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PAG -16
43. Analise as afirmativas a seguir, colocando entre parênteses a letra “V” quando se
tratar de proposição verdadeira e a letra “F” quando se tratar de proposição falsa.
A seguir, assinale a alternativa que indica a sequência correta.
PROVA DE CONHECIMENTOS
ESPECÍFICOS
( ) É primo, todo número a tal que a  n2  n  41 onde
( ) Dados três inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de 3.
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( ) Se
QUESTÃO ÚNICA
41. Considere os conjuntos X, Y e Z tais que XY  (X Y )  (Y  X) e
n(X ) significa a quantidade de elementos do conjunto X . Sobre X, Y e Z
são relacionados os seguintes dados: n X Y   32 , n X Y   35 ,
n Y Z   31 , n Y  Z   37 , n(X Y  Z)  2 , n Z  (X  Y )  12
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
n  .
x e y são inteiros não nulos, então mmc(x, y)  mdc(x, y)  xy .
( ) Para todo inteiro positivo
t tem-se que 4t  1  3t (mod9) .
F–V–V–V
F–F–V–V
F–V–F–V
V–F–V–F
V–V–F–F
44. A negação da proposição “Todo o aluno do 3º ano do Ensino Médio é bem
comportado” é a proposição:
e n (X  Y )  Z   26 .
Então, assinale a alternativa verdadeira:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A) n (X  Y )  Z   3
(B) n (X  Z ) Y   5
(C) n Z  (X  Y )  7
(D) n Y  (X  Z )  10
(E) n X  (Y  Z )  10
42. Considere   z  x  iy ; x, y   e i  1 .
alternativa correta.
2
Então
(B) Em  , o conjunto solução da equação ez  6ez  5 é finito.
2
(C) A imagem da reta x  1 pela função f (z )  z é uma elipse.
2
assinale
a
(D) Se (z )  ln(x  y )  iv(x, y) então v(x, y)  2xy .
(E) A função h(z )  x  4iy tem derivada em todo ponto z   .
“Nenhum aluno do 3º ano do Ensino Médio é bem comportado”.
“Todo o aluno do 3º ano do Ensino Médio não é bem comportado”.
“Nenhum aluno do 3º ano do Ensino Médio não é bem comportado”.
“Somente os alunos do 3º ano do Ensino Médio não são bem comportados”.
“Existe pelo menos um aluno do 3º ano do Ensino Médio que não é bem
comportado”.
45. Considere três prestações de mesmo valor vencidas nos períodos x , y e z tais
que 0  x  y  z de modo que, quando atualizadas na data zero a uma taxa
constante de juros compostos, os valores atualizados estão em progressão
geométrica de razão 2.
Assinale a alternativa correta.
3
(A) Os pontos críticos de g(z )  (z  i) estão na região z  1 .
2
___________________
PRESIDENTE DA CPP
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
x  2y  z  0
y x z  0
y  2x  z  0
z  2x  y  0
x y z  0
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46. Sejam as afirmações sobre Lógica Matemática:
considere a, b e c proposições simples e o valor lógico da proposição
A : a  b é verdadeiro. Então, os valores lógicos das proposições
compostas B : (a  c)  (b  c) e C : (a  c)  (b  c) são verdadeiro e
falso, respectivamente.
II. é válido o argumento: “Todo número primo é ímpar e nenhum número ímpar
é par. Portanto, existe um número primo que é par”.
III. considerando A  1,2, 3 e B  1,1 então a proposição
I.
x  A, y  B; x  y 
2
3
e
proposições
simples
p
q
P : (p  q)  ( p  q)  (p  q) é uma contradição.
então
47. Considere as sequências infinitas de números reais
ak 
e
bk  ,
1  k   . Assinale a alternativa verdadeira.
(B) Se ak 
(C) Se lim
ak
ak
  .

k 1
(D) Se ak  bk 
k 1
 1.

 0 então  ak x k converge para todo x   .
k 1
k
2 
onde
somente I esta correta
somente II e III estão corretas
somente III e IV estão corretas
somente I e II estão corretas
somente IV e V estão corretas
49. Analise as afirmativas a seguir, colocando entre parênteses a letra “V” quando se
tratar de proposição verdadeira e a letra “F” quando se tratar de proposição falsa.
A seguir, assinale a alternativa que indica a sequência correta.
( ) A função g :    tal que g(n) 
L
b
(E) Seja bk  0, k então lim log(bk )   e lim e k  0 .
k 
2n
tem lim g(n)  0 .
n 
(n  1)!
( ) Se h : a, b    é derivável, c  a, b ; h(b)  h(a)  h (c)(b  a) .
(A) F – V – V – F
L
e L  0 então L cos(ak x )sen(bk x )dx  L .
k 
IV. Se p  5 é um número primo, então p  2 é um número primo.
V. Sejam a e b números inteiros tais que mdc a, b  p , onde p é primo,
( ) A relação R sobre  definida por xRy  x  y é não anti-simétrica.
( ) A aplicação f :      ; f (x, y)  x y pode ser estendida aos
racionais.
então para todo x   , tem-se  ak (2)
k!
ak 1
k 
sen(bk )
k 
1
I. Se a e b são divisores de c  0 e mdc a, b  1 , então ab | c .
II. Dois números a e b são primos entre si se, e somente se, existem x 0  
e y0   de maneira que ax 0  by0  1 .
III. Se a , m e n são números inteiros positivos e n é ímpar, então
n
m
mdc a  1, a  1  2 .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
somente II está correta
somente I e II estão corretas
somente III e IV estão corretas
somente I, II e III estão corretas
somente I, III e IV estão corretas
k 
48. Considere as seguintes afirmativas sobre Teoria dos Números e, a seguir, assinale
a alternativa correta:
então mdc a , b  2p .
Assinale a alternativa correta:
(A) Se lim ak   , então lim
PAG -17
2
é verdadeira.
IV. sejam
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
___________________
PRESIDENTE DA CPP
(B) V – V – F – F
(C) F – F – V – V
(D) F – F – F – V
(E) V – F – V – V
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50. Sobre análise combinatória e probabilidade. Assinale a alternativa verdadeira.
(A) Existem 328 números pares de três algarismos distintos.
(B) Para
m
m  2 podemos afirmar que 2  2   m  m2  0 .
 
(C) Existem 20 modos de seis pessoas serem distribuídas em três duplas.
(D) Ao lançar um dado duas vezes, a probabilidade de obter soma 5 é de 1/8.
(E) São necessários 520 modos diferentes para arrumarmos 6 pessoas em fila.
51. Considere a aplicação T : 2  3 definida por T(x, y)  (ax,by, x  y)
onde a, b   são constantes arbitrárias.
Se A é a matriz de T na base canônica do 2 , então a, b   , At A é
inversível.
II. Para todo a, b   , T é uma transformação linear sobrejetora.
III. Se X(0, 0), Y(1, 0) e Z(0,1) são vértices do triângulo  , a área de T()
I.
vale a  b .
IV. Existem a, b   tais que a imagem de T é um plano passando na origem
do 3 .
Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
somente I está correta
somente III está correta
somente IV está correta
somente I e II estão corretas
somente II, III e IV estão corretas
___________________
PRESIDENTE DA CPP
PAG -18
52. Considere cor como um vetor gerado pela combinação (linear) de um conjunto
linearmente independente finito de cores primárias A  c1, c2,..., cn  chamado
de base de cores primárias. Se quisermos representar uma cor
c  a1c1  a2c2    ancn ( ai  , i  1,2,..., n ) gerada pelo conjunto de

cores primárias A , usamos a notação c A  a1 a2  an

t
onde o t
indica transposição e o módulo de uma cor, c A (calculado como um vetor do
n ) representa sua intensidade. São dadas duas bases de cores primárias:
A  amarelo, vermelho, azul e Bbranco, preto, verde cuja relação
entre elas é dada por


amarelo  2 branco verde


vermelho  preto 3 verde




azul  branco 2 preto verde



Assinale a alternativa verdadeira.
A matriz mudança de base de A para B tem um único autovalor real.
(A) 3 azulA  vermelhoB  2 brancoB  6 .


(B) Se cinzaB  1 0 2
t


t
então 13cinzaA   5 7 3 .
(C) A soma das intensidades de verdeB e pretoA é menor que 1.
(D) A matriz mudança de base de A para B tem um único autovalor real.


(E) Sabe-se que lilásA  3 1 2
t


t
então 13lilásB  21 4 3 .
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53. Considerando P e Q polinômios em uma variável, de graus finitos e
coeficientes reais, analise as afirmativas, colocando entre parênteses a letra “V”
quando se tratar de proposição verdadeira e a letra “F” quando se tratar de
proposição falsa. A seguir, assinale a alternativa que indica a sequência correta.
( ) Dado que P(2  3i)  1  i então P(2  3i)  1  i .
n
( ) Se 1  n   e x   então P(x)  20x  61 tem raízes racionais.
( ) Se P é irredutível e P não divide Q então mdc(P,Q)  1 .
5
2
( ) Q(x )  x  7ax  2b é divisível por (x  1) então a, b   .
( ) Se P divide Q e a é raiz de Q então a é raiz de P .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
dt
2

dz
e
t
i cos t , suponha que z(0) 
dt
Assinale a alternativa verdadeira:
d 3z
(0) é um número real.
dt 3
dv
(B)
(t)  v(t)  et  2 .
dt
(A)

t 0 
(C) lim u(t ) 
(D)
dv
dt


(t )  10 .
lim u(t )  t 1v(t )  3 .
t 
(E) t  2 é ponto crítico de u(t) .
a
dt
(0)  1  i
2x1
x2 , x2
linear
x 3,2x2
PAG -19
definida
por
T : 3
3 ,
4x 3
podemos afirmar que os
autovalores de T são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
2
4
4
5
e
e
e
e
e
T
T 1,1, 0
dz
transformação
T x1, x2, x 3
56. Seja
V–F–V–F–F
V–V–F–V–V
F–V–V–F–V
F–F–V–V–F
V–V–F–F–F
54. Sabe-se que z(t)  u(t)  iv(t) é uma função complexa analítica onde u e v
são funções de uma variável real t e que z(t ) verifica a equação
d z
55. Dada
___________________
PRESIDENTE DA CPP
3
9
5
7
9
o
operador
linear
1,2, 3 e T 1, 0, 0
(A) T 1,1, 6
(B) T 3, 4, 5
do
3
com
por
T 1,1,1
6,2,2 ,
3,1, 0 . Então podemos afirmar que:
1,2,2
1, 0,2
(C) T 3,2, 4
1, 4, 2
(D) T 2, 2, 5
35,10,11
(E) T 2, 3, 4
32, 1, 13
57. Um escoamento de água se faz a razão de 0,2 metro cúbico por segundo em uma
canalização cilíndrica de raio igual a 40cm. Reduzindo o raio para 20cm,
podemos afirmar que a velocidade da água antes e depois do estreitamento são
aproximadamente iguais a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
0, 398m / s e 1, 590m / s
0, 995m / s e 1, 950m / s
1, 331m / s e 2, 610m / s
1, 398m / s e 0, 590m / s
2, 455m / s e 1, 930m / s
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2
2
2
58. Dada a superfície E de equação x  y  z  3 . Podemos afirmar que a
equação do plano tangente à superfície E no ponto 1,1,1 é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
z
z
z
z
z
1  0
3  0
3  0
6  0
6  0
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
5
1
(B)
6
1
8
1
7
1
9
(D)
(A)
dx
df
5
15
5
unidades de área
x 1
e 2-3x
(A)
15
15 
3
15
3  15
d h
2
dx
d h
2
dx
4 e
4
e
e
4e
e
4
 , onde  é o conjunto dos números complexos,
det( A) onde:
0
27
1
147
1
270
3
(C)
(D)
d h
dx
dh
3
1
479
dx
3
(E)
d h
dx
3
dx é:
3
2
(B)
1
3
2
então podemos afirmar que:
x
2

2

x
 3
2
A  3x  4x  6x  3

4

unidades de área
4e
2
PAG -20
 3
62. Considere a função h : 
unidades de área
0
1
15x
15
definida por h x
0
dx
df
0
(C)
dx
df
0
(D)
dx
df
0
(E)
dx
(B)
(E)
unidades de área
60. Dada a função real f x
df
15
(C)  
x 2 encontramos o seguinte resultado:
unidades de área
3
61. O valor da
(A)
59. Quando calculamos a área limitada pela reta de equação y  x e pela parábola
de equação y
___________________
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0
534
5x  2
7x  2 

5x  6 3x  1 , pode-se afirmar que:

3
x 1 
2

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63. Sobre funções de uma variável complexa, podemos afirmar que:
(A) se f é holomorfa no aberto U   e sua derivada f ' : U   é
contínua, então f não é localmente lipschitziana em U .
(B) sejam f , g : U   duas funções analíticas em U , onde U é aberto e
conexo em  . Se f e g coincidem num subconjunto A de U com ponto
de acumulação em U então f  g em U .
(C) a série 
1
n 1 1
 nz
, onde z     converge para z  3  2i .
(D) seja z   tal que Re z  e Im z  não são racionais então o conjunto
m  ni  kz |m, n, k   é denso em  .
(E) seja f : U   uma função holomorfa, onde U   é um aberto
conexo e f U    , então
5
64. O valor da
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
3
3y
y
5x
y2
2y 4
x2
f
não é uma constante.
65. Considere f : 3   e g : 3  3 diferenciáveis até segunda ordem.
Definimos o campo vetorial F : 3  3 por F  grad f  rot g , onde
grad e rot significam gradiente e rotacional, respectivamente. No que segue,
div significa divergente da aplicação.
Assinale a alternativa verdadeira.
(A) O campo vetorial F é linear e irrotacional.
(B) Se rotg é nulo então F é não conservativo.
(C) Se div F  0 então a função f é harmônica.
(D) Seja S um sólido em 3 então  (div F )dV  0
S
2
(E) f (x, y, z )  z e g(x, y, z)  (x, y, z) então F(1, 0,1)  4
66. Nesta
questão,
todas
as
variáveis
reais.
Considere


dxdy :
Também, F (t ) 
dF(t )
dt
.
Assinale a alternativa verdadeira:
3
17
(A)
lim F(t )  F (t )   .
t 
3
18
(B) F(t) não possui pontos críticos.
(C) a função F(t) é crescente t  0 .
3
19
(E) o gráfico de F (t ) não tem assíntotas.
3
são
a
função
H(t)  0 se t  0 e H(t)  1 se t  0 e F(t )   ueuH (u)H (t  u)du .
16
3
20
PAG -21
___________________
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(D) t  1 produz máximo em F (t ) .
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67. Uma pessoa P , começando na origem, move-se no sentido positivo do eixo x ,
puxando um peso Q ao longo da curva C , conforme a figura. O peso,
inicialmente localizado sobre o eixo y em (0, a) , é puxado por uma corda de
comprimento constante a , a qual é mantida esticada durante todo o movimento.
Supondo que a corda seja sempre tangente a C .
2
2
2


x y  z

implicitamente pelo sistema 
. Então as derivadas
x y  2



y
0
(C) 1 e
C
P
x
(D)
Assinale a alternativa verdadeira:
(E)
(A) a curva C tem comprimento finito.
(B) em qualquer ponto de C , o vetor tangente é constante.
2
2
(C) a curva C é dada por x   a  y  a ln
y
a  a2  y2
70. Seja
.
68. Dada a equação diferencial
y ' senx
y ln y , para x 

2
,
y
(A)
e , teremos
(B)
como solução:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
ln y
ln y
ln y
ln y
ln y
 sec x  cot gx
 cos sec x  t gx
 cos sec x  cot gx
 sen sec x  cot gx
 sec x  sen cos ecx
dy
dx
são
z
x y
x
x y
x y
x
x y
z
fn
z
e x
e 1
, onde
n 1
q  1 , é igual a:
(D) r(t )  sen t, t  tg t ; t  0,  é uma parametrização de C .
(E) a equação (y  a)dy  ydx onde y(0)  a define a curva C .
dx
e
x y
(B) x e
a
dz
respectivamente iguais a:
(A) 1 e
Q
PAG -22
69. Dadas as funções diferenciáveis y  y x  e z  z x  com z  0 , definidas
y
a
___________________
PRESIDENTE DA CPP
(C)
(D)
(E)
q p
p  1q  1
p q
p  1q  1
q p
1  pq  1
q p
p  11  q 
q p
p  1q  1
fn x
ne
nx
lnq
, então ln p f x dx , com p  1 e
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2
71. Seja f :    uma função diferenciável. Considere z  f x  y, y  x ,
então podemos afirmar que:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x





z
y
z
y
z
73. Considere as seguintes afirmativas sobre geometria plana e analítica e, a seguir,
assinale a alternativa correta:
Um raio é perpendicular a uma corda (que não é um diâmetro) se e somente
se a divide em dois segmentos congruentes.
II. Um quadrilátero não pode ser inscrito em uma circunferência se e somente
se possui um par de ângulos opostos suplementares.
III. A área de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de
 1
2
r  n  sen
0
y
z
y
PAG -23
I.
 3
y
z
___________________
PRESIDENTE DA CPP
raio r é
2
 
2
n
.
1
IV. A área da região limitada por um círculo é igual ao produto do raio pelo
comprimento do círculo.
2
V.
A altura de um triângulo equilátero inscrito em um círculo mede
3
4
do
diâmetro do círculo.
72. Sobre séries numéricas é correto afirmar que:

n
n 0 n
 1 !
(A) a série 
é divergente.
2
n 3

(B) a série 
n 0 n
 5 !
n 1
n 0
n!

(D) a série 
é divergente.
2

(C) a série 
2
 3.
n 1
1
3
n 1
3
10 .
somente I está correta
somente II e IV estão corretas
somente I, III e V estão corretas
somente II , III e IV estão corretas
somente I, II, IV e V estão corretas
74. Considere a superfície cônica C que tem o vértice localizado na origem do 3 e
a base é a região plana limitada pela curva que é intersecção das superfícies
S1 : 2x  2y  z  9  0 e S2 : x 2  y2  z 2  6x  4y  2z  86  0 .
Então, quantas unidades de volume vale a região limitada por C ?
2
n 1
 3 !
2
2
1
n!
n 0 n
7
n 1 n n
n 0
é convergente e 
7
n 1 n n
n 1

 3 !
2

é convergente e 
n 1
n 0 n
(E) a série
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
é convergente e
 6.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
16
36
64
74
92
VISTO:
CONCURSO DE ADMISSÃO – 2011 ao CFO/QC - 2012
MAGISTÉRIO MATEMÁTICA
75. Na figura abaixo é mostrado o setor de um círculo com ângulo central  .
Considere S1() a área limitada pela corda DC e o arco DC e S2() a área
S1()

0 S2 ()
do triângulo BCD . Então o valor do limite lim
é:
 : (x  a)2  y2  a2 e  : x 2  y2  z 2  4a2 onde a  0 e z  0 .
Nestas condições, julgue as afirmativas seguintes
D
S2()
(A) 
(B)
(C)
(D)
(E)
1
3
2
3
2
5
4
3
Uma equação vetorial de  é r(t )  a(1  cos t ), a sen t,2a sen t  ,
t  0,2 .
S1()

A
PAG -24
76. Considere o traço da curva  descrito pela intersecção das superfícies
I.

___________________
PRESIDENTE DA CPP

B
C
II. O volume do sólido interno a  , limitado por  e z  0 é
8
3
a 3
unidades de volume.
III. A área da superfície sobre  , interna a  e limitada por  vale 4a2
unidades de área.
IV. Considere o campo vetorial F(x, y, z )  x, y, z  então  F  0 .
1
Assinale a alternativa correta:
3
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
somente I está correta
somente I e II estão corretas
somente II e IV estão corretas
somente III e IV estão corretas
somente II, III e IV estão corretas
definida
A : 3  3 ,

z
2 z
A(x, y, z )  4xe , cos y,2x e  , a curva C : r (t )  cos t, sen t, t 
77. Considere
a
aplicação
por
para
0  t   e a função U : 3   onde A  gradU . Onde gradU significa
o gradiente da função U .
Assinale a alternativa verdadeira:

(A) C A  dr é irracional.
(B)

limU (r (t )) tem valor nulo.
t 0
(C) U(x, y, 0) é limitada e periódica.


(D) Ar (0) e r (0) são ortogonais.
(E) C   onde  : x  y  z  0 .
VISTO:
MAGISTÉRIO MATEMÁTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO – 2011 ao CFO/QC - 2012
78. Considere um experimento aleatório onde p é a probabilidade de sucesso e q a
probabilidade de fracasso. Seja X o número de sucessos em uma única tentativa
do experimento. Então a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli com
x 1x
função de probabilidade dada por P(X  x )  p q
. Neste modelo,
considere a seguinte situação: Sabe-se que 20 animais foram submetidos a um
certo tratamento e que 20% deles não sobreviveram. Considere, ainda, X o
número de animais não sobreviventes.
Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
P(X  2)  0, 8
P(2  X  4)  0,5
a esperança de X é 3
a variância de X é 3,2
a variância de X é 3,8
79. Um aparelho eletrônico, cujo preço a vista é R$9.220,00, está sendo vendido com
uma entrada de 30% do valor do produto e o restante em 10 prestações mensais
imediatas com taxa de juros de 6,8%a.m. Então podemos afirmar que o valor das
prestações é aproximadamente igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
R$910,43
R$980,43
R$1.060,43
R$1.140,43
R$1.190,43
___________________
PRESIDENTE DA CPP
PAG -25
80. Um capital foi aplicado em uma Instituição Financeira a uma taxa de 2,4%a.m.
no regime de capitalização composta durante cinco meses, rendendo juros de
R$102.350,12. Então podemos afirmar que o capital aplicado foi
aproximadamente igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
R$794.145,34
R$812.948,34
R$873.357,34
R$905.045,34
R$949.725,34
FINAL DA PROVA