PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Matemática para Biologia – Profa. MSc. Daniela Rodrigues Ribas
Funções
As funções desempenham um papel importante na ciência. A observação mostra que há
certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as
condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinada
situação é chamada “modelagem matemática”.
Suponhamos, por exemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no fenômeno
da queda de corpos no vazio. Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto menores forem os
intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a variação.
Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos:
Tempos (em segundos)
Distâncias (em metros)
0
0
1
4,9
2
19,6
3
44,1
4
78,4
5
122,5
...
...
Esta tabela dá a primeira idéia da lei: d = ½ gt2
Se “t” é a variável do conjunto dos tempos e “d” a variável do conjunto das distâncias, a lei
é a correspondência entre t e d. Dizemos que “d” é função da variável “t” e escrevemos
simbolicamente d = f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente.
Dizemos que uma variável y é função de uma variável x, se e somente se, a cada valor de
x (variável independente) corresponde um único valor de y = f(x) (variável dependente).
Outros exemplos
1) Se uma torneira despeja 30 l de água por minuto, o volume de água despejada
dependerá do tempo que a torneira ficar aberta:
Após 1 minuto será de 30 l ;
Após 2 minutos será de 2×30 l = 60 l ;
Após 5 minutos será de 5×30 l = 150 l ;
Após 40 minutos será de 40×30 l = 1200 l
Indicando o tempo por x e o volume por y, temos y=30x. A cada valor de x tem um único
valor para y. Dizemos que “y é função de x ”.
2) A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada
número de quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago.
3) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do individuo.
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DEFINIÇÃO
Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento
de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores
em B.
Indica-se que ƒ é uma função de A em B pela notação:
f :A→B
x→y
(lê-se: função f de A em B)
(lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y de B)
O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente x.
Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom ƒ = A;
Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C(ƒ), logo, C(ƒ)=B;
Chamamos o elemento y de B, associado ao elemento x de A de imagem de x pela função
ƒ. Indica-se y = ƒ(x);
Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos y de B que são imagens dos
elementos x de A. Indica-se por Im ou Im(ƒ). OBS: Im(ƒ)⊆ Β.
Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais.
Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de
todos os reais x para os quais y = f(x) tem significado nos reais.
Exercícios
1) Expressa por meio de uma fórmula matemática a função f : R → R que a cada real x associa:
a) o seu quadrado
b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três
2) Resolve
Uma certa livraria vende uma certa revista por R$ 15,00 a unidade. Considerando “x” a quantidade
vendida, expressa por meio de uma fórmula matemática a função receita total como função da quantidade
vendida.
3) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e f : A → Z definida por f(x) = x2 – 1 calcula Im(f).
4) Dada a função f : R → R , definida por f(x)=2x-7 pede-se:
a) f(-2)
⎛ 1⎞
⎝ 2⎠
b) f ⎜ ⎟
⎛3⎞
⎝5⎠
c) f ⎜ ⎟
d) f (0 )
5) Dada a função f : R → R definida por f(x)=x2-9x+14, determina:
a) f(-3)
b) f(0)
c) f(7)
6) Na função f : R → R definida por f ( x ) =
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3
1
x − , determina x para que f(x) = 0.
2
3
2
7) Determina o domínio das seguintes funções de variável real:
2x − 3
a) f ( x ) = 2 x − 5
b) f ( x ) =
x −2
x+2
c) f ( x ) =
d) f ( x ) = 3 x − 2 + − x + 4
−x+4
e) f ( x ) = 3 x − 2
f) f ( x ) = x 2 + 3 x
g) f ( x ) = x − 4 +
1
5x + 3
x 2 + 16
h) f ( x ) =
x −2
ESTUDO DO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO
Analisa os gráficos a seguir e identifica quais representam e quais não representam funções. Em seguida,
determina o domínio e a imagem das funções:
a)
-2
y
b)
y
0
y
c)
2
2
x
-2
d)
0
x
e)
2
-2
f)
y
y
x
y
3
2
1
2
x
c
-2
a
b
x
-1
0
2
-1
-2
2 x
0
-1
0
1
-1
2
3x
d
Observações
O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das
abscissas (eixo x).
¾
A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).
¾
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3
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
Os valores de x para os quais f(x)=0 chamam-se zeros ou raízes da função.
Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o
eixo x.
¾ f é positiva para um elemento x, x ∈ Dom f se, e somente se f(x) > 0;
¾ f é negativa para um elemento x, x ∈ Dom f se, e somente se f(x) < 0.
Exemplo:
y
+
0
A
1 2
+
B
3
–
4
5
x
Observando o gráfico acima, temos:
• f(1) = 0 e f(5) = 0 , logo, os números 1 e 5 são os zeros da função;
• f é positiva quando x ∈ (– ∞; 1) ou x ∈ (5; + ∞);
• f é negativa quando x ∈ (1; 5).
Observação: nota que o sinal da função para um elemento x, x ∈ Dom f é o sinal de f(x) e não o
sinal de x.
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO
y
x
o
|ÅA Æ |ÅB Æ|
Observamos que:
¾ no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta também o valor de
y. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A .
¾ no intervalo B, aumentando o valor de x, o valor y diminui. Dizemos
então que a função é decrescente no intervalo B.
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4
De forma geral:
Sendo x1 e x 2 elementos de um conjunto A ⊂ Dom f , com x1 < x 2 ,
diz-se que a função é crescente em A se f ( x1 ) < f ( x 2 ) e decrescente
se f ( x1 ) > f ( x 2 ).
Exemplo
Dada a função representada pelo gráfico abaixo, determina:
y
½
-1
-½
o
1
x
a) os zeros da função;
b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente;
c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva e o intervalo onde ela é negativa.
Exercício
Faze o gráfico da função f ( x ) = − x + 3 . Em seguida responde:
a) Qual é o domínio da f?
b) Qual é a imagem de f.
c) Para que valor de x, f(x)= 0?
d) Para que valor de x, f(x) > 0?
e) Para que valor de x, f(x) < 0?
f) Esta função é crescente ou decrescente?
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5
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS
1)
Determina, por extensão, os seguintes conjuntos:
a) {x ∈ Ν / − 2 ≤ x ≤ 4}
c) {x ∈ Ν / − 7 ≤ x < − 3}
e) {x ∈ ℜ / x 2 − x − 12 = 0}
b) {x ∈ Ζ * / − 1 < x ≤ 3}
d) {x ∈ Ν * / 3 x − 2 = 10}
f) x ∈ ℜ / y 2 + 1 = 3}
{
2)
Os conjuntos A = {x / x ∈ Ν e 2 ≤ x < 4} e B = {x ∈ ℜ / x 2 − 5 x + 6 = 0} são iguais? Justifica.
3)
Dados A=(-4,3], B=[-5,5] e E=(- ∞ ,1), calcula:
a) A ∩ Β ∩ E
4)
b) Α ∪ Β ∪ E
Dados os conjuntos A = {a,b,c},
c) (Α ∪ Β) ∩ Ε
B = {b,c,d}
e
C = {a,c,d,e},
então qual é o conjunto
P = (Α − C) ∪ (C – B) ∪ (Α ∩ Β ∩ C)
5)
Qual é a intersecção dos conjuntos Q ∪ (Ν ∩ Ζ) e (Ζ ∩ Q) ∪ Ν ?
6)
Sendo f : ℜ → ℜ uma função definida por f(x) = x2 – 3x – 10 , calcula:
a) f(-2)
7)
b) f(-1)
c) f(0)
d) f(1/2)
Dada a função f : ℜ → ℜ definida por f(x) = x2 – 5x + 6, calcula os valores reais de x para
que se tenha:
a) f(x)=0
8)
b) f(x)=12
c) f(x)=6
Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a
e g(x) = 5x – b. Calcula o valor de a e b de
modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3.
9)
10)
Dada a função f : ℜ → ℜ definida por f(x) = x2 – x – 12, determina k para que f(k + 1) = 0.
Dada a função f ( x ) =
1
1
+
,
x −2 x −3
a) qual o valor de f(-1) e 3f(0)?
b) Encontra m de modo que m = f (1) + f (0)
c) Calcula x para que f(x)=
11)
3
.
2
Calcula o domínio das funções:
a) f ( x ) =
1
x +1
+
x −1 x2 − 9
b) f ( x ) = 2 x − 1
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g) f ( x ) =
x −1
+
x3
2x
x+4
h) f ( x ) = 3 x
6
c) f ( x ) =
x −1
x −2
i) f ( x ) = x 2 − 3 x
3x − 2
4x + 3
d) y = x + 5
j) y =
e) y = 5 x − 3
k) y = x 3
f) y =
12)
x+2
4
l) y =
2x - 1
x
+
x −4 x-3
(PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem
parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro
rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, qual foi o
total de quilômetros percorridos?
13)
Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o
conjunto imagem de cada uma das funções.
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7
Respostas
1) a){0,1,2,3,4}; b){1,2,3}; c){}; d){4}; e){-3,4}; f){ − 2 2 , 2 2 }
2) Sim. A = B = {2,3}
3) a) (-4,1);
b) ( − ∞ ,5];
c)[-5,1)
4) {a,b,c,e}
5) Ζ
6) a) 0; b) -6; c) -10; d) -45/4
7) a){2,3}; b){-1,6}, c){0,5}
8) a =3 e b =2
9) k =-4 ou k =3
10) a) -7/12, -5/2;
b) - 7/3; c) {4, 7/3}
11) a) { x ∈ ℜ / x ≠ −3 e x ≠ 1 e x ≠ 3} ou IR – {-3, 1, 3}; b) [½ ; +∞); c) (2; +∞);
d) ℜ; e) ℜ; f) ℜ; g) [1; +∞); h) ℜ; i ) ℜ;
j ) { x ∈ ℜ / x ≠ −3 / 4} ou IR – {¾} ; k) ℜ;
l ) { x ∈ ℜ / x ≠ 4 e x ≠ 3 } ou IR – {3, 4}
12) 21;
13) a)
c)
e)
Dom f = [ −2,3)
Im f = [ −2,2)
b)
Dom f = [0,5]
Dom f = ( −2,4)
Im f = ( −2,3)
d)
Im f = [0,2]
Dom f = [ −3,4] − {1}
f)
Im f = ( −2,3]
Dom f = ( −3,3)
Im f = [ −1,3]
Dom f = ( −3,3) − {1}
Im f = ( −1,3)
Principais Funções Elementares
FUNÇÃO CONSTANTE
Dado um número real k, chama-se função constante a função f : ℜ → ℜ , definida por
f(x) = k.
Exemplos
a) f(x) = 1
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b) f(x) = -3
c) f(x) = 2
d) f(x) =
5
3
8
Gráfico da função constante
O gráfico da função constante f(x) = k é uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos de ordenada y = k. Nos exemplos (a) e
(b) acima temos:
a)
b)
y
y
0
x
1
0
x
-3
f(x) = 1
f(x) = – 3
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Dados os números reais a e b, com a ≠ 0, chama-se função do 1º grau a função
f : ℜ → ℜ , definida por y = ax + b ou f(x) = ax + b.
O número a é chamado coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear
(onde a reta corta o eixo y).
Exemplos
a) f(x)=5x-2
coeficiente angular: ___
coeficiente linear: ___
b) y = x + 3
x
c) g(x)= −
2
coeficiente angular: ___
coeficiente linear: ___
coeficiente angular: ___
coeficiente linear: ___
Observação: f ( x ) = x é chamada Função Identidade.
Gráfico da função polinomial do 1ºgrau
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y.
Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem também é o conjunto dos números
reais. Ou seja, Dom f= ℜ e Im f = ℜ .
Exemplos
1) Constrói o gráfico das seguintes funções:
a) Y = 2x+3
b) y = -2x+3
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9
2) Escreve a função correspondente ao gráfico:
5
4
3
2
1
1
2 3
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS
1)
Dada a função f(x) = 4x – 2, pede-se:
a) o valor de x para o qual se tenha f(x)=0.
b) o valor de x que tem imagem 1.
2)
Sendo f(x+3) = 2x + 4, pede-se:
a) f(0)
b) f(5)
3)
Constrói o gráfico das funções abaixo, determinando domínio, imagem, zero da função e
sinal da função.
a) y = x
b) f(x)= 2
c) f(x) =5-3x
d) f(x)=0
4)
Dada a função linear y = ax + b, sabe-se que f(1) = 6 e f(2) = 11. Encontra a e b.
5)
Dá a lei da função determinada pelo gráfico abaixo.
y
2
1
-1
6)
3
x
Um ciclista, com velocidade constante (a partir dos 5 primeiros minutos), percorre uma
trajetória retilínea conforme o gráfico abaixo.
y(espaço em km)
10
5
x(tempo em minutos)
5
15
Em quanto tempo percorrerá 15 km?
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10
7)
O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é
composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que
depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando
R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.
a) Expresse y em função de x.
b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?
8)
O gráfico a seguir representa o deslocamento de um móvel em uma trajetória retilínea:
e(m)
30
0
3
t(s)
Determina:
a) e em função de t;
b) o espaço inicial;
c) o espaço percorrido no instante t=2s;
d) o tempo gasto para percorrer 10m.
Respostas
1
3
1
5
b) x =
2) a) –2 b) 8 4) a = 5 e b = 1 5) f ( x ) = x +
6) 25min
2
4
4
4
a) y = 1,2 x + 6 b) R$18,00 8) a) e(t ) = −10t + 30 b) 30 c) 10m d) 2s.
1) a) x =
7)
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Dados os números reais a e b, com a ≠ 0, chama-se função polinomial de 2º grau ou
função quadrática a função f : ℜ → ℜ , definida por y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c.
Exemplos
a) f(x) = x2 – 4x – 3
a = ____ b =____ c =____
b) y = x2 – 9
a = ____ b =____ c =____
c) g(x) = – 4x2 + 2x – 3
a = ____ b =____ c =____
2
d) h(x) = x + 7x
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a = ____ b =____ c =____
11
Exercício: Sendo f(x) = (m + 5)x2 + 2x – 4, determina m de modo que:
a) f(x) seja do 2º grau
b) f(x) seja do 1º grau
Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o
conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, Dom
f= ℜ e Im f ⊂ ℜ .
Exemplos
Constrói o gráfico das seguintes funções:
b) f(x) = x2
b) g(x) = – x2
Concavidade
O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parábola. Assim:
¾ Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima: ∪
¾ Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo: ∩
Podemos verificar isto nos exemplos anteriores, onde f(x) tem concavidade voltada para
cima, pois a = 1 e g(x) tem concavidade voltada para baixo, pois a = – 1.
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12
Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau
Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a
função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos
pontos onde a parábola corta o eixo x.
Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda equação da forma ax2 + bx + c =
0 , onde x é a variável e a, b, c ∈ ℜ com a ≠ 0.
Oservação: c é a ordenada do ponto (0, c), onde a parábola corta o eixo y.
Exemplos
a) 2x2 – 3x + 1 = 0
a = 2;
2
b) x – 4 = 0
b = -3;
a = 1;
2
c=1
b = 0;
c = -4
c) y + 3y = 0
a = 1;
b = 3;
c=0
d) 5x2 = 0
a = 5;
b = 0;
c=0
Resolução de Equações do 2º Grau
Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução (ou conjunto verdade) dessa
equação. Para a resolução das equações do 2º grau, utilizamos a Fórmula Resolutiva ou Fórmula
de Báskara dada abaixo:
2
Se ax + bx + c = 0 e a ≠ 0, então
x=
−b± Δ
2a
, onde
Δ = b 2 − 4ac
⎧Δ = 0
¾ Se Δ ≥ 0 a equação tem raízes reais ⎨
⎩Δ > 0
¾ Se Δ < 0 a equação não tem raízes reais.
Exemplos: Dada a função f, calcular os zeros desta função.
a) f(x) = 2x2 – 3x + 1
b) h(x) = x2 – 4
d) y = 5x2
e) g(x) = x2 – 5x + 7
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c) g(x) = x2 + 3x
f) y = x2 – 6x + 9
13
Vértice da Parábola
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A
esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde
xv = −
Assim:
b
2a
e
yv = −
Δ
4a
Δ ⎞
⎛ b
V⎜−
,−
⎟
⎝ 2a 4a ⎠
ordenada do vértice
abscissa do vértice
Exemplos
1) Determina as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função
f ( x ) = x 2 − 3x + 2
2) Determina a e b de modo que o gráfico da função definida por y = ax 2 + bx − 9 tenha o
vértice no ponto (4,-25).
Exercícios
1)
Dada a função f, calcula os zeros desta função e representa graficamente, sendo:
a) f ( x ) = x 2 − 7 x + 6
b) f ( x ) = x 2 − 2 x + 6
c) f ( x ) = − x 2 − 2 x − 1
d) f ( x ) = x 2 − 3
e) f ( x ) = − x 2 + 36
f)
f ( x ) = ( x − 4)2
g) f ( x ) = ( x + 9)2
2)
Sendo f ( x ) = 3 x 2 + 3 x − 3 calcula:
a) f(3)
b)
f (3 ) − f ( 3 )
3 +3
3)
Dadas as funções reais f(x) = x2 – 1 e g(x) = –x2, calcula o valor de f(–1).g(–2).
4)
Sendo f(x) = x2 + 2x – 1 e g(x) = x2 , determina os valores de x para os quais f(x) = g(x).
5)
Determina k, de modo que f(x) = (k – 3)x2 – 4 não possua raízes reais.
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14
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau
Examinando os gráficos abaixo, observa-se que:
y
y
yv
V
0
xv
xv
x
0
yv
x
V
Δ
é o valor
4a
mínimo da função.
Se a > 0, yv = −
Se a < 0, yv = −
Δ
é o valor
4a
máximo da função.
Exemplo: a função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?
Estudo do Sinal da Função do 2º Grau
O estudo do sinal da função é feito analisando-se o esboço do gráfico.
Exemplos
Estuda o sinal das seguintes funções do 2º grau:
a) y = 3 x 2 − 4 x + 1
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b) y = − x 2 + 6 x − 9
c) y = x 2 − 16
15
Exercício
Considera a função f(x) = x2 – 6x. Esboça o gráfico, determina o domínio, a imagem, os zeros da
função, seus intervalos de crescimento e decrescimento, o vértice, o valor de máximo ou mínimo e
o sinal da função.
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS
1) Sendo f : ℜ → ℜ uma função definida por f(x) = x2 – 1, calcula:
⎛ 1⎞
a) f ⎜ ⎟
b) f 1− 2
⎝2⎠
(
)
2) Dada a função f(x) = x2 + 4x + 4, calcula k para que f(k – 1) = 0.
4) Determina os valores de p para os quais a função f(x) = (4 – 8p)x2 + x – 7 é quadrática.
5) Determina os zeros das funções abaixo:
a) f(x) = 6x2 + 5x – 4
b) f(x) = – x2 – 2x – 1
c) f(x) = x2 – 3
d) y = x(2x – 1) + 3(x – 3) – x2
6) (EEM-SP) Determina os valores de m para os quais a equação a seguir admita duas raízes
iguais: x2 + (m + 2).x + (2m + 1) = 0
7) Determina o valor máximo ou mínimo de cada uma das funções em ℜ.
a) f(x) = – 3x2 + x + 2
b) f(x) = x2 – 2x + 4
c) f(x) = x2 + 5x
d) f(x) = 4 – x2
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8) Sendo 4 a abscissa do mínimo da função f(x) = 4x2 – (3m – 1)x + 3, determina m.
9) Determina os valores de a e c , de modo que o gráfico da função y = ax2 – x + c passe pelos
pontos (1, 2) e (–3, 5).
10) O vértice da parábola y = x2 – 4x + 1 está no ponto (2, b). Calcula b.
11) Faze o gráfico cartesiano e dá o domínio, a imagem, as raízes, o valor de máximo ou de
mínimo e o sinal das funções abaixo:
a) y = x2 – 6x + 5
b) f(x) = – 2x2 + 6x
c) g(x) = 3x2
y
d) h(x) = 2x2 – 8
4
3
12) Dado o gráfico ao lado, determina:
a) as raízes da f;
-2
0 1
b) f (1);
c) os valores de “x” tais que f(x) = 4;
d) o intervalo onde f é crescente e
o intervalo onde f é decrescente;
e) o(s) intervalo(s) onde f é positiva e o(s) intervalo(s) onde f é negativa;
2
x
13) Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40 m.
a) Expressa a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados.
b) Constrói o gráfico dessa função.
c) Calcula as dimensões desse terreno para que a área seja máxima.
14) Dada à função representada pelo gráfico abaixo determina:
y
-4
-3
-1
1
x
-2
a)
b)
c)
d)
e)
Dom f
Im f
os zeros da função;
os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;
os intervalos onde f é positiva e onde é negativa.
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15) Escreve a função do 2º grau representada pelo gráfico abaixo.
y
3
0
1
3
x
16) Seja a função f : ℜ → ℜ definida por f(x) = x2 – 6x + m + 1 com m ∈ ℜ . Determina m, de
modo que f:
a) possua duas raízes reais e distintas.
b) possua uma raiz dupla.
c) não possua raiz real.
17) Seja f(x) = mx2 + nx +3. Determina m e n, sabendo que f(1) = f(3) = 0.
18) Sabe-se que para x = 1 a função f(x) = (a – 1)x2 + 2ax + a – 3 admite seu valor máximo.
Calcula o valor de a.
19) A parábola que representa graficamente a função y = –2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e
seu vértice é o ponto de coordenadas (3, k). Determina o valor de k.
Respostas
1) a) −
3
; b) 2(1- 2 );
4
4) a) 1/ 2 e − 4 / 3 ; b) –1;
5) m = 0 ou m = 4;
c) − 3 ou
1
;
2
3 ; d) − 1 + 10 ou − 1 − 10 ;
6) a) máx. yv= 25 / 12 ; b)mín. yv=3;
c) mín. yv= − 25 / 4 ; d) máx.yv=4;
8) a = −1/ 8 ou c = 25 / 8 ;
7) m = 11;
3) p ≠
2) k = -1;
10) a) y
9) b = -3
b)
5
y
9
4
1
3
5
-4
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x
0
3
3
x
2
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Domf = ℜ Imf = [−4;+∞)
Domf = ℜ Imf=(−∞; 9 ]
zeros: 1 e 5
zeros: 0 e 3
min.:yv = −4
máx.:yv = 9
f é pos.:(−∞;1)∪(5;+∞)
f é neg.:(1;5)
f é pos.:(0;3)
f é neg.:(−∞;0)∪(3;+∞)
4
4
c)
d)
y
y
-2
0
0 2
x
x
-8
Domf = ℜ Imf=[0;+∞)
zeros: 0
mín.:yv= 0
f é pos.: ℜ * = (−∞;0)∪(0;+∞)
Domf = ℜ Imf = [−8;+∞)
zeros: −2 e 2
mín.:yv = −8
f é pos.:(−∞;−2)∪(2;+∞)
f é neg.:(−2;2)
11) a) x1 = -2 e x2 = 2; b) f (1) = 3 ; c) x = 0; d) f é cresc.: (-∞,0] e f é decrec.: [0,+∞);
e) f é pos.: (-2, 2) e f é neg.: (-∞, -2) ∪ (2, +∞ );
12) a) A(x) = -x2 + 20x;
b)
y
100
0
c) x = 10m e y = 10m ;
10
x
13) a) Dom f : (-∞,1]; b) Imf: [-2, +∞) ; c) x1 = -4 e x2 = -1;
d) f é cresc.: [-3,1] e f é decrec.: (-∞,-3]; e) f é pos.:(-∞,-4) ∪ (-1,1] e
14) f (x) = x2- 4x +3; 15) a) m< 8; b) m = 8; c) m > 8;
17) a = 1/2;
f é neg.: (-4,-1);
16) m = 1 e n = - 4;
18) k = 8
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dado um número real a, tal que a ≠ 1 e a > 0, é dado o nome de função exponencial de
base a à função f : ℜ → ℜ definida por y = ax ou f(x) = ax .
Exemplos
a) f(x) = 2x
b) f(x) =
( 2)
x
c) f(x) = (0,4)x
⎛ 1⎞
d) f(x) = ⎜ ⎟
⎝3⎠
x
e) f(x)= e x
Gráfico da função exponencial
O gráfico de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas
algumas particularidades:
¾ o gráfico nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros
(raízes);
¾ o gráfico corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto (0,1);
¾ os valores de y são sempre positivos.
Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números
*
reais positivos. Ou seja, Dom f = ℜ e Im f = ℜ+ = (0; +∞).
Quanto à base da função, devemos considerar dois casos:
f (x) = ax
¾ Base maior que um (a > 1)
(a>1)
• A função é crescente.
• Dom f = ℜ .
• Sua imagem são os reais positivos (Im =
ℜ
*
+
= (0; +∞)).
• Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1.
y
1
0
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x
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f (x) = ax
¾ Base entre zero e um (0 < a < 1)
(0<a<1)
• A função é decrescente.
• Dom f = ℜ .
• Sua imagem são os reais positivos (Im =
ℜ
*
+
= (0; +∞)).
• Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1.
y
1
0
x
As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais
e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2,7182 ..., número irracional
chamado número de Euler.
Assim a função exponencial de base e , f (x) = ex e a função exponencial de base 1/e ,
f (x) = (1/e)x = e-x têm os seguintes gráficos:
y=e
y
x
1
0
y=e
–x
y
1
x
0
x
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Dado um número real a, tal que a ≠ 1 e a > 0, é dado o nome de função logarítmica de
base a à função f : ℜ*+ → ℜ definida por y = logax ou f(x) = logax .
Exemplos
a) f ( x ) = log2 x
b) f ( x ) = log 1 x
2
c) f ( x ) = loge x = ln x
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Algumas observações quanto aos logaritmos
¾ Definição de logaritmo: log a x = y ⇔ a y = x , a > 0.
¾ Só existe logaritmo de um número positivo, já que a base é positiva (a > 0) e o resultado
de qualquer potência positiva é um número positivo.
¾ Quando a base não estiver escrita, subentendemos que é a base 10, ou seja
log10 x = log x .
¾ Quando a base for o número de Euler, a constante e, chamamos de “logaritmo natural”
e usamos a notação ln, ou seja, loge x = ln x .
Gráfico da função logarítmica
O gráfico de uma função logarítmica é uma curva, em que devem ser observadas
algumas particularidades:
¾ o gráfico nunca corta o eixo das ordenadas (Oy);
¾ o gráfico corta o eixo das abscissas (Ox) no ponto (1,0), ou seja, 1 é a raiz ou zero da
função;
¾ os valores de x são sempre positivos.
Seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto dos
*
números reais. Ou seja, Dom f = ℜ+ e Im f = ℜ .
Quanto à base da função, devemos considerar dois casos:
¾ Base maior que um (a > 1)
f (x) = logax
(a>1)
• A função é crescente.
*
• Dom f = ℜ+ .
• Sua imagem são os reais positivos(Im = ℜ ).
• Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1.
y
0
¾ Base entre zero e um (0 < a < 1)
1
x
f (x) = logax
(0<a<1)
• A função é decrescente.
• Dom f = ℜ*+ .
• Sua imagem são os reais positivos (Im = ℜ ).
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• Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1.
y
0
x
1
Da mesma forma que na função exponencial, a base mais comumente usada é o número de
Euler e chamamos este logaritmo de “logaritmo natural”: loge x = ln x .
Exercício: faze o esboço do gráfico e determina o domínio e a imagem para cada função abaixo
definida:
x
x
1) f(x) = 8
2) g(x) = 8 + 1
y
y
x
⎜ ⎟
⎝3⎠
−2
y
x
x
5) y = log 1 x
4) h(x) = ln x
3) y = ⎛ 1 ⎞
x
6) p(x) = 2 + ln x
5
y
y
x
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y
x
x
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