Fundamentos de Telecomunicações
Aula 3:
Ruídos e Erros
Sumário




Introdução
Sinais Aleatórios
Ruído
Erros
Introdução

Do ponto de vista do destinatário
–
–
–
Todos os sinais de comunicação são aleatórios e
imprevisíveis
Se conhecesse o comportamento exacto do sinal
a informação recebida seria nula
O receptor conhece

Características gerais dos sinais usados: largura de
banda, densidade espectral de potência, código e
técnica de modulação
Introdução

Impossibilidade de descrição matemática
determinísticas para sinais de informação
–

Lida-se com descrições probabilísticas em que os sinais
são modelados por processos aleatórios
Em qualquer sistema de transmissão
–
–
Para além dos de informação gerados pela fonte…
…estão presentes outros sinais indesejáveis designados
por ruído, que não é possível eliminar totalmente
Introdução: Ruído

É intrinsecamente aleatório pela natureza dos
fenómenos que o originam
–


Podem e devem ser descritos com processos aleatórios
Sinais aleatórios são a manifestação de processos
aleatórios ou estocásticos que têm lugar ao longo do
tempo
Vamos abordar os fundamentos da descrição de
sinais por processos aleatórios e em especial o
ruído
–
–
Suas características mais importantes
A forma como afecta as comunicações
Sinais aleatórios
Sinais aleatórios
s1 (t ), s2 (t )...,si (t )



Considere um conjunto de formas de onda correspondentes à emissão de
diferentes mensagens por uma fonte de informação.
A mensagem concreta que é emitida a cada instante é desconhecida à priori,
sendo portanto imprevisível a forma de onda que irá ser produzida
O conjunto de todas formas de onda geradas pela fonte é representado
formalmente por s(t,a)
–

Cada elemento do conjunto é designado por função amostra corresponde a determinado
sinal for exemplo si(t)= s(t,ai)
O argumento fulcral que faz de s(t,a) é a assumpção de que quando se está a
observar uma função amostra não se sabe quais das amostras de trata
–
–
Num instante t1 pode ocorrer um qualquer do conjunto dos valores possíveis s(t1,a) o que
significa que s(t1,a) constitui uma variável aleatória que toma valores definidos por
s(t1,a1), s(t1,a2),…, s(t1,ai)…
s(t2,a) constitui outra variável aleatória…
,
Forma de onda num sinal s(t,a)
Sinais aleatórios

Um processo aleatório s(t)=s(t,a) não é mais
que uma família de variáveis aleatórias
s(t1), s(t2), s(t3),....s(ti)
–
cujas funções densidade de probabilidade (fdp)
descrevem o processo aleatório nos respectivos
instantes de tempo

p(s1 (t1)  A)   p(s1)ds1

Médias de conjunto
p( s, t )  conjuntode todasfdp
p( s1 , t1 )  p1 ( s1 ); p( s2 , t 2 )  p2 ( s2 )
Média Estatística ou valormédio de S(t)

s(t )  E[ s (t )] 
 sp(s, t )ds

Na operaçãode esperançaE[], t é constante,
a média é funçãodo tempopelo factodas médias s(t1 ),
s(t 2 ),....,poderemser diferent es

s n (t)  E[ s (t )]   s n p( s, t )ds

Processos estacionários e ergódicos

Um processo aleatório estacionário é aquele
cujas características permanecem invariantes
no tempo
–
Translação na origem dos tempos para o conjunto de
sinais amostra {s(t,ai)} não afecta os valores das
médias estatísticas
s (t1 )  s (t2 )  s (t3 )  ...  s (ti )
n
n
n
n
 s n (t ) não dependedo tempo
Processos estacionários e ergódicos
E[ s (t )]  s  ms
E[ s 2 (t )]  s 2  ms   s2
2
ms e  s2 são a média e variância
do processoaleat órios (t )
si (t )]  E[ s (t )]  lim
T 
T
2
 s (t )dt
i
-
T
2
si (t )]  E[ s 2 (t )]  lim
2
T 
T
2
 si (t )dt  S
2
-
T
2
Sinal estacionário e ergódico





O valor médio ms é igual à amplitude da componente DC
O quadrado da média ms2 é igual à potência normalizada
da componente contínua (DC)
2
O valor quadrático médio s
é igual à potência média
2
total armazenada s (t )
2
A variância  s é igual à potência média das componentes
variáveis no tempo de s(t) ou seja a potência AC
O desvio padrão é igual à raiz do valor quadrático médio
ou seja ao valor eficaz das componentes variáveis no
tempo de s(t)
Sinal estacionário e ergódico

Para efeitos de análise de sistema de
informação
–

A função densidade de probabilidade p(s) de um
sinal aleatório ergódico substitui a sua descrição
temporal
Os sinais de comunicação são
razoavelmente bem modelados por
processos estocásticos ergódicos
Ruído
Ruído

Sinais eléctricos indesejáveis
–
Origem humana



–
Influência de outros sistemas de comunicação
Dispositivos de ignição e comutação eléctrica
…
Origem natural



Descargas atmosféricas
Radiação extra-terrrestre
Ruído dos circuitos elétricos
Ruído

Um projecto de sistema de transmissão bem
conseguido pode
–
–
Reduzir ou eliminar completamente certos tipos
de ruído
Mas a presença de outros é mesmo inevitável o
que impõe limitações fundamentais ao
desempenho dos sistemas
Categorias de Ruído




Ruído térmico
Ruído de Intermodulação
Crosstalk
Ruído impulsivo
Ruído Térmico

Provocado pela agitação térmica dos
electrões nos condutores
–
–
Movimento aleatório de partículas carregadas
É uma função da temperatura a que o sistema se
encontra
Ruído de Intermodulação

Acontece quando sinais com diferentes
componentes de frequência partilham o
mesmo meio de transmissão
–
–
Interferem entre si
Produzem sinais que são a soma ou a diferença
das frequências que compõem os sinais originais
Crosstalk

Pode ocorrer no acoplamento eléctrico ou
magnético entre pares de fios próximos ou
entre fios coaxiais (+ raramente)
–
–
Acoplamento indesejável entre percursos
geográficos dos sinais
Exemplo: escuta de conversações telefónica por
causa de cruzamentos de linhas
Ruído Impulsivo


Ocorrência irregular de pulsos ou estalos de
curta duração e de relativamente grande
amplitude (spikes)
Causas variadas
–
–
Perturbações electromagnéticas externas
(descargas atmosféricas)
Falhas ocasionais no próprio sistema de
transmissão
Ruído impulsivo

Perturba pouco as comunicações analógicas
–

Uma transmissão telefónica pode ser corrompida
por pulsos ou estalos curtos sem perder
inteligibilidade
Perturba bastante as transmissões digitais
–
–
Principal fonte de erro
Um pulso de ruído de 10 ms corrompe cerca de
50 símbolos de dados transmitidos a 4800 bauds
Ruído Térmico


A teoria cinética das partículas diz que a
energia média de uma partícula à
temperatura absoluta de T é proporcional a
kT em que k é a constante de Boltzman
Quando uma resistência metálica de valor R
está a uma temperatura T, o movimento
aleatório dos electrões produz uma tensão
aleatória de ruído n(t) aos seus terminais
Ruído térmico

De acordo com o teorema do limite central
–
n(t) possui uma fdp gaussiana pN(n) com
p N ( n) 
 ( n  mn ) 2
1
2
2
n
e
 n2
mn  n  0
2
2
(

k

)
 n2  n 2 
R Volt 2
3h
Onde a temperatu
ra  é medida em º Kelvin e
k  1.38x1023 Joules/Kelvin  constantede Boltzman
h  6.60x1034 Joules.segundo  constantede Planck
Ruído Térmico

Resultados da mecânica quântica
–
–
Equações do slide anterior
Densidade espectral de potência do ruído térmico
produzida por uma resistência de R ohms
N ( f ) R  2 RkT (1 
2
hf
2kT
) Volt 2 /Hz para f 
Na prática
N ( f ) R  2 RkT Volt 2 /Hz
2
KT
h
Circuito equivalente de Thévenin
2
N( f ) 
2
N( f ) R
4R
kT

Watt/Hz
2
Ruído branco e gaussiano

Para além do ruído térmico
–
Muitas outras fontes se caracterizam por



Uma fdp gaussiana
Um densidade espectral constante ao longo de quase
todo o espectro.
Chamado Ruído Branco por analogia com a luz branca
–
Nas comunicações o ruído branco e gaussiano é um
modelo aceitável para o ruído total presente e manifestase de forma aditiva
Características do ruído branco e
gaussiano
N( f ) 
2

2
wat t /Hz

combinaçãode t odasfont esde ruído (incluindoo t érmico)
Largura de banda equivalente de ruído

Uma densidade de potência de ruído
constante
–
–
Daria uma potência de ruído infinita no receptor
Isso não acontece porque o sistema de
transmissão tem uma largura de banda limitada

Limita a potência de ruído e limita-o
Largura de banda equivalente de ruído
2

N
 N( f )
H ( f ) df 
2


H( f )

2


2
df    H ( f ) df
2
0

1
2
com BN   H ( f ) df
g0
N  gBN
g  H( f )

2
max
BN - Lagura de Banda Equivalente de Ruído ou
Largura de Banda de Ruído
Exemplo 4.1

Considere-se o sistema de transmissão de 1ª
ordem, com largura de banda a 3dB igual a
BT, representado pela característica de
potência
H( f ) 
2
1
 1
1  
 BT



2
Exemplo 4.1

BN  
0

1
 f
1  
 BT




 f
BN  arctg
 BT

2
df  BT 
0

1
BT
 f
1  
 BT



2
df


  BT  1.57BT
2
 0
LB equivalente de ruído num sistema
PB
Interpretação geométrica a BN. Verifica-se que a largura de banda de
ruído é cerca de 50% superior a largura de banda a 3 dBs (BT)
LB equivalente de Ruído

É a largura de banda de um filtro ideal que
deixa passar a mesma potência de ruído que
esse sistema e tem o mesmo ganho máximo
–
Se o sistema do ex. 4.1 fosse mais selectivo com uma
transição de corte mais abrupta
BN  BT
N    gBT
2
n
Erros
Regeneração do sinal digital

Suponhamos uma transmissão digital binária
unipolar
–
Os símbolos transmitidos são pulsos rectangulares
com Ts de duração que podem tomar apenas dois
valores
ak  0  valorlógico 0

ak  A  valorlógico1
Entradaà entradado receptorno instantet k
y (t k )  ak  n(t k )
Receptor binário de banda base
Regeneração de sinal binário unipolar
Probabilidade de erro

Existe erro quando a estimativa não coincide com o
valor transmitido
~
x (tk )  x(tk )

Interessa conhecer a probabilidade de erro porque
é uma medida importante da qualidade do sistema
de transmissão digital
Probabilidade de erro
Amplit udelimiar V
0 V  A
Regeneração dá origem a erro se
O símbolo t ransmitdo
i é 0 (ak  0) e o ruído excede V (n(tk )  V )
ou
O símbolo t ransmitdo
i é 1 (ak  A) e o ruído excede V (A  n(tk )  V )
Probabilidade de erro
Pe  P(ak  0).P(n(t k )  V )  P(ak  A).P(n(t k )  A  V )
Ruído é estacionário 
P(n(t k )  xo )  P(n(t )  xo )  P(n  xo )
Pe  P(ak  0).P(n  V )  P(ak  A).P(n  A  V )
Símbolos estatisticamenteindependentes
Pe  P0 .Pe 0  P1.Pe1
1 e 0 equiprováveis  P(ak  0)  P(ak  A) 
Pe 
1
 P(n  V )  P(n  A  V )
2
1
2
Probabilidade de erro
Pe 0  P(n  V )  

V
V 
p N (n)dn  Q 
n 
V A
Pe1  P(n  V  A)  

 A V
p N (n)dn   p N (n  A)dn Q

 n
 A V
1 V 


Pe  Q   Q
2  n 
 n
1
Q(k ) 
2

e
k
x
2
2
V



dx  Probabilidade da cauda gaussiana



Probabilidade de cauda gaussiana
Ábaco
Probabilidade de erro



Se os símbolos forem equiprováveis
Se o ruído afecta em média igualmente os símbolos
transmitidos
Vopt=A/2 (minimiza a probabilidade de erro)
 A 

Pe  Q
2

 n
N n
2
 S
A2
eS 
 Pe  Q
2
 2N




rs
2
Limiteinferiorpara a probabilidade de erro
N  BT  
 S 

Pe  Q


r
s 

Amplitude de limiar de decisão e
probabilidades de erro
Probabilidade de Erro

É habitual representar Pe em função da energia
média por símbolo Es
S
Es  S .Ts 
Joules
rs
 S 
 Es 
  Q

Pe  Q
  


r
s




 s equivalente à relaçãosinal - ruído
Probabilidade de erro
Exemplo 4.2

Um computador transmite por uma porta de
comunicações pulsos unipolares ao ritmo de
106 bps= 1 MBps para transmissão por um
sistema de ruído de densidade espectral de
potência 4x10-20 W/Hz. Pretende-se
determinar o valor da potência média do
sinal de modo a que a taxa de erros não
exceda um bit por hora
Solução