81,9(56,'$'((67$'8$/'(&$03,1$6
)$&8/'$'('((1*(1+$5,$(/e75,&$('(&20387$d­2
'(3$57$0(172'(&2081,&$d®(6
3ULPHLUR7UDEDOKRSDUD&DVDDJR
5HYLVmRGH3URFHVVRV(VWRVFiVWLFRV
4XHVWmR
Considere o canal binário simétrico (BSC) mostrado abaixo. Suponha que a informação
consistindo de 6 zeros consecutivos tenha que ser transmitida através deste canal. Determine:
i. A probabilidade de que a sequência na saída do canal tenha no máximo 3 erros;
ii. A probabilidade de que a sequência tenha exatamente 3 erros;
iii. A probabilidade de que a sequência tenha pelo menos 2 erros.
2/3
1/3
1/3
2/3
4XHVWmR
Se Z = 2X - 5 e X é uma variável aleatória (v.a.) com densidade de probabilidade pX(x) = 2e-2x,
x ≥ 0. Determine pZ(z).
4XHVWmR
Esboce algumas (ao menos três) funções-amostra de um processo aleatório definido por:
x(t) = Acos(ωt + θ)
para os seguintes casos:
i. θ é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (-π,π); A e ω são
constantes.
ii. ω é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0,10); A e θ são
constantes.
iii. A é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (-1,1); ω e θ são
constantes.
Quais destes processos acima podem ser considerados ergódicos? Por quê?
4XHVWmR
Um sistema de transmissão binária transmite 50.000 dígitos por segundo. No processo de
transmissão, é adicionado ruído ao sinal. Supondo que os pulsos transmitidos tenham amplitude
de ± 1V, e que o ruído aditivo x(t) possua a densidade de probabilidade dada abaixo:
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81,9(56,'$'((67$'8$/'(&$03,1$6
)$&8/'$'('((1*(1+$5,$(/e75,&$('(&20387$d­2
'(3$57$0(172'(&2081,&$d®(6
FX(x)
-2
2
x
i. Calcule a probabilidade de erro na recepção dos pulsos, considerando limiar de
decisão igual a zero.
ii. É possível tomar alguma medida prática para zerar a probabilidade de erro neste
caso? Quais? E se o ruído fosse gaussiano?
4XHVWmR
Seja o processo aleatório Y(t) = X(t).cos(2πfc + Φ), onde Φ é uma v.a. uniformemente
distribuída entre 0 e 2π. Esboce a função de auto correlação e a densidade espectral de potência
do processo Y(t) para:
i. X(t) = onda binária aleatória com pulsos de amplitude ± A e duração T segundos
(T>>1/fc).
ii. X(t) = ruído branco gaussiano.
iii. X(t) = X = v.a. gaussiana de média 0 e variância σx2.
&RGLILFDomRGH)RQWHV'LVFUHWDV
4XHVWmR
Uma fonte emite quatro possíveis símbolos, cujas probabilidades são {0,4; 0,3; 0,2; 0,1}
i. Qual a informação recebida ao se observar cada símbolo?
ii. Qual a entropia da fonte?
iii. As respostas anteriores valem para qualquer código QiULR, ou seja, códigos binários,
ternários, quaternários,... teriam as mesmas respostas nos itens i e ii?
4XHVWmR
Se X é o resultado de um jogo de dado, qual a entropia da variável aleatória X?
4XHVWmR
Considere uma fonte com K símbolos equiprováveis:
i. Explique porque o código mais eficiente deve ter palavras-código de comprimento
fixo.
ii. Qual a condição sobre K para este código ser absolutamente ótimo?
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4XHVWmR
Sejam os códigos:
C1 = {0; 10; 110; 1110; 1111}
C2 = {0; 01; 001; 0010; 0011}
C3 = {0; 01; 011; 110; 111}
C4 = {00; 01; 10; 110; 111}
i . Quais deles são unicamente decodificáveis?
ii. Quais deles são instantâneos?
iii. Desenhe para eles a árvore de decisão.
4XHVWmR
Para uma fonte de cinco símbolos com o seguinte conjunto de probabilidades {0,55; 0,15; 0,15;
0,10; 0,05}, obtenha duas codificações de Huffman diferentes e, para cada uma delas, encotre:
i. O valor de L
ii. A variância em torno de L
4XHVWmR
Seja 6 uma fonte cujas mensagens ocorrem com o seguinte conjunto de probabilidades 3 = {0,2;
0,15; 0,15; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1}. Deseja-se codificar a saída da fonte 6 com um código
instantâneo ternário. Construa dois conjuntos de palavras-código tais que os comprimentos
tenham o mesmo valor médio mas com diferentes variâncias. Determine o valor do
comprimento médio mínimo comum a ambos os códigos bem como as variâncias. Apresente
uma razão do porquê um código poderia ter preferência de uso em uma dada aplicação em
detrimento de outro.
4XHVWmRSDUDUHVROYHUHVWDTXHVWmRVHUiQHFHVViULRHVWXGDURWXWRULDOVREUHRDOJRULWPR
/HPSHO=LY:HOFKGLVSRQtYHOQDVHomR
'Exercícios' GDSiJLQDGRFXUVR
Uma empresa usa um código secreto para se comunicar com sua matriz no exterior, empregando
para isto as cinco vogais (DHLRX) como símbolos. Três estagiários foram encarregados de
providenciar uma codificação binária para transmitir as mensagens.
O estagiário A, que não fez o curso de EE088, propôs simplesmente palavras-código de mesmo
comprimento para os cinco símbolos.
O estagiário B efetuou um levantamento estatístico sobe a ocorr6encia de cada símbolo, obtendo
45% para D, 30% para H, 10% para L, 10% para R e 5% para X. Em seguida, propôs um código
ótimo tendo em vista esses valores.
Já o estagiário C percebeu que alguns padrões (ae, aa, aea, ...) se repetiam com muita freqüência
e propôs, em função disto em função disto, um procedimento híbrido : - usar uma codificação
do tipo Lempel-Ziv onde as condições iniciais para as frases sem prefixo (a e i o u) seriam o
próprio código proposto por B.
a) refaça o procedimento dos estagiários A e B, fornecendo um código segundo a metodologia
empregada por cada um deles
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'(3$57$0(172'(&2081,&$d®(6
b) Refaça o procedimento do estagiário C considerando a seqüência de 32 símbolos a ser
transmitida:
DDDHDHDHLDDDHRHDDHLDRDHRRXDHDHLL
c) compare o número de dígitos binários (bits) por símbolo utilizado em cada um dos tr6es
procedimentos para transmitir a seqüencia acima.
d) Calcule a entropia da fonte, isto é, a informação média em bits/símbolo que ela emite e
compare com os valores obtidos no ítem anterior. Comente a respeito da eficiência de cada
método.
e) Verifique se alguma frase do código C possui menos bits do que a mesma necessitaria pelo
código B. Baseado nisto, comente sobre em que circunstâncias o código C poderia se tornar
tão ou mais eficiente em relação a B.
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