MÉTODOS NUMÉRICOS C
Mestrado de ciclo integrado em
Engenharia de COMUNICAÇÕES
EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS
Ano lectivo de 2007/2008
1 ERROS. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO NÃO LINEAR.
1
1
Erros. Solução de uma equação não linear.
1.1 O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de algarismos
significativos do que as parcelas.
Comprove a afirmação, calculando
x+y
com x = 0.123 × 104 e y = 0.456 × 10−3 .
1.2 Para x = 0.433 × 102 , y = 0.745 × 100 e z = 0.100 × 101 , calcule usando aritmética de
três algarismos significativos
(a) x + y
y
(b)
x
(c) xz
Quantos algarismos significativos apresentam os resultados? Estime os erros de arredondamento cometidos.
1.3 Calcule um limite superior do erro absoluto no cálculo da expressão
f (x, y, z) =
2xy
+z
x2
Sabendo que são usados os seguintes valores aproximados:
x = 3.1416 de π
√
y = 1.732 de 3
√
z = 1.4142 de 2
Estime também o erro relativo em f .
1.4 Calcule um limite superior do erro absoluto no calculo da expressão
f (x, y, z) = −x + y 2 + sen(z)
sabendo que sao usados os seguintes valores aproximados: x = 1.1 (δx = 0.05); y = 2.04
(δy = 0.005); z = 0.5rad. (δz = 0.05). Quantos algarismos significativos apresenta o valor
calculado de f ?
1.5 (TPC) Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência (R) de 20Ω. A resistência foi
medida com um erro relativo que não excede 0.01. A intensidade da corrente (I) é 3.00 ±
0.01A. Sabendo que a tensão da corrente é dada por V=RI, determine um limite superior
do erro absoluto no cálculo da tensão da corrente.
Quantos algarismos significativos garante para o valor calculado da tensão?
√
2
1.6 (TPC) Seja A = 3 23a a área de um hexágono regular de lado a. Seja 1m o valor
√
aproximado para o lado do hexágono. Considerando um valor aproximado de 3 com
quatro algarismos significativos, com que aproximação se deve medir o lado de modo a
que o limite superior do erro absoluto no cálculo da area não exceda 100cm2 ?
2 ZEROS DE FUNÇÕES
2
1.7 Pretende-se calcular a área de um círculo, de raio aproximadamente igual a 25cm, com
erro absoluto que em modulo não excede 0.5cm2 . Com que aproximação se deve medir o
raio do círculo e quantos algarismos significativos se devem usar no valor aproximado de
π?
2
Zeros de funções
2.1 Localize através do método gráfico as raízes das equações não lineares em x:
(a) f (x) ≡ x3 − 3x + 1 = 0;
(b) f (x) ≡ sen(x) + x − 2 = 0;
(c) f (x) ≡ ex + x − 1 = 0;
(d) (AULA)f (x) ≡ x + ln(x) = 0.
2.2 A equação
1
f (x) ≡ 1 + (sec (x)) 2 − tg (x) = 0
surge na teoria das reacções nucleares e tem várias raízes. Calcule a raiz que pertence
ao intervalo [1, 1.5] usando um método iterativo que não precise do cálculo das derivadas.
Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = 0.05.
2.3 (TPC) Baseado num trabalho de Frank-Kamenetski, em 1955, a temperatura no interior de um material, quando envolvido por uma fonte de calor, pode ser determinada se
resolvermos a seguinte equação não linear em x:
√
e−0.5x
=
0.5L
cosh(e0.5x )
Para L = 0.088, calcule a raiz da equação, usando um método que não recorra a derivadas.
Tome como aproximação inicial o intervalo [−1, 0] e pare o processo iterativo quando o
critério de paragem for verificado para ε1 = 0.5 e ε2 = 0.1, ou ao fim de 2 iterações.
Nota: cosh(y) =
ey +e−y
2
2.4 (TPC) Considere a equação não linear f (x) ≡ x + ln(x) = 0 que tem uma única raiz.
Sabe-se que esta pertence ao intervalo [0.5, 1.0].
(a) Determine uma aproximação a essa raiz através do método de Newton. Considere
no critério de paragem ε1 = 0.005 e ε2 = 0.0005.
(b) Repita o processo, para o método de Newton, tomando agora x1 = 3.0. Que conclusões pode tirar desta implementação?
2.5 (AULA) Uma bola esférica de raio r = 10 cm feita de uma substância cuja densidade é
ρ = 0.638, foi colocada num recipiente com água. Calcule a distância x da parte submersa
da bola sabendo que
π x3 − 3x2 r + 4r 3 ρ
f (x) ≡
=0
3
usando o método de Newton. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for
verificado para ε1 = ε2 = 0.001, ou ao fim de 3 iterações.
2 ZEROS DE FUNÇÕES
3
=
−
+
2.6 (AULA) Considere a figura ao lado que representa
um lago. h é a profundidade do lago, A(h) = 4.7h é
a área da secção molhada, P (h) = 4 + 2h representa
o perímetro molhado, R(h) é o raio hidráulico dado
por PA(h)
(h) , S = 0.001 (inclinação longitudinal do lago),
v = 0.02 (parâmetro de rugosidade da superfície do
lago) e Q = 12.2 (vazão do lago).
Pretende-se determinar a profundidade h do lago pela aplicação da equação de Manning
para verificação da capacidade da vazão de lagos:
2
1
A(h) R(h) 3 S 2
Q=
.
v
Sabendo que h ∈ [1, 2], utilize o método mais adequado, considerando no critério de
paragem ε1 = 10−1 e ε2 = 10−2 (2 iterações).
2.7 (TPC) A equação
a(x) = 2.02x5 − 1.28x4 + 3.06x3 − 2.92x2 − 5.66x + 6.08
25
20
15
a'(x), velocidade de propagação
é usada num estudo do comportamento mecânico de materiais, sendo a(x) o comprimento da fissura e x (positivo) representa uma fracção de ciclos de propagação.
Pretende-se saber para que valores de x é
nula a velocidade de propagação. Utilize
um método que não recorre ao cálculo de
derivadas, usando no critério de paragem
ε1 = ε2 = 10−3 , ou no máximo 3 iterações.
10
5
0
-5
-10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
x, número de ciclos de propagação
0.6
0.8
1
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3
4
Sistemas de equações lineares
3.1 (AULA) Dada a matriz


2.4
6.0 −2.7
5.0
 −2.1 −2.7
5.9 −4.0 

A=
 3.0
5.0 −4.0
6.0 
0.9
1.9
4.7
1.8
e o vector b = (14.6, −11.4, 14.0, −0.9)T .
(a) Resolva o sistema correspondente por um método directo e estável.
(b) Calcule o determinante da matriz A por um método directo e estável.
(c) Calcule A−1 usando o método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial.
3.2 (TPC) A aplicação da lei de voltagem nos
nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear:

 17V 1 − 8V 2 − 3V 3 = 480
−2V 1 + 6V 2 − 3V 3 = 0

−V 1 − 4V 2 + 13V 3 = 0
(a) Resolva o sistema por um método directo e estável.
(b) Calcule a inversa e o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.
3.3 (TPC) Considere o sistema

 x1 + 0.5x2 + 0.5x3 = 2
0.5x1 + x2 + 0.5x3 = 2

0.5x1 + 0.5x2 + x3 = 2
(a) Use o método iterativo de Gauss-Seidel para calcular a solução, com uma precisão
(em termos relativos) igual a 0.3.
(b) Estude a convergência através das condições suficientes.
3.4 (AULA) Considere o sistema

 2x1 + x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 9

x1 + x2 + 3x3 = 6
Estude a convergência do método de Gauss-Seidel através das condições suficientes.
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
5
3.5 Considere a matriz dos coeficientes de um certo sistema linear


k 3 −1
A =  k 6 1 .
1 5 −7
Com base numa das condições suficientes baseada na matriz A, para que valores de k se
garante a convergência do método de Gauss-Seidel?
3.6 Considere o seguinte sistema de equações lineares

2x1 + 0.5x2 = 1




0.5x

1 + x2 = 1
2x3 = −1


x
+ x5 = 1


 4
x4 + 2x5 = −1
Implemente o método iterativo de Gauss-Seidel para resolver o sistema. Pare o processo
iterativo quando uma das seguintes condições for verificada:
(k+1)
x
− x(k) i.
≤ 0.5
x(k+1) ii. nmax = 3.
3.7 Considere o seguinte sistema de

 0.8x1
0.6x1

2.0x1
equações lineares
+ 1.4x2 + 3.0x3 = 12.6
+ 0.9x2 + 2.8x3 = 10.8
+ 1.0x2 + 1.0x3 = 4.0
Estude a convergência do método de Jacobi na sua resolução. Justifique.
3.8 (TCP) Considere o seguinte sistema de equações lineares

x2 +
x3 =
1
 5x1 +
0.1x1 + 4.5x2 + 0.4x3 = 0.02

0.5x1 + 1.1x2 + 3.1x3 =
6
(a) Estude a convergência do método iterativo de Jacobi. Justifique a sua resposta.
(b) Calcule a solução do sistema, pelo método indicado, usando no critério de paragem
o seguinte valor para o parâmetro: ε = 0.1 (no máximo 3 iterações).
3.9 (AULA) A aplicação da lei de voltagem nos
nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear:

 17V 1 − 8V 2 − 3V 3 = 480
−2V 1 + 6V 2 − 3V 3 = 0

−V 1 − 4V 2 + 13V 3 = 0
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
6
Use o método de Gauss-Seidel para encontrar uma aproximação à solução. Considere
V (1) = (0, 0, 0)T como aproximação inicial, ε = 0.2 e faça no máximo 2 iterações.
4
Sistemas de equações não lineares
4.1 (TPC) A posição de um determinado objecto O1 no plano xy é descrita em função
do tempo (t) pelas seguintes equações:
x1 (t) = t, y1 (t) = 1 − e−t .
A posição de um segundo objecto O2 é descrita pelas seguintes equações:
x2 (t) = 1 − cos(α)t, y2 (t) = sin(α)t − 0.1t2
em que α representa o ângulo em radianos,
como mostra a figura.
Quando se iguala as coordenadas x e y, obtém-se o seguinte sistema:
t
= 1 − cos(α)t
−t
1−e
= sin(α)t − 0.1t2
cujos valores de t e de α são desconhecidos.
Determine os valores de t e α na posição em que os dois objectos colidem, i.e., na posição
em que se igualam as coordenadas x e y. Considere os valores iniciais (t, α)(1) = (4.3, 2.4),
ε1 = ε2 = 0.015 e faça no máximo duas iterações.
4.2 Considere o seguinte sistema de equações:
3x2 +2y 2 = 35
.
4x2 −3y 2 = 24
Como se pode observar na figura o sistema tem 4 raízes. Utilize o método de Newton para
resolução de sistemas de equações não lineares para determinar uma aproximação à raiz
do 1o quadrante. Considere como aproximação inicial o ponto (2.5, 2) e ε1 = ε2 = 10−1
ou no máximo 2 iterações.
5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
7
4.3 (AULA)
(x1, y1)
Em problemas de navegação, é necessário
encontrar a posição de um ponto (x, y),
através dos valores das distâncias r1 e r2 a
dois pontos de posição conhecida (x1 , y1 ) e
(x2 , y2 ), como mostra a figura.
r1
(x2, y2)
r2
(x, y)
(a) Formule o problema como um sistema de equações não lineares em função das coordenadas do ponto (x, y). Note que r1 e r2 são os raios das circunferências de centro
(x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), respectivamente.
(b) Considerando (x1 , y1 ) = (10, 10), (x2 , y2 ) = (10, −10), r1 = 14 e r2 = 16, calcule as coordenadas do ponto (x, y) através do método iterativo de Mewton para
(x, y)(1) = (0, 0). Apresente o valor final ao fim de duas iterações com a correspondente estimativa do erro de aproximação.
4.4 Duas estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica
possível. O custo total de operação das duas estações é dado por
f (x1 , x2 ) = 0.1 + 0.01x1 x2 + 0.15x42 + 0.01x41 − 0.25(x1 + x2 − 100)
em que x1 é a energia fornecida pela primeira estação e x2 é a energia fornecida pela
segunda estação. Determine os valores de x1 e x2 por forma a minimizar o custo total
de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto (2.0, 0.5) e
ε1 = ε2 = 0.2 (uma iteração).
5
Interpolação polinomial
5.1 (TPC) Dada a tabela de valores de uma função f (x)
xi
f (xi )
0.0
0
0.1
1
0.2
1
0.3
2
0.4
2
0.5
3
0.8
3
1.0
4
(a) Pretende-se aproximar f (0.6) usando um polinómio de grau 3. Use a fórmula interpoladora de Newton baseada em diferenças divididas.
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.
6 APROXIMAÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS POLINOMIAIS E LINEARES
8
(c) Estime f (0.6) usando todos os pontos da tabela.
5.2 (AULA) Considere a seguinte tabela:
x
f (x)
−2
−17
−1
−1
0
1
0.25
1.421875
1
7
2
35
(a) Construa a tabela das diferenças divididas (utilize nos cálculos 6 casas decimais).
(b) Estime o valor de f (0.5) utilizando dois polinómios interpoladores de grau 3.
(c) Comente os resultados obtidos.
5.3 (AULA) Considere a seguinte tabela de uma função polinomial
-1
-1
x
p(x)
0
-3
1
-1
2
5
3
15
4
29
Sem recorrer à expressão analítica de p(x):
(a) mostre que p(x) é um polinómio interpolador de grau 2.
(b) determine p(10).
5.4 A velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo com a tabela abaixo:
Temperatura (o C)
Velocidade (m/s)
86.0
1552
93.3
1548
98.9
1544
104.4
1538
110.0
1532
(a) Pretende-se estimar a velocidade do som na água a uma temperatura de 100o C,
utilizando:
i. um polinómio interpolador de Newton de grau dois;
ii. um polinómio de grau dois no sentido dos Mínimos Quadrados, usando os mesmos
pontos que utilizou na alínea anterior.
(b) Comente e justifique os resultados.
6
Aproximação dos mínimos quadrados polinomiais e lineares
6.1 De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:
xi
ln(xi )
1
0
1.5
0.4055
2
0.6931
3
1.0986
3.5
1.2528
Calcule uma aproximação a ln(0.5), tendo como base o polinómio dos mínimos quadrados
de grau dois que melhor se ajusta aos pontos do quadro.
6.2 (TCP) Um carro inicia a sua marcha num dia frio de inverno e um aparelho mede o
consumo de gasolina verificado no instante em que percorreu x Km. Os resultados obtidos
foram:
x (Km)
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
f (x) (lKm−1 ) 0.260 0.208 0.172 0.145 0.126 0.113
Construa um modelo quadrático, para descrever o consumo de gasolina em função da
distância percorrida, usando a técnica dos mínimos quadrados.
6 APROXIMAÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS POLINOMIAIS E LINEARES
9
6.3 (TCP) Pretende-se ajustar o modelo linear
M (x; c1 , c2 , c3 ) = c1 e−x + c2 x + c3
à função f (x) dada pela tabela
xi
f (xi )
−1
1.4
0
0
1
0.75
2
2.3
no sentido dos mínimos quadrados. Determine os coeficientes do modelo apresentado.
Apresente uma estimativa para f (0.5).
6.4 Considere os seguintes valores de f da tabela:
xi
fi
2
0.5882
10
0.4000
17
0.3125
Suponha que pretendia ajustar o modelo
1
a + bx
aos valores de f da tabela no sentido dos mínimos quadrados, em que a e b são os parâmetros do modelo.
M (x) =
(a) Calcule o modelo M usando (a, b)(1) = (1.4, 0.2). Faça apenas uma iteração.
(b) Avalie o modelo, justificando se este se ajusta bem aos valores da tabela.
6.5 Considere a seguinte tabela matemática
xi
fi
0
−1.0
2
0.0
4
4.0
Qual dos modelos a seguir indicados ajusta melhor os dados da tabela, no sentido dos
mínimos quadrados?
i. p1 (x) = 1 + 1.25(x − 2)
ii. p2 (x) = 1 + 1.25(x − 2) + 0.37 (x − 2)2 − 2.67
x
iii. M (x; a, b) = −1.97 + 0.80e 2
6.6 (AULA) A resistência de um certo fio (de uma certa substância), f (x), varia com o
diâmetro desse fio, x. A partir de uma experiência registaram-se os seguintes valores:
xi
f (xi )
1.5
4.9
2.0
3.3
3.0
2.0
4.0
1.5
Foram sugeridos os seguintes modelos para ajustar os valores de f (x), no sentido dos
mínimos quadrados:
- uma recta
c1
- o modelo linear: M (x, c1 , c2 ) =
+ c2 x
x
(a) Calcule a recta.
(b) Calcule o modelo M (x) .
(c) Qual dos modelos escolheria? Justifique a sua escolha.
7 MÍNIMOS QUADRADOS NÃO LINEARES
7
10
Mínimos quadrados não lineares
7.1 Em sistemas de transportes urbanos
maior é a procura, x, mais baixo é o
os seguintes valores:
x
P (x)
o preço das viagens depende da procura. Quanto
preço P (x) (em euros). Obtiveram-se, no passado,
1
1
3
0.75
5
0.5
8
0.5
Pretende-se construir um modelo do tipo
M (x; c1 , c2 ) = e−c1 x + c2
para descrever o comportamento de P (x). Usando a técnica dos mínimos quadrados,
calcule os coeficientes do modelo apresentado.
Use o método de Gauss-Newton e pare o processo iterativo quando o critério de paragem
for verificado para ε1 = ε2 = 0.1 (ou ao fim de uma iteração). Tome como aproximação
inicial o vector (c1 , c2 )(1) = (0.15, 0.15).
7.2 (TPC) Muitos processos em engenharia são determinados através da medição de uma
variável dependente (”output” do sistema) para um conjunto de valores da variável independente (”input” do sistema). Dado o modelo matemático do processo, que depende
de um conjunto de parâmetros desconhecidos, o modelo é ajustado aos dados, usando a
técnica dos mínimos quadrados. Considere a função f (x) (variável dependente) definida
pela seguinte tabela
0
1
xi -1
fi 2.7 1.0 0.4
Pretende-se, no sentido dos mínimos quadrados, ajustar o modelo
M (x; c1 , c2 ) = c1 e−c2 x
aos valores de f (x). Implemente uma iteração do método de Gauss-Newton e tome como
aproximação inicial o vector (1, 1).
7.3 (AULA) Implemente o método iterativo de Gauss-Newton, com o objectivo de ajustar o
melhor possível o modelo não linear
M (x; c1 , c2 ) = c1 + sen (c2 x)
à função f (x) dada pela seguinte tabela de 3 pontos
xi
fi
-1
0.9
0
1.0
1
1.1
no sentido dos mínimos quadrados. Como aproximação inicial aos parâmetros considere
o vector (1, 3). Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para
ε1 = ε2 = 0.02.
8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
8
11
Integração numérica
8.1 Foram registados os consumos, f (xi ), de um aparelho em determinados instantes, xi (em
segundos):
xi
f (xi )
0
0
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
0.5
0.5
0.6
0.6
3.6
0.6
6.6
0.6
9.6
0.6
9.8
0.7
10
0.8
Calcule o consumo total ao fim de 10 segundos.
8.2 A função F (t) surge na determinação da tensão à superfície de um líquido que rodeia uma
bolha esférica de gás:
Z t
P (x)
F (t) =
dx para 0 ≤ t ≤ 1
0 Q(x)
em que
P (x) = 3 + 3x + x2
Q(x) = 3 + 6x + 6x2 + 2x3
Determine F (1) considerando apenas os seguintes valores de x no cálculo do integral
0, 0.25, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0
8.3 (TPC) Considere a seguinte tabela de valores da função P (x) :
xi
P (xi )
0
0
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.29
0.5
0.46
0.7
0.61
1
0.79
(a) Calcule a melhor aproximação ao integral
Z 1
sen (xP (x)) dx
0
usando toda a informação da tabela.
(b) Estime o erro de truncatura cometido no intervalo [0.7, 1] com a aproximação da
alínea anterior.
8.4 O comprimento do arco da curva y = f (x) ao longo do intervalo [a, b] é dado por
Z bq
1 + (f ′ (x))2 dx.
a
Calcule uma aproximação numérica ao comprimento do arco da curva f (x) = e−x no
intervalo [0, 1], usando 5 pontos igualmente espaçados no intervalo.
8.5 (TPC) A função distribuição normal acumulada é uma função importante em estatística.
Sabendo que
Rz
2
Z z
1 + √12π −z e−x /2 dx
1
2
−x /2
F (z) = √
e
dx =
.
2
2π −∞
Calcule uma estimativa de F (1), usando a fórmula composta do trapézio com 5 pontos no
cálculo do integral.
8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
12
8.6 A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é dada
I(a)
pela função F (t) = 8e−t
para t ≥ a, em que
π
Z 2
eax
f (x, a)dx
com f (x, a) =
I(a) =
x
1
Calcule I(1) usando a fórmula composta do trapézio com erro de truncatura inferior a
0.05.
8.7 (TPC) Considere o seguinte integral
I=
Z
1
x2 ex dx.
0
Calcule uma aproximação ao integral I obtida a partir da fórmula composta do trapézio,
de tal forma que o erro (de truncatura) cometido, em valor absoluto, não exceda 0.005.
8.8 Determine uma aproximação ao valor do integral definido
Z 1
1
dx
x2 +
x+1
0
através da fórmula de Simpson, com um erro de truncatura, em valor absoluto, inferior a
0.0005.
8.9 (AULA) A velocidade de queda de um paraquedista é dada pela seguinte equação:
c
gm V (t) =
1 − e−( m )t
c
onde m é a massa do paraquedista e c é o coeficiente de atrito.
Determine a distância de queda do paraquedista ao fim de 10 segundos sabendo que a
massa do paraquedista é de 71kg e que o coeficiente c = 12.5kg/s, com erro absoluto
inferior a 10−4 , usando a regra dos 38 .
Assuma que o paraquedista salta de um avião no instante de tempo 0 e considere g =
9.81m/s2 .
8.10 (AULA) Pretende-se calcular a pressão, P , que suporta um semicírculo de raio r, submerso verticalmente em água, de tal forma que o seu diâmetro coincide com a superfície
livre da água, como mostra a figura
0
h x r
dh
X
Y
Para calcular a pressão do líquido, usa-se a lei de Pascal. Assim, a pressão total é definida
por
Z r p
P = 2γ
h r 2 − h2 dh
0
em que γ é o peso específico da água. Considere γ = 1 e r = 7.
9 OPTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR SEM RESTRIÇÕES
13
(a) Calcule a pressão, P , usando seis pontos igualmente espaçados no intervalo [0,5] e
cinco pontos igualmente espaçados no intervalo [5,7].
(b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior apenas para o intervalo [0,5].
9
Optimização não linear sem restrições
9.1 Dada a função
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 4
determine os seus pontos extremos.
9.2 Dada a função f : R3 → R definida por
f (x1 , x2 , x3 ) = 5x21 + 2x22 + x43 − 32x3 + 6x1 x2 + 5x2
verifique que ela tem apenas um ponto estacionário. Classifique-o.
9.3 (AULA) Considere a função
f (x, y) = 3x21 − x22 + x31
Mostre que:
(a) a função dada tem um máximo local em (−2, 0)T ;
(b) a função dada tem um ponto de sela em (0, 0)T ;
(c) a função dada não tem mínimos.
9.4 (TPC) Mostre que qualquer ponto da linha x2 − 2x1 = 0 é um mínimo de f : R2 → R
definida por
f (x1 , x2 ) = 4x1 2 − 4x1 x2 + x22 .
9.5 (TPC) Dada a função f : R2 → R definida por
f (x1 , x2 ) = x21 (1 − x1 )2 + x1 x2 .
Verifique se tem pontos máximos, mínimos e/ou de descanso.
9.6 A função f (x) definida por
f (x) = sen (x) tg (1 − x)
dá a posição de um ponto relativamente a um centro de coordenadas, como função de
um ângulo x. Pretende-se calcular o ponto mais alto dessa trajectória, no intervalo [0, 1],
isto é, o máximo de f (x). Use o método iterativo de Newton para calcular um ponto
estacionário e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para
ε1 = 0.5 e ε2 = 0.1. Verifique se o ponto encontrado é máximo.
10 ALGORITMO DAVIES, SWANN E CAMPEY (DSC)
10
14
Algoritmo Davies, Swann e Campey (DSC)
10.1 Dada a função f : R → R definida por
f (x) = x2 − x
calcule o seu mínimo usando o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC), baseado
na interpolação quadrática. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto x0 = 2.
Considere δ = 1, M = 0.5 e ε = 0.5.
10.2 (TPC) Um navio encontra-se atracado num porto. A distância h, de um dado ponto do
casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré. Admita que h é dada, em função do
tempo x, por
h(x) = 10 − 3 cos(2x).
Qual a distância desse ponto do casco ao fundo do mar no momento da maré alta?
Resolva o problema através do algoritmo de DSC, baseado na interpolação quadrática.
Comece o processo iterativo com x(1) = 15. Considere δ = 1, M = 0.1 e ε = 0.5 (ou no
máximo duas iterações).
10.3 (AULA) Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000cm3
e tapá-las em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata
de modo a minimizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial?
Utilize o algoritmo de DSC, baseado na interpolação quadrática, com o valor inicial
r1 = 7, δ = 0.5, ε = 0.1 e M = 0.5.
NOTA: Use a restrição do volume para eliminar uma das variáveis, por exemplo, h =
1000
.
πr 2
10.4 No circuito eléctrico que se apresenta na figura abaixo, a energia à saída da resistência
R é dada por
104 R
P =
.
(R + 20)2
Determine o valor de R que maximiza a energia de saída, utilizando o método de DSC
baseado em interpolação quadrática.
11 ALGORITMO NELDER-MEAD
15
Utilize como valor inicial R1 = 15, δ = 2, ε = 0.5 e M = 0.5.
10.5 Considere a função f : R → R definida por
(x − 1)2 para x ∈
/ [0, 2]
1
para x ∈ [0, 2]
Implemente o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC), baseado em interpolação
quadrática, fazendo x0 = 4, δ = 0.5 e M = 0.5.
10.6 A figura representa dois triângulos equiláteros
x
30
O maior tem lado igual a x. Usando o método DSC (baseado em interpolação quadrática)
determine x de modo a minimizar a soma das áreas dos dois triângulos.
Use 4 casas decimais nos cálculos e inicie o processo iterativo com x1 = 20. Considere
ainda δ = 1, M = 0.1 e ε = 0.5 (duas iterações).
Que relação existe entre os triângulos?
Nota: A área de um triângulo é igual a 0.5× base × altura.
11
Algoritmo Nelder-Mead
11.1 (AULA) Calcule o mínimo da função f (x) definida por
f (x1 , x2 ) = max (x1 − 1)2 , x21 + 4 (x2 − 1)2
implementando o método de Nelder-Mead, tomando para conjunto inicial os vectores
1
0
1
,
e
1
0
0
e ε = 0.5.
11.2 No planeamento da produção de dois produtos, uma determinada companhia espera
obter lucros iguais a P :
P (x1 , x2 ) = 3(1 − e−1.2x1 ) + 4(1 − e−1.5x2 ) + (1 − e−x1 x2 ) − x1 − x2
em que x1 e x2 são respectivamente, as quantias gastas para produzir e promover os
produtos 1 e 2, em unidades de 105 euros.
Determine o máximo de P e os valores óptimos de x1 e x2 usando o método de NelderMead. O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for verificado
para ε = 0.6, ou ao fim de duas iterações. Considere os seguintes pontos iniciais:
(0.5, 0.5)T , (0.5, 2.0)T , (1.5, 0.5)T .
12 ALGORITMO DE SEGURANÇA DE NEWTON
16
11.3 (TPC) Uma empresa produz dois artigos A e B. O custo de produção é dado por:
C = f (q1 , q2 ) = 10q12 + 30q22 − 400q1 − 900q2 + 750000
onde C é o custo total de produção (em euros), q1 e q2 são, respectivamente, as quantidades produzidas dos artigos A e B.
Pretende-se determinar as quantidades que permitem minimizar o custo total.
(a) Utilize o método de Nelder-Mead e termine o processo iterativo quando o critério
de paragem for verificado para ε = 0.5 (nmax = 2). Considere os seguintes pontos
iniciais: (0.75, 6.125) T , (2, 2.75)T , (4, 12)T .
(b) Use as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para obter a solução
exacta do problema.
12
Algoritmo de Segurança de Newton
12.1 Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica
possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações são dados por
f1 = 0.1 + 0.25x
f2 = 0.08 + 0.12y + 0.00125y 2
f3 = 0.05 + 0.09z + 0.001z 2 + 0.0001z 3
em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em M W att). Determine
os valores de x, y e z que minimizam o custo total se a energia total a ser fornecida for
de 100M W att, recorrendo ao método de segurança de Newton.
Como valores iniciais use (y, z)(1) = (30, 50), no critério de paragem considere ε1 =
ε2 = ε3 = 0.5 e tome η = 0.0001. Como estratégia de procura unidimensional utilize o
algoritmo das repetidas divisões de α por dois.
NOTA: Use a restrição relacionada com a energia a fornecer, para eliminar uma das
variáveis, por exemplo, x = 100 − y − z.
12.2 (TPC) Dada a função f : R2 → R definida por
f (x1 , x2 ) = −x21 − 6x22
calcule o seu máximo usando o algoritmo de segurança de Newton.
O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, −1) e deve terminar quando o
critério de paragem for verificado para ε1 = ε2 = ε3 = 0.5. Considere η = 0.0001. Deve
implementar o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para calcular o comprimento
do passo α, em cada iteração.
12.3 (AULA) A energia potencial de duas barras ligadas, como ilustra a figura, é dada por:
EA l 2 2 EA h 2 2
f (x1 , x2 ) =
x1 +
x2 − P x1 cos(θ) − P x2 sen(θ)
s 2s
s
s
13 ALGORITMO QUASI-NEWTON
17
em que E = 207 × 109 P a (modulus de Young), A = 10−5 m2 (área transeccional de cada
barra), l = 1.5m (distância entre as duas barras), s é o comprimento das barras, h = 4m
(altura da ligação), P = 104 N (força aplicada), θ = 0.523599 rad (ângulo a que a força
é aplicada) e x1 e x2 são respectivamente, a componente horizontal e vertical da energia
potencial no ponto de aplicação.
Calcule os valores de x1 e x2 que minimizam a energia potencial usando o método de
Segurança de Newton (η = 0.00001). Inicie o processo iterativo com o ponto (0.2, 0.001).
O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for verificado para
ε1 = ε2 = ε3 = 0.001, ou ao fim de duas iterações.
12.4 A figura ao lado representa uma caixa cuja parte superior e
inferior é formada por abas que permitem fechá-la. Pretendese determine as dimensões da caixa que minimizam o gasto de
x3
material na sua construção, sabendo que a sua capacidade (vox2
x1
lume da caixa) deve ser de 10 dm3 . Use a restrição do volume
x2
x1
para eliminar a variável x3 na função a minimizar obtendo
2
2
uma função em x1 e x2 .
(a) Utilize o método de segurança de Newton para determinar uma aproximação à
(0) (0)
solução. Use x(0) = (x1 , x2 )T = (1.5, 1.5)T e faça apenas uma iteração.
(b) Use a condição de optimalidade de primeira ordem para obter a solução exacta do
problema. Confirme que se trata de um mínimo através da condição de optimalidade
de segunda ordem.
13
Algoritmo Quasi-Newton
13.1 (AULA) Considere um circuito eléctrico em que existem duas resistências variáveis, R
e X, como se mostra na figura abaixo. O valor médio da energia do circuito é dado por
P =
104 R
.
(R + 20)2 + X 2
Determine os valores de R e X para os quais se obtém uma energia de saída máxima.
Use uma estratégia quasi-Newton e os valores iniciais (R, X)(1) = (10, 5) .
13 ALGORITMO QUASI-NEWTON
18
Utilize ainda o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para determinar o comprimento do passo α em cada iteração e no critério de paragem ε1 = ε2 = ε3 = 0.3.
13.2 Dada a função f : R2 → R definida por
f (x1 , x2 ) = x21 + x22 − x1 x2
calcule o seu mínimo usando o algoritmo quasi-Newton, na versão BFGS.
O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, 0) e deve terminar quando o critério
de paragem for verificado para ε3 = 0.02. Para calcular o comprimento do passo α, use,
em cada iteração á técnica das repetidas divisões de α por 2.
13.3 (TPC) O deslocamento de uma estrutura em oscilação depende de k e do instante t e é
dado por
f (k, t) = 10e−kt cos(ωt).
Para ω = 2 determine k e t de modo que o deslocamento seja mínimo.
Use o método Quasi-Newton baseado na fórmula BFGS. O processo iterativo deve ser
iniciado com o ponto (k, t)(1) = (0.5, 10). Faça duas iterações.