MÉTODOS NUMÉRICOS II
ENGENHARIA POLÍMEROS
EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS
Ano lectivo de 2003/20041
1
Celina Pinto Leão, DPS (2004)
Métodos Numéricos II - EngaPolimeros
Exercícios - Optimização não linear sem restrições
Condições de optimalidade
Optimização unidimensional
Folha 1
1. Dada a função
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 4
determine os seus pontos extremos.
2. Dada a função f : IR3 → IR definida por
f (x1 , x2 , x3 ) = 5x21 + 2x22 + x43 − 32x3 + 6x1 x2 + 5x2
verifique que ela tem apenas um ponto estacionário. Classifique-o.
3. Considere a função
f (x, y) = 3x21 − x22 + x31
Mostre que:
(a) a função dada tem um máximo local em (−2, 0)T ;
(b) a função dada tem um ponto de sela em (0, 0)T ;
(c) a função dada não tem mínimos.
4. Mostre que qualquer ponto da linha x2 − 2x1 = 0 é um mínimo de f : IR2 → IR
definida por
f (x1 , x2 ) = 4x1 2 − 4x1 x2 + x22 .
5. Dada a função f : IR2 → IR definida por
f (x1 , x2 ) = x21 (1 − x1 )2 + x1 x2 .
Verifique se tem pontos máximos, mínimos e/ou de descanso.
6. Dada a função f : IR → IR definida por
f (x) = x2 + 4|x − 1|
calcule o seu mínimo usando o algoritmo de Fibonacci. O processo iterativo deve
ser iniciado com N = 4 e pelo intervalo [0.7, 1.3].
2
7. Considere a função f : IR → IR definida por
½
|x|
para x < 0
x2 − x para x ≥ 0
calcule o seu mínimo usando o algoritmo de Fibonacci. O processo iterativo deve
ser iniciado com o intervalo [-2, 2]. Considere N = 10 e ε = 0.0000001.
8. A função f (x) definida por
f (x) = sen (x) tg (1 − x)
dá a posição de um ponto relativamente a um centro de coordenadas, como função de
um ângulo x. Pretende-se calcular o ponto mais alto dessa trajectória, no intervalo
[0, 1], isto é, o máximo de f (x). Use o método iterativo de Newton para calcular
um ponto estacionário e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = 0.5 e ε2 = 0.1. Verifique se o ponto encontrado é máximo.
9. Dada a função f : IR → IR definida por
f (x) = x2 − x
calcule o seu mínimo usando o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC),
baseado na interpolação quadrática. O processo iterativo deve ser iniciado com
o ponto x0 = 2.
Considere δ = 1, M = 0.5 e ε = 0.5.
10. Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000 cm3 e tapá-las
em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo
a minimizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Utilize
o algoritmo de DSC, baseado na interpolação quadrática, com o valor inicial r1 = 7,
δ = 0.5, ε = 0.1 e M = 0.5.
NOTA: Use a restrição do volume para eliminar uma das variáveis, por exemplo,
h = 1000
.
πr2
11. Considere a função f : IR → IR definida por
½
/ [0, 2]
(x − 1)2 para x ∈
1
para x ∈ [0, 2]
Implemente o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC), baseado em interpolação quadrática, fazendo x0 = 4, δ = 0.5 e M = 0.5.
3
Métodos Numéricos II - EngaPolimeros
Exercícios - Optimização não linear sem restrições
Optimização multidimensional
Folha 2
1. Calcule o mínimo da função f (x) definida por
¡
¢
f (x1 , x2 ) = máx (x1 − 1)2 , x21 + 4 (x2 − 1)2
implementando o método de Nelder-Mead, tomando para conjunto inicial os vectores
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1
0
1
,
e
0
0
1
e ε = 0.5.
2. No planeamento da produção de dois produtos, uma determinada companhia espera
obter lucros iguais a P :
P (x1 , x2 ) = 3(1 − e−1.2x1 ) + 4(1 − e−1.5x2 ) + (1 − e−x1 x2 ) − x1 − x2
em que x1 e x2 são respectivamente, as quantias gastas para produzir e promover
os produtos 1 e 2, em unidades de 105 euros.
Determine o máximo de P e os valores óptimos de x1 e x2 usando o método de
Nelder-Mead. O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for
verificado para ε = 0.6, ou ao fim de duas iterações. Considere os seguintes pontos
iniciais:
(0.5, 0.5)T , (0.5, 2.0)T , (1.5, 0.5)T .
3. Dada a função f : IR2 → IR definida por
f (x1 , x2 ) = −x21 − 6x22
calcule o seu máximo usando o algoritmo de segurança de Newton.
O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, −1) e deve terminar quando
o critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = ε3 = 0.5. Considere η = 0.0001.
Deve implementar o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para calcular o
comprimento do passo α, em cada iteração.
4
4. A energia potencial de duas barras ligadas, como ilustra a figura, é dada por:
µ ¶2
µ ¶2
EA l
EA h
2
f (x1 , x2 ) =
x1 +
x22 − P x1 cos(θ) − P x2 sen(θ)
s 2s
s
s
em que E = 207 × 109 P a (modulus de Young), A = 10−5 m2 (área transeccional
de cada barra), l = 1.5m (distância entre as duas barras), s é o comprimento das
barras, h = 4m (altura da ligação), P = 104 N (força aplicada), θ = 0.523599 rad
(ângulo a que a força é aplicada) e x1 e x2 são respectivamente, a componente
horizontal e vertical da energia potencial no ponto de aplicação.
Calcule os valores de x1 e x2 que minimizam a energia potencial usando o método
de Segurança de Newton (η = 0.00001). Inicie o processo iterativo com o ponto
(0.2, 0.001). O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = ε2 = ε3 = 0.001, ou ao fim de duas iterações.
5. Considere um circuito eléctrico em que existem duas resistências variáveis, R e X,
como se mostra na figura abaixo. O valor médio da energia do circuito é dado por
P =
104 R
.
(R + 20)2 + X 2
Determine os valores de R e X para os quais se obtém uma energia de saída máxima.
Use uma estratégia quasi-Newton e os valores iniciais (R, X)(1) = (10, 5) .
Utilize ainda o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para determinar o
comprimento do passo α em cada iteração e no critério de paragem ε1 = ε2 = ε3 =
0.3.
5
6. Dada a função f : IR2 → IR definida por
f (x1 , x2 ) = (x1 − 1)2 − (x2 − 1)2
calcule o seu mínimo usando a versão mais adequada do algoritmo dos gradientes
conjugados.
O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (2, 1.1) e deve terminar quando
a direcção de procura calculada verificar kdk2 < 0.1. Deve também, implementar a
procura unidimensional exacta, para calcular o comprimento do passo α
7. Dada a função f : IR2 → IR definida por
f (x1 , x2 ) = x21 + x22 − 2x1 x2
calcule o seu mínimo usando a versão mais adequada do algoritmo dos gradientes
conjugados..
O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, −1) e deve terminar quando
o critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = ε3 = 0.01. Deve implementar
o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para calcular o comprimento do
passo α, em cada iteração.
6
Métodos Numéricos II - Eng. EngaPolimeros
Exercícios
Equações diferenciais ordinárias
Folha 3
1. Considere a seguinte equação diferencial ordinária e respectiva condição inicial
y 0 = −y + xy
y (0) = 1.
Determine a sua solução numérica, considerando h=1, através do Método de Euler,
no intervalo ]0.0, 0.2].
2. Considere o seguinte modelo de balanço de massa, num reactor químico misto
V
dc
= F − Qc − KV c2
dt
em que V é o volume (10 m3 ), F é a alimentação (200 g/min), Q é o escoamento
(1m3 /min) e K é a razão da reacção (0.1 m/g/min). No instante inicial a concentração c é nula. Utilize 2 etapas do método de Runge-Kutta de 2a ordem para
calcular a concentração c passado 1 minuto.
3. Considere a seguinte equação diferencial ordinária e respectiva condição inicial
y 0 (x) + y (x) |y (x)| = 0
y (0) = 1
Determine a sua solução numérica, considerando h = 0.5, através do método de
Runge-Kutta de 2a ordem, no intervalo [0, 2].
4. A taxa de aquecimento de um corpo pode ser expressa por
dT
= −K (T − Ta )
dt
em que T é temperatura do corpo (o C), Ta é a temperatura do meio envolvente (o C)
e K é a constante de proporcionalidade (min−1 ). Se uma bola de metal aquecida
a 90o C é introduzida em água a uma temperatura constante de Ta = 20a C, calcule
o tempo que é necessário até a bola arrefecer para valores infereiores a 40a C se
K = 0.2min−1 . Utilize o método de Runge-Kutta de 4a ordem e utilize h = 2min.
5. Um possível modelo para o crescimento de uma população é representado pela
seguinte equação diferencial:
µ
¶
P
dP
, P (0) = P0
= rP 1 −
dt
K
em que P0 é a densidade populacional inicial, r o coeficiente de razão de crescimento
da população e K o máximo potencial de densidade populacional.
7
(a) Considerando r = 0.5 e K = 10, calcule a solução numérica para um espaço de
tempo 0 ≤ t ≤ 10 considerando como valor inicial P0 = 1. Utilize um métdod
predictor-corrector de 2a ordem e um espaçamento h = 5.
(b) A partir de t = 10, surge uma doença, podendo ser representada por uma
quantidade de subtracção, H = 0.95. A equação diferencial fica então:
µ
¶
dP
P
= rP 1 −
− H, P (10) = P0
dt
K
com P0 igual ao valor calculado na alínea anterior para t = 10.
Verifique o que começa a acontecer ao crescimento da população no instante
de tempo t = 15.
8
Métodos Numéricos II - Eng. EngaPolimeros
Exercícios
Sistemas de equações diferenciais.
Equações diferenciais de ordem igual ou superior a dois.
Folha 4
1. O seguinte sistema de equações diferenciais descreve a relação existente entre a
população de raposas, Nr , e coelhos, Nc , existentes numa determinada ilha, ao
longo do tempo

µ
¶
dNr (t)
Nr


+ Ar Nr Nc
= Gr Nr 1 −

dt
Mr¶
µ

 dNc (t) = Gc Nc 1 − Nc + Ac Nc Nr

dt
Mc
em que os coeficientes A correspondem ao termo de competição existente entre as
duas espécies, Gr e Gc a razão de crescimento de ambas as populações, Mr e Mc
são os limites de cada uma das populações. Considerando Gr = 0.02, Gc = 0.05,
Ar = 0.0001, Ac = −0.0004, Mr = 250 e Mc = 4000, estime a população de ambas
as espécies, ao fim de 10 anos, para populações iniciais iguais a 1000. Utilize o
método de Runge-Kutta de 2a ordem e considere h = 2.5.
2. O movimento de um certo mecanismo controlado é descrito pelas seguintes equações
diferenciais
½ 0
y1 (t) = y1 (t)(y1 (t) − 1.5) − sinal(1 + y2 (t))
0
y2 (t) = y2 (t)(1.5 − 2y1 (t))
onde t é o tempo e
y1 (0) = 1 e y2 (0) = b
Resolva numericamente as equações no intervalo
método de Runge-Kutta de 2a ordem e b = −0.5.
Nota: A função sinal(z) é definida por:

 −1, se z
0,
se z
sinal(z) =

1,
se z
[0, 1], com h = 0.5, usando o
<0
=0
> 0.
3. O desvio y(x) de uma viga com uma força distribuída ao longo de todo o seu
comprimento é representado pela seguinte equação diferencial
Fl
d2 y(x)
(L − x)2 = 0
−
2
dx
2EI
9
em que Fl é a carga distribuída, E é o módulo de elasticidade, I é o movimento de
inércia e L é o comprimento da barra.
Calcule o desvio na extremidade da viga (y(10)), sabendo que Fl = 150N/m, E =
7.2 × 109 Kg/m2 , I = 0.13 × 10−4 m4 e L = 10m.
dy(0)
= 0, tome h = 5m.
Considerando y(0) = 0 e
dx
4. A equação de Van der Pol é dada pela seguinte expressão
00
0
y − A(1 − y 2 )y + By = 0
Calcule pelo método de Runge-Kutta de 2a ordem uma aproximação a y(x) no in0
tervalo [0, 0.2], usando h = 0.1. Considere A = 0.1, B = 1, y(0) = 1 e y (0) = 0.
5. O movimento simples de um pêndulo pode ser descrito pela seguinte equação diferencial de 2a ordem:
g
d2 θ
sen(θ),
=
−
dt2
L
θ(0) = θ0 e
dθ
=0 .
dt
Considerando L = 1 m, g = 9.81 m/s2 e θ0 = π/10, calcule a posição θ no instante
de tempo t = 5 (considere um espaçamento h = 2.5).
6. Para cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais, coloque-os na forma
apropriada para a sua resolução numérica. Indique também os valores para iniciar
o processo numérico.
(a)
½
u00 + u0 v0 = sen (x)
v0 + v + u = cos (x)
com u (0) = u0 (0) = 0 e v (0) = 1.
(b)
½
y 00 − 4y + z 0 = 0
z 00 − 4y 0 + 2z = 0
com y (0) = z (0) = 0 e y 0 (0) = z 0 (0) = 1.
10
Métodos Numéricos II - Eng. EngaPolimeros
Exercícios
Equações diferenciais com condições de fronteira.
Folha 5
1. Considere a seguinte equação diferencial
½
t − y(t),
0≤t≤π
00
y (t) =
π−t
πe − y(t),
t>π
com as condições
y(0) = 0
e
y(2π) = 1.
Resolva-a no intervalo [0, 2π], considerando h =
π
.
2
2. A conservação de calor pode ser usada para desenvolver um balanço de calor para
uma haste fina e longa. Se a haste não estiver isolada ao longo do seu comprimento
e o sistema estiver em estado estacionário, surge a seguinte equação
d2 T (x)
+ h0 (Ta − T (x)) = 0,
dx2
em que h0 é um coeficiente de transferência de calor que parametriza a variação da
dissipação do calor para o ar circundante e Ta é a temperatura do ar circundante.
Para uma haste de comprimento L = 10 e para h0 = 0.01, Ta = 20, calcule a
temperatura ao longo da haste, supondo que T (0) = T1 = 40 e T (L) = T2 = 200.
Use um espaçamento h = 2.5.
3. Dado o problema de equações diferenciais
−
d dy(x)
dy(x)
(x
) + x2
= −x,
dx
dx
dx
com y(0) = 1 e y(1) = −2 , calcule aproximações a y(0.25), y(0.5) e y(0.75). Use um
espaçamento h = 0.25.
11
4. Dado o problema de equações diferenciais
(1 − x)y 00 (x) + x2 y 0 (x) − y(x) = x
com y 0 (0)−y(0) = 1 e y(1) = 1, calcule aproximações numéricas a y(0), y(0.25), y(0.5)
e y(0.75).
5. Resolva a equação diferencial
−2y 00 (x) + y(x) = e−0.2x
com y(0) = 1 e y 0 (10) + y(10) = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 10. Use h = 2.
6. Considere a seguinte equação diferencial
y 00 + 7y 0 + 12y = 4
com y 0 (0) = −1 e y 0 (1) = −1, no intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Use h = 0.25.
12