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Massa: uma abordagem experimental
Phillip A. B. Galli e Radamés A. Silva
Instituto de Física da USP
(Data: 14 de Fevereiro de 2006)
A experiência teve como objetivo determinar qual dos métodos de medição com uma mola,
medição por elongação(método estático) e medição por oscilação (método dinâmico), é mais eciente e comparar os resultados obtidos. Na medição por oscilação utilizou-se um cronômetro a
laser construído pelo grupo com o intuito de melhorar as medidas. Além do objetivo de estudar a
precisão e eciência de cada método, desejou-se também discutir as constantes da mola em cada caso
e vericar se eram compatíveis. O experimento mostrou que os resultados obtidos em cada situação
estavam diretamente ligados ao instrumento utilizado na medição. Em particular concluiu-se que o
método dinâmico com o cronômetro a laser fornece maior precisão, embora demande mais tempo
de experimento.
I.
INTRODUÇÃO
A força aplicada por uma mola é dada pela lei de Hooke
sendo a força restauradora proporcional ao deslocamento
da posição de equilíbrio (l − l0 ).
F = −k(l − l0 )
(2)
Consideremos primeiro a situação de equilíbrio, ou
seja, o caso estático onde pode-se igualar as forças devidas à mola e à gravidade. Nesse caso temos que:
−ke (l − l0 ) + mg = 0
g
m + l0
ke
T = 2π
m
kd
(8)
Deve-se considerar a massa do sistema como sendo um
terço da massa da mola mm somada às massas adicionais
nela acrescentada. Linearizando (8) temos:
T2 =
4π 2
4π 2 mm
m+
kd
kd 3
(9)
obtém-se novamente a equação de uma reta y = ad x + bd
onde y = T 2 e x = m. ad e bd são respectivamente os
coecientes ângular e linear da reta e são dados por:
(3)
onde ke é a constante estática da mola.
Reescrevendo em função da elongação,
l=
r
(1)
A constante k de proporcionalidade é característica da
mola. A lei de Hooke deixa de valer se a deformação da
mola for excessivamente grande [1,2].
A equação física que descreve o sistema massa mola,
onde m é a massa acrescentada ao sistema é:
d2 l
−k(l − l0 ) + mg = m 2
dt
onde denotaremos kd a constante dinâmica da mola.
Supondo agora que uma mola oscile com uma massa nela
pendurada o período de oscilação é calculado por:
4π 2
kd
(10)
4π 2 mm
kd 3
(11)
ad =
e
(4)
e linearizando para o ajuste de uma reta pelo método dos
mínimos quadrados obtém-se que:
g
ae =
ke
(5)
be = l 0
(6)
bd =
Por questão de nomenclatura denotaremos o método
de elongação por método estático e o método de oscilação
por método dinâmico.
e
onde ae e be são respectivamente os coecientes ângular
e linear da reta ajustada, cuja equação nesse caso esta na
forma y = ae x + be lembrando que y = l e x = m.
Consideremos agora a situação dinâmica, onde as
forças peso e tração não possuem o mesmo módulo. A
solução de (2) é uma função oscilatória de freqüência ângular dada por
r
ω=
kd
m
(7)
II.
DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL
A.
O Método Estático
Na primeira parte o arranjo experimental constituise apenas de um suporte para a mola, onde utilizou-se
uma estrutura xa na parede com uma trena a m de se
obter as medidas de elongação. Utilizou-se cinco discos
e quarenta esferas de pequeno diâmetro para um ajuste
no de massas.
2
B.
1.
O Método Dinâmico
O Método de Oscilação com um cronômetro
convencional
Na segunda parte após determinar um limite de massas
pelo método descrito anteriormente no qual a mola apresentava um comportamento linear, mediu-se o período
de oscilação da mola para algumas massas. Foram utilizados dois cronômetros convencionais dos quais foram
tomadas oito medidas de dez períodos para cada massa.
Com a nalidade de comparar os métodos, mediu-se novamente a elongação na mola associada a cada uma das
massas.
2.
O Método de Oscilação com o cronômetro a laser
Utilizou-se um sistema de aquisição de dados via porta
paralela de um computador pessoal (PC) construído e
elaborado pelo próprio grupo com o objetivo de melhorar
a tomada de dados. O sistema constituiu-se de um circuito com um laser para acionamento automático de um
cronômetro de alta precisão desenvolvido em linguagem
C.
As massas utilizadas durante o procedimento coincidem com as mesmas das medições anteriores. Devido
à alta precisão do equipamento foram realizadas apenas
duas medidas de períodos de dez oscilações para cada
massa.
III.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
A.
1.
O Método Estático
Medições Preliminares
A m de determinar um limite de segurança para as
medições evitando que uma massa deformasse a mola,
determinou-se um intervalo seguro para realizar a experiência. Foram realizadas medições pelo método de elongação e conforme a Figura 1 pôde-se alcançar valores de
massa em torno de 94g sem alterar as propriedades da
mola. A incerteza na medida da elongação utilizada no
ajuste de reta foi obtida pela utuação média dos valores
ao redor do comportamento médio:
s
s=
Σ(yi − yiaj )
ngl
(12)
onde yi − yiaj refere-se à diferença entre cada valor experimental e o comportamento médio e ngl ao número
de graus de liberdade. No caso ngl = n − 2, pois a
função ajustada foi uma reta que apresenta dois parâmetros livres. A Figura 1 fornece a informação que para
elongações muito pequenas a lei de Hooke não funciona
o que impede a escolha de massas nesse intervalo limite.
Figura 1: As medições preliminares determinaram um intervalo seguro para o experimento sem alterar as propriedades
da mola. Para massas muito pequenas como mostrado acima,
o modelo adotado deixa de ser válido.
As medições preliminares serviram ao todo de base
para o início do experimento evitando o uso de massas
que deformassem a mola ou que não seguissem o modelo
adotado pela lei de Hooke.
2.
Medições de Elongação
Após as medições preliminares mediu-se a elongação na
mola e o período de oscilação de vinte massas no intervalo
suportado pela mola.
Mediu-se o período para dez oscilações consecutivas em
um total de oito vezes. Após serem medidos o período e a
elongação de cada massa, vericou-se também o comprimento da mola para ter certeza que não estivesse sofrendo
deformações durante a tomada de dados. As massas
foram tomadas aleatoriamente sem que estivessem em
ordem crescente.
Em seguida ajustou-se uma reta com os dados obtidos
para cada um dos casos. O método de elongação forneceu
os resultados ae = 0, 4507(6)cm/g e be = 51, 35(3)cm,
onde ae e be são dados por (5) e (6) respectivamente, conforme a Figura 2. Pode-se então calcular a constante elástica da mola com (5) novamente. O valor adotado para
a aceleração da gravidade é aquele xado nas dependências do laboratório de física que foram determinados pelo
IAG, sendo portanto g = 9, 7864(3)m/s2 . Conclui-se então que ke = 2, 171(7)N/m.
B.
1.
O Método Dinâmico
Medições de oscilação com o cronômetro convencional
Para o método de oscilação o ajuste de reta forneceu
os seguintes resultados: ad = 0, 01884(14)s2 /g e bd =
0, 050(8)s2 , conforme a Figura 3. Utilizando-se (10)
3
Figura 2: Ajuste feito pelo método de elongação dentro do
intervalo de segurança determinado durante as medições preliminares.
obtém-se analogamente o valor para a constante elástica
dinâmica da mola por esse método, kd = 2, 10(4)N/m.
Figura 4: O cronômetro a laser introduziu maior precisão
no experimento. Os resultados do ajuste desse método serão
comparados com os obtidos nos outros métodos.
IV.
ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS
MÉTODOS
Com o objetivo de determinar massas desconhecidas
a partir dos dados experimentais obtidos utilizou-se em
cada caso a elongação ou o período de oscilação causado
pelo acréscimo de massa na mola para interpolar esses
valores nas retas ajustadas e obter dessa maneira o valor
para a massa experimental acrescentada. Como referência para comparação tomou-se o valor de massa medido
com uma balança analítica. O valor teórico desprezandose efeitos de resistência e atritos para a diferença da
massa medida na balança e o valor obtido experimentalmente seria zero. Com o intuito de vericar qual método
apresenta maior utuação ao redor do zero e se aproxima
mais do modelo teórico adotado, construiu-se os grácos
seguintes.
Figura 3: Ajuste feito utilizando-se um cronômetro convencional para medir os períodos de oscilação de suas massas
respectivas.
2.
Introduzindo o cronômetro a laser
O procedimento adotado nesse caso é semelhante ao
descrito para o método de oscilação com um cronômetro
convencional, porém, como era esperado o equipamento
desenvolvido forneceu maior precisão no experimento.
Com o ajuste de reta obteve-se ad = 0, 018132(3)s2 /g
e bd = 0, 07362(17)s2 , conforme a Figura 4. Consequentemente, o valor obtido para a constante da mola
foi kd = 2, 1778(4)N/m.
Figura 5: Comparação entre o método de elongação e o
método de oscilação com o cronômetro convencional.
De acordo com a Figura 5 o método de medição
4
Medições preliminares
ke = 2, 172(7)N/m
Método de elongação
ke = 2, 171(7)N/m
Método de oscilação com cronômetro convencional
kd = 2, 10(4)N/m
Método de oscilação com cronômetro a laser
kd = 2, 1778(4)N/m
Tabela I: Nota-se que as constantes da mola obtidas em cada
um dos métodos diferem entre si.
Figura 6: Comparação entre os métodos de elongação e oscilação com o cronômetro a laser.
Figura 8: Comparação entre as constantes da mola dentro de
três incertezas.
Figura 7: Comparação entre os métodos de oscilação com o
cronômetro convencional e o cronômetro a laser.
por elongação apresenta valores mais próximos do zero
quando comparado às medições de oscilação, o que leva
a uma conclusão de que nessa precisão determinar massas
por elongação é mais preciso. No entanto uma análise da
Figura 6 revela que melhorando-se a precisão no método
por oscilações o quadro se inverte e esse método passa a
ser mais preciso que o anterior. Fica evidente que quando
comparado ao método de elongação, as medições com
o cronômetro a laser utuam mais próximo do zero do
que no método de elongação. Por m, a Figura 7 representa a dispersão das massas pelo método de oscilações
medidos com o cronômetro convencional e aquele desenvolvido pelo grupo, revelando um aumento na precisão
dos resultados que foi obtida através da substituição dos
cronômetros.
Ao analisar as constantes elásticas da mola pelos três
métodos de medição nota-se que elas diferem entre si.
Analisemos a compatibilidade das constantes.
Fica evidente que dentro de três incertezas as constantes pelos métodos de medição por elongação e por
oscilação com o cronômetro a laser são compatíveis enquanto que a constante dinâmica de oscilação com o
cronômetro convencional permanece longe de ser compatível com as outras. O fato de as duas constantes estáticas serem compatíveis entre si leva a conclusão de que
a mola não foi degradada durante todo o experimento
e manteve suas propriedades. Para o cálculo das incertezas no método estático considerou-se uma incerteza
relativa devida às variações na escala do instrumento utilizado que variam conforme o fabricante. Considerou-se
a variação de 1 mm a cada 30 cm o que sugere uma incerteza relativa da ordem de três partes em mil. No entanto, para determinar a incerteza referente ao método
dinâmico com um cronômetro convencional considerouse como incerteza aquela estimada que varia de pessoa
para pessoa e assume o valor de 0, 041 s [3].
Através de (9) é possível determinar a massa da mola
e compará-la nos dois métodos de oscilação com o valor
medido pela balança.
A massa experimental da mola pode então ser calculada por:
mm =
3bd
ad
(13)
5
Balança analítica
mm = 10, 9117(1)g
Oscilação com cronômetro convencional
mm = 8, 00(128)g
Oscilação com cronômetro a laser
mm = 12, 18(3)g
Tabela II: Nota-se uma diferença da ordem de 10% entre as
massas medidas pela balança analítica e o cronômetro a laser.
A mesma comparação feita com o cronômetro convencional
mostra uma diferença relativa de 27% com a balança analítica.
V.
CONCLUSÃO
Os resultados obtidos na experiência mostram que as
conclusões nais dependem diretamente dos instrumentos que foram utilizados nas medições. Antes de se introduzir o cronômetro a laser o método de medições por
elongação se mostrou mais eciente que o de oscilações
por ter uma precisão maior e demandar menos tempo de
trabalho. Introduzindo-se o cronômetro a laser a precisão
dos dados aumentaram e no nal esse método se mostrou
mais preciso do que aquele por elongação da mola apesar de demandar muito mais tempo para a construção e
elaboração do equipamento, assim como ajustes nais e
imprevistos que ocorreram.
Entre os três métodos de medição aquele que se
mostrou pior para a determinação de massas foi o de
medir oscilações com um cronômetro convencional, pois
além de ser menos eciente que o cronômetro a laser (o
que já era esperado de acontecer) perde também para o
método de elongação. Além disso esse foi o único método
no qual a constante elástica obtida para a mola não foi
compatível com as demais.
Considerando-se os valores das constantes na Tabela
I, pode-se dizer que a constante do método estático e
do método dinâmico com o cronômetro a laser apresentam uma diferença relativa de 0, 3%. A mesma comparação feita com o cronômetro convencional resulta em uma
diferença relativa de 3, 3% entre as constantes estática e
dinâmica da mola.
Conclui-se que dentro da precisão do experimento
o método de medição de oscilações da mola com um
cronômetro a laser é mais preciso que os outros métodos.
Assim sendo, pode-se por exemplo inovar uma balança
fazendo com que se meça massas (no limite considerado
para esse mola) por oscilação ao invés de por elongação
e obter dessa forma uma precisão maior.
Agradecimentos
Os autores agradecem à ajuda e apoio do professor
Zwinglio O. Guimarães-Filho, professor da discplina de
Física Experimental II no ano letivo de 2004, e aos técnicos do laboratório do IFUSP.
Referências
1. H.M.Nussenzweig,Curso de Física Básica
1-Mecânica,Editora Edgard Blücher
Ltda,4a edição,São Paulo(2002)
2. D.Halliday e R.Resnick,Fundamentos de Física
Vol.1,3a edição,Livros Técnicos e Cientícos
Editora S.a ,Rio de Janeiro(1994)
3. C.H.Trillo, C.Benetti e D.F.Silva, Incerteza de
uma Cronometragem.