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TÓPICOS DE REVISÃO
MATEMÁTICA II
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA
Prof. Rogério Rodrigues
1
I) INTRODUÇÃO :
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da
matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos
ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente
as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os
cálculos baseados nelas. A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos,
tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas
ciências naturais. O estudo da trigonometria tem suas origens nos primórdios das
civilizações, particularmente naas aplicações arqutetônicas. Ainda hoje, os profissionais
ligados à construção civíl usam conceitos de trigonometria nos processos mais
elementares. Exemplo disso é o cálculo do caimento dos telhados: quando se diz, por
exemplo, que um telhado tem um caimento de 10%, é omesmo que dizer que o ângulo
desse telhado com a horizontal é tal que sua tangente é 0,1. Veja figura abaixo.
P
α
Q
tg α =
R
=
= 0,1 = 10%
II) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO :
Um triângulo é dito retângulo quando possui um ângulo reto (90o). Nesse caso, tem-se:
A
α
B
C
► Hipotenusa : lado oposto ao ângulo reto (AC)
► Catetos: lados que formam o ângulo reto (AB e BC)
Em relação a um dos ângulos agudos ( ou ), tem –se um cateto oposto e um cateto
adjacente . Por exemplo, em relação ao ângulo , de medida α , tem-se:
► Cateto oposto : AB
► Cateto adjacente: BC
2
Com isto, são definidas as seguintes razões ou relações trigonométricas:
II.1) Seno de um ângulo agudo :
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa do
triângulo. Em relação à figura anterior, temos:
sen α =
(equação 1)
II.2) Cosseno de um ângulo agudo :
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa do
triângulo. Em relação à figura anterior, temos:
cos α =
(equação 2)
II.3) Tangente de um ângulo agudo :
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do cateto adjacente do
triângulo. Em relação à figura anterior, temos:
tg α =
(equação 3)
III) PROPRIEDADES E RELAÇÕES SECUNDÁRIAS:
A
β
α
B
C
Considere-se a figura acima. De acordo com as definições anteriores, temos:
1o) sen β =
2o) cos β =
(equação 4)
(equação 5)
3
3o) tg β =
(equação 6)
III.1) Propriedades:
a) Os ângulos de medidas α e β do triângulo ABC da figura anterior são complementares,
ou seja, somam 90o.
α + β = 90o ⇒ α e β são complementares
b) Comparando as equações 1 e 5, 2 e 4, 3 e 6, verificamos que: Se dois ângulos de
medidas α e β são complementares, então:
sen α = cos β
cos α = sen β
e
tg α =
β
III.2) Relações secundárias :
a) Dividindo-se, membro a membro, as equações 1 e 2, tem-se
é igual a tg α , ou seja,
tg α =
=
. =
que
!
"# !
b) Elevando-se ao quadrado as equações 1 e 2 e somando-se as equações
resultantes, tem-se
sen2 α =
$%&
$%&
⇒ sen2 α + cos2 α =
2
cos α =
$%&
$%& ' $%&
$%&
$%&
sen2 α + cos2 α = 1
=
$%&
$%&
=1
4
III.3) Valores notáveis :
MEDIDA
GRAU RAD
30
π/6
45
π/4
60
π/3
90
π/2
SENO
COSSENO
(
√(
(
√*
(
√*
(
√(
(
(
1
TANGENTE
√*
*
1
√*
0
Não é definido
Exercicios resolvidos :
1) No triângulo ABC, tem-se AB = 8 cm, AC = 12 cm e BÂC = 30o. Calcule a área do
triângulo ABC.
Resolução:
B
8
30o
h
C
A
12
1o) Traçando-se a altura h, tem-se, à direita um triângulo retângulo de hipotenusa AB.
Então,
sen 30o =
+,-
⇒2h= 8 ⇒ h= 4 cm.
=
+ .
.
+ /
Consultando-se a tabela acima. temos sen 30o = = ⇒
. 0
2o)Como a área do triângulo é o semi-produto da base e da altura, tem-se:
S∆ = 12.4/2 = 24 cm2.
2) Num triângulo retângulo os ângulos agudos têm medidas m e n, tais que cos m =
Calcule
a) sen m e tg m.
b) sen n, cosn e tg n.
√1 .
2
5
Resolução:
o
2
2
2
1 ) como sen m + co m = 1, tem-se sen m +
= ±6
/1
/5
0
√1
324
; mas como m é ângulo agudo, sen m = 6
de tg m =
8
8
=
√/1 . 7 = √*
,
2 √* √*
= 1⇒ sen2m = 1 -
/1
/5
⇒ sen m =
que racionalizado é tg m =
√* .
7
1
/5
=
/1
/5
⇒ sen m =
Daí, tem-se o valor
√*9 .
*
2o) Como m e n são complementares, tem-se:
►sen n = cos m =
►cos n = sen m =
► tg n = 1/tg m =
√1
2
√*
7
√*9
*
IV) O CICLO TRIGONOMÉTRICO :
O triângulo é o modelo primitivo para o estudo trigonométrico, mas é limitado
a ângulos menores do que 90o (ângulos agudos). Vamos, a partir de agora,
adotar um modelo geométrico que permita trabalhar com qualquer medida de
ângulo: a circunferência orientada, que chamaremos de Ciclo trigonométrico.
Suas propriedades são registradas a seguir.
6
1o) Circunferência de raio unitário associada ao plano cartesiano de tal modo
que seu centro é a origem do plano cartesiano e sua origem (0o) é o ponto A.
Então, a partir do ponto A, marca-se qualquer arco AP, associado a um ângulo
central AÔP. Exemplo da figura: arco AP = 30o.
2o) Cada arco da circunferência trigonométrica pode ser marcado no sentido
anti-horário (POSITIVO) ou horário (NEGATIVO). Todo arco cuja medida é
precedida do sinal + é marcado, a partir do ponto A, no sentido anti-horário e,
do mesmo modo, todo arco de medida precedida do sinal – é marcado, a partir
do ponto A, no sentido horário.
3o) Todo ponto da circunferência trigonométrica equivale a um arco e viceversa. As coordenadas de cada ponto são cartesianas do tipo (xP , yP) em que xP
é o cosseno do arco associado ao ponto e yP é o seno do mesmo arco; veja a
justificativa a seguir:
a) O ponto P assinala o arco AP associado ao ângulo central PÔA = α . No triângulo
POxP , temos sen α = cateto oposto/hipotenusa = yP/OP; como o raio da circunferência é
unitário, sen α = yP . No mesmo triângulo, cos α = cateto adjacente/hipotenusa = xP/OP;
cos α = xP . Então as coordenadas do ponto P são dadas por P(cos α , sen α) . Como
exemplo, se α = 30o , temos P(cos 30o , sen 30o) ou P(
√1 , ).
0 (
b) O eixo das tangentes é paralelo ao eixo das ordenadas (eixo y) e tangencia a
circunferência em sua origem; sua orientação é a mesma do eixo y: positivo para cima e
negativo para baixo. A tangente de um arco é determinada pelo prolongamento do raio na
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extremidade do arco. Observe, como exemplo, o arco AP associado ao ângulo central
PÔA = α : prolongando-se o raio OP, encontra-se o ponto B no eixo das tangentes. No
triângulo AOB, tem-se tg α = cateto oposto/cateto adjacente = AB/AO, como AO = raio=
=1, tem-se tg α = AB . do mesmo modo, o arco AQ, do 2o quadrante, tem sua tangente
determinada pelo prolongamento do raio QO, determinando-se o ponto C; então, a
tangente do ângulo central associado ao arco AQ é – (AC). Pode-se montar o seguinte
quadro de sinais:
QUADRANTE
1o
2o
3o
4o
INTERVALO DO CICLO
EM GRAUS
EM RAD.
0 < α < 90
0 < α < π/2
90 < α < 180
π/2 < α < π
180 < α < 270 π < α < 3π/2
270 < α < 360 3π/2< α < 2π
sen cos tg
+
+
-
+
+
+
+
-
c) Todo ponto associado a um arco negativo tem sua versão positiva e vice-versa. Se um
arco tem medida indicada por – α , ele, no sentido positivo, será 360o – α :
É o caso , por exemplo, dos pares -30o e 330o, -110o e 250o, - 2π/5 e 8π/5, ....
d) Como a circunferência trigonométrica é cíclica, cada ponto determina infinitos arcos,
dependendo do número de voltas completas que se percorre, sempre passando por cada
ponto. Por exemplo, saindo-se do 0o, passa-se pelo ponto P, que determina um arco de
300, determinando-se os arcos
► 30o = 0 voltas + 30o = 0. 360o + 30o = 0. 2π + π/6 rad = π/6 rad
► 390o = 1 volta + 30o = 1. 360o + 30o = 1. 2π + π/6 rad = 13π/6 rad
► 750o = 2 voltas + 30o = 2. 360o + 30o = 2. 2π + π/6 rad = 25π/6 rad
► 1110o = 3 voltas + 30o = 3. 360o + 30o = 3. 2π + π/6 rad = 37π/6 rad
8
Todos esses arcos são chamados de arcos côngruos, pelo fato de se posicionarem no
mesmo ponto do ciclo; 30o ou π/6 é chamado de menor determinação desses arcos. De um
modo geral, se a menor determinação de um ponto no ciclo corresponde a um arco de
medida α , sua expressão geral será
{x∈
∈R/ x = α + 360o. k} ou {x∈
∈R/ x = α + 2kπ}
Para o caso do nosso exemplo, teremos
{x∈
∈R/ x = 30o + 360o. k} ou {x∈
∈R/ x = π/6 + 2kπ}
Exercícios resolvidos:
1) Observando os pontos assinalados na circunferência trigonométrica a seguir, faça o que
de pede: (OBS: são de mesma medida os arcos AB, BC, CD, DE, ..., KL e LA)
a) Qual é a medida de cada arco citado no enunciado?
b) Dê , em graus e em radianos, a medida dos arcos AB,AC, AD, AE, AF, AG, AH, AI,
AJ, AK, AL e AA.
c) Dê as coordenadas cartesianas dos pontos A, B, C, ..., K e L.
d) Observando as coordenadas determinadas no item anterior, agrupe os pontos cujas
coordenadas correspondentes tem o mesmo módulo.
e) Dê, em graus e em radianos, a expressão geral dos arcos associados aos pontos C, E, G
e I.
9
Resolução:
a) como os pontos dividem a circunferência em 12 partes iguais, temos AB=BC=CD=
=DE = ......= 360o/12 = 30o ou π/6 radianos.
b) Como todos os arcos são múltiplos de 30o, temos:
Arco
Graus
rad
AB
30o
π/6
AC
60o
π/3
AD
90o
π/2
AE
AF
AG AH AI
AJ
AK
AL
AA
o
o
o
o
o
o
o
o
120 150 180 210 240 270 300 330
360o
4π/3 5π/6 π
7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π
c) ►A(cos 0o, sen 0o) ⇒ A(1 , 0)
►B(cos 30o, sen 30o) ⇒ B(√3/2 , 1/2)
►C(cos 60o, sen 60o) ⇒ C(1/2 , √3/2)
►D (cos 90o, sen 90o) ⇒ D(0 , 1)
►E(cos 120o, sen 120o) ⇒ E(-1/2 , √3/2 )
►F(cos 150o, sen 150o) ⇒ F(- √3/2 , 1/2)
►G(cos 180o, sen 180o) ⇒ G(-1 , 0)
►H(cos 210o, sen 210o) ⇒ H(- √3/2 , -1/2)
►I(cos 240o, sen 240o) ⇒ I(-1/2 , ;√3/2)
►J(cos 270o, sen 270o) ⇒ J(0 , -1)
►K(cos 300o, sen 300o) ⇒ K(1/2 ,- √3/2)
►L(cos 330o, sen 330o) ⇒ L( √3/2 , -1/2)
OBS: Os pontos marcados em negrito são os limites dos quadrantes.
d) ► Os pontos B, F, H e L têm abscissas de módulo √3/2 .
► Os pontos C, E, I e K têm abscissas de módulo 1/2.
► Os pontos B, F, H e L têm ordenadas de módulo 1/2
► Os pontos C, E, I e K têm ordenadas de módulo √3/2
OBS: Em cada quadrante tem um arco cujo módulo do seno ou do cosseno é o mesmo
número.
e) ► Ponto C ; {x∈R/ x = 60o + 360o. k} ou {x∈R/ x = π/3 + 2kπ}
►Ponto E ; {x∈R/ x = 120o + 360o. k} ou {x∈R/ x =2π/3 + 2kπ}
►Ponto G ; {x∈R/ x = 180o + 360o. k} ou {x∈R/ x = π + 2kπ}
►Ponto I ; {x∈R/ x = 240o + 360o. k} ou {x∈R/ x =4π/3 + 2kπ}
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2) Resolva a equação
1
a) 2cos 2 x – 3 cos x = - 1 no intervalo [o , 2π].
b) sen3 x cos x – senx cos x = 0 em ]-∞ , ∞[.
Resolução :
a) Fazendo cos x = y, temos 2y2 – 3y + 1 = 0⇒ ∆= 9 – 8 = 1⇒ y =
y1 = 1 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 0 ou x = 2π
/
/
0
0
y2 = ⇒ cos x = ⇒ x =
=
1
ou x =
1 </
2
⇒
>=
1
S = {0 ,
= , >= ,
1 1
2π}
b) Evidenciando senx cos x , tem-se senx cos x(sen2 x – 1) = 0. Então, deve-se ter
1o) sen x = 0 ⇒ pontos equivalentes a 0 e π ⇒ < ?@ ou
=
1=
=
2o) cos x = 0 ⇒ pontos equivalentes a e
⇒ < (2k + 1) ou
0
0
3 ) sen x – 1= 0 ⇒ sen x = < 1 ⇒ pontos equivalentes a
o
2
S = { x∈R/ x = ?π/2 , k∈Z}
=
0
0
e
1=
0
.
V) REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE :
O exercício resolvido número 1 da página 8 mostrou que os valores de seno e cosseno
vão se repetindo em módulo de acordo com cada quadrante e se limitam ao intervalo de -1
a 1, ou seja -1 D EFG H D 1 e -1 D IJE H D 1 . Vamos associar os pontos
correspondentes aos valores de seno e cosseno de mesmo módulo, como fizemos no
exercício aqui citado, de um modo mais genérico e formal.
V.1) Arcos de medida α do 2o quadrante:
11
Na figura, temos arco AB = α ⇒ arco BD = arco AC = 180o – α para que os pontos B e C
sejam simétricos em relação ao eixo y. Neste caso, temos:
sen α = sen (180o – α)
cos α = - cos (180o – α)
Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que
tg α = - tg (180o – α)
Exemplos:
a) sen 135o = sen 45o = √2/2
b) cos 150o = - cos 30o = - √3/2
c) tg 120o = - tg 60o = - √3
V.2) Arcos de medida α do 3o quadrante:
Na figura, o arco AB mede α ⇒ arco CB = arco AD = α – 180o e temos:
sen α = - sen (α – 180o)
cos α = - cos(α – 180o)
Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que
tg α = tg (α – 180o)
12
Exemplos:
a) sen 225o = - sen 45o = - √2/2
b) cos 210o = - cos 30o = - √3/2
c) tg 240o = tg 60o = √3
V.3) Arcos de medida α do 4o quadrante:
Na figura, o arco AB mede α ⇒ arco AC = arco BA = 360o – α para que os pontos B e C
sejam simétricos em relação ao eixo x. Neste caso, temos:
sen α = - sen (360o - α)
cos α = cos(360o - α)
Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que
tg α = - tg(360o - α)
Exemplos:
a) sen 300o = - sen 60o = - √3/2
b) cos 315o = cos 45o = √2/2
c) tg 330o = - tg 30o = - √3 /3
Exercício resolvido:
Determine os valores trigonométricos indicados em cada caso a seguir:
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a) sen 840o b) cos 930o c) tg 1.035o d) sen (-30o) e) cos (-120o) f) tg (-1.110o)
g) cos
K=
5
h) tg (-
//=
1
)
i) sen
L=
j) cos 3.735o
2
k) tg (- 7.230o)
Resolução :
a) sen 840o = sen [2.(360o) + 120o] = sen 120o = sen 60o =
√1
0
√1
b) cos 930o = cos [2.(360o) + 210o] = cos 210o = - cos 30o = 0
o
o
o
o
o
c) tg 1.035 = tg [2.(360 ) +315 ] = tg 315 = - tg 45 = - 1
d) sen (-30o) = sen(360o-30o)= sen 330o= - sen 30o= o
o
o
o
o
/
0
e) cos (-120 )= cos(360 - 120 )= cos 240 = - cos 60 = -
/
0
f) tg (-1.110o) = tg [-3.(360o) - 30o] = tg( -30o) = tg 330o = - tg 30 o= g) cos
K=
5
//=
h) tg (i) sen
L=
2
1
K=
= - cos( 5 ; π% M ; IJE
)= tg(-2π π
>=
1
5
>=
1
√0
0
=-
√1
1
)= tg(- ) = tg
π
= sen (2π + )=sen =
2
=
2
=
1
√1
1
M √3
j) cos 3.735o = cos[10.(360o) + 135o] = cos 135o= - cos 45o = -
√0
0
k) tg (- 7.230o)= tg[-20.(360o)- 30o] = tg (-30o) = tg 330o= - tg 30o = -
√1
1
VI) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS :
VI.1) FUNÇÃO SENO:
É a função real que associa cada número real x a sen x, ou seja, f(x) = sen x. Seu gráfico,
abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu
período é p = 2π.
O dominio de f(x) = sen x é R e seu conjunto imagem é o intervalo real [-1 , 1].
14
VI.2) FUNÇÃO COSSENO:
É a função real que associa cada número real x a cos x, ou seja, f(x) = cos x. Seu gráfico,
abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu
período é p = 2π.
O dominio de f(x) = cos x é R e seu conjunto imagem é o intervalo real [-1 , 1].
VI.3) FUNÇÃO TANGENTE:
É a função real que associa cada número real x a tg x, ou seja, f(x) = tg x. Seu gráfico,
abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu
=
período é p = π. Observe que a função não é definida para os arcos
e
0
cônguos).
O dominio de f(x) = tg x é D = {x∈R / x ≠
=
0
+ kπ , k∈Z}.
1=
0
( e seus
15
VII) RELAÇÕES SECUNDÁRIAS – IDENTIDADES:
Ainda são definidas as seguintes relações, envolvendo as funções básicas:
VII.1) Cotangente:
É o inverso da tangente, ou seja, cotg x =
NO P
"# P
M
x ≠ kπ
π, k∈Z
P
VII.2) Secante:
É o inverso do cosseno, ou seja, sec x =
"# P
x≠
Q
(
+ kπ
π , k∈
∈Z
VII.3) Cossecante:
É o inverso do seno, ou seja, cossec x =
x ≠ kπ
π, k∈Z
P
Exercícios resolvidos:
1) Um arco de medida α ,
cossec α.
Resolução :
1o) cos2 α = 1 – $
se cos α = -
√R .
*
0 2
)
1
2o) Então, cotg α = cossec α =
* .
(
π
0
< α < π , é tal que sen α =
⇒ cos2 α =
√> . 1
1 0
>
L
⇒ cos α = <
⇒ cotg α = -
√R
(
,
√> ;
1
=
0
+ kπ , k∈Z
b) cossec2 x – cotg2 x = 1, para x ≠ kπ , k∈Z
S=
c) cos x .tg x . cossec x = 1, para x ≠ , k∈Z
0
Calcule cotg α, sec α e
como α é do 2o quadrante, tem-
sec α = -
2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a) sec2 x – tg2 x = 1, para x ≠
0 .
1
0
⇒ sec α = >
√
(√R
R
e
16
Resolução :
a) sec2 x – tg2 x =
/
& T
b) cossec2 x – cotg2 x =
-
& T
& T
/
& T
-
c) cos x .tg x . cossec x = cos x .
=
/ U & T
& T
& T
& T
=
=
& T
& T
/ U & T
& T
T . =
T P
=
=1
& T
& T
=1
1
VIII) FÓRMULAS DA ADIÇÃO DE ARCOS :
VIII.1) COSSENO DA SOMA DE ARCOS:
Observe a figura abaixo. Nessa figura, estão representados, no ciclo trigonométrico, os
pontos P, Q e R, associados, respectivamente, aos arcos de medidas α, α + β e -β.
No plano cartesiano xOy, as coordenadas desses pontos são P(cos α, sen α), Q(cos (α + β),
sen (α + β)) e R(cos β, -sen β). Sabe-se que, como os arcos OQ e PR têm a mesma
medida, as cordas OQ e PR também são congruentes. Usando a fórmula da distância entre
dois pontos, tem-se
OQ = PR ⇒ [1 – cos (α + β)]2 + [0 - sen (α + β)]2 = (cos α - cos β)2 + (sen α + sen β)2.
Então, 1 - 2 cos (α + β) + cos2 (α + β) + sen2 (α + β) = cos2 α - 2 cos α cos β + cos2 β +
+ sen2 α + 2 sen α sen β) + sen2 β ⇒ cos2 (α + β)+ sen2 (α + β) – (sen2 α + cos2 α) –
- (cos2 β + sen2 β) + 1 – 2cos (α + β) + 2 cos α cos β - 2 sen α sen β) = 0 ⇒ 1 – 1 - 1 +
17
+ 1 – 2cos (α + β) + 2 cos α cos β - 2 sen α sen β ⇒ 2cos (α + β) = - 2 sen α sen β +
+ 2 cos α cos β . Então,
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β
VIII.2) COSSENO DA DIFERENÇA DE ARCOS:
cos (α - β) = cos [α + (- β)] = cos α . cos (-β) - sen α . sen (- β) = cos α . cos β +
+ sen α . sen β
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
VIII3) SENO DA SOMA DE ARCOS:
sen (α + β) = cos [
+ sen$
=
0
=
0
; $V W X%Y = cos [ $
=
0
; V% – XY = cos $
; V% EFG X = sen α . IJE X + cos V . EFG X.
=
0
; V% IJE X W
sen (α + β) = sen α . "# \ + \. cos !
VIII4) SENO DA DIFERENÇA DE ARCOS:
sen (α - β) = sen[α +(-β)] = sen α . cos(-β) + sen (-β). cos α = sen α . cos β - sen β. cos α
e
sen (α - β) = sen α . "# \ - \. cos !
IX) SENO E COSSENO DO ARCO DUPLO:
IX.1) SENO DO ARCO DUPLO:
sen 2α = sen (α + α) = sen α . cos α + sen α. cos α = 2 sen α. cos α. Então, tem-se
sen 2α = sen (α + α) = sen α . cos α + sen α. cos α = 2 sen α. cos α
18
sen 2α = 2 cde α. cos f
IX.2) COSSENO DO ARCO DUPLO:
cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α – sen α sen α = cos2 α – sen2 α. Então, tem-se
cos 2α = cos2 α – sen2 α
Exercícios resolvidos :
1) Calcule o valor da expressão y = 2sen 75o – 3cos 150 .
Resolução :
1o) sen 75o = sen(45o+ 30o) = sen45ocos 30o + sen30ocos 45o =
2o) cos 15o = oos(45o - 30o) = cos45ocos 30o + sen 45osen 30o =
3o) y = - (
√5 ' √0
2
%
√0 √1
0 0
√0 √1
0 0
+
+
/ √0
0 0
/ √0
0 0
=
=
√5 ' √0
2
√5 ' √0
2
2) O triângulo AEO da figura tem AE = √15 cm, EO = 8 cm, AÊO = 2α e sen α = 1/4.
Calcule a área do triângulo AEO.
A
√15 cm
h
α
2α
O
E
8 cm
Resolução :
1o) Se sen α = 1/4, então cos2 α = 1 – (1/4)2 ⇒ cos α = √15/4 ⇒ sen 2 α = 2 sen α cos α =
= 2,(1/4).( √15/4) = √15/8 . Traçando-se a altura h do triângulo, tem-se h/√15 = √15/8 ,
Então, 8h = 15 e h = 15/8 cm.
2o) A área do triângulo será S∆ = (1/2)(8).(15/8) = 15/2 cm2.
19
X) RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS:
X.1) Lei dos senos:
A figura a seguir apresenta o triângulo ABC, inscrito na circunferência de centro 0 e raio
R, e suas três alturas h1, h2 e h3 .
l e sen = h1 / AC
1o) Considerando a altura h1 , temos sen jk= h1 / AB ⇒ h1 = (AB) sen l . Então, (AB) sen l ⇒ AB/ sen l = AC/ sen l M (AC) sen l (Eq. 1)
⇒ h1 = (AC) sen l e sen = h2 / AC
2o) Considerando a altura h2 , temos sen jk= h2 / BC ⇒ h2 = (BC) sen l . Então, (BC) sen l M (AC) sen l ⇒ BC/ sen l = AC/ sen l (Eq. 2)
⇒ h2 = (AC) sen l e sen = h3 / AB
3o) Considerando a altura h3 , temos sen = h3 / BC ⇒ h3 = (BC) sen l M (AB) sen l (Eq. 3)
l . Então, (BC) sen l ⇒ BC/ sen l = AB/ sen ⇒ h3 = (AB) sen 4o) Traçando-se o triângulo ABS, passando pelo centro O da circunferência, temos que o
referido triângulo é retângulo em B. Por outro lado, os ângulos Aml B e Al B têm a
mesma medida, pois são inscrito na mesma circunferência, determinando o mesmo arco.
l = sen l = AB/AS ou sen l = AB/2R ⇒ AB/ sen l M (o (Eq. 4)
Então, temos sen n
De Eq. 1, Eq. 2, Eq. 3 e Eq. 4 , concluímos:
l M BC/ cde l M rs/ cde l M (o
AB/ sen Chamado de Lei dos senos ou Teorema dos senos.
20
X.2) Lei dos cossenos:
A figura acima apresenta o triângulo ABC dividido, pela altura h, em dois triângulos
retângulos. Então, temos:
1o) b2 = x2 + h2 (Eq. 1)
2o) c2 = h2 + a2 – 2ax + x2 = x2 + h2 + a2 – 2ax (Eq. 2)
3o) cos α = x/b ⇒ x = bcos α (Eq. 3)
Substituindo-se as equações 1 e 3 na equação 2, tem-se: c2 = a2 + b2 – 2abcos α
No triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois
lados menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Então, temos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos γ
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c2 = a2 + b2 – 2abcos α
(Lei dos cossenos ou Teorema dos cossenos)
Questões Propostas :
0
1) (CEFET – MG) - Sendo t IJE H
V. EFG H
≠ π/4 + kπ/2 , k∈Z , o valor de α é
a)
tg 2 x
b) sec 2 x
EFG H t M tEFG H
;1
V
c) cos 2 x
0
t, então para todo x ≠
2IJE H
d) sen 2 x
e) 2.sen x
21
2) (CEFET – MG) – O gráfico da função f(x) =
≠ 3π/2 , está melhor representado na alternativa
T
| T|
3) (CEFET – MG) – Considere O gráfico da função f.
, para x∈ [0, 2π] , x ≠ π/2 e x ≠
22
A função representada é definida por
a) f(x) =1 + 2sen ( x - π/4)
b) f(x) =1 - 2sen ( x - π/4)
c) f(x) =1 + 2sen ( x + π/4)
d) f(x) =1 - 2sen ( x + π/4)
e) f(x) =1 + 2sen ( 2x - π/4)
4) (CEFET – MG) – A expressão
& T U & T
& T U & T
é equivalente a
a) 1
b) cotg2 x
c) cossec2 x
d) sec2 x
e) tg2 x
5) (CEFET – MG) – Dados os números reais a e b, com π/2 ≤ α < β ≤ π , é FALSO
afirmar que
a) tg a < tg b
b) cos a > cos b
c) sen a > sen b
d) sec a > sec b
e) cossec a < cossec b
6) (CEFET – MG) – Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de
comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m,
formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha
esticada, conforme a figura.
23
Desprezando-se a altura da criança, a distância final entre ela e a pipa, em metros, é igual a
a) 90
b) 45√3
c) 50√3
d) 10√3 + 60
e) 10√3 + 78
7) (CEFET – MG) - O conjunto solução da equação sec x . cossec x = sec x + 2 tg x, no
intervalo [0, 2π], é
a) {π/3 , 5π/3}
b) {π/6 , 5π/6}
c) {π/6 , 5π/6 , 3π/2}
d) {π/3 , 5π/3 , 3π/2}
e) {π/6 , π/3 , 5π/6 , 5π/3}
8) (CEFET – MG) - Sabe–se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°, e
os outros dois, x e y , são tais que
T
w
=
a) 5
b) 15
d) 25
e) 30
/ ' √1
0
. A diferença y – x , em graus, é
c) 20
24
9) (CEFET – MG) - A expressão
a) – cos2x
& T U & T
/ U xy T
é equivalente a
b) – cos4x
c) cos2x
d) cos4x
e) sec2x
10) (CEFET – MG) - Os valores de x no intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação
|IJE H| - 2sen2 x + 1 = 0 são
a) 0, π, 2π
b) π/3, 2π/3 , 4π/3, 5π/3
c) π/6, 5π/6 , 7π/6, 11π/6
d) π/6, 5π/6, π, 7π/6, 11π/6
e) π/3, 2π/3 , π, 4π/3, 5π/3
11) (CEFET – MG) - Os valores de x no intervalo [0, 2π] que satisfazem a inequação
2sen 2 x ≥ sen x são
a) π/6 ≤ x ≤ 5π/6
b) π/3 ≤ x ≤ 2π/3
c) 5π/6 ≤ x ≤ 2π
d) π/3 ≤ x ≤ 2π/3 ou π ≤ x ≤ 2π
e) π/6 ≤ x ≤ 5π/6 ou π ≤ x ≤ 2π
0
12) (CEFET – MG) – Sendo x , y ∈ [0, π/2] e z IJE H
EFG {
xeyé
a) x + y = 0
b) x + y = π/2
c) x – y = π/2
1
EFG H
IJE {
1
0 z = 0, a relação entre
;1
d) 2x – y = π
e) 2x + y = π
25
13) (CEFET – MG) – Um topógrafo vai medir a altura de uma montanha e para tal toma
como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula a medida do
ângulo α que o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o
ponto B, mede o ângulo β de BP com a horizontal. O valor da altura, em km, será expresso
por
a)
1
|} V – |} β
b)
/ ' x .x β
c)
/ U x .x β
d)
x ' x β
e)
x .x β
x – x β
x ' x β
x .x β
x U x β
14) (CEFET – MG) – Seja y = m.sen x.cos x. Se o menor valor que y assume é – 2, então,
m é igual a
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
15) (CEFET – MG) – Considerando-se 0 < x < 2π , os valores de x que satisfazem
a equação cos 2x =
√1
0
são
a) {π/12 , 11π/12 , 13π/12 , 23π/12}
b) {π/3 , 2π/3, 4π/3 , 5π/3}
c) {0, 2π/3, 4π/3}
d) {π/12 , 2π/3}
e) {π/12 , 5π/3}
26
16) (FUVEST–SP) - O conjunto de todas as soluções reais da inequação |IJE H| >
no intervalo [0, 2π] é
/
0
a) ]π/3 , 2π/3[ ∪ ]4π/3 , 5π/3[
b) ]π/6 , 5π/6[ ∪ ]7π/6 , 11π/6[
c) [0 , π/3[ ∪ ]5π/3 , 2π[
d) [0 , π/6[ ∪ ]5π/6 , 7π/6 [ ∪ ]11π/6 , 2π[
e) [0 , π/3[ ∪ ]2π/3 , 4π/3 [ ∪ ]5π/3 , 2π[
17) (UFOP – MG) - Resolva a equação trigonométrica sen (x + % + sen (x - %=
π
2
π
2
√0 .
0
18) (UFOP – MG) - Considere a função f (x)= sen (w x), representada no gráfico:
Podemos afirmar que o valor da soma f(1/6) + f(1/4) + f(1/2) é
a)
b)
1 ' √0
0
√1' √0
0
c)
//
d)
//~
/0
/0
19) (UFOP – MG) - Nos triângulos a seguir, o ângulo  é reto. A medida do segmento CB
é 20 cm, a do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm. Determine o valor de tg β
(Sugestão: Utilize a identidade tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1- tg α . tg β))
27
0
20) (UFOP – MG) – Considere a matriz M = EFG 5H
IJE 5H
Então, resolva a equação det M = 0.
0
EFG H
IJE H
2
3€ , com x∈ [0, 2π].
4
21) (UFOP – MG) – Resolva a equação trigonométrica: 1− 4cos2x = 0 , x∈ [0, 2π].
|} H ‚ 0 „ .
22) (UFOP – MG) – Encontre a solução do sistema 
EFG 2H ƒ 0
23) (UFV – MG) - Seja f a função definida por f (x) = sen x, x ≥ 0 . Num mesmo sistema
de coordenadas, considere os pontos A(π/6 ,0), B(π/2 ,0), C e D, em que C e D estão sobre
o gráfico de f, cujas abscissas são, respectivamente, π/2 e π/6. Unindo-se esses pontos
obtém-se o quadrilátero ABCD , cuja área vale
a) π/4
b) π/2
c) π/5
d) π/3
24) (UFV – MG) – Considere f : R → R uma função real definida por
IJE H
f(x) = det …EFG H
0
2
1
;EFG H
1
2 † . O gráfico que melhor representa a função f é
IJE H
28
25) (UFV – MG) – Sejam f e g funções definidas no intervalo (-π/4 , π/4), por f(x) =
= tg 2x e g(x) =
/ U 0 1T .
0 ' 1T
a) Calcule f(π/8) + g(-π/6).
b) Determine as soluções da equação g(x) = 0 .
26) (UNICAMP – SP) - Considere a equação trigonométrica sen2 ‡ – 2 cos2 ‡ +
/
+ sen 2‡ M 0.
0
a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de ‡ para os quais cos ‡ = 0.
b) Encontre todos os valores de cos ‡ que são soluções da equação.
27) (UFSJ – MG) – Um veículo percorre uma estrada reta com uma inclinação de 15o. Se
o ponto de chegada situa-se 150(√6 - √2 ) metros mais alto que o ponto de partida, a
distância em metros percorrida pelo veículo é
a) 600
c) 500√3
b) 500√2
d) 500
29
28) (UFSJ – MG) – O valor numérico da soma 1 + cos 5o + cos 10o + cos 15o + cos 20o +
cos 25o + ... cos 170o + cos 175o é
a) 1
b) 0
c) -34
d) 630cos 5o
29) (UFSJ – MG) – Se E =
& ' & ‰ ' & Š
& ' & ‰ ' & Š
em que α, β e θ são as respectivas
medidas dos ângulos internos de um triângulo Retângulo, então E2 é igual a
a) 1/4
b) (cotg 2 α + cotg 2 β + cotg 2 θ)2
c) 1
d) (cossec 2 α + cossec 2 β + cossec 2 θ)2
/
/
+ arctg + artg1. Utilizando1
0
se, se desejar, das informações do gráfico a seguir, é correto afirmar que um
valor provável, em radianos, para a soma indicada é igual a
30) (UFSJ – MG) – Considere a seguinte soma : arctg
a) 3π/4
b) 5π/12
c) 7π/12
d) π/2
30