Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá
Pesquisa Operacional
Livro: Introdução à Pesquisa Operacional
Capítulo 6 – Teoria de Filas
Fernando Marins – [email protected]
Departamento de Produção
1
Sumário
Introdução
Estrutura de um Sistema de Filas
Características Básicas
Notação de Kendall
Medidas de Desempenho de Sistemas de Filas
Tipos de Sistemas de Filas
Estatística e Sistemas de Filas
Problemas de Decisão em Sistemas de Filas
Processos de Nascimento e Morte (P-N-M)
Modelos Markovianos
Exercícios
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2
Introdução
Objetivo:
Desenvolvimento de modelos matemáticos para permitir
prever o comportamento de Sistemas de Prestação de
Serviços (Sistemas de Filas).
Motivação:
Possibilidade de testar possíveis modificações em Sistemas
de Filas que contribuam para melhorar seu rendimento, e
obter subsídios para escolha da melhor alternativa de ação.
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3
Exemplos de Sistemas de Prestação de Serviços
(Filas)
• Congestionamentos de sistemas telefônicos (Erlang);
• Escolha do tipo de sinalização para intersecções de vias
urbanas (pare, semáforo);
• Otimização de ciclo de um semáforo;
• Dimensionamento de equipes de manutenção;
• Análise de congestionamentos em aeroportos.
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4
Estrutura de um Sistema de Filas
Processo de
Chegadas
Capacidade do Sistema
Processo de
Atendimento
Tamanho
da
População
Disciplina de
Atendimento
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5
Características Básicas
Processo de Chegadas: Quantos clientes solicitaram
serviço em [0, t]?
• Caracterizado pela distribuição de probabilidades dos
intervalos entre chegadas consecutivas (ou pela
distribuição de probabilidades do número de chegadas
em intervalos disjuntos).
• Chegadas podem ser individuais ou em grupos.
• Caso importante: Número de Chegadas segue um
Processo de Poisson com média de chegadas .
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6
Características Básicas
Processo de Atendimento: Quanto tempo demora o
atendimento?
• Caracterizado pela distribuição de probabilidades da duração
do atendimento (ou distribuição de probabilidades do número
de atendimentos em intervalos disjuntos). .
• A estação de serviços pode ser formada por um ou mais
servidores.
• Atendimento pode ser individual ou em grupos.
• Caso importante: duração do atendimento é uma variável
aleatória com distribuição de probabilidades dada por uma
exponencial negativa com média 1/.
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7
Características Básicas
Tamanho da População: Finita ou Infinita
Capacidade do sistema: Quantos clientes podem estar no sistema
(fila + posições de atendimento) ao mesmo tempo.
Disciplina de Atendimento: - Forma como os clientes são
selecionados da fila para serem atendidos. Tipos: FIFO, LIFO,
FEFO, com prioridades, aleatória.
Modelos sofisticados:
• Troca de filas
• Desistências
• Redes de filas
• Atendimento/chegada dependente do tamanho da fila
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8
Notação de Kendall
Fila Campo I/Campo II/Campo III/Campo IV/Campo V/Campo VI
com
Campo I - informação sobre a distribuição de probabilidades dos intervalos
entre chegadas (D, M, EK ,G);
Campo II - informação sobre a distribuição de probabilidades dos tempos de
atendimentos (D, M, EK ,G);
Campo III - informação sobre o número de atendentes (em paralelo) para a
fila;
Campo IV - informação sobre a capacidade do sistema;
Campo V - informação sobre o tamanho da população;
Campo VI - informação sobre a disciplina de atendimento.
Exemplo: Fila M/M/3/20/300/LIFO com  = 3/h e  = 5/h.
Obs: Quando capacidade do sistema e o tamanho da população puderem ser
admitidas como sendo , e a disciplina for a FIFO os Campos IV, V , VI
podem ser omitidos.
9
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Medidas de Desempenho (KPIs) de Sistemas de Filas
(Queues)
•
•
•
•
•
Tempo que o cliente fica na fila - Wq
Tempo que o cliente fica no sistema – Ws (ou W)
Número de clientes na fila - Lq
Número de clientes no sistema – Ls (ou L)
Ociosidade dos servidores - P0
Observe-se que todas estas medidas são variáveis aleatórias.
Convencionou-se analisar seus valores médios medidos numa
situação de estado de equilíbrio de funcionamento do sistema.
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10
Tipos de Sistemas de Filas
Markovianos - para caracterizar o comportamento futuro do
sistema basta conhecer o seu estado atual (por exemplo: o
número de clientes no sistema no momento).
Não-Markovianos - para caracterizar o comportamento futuro
do sistema é necessário conhecer o seu estado atual e se ter
informações sobre o passado (por exemplo: o tempo que o
cliente que está sendo atendido já demandou de serviço).
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11
Estatística e Sistemas de Filas
Inferência Estatística:
Qual modelo se adapta a uma dada situação?
Necessário aplicar técnicas estatísticas de estimação de
parâmetros e testes de aderência para a escolha da
distribuição de probabilidades adequada para cada caso.
Importante: as medidas de eficiência do sistema de
filas são dependentes das taxas de chegadas () e de
atendimentos ().
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12
Problemas de Decisão em Sistemas de Filas
Projeto - Sistema deve ter algumas características desejadas 
escolher o número de servidores, qual o tamanho máximo
admissível para a fila, qual a disciplina de atendimento
adequada...
Controle - Como e quando alterar as características básicas do
sistema de forma a otimizar algum critério econômico de
interesse.
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13
Problemas de Decisão em Sistemas de Filas
Variáveis comumente observadas - tamanho da fila ou a quantidade
de trabalho acumulado por executar pelos servidores.
Custos comumente envolvidos - custo de espera (cliente), custo do
atendimento (servidor), custo de perda de clientes em potencial,
custo de ociosidade do servidor.
Decisões possíveis - fechar o sistema para novos clientes e/ou
acelerar o atendimento.
Importante: na impossibilidade de se desenvolver modelos
matemáticos para situações complexas recomenda-se o uso da
técnica de Simulação de Sistemas.
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14
Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):
Definições
Estado do sistema = número de clientes no sistema = n
Nascimento representa entrada de cliente no sistema.
Morte representa saída de cliente do sistema.
n = taxa média de chegadas quando há n clientes no sistema.
n = taxa média de atendimentos quando há n clientes no sistema.
P-N-M: chegadas e atendimentos aleatórios, e n e n dependem
apenas do estado do sistema.
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15
Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):
Postulados (Função o(t) é um nulo quando t tende a zero)
Admita o sistema no estado n no instante t
(I)Nascimento - Probabilidade de ocorrer exatamente 1 nascimento
no intervalo de tempo t é dada por n T + o(t).
(II) Morte - Probabilidade de ocorrer exatamente 1 morte no
intervalo de tempo t é dada por n T + o(t).
(III) Salto múltiplo - Probabilidade de ocorrer número de
nascimentos e mortes superior a 1 é dado por o(t).
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16
Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):
Consequência: o estado n do sistema em t + t pode ter sido
alcançado a partir de 4 situações mutuamente exclusivas do sistema
no instante t: n, n - 1, n + 1, outra.
Seja pn(t) = probabilidade do sistema estar no estado n no instante t =
probabilidade de existir n clientes no sistema no instante t.
Estado
Eventos em t
Probabilidades
n-1
1 nascimento
Pn-1(t).( n-1T + o(t)).
(1)
n+1
1 morte
Pn+1(t).( n+1T + o(t)).
(2)
n
Nenhum
Pn(t).( 1 - nT - nT + o(t)).
Outro
Múltiplos
O(t).
Pn(t + t) =
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(3)
(4)
(1) + (2) + (3) + (4).
17
Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):
Rearranjando a expressão pn(t + t), dividindo por t e passando ao
limite quando t  0, tem-se:
dPn(T )
dT
= n-1pn-1(t) + n+1pn+1(t) - (n + n)pn(t).
Analisando o sistema em regime estacionário, tem-se
dPn(T ) = 0
dT
Que resulta em:
0  n  1Pn  1 + n  1Pn  1 - (n + n)Pn para n > 0

para n = 0
0 = 1P1 -  0P0
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(A)
(B)
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Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):
Da expressão (A) tem-se:
Pn(n + n) n  1Pn - 1 nPn nPn - n  1Pn - 1
Pn  1 
=
+
n  1
n  1
Da expressão (B) tem-se:
0
P1 
P0
1
n  1
n  1
(C)
(D)
Aplicando conjuntamente ( C) e (D) tem-se:
n  1n  2... 0
Pn  1 
P0
nn  1 1
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19
Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):
Como sabe-se que, considerando todos os estados possíveis do
sistema, tem-se:

P
n
n 0

 1 ou seja P0 +  Pn = 1
n =1
Substituindo a expressão de Pn+1 vem:
n 1
Pn 

i
i 0
n

P0
e
1
P0 =
n 1
j
j 1

1+

i, j =1

i
i 0
n

j
j 1
P0 = proporção do tempo que o sistema fica vazio (servidores ociosos)
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20
Modelos Markovianos
1. Fila M/M/1
2. Fila M/M/S
3. Fila M/M/1/N*
4. Fila M/M/S/N*
5. Fila M/M/1 com população finita p
6. Fila M/M/S com população finita p
Obs: No livro texto há 9 modelos descritos.
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21
Modelo M/M/1
Como não há limitação para a formação de fila, e a população é
infinita, tem-se: n=  e n=  para todo n = 0, 1, 2, 3... Assim:
P0 
1

1 +   
i =1   

n
=
1

 

i 0   

n
=
=1- 
1
1
1- 

para 
 < 1.

n 1
Pn  P

i
i 0
0
n

= P0  
 
n
para n > 0
j
j 1
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22
Modelo M/M/1
Defina  = / como o fator de utilização ou congestionamento do
Sistema de Filas. Tem-se então:
Pn= n(1- ) para n = 0, 1, 2, 3,...
Cálculo do número médio de clientes no sistema:

LS   nPn =
n =0

 -
Cálculo do número médio de clientes na fila:
2
LQ   (n - 1)Pn =
 ( -  )
n =1

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23
Modelo M/M/1
Utilizando-se a Fórmula de Little (1961) – LS, Q = WS, Q, tem-se:
Tempo médio de um cliente no sistema – Ws  1  -  
Tempo médio de um cliente na fila –
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WQ  
  -  
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Modelo M/M/S
Neste caso o modelo de filas tem s servidores em paralelo para
atendimento dos clientes:
Onde  = taxa média de atendimento/servidor
n =  para n = 0, 1, 2, 3...
n se 0  n  S
n  
S se n  S
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Modelo M/M/S
Para este sistema tem-se: com  = /s < 1

 
S 1 

P0 =   
n!
n 0
n
S
-1

 

1
+ 
S! 1 - 

S 

Obs: ver Diagrama 1 com os valores de P0 para S= 1, 2, 3, 4, 5,
7,10, 15, 20, 25.
n

PN =

   P 0
  
se 0  n  S

n!

n
  
    P0
  n - S
se n > S
 S! S
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26
Diagrama 1 - Valores de P0 para a Fila M/M/S
7

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
s
27
Modelo M/M/S
S

P0  



LQ   n - SPn 
S!1   
n =S
7
Fórmula C de Erlang
WQ= LQ/
WS= WQ + 1/
S

P0 

 


C S ,    Pn 
S!1  
   n =S

LS = LQ + /
Obs: ver Diagrama 2 com valores de LS para S = 1, 2, 3, 4, 5,
7, 10, 15, 20, 25.
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28
Diagrama 2 - Valores de LS para a Fila M/M/S
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

s
29
FILA M/M/1/N*
Processo de Chegadas: Poisson, taxa 
Tempo de Serviço: Exponencial, taxa 
Número de Atendentes: 1
Capacidade do Sistema: N*
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30
FILA M/M/1/N*
a) A restrição de capacidade pode surgir ou por uma restrição
física do sistema ou por iniciativa do cliente.
b) Como existe essa restrição de capacidade, neste caso temse:
 , se n = 0,1,..., N * -1
n  
0 , se n  N *
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e n  
para n  1,2,...
31
FILA M/M/1/N*
c)
Não será preciso a restrição  = /s < 1
Seguindo a mesma seqüência da fila M/M/1, tem-se:
1
P0 
N*

n0
 
 
 
n
1

 
1  
 
N *1
1 

1   N*1
 
1  
 
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32
FILA M/M/1/N*
 1   n
Pn  

N * 1 
1  
N*
L   n P 
n
n0
para
n  0,1,2,..., N *
N * 1  N*1


L

1 
1   N*1
Lq  L  1  P0 
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33
Para a Fila M/M/1/N*, o tempo médio que um usuário
passa no sistema pode ser de dois tipos:
W 1  tempo médio, levando em conta todos os usuários, atribuindose tempo zero aos usuários que foram recusados; ele pode ser
calculado diretamente por:
L
1
W 

W 2  tempo médio, considerando-se apenas os usuários que se
juntam ao sistema; deve-se tomar algum cuidado no seu cálculo,
pois, neste caso, o processo de chegadas não possui mais taxa ,
pois toda vez que um consumidor encontra N* usuários no sistema,
ele é perdido.
Pode-se mostrar que a taxa de chegadas é agora igual a 1 PN* 
1
e portanto:
L
W
W2 

 1  PN *  1  PN * 
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34
FILA M/M/S/N*
Observação: para N *  S
 , se 0  n  N * 1
n  
0, se n  N *
n , se 0  n  S
S , se S  1  n  N *
n  
  n
  
    P , se n  0,1,...,S  1
 n! 0

Pn  
 S n
 S  P0 ,se n  S ,..., N *
 S!
0 , se n  N *

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35
FILA M/M/S/N*


 S S 1   N * S 1 S 1 S n  1
 ,



S!1   
n! 

n 0
P0  
n 1
S 1
 S S
S 




N
*

S

1

,


n! 
n 0
 S!
se
 1
se
 1
  S  S P0
N * S 1
N * S


1    ,
1



N
*

S

1


 S!1   2
Lq   S
 S  P0 N  S  1N *  S 
,

2
 S!

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
se   1
se  1
36
FILA M/M/S/N*
  1  PN *  ,
W  Wq 

1


S
S 1


S   1   N * S 1 P0
 Lq   nPn 
S  1! 1   

n 1
L
S 1
S S  N *  S  1
L 
nPn 
P0

q

S  1!
n 1

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,
Wq   Lq / 
,
se   1
,
se   1
37
FILA M/M/1 , com população finita p
Em alguns casos o número de clientes em potencial para a estação
de serviços é pequeno.
Se este valor for tão pequeno que a chegada de um cliente para ser
atendido ou um atendimento afeta a probabilidade de futuras
chegadas, não será mais válido o pressuposto de uma população
infinita.
Assim, tem-se:
 p  n 
n  
 0
,
,
se 0  n  p
se n  p
 n   , se n  1,2,..., p
onde p = número de usuários na população
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38
FILA M/M/1 , com população finita p
Pode-se obter as seguintes expressões:
n
P0 


n 0
1
p!   
, Pn 
  P0
n
 p!    
p  n!   

  
  p  n  !    
para n  1,2,..., p
Obs: ver Diagrama 3 com os valores de P0 para p= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9,10

L
n 0

nPn  p  1  P0 

,
Lq
  

 p

1  P 
0
Lq
L
W  , Wq 
com    p  L 


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39
M/M/1, com população finita p
P0
1
p=1
p=2
p=3
0.1
p=1
p=2
p=3
p=4
p=4
p=5
p=6
p=5
p=7
p=8
0.01
p=9
p=6
p=10
p=7
p=10
p=9
p=8
0.001
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
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0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1 /
40
FILA M/M/S , com população finita p
Aqui tem-se: para
1S  p
 p  n 
n  
 0
,
,
se n  0,1,..., p
se n  p
n
n  
S
,
,
se n  1,2,..., S  1
se n  S, S  1,..., p
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41
FILA M/M/S , com população finita p
Pode-se obter:
P0 
1
S1

n 0
n

   p
p!

  
  p  n  !n !     n S
n

 
p!

  P0
  p  n  !n !   
n

 
p!
Pn  

n S 
p

n
!
S
!
S






0



n

  
p!

 
n S 
  p  n  !S!S    
,
se 0  n  S
,
se S  n  p
,
se n  p
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42
FILA M/M/S , com população finita p
S 1


L   nPn   n  S Pn  S 1   Pn  
n 0
nS
n 0


S 1
p
 S 1  p    n 1 p
 p  n!




  n
 n
nS





n   
n
S
!
S
n 0
nS





p
Lq  
n S
L
W

n
  


  P0

 

n
 S1
 p    
 n  S Pn  L  S   S  n      P0
 n    
 n 0
,
Wq 
Lq

, com    p  L 
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43
Exercícios
1. Uma copiadora para uso de escritório é usada e operada por
pessoas deste mesmo escritório que precisam fazer cópias,
principalmente secretárias.
Como o trabalho a ser copiado varia de tamanho (no de páginas do
original) e quanto ao no de cópias, a taxa de atendimento é
distribuída aleatoriamente, mas se aproxima de um processo de
Poisson tendo uma taxa de atendimento médio de 10 trabalhos por
hora.
Geralmente as necessidades de uso são aleatórias durante as 8
horas de trabalho diário, mas chegam a uma taxa de 5 por hora.
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44
Exercícios
Várias pessoas notaram que surge uma linha de espera às vezes, e
elas têm questionado a política de se manter apenas uma unidade.
Se o tempo de uma secretária custa $3,50 por hora, faça uma análise
para determinar:
(a) A utilização da copiadora;
(b) O percentual de vezes que uma secretária tem de esperar para
usar a copiadora;
(c) O tempo médio que uma secretária permanece no sistema de
filas da copiadora;
(d) O custo total médio de espera e operação da copiadora pelas
secretárias num dia.
L
Po
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45
Exercícios
2. A situação apresentada no exercício (1) foi questionada e
resolveu-se considerar a possibilidade de se instalar duas
máquinas ou de se alugar uma máquina maior, sendo que os dados
adicionais são fornecidos a seguir.
Recalcule todos os itens de (a) a (d). Qual é a melhor opção entre
as três analisadas: 1 máquina pequena, 1 máquina grande ou 2
máquinas pequenas?
 [trab/hora]
Custo de aluguel
[$/dia]
Máquina pequena (atual)
10
5
Máquina grande
15
10
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46
Exercícios
3. Um empresário tem plano para abrir um serviço automático
de lavagem de carros numa determinada região de uma cidade,
para tanto realizou uma pesquisa que proporcionou os seguintes
dados:
Número de Clientes em potencial deverá seguir uma
distribuição de Poisson, com uma chegada cada 5 minutos, desde
que haja lugar na área de estacionamento do sistema de lavagem
de carros.
Tempo para lavar um carro  deverá seguir uma distribuição
Exponencial Negativa, com média de 4 minutos.
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47
Exercícios
Para ajudar na decisão de onde abrir o negócio, o empresário
identificou 3 locais disponíveis, L1, L2 e L3. Estes locais têm
capacidades diferentes, com respeito à área para estacionamento,
conforme abaixo:
(a) L1 - não tem espaço para estacionamento, só cabe a máquina para
lavar os carros;
(b) L2 – há espaço para 2 carros estacionarem, além daquele que está
sendo atendido na máquina;
(c) L3 - há espaço para 4 carros estacionarem, além daquele que está
sendo atendido na máquina.
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48
Exercícios
Evidentemente, os valores dos aluguéis de cada local são diferentes,
sendo o do L1 o mais barato e o de L3 o mais caro.
Para ter mais uma informação para a sua tomada de decisão, além
dos valores dos aluguéis, o empresário deseja comparar
porcentagem de fregueses perdidos por não haver espaço no
estacionamento do local escolhido (não incluindo o carro sendo
lavado).
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49
Exercícios
4. Caminhões chegam num armazém para descarga segundo uma
distribuição de Poisson no ritmo de 3 caminhões por hora. A
distribuição do tempo de atendimento é aproximadamente uma
exponencial com média de 15 minutos. Calcular:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
o número de caminhões na fila
o número de caminhões no sistema
o tempo médio de espera na fila
o tempo médio de espera no sistema
a probabilidade de 6 caminhões estarem no sistema
o fator de utilização.
L
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Po
50
Exercícios
5. Uma refinaria distribui seus produtos por intermédio de
caminhões, carregados no posto de carregamento. São carregados
tanto os caminhões da empresa como os caminhões dos
distribuidores independentes.
As firmas independentes reclamam que, às vezes, têm de esperar
em fila e perdem, assim, dinheiro ao pagarem um caminhão e um
motorista que só estão esperando. Pediram à refinaria ou para
instalar um novo ponto de carregamento ou para fazer descontos
equivalentes ao tempo de espera.
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51
Exercícios
Foram colhidos os seguintes dados:
Taxa média de chegada (todos os caminhões) = 2/hora
Taxa de atendimento médio = 3/hora.
Sabe-se que 30% dos caminhões são independentes. Supondo que
estas taxas sejam aleatórias conforme uma distribuição de Poisson
determine:
(a) A probabilidade de que um caminhão tem de esperar
(b) O tempo médio que um caminhão espera
(c) O tempo total médio de espera dos caminhões independentes por
dia.
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52
Exercícios
6. Um guindaste suspenso faz transportes de uma máquina para
outra e deve ser usado sempre que uma máquina tiver de ser
carregada ou descarregada.
A demanda de atendimento é aleatória. Os dados colhidos
referentes ao tempo transcorrido entre as chamadas de
atendimento seguem uma distribuição exponencial com uma
média de chamada de 30 em 30 minutos.
De modo semelhante, o tempo de atendimento real para carga e
descarga tem uma média de 10 minutos. Se o custo da máquina
for de $8,50 por hora, quanto custará o atraso por dia?
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53
Exercícios
7. Uma companhia telefônica está planejando instalar cabines
telefônicas em um novo aeroporto. Ela traçou a norma de que uma
pessoa não deve esperar mais do que 10% das vezes que ela tenta
usar o telefone. A demanda de uso é estimada como sendo
Poisson com uma média de 30 por hora. A chamada telefônica
média tem uma distribuição exponencial com um tempo médio de
5 minutos.
Quantas cabines telefônicas devem ser instaladas?
Po
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54
Exercícios
8. Um mecânico atende quatro máquinas. Para cada máquina o
tempo médio entre as exigências de atendimento é de 10 horas e
tratar-se de uma distribuição exponencial. O tempo de reparação
das máquinas tende a seguir a mesma distribuição e tem um
tempo médio de 2 horas. Quando uma máquina pára para reparos,
o custo do tempo perdido é de $20,00 por hora. Os custos dos
mecânicos são de $50,00 por dia.
(a) Qual o no esperado de máquinas em operação?
(b) Qual o custo esperado de atraso por dia?
(c) Seria desejável ter dois mecânicos, cada um deles atendendo
apenas duas máquinas?
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55
(Po) M/M/2, com população finita p
1
0.1
P=1
p=2
p=3
Po
p=4
p=5
p=6
p=7
p=8
0.01
p=9
p=10
0.001
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
/
56
(L) M/M/2, com população finita p
10
1
p=1
p=2
p=3
L
p=4
p=5
p=6
p=7
p=8
0.1
p=9
p=10
0.01
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
/
57
(Po) M/M/3, com população finita p
1
0.1
P=1
p=2
p=3
Po
p=4
p=5
p=6
p=7
p=8
0.01
p=9
p=10
0.001
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
/
58
(L) M/M/3, com população finita p
10
1
p=1
p=2
p=3
L
p=4
p=5
p=6
p=7
p=8
0.1
p=9
p=10
0.01
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1 /
59
(Po) M/M/4, com população finita p
1
0.1
P=1
p=2
p=3
Po
p=4
p=5
p=6
p=7
p=8
0.01
p=9
p=10
0.001
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
/
60
(L) M/M/4, com população finita p
10
p=1
1
p=2
p=3
L
p=4
p=5
p=6
p=7
p=8
0.1
p=9
p=10
0.01
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
/
61