Questão 01
Um corpo de 4 kg está preso a um fio e descreve um movimento circular em um plano perpendicular ao solo. Na
posição indicada na figura, ele sofre a ação de uma força, no plano xy , perpendicular ao seu movimento que o libera
do fio, sendo o impulso nesta direção igual a 40 3 kg m/s. Determine:
A) a variação do vetor momento linear entre o instante em que o corpo é liberado do fio e o instante que atinge o solo;
B) a coordenada x do ponto onde o corpo atinge o solo.
Dados:
• raio do movimento circular: 6, 4 m ;
• velocidade do corpo preso no fio no ponto mais alto: 6 m/s ;
• aceleração da gravidade: 10 m/s 2 .
Resolução:
A partícula passa por A com velocidade v0  6 m/s e chega ao ponto de lançamento B com velocidade v1 :
E M A  EM B
EPA  EcA  EPB  EcB
mv02
mv 2
 mgR  1  mgy0
2
2
v02
v12

 gR   g ( R  Rsen 30º )
2
2
62
v2
 1

 10  6, 4  1  10  6, 4 1    v1  10 m/s
2
2
 2

Antes do corpo ser liberado seu momento linear P1 forma um ângulo de 30º com a vertical que vale:

P1  m  v1  40 kg  m/s
 
Nesse instante, o corpo recebe um impulso I  40 3 kg m/s conforme a figura:
y
I
P2
y0
a
30°
30°
x0
P1
Onde tem-se:
  

 
I  P 2  P1  P 2  I  P1
Ainda:

 P22  40 3

2
  40 
2
 P2  80 kg  m/s
Sendo que:
I
tg   3    60º
P1
Ou seja, a partícula é lançada horizontalmente com velocidade:
P
80
v2  2  v2 
 20 m/s
m
4
E ainda, as coordenadas do ponto de lançamento são:
3
x0  R  cos30º  6, 4 
 3, 2 3 m
2
1
y0  R  sen 30º  6, 4   3, 2 m
2
Daí:
a) Entre o instante que é liberado e o instante que atinge o solo a variação do momento linear é igual ao impulso da força peso:
I P  P  t
E, sendo t o tempo de queda:
y f  y0  g
 t 
2  y0  6, 4 
t 2
 t 
2
g
2   9,6 
10
 0,8 3 s
Por fim:
I P   mg   t  4  10  0,8 3  32 3 kg m/s
 p  I  32 3 kg m/s
 
Sendo  p  I p vertical e apontado para baixo.
b)
Após o lançamento, o espaço percorrido em x vale até atingir o solo:
x  v2  t  20  0,8 3  16 3 m
Portanto:
x f  x0  x  3, 2 3  16 3  19, 2  3 m
2
Questão 02
Uma partícula de carga Q e massa m move-se dentro de um túnel estreito no plano xy , sem atrito, sujeita à força
provocada pelo campo elétrico  E , 0  . Seguindo a trajetória conforme apresentado na figura acima. Sabe-se que:
• a partícula entra no túnel com velocidade  v, 0  no ponto de coordenadas  0, 0  ;
• a trajetória da partícula forçada pelo túnel é um quarto de circunferência de raio R ;
• não há influência da força da gravidade.
Ao passar por um ponto genérico dentro do túnel, determine, em função da abscissa x :
a) o módulo da velocidade da partícula;
b) as componentes vx e v y do vetor velocidade da partícula;
c) o módulo da aceleração tangencial da partícula;
d) o módulo da reação normal exercida pela parede do túnel sobre a partícula;
e) o raio instantâneo da trajetória da partícula imediatamente após deixar o túnel.
Resolução:
y
E
q
R2 - x2
v
R
q
p
y
0
a)
x
Enquanto a partícula se move de 0  0, 0  até o ponto P  x, 1 sofre o trabalho da força elétrica de um campo uniforme:
 E  Ec
Q  v0  v1  
mv 2f

mv02
2
2
m 2
 Q  E  x   v f  v2 
2
 2
b)
x
QEx
 QE 
 v 2f  v 2  v f  v 2  2 
x
m
 m 
Podemos determinar vx e v y decompondo v da forma:
 R2  x2 

vx  v  cos   v f  


R


2

x 
 QE 
 vx   1      v 2  2 
x

 R  
 m 

x
x
 QE 
v y  v  sen  v f     v y     v 2  2 
x
R
 m 
R
3
c)
Observe o diagrama de forças:
y
N
FEt
q
FE
x
FEn
FET  m  at
 FE  cos   m  at
FE
 QE 
x
 cos   
  1  
m
m


R
 at 
d)
2
Podemos escrever a resultante centrípeta da forma:
Fap  N  FEn
 N  Fap  FEn
 N
mv 2f
R
 FE  sen
 N
m 2
 QE  
x
v  2
 x   QE  
R 
m

 
R
 N
m 2
 QE  
v  3
 x

R
 m  
e)
vf
Rf
y
FE
0
x
Imediatamente após deixar o túnel temos:
 QE 
v f  v2  2 
R
 m 


E a força elétrica F E atuando perpendicularmente a v f :
FE  Fap
QE 
mv 2f
Rf
 m  2
m  2
 QE  
 Rf  
  vf 
v  2  m  R 
QE
QE

 



2
mv
 R f  2R 
QE
4
Questão 03
Uma esfera de gelo de raio R flutua parcialmente imersa em um copo com água, como mostra a figura acima. Com a
finalidade de iluminar uma bolha de ar, também esférica, localizada no centro da esfera de gelo, utilizou-se um feixe
R 2 2
luminoso de seção reta circular de área
m que incide verticalmente na esfera. Considerando que os raios mais
100
externos do feixe refratado tangenciam a bolha conforme a figura, determine a massa específica do gelo.
Dados:
• Índice de refração do ar: 1, 0
• Índice de refração do gelo: 1,3
• Massa específica do ar: 1, 0 kg/m3
• Massa específica da água: 103 kg/m3
• Volume da calota esférica: v  2 102 R 3
Resolução:
Observe a figura:
O feixe incidente possui seção reta circular de área A  r 2 , portanto:
R 2
A  r 2 
100
R
 r
10
Então, podemos escrever a Lei de Snell da forma:
nar  sen   ngelo  sen 
r
1     1,3  sen 
R
1
 sen 
13
r
R
E, ainda: sen  b  rb 
R
13
5
Cálculo dos volumes de Ar e Gelo:
3
Var 
VGelo
4 3 1 4 3
rb     R
3
 13  3
  1 3  4
4
4
 R 3  rb3  1      R 3
3
3
  13   3
Considerando que o volume de calota esférica dado seja o volume da esfera de gelo emerso, temos para o volume imerso:
4
4

Vi  R 3  2  102  R 3  R 3   2  102 
3
3

E assim, para o equilíbrio temos:
E  PG  PAr
 Água  g  Vi  Gelo  g  VGelo  ar  g  Var
(1)
  1 3 
4
4

103  R 3   2  102   Gelo  R 3 1    
4
3

  13  
3
1 4
 1     R 3
 13  3
1
103 1  1,5  102    
 13 
 Gelo 
3
1
1  
 13 
 Gelo  0,985  103 kg/m3
3
Questão 04
Existe um intervalo mínimo de tempo entre dois sons, conhecido como limiar de fusão, para que estes sejam percebidos
pelo ouvido humano como sons separados. Um bloco desliza para baixo, a partir do repouso, em um plano inclinado
com ressaltos igualmente espaçados que produzem ruídos. Desprezando o atrito do bloco com o plano inclinado e a
força exercida pelos ressaltos sobre o bloco, determine o limiar de fusão  de uma pessoa que escuta um ruído contínuo
após o bloco passar pelo enésimo ressalto.
Observação:
• Despreze o tempo de propagação do som.
Dados:
• ângulo do plano inclinado com a horizontal: 
• aceleração da gravidade: g
• distância entre os ressaltos: d
Resolução:
O bloco desce o plano inclinado em MRUV com aceleração a  g sen . Assim:
1)
tempo até a produção do n-ésimo ruído:
t2
nd  a n
2
 tn 
2)
2dn
g sen 
tempo até a produção do  n  1 -ésimo ruído:
 n  1 d  a
 t n 1 
tn 12
2
2d  n  1
g sen 
Linear de fusão:
  t n 1  t n
 
 
2d  n  1
g sen 
2d

g sen 


2dn
g sen 
n 1  n

6
Questão 05
A figura acima apresenta uma barra ABC apoiada sem atrito em B . Na extremidade A , um corpo de massa M A é
preso por um fio. Na extremidade C existe um corpo com carga elétrica negativa Q e massa desprezível. Abaixo desse
corpo se encontram três cargas elétricas positivas, Q1 ,Q2 e Q3 , em um mesmo plano horizontal, formando um triângulo
isósceles, onde o lado formado pelas cargas Q1 e Q3 é igual ao formado pelas cargas Q2 e Q3 . Sabe-se, ainda, que o
triângulo formado pelas cargas Q, Q1 e Q2 é equilátero de lado igual a 2
3
m.
3
Determine a distância EF para que o sistema possa ficar em equilíbrio.
Dados:
• massa específica linear do segmento AB da barra: 1, 0 g / cm ;
• massa específica linear do segmento BC da barra: 1,5 g / cm ;
• segmento AB barra: 50 cm ;
• segmento BC barra: 100 cm ;
• segmento DE : 60 cm ;
•
M A  150 g ;
•
•
•
Q  Q1  Q2  31/ 4  106 C ;
aceleração da gravidade: 10 m / s 2 ;
constante de Coulomb: 9  109 N.m 2 / C2 .
Observação:
• As cargas Q1 e Q2 são fixas e a carga Q3 , após o seu posicionamento, também permanecerá fixa.
Resolução:
Seja EF  x .
A resultante das forças elétricas em Q deve ser vertical, pois as demais forças que atuam na barra AC também são.
7
Cálculo de H :
2
L 3
2
2
 2   0,6  H


1  0,36  H 2
H  0,80 m  sen   0,8 e cos   0,6
Cálculo de F1 e suas componentes:
F
K Q1 Q
L2

 1

9  109   3 4  106 


2 3
 3 


2
2
F  6,75  103 3 N
F12  F 2  F 2  2 F  F  cos 60º  3F 2
F1  F 3  6,75  103 3  3
F1  20, 25  103 N
F1H  F1  cos   20, 25  103  0,6
F1H  12,15  103 N
F1V  F1  sen   20, 25  103  0,8
F1V  16, 2  103 N
Daí:
F2 H  F1H  12,15  103 N
Marcando as forças verticais na barra AC :
T  M A  g  0,150  10 N  1,5 N
PAB  M AB  g  0,001  50  10 N  0,5 N
PBC  M BC  g  0,0015  100  10 N  1,5 N
MB  0
T  50  PAB  25  PBC  50   F2V  F1V   100
1,5  50  0,5  25  1,5  50   F2V  16, 2  103   100
F2V  10,88  102 N
tg  
F2V 10,88  102

 8,955
F2 H 12,15  103
Por fim:
H
tg  
x
H
0,80m
x

 0,089 m
tg  8,955
x  8,9cm
Questão 06
Um industrial deseja lançar no mercado uma máquina térmica que opere entre dois reservatórios térmicos cujas
temperaturas são 900 K e 300 K , com rendimento térmico de 40% do máximo teoricamente admissível. Ele adquire os
direitos de um engenheiro que depositou uma patente de uma máquina térmica operando em um ciclo termodinâmico
composto por quatro processos descritos a seguir:
Processo 1 – 2: processo isovolumétrico com aumento de pressão: Vi , pi   Vi , p f  .
Processo 2 – 3: processo isobárico com aumento de volume: Vi , p f   V f , p f  .
Processo 3 – 4: processo isovolumétrico com redução de pressão: V f , p f   V f , pi  .
8
Processo 4 – 1: processo isobárico com redução de volume: V f , pi   Vi , pi  .
O engenheiro afirma que o rendimento desejado é obtido para qualquer valor de
volumes
Vf
pf
pi
 1 desde que a razão entre os
seja igual a 2. Porém, testes exaustivos do protótipo da máquina indicam que o rendimento é inferior ao
Vi
desejado. Ao ser questionado sobre o assunto, o engenheiro argumenta que os testes não foram conduzidos de forma
correta e mantém sua afirmação original. Supondo que a substância de trabalho que percorre o ciclo 1-2-3-4-1 seja um
gás ideal monoatômico e baseado em uma análise termodinâmica do problema, verifique se o rendimento desejado
pode ser atingido.
Resolução:
Graficamente temos:
Processo 1-2:
12  0
3
3
p  Vi   p f  pi   Vi
2
2
3
Q12  12  U12   p f  pi Vi  0
2
U12 
Processo 2-3:
23  p f V  p f V f  Vi 
3
3
23  p f V f  Vi 
2
2
5
Q23  23  U 23  p f V f  Vi   0
2
Processo 3-4:
 34  0
U 23 
3
3
pV f  pi  p f V f
2
2
3
Q34   34  U 34  pi  p f V f  0
2
Processo 4-1

U 34 



 41  pi V  pi Vi  V f


3
3
U 41   41  pi Vi  V f
2
2
5
Q41   41  U 41  pi Vi  V f  0
2



Q1  Q12  Q23 
Q2  Q14  Q41

3
5
p f  pi Vi  p f V f  Vi
2
2
3
5
 p f  pi V f  pi V f  Vi
2
2








 ciclo  Q1  Q2
Por hipótese
Vf
Vi
 2 , ou seja, V f  2Vi , daí:
Q1 
3
5
3 
8
p f  pi Vi  p f  Vi   p f  pi  Vi

2
2
2
2 
Q2 
3
5
1 
6
p f  pi 2Vi  piVi   p f  pi  Vi
2
2
2
2 




9
Seja  o rendimento:
Q
 Q1  Q2


 1 2
Q1
Q1
Q1
1 
6
 p f  pi  Vi
6 p f  pi
2
2
 1
1
3 
8 p f  3 pi
8
 p f  pi  Vi
2
2
Calculo do máximo rendimento carnot  teoricamente admissível:
carnot  1 
T2
300
1 2
1
1 
T1
900
3 3
A máquina térmica a ser lançada deve satisfazer a seguinte relação:
40

carnot
100
6 p f  pi
40 2 4

 
1
8 p f  3 pi 100 3 15
1
6 p f  pi
4

15 8 p f  3 pi
11 6 p f  pi

15 8 p f  3 pi
90 p f  15 pi  88 p f  33 pi
2 p f  18 pi
p f  9 pi
Relação que nunca será satisfeita, pois Pf  0 e Pi  0 .
Do exposto, concluímos que o ciclo termodinâmico apresentado, com a hipótese
Vf
Vi
 2 jamais atenderá às exigências de rendimento
da máquina térmica a ser lançada.
Questão 07
Um planeta desloca-se em torno de uma estrela de massa M , em uma órbita elíptica de semi-eixos a e b  a  b  .
Considere a estrela fixa em um dos focos. Determine as velocidades mínima e máxima do planeta.
Dados:
• constante gravitacional: G ;
• distância entre os focos: 2c .
Resolução:
Conservando energia mecânica entre ofélio (A) e periélio (P) temos:
EcA  Ep A  EcP  EpP
2
mv A2 GMm mv p GMm



rA
rP
2
2
1 1
 v A2  v 2p  2GMm   
 rA rP 
Em que,
rp   a  c  , e
rA   a  c 
1 
 1
 v A2  vP2  2GM 


a
c
a

c

10
 v A2  vP2  
4GMc
a2  c2
(1)
Conservando a quantidade de movimento angular do planeta temos:
LA  L p
mrAv A sen  A  mrP  vP  sen  P
  a  c   v A   a  c   vP
2
Substituindo (2) em (1) temos:
Velocidade Mínima
 a  c 

4GMc
v 
 vA    2
a
c

 

a  c 2 
2
2
A
  a  c 2 
4GMc
 v A2 1 
 2
2 
a  c 2 
 a  c  
 4ac 
4GMc
 v A2 
 2
2 
a  c 2 
 a  c  
 vA 
GM a  c 
2
a a 2  c 2 
 a  c 
GM
a a 2  c 2 
Velocidade Máxima:
2
 a  c 

4GMc
2
 a  c  vP   v P   2
 

a  c 2 
 a  c 2

4GMc
vP2 
 1   2
2
a
a
c

    c2 

 4ac 
4GMc
vP2 
 2
2 
a
  c2 
 a  c  
GM  a  c 
2
 vP 
a a  c
2
2

 a  c 
GM
a a 2  c 2 
Questão 08
Lente
mola
Objeto
luminoso
k
B
k
f
Trilha metálico
B
Trilho
metálico
Roletes metálicos
Tela de
Projeção
V0 –
+
a
Lente
Eixo
Óptico
Material
isolante
Hastes
condutoras
mola
+
Trilho
metálico
Vista frontal
Vista lateral
Um aparato óptico é constituído de uma tela de projeção e uma lente delgada convergente móvel guiada por trilhos e
fixada em um dos lados por duas molas, conforme ilustrado na figura. O aparato encontra-se imerso em um campo
magnético uniforme B , ortogonal ao eixo óptico e às duas hastes condutoras de suporte da lente. Ao dispor-se um
objeto luminoso na extremidade do aparato, com as molas relaxadas, verifica-se a formação de uma imagem nítida na
tela de projeção de tamanho L1 .
Aplicando-se uma diferença de potencial constante entre as extremidades das hastes de suporte da lente através dos
trilhos, observa-se a mudança na posição da lente, formando-se na tela de projeção uma nova imagem nítida, de
tamanho L2 , sendo L2  L1 . Determine:
a) o tamanho do objeto luminoso;
b) a distância entre o objeto luminoso e a lente quando os trilhos não estão energizados;
c) o valor da ddp que faz formar a nova imagem nítida.
11
Dados:
• Intensidade do campo magnético: B
• Constante elástica de cada mola: k
• Distância focal da lente: f
• Comprimento de cada haste condutora: a
• Resistência elétrica de cada haste condutora: R
Observações:
• Desconsidere a resistência elétrica do trilho e da fonte elétrica.
• Desconsidere a massa do conjunto móvel da lente e os atritos nos roletes.
Resolução:
A distância entre o objeto e a tela é constante e será chamada de D .
No 1º caso (trilho não energizado):
P1  P1 '  D
No 2º caso (trilho energizado):
P2  P2 '  D
x é o deslocamento da lente entre os dois casos (veja a figura)
a)
i1  P1 '
L P '
L P'

 1  1  1  1 I 
o
P1
o
P1
o
P1
De forma análoga:
L1 L2 P1 '  P2 '
 
o o
P1  P2
L2 P2 '

o
P2
 II 
 III 
1
1
1
1
1 1
1
1
P  P P '  P2 '
x
x
P ' P '

 
  

 2 1 1


 1 2 1
P1 P1 ' P2 P2 '
P1 P2 P2 ' P1 '
P1  P2
P1 '  P2 '
P1  P2 P1 '  P2 '
P1  P2
 IV 
Substituindo  IV  em  III  :
L1  L2
1
o2
o  L1  L2
P1  P2  x
P1  P2  x
b)
L1
f
o
f  P1

 
o
f  P1
L1
f
L1  L2
L1
1

L L
P1
 P1  f  1  1 2

f
L1






L L
De maneira análoga: P2  f   1  1 2

L2

c)




determinando o deslocamento da lente  x  em função de V0 :
V0
(em cada haste)
R
V
F  Bi L  B  0  a
R
Equilíbrio: FR  0
i
2 FMAG  2 Felástica
12
BV0 a
 K x
R
BV0 a
x 
KR
1 1 
P2  P1  x  f L1  L2    
 L1 L2 
1 1 
Bv0 a
 f L1  L2   
KR
 L1 L2 
v0 
KRf
 L1  L2
Ba
1 1 
  
 L1 L2 
Questão 09
A figura acima representa um sistema, inicialmente em equilíbrio mecânico e termodinâmico,
constituído por um recipiente cilíndrico com um gás ideal, um êmbolo e uma mola. O êmbolo
confina o gás dentro do recipiente. Na condição inicial, a mola, conectada ao êmbolo e ao
ponto fixo A , não exerce força sobre o êmbolo. Após 3520 J de calor serem fornecidos ao gás,
o sistema atinge um novo estado de equilíbrio mecânico e termodinâmico, ficando o êmbolo a
uma altura de 1, 2 m em relação à base do cilindro. Determine a pressão e a temperatura do
gás ideal:
X1
a) na condição inicial;
b) no novo estado de equilíbrio.
Observação:
• Considere que não existe atrito entre o cilindro e o êmbolo.
Dados:
• Massa do gás ideal: 0, 01 kg ;
• Calor específico a volume constante do gás ideal: 1.000 J/ kg K ;
• Altura inicial do êmbolo em relação à base do cilindro: X 1  1 m ;
•
•
•
Área da base do êmbolo: 0, 01 m 2 ;
Constante elástica da mola: 4.000 N/ m ;
Massa do êmbolo: 20 kg ;
•
•
Aceleração da gravidade: 10 m/ s 2 ; e
Pressão atmosférica: 100.000 Pa .
Resolução:
Na situação inicial a pressão do gás equilibra a pressão atmosférica e a pressão devido ao peso do êmbolo:
P
p0  patm 
A
20  10
5
 p0  10 
 1,2  105 Pa
102
Na situação final há também a força elástica:
P F
p f  patm  
A A
3
20  10  0 ,2   4  10
 p f  105 

2
2
10
10
 p f  2  105 Pa
Sendo que:
v0  1  A
v f  1,2   A
Assim temos:
p0v0 p f  v f

T0
Tf
13
A
k
P = 1 atm
Gás
ideal
1,2 10  1  A   2 10   1,2  A
5

T0
5
Tf
1
 T f  2T0
Escrevendo a 1ª Lei da Termodinâmica para o gás:
Q  τ  U
 2
O trabalho do gás pode ser calculado sobre o sistema externo da forma:
4  103  0 , 2 
K x 2
 Patm  V  mg H 
2
2
105   0 , 2   102  20  10  0 ,2
2
τ
 τ  320 J
Substituindo em  2  :
3520  320  U
U  3200 J
Podemos escrever ainda U da forma:
U  Qv  nCv T  m  cv  T
 T 
3200
U

 324 K
mcv 102  103
 T f  T0   320 K
 3
Substituindo  2  em  3 temos:
2T0  T0  320
 T0  320 K , e
T f  640 K
Então:
 P  1,2  105 Pa
Início  0
T0  320 K
5
 Pf  2  10 Pa
Fim 
T f  640 K
Questão 10
A Figura 1a apresenta um circuito composto por uma fonte de tensão alimentando um elemento desconhecido,
denominado CAIXA PRETA, em paralelo com uma resistência de 0,5  . As formas de onda da tensão fornecida pela
fonte e da potência solicitada pelo circuito são apresentadas nas figuras 1b e 1c , respectivamente. Pede-se:
a) o esboço dos gráficos das correntes iT t  , i1 t  e i2 t  ;
b)
c)
o esboço do gráfico da potência dissipada no resistor de 0,5  ;
a energia consumida pelo circuito no intervalo de tempo entre 0 e 5 s .
14
Resolução:
a)
e t 

 2  e t  .
R
0,5
O gráfico terá a mesma forma, ampliada 2 vezes.
A corrente i2  t  
e t 
A corrente iT  t  obedece a relação:
P  t   e  t   iT  t  em cada intervalo. Dividindo a função a função
P t 
e t 
, em cada intervalo, vamos obter o gráfico a seguir:
O gráfico de i1  t   IT  t   i2  t  , ou seja, devemos realizar a subtração, em cada intervalo, das respectivas funções de
IT  t  e i2  t  .
b)
Pot  R i2  t    0 ,5  i22  t 
c)
A área sobre o gráfico p  t  nos dá o valor numérico da energia consumida:
2
N
EN  2 
 4  2 1  2  2  1 2  7 J
2
2
2
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Professores
André Villar
Rodrigo Bernadelli
Marcelo Moraes
Colaboradores
Aline Alkmin
Carolina Chaveiro
José Diogo
Lilian Resende
Rubem Fraga
Digitação e Diagramação
Daniel Alves
João Paulo de Faria
Valdivina Pinheiro
Desenhistas
Luciano Lisboa
Rodrigo Ramos
Vinicius Ribeiro
Projeto Gráfico
Vinicius Ribeiro
Assistente Editorial
Valdivina Pinheiro
Supervisão Editorial
José Diogo
Rodrigo Bernadelli
Marcelo Moraes
Copyright©Olimpo2012
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