escolha uma unidade
adequada, ou use fatores multiplicativos, os quais devem ser indicados no fim
do eixo.
• Use um lápis bem apontado para locar o ponto e, em torno deste, desenhe
um círculo de 2 a 3 mm de diâmetro (veja Fig. 4.1). Se várias curvas vão ser
traçadas no mesmo gráfico use símbolos diferentes, como quadrados, triângulos,
etc. Não escreva os valores das coordenadas dos pontos no papel de gráfico.
Fig. 4.1
• Trace a melhor linha contínua através da média dos pontos. A curva não
precisa passar necessariamente sobre os pontos. Se a linha for uma reta,
trace-a usando pontos médios dum grupo de pontos. Locados (na Fig. 4.1 os x
indica os pontos médios). Use linha interrompida para traçar os trechos
extrapolados, isto é, aqueles fora da região medida.
• Leia as coordenadas dos pontos a serem usados no cálculo dos parâmetros
com a melhor precisão possível. Esses pontos devem ser escolhidos não muito
próximos entre si e, preferencialmente, em interseções
da reta
com
cruzamentos das linhas do papel de gráfico de modo a reduzir erros de
avaliação.
BIBLIOGRAFIA
As referências seguintes foram usadas na preparação desta apostila e
servirão ao leitor que desejar informações mais extensivas.
1. Apostila de Teoria de Erros e Mecânica, 1998. Argollo, R. M; Ferreira, C. e
Sakai, T. – Dep. de Geofísica Nuclear – IF/UFBa.
2. Furtado, Nelson F., 1957. Sistemas de Unidades: Teoria dos Erros. Ao Livro
Técnico Ltda.
3. Helene, Otaviano A .M. e Vitor R. Vanin, 1981. Tratamento Estatístico
de Dados em Física Experimental. Editora Edgard Blücher Ltda.
4. Beers, Yardley, 1962. Theory of Error. Addison-Wesley. USA.
5. Wall, Cliford N., Raphael B. Levine e Fritjaf E. Christensen, 1972. Physics
Laboratory Manual . Prentice-Hall.
6. Meiners, Harry
F., Walter
Eppenstein e
Kenneth
H. Moore, 1969.
Laboratory Physics. John Wiley.
7. Helene, O., S .P. Tsai
e R. R .P. Teixeira, 1991. O que é uma medida?
Revista de Ensino de Física,13,12- 29.
8. Dionísio, P. H., 1991. Sensibilidade do Equipamento e Precisão da Medida.
(Comentário sobre o artigo “O que é uma medida ?”.) Revista de Ensino de
Física, 13, 30-33.
9. Bacon, R.H., 1953. Am. J. Phys., 21, 428.
10. Vuolo, José H. , 1992 . Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard
Blücher Ltda.