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Distribuições Teóricas Contínuas
Exercício 3.1 Sendo X uma variável aleatória com distribuição exponencial, mostre que
P (X ≥ a + b/X ≥ a) = P (X ≥ b) ,
a ≥ 0, b ≥ 0.
Exercício 3.2 Sabe-se que o tempo entre 2 acidentes de viação num determinado troço da A2 tem distribuição exponencial com média de 45 dias. Se
ocorre um acidente no primeiro dia de um mês, qual a probabilidade de nesse
mesmo mês se verificar um segundo acidente de viação (suponha que o mês
tem 30 dias)?
Exercício 3.3 Numa unidade industrial o tempo de execução de uma peça
é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 5 minutos.
1. Uma peça já se encontra em execução há 2 minutos. Qual a probabilidade de serem ainda necessários, pelo menos, 4 minutos até à sua
conclusão? Comente o resultado obtido.
2. Considerando 5 peças ao acaso, calcule a probabilidade de 2 delas terem
tido um tempo de execução máximo de 4 minutos.
Exercício 3.4 O tempo de funcionamento, sem avarias, de uma determinada máquina de produção em série tem um comportamento exponencial
com média igual a quatro dias e meio. Supondo que a máquina começa a
funcionar no dia t = 0.
1. Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes de 6 dias?
2. Admitindo que a máquina se encontra no quarto dia de produção, qual
a probabilidade de não ocorrer qualquer avaria antes do sexto dia de
laboração?
3. Qual a probabilidade de se verificarem duas avarias durante os seis
primeiros dias de funcionamento da máquina?
Exercício 3.5 Admitindo que determinada caixa multibanco é utilizada em
média 10 vezes por dia (das 9h às 19h) e que o número de utilizações é uma
v.a. com distribuição Poisson.
1. Determine a probabilidade de que a caixa seja utilizada pelo menos 4
vezes entre as 14h e as 19h.
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2. Calcule o valor esperado e a variância do número de utilizações semanais
(5 dias) da caixa.
3. Determine a probabilidade de que o tempo decorrido entre duas utilizações consecutivas da caixa seja superior a 2 horas.
Exercício 3.6 Uma máquina que funciona em contínuo, tem em média 2
avarias por cada turno de 8 horas.
1. Determine a probabilidade de que o tempo entre avarias consecutivas
seja superior a 5 horas.
2. Se numa oficina estiverem a funcionar em simultâneo 24 máquinas
daquele tipo, havendo uma capacidade de reparação de 5 avarias por
hora, calcule:
(a) A probabilidade de ocorrerem 3 avarias nos últimos 10 minutos de
um turno.
(b) O valor esperado e a variância do número de avarias por hora.
(c) O número médio de avarias reparadas por hora.
Exercício 3.7 O tempo de espera (em minutos) numa central telefónica entre duas chamadas segue uma distribuição exponencial com função densidade
de probabilidade
½ −x
e
, x≥0
f (x) =
.
0 , x<0
1. Qual a probabilidade de que o tempo entre duas chamadas seja inferior
a 3 minutos?
2. Qual a probabilidade de que o tempo entre duas chamadas seja superior
a 3 minutos?
3. Que distribuição segue o número de chamadas por minuto? Justifique.
Exercício 3.8 Durante o período de aulas, o tempo que um determinado
aluno dedica ao estudo por mês, contabilizado em horas, é uma v.a. X cuja
função de distribuição é definida por
½
0
, x<0
x
F (x) =
.
− 60
, x≥0
1−e
23
1. Num mês escolhido ao acaso, qual a probabilidade desse aluno estudar
mais de 55 horas?
2. Dos meses em que estuda menos de 55 horas, qual a probabilidade de
estudar pelo menos 28 horas?
3. Suponha que faz a aposta de que, nos próximos 4 meses, haverá um e
um só mês em que o aluno estuda menos de 55 horas. Qual a probabilidade de vir a ganhar a aposta?
Exercício 3.9 Seja X uma v.a. com distribuição normal, de parâmetros μ
e σ. Calcule:
1. P (μ − σ < X < μ + σ).
2. P (μ − 2σ < X < μ + 2σ).
3. P (μ − 3σ < X < μ + 3σ).
Exercício 3.10 Seja X uma v.a. com distribuição normal, de parâmetros
μ = 40 e σ = 6. Calcule:
1. P (X < 32).
2. P (X > 27).
3. P (42 < X < 51).
4. O valor x tal que P (X < x) = 0.45.
5. O valor x tal que P (X > x) = 0.13.
Exercício 3.11 Uma fábrica produz motores cujo tempo de vida é uma variável aleatória com distribuição normal, de parâmetros μ = 10 anos e σ = 2
anos. A fábrica quer criar um período de garantia, de forma a não mais de
3% dos motores tenham de ser substituídos. Qual deverá ser o período de
garantia máximo oferecido pela fábrica?
Exercício 3.12 Uma máquina para empacotamento automático de açúcar
produz pacotes cujo peso liquido é uma v.a. com distribuição normal com
média 8 g e desvio padrão 2 g.
1. Qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso
superior a 8.5 g?
24
2. Qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso
superior a 10 g ou inferior a 6 g?
3. Qual deveria ser a média do peso liquido para que 99% dos pacotes
contivessem pelo menos 9 g?
Exercício 3.13 Uma empresa tem produção constante de 90 toneladas/mês
do produto que fabrica. Sabendo que a procura desse produto é uma v.a.
aproximadamente normal de parâmetros μ = 100 e σ = 10, calcule:
1. A probabilidade da procura se situar entre 68 e 90 toneladas.
2. A probabilidade de haver procura excedentária.
3. O valor que deveria ter a produção da empresa para que a probabilidade
de haver procura insatisfeita fosse 0.025.
Exercício 3.14 Numa medição o erro aleatório segue uma lei normal de
desvio padrão σ = 1 mm e média μ = 0 mm.
1. Obtenha a probabilidade de, numa medição, o erro pertencer ao intervalo ]−0.5, 2.5[.
2. Determine a probabilidade de que, em 2 medições independentes, o erro
de pelo menos uma delas não ultrapasse em valor absoluto 1.28 mm.
Exercício 3.15 O diâmetro interno de um segmento de um motor de automóvel é uma v.a. que segue uma distribuição normal com média 10 cm e
desvio padrão 0.03 cm
1. Que percentagem de segmentos têm diâmetro interno superior a
10.075 cm?
2. Qual a probabilidade de um segmento ter um diâmetro interno entre
9.997 e 10.03 cm?
3. Abaixo de que valor do diâmetro interno, se encontram 15% dos segmentos?
Exercício 3.16 O diâmetro X de um cabo eléctrico é normalmente distribuído com média 0.8 e variância 0.0004. O cabo eléctrico é considerado
defeituoso se diferir da sua média em mais de 0.025. Qual a probabilidade
de se encontrar um cabo defeituoso?
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Exercício 3.17 Numa empresa a utilização semanal de determinada matériaprima, é uma v.a. com distribuição normal de parâmetros μ = 600 kg e
σ = 40 kg. No início de certa semana a empresa tem em stock 634 kg de
matéria-prima, sendo inviável nessa semana proceder a mais aprovisionamentos.
1. Determine a probabilidade de ruptura de stock de matéria-prima nessa
semana.
2. Qual a probabilidade de numa dada semana o consumo ser inferior à
média, sabendo-se que no inicio da mesma semana já se consumiram
pelo menos 500 kg de matéria-prima?
3. Qual deverá ser o stock mínimo, de modo a que seja de 0.01 a probabilidade de ruptura?
Exercício 3.18 As alturas de um grupo de pessoas segue uma distribuição
normal com média igual a 166 cm e variância de 9. Determine:
1. A probabilidade de que as alturas se situem entre os 160 e 172 cm.
2. A probabilidade de que as alturas não sejam inferiores a 175 cm.
3. A altura h de modo que em 800 pessoas haja 264 com altura superior
a h.
Exercício 3.19 Num exame 15% dos alunos obtiveram nota superior a 16
e 60% nota superior a 9. Supondo que a distribuição das notas é normal.
1. Determine os valores dos parâmetros μ e σ 2 dessa distribuição.
2. Calcule a percentagem de indivíduos com nota inferior a 7.
Exercício 3.20 Considere a variável aleatória X ∼ N (μ; σ) , tal que
P (X < 30) = 0.1151 e P (X > 50) = 0.0179.
Determine μ e σ.
Exercício 3.21 Nos bebés, a idade (em meses) em que rompe o primeiro
dente é uma v.a. normal de média 7 e variância igual a 4.
1. Qual a probabilidade de que um bebé escolhido ao acaso tenha o
primeiro dente antes dos 7 meses?
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2. Qual a probabilidade de que em dois bebés, um tenha o primeiro dente
depois dos 6 meses, e outro depois dos 8 meses?
3. Qual a probabilidade de que numa amostra de 10 bebés, 8 deles tenham
o primeiro dente não antes dos 7 meses?
Exercício 3.22 Para efeitos de comercialização, determinados frutos são
classificados pelo tamanho. Considera-se como medida o seu diâmetro máximo, o qual é uma variável aleatória com distribuição normal de desvio padrão
igual a 5 cm e média μ. As categorias consideradas são as seguintes:
− c1 : frutos com diâmetro máximo inferior ou igual a 6 cm;
− c2 : frutos com diâmetro máximo entre 6 e 12 cm;
− c3 : frutos com diâmetro máximo superior ou igual a 12 cm.
1. Sabendo que 30% dos frutos são de categoria c3 , calcule o diâmetro
máximo médio dos frutos.
2. Calcule a percentagem de frutos das categorias c1 e c2 .
3. Se os frutos forem vendidos em embalagens económicas de 6 unidades,
incluindo aleatoriamente todos os tamanhos, qual a probabilidade de
haver pelo menos 2 frutos da categoria c3 ?
4. Sabendo que os frutos da categoria c2 têm uma probabilidade de apodrecer (ao fim de 5 dias) de 0.004, calcule a probabilidade de entre 1000
frutos de categoria c2 , não menos de 7 frutos apodrecerem ao fim de 5
dias.
Exercício 3.23 As notas obtidas numa faculdade a estatística são uma
variável aleatória X com distribuição normal de média 10. Sabe-se que
P (X < 12) = 0.8413.
1. Determine o desvio padrão das notas.
2. Determine P (8 < X < 12).
3. Qual a probabilidade de, em 10 alunos, 4 obterem uma nota superior
a 8?
Exercício 3.24 Cada um dos 20 postos de trabalho nas linhas de montagem
de uma fábrica consome peças do tipo A (durante 20 dias úteis) a um ritmo
dado por uma v.a. com distribuição N (50, 3.2) . Se os stocks de peças forem
renovados cada 20 dias úteis, qual deverá ser o stock mínimo total no início de
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cada período de 20 dias úteis, de forma a que a probabilidade de ruptura de
stocks não exceda 20%? (Admita que o consumo em cada posto de trabalho
é independente do consumo nos restantes postos de trabalho).
Exercício 3.25 Os custos de mão-de-obra na produção de um artigo artesanal são uma variável aleatória de distribuição normal com média 100 unidades
monetárias (u.m.) e desvio padrão de 10 u.m..
1. Qual a probabilidade daquele custo se situar entre 90 e 110 u.m.?
2. Qual a probabilidade do custo de 3 artigos ser inferior a 310 u.m.?
3. Produzem-se três unidades. Qual a probabilidade de todas terem custo
inferior a 118 u.m.?
Exercício 3.26 O montante de depósitos à ordem efectuados diariamente
numa agência bancária é uma v.a. com distribuição normal de média 120
unidades monetárias (u.m.) e variância 64.
1. Determine a percentagem de dias em que o montante de depósitos se
situa entre 105 e 135 u.m..
2. Determine a probabilidade do montante de depósitos ser superior à
média, nos dias em que esse mesmo montante é inferior a 125 u.m..
3. Determine a média e a variância do montante de depósitos semanais (5
dias).
Exercício 3.27 O consumo diário de água numa dada localidade tem uma
distribuição normal de média 200 m3 e desvio padrão de 10 m3 .
1. Qual a probabilidade de, num dado dia, o consumo estar compreendido
entre 180 e 235 m3 ?
2. Que quantidade de água se deverá encontrar disponível de modo a
assegurar-se o consumo em 90% dos casos?
3. Ao longo de uma semana (7 dias) qual a probabilidade de haver no
máximo 3 dias com consumo inferior a 216.45 m3 ?
4. Qual a probabilidade de que, em 5 dias úteis, se consuma mais de
1000 m3 ?
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Exercício 3.28 Uma máquina de encher copos de sumo está regulada de
modo a que a quantidade de líquido que sai segue uma distribuição normal
de média 7 dl e desvio padrão 0.4 dl . A máquina é considerada com avaria
se a quantidade de líquido que dela sai for superior a 8 dl ou inferior a 6 dl .
1. Calcule a probabilidade da máquina estar avariada.
2. Qual a probabilidade de em 4 copos de sumo pelo menos 2 copos terem
menos de 7.5 dl?
3. Se 4 copos forem despejados para um jarro, qual a probabilidade de
este ficar com um volume de sumo superior a 28.5 dl?
Exercício 3.29 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1
litro. Supõe-se que 40% dessas garrafas contêm realmente uma quantidade
de líquido menor do que a indicada no rótulo. Qual a probabilidade de, em
100 garrafas existentes numa loja:
1. Haver 30 com menos de 1 litro?
2. Haver não mais de 30 com menos de 1 litro?
3. Haver mais de 45 com menos de 1 litro?
4. Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro?
Exercício 3.30 Dos fusíveis produzidos numa fábrica verifica-se que 2% são
defeituosos. Os fusíveis são embalados em caixas de 2000 unidades. Seja X
o número de fusíveis defeituosos por caixa.
1. Indique a distribuição de X.
2. Qual o número médio de fusíveis defeituosos por caixa?
3. Determine a probabilidade de encontrar pelo menos 30 fusíveis defeituosos numa caixa.
Exercício 3.31 As classificações obtidas num exame seguem distribuição
normal com valor médio de 11 e variância 9. Os alunos com classificação
entre 8.5 e 10 ou superior a 15 têm de fazer oral. Calcule:
1. A percentagem de alunos que se espera que obtenham notas no intervalo
[10, 15].
2. De 120 alunos que fizeram o exame,
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(a) Quantos se espera que reprovem?
(b) Qual o número esperado de alunos que vão fazer oral?
(c) Qual a nota máxima obtida no grupo dos 12 alunos pior classificados?
(d) Qual a probabilidade de se encontrarem 10 alunos com nota superior a 15?
Exercício 3.32 Para fabricar um cão de madeira em série são necessárias
as máquinas A, B e C. A máquina A produz moldes de madeira (com a
forma do cão) cujo peso está normalmente distribuído com média 20 e desvio
padrão 1.4 gramas. A máquina B cobre os moldes de madeira com pêlo
sintético, estando o peso deste material normalmente distribuído com média
1.8 e desvio padrão 0.12 gramas. Por último o cão vai finalmente à máquina
C onde são colocados os olhos, o nariz e a língua; o peso destes últimos
pormenores tem também distribuição normal de média 0.2 e desvio padrão
0.03 gramas.
1. Qual a probabilidade de um cão, na sua forma final, pesar mais de 21
gramas?
2. Considere um lote de 1000 cães de madeira. Qual a probabilidade de
770 deles pesarem mais de 21 gramas?
Exercício 3.33 A distribuição dos rendimentos familiares, num aglomerado
populacional de 10000 famílias, é satisfatoriamente representado por uma lei
normal. Sabe-se que o rendimento médio nesse aglomerado populacional é
de 95 unidades monetárias (u.m.) e que a percentagem de famílias com
rendimento inferior a 80 u.m. é 15.87%.
1. Qual o desvio padrão do rendimento dessas famílias?
2. Qual o número provável de famílias com rendimento entre 80 e
110 u.m.?
3. Qual a probabilidade de em 100 famílias seleccionadas aleatoriamente,
se encontrarem 60 com rendimentos entre 80 e 110 u.m.?
Exercício 3.34 A partir de um armazém vão ser distribuídas 10000 latas
de espargos das quais 500 já ultrapassaram o prazo de validade. É efectuada
uma inspecção sobre uma amostra de 15 latas escolhidas ao acaso e com
reposição. A inspecção rejeita o lote se forem encontradas mais do que 2
latas fora de validade.
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1. Qual a probabilidade da inspecção rejeitar o lote?
2. Qual o número esperado de latas fora do prazo de validade?
3. Qual a probabilidade de, em 400 latas escolhidas ao acaso de entre as
10000 existentes, se encontrarem 25 fora do prazo de validade?
31
Soluções
3.1:−. 3.2: 0.475.
3.3.1: 0.449. 3.3.2: 0.2757.
3.4.1: 0.2636. 3.4.2: 0.6412. 3.4.3: 0.2303.
3.5.1: 0.735. 3.5.2: valor esperado = 50, variância = 50. 3.5.3: 0.1353.
3.6.1: 0.2865. 3.6.2a: 0.0613. 3.6.2b: valor esperado = 6,
variância = 6. 3.6.2c: 4.4818.
3.7.1: 0.95. 3.7.2: 0.05. 3.7.3: Poisson com parâmetro λ = 1.
3.8.1: 0.3998. 3.8.2: 0.3786. 3.8.3: 0.1536.
3.9.1: 0.6826. 3.9.2: 0.9544. 3.9.3: 0.9974.
3.10.1: 0.0918. 3.10.2: 0.985. 3.10.3: 0.3371. 3.10.4: 39.22 (usando
Φ−1 (0.55) ≈ 0.13). 3.10.5: 46.78 (usando Φ−1 (0.87) ≈ 1.13).
3.11: 6.
3.12.1: 0.4013. 3.12.2: 0.3174. 3.12.3: 13.652.
3.13.1: 0.158. 3.13.2: 0.8413. 3.13.3: 119.6.
3.14.1: 0.6853. 3.14.2: 0.9598 (usando p ≈ 0.2 tem-se 0.96).
3.15.1: 0.62%. 3.15.2: 0.3811. 3.15.3: 9.9688 (usando Φ−1 (0.85) ≈ 1.04).
3.16: 0.2112.
3.17.1: 0.1977. 3.17.2: 0.4969. 3.17.3: 693.04.
3.18.1: 0.9544. 3.18.2: 0.0013. 3.18.3: 167.32.
3.19.1: μ = 10.36, σ 2 = 29.45 (usando Φ−1 (0.85) ≈ 1.04 e Φ−1 (0.6) ≈ 0.25).
3.19.2: 27%.
3.20: μ = 37.27, σ = 6.06.
3.21.1: 0.5. 3.21.2: 0.3315. 3.21.3: 0.0439.
3.22.1: 9.4 (usando Φ−1 (0.7) ≈ 0.52). 3.22.2: Cat. c1 : 25%, Cat. c2 : 45%.
3.22.3: 0.5798. 3.22.4: 0.1107.
3.23.1: 2. 3.23.2: 0.6826. 3.23.3: 0.0017 (usando p ≈ 0.15 tem-se 0.0012).
3.24: 1013.
3.25.1: 0.6826. 3.25.2: 0.719. 3.25.3: 0.8961 (usando p ≈ 0.05 tem-se
0.8574).
3.26.1: 94%. 3.26.2: 0.3204. 3.26.3: μ = 600, σ2 = 320.
3.27.1: 0.9772. 3.27.2: 212.82. 3.27.3: 0.0002. 3.27.4: 0.5.
3.28.1: 0.0124. 3.28.2: 0.9957 (usando p ≈ 0.1 tem-se 0.9963).
3.28.3: 0.2643.
3.29.1: 0.01. 3.29.2: 0.0262. 3.29.3: 0.1314. 3.29.4: 0.1526.
3.30.1: X ∼ B (2000, 0.02). 3.30.2: 40. 3.30.3: 0.9535.
3.31.1: 53.75%. 3.31.2a: 24. 3.31.2b: 31. 3.31.2c: 7. 3.31.2d: 0.1208.
3.32.1: 0.7611. 3.32.2: 0.0256.
3.33.1: 15. 3.33.2: 6826. 3.33.3: 0.0174.
3.34.1: 0.0362. 3.34.2: 0.75. 3.34.3: 0.0477.
32