Probleiiias'
-
~~.
-
~
--
-
vetores unitarios, qual e a velocidade do eletron v(t)? Em t =
2,00 s, quanta vale
(b) na notacao de vetores unitarios e como
(c) um m6dulo e (d) urn angulo em relacao ao sentido positivo
do eixo x?
• - ••• 0 nurnero de pontos indica 0 nfvel de dificuldade do problema.
Se(ao 4-2 Poskao
v
e Deslocamento
0 vejor posicao para urn eletron e r = (5,0 m)i - (3,0 m)] +
(2,0 m)k. Encontre 0 modulo de r. (b) Esboce 0 vetor em urn sistema de coordenadas dextrogira.
·1
Uma semente de rnelancia possui as seguintes coordenadas: x =
-5,0 m, y = 8,0 m e Z = 0 m. Encontre seu vetor posicao (a) na
notacao de vetores unitarios e como (b) urn modulo e (c) urn angulo
em relacao ao sentido positivo do eixo x. (d) Esboce 0 vetor em urn
sistema de coordenadas dextrogiro. S.ea semente e movida para as
coordenadas xyz (3,00 m, 0 m, 0 m), qual e seu deslocamento (e) na
notacao de vetores unitarios e como (f) urn modulo e (g) um angulo
em relacao ao sentido positivo do eixo x?
•2
,
r
0 ponteiro dos minutos de um rel6gio de parede mede 10 em,
de sua ponta ate a eixo em tome do qual ele gira. 0 modulo e 0 angulo
do vetor deslocamento de sua ponta devem ser deterrninados para
tres intervalos de tempo. Quais sac (a) 0 modulo e (b) 0 angulo associado ao deslocamento da ponta entre as posicoes correspondentes a quinze e trinta minutos depois de uma determinada hora, (c) 0
m6dulo e (d) 0 angulo correspondente a meia hora seguinte, e (e) 0
modulo e (f) 0 angulo correspondente a hora seguinte?
004
Se(ao 4-3 Velocidade Media e Velocidade lnstantanea
os Urn trem com uma velocidade constante de 60,0 km/h se move
na direcao leste por 40,0 min, depois em uma direcao nordeste fazendo urn angulo de 50,0° com a direcao norte por 20,0 nun e finalmente na direcao oeste por mais 50,0 min. Quais sac 0 (a) modulo e
(b) angulo de sua velocidade media durante esta viagem?
,
,
A yosi<;:ao de urn eletron e dada por r = 3,00ti - 4,00t2j +
2,00k, com t em segundos e
em metros. (a) Em notacao de
r
,
r = 5,Oi, ,
,
,
6,Oj + 2,Ok
e 10 s depois passa a ser r = - 2, Oi + 8, OJ- 2, Ok, todos em metros. Na notacao de vetores unitarios, qual e a sua velocidade media
vmed durante os 10 s?
··8 Urn aviao voa 483 km para 0 leste, de uma cidade A para uma
cidade B, em 45,0 min e depois 966 km para 0 sui, da cidade B para
uma cidade C, em 1,5 h. Para a viagem inteira, quais sac (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido do deslocamento do aviao, (c) 0 m6dulo e (d) 0
entido da sua velocidade media, e (e) sua velocidade escalar media?
,
,
Urn positron sofre um deslocamento ,D-r = 2,;Oi- 3,Oj + 6,Ok,
terminando com 0 vetor posicao = 3, OJ- 4, Ok, em metros. Qual
era 0 vetor posicao inicial do p6sitron?
·3
06
,
·70 vetor posicao de urn Ion e inicialmente
Se~ao4-4 Aceleracao Media e Aceleracao lnstantanea
·9 Uma particula se move de tal forma que sua posicao (em metros)
em funcao do tempo (emsegundos) e r = i + 4t2] + tk. Escreva expressoes para (a) sua velocidade e (b) sua aceleracao em fun<;:aodo
tempo.
·10 Em um certo instante, urn ciclista esta 40,0 m a leste do mastro da bandeira de um parque, indo para 0 sui com uma velocidade
de 10,0 m/s. 30,0 s mais tarde, 0 ciclista esta 40,0 m ao norte do
mastro, dirigindo-se para 0 leste com uma velocidade de 10,0 mls.
Para 0 ciclista, durante este intervalo de 30,0 s, quais sac (a) 0
m6dulo e (b) 0 sentido do deslocamento, (c) 0 modulo e (d) 0 sentido da velocidade media, e (e) 0 modulo e (f) 0 sentido da aceleracao media?
A posicao r de uma particula que se move num plano xy e
dada por = (2,00t3 - 5,00t)i + (6,00 - 7,00t4)Jcom
em metros e t em segundos. Na notacao de vetores unitarios, calcule (a)
(b)
e (c) Ii para t = 2,00 s. (d) Qual e 0 angulo entre 0 sentido positivo do eixo x e uma reta tangente a trajet6ria da particula
em t = 2,00 s?
•• 11
r
r,
v
r
84
Capitulo Quatro
Urn vento rnoderado acelera urn seixo sobre urn plano h~rizontal xy com uma aceleracao constante
= (5,00 mls2)i +
··12
a
R
•
R
(7,00 mls2)j. Em t = 0, a velocidade e igual a (4,00 mls)i. Quais
sac (a) 0 modulo e (b) 0 angulo de sua velocidade apos
se deslocado por 12,0 m paralelo ao eixo x?
0
seixo ter
Urn carro e impulsionado sobre urn plano xy com as componentes da aceleracao iguais a a, = 4,0 mls2 e ay = -2,0 mls2. Sua
velocidade inicial tern componentes Vax = 8,0 mls e VOl' = 12 mls.
Em notacao de vetores unitarios, qual e a velocidade do carro quando ele alcanca 0 maior valor da sua coordenada y?
··13
v
A velocidade
de uma parti~ula qu: se move sobre urn plano
e dada por ;; = (6,Ot - 4,Ot2)i + 8,Oj, com v em metros por
segundo e t(> 0) em segundos. (a) Qual e a aceleracao quando t =
3,0 s? (b) Quando (se acontecer) a aceleracao e nula? (c) Quando
(se acontecer) a velocidade e nula? (d) Quando (se acontecer) a velocidade escalar da particula e igual a 10 mJs?
··14
xy
··15
Uma partfcula deixa a origem com uma velocidade inicial
mJs e uma aceleracao
constante
a = (-I,OOi-
;;= (3,00i)
horizontal total que a bola percorre? Quais sao (c) 0 modulo e (d) 0
angulo (abaixo da horizontal) do vetor velocidade da bola imediatamente antes de ela atingir 0 chao?
Uma pequena bola rola horizontalmente sobre uma mesa de 1,20
m de altura ate cair apos alcancar sua borda. Ela atinge 0 piso em
urn ponto horizontalmente a 1,52 m da borda da mesa. (a) Por quanto tempo a bola fica no ar? (b) Qual e sua velocidade no instante em
que ela deixa a mesa?
·20
Urn dardo e arremessado horizontalrnente com uma velocidade
inicial de 10 mJs em direcao a urn ponto P, 0 centro de urn alvo de
parede. Ele bate em urn ponto Q no alvo, verticalmente abaixo de
P, 0,19 s depois. (a) Qual e a distancia PQ? (b) A que distancia do
alvo ele e arrernessado?
·21
·22 Na Fig. 4-33, uma pedra e projetada sobre urn rochedo Ingrerne
de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 rnIs direcionada em
urn angulo () = 60,0° acima da horizontal. A pedra cai em urn ponto
A, 5,50 sapos 0 lancamento. Encontre (a) a altura h do rochedo, (b)
a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A, e (c) a
maxima altura H alcancada acima do chao.
0,500]) mls2. Quando ela alcanca 0 maximo valor de sua coordenada x, quais sac (a) a sua velocidade e (b) 0 seu vetor posicao?
••• 16 Na Fig. 4- 32, a particula A se move ao longo da reta y = 30 m
com uma velocidade constante ;; de modulo igual a 3,0 mls e paralela ao eixo x. No mesmo instante em que a particula A cruza 0 eixo
y, a particula B deixa a origem com velocidade inicial nula e aceleracao constante
de modulo igual a 0,40 mJs2. Para que valor do
lingulo ()entre
e 0 sentido positivo do eixo y ocorrera uma colisao?
a
fJ
a
Fig. 4-33 Problema 22.
)'
-
·23 Urn certo aviao tern uma velocidade de 290,0 km/h e esta rnergulbando em urn angulo () = 30,0° abaixo da horizontal quando 0
piloto libera urn mfssil despistador (Fig. 4-34). A distancia horizontal entre 0 ponto de Iancamento e 0 ponto onde a isca bate no solo e
d = 700 m. (a) Quanto tempo a isca fica no ar? (b) De que altura ela
foi liberada?
v
A~--~~--------~
B UI---------
x
Fig. 4-32 Problema 16.
Se~ao 4-6 Analise do Movimento
de um Projetil
·17 Urn projetil e atirado horizontalmente de uma arma que esta 45,0
m acima de urn terreno plano, emergindo da arma com uma velocidade de 250 mJs. (a) Por quanta tempo 0 projetil permanece no ar?
(b) A que distancia horizontal do ponto de disparo ele atinge 0 terreno? (c) Qual e 0 modulo da componente vertical de sua velocidade quando ele atinge 0 terreno?
No Campeonato Mundial de Atletismo em Toquio, Mike Powell
saltou 8,95 m, quebrando por exatos 5 ern urn recorde de 23 anos
para salto em distancia estabelecido por Bob Beamon. Suponba que
a velocidade de Powell no infcio do saIto era de 9,5 mJs (aproximadamente igual aquela de urn corredor de velocidade) e que g = 9,8
mJs2 em Toquio. Quao mais curto foi 0 alcance horizontal de Powell
do que 0 maximo alcance horizontal possivel para uma partfcula lancada com a mesma velocidade?
I------d
----'\~
Fig. 4-34 Problema 23.
·18
·19 Uma bola e atirada doRchaoPRara
0 ar. Em ~ma altura de ~,1 m,
sua velocidade e ;; = (7,6i + 6,lj) mis, com i horizontal e j para
cima. (a) Ate que altura maxima a bola sobe? (b) Qual a distancia
·24 Uma pedra e Iancada de uma catapulta em t = 0, com uma velocidade inicial de modulo 20,0 rnIs em urn angulo de 40,0° acima
da horizontal. Quais sac os modules das componentes (a) horizontal e (b) vertical do seu deslocamento em relacao a catapulta em [ =
1,10 s? Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em
t = 1,80 s e para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t =
5,00 s.
··25 Urn mergulhador se impulsiona horizontalmente com uma velocidade de 2,00 mls ao saltar da borda de uma plataforma que esta
Movimento
em Duos e Tres Ditnensoes
85
10,0 m acima da superficie da agua. (a) A que distancia horizontal
da borda da plataforma esta 0 rnergulhador 0,800 s ap6s a impulsao?
(b) A que distancia vertical acima da superficie da agua esta 0 mergulhador neste mesmo instante? (c) A que distancia horizontal da
borda da plataforma 0 mergulhador toea na agua?
··26 Durante uma partida de tenis, umjogador saca a bola a 23,6 mis,
com 0 centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m
da superffcie da quadra. A rede esta a 12 rn de distancia e tern 0,90
m de altura. Quando a bola alcanca a rede, (a) ela con segue passar
sem toca-la? (b) Qual e a distancia entre 0 centro da bola e 0 topo da
rede? Suponha que, em vez disso, a bola e sacada como antes, mas
agora ela deixa a raquete a 5,00° abaixo da horizontal. Quando a bola
alcanca a rede, (c) ela passa sem toca-la? (d) Qual e agora a distancia entre 0 centro da bola e 0 topo da rede?
··27 Urn aviao mergulhando com velocidade constante num angulo
de 53,0° com a verticallibera urn projetil a uma altitude de 730 m.
o projetil bate no chao 5,00 sapos ter sido liberado. (a) Qual e a
velocidade do aviao? (b) Que distancia 0 projetil percorre horizontalmente durante 0 seu v60? Quais sao as componentes (c) horizontal e (d) vertical de sua velocidade imediatamente antes de bater no
solo?
Fig. 4-36 Problema 33.
urn angulo e = 60,0° com a horizontal. (a) Encontre h. (Sugestiio:
Uma maneira seria reverter 0 movimento, como se fosse um
videoteipe.) Quais sao (b) 0 modulo e (c) 0 angulo relati~o a horizontal com que a bola e jogada?
··34 V ma bola de golfe recebe uma tacada ao nivel do solo. A velocidade da bola de golfe em funcao do tempo e mostrada na Fig. 4-37,
onde t = 0 no instante em que a bola e golpeada. (a) Que distancia
a bola de golfe percorre na horizontal antes de retomar ao myel do
solo? (b) Qual e a altura maxima acima do myel do solo que a bola
alcanca?
31
··28 Uma bola de futebol e chutada do chao com uma velocidade
inicial de 19,5 mls fazendo urn angulo para cima de 45°. Naquele
instante, umjogador a 55 m de distancia na direcao do chute comeeraa correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade media
para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar no chao?
A velocidade de Iancamento de urn projetil e cinco vezes sua
velocidade em sua altura maxima. Encontre 0 angulo de lancamento 80,
Z27
Voce lanca uma bola, em direcao a uma parede, com urna velocidade de 25,0 m/s e em urn angulo eo = 40,0° acima da horizontal (Fig. 4-35). A parede esta a uma distancia d = 22,0 m do ponto
de lancamento da bola. (a) A que distancia acima do ponto de Iancamento a bola atinge a parede? Quais sao as componentes (b) horizontal e (c) vertical de sua velocidade quando ela atinge a parede?
(d) Ao atingir a parede, ela ja pas sou pelo ponto mais alto de sua
trajet6ria?
f
I\.
II
E 25
'::' 23
- 21
I
190
l'
2
3
4
5
t (5)
Fig. 4-37 Problema 34.
··29
··30
,.
I
29
0035 Na Fig. 4-38, uma bola e lancada com uma velocidade de modulo 10,0 mis, fazendo um angulo de 50,0° com a horizontal. 0 ponto
de lancamento e a base de uma rampa de comprimento horizontal
d. = 6,00 m e altura ~ = 3,60 m. No topo da rampa esta localizado
urn plato. (a) A bola aterrissa na rampa ou no plato? Quando ela aterrissa, quais sac (b) 0 modulo e (c) 0 angulo do seu deslocamento
medido a partir do ponto de lancamento?
Bola
Fig. 4-38 Problema 35.
~------d------~.
. Fig. 4-35 Problema 30.
0031 Urn rifle que atira balas a 460 mls deve atingir urn alvo colocado a 45,7 m de distancia. Se 0 centro do alvo esta no mesmo nfvel
do rifle, a que altura acirna do alvo deve-se apontar 0 cano do rifle
para que a bala atinja 0 centro do alvo?
Uma bola de beisebol deixa a mao do lancador horizontalrnente com uma velocidade de 161 km/h. A distancia ao batedor e 18,3
m. (a) Quanto tempo a bola leva para percorrer a primeira metade
desta distancia? (b) E a segunda rnetade? (c) Que distancia a bola
eai livremente durante a primeira metade? (d) E durante a segunda
rnetade? (e) Por que as quantidades em (c) e (d) nao sao iguais?
o. 36 Na Fig. 4-39, uma bola e arremessada para cima em um telhado, aterrissando 4,00 s depois em uma altura h = 20,0 m acima do
nivel de partida. A trajet6ria da bola imediatamente antes de aterrissar tem uma inclinacao e = 60° com 0 telhado. (a) Encontre a
distancia horizontal d que ela percorre. (Veja a sugestao para 0 Problema 33.) Quais sao (b) 0 m6dulo e (c) 0 angulo em relacao a horizontal da velocidade inicial da bola?
•• 32
Na Fig. 4-36, uma bola e jogada para a esquerda da borda esquerda de um telhado, a uma altura h acima do chao. A bola bate no
chao 1,50 s depois, a uma distancia d = 25,0 m do ediffcio fazendo
.r::
I"
~.,.-+=--"''''''
e
I
I
I
~t~~~~~
1~
0033
d
Fig. 4-39 Problema 36.
86
Capftulo Quatro
•• 37 Urn bated or rebate uma bola do Iancador quando 0 centro da
bola esta a 1,22 m acima do solo. A bola deixa 0 taco do batedor em
urn angulo de 45° com 0 chao. Com tal lancamento, a bola deveria
ter urn alcance horizontal (retomando ao myel do lancameruoy de
107 m. (a) A bola conseguira passar por urn alambrado de 7,32 m
de altura que esta a uma distancia horizontal de 97,5 m do ponto de
lancamento? (b) Qual e a distancia entre 0 topo do alambrado e 0
centro da bola quando a mesma alcanca 0 alambrado?
••• 38 Uma bola e atirada do myel do solo em direcao a uma parede
que esta a uma distancia x (Fig. 4-40a). A Fig. 4-40b mostra a componente Vy da velocidade da bola no instante em que ela alcancaria
a parede, em funcao da distancia x. Qual eo angulo do lancamento?
5
"-
-l-......J
""-
1"-
...••..
1-
(n)
-5
x(m)
....•...
20
""
"-
(b)
Fig. 4-40 Problema 38.
Urn jogador de futebol americano pode imprimir it bola uma
velocidade inicial de 25 rn/s. Quais sao (a) 0 men or e (b) 0 maior
angulo de elevacao com 0 qual ele pode chutar a bola para marcar
urn gol a partir de urn ponto situado a 50 m dos travessoes, cuja trave horizontal esta 3,44 m acima do chao?
••• 39
••• 40 U ma bola deve ser atirada a partir do chao com uma certa velocidade. A Fig. 4-41 mostra 0 alcance R que ela tera versus 0 angu10 de Iancamento
80, 0 valor de 80 determina 0 tempo de percurso;
Suponha que tmID;representa 0 tempo maximo de percurso. Qual e a
menor velocidade que a bola tera durante 0 seu voo se 80 for escolhido de modo que 0 tempo de voo seja 0,500tmID;?
Fig. 4-42 Problema 43.
ca paralelamente a urn muro, passando pelo topo do mura, em seu
movimento ascendente, 1,00 sapos ter sido batida, e 4,00 s depois
durante seu movimento descendente, em posicoes ao longo do muro
separadas por uma distancia D = 50,0 m. (a) Qual a distancia horizontal percorrida pela bola do instante em que foi batida ate ter sido
apanhada? Quais sao (b) 0 modulo e (c) 0 angulo (em relacao it horizontal) da velocidade da bola imediatamente apos ter sido batida?
(d) Qual a altura do muro?
Se~ao4-7 Movimento
Circular Uniforme
Qual e 0 modulo da aceleracao de urn velocista correndo
rn/s quando contorna uma curva com urn raio de 25 m?
'44
a 10
Num parque de diversoes, uma mulher desloca-se numa rodagigante com 15 m de raio, completando cinco voltas em tome do
seu eixo horizontal a cada minute. Quais sao (a) 0 periodo do rnovimento, (b) 0 modulo e (c) 0 sentido de sua aceleracao centrfpeta no
ponto mais alto,-e (d) 0 modulo e (e) 0 senti do de sua aceleracao no
ponto mais baixo?
• 45
'46 Um fanatica por aceleracao centrfpeta desloca-se em movimento circular uniforme com perfodo T = 2,0 s e raio r = 3,00 m. Em t,
sua aceleracao
e
a = (6,00
m1s2); + (-4,00 m1s2)j. Naquele
tante, quais sao os valores de (a)
ins-
v . a e (b) r x a?
Um carrossel de um parque de diversoes gira em tomo de urn
eixo vertical a uma taxa constante. Um homem em pe em sua borda tern uma velocidade escalar constante de 3,66 m/s e uma aceleracao centripeta
de modulo 1,83 mls2. 0 vetor posicao
locaIiza-o em relacao ao eixo de rotacao. (a) Qual eo m6dulo de ;:.?
Qual e 0 senti do de
quando
esta dirigido (b) para 0 leste e (c)
para 0 sui?
'47
a
r
r
a
Um ventilador completa 1200 revolucoes a cad a minuto. Considere um ponto na extrernidade de uma pa do ventilador, em urn
raio de 0,15 m. (a) Que distancia este ponto se move em uma revolucao? Quais sao (b) a velocidade deste ponto e (c) a m6dulo de sua
aceleracao? (d) Qual eo perfodo do movimento?
• 48
Uma bolsa em um raio de 2,00 m e uma carteira em urn raio de
0 piso de
urn carrossel que gira. Elas estao sobre a mesma lin,!la radial. Em u~
"49
eo
Fig. 4-41 Problema 40.
'''41 Uma bola rola para fora, horizontal mente, do topo de uma escadaria com uma velocidade de 1,52 mls. Os degraus tern 20,3 em de
altura e 20,3 ern de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?
3,00 m deslocam-se em movimento circular uniforme sobre
certo instante, a aceleracao da bolsa e (2,00 m/s"): + (4,00 m/s2)j.
Naquele instante, qual e a aceleracao da carteira em notacao de vetores unitarios?
•• 50 Uma particula se move ao longo de uma trajet6ria circular sabre urn sistema de coordenadas xy horizontal, com velocidade escalar constante. No tempo t, = 4~00 s, ela esta no ponto (5,00 m, 6,00
Dois segundos apos ser projetado a partir do nivel do solo, um
projetil deslocou-se 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente acima do seu ponto de lancamento. Quais sao as componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade inicial do projetil? (c) No instante em que 0 projetil atinge sua altura maxima acirna do nivel do
solo, qual 0 seu deslocamento horizontal do ponto de lancamento?
x. No tempo t2 = 10,0 s, ela tem velocidade (-3,00 mls)i e aceleracao no sentido positivo de y. Quais sao as coordenadas (a) x e (b)
y do centro da trajetoria circular?
Na Fig. 4-42, uma bola de beisebol e batida a partir de uma
altura h = 1,00 me depois apanhada na mesma altura. Ela se deslo-
circular no sentido anti-horario e (6,00 rnls2)i
se move com velocidade escalar constante. Em
••• 42
••• 43
m) com velocidade
•• 51
(3,00 mls)j e aceleracao no sentido positivo de
Em t, = 2,00 s, a aceleracao
de uma partfcula em mov~ento
+ (4,00
t2 =
mls2)j. Ela
S, sua ace-
5,00
Movimento em DUGSe Tres Dimens6es
e
Ieracao
(4,00 mls2)i
seguida pela particula?
A
+ (-6,00
A
mls2)j. Qual e
0
raio da trajet6ria
··52 Uma partfcula se move em movimento
circular uniforme, sobre urn plano horizontal xy. Em urn certo instante, ela passa pelo
ponto de coordenadas (4,00 m, 4,00 m) com uma velocidade de
-5,00i m/s e uma aceleracao de 12,S} m/s2. Quais sac as coordenadas (a) x e (b) y do centro da trajet6ria circular?
I
Urn garoto rodopia uma pedra em urn circulo horizontal de
raio 1,5 m a uma altura de 2,0 m do nivel do chao, 0 cordao se parte
e a pedra voa horizontalmente
ate bater no chao depois de se deslocar por uma distancia horizontal de 10 m. Qual e 0 m6dulo da aceIeracao centnpeta da pedra durante 0 movimento circular?
···53
···54 Urn gato pula num carrossel
que gira em movimento
circular uniforrne. No tempo tl = 2,00 s, a velocidade
do gate
e
(3,00 m/s)i + (4,00 m/s)}, medida em urn sistema de coordenadas
horizo~tal
xy. Em t2A = 5,00 s, sua velocidade
VI
87
=
que deve direcionar 0 aviao 20,0° ao leste do norte a fim de voar
diretamente para la, 0 aviao chega em 2,00 h. Quai eram (a) 0
m6dulo e (b) 0 sentido da velocidade do vento?
··61 Dois navios, A e B, deixam 0 porto ao mesmo tempo. 0 navio
A navega para noroeste a 24 n6s e 0 navio B navega a 28 n6s em
uma direcao 40° a oeste do sul, (1 n6 = 1 milha marftima par hora;
veja 0 Apendice D.) Quais sac (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido da velocidade do navio A em relacao ao navio B? (c) Ap6s quanto tempo
os navios estarao separados por 160 milhas marftimas? (d) Qual sera
o rumo de B (senti do da posicao de B) em relacao a A nesse instante?
··62 Depois de voar por 15 min em um vento de 42 km/h que sopra
em urn angulo de 20° ao sul do leste, 0 piloto de urn aviao encontrase sobre uma cidade que esta a 55 km ao norte do ponto de partida.
Qual e 0 m6dulo da velocidade do aviao em relacao ao ar?
Se~ao4-8 Movimento Relativo em Uma Dimensa~
Urn trem viaja para 0 sul a 30 mls (em relacao ao solo) em meio
a urna chuva que e soprada pelo vento tambern para 0 sul. A trajet6ria de cada gota de chuva faz urn lingulo de 70° com a vertical, quando medida por um observador estacionario no solo. Um observador
no trem, entretanto, ve as gotas cairern exatamente na direcao verticaL Determine 0 m6dulo da velocidade das gotas de chuva em rela~ao ao solo .
• S5 Um cinegrafista
esta se deslocando em uma picape no sentido
oeste a 20 km/h enquanto filma urn guepardo que tambem esta se
movendo no sentido oeste 30 kmIh mais rapido que a picape. De
repente, 0 guepardo para, se vira e entao passa a correr a 45 kmIh no
sentido leste, con forme medicao de urn membro da equipe, agora
nervoso, que esta em pe ao lado do caminho seguido pelo guepardo.
A mudanca na velocidade ~o animal leva 2,0 s. Quais sac (a) 0
modulo e (b) 0 sentido da aceleracao do animal em relacao ao
cinegrafista e (c) 0 m6dulo e (d) 0 sentido da aceleracao do animal
em relacao ao membro nervoso da equipe?
Na vista de cima da Fig. 4-43, os jipes P e B deslocam-se ao
longo de linhas retas em urn terreno plano e passam ao lade de urn
guarda de fronteira estacionario A. Em relacao ao guarda, B viaja
com uma velocidade constante de 20,0 mls em urn angulo 82 = 30,0°.
Tambem em relacao ao guarda, P acelerou a partir do repouso com
uma taxa constante de 0,400 mls2 em urn angulo 81 = 60,0°. Em urn
certo in stante durante a aceleracao, P possui uma velocidade com
m6dulo de 40,0 tnls. Nesse in stante, quais sac (a) 0 m6dulo e (b) 0
senti do da velocidade de P em relacao a B e (c) 0 m6dulo e 0 sentido da aceleracao de P em relacao a B?
e
v
rn/s)i + (-4,00 mls)j.
Quais sac (a) 0 m6dulo da
2 = (-3,00
aceleracao centrfpeta do gato e (b) a aceleracao m~pia do gato
no intervale de tempo t2 - tl?
··63
··64
• S6 Urn barco esta viajando rio acima no sentido positive de um eixo
x a 14 kmlh em relacao 11 agua do rio, A agua esta fluindo a 9,0 km/h
em relacao as margens. Quais sac (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido da
velocidade do barco em relacao as margens? Uma crianca no barco
caminha da pop a para a proa a 6,0 kmIh em relacao ao barco. Quais
sao (c) 0 m6dulo e (d) 0 sentido da velocidade da crianca em relar;ao as margens?
p
A
··57 Urn homem suspeito corre 0 mais rapido que ele pode ao longo
de uma esteira rolante, levando 2,S s para ir de uma extremidade a
outra. Entao, urn agente de seguranca aparece e 0 horn em volta correndo 0 mais rapido que ele pode ao seu ponto de partida, levando
10,0 s. Qual e a razao entre a velocidade do homem e a velocidade
da esteira?
B
Fig. 4-43 Problema 64.
Se~ao 4-9 Movimento Relativo em Duas Dimensoes
·58 Urn jogador de nigbi corre com a bola diretamente
em direcao
ao gol oponente, no sentido positivo de urn eixo x. Legalmente, ele
pode passar a bola ao seu companheiro de equipe desde que a velocidade da bola em relacao ao campo nao possua uma componentex
positiva. Suponha que 0 jogador corre com uma velocidade de 4,0
mls em relacao ao campo enquanro efetua 0 passe da bola com uma
velocidade VBP em relacao a ele mesmo. Se BP tem m6dulo de 6,0
mis, qual e 0 menor angulo que ela deve fazer com a direcao x para
gue 0 passe seja considerado legal?
···65 0 navio A esta localizado 4,0 km ao norte e 2,5 km a leste do
navio B. 0 navio A possui uma velocidade de 22 kmlh na direcao
sui e 0 navio B possui velocidade de 40,0 kmfh na direcao norde te,
fazendo 37° com a direcao leste. (a) Qual
a vel?cidade de A em
e
relacao a B em noracao de vetares unitarios, com i aPAontapdo para
·59
o Jeste? (b) Escreva uma expressao (em termos de i e j) para a
posicao de A em relacao a B em funcao do tempo t, on de t = 0 quando
os dois navios estao nas posicoes descritas acima. (c) Em que tempo a separacao entre os navios e minima? (d) Qual esta separacao
minima?
Urn aviao leve atinge uma velocidade no ar de 500 krn/h. 0
piloto programa 0 seu destino 800 km para 0 norte, mas descobre
Um rio de 200 m de largura corre com uma velocidade uniforme igual a 1,1 mls atraves de uma floresta e em direcao ao leste.
Urn explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul
e atravessar 0 rio em urn barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0 m/s em relacao a agua. Existe uma
v
A neve esta caindo verticalroente com uma velocidade constante
de 8,0 m/s. Com que angulo, em relacao 11 vertical, os flocos de neve
parecem estar caindo quando vistos por urn motorista de urn carro
viajando em uma estrada reta e plana com velocidade de 50 krnIh?
··60
e
···66
88
CapituloQuatro
outra c\areira na rnargern norte a 82 m rio acima a partir de urn pon[0 exatamente
do lado oposto ao da clareira da margem suI. (a) Em
que direcao 0 barco deve ser apontado para viajar em linha reta e
atracar na clareira da margem norte? (b) Quanto tempo 0 barco levara para atravessar 0 rio e atracar na clareira?
Problemas Adicionais
67 Voce e raptado por rnembros de urn grupo de cientistas politicos
(que estao aborrecidos porque voce disse a eles que ciencia politica
nao e uma ciencia de fato). Embora vendado, voce pode dizer a velocidade do carro deles (atraves do ronco do motor), 0 tempo da viagem (contando mentalmente os segundos) e 0 sentido da viagem
(atraves das voltas ao longo de um conjunto de ruas retangulares).
A partir destas pistas, voce sabe que foi conduzido ao longo do seguinte curso: 50 km/h por 2,0 min, curva de 90° para a direita, 20
km/h por 4,0 min, curva de 90° para a direita, 20 km/h por 60 s, curva
de 90° para a esquerda, 50 kmlh por 60 s, curva 90° para a direita,
20,0 kmfh por 2,0 min, curva de 90° a esquerda, 50 kmIh por 30 s.
Neste ponto, (a) a que distancia voce se encontra do ponto de partida, e (b) em que sentido, em relacao ao sentido inicial da viagem
voce esta?
Cortina da morte. Urn grande asteroide metalico colide com a
Terra e rapidamente cava urna cratera no material rochoso abaixo
do nivel do solo, lancando pedras para cima e para fora. A tabela a
seguir fomece cinco pares de velocidades (modulo) de lancamento
e angulos (a partir da horizontal) para tais pedras, com base em urn
modelo de formacao de crateras. (Outras pedras, com velocidades e
angulos intermediaries
sao tambem lancadas.) Suponha que voce
esteja em x = 20 km quando 0 aster6ide cai no solo em t = 0 e na
posicao x = 0 (Fig. 4-44). (a) Em t = 20 s, quais sao as coordenadas
x e y das pedras que partem em sua direcao a partir dos Iancamentos
A ate E? (b) Faca urn grafico com essas coordenadas e entao esboce
uma curva atraves dos pontos para incluir pedras com velocidades
e angulos de lancamento intermediaries. A curva deveria lhe dar urna
ideia do que voce veri a ao olhar para cima para as pedras se aproximando e 0 que os dinossauros devem ter visto durante as colisoes
de aster6ides com a Terra ha muito tempo.
68
Lancamento
A
B
C
D
E
Velocidade
escalar (m/s)
Angulo
(em graus)
520
14,0
630
16,0
750
18,0
870
20,0
1000
22,0
Fig. 4-45 Problema 69.
distancia horizontal do ponto de lancamento ate 0 alvo? (c) Qual e 0
m6dulo da velocidade da bola no exato momento em que ela atinge
o alvo?
70
a Fig. 4-46, uma porcao de massa de vidraceiro umida se move
em movimento circular uniforme, nurn raio de 20,0 m, sobre a borda de uma roda que esta girando no sentido anti-horario com um periodo de 5,00 ms. A massa entao se desprende da borda na posicao
correspondente a 5 horas (como se estivesse na face de urn reI6gio).
Ela deixa a borda em uma altura h = 1,20 m acirna do piso e a uma
distancia d = 2,50 rn de uma parede. Em que altura a massa bate na
parede?
R~da
/:.
I
M~ade'~: ----Lvidraceiro
It
d
Fig. 4-46 Problema 70.
71 A Fig. 4-47 fornece a trajet6ria de urn esquiJo se movendo num
terreno plano, do ponto A (no instante t = 0), aos pontos B (em t =
5,00 min), C (em t = 10,0 min) e finalmente D (em t = 15 min).
Considere as velocidades medias do esquilo do ponto A ate cada urn
dos outros tres pontos. Destas tres velocidades medias, quais sao (a)
o m6dulo e (b) a angulo para aquela com 0 menor m6dulo? Quais
sao (c) 0 m6dulo e (d) 0 angulo para aquela com 0 maior m6dulo?
y(m)
50,,~-.-r.-.-.-,,~-.,
/in
)'
o Hr-i--+--+-+-+--T-il+-+-+-ri
x (m)
/=:
x (km)
0
10
20
Fig. 4-44 Problema 68.
Fig. 4-47 Problema 71.
Voce deve atirar uma bola com uma velocidade escalar de 12,0
mfs em urn alvo que esta numa altura h = 5,00 rn acirna do nivel do
qual voce lanca a bola (Fig. 4-45). Voce quer que a velocidade da
bola seja horizontal no instante em que ela atinge 0 alvo. (a) Em que
angulo 8 acima da horizontal voce deve atirar a bola? (b) Qual e a
69
72 A Fig. 4-48 mostra a trajet6ria seguida por um bebado em um
terreno plano, de urn ponto inicial i ate urn ponto final! Os angulos
sac 81 = 30,0°, 82 = 50,0° e 83 = 80,0° e as distancias sao d. = 5,00
Movimento em Duas e Ires Dimensoe:
)'
89
to da bola LUbT em relacao ao tren6 tambem pode ser medido. Suponha que a velocidade do tren6 nao muda quando a bola e atirada.
Quanto vale LUbT quando VT for igual a (c) 5,0 m/s e (d) 15 mls?
76
A acele~ac;:ao ?e uma particula em um plano horizontalxy e dada
= 3ti + 4tj, onde
esta em metros por segundo ao quactrado
por
----jf----....,..<---'-''----
X
a
a
e tern segundos. Em t = 0, a partfcula possui urn vetor posicao
(20,0 m)i
+ (40,0
v = (5,00
rn)} e urn vetor velocidade
r=
mls)i
+
(2,00 mls)j. Em t = 4,00 s, quais sac (a) seu vetor posicao em notacao de vetores unitarios e (b) 0 lingulo entre seu sentido de movimento e 0 sentido positivo do eixo x?
77
Fig. 4-48 Problema 72.
rn, d; = 8,00 rn e d3 = 12,0 rn. Quais SaD (a)
10 do deslocamento do bebado de i ate f!
0
Urn projetil e disparado
com velocidade
escalar inicial
Vo
= 30,0
mls num terreno plano em urn alvo que esta no chao, a uma distancia R = 20,0 m, conforme mostrado na Fig. 4-51. Quais sac (a) 0
m6dulo e (b)
0
angu-
menor e (b) 0 rnaior angulo de lancamento
til atingir 0 alvo?
Uma partfcula esta em movimento circular uniforme em tome da
origem de urn sistema de coordenadas xy, movendo-se no sentido
horario com perfodo de 7,00 s. E~ um instant~, seu vetor posicao (a
que perrnitirao
ao proje-
73
Trajet6ria
alta
r
partir da origem) e = (2,00 m)i - (3,00 m)j. Nesse instante, qual
e sua velocidade em notacao de vetares unitarios?
74 Na Fig. 4-49, uma bola e atirada diretamente
para cima a partir
do solo com uma velocidade inicial "o = 7,00 m/s, Simultaneamente, a cabine de urn elevadar de construcao comeca a se mover com
uma velocidade constante Vc = 3,00 mls. Qual a altura maxima atingida pela bola em relacao (a) ao solo e (b) ao piso da cabine? Com
que taxa a velocidade da bola varia em relacao (c) ao solo e (d) ao
piso da cabine?
·1
f----R
Fig. 4-57 Problema 77.
78
r = 5,006 + (et + ft2)} localiza uma partfcula
tempo t. 0 vetor r esta em metros, testa em segun-
0 vetor posicao
em funcao do
dos e os fatores e efsao constantes. A Fig. 4-52 fomece 0 angulo
do sentido do movimento da particula em funcao do tempo «() e
medido em relacao ao sentido positivo do eixo x). Quais sac (a) 0
fator e e (b) 0 fator f, incJuindo as unidades?
e
I"
Fig. 4-49 Problema 74.
,
Na Fig. 4-50a, um treno se move no sentido negativo de x com
urna velocidade escalar constante VT enquanto ~rna b9la de gelo e
I'
7S
i\..
atirada do treno com uma velocidade Vo = vo) + voyj em relacao
ao treno. Quando a bola aterrissa, seu deslocamento horizontal LUbe
em relacao ao chao (de sua posicao de Iancamento ate sua posicao
de aterrissagem) e medida. A Fig. 4-50b fomece LUbe em funcao de
VT. Suponha que a bola aterrissa aproximadamente
na sua altura de
lancamento. Quais sao os valores de (a) VOx e (b) VOy? 0 deslocamen-
o
I .
{ (s)
Fig. 4-52 Problema 78.
Uma mulher e capaz de remar urn barco a 6,4 km/h em aguas
paradas, tern sua frente urn rio longo e r~to com largura de 6,4 Ian
79
40
a
I\.
e uma corre~teza de 3,2 km/h. Posicione
,,"
)'
lit
I
~
I'\.
Bo'a
L
E
..
,-Tren6
x
((~)
"
o
-o
I'
90
11\
"
-40
v, (m/s)
"\
i ao longo da perpendicu-
lar ao rio e j ao longo da correnteza. Se ela remar em linha reta ate
urn ponto diretament~ oposto a sua posicao de partida, (a) em que
angulo em relacao a i ela deve direcionar 0 barco e (b) quanto tempo ela leva para fazer a travessia? (c) Quanto tempo ela gastaria se,
em vez disso, remasse 3,2 km rio abaixo e depois voltasse ao ponto
de partida? (d) Quanto tempo ela gastaria se remasse 3,2 kID rio
acima e depois voltasse ao ponto de partida? (e) Em que angulo ela
deveria direcionar 0 barco se pretendesse atravessar 0 rio no menor
tempo possfvel? (f) Qual seria esse tempo?
(b)
Durante erupcoes vulcanicas, grandes pedacos
ser ejetadas para fora do vulcao; estes projeteis
80
Fig. 4-50 Problema 75.
de rocha podem
chamado
de
SaD
90
Capftulo Quatro
bombas vulcdnicas. A Fig. 4-53 mostra a secao transversal do Monte
Fuji, no Japao. (a) Com que velocidade inicial uma bomba teria que
ser ejetada, em urn angulo
= 35° em relacao
horizontal, a partir
da aberturaA, de modo a cair na base do vulcao em B, a uma distancia vertical h = 3,30 Ian e a urna distancia horizontal d = 9,40 km?
Ignore, por urn momento, os efeitos do ar sobre 0 movimento da
bomba. (b) Qual seria 0 tempo de vao? (c) 0 efeito do ar aumentaria ou diminuiria sua resposta ao item (a)?
eo
a
velocidade em relacao ao ar de 1000 km/h, para a qual a diferenca
entre a duracao do voo de Ida e a duracao do voo de volta e 7,00
min. Qual a velocidade da corrente de jato que 0 computador esta
usando?
Na Fig. 4-54, uma estacao de radar detecta urn aviao se aproximando diretamente do leste. Nurna primeira observacao, 0 aviao esta
a uma distancia d, = 360 m da estacao e em urn angulo 8, = 40°
acima do horizonte. 0 aviao e rastreado atraves de urna abertura angular 11() = 123° no plano verticalleste-oeste;
sua distancia e entao
d2 = 790 m. Encontre (a) 0 modulo e (b) 0 sentido do deslocamento
do aviao durante este perfodo.
85
Aviao
Fig. 4-53 Problema 80.
Fig. 4-54 Problema 85.
81 0 oasis
A esta 90 km a leste do oasis B. Urn camelo parte de A e
leva 50 h para caminhar 75 Ian 37° ao norte do leste. Em seguida,
ele leva 35 h para carninhar 65 km para 0 sul. Depois ele descansa
por 5,0 h. Quais sao (a) 0 modulo e (b) 0 senti do do deslocamento
do camelo em relacao aA, no ponto de repouso? Do instante em que
o camelo deixa A ate 0 final do perfodo de descanso, quais sao (c) 0
m6dulo e (d) 0 senti do de sua velocidade media e (e) sua velocidade escaJar media? A ultima vez que 0 camelo bebeu agua foi em A;
eIe deve estar em B nao mais do que 120 h ap6s para a sua proxima
bebida. Se ele deve chegar em B exatamente nesse tempo, quais devem ser (f) 0 m6dulo e (g) 0 sentido de sua velocidade media depois do periodo de repouso?
82 Quando uma grande estrela torna-se uma supernova, seu micleo
pode estar tao comprirnido que eIa se toma uma estrela de neutrons,
com urn raio de cerca de 20 Ian. Se uma estrela de neutrons completa uma revolucao a cada segundo, (a) qual e 0 m6dulo da velocidade de uma particula no equador da estrela e (b) qual e 0 m6dulo da
aceleracao centrfpeta da particula? (c) Se a estrela de neutrons girar
mais rapidamente, as respostas para os itens (a) e (b) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas?
Duas rodovias se cruzam como mostra a Fig. 4-55. No instante
indicado, urn carro de policia Pesta a uma distancia d; = 800 m do
cruzamento e se movendo com uma velocidade escalar Vp = 80 km/h.
motorista M esta a uma distancia dM = 600 m da intersecao e se
movendo com uma velocidade escalar VM = 60 km/h. (a) Na nota<;:aode vetores unitarios, gual e a velocidade do motorista em rela<;:aoao carro da polfcia? (b) Para 0 instante mostrado na Fig. 4-55,
qual e 0 angulo entre a velocidade encontrada em (a) e a linha de
visada entre as dais carras? (c) Se os carros mantiverem suas velocidades, as respostas dos itens (a) e (b) mudam medida que os carros
se apraximarn da intersecao?
86
o
a
)'
M
Uma surpresa grdfica: Em t = 0, urn burrito e lancado a partir de
urn terreno plano, com uma velocidade inicial de 16,0 mJs e urn
83
eo.
r
angulo de lancamento
Imagine urn vetor posicao
continuamente direcionado do ponte de Iancamento ate 0 burrito durante 0 voo.
Faca 0 grafico do m6dulo r do vetor posicao para (a) 80 = 40,0° e
(b) 80 = 80,0°. Para
= 40,0°, (c) quando r alcancara seu valor
maximo, (d) qual sera esse valor e a que distancia encontrar-se-a 0
burrito (e) horizontalrnente e (f) verticalmente a partir do ponto de
lancamento? Para
= 80,0°, (g) quando r alcancara seu valor maximo, (h) qual sera esse valor e a que distancia encontrar-se-a
0
burrito (i) horizontalmente e G) verticalrnente a partir do ponto de
Iancamento?
p
eo
eo
Voos longos em latitudes medias no hemisferio norte en con tram
a chamada corrente de jato, urn fluxo de ar para 0 leste que pode
afetar a velocidade do aviao em relacao a superffcie da Terra. Se urn
piloto man tern uma certa velocidade relativa ao ar, a velocidade relativa ao solo e maior quando 0 voo esta na direcao da corrente de
jato e men or quando 0 voo esta na direcao opo ta. Suponha que urn
voo de Ida e volta esteja marc ado entre duas cidades separadas por
4000 Ian, com 0 voo de Ida no sentido da corrente de jato e 0 vao de
volta no senti do oposto a ela. 0 computador de bordo informa uma
84
~+-----dp------~
Fig. 4-55 Problema 86.
87 Urn rifle mira horizontalmente
em urn alvo a 30 m de distancia, A
bala atioge 0 alvo 1,9 em abaixo do ponto de mira. Quais sao (a) 0 tempo de vao da bala e (b) 0 m6dulo de sua velocidade ao sair do rifle?
88
Urn trem frances muito rapido, conhecido como TGV (Train Ii Gran-
de Yitesse') possui uma velocidade media pragramada de 216 km/h.
"Trem de alta velocidade. (N.T.)
Movimento em Duos e Ires Dimens6es
(a) Se 0 trem fizer uma curva a essa velocidade e 0 modulo da aceleracao sentida pelos passageiros estiver limitado a 0,050g, qual sera
o menor raio de curvatura admissfvel para os trilhos? (b) Com que
velocidade 0 trem deve fazer uma curva com 1,00 km de raio para
que esteja no limite da aceleracao?
89 Urn campo magnetico pode forcar uma partfcula a se mover em
uma trajet6ria circular. Suponha que um eletron se movendo em um
cfrculo sofre uma aceleracao radial de modulo 3,00 X 10'4 m/s? em
urn campo magnetico particular. (a) Qual e 0 m6dulo da velocidade
do eletron se 0 raio de sua trajetoria circular e 15 ern? (b) Qual e 0
perfodo do movimento?
91
completa uma revolucao a cada 20,0 s. A partfcula pas a par 0 no
tempo t = O.Expresse os seguintes vetores usando a notacao modulo-angulo (angulo em relacao ao senti do positivo de x). Encontre 0
vetor posicao da partfcula, em relacao a 0, nos tempos t iguai a (a)
5,00 s, (b) 7,50 s e (c) 10,0 s.
(d) Para 0 intervalo de 5,00 s, do fim do quinto segundo ate
o fim do decimo segundo, encontre 0 deslocamento da particula. Para esse mesmo intervalo, encontre (e) sua velocidade
media e sua velocidade (f) no infcio e (g) no fim do intervalo.
Em seguida, encontre a aceleracao (h) no infcio e (i) no fim do
intervalo.
Urn treno a vela se desloca sobre a superffcie de urn lago congelade com uma aceleracao constante produzidaApelo ve~to. Em urn
certo instante, a velocidade do treno e (6,30i - 8, 42j) m/s. Tres
segundos apos, devido a urn deslocamento do vento, 0 treno encontra-se momentaneamente em repouso. Qual e sua aceleracao media
neste intervale de 3 s?
Um rio com 200 m de largura flui para leste com uma velocidade
uniforme de 2,0 mls. Urn bote com uma velocidade de 8,0 mls em
relacao a agua deixa a margem sul apontando na direcao noroeste,
fazendo 30° a oeste do norte. Quais sao (a) 0 modulo e (b) 0 sentido
da velocidade do bote em relacao a margem? (c) Quanto tempo 0
bote leva para atravessar 0 rio?
97
91No Problema Resolvido 4-7b, uma bala e atirada atraves de uma distancia horizontal de 686 m por urn canhao localizado ao nfvel do mar e
inclinado de 45° em relacao a horizontal. Quao maior teria sido essa
distancia horizontal se 0 canhao estivesse num nivel 30 m mais alto?
98Urn coelho assustado movendo-se a 6,0 mJs para leste penetra em
uma grande area plana de gelo com atrito desprezfvel. A medida que
o coelho desliza sobre 0 gelo, a forca do vento imprime nele uma
aceleracao constante de 1,4 m/s? na direcao norte. Escolha urn sistema de coordenadas com a origem na posicao inicial do coelho no
gelo e 0 sentido positivo do eixo x direcionado para 0 leste. Na notacao de vetores unitarios, quais sac (a) a velocidade e (b) a posicao
do coelho ap6s ele ter deslizado por 3,0 s?
90
r = 5,Oi -
92 0 vetor posicao para urn proton e inicialmente
r
6, OJ+ 2, Ok e depois passa a ser = - 2, oi + 6, oj + 2, oi, tudo em
metros. (a) Qual e 0 vetor deslocamento do pr6ton e (b) a qual plano esse vetor e paralelo?
93 (a) Se urn eletron for projetado horizontalmente com uma velocidade de 3,0 X 106 mis, quanta ele caira ao atravessar uma distancia
horizontal de 1,0 m? (b) A resposta anterior aumenta ou dirninui se
o modulo da velocidade inicial for aumentado?
94 0 m6dulo da velocidade de um projetil quando ele se encontra
em sua altura maxima acima do nfvel do solo e 10,0 m/s. (a) Qual e
o m6dulo da velocidade do projetil 1,0 s antes de ele alcancar ua
altura maxima? (b) Qual e 0 modulo da velocidade do projetil l D s
depois de ele ter alcancado sua altura maxima? Se tomarmos x = 0
e y = 0 para ser 0 ponto da altura maxima e 0 sentido positivo do
eixo x como 0 sentido da velocidade neste ponto, quais sac as coordenadas (c) x e (d) y do projetil l.O s antes de ele alcancar sua altura
maxima e as coordenadas (e) x e (f) y 1,0 s depois de ele ter alcancado sua altura maxima?
95Urn proton inicialmente possui Ii = 4,Oj - 2,01 + 3,Ok e depois,
~
~
~
4,0 s mais tarde, passa a ter ii = -2,Oi - 2,Oj + 5,Ok (em metros
por segundo). Nesses 4,0 s, quais sac (a) a aceleracao media do proton mtd na notacao de vetores unitarios, (b) 0 m6dulo de med e (c)
o angulo entre med e 0 sentido positivo do eixo x?
a
a
a
96 Uma particula P se desloca com velocidade constante (em modulo) sobre em uma circunferencia de raio r = 3,00 m (Fig. 4-56) e
y
-----=""":::-t--'=----
Fig. 4-56 Problema 96.
~.
99l!.ma partfcula parte da origem em t = 0 com uma velocidade de
8,Oj mJs e se move no plano xy com aceleracao constante igual a
(4,Oi + 2, OJ)mls2. Quando a coordenada x da partfcula for igual a
29 m, quais serao (a) sua coordenada y e (b) 0 m6dulo de sua velocidade?
100Em 3,50 h, urn balao deriva 21,S km para 0 norte, 9,70 km para
o leste e 2,88 km para cima do ponte em que foi liberado do solo.
Encontre (a) 0 modulo de sua velocidade media e (b) 0 angulo que
sua velocidade media faz com a horizontal.
1010 piloto de uma aeronave voa para leste em relacao ao solo em
meio a urn vento soprando a 20 km/h na direcao suI. Se a velocidade da aeronave na ausencia do vento e igual a 70 km/h, qual e sua
velocidade em relacao ao solo?
102Urn velocista correndo em uma pista circular possui uma velocidade constante de m6dulo 9,2 mls e uma aceleracao centrfpeta de
m6dulo 3,8 mls2. Quais sac (a) 0 raio da pista e (b) 0 perfodo do movimento circular?
103Uma bola e arremessada horizontalmente a partir de uma altura
de 20 m e chega ao solo com uma velocidade cujo m6dulo e tres
vezes 0 da sua velocidade inicial. Qual e 0 modulo de sua velocidade inicial?
104Urn eletron com uma velocidade inicial de m6dulo 1,00 X 109
cmJs penetra na regiao entre duas placas de metal horizontais que
estao eletricamente carregadas. Nessa regiao, 0 eletron se desloca
uma distancia horizontal de 2,00 cm e possui uma aceleracao para
baixo de modulo 1,00 X 1017 cm/s2 devido as placas carregadas. Encontre (a) 0 tempo que 0 eletron leva para percorrer os 2,00 em, (b)
a distancia vertical que ele percorre durante esse tempo e os m6dulos
de suas componentes de velocidade (c) horizontal e (d) vertical quando ele sai da regiao.
105Urn projetil e lancado com uma velocidade inicial de modulo 30
m/s em urn angulo de 60° acima da horizontal. Quais sac (a) 0 modulo e (b) 0 angulo de sua velocidade 2,0 s ap6s 0 Iancamento? (c)
o angulo esta acirna ou abaixo da horizontal? Quais sac (d) 0 m6dulo e (e) 0 angulo de sua velocidade 5,0 s ap6s 0 lancamento? (f)
o angulo esta acima ou abaixo da horizontal?
92
Capftulo Quatro
106 0 lancador numa partida de softball' Janca a bola de urn ponto a
3,0 pes acima do nivel do solo. Urn grafico estroboscopico da posi~ao da bola e mostrado na Fig. 4-57, onde as leituras estao separadas por 0,25 sea bola e lancada em t = O. (a) Qual e 0 modulo da
velocidade inicial da bola? (b) Qual
0 modulo da velocidade da
bola no instante que ela atinge sua altura maxima acima do nivel do
solo? (c) Qual e essa altura maxima?
e
10
g
tes da aceleracao? (b) Quais sao as coordenadas da partfcula se seu
movirnento continua por mais urn outro intervalo igual a ilt}?
112 Urn satelite da Ten-a se move em uma 6rbita circular 640 km
aeirna da superffcie da Terra com urn periodo de 98,0 min. Quais
sao (a) a velocidade e (b) 0 modulo da aceleracao centripeta do satelite?
5
""'
l=
o
Fig. 4-58 Problema Ill.
0
10
20
30
113
40
Fig. 4-57 Problema 106.
108 Urn jogador de futebol norte-americano
chuta uma bola antes
de ela tocar 0 chao, de tal maneira que ela tern urn tempo de v60 de
4,5 s e toea a chao a 46 m do ponto de onde foi chutada. Se a bola
deixa 0 pe do jogador 150 cm acirna do chao, qual deve ser (a) 0
modulo e (b) 0 angulo (em relacao
horizontal) da velocidade inicial da bola?
a
109 A Polfcia do Estado de New Hampshire
usa uma aeronave para
impor 0 limite de velocidade nas auto-estradas. Suponha que uma
das aeronaves possui uma velocidade com modulo de 135 rnilh no
ar em repouso. Ela esta voando direto para 0 norte de modo que esta
durante to do 0 tempo diretamente acima de uma auto-estrada nortesul, Pelo radio, urn observador no solo informa ao piloto que esta
soprando urn vento de 70,0 miIh, mas se esquece de informar a direcao e 0 sentido do vento. 0 piloto observa que, apesar do vento, 0
aviao consegue voar 135 mi ao longo da auto-estrada em 1,00 h. Em
outras palavras, a velocidade relati va ao solo a mesma se nao existisse 0 vento. (a) Em que sentido 0 vento esta soprando? (b) Qual
o rumo do aviao; isto
em que sentido ele aponta?
e,
e
110 No voleibol feminino, 0 topo da rede esta a 2,24 m acima do piso
e a quadra mede 9,0 m por 9,0 m em cada lade da rede. Usando um
auxiliador de impulsao, uma jogadora bate na bola em urn ponto que
esta a 3,0 m acirna do piso e a uma distancia de 8,0 m da rede. Se a
velocidade inicial da bola horizontal, (a) qual a minima velocidade que a bola deve ter para passar sobre a rede e (b) qual a maxima
velocidade que ela pode ter para que toque 0 piso dentro dos limites
da quadra do outro lado da rede?
e
111 A Fig. 4-58 mostra a trajetoria reta de uma particula em urn sistema de coordenadas xy quando a particula
acelerada a partir do
repouso durante 0 intervalo de tempo ill}. A aceleracao e constante.
As coordenadas xy para 0 ponto A sao (4,00 m, 6,00 m); as do ponto
B sac (12,0 m, 18,0 m). (a) Qual a razao a/ax entre as componen-
e
e
'Forma modificada do beisebol, jogado com bola mais macia e maior. (N.T.)
no plano xy
r
e dada
por
= 2ti + 2sen [(7T/4 rad/s)t]j, onde
esta em metros e tern
segundos. (a) Calcule as componentes x e y da posicao da particula
em t = 0, 1,0,2,0, 3,0 e 4,0 s e esboce a trajetoria da partfcula no
plano xy para 0 intervale
:5 i s: 4,0 s. (b) Calcule as eomponentes
da veloeidade da partieula em t = 1,0,2,0 e 3,0 s. Mostre que a velocidade e tangente
trajet6ria da partfcula e no sentido que a partfeula esta se movendo em eada instante desenhando os vetores veloeidade sobre 0 grafico da trajetoria da particula na parte (a). (c)
Calcule as componentes da aceleracao da partfcula em t = 1,0,2,0
e 3,0 s.
°
107 Urn terminal de aeroporto possui uma esteira rolante para possibilitar 0 transporte rapido de passageiros atraves de urn longo corredor. Larry nao usa a esteira rolante; ele leva 150 s para carninhar
atraves do corredor. Curly, que simplesmente fica em pe sobre a
esteira rolante, cobre a mesma distancia em 70 s. Moe toma a esteira rolante e caminha ao longo deja. Quanto tempo Moe Jeva para se
deslocar atraves do corredor? Suponha que Larry e Moe carninham
com a mesma velocidade.
e
r
A POSi<;:Aao de uma particula ~m movimento
r
x (ft)
a
114 Umjogador
de golfe golpeia a bola a partir do topo de uma elevacao, imprimindo nela uma veloeidade de 43 mls em urn angulo
de 30° acirna da horizontal. A bola cai numa regiao a uma distancia
horizontal de 180 m de sua posicao inicial. Suponha que essa regiao
do campo de golfe seja plana. (a) Qual a altura da elevacao em rela<;:aoa essa regiao plana? (b) Qual e 0 modulo da velocidade da bola
quando ela atinge essa regiao plana do campo de golfe?
115 Urn astronauta e posto em rotacao em uma centrifuga horizontal com urn raio de 5,0 m. (a) Qual e 0 m6dulo da velocidade do
astronauta se a aceleracao centrfpeta tern urn m6dulo de 7,Og? (b)
Quantas revolucoes por minuto SaD necessarias para produzir essa
aceleracao? (e) Qual e 0 periodo do movimento?
e
116 (a) Qual
0 modulo da aceleracao centnpeta de urn objeto sobre
o equador terrestre devido
rotacao da Ten-a? (b) Qual 0 periodo
que a rotacao da Ten-a deveria ter para que objetos sobre 0 equador
tivessem uma aceleracao centripeta de modulo 9,8 mls2?
a
117 Urn elevador sem teto esta subindo com uma velocidade
eonstante de 10 mls. Urn garoto no elevador atira uma bola diretamente
para cirna, de uma altura de 2,0 m acirna do piso do elevador, exatamente no instante em que 0 piso do elevador se encontra 28 m acima do solo. A velocidade inicial da bola em relacao ao elevador e
de 20 mls. (a) Que altura maxima acirna do solo a bola atinge? (b)
Quanto tempo a bola leva para retornar ao piso do elevador?
118 Uma pessoa sobe caminhando
uma escada rolante de 15 m de
eomprimento, inicialmente parada, em 90 s. Quando em pe sabre a
mesma escada, agora em movirnento, a pessoa
transportada para
cirna em 60 s. Quanto tempo levaria para essa pessoa subir caminhando sobre a escada em movimento? A resposta depende do comprimento da escada?
e
e
119 Uma prova esportiva
realizada em urn planeta de urn sistema
solar distante. Urn arremessador de peso lanca 0 peso de urn ponto
2,0 m acima do nivel do solo. Urn grafico estrobose6pico da posi<;:aodo peso esta mostrado na Fig. 4-59, onde as leituras estao separadas por 0,50 s e 0 peso e arremessado em t = O. (a) Qual e a velocidade inicial do peso em notacao de vetores unitarios? (b) Qual e 0
m6dulo da aceleracao de queda livre no planeta? (e) Quanto tempo
Movimento
10
..s
I
-
em Duos e
rres Ditnensoes
93
1
!
r
5
./=
o
0
5
10
20
15
25
30
x (m)
Fig. 4-59 Problema
ap6s tel' sido arremessado 0 peso toea
identico do peso for feito na superficie
ap6s 0 lancarnento ele tocara 0 solo?
0
Carro
119.
120 Urn
planador esta 7,5 rn acima do nfvel do solo, movendo-se com
uma velocidade de 8,0 mfs em urn angulo de 30° abaixo da horizontal e experimentando urna aceleracao constante para cima de 1,0 rn/s'.
(a) Suponha t = 0 no instante descrito acima e escreva uma equa93.0 para a elevacao y do planador em funcao de t, com y = 0 no
nfvel do solo. (b) Use a equacao para determinar 0 valor de t quando y = O. (c) Explique por que existem duas solucoes para a parte
(b). Qual delas representa 0 tempo que 0 planador leva para atingir
o solo ? (d) Que distancia 0 planador percorre horizontalmente entre
t = 0 e 0 tempo que e1e atinge 0 solo? (e) Para a mesma posicao e
velocidade iniciais, que aceleracao constante levaria 0 planador a
pousar com velocidad~ nu1a? Expresse sua resposta em notacao d~
vetores unitarios com i horizontal
para cirna.
Fig. 4-60 Problema
solo? (d) Se um arremesso
da Terra, em quanta tempo
no sentido do deslocamento
e j
121 Numa hist6ria de detetive, urn corpo e encontrado
a 4,6 m da
base de um ediffcio e 24 m abaixo de umajanela aberta. (a) Supondo que a vitirna passou por aquelajanela horizontalmente,
qual era
a velocidade inicial do corpo? (b) Voce suporia que a morte foi acidental? Explique sua resposta.
122 Urn terceiro baseman' deseja fazer urn arrernesso para a primeira base, a 127 pes de distancia. Sua melhor velocidade de arremesso e 85 miIh. (a) Se ele arrernessa a bola horizontalmente
3,0 pes
acima do solo, a que distancia da prirneira base a bola tocara no solo?
(b) A partir da mesma altura inicial, em que angulo ascendente 0
terceiro baseman deve arremessar a bola se 0 primeiro baseman deve
segura-la a 3,0 pes acima do solo? (c) Qual sera 0 tempo de voo nesse
caso?
123 Cerca de 4000 colisoes carro-trem ocorrem nos Estados Unidos
a cada ano. Muitas (talvez a maioria) ocorrem quando urn motorista
que ve urn trern se aproximando tenta passar pelo cruzamento da
estrada com a ferrovia antes do trem. (Isso e a coisa mais esnipida
que se pode fazer.) Considere a seguinte situacao: Urn desses 4000
motoristas ve urn trem sobre trilhos se movendo perpendicularmente
rodovia e estima que a velocidade do trem e igual Ii sua velocidade de 30 mls. 0 trem e 0 carro estao se aproximando de urn cruzamento (Fig. 4-60). 0 motorista imagina que se acelerar seu carro com
uma aceleracao constante de 1,5 mfs2, ele alcancara 0 cruzamento
primeiro. No momenta desta decisao, a distancia entre 0 carro e 0
centro do cruzamento e a distancia entre 0 trem e 0 centro do cruzamente sac iguais a 40,0 rn. 0 comprimento do carro e de 5,0 mea
largura do trem e de 3,0 m. (a) Havera uma colisao? (b) Se nao houver, por quanta tempo 0 motorista tera escapado da colisao? Se nao
houver, que tempo mfnimo adicional seria necessario para evitar a
colisao? (c) Em urn mesmo grafico, plote a Iocalizacao do trem e a
localizacao do carro em funcao do tempo.
a
5]ogador que fica numa das tres bases no jogo de beisebol. (N.T.)
t
123.
124 Voce deve pilotar umjet ski em urn lago, comecando
do repouso no ponto i. Prirneiro, deslocando-se 30° a norte do leste:
1. Aumente sua velocidade a 0,400 m/s? por 6,00 s.
2. Com a velocidade final adquirida, desloque-se por 8,00 s.
3. Entao desacelere a 0,400 mfs2 por 6,00 s.
Imediatamente
a seguir, movendo-se
para 0 oeste:
4. Aumente sua velocidade a 0,400 mls2 por 5,00 s.
5. Com a velocidade final adquirida, desloque-se por 10,0 s.
6. Entao desacelere a 0,400 m/s? ate voce parar.
Na notacao modulo-angulo,
qual e a sua velocidade
viagem a partir do ponto i?
media para a
Em urn da90 instante, !lma borboIe!a possui 0 vetor posicao
D, = (2,00 m)i + (3,00 m)j + (1,00 m)k em relacao a base de urn
pequeno ,9hafariz. Enta<},40,0 s mais~tarde, a borb?leta possui 0 vetor
1~5
posicao D, = (3,00 m)i + (1, 00 m)j + (2,00 m)k. Encontre (se possfvel) (a) 0 deslocamento em notacao de veto res unitarios, (b) 0 modulo do deslocamento, (c) a velocidade media em notacao de vetores unitarios e (d) a velocidade escalar media da borboleta durante
o intervalo de 40,0 s.
126 No tempo t = 0, voce atira uma bola a partir de urn penhasco; a
velocidade inicial tern modulo 15,0 mfs e esta direcionada 20° abaixo da horizontal. Em t = 2,30 s, qual e 0 deslocamento (a) horizontal (para frente) e (b) vertical (para baixo) da bola?
127 Uma bola de beisebol e tacada do nfvel do solo. A bola alcanca
sua maxima altura acima do nivel do solo 3,0 s ap6s ter side tacada.
Entao, 2,5 sapos ter alcancado sua altura maxima, a bola passa rente sobre urn alambrado que esta a 97,5 m do ponto de onde ela foi
tacada, Suponha que 0 solo e plano. (a) Qual e a altura maxima acima do nivel do solo alcancada pela bola? (b) Qual e a altura do
alambrado?
128 Suponha que uma sonda espacial possa suportar urn esforco correspondente a uma aceleracao de 20g. (a) Qual 0 menor raio da curva que tal sonda pode efetuar quando se move com urn decimo da
velocidade da luz? (b) Quanto tempo ela levari a para completar uma
volta de 90° a essa velocidade?
129 Urn carro se desloca em uma pista circular plana com uma velocidade escalar de 12 mfs. Em urn certo instante, 0 carro possui uma
aceleracao de 3 mfs2 na direcao Ieste. Quais sac sua distancia do centro da pista circular e seu sentido se ele esta se deslocando no sentido (a) horario e (b) anti-horatio em em tome da pista?
130 Urn golfista golpeia bolas em direcao a uma parede vertical que
esta 20,0 m a sua frente, tentando acertar urn circulo vermelho de
30,0 cm de diametro pintado sobre a parede. 0 alvo esta centrado
em tome de urn ponto 1,20 m acima do ponto onde a parede intercepta 0 chao horizontal. Em uma tentativa, a bola deixa 0 chao com
uma velocidade de 15,0 mls em urn lingulo de 35° acima da hori-
Capitulo Quatro
zo tal e entao bate na parede sobre uma linha vertical que passa
yes do centro do circulo. (a) Quanto tempo a bola leva para alcaDC?f a parede? (b) A bola acerta 0 cfrculo vermelho (de a distancia ao centro do cfrculo)? (c) Qual e a velocidade da bola imediatamente antes de ela bater na parede? (d) A bola ja passou pelo ponto
mais alto de sua trajet6ria quando ela bate na parede?
131 0 alcance de urn projetil depende nao apenas de Vo e 80, mas
tambem do valor da aceleracao de queda livre g, que varia de lugar
para lugar. Em 1936, Jesse Owens estabeleceu urn recorde mundial para 0 salto em distancia de 8,09 m nos Jogos Olfmpicos de Berlim (ondeg = 9,8128 m/s'). Supondo os mesmos valores de Vo e 80,
por quanto 0 seu recorde teria sido diferente se, em vez disso, ele tiesse competido em 1956 em Melbourne (onde g = 9,7999 rnls2)?
132 Qual a velocidade inicial que 0 jogador de basquete na Fig. 4-61
deve arremessar a bola, em urn angulo 80 = 55° acima da horizontal,
para acertar 0 lance livre? As distancias horizontais sac d, = 1,0 pe
e d; = l-l pes.e as alturas sao a, = 7,Opesehz = lOpes.
133 Urn helic6ptero esta voando em linha reta sobre urn campo plano com uma velocidade con stante de 6,2 m/s e a uma altitude constante de 9,5 m. Urn pacote e lancado horizontalrnente do helicoptero com uma velocidade inicial de 12 mls em relacao ao helic6ptero
e em urn sentido oposto ao seu movimento. (a) Encontre a velocidade inicial do pacote em relacao ao chao. (b) Qual e a distancia
horizontal entre 0 helic6ptero e 0 pacote no instante em que 0 pacote bate no chao ? (c) Qual 0 angulo que 0 vetor velocidade do pa-
----I·1
Ir--· ---d2
Fig. 4-67 Problema 132.
cote faz com 0 chao no instante imediatamente antes do impacto,
conforme visto do chao?
Em uma cena comum em filmes de acrao,urn ator e arremessado
no ar por uma explosao, urn acidente de motocicleta, urn tornado ou
algo parecido. Na verdade, 0 ator e lancado por uma Rarnpa de Ar,
que consiste em uma placa na extremidade de urn brace de Jancamento alimentado por cilindros pneumaticos de ar pressurizado.
Quando 0 ator pisa na placa, comutadores eletricos subitamente
permitem ao ar pressurizado empurrar 0 brace de lancamento, enviando a placa para cima e atirando 0 ator sobre 0 set de filmagern.
Aproxime 0 voo do ator ao de uma partfcula retornando a sua eleva~ao inicial. Em unidades de g, determine 0 modulo da aceleracao
media do ator durante 0 lancarnento para as seguintes situacoes: (a)
A aceleracao dura 0,25 s, eo ator e atirado atraves de urn arco baixo
(para uma cena de interior) com urn alcance de 4,0 rn em urn angulo
de lancamento de 30° com a horizontal. (b) A aceleracao dura 0,29 s,
eo ator e atirado atraves de urn arco mais alto (para uma cena de exterior) com urn alcance de 12 rn, em urn angulo de lancamento de 45°.
134
135 Urna bola de beisebol e golpeada no Fenway Park em Boston
em urn ponto 0,762 m acirna da base do batedor com uma velocidade inicial de 33,53 mls direcionada 55,0° acima da horizontal. Observa-se que a bola passa precisamente por sobre Limaparede de
11,28 m de altura 11 esquerda do campo (conhecido como 0 "monstro verde"), 5,00 s ap6s ter sido golpeada, em urn ponto dentro do
campo esquerdo exatamente antes do poste foui line". Encontre (a)
a distancia horizontal abaixo dafoulline do campo esquerdo a partir da base do batedor ate a parede; (b) a distancia vertical com a
qual a bola passa por cima da parede; e os deslocamentos (c) horizontal e (d) vertical da bola em relacao 11 base do lancador 0,500 s
ante de ela passar sobre a parede.
136 Urn vagao de madeira esta se movendo ao longo de uma linha
ferrea retilinea com velocidade v I' Urn atirador de elite dispara uma
bala (com velocidade inicial v2) no vagao usando urn rifle potente.
A bala atravessa as paredes longitudinais do vagao, com as seus furos
de entrada e saida estando exatarnente opostos quando vistos de
dentro do vagao. De que direcao, em relacao a linha ferrea, a bala
foi disparada? Suponha que a bala nao tenha sido defletida ao penetrar 0 vagao, mas que sua velocidade tenha diminuido 20%. Tome
VI = 85 km/h e V2 = 650 mls. (Par que voce nao precisa conhecer a
largura do vagao")