MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Introdução
ao Cálculo
de outra. Os exemplos a seguir ilustram como este
termo é usado:
•• A área A de um círculo depende de seu raio r
pela equação A = pr2; assim, diz–se que A é
uma função de r.
As raízes do cálculo
As atuais aplicações excitantes do cálculo têm
raízes que remontam ao trabalho do matemático grego Arquimedes, mas os princípios fundamentais do
cálculo atual foram feitos, independentemente, por
Isaac Newton e por Gottfried Leibniz, no século XVII.
Quatro grandes classes de problemas científicos e
matemáticos motivaram o trabalho de Newton e de
Leibniz naquela época:
•• Descobrir a reta tangente a uma curva genérica, num dado ponto.
•• Descobrir a área de uma região genérica, bem
como o comprimento de uma curva qualquer,
e o volume de um sólido em geral.
•• Descobrir o valor máximo e mínimo de uma
quantidade – por exemplo, a distância máxima e mínima de um planeta ao Sol ou alcance
máximo obtido por um projétil, variando o
ângulo de fogo.
•• Dada a fórmula para a distância percorrida
por um corpo num certo tempo, descobrir
a velocidade e a aceleração do corpo em
um instante qualquer, descobrir a distância
percorrida pelo corpo num período de tempo
especificado.
Estudaremos as propriedades de algumas funções mais básicas.
•• A velocidade v de uma bola caindo livremente
no campo gravitacional da Terra aumenta
com o tempo t até que ela atinja o chão, dessa
forma dizemos que v é uma função de t.
•• Em uma cultura, o número n de bactérias
presentes após 1 hora de crescimento depende do número n0 de bactérias presentes
inicialmente, assim diz–se que n é uma função de n0.
Essa ideia é expressa na seguinte definição:
Se uma variável y depende de uma variável
x, de tal forma que cada valor de x determina
exatamente um valor de y, então dizemos que
y é uma função de x.
Na metade do século XVIII, o matemático suíço
Leohnard Euler (pronuncia–se “oiler”) concebeu a
ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto,
tornando possível, desse modo, descrever funções
sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou
tabelas. Para entender a ideia de Euler, pense uma
função como sendo um programa de computador que
toma uma entrada x, opera com ela de alguma forma
e produz exatamente uma saída y. O programa de
computador é um objeto por si só, assim podemos
dar–lhe um nome, digamos f. Desta maneira, a função
f (o programa de computador) associa uma única
saída y a cada entrada x (figura abaixo).
EM_V_MAT_023
Funções
Tabelas, gráficos e equações fornecem três
métodos para descrever como uma quantidade
depende da outra – numérico, visual e algébrico. A
importância fundamental desta ideia foi reconhecida
por Leibniz em 1673, quando cunhou o termo função
para descrever a dependência de uma quantidade
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1
Isto sugere a seguinte definição:
ano t
Uma função f é um critério que associa uma
única saída a cada entrada. Se a entrada for
denotada por x, então a saída é denotada por
f(x) (leia-se “f de x”).
Nessa definição, o termo única significa “exatamente uma”. Desse modo, uma função não pode
produzir duas saídas diferentes com a mesma entrada. Por exemplo, a figura abaixo é um mapa de
dispersão de pesos versus idade para uma amostra
aleatória de 100 estudantes secundários.
Este mapa de dispersão não descreve o peso W
como uma função da idade A, pois há alguns valores
de A com mais de um valor correspondente de W.
Isto é esperado, uma vez que duas pessoas com a
mesma idade não têm, necessariamente, o mesmo
peso. Em comparação, a tabela a seguir descreve S
como uma função de t, pois há somente uma velocidade de classificação máxima em um dado ano.
Da mesma forma, a equação (1) descreve y como
uma função de x, pois a cada entrada de x intervalo
–3 < x < 3 corresponde exatamente a uma saída
velocidade S
(mi/h)
1975
193,976
1976
188,976
1977
198,884
1978
202,156
1979
193,736
1980
192,256
1981
200,546
1982
207,004
1983
207,395
1984
210,029
1985
212,583
1986
216,828
1987
215,390
1988
219,198
1989
223,885
1990
225,301
1991
224,113
1992
232,482
1993
223,967
1994
228,011
Quatro maneiras
de descrever funções
As funções podem ser representadas de quatro
maneiras básicas:
• Numericamente, por tabelas.
• Geometricamente, por gráficos.
• Algebricamente, por fórmulas.
• Verbalmente.
Propriedades das funções
2
2
Nesta seção, exploraremos as propriedades das
funções com mais detalhes, supondo que você está
familiarizado com a notação–padrão para intervalos
e com as propriedades básicas de valor absoluto.
EM_V_MAT_023
y = x 9−x .
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Variáveis dependentes
e independentes
f(–1,7) = 3(–1,7)2 – 4(–1,7) + 2 = 17,47
Lembre–se da última seção em que uma função f é uma lei que associa uma única saída f(x) a
cada entrada x. Esta saída é, às vezes, chamada de
valor de f em x ou a imagem de x sob f. Às vezes,
denota–se a saída por uma única letra, digamos y e
escreve–se
y = f(x)
Nessa equação, y é uma função de x; a variável
x é chamada de independente (ou argumento) de f,
e a variável y é chamada de variável dependente de
f. Essa terminologia tem o propósito de sugerir que
x está livre para variar, mas uma vez especificado o
valor de x, um correspondente valor de y está determinado. Por ora, considera–se as funções nas quais
as variáveis dependentes e independentes são números reais e, neste caso, diz–se que f é uma função
de uma variável real a valores reais. Mais adiante
consideraremos outros tipos de funções.
A tabela abaixo pode ser vista como uma representação numérica de uma função f.
f( 2 ) = 3( 2 )2 − 4 2 + 2 = 8 − 4 2
x
0
1
2
3
y
3
4
–1
6
Para esta função tem–se:
f(0) = 3
f associa y = 3 a x = 0
f(1) = 4
f associa y = 4 a x = 1
f(2) = –1
f associa y = –1 a x = 2
f(3) = 6
f associa y = 6 a x = 3
Para ilustrar como as funções podem ser definidas por equações, considere:
y = 3x2 – 4x + 2
(1)
Esta equação tem a forma y = f(x), onde:
f(x) = 3x2 – 4x + 2
(2)
EM_V_MAT_023
As saídas de f (os valores de y) são obtidas
substituindo os valores numéricos de x na fórmula.
Por exemplo:
f(0) = 3(0)2 – 4(0) + 2
f associa y = 2 a x = 0
f associa y = 17,47 a x = –1,7
f associa y = 8 – 4 2 a x =
2
Embora f, x e y sejam as letras mais comuns
na notação de função e de variáveis, qualquer
letra pode ser usada. Por exemplo, para indicar
que a área A de um círculo é uma função de raio
r, seria natural escrever A = f(r) [onde f(r) = pr2].
Analogamente, para indicar que a circunferência C
de um círculo é uma função do raio r, poderíamos
escrever C = g(r) [onde g(r) = 2pr]. As funções
área e circunferência são diferentes, daí termos
denotados com letras diferentes, f e g.
Domínio e imagem
Se y = f(x), então o conjunto de todas entradas
possíveis (valores de x) é chamado domínio de f, e o
conjunto de saídas (valores de y), os quais resultam
quando x varia sobre o domínio, é chamado de imagem de f. Por exemplo, considere as equações:
y = x2 e y = x2, x ≥ 2
Na primeira equação, não há restrição sobre x;
portanto, pode–se admitir que qualquer valor real de
x é uma entrada aceitável. Desta forma, a equação define uma função f(x) = x2 com domínio –∞ < x < +∞.
Na segunda equação, a desigualdade x ≥ 2 restringe
as entradas admissíveis a serem maiores ou iguais a
2. Assim sendo, a equação define uma função g(x)
= x2, x ≥ 2 com domínio 2 ≤ x < +∞.
À medida que x varia sobre o domínio da função
f(x) = x2, os valores de y = x2 variam sobre o intervalo
0 ≤ x < +∞. Desse modo, essa é a imagem de f. Por
analogia, à medida que x varia sobre o domínio da
função g(x) = x2, x ≥2 variam sobre o intervalo 4 ≤
y < +∞, portanto esta é a imagem de g.
É importante compreender aqui que, apesar
de f(x) = x2 e g(x) = x2, x ≥ 2 envolverem a mesma
fórmula, são consideradas funções diferentes, pois
os domínios não são os mesmos. Em resumo, para
descrever completamente uma função além de especificar a lei, a qual relaciona entradas e saídas, é
necessário indicar também qual é o domínio, isto é,
o conjunto de entradas admissíveis.
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3
A função valor absoluto
Lembre–se que o valor absoluto ou grandeza
de um número real x está definido por:
 x, x ≥ 0
| x |= 
− x, x < 0
O efeito de considerar o valor absoluto de
um número é tirar fora o sinal menos, se o número for negativo ou deixá–lo não–modificado se for
não–negativo. Assim,
5 = 5, −
4 4
= ,0 =0
7 7
Resumo das propriedades algébricas do valor
absoluto.
Propriedades do valor absoluto. Se a e b são
números reais, então:
(a) | –a | = | a |
(b) | ab | = | a | | b |
(c) | a / b | = | a | / | b |
(d) | a + b | ≤ | a | + | b |
Um número e seu negativo
têm o mesmo valor absoluto.
O valor absoluto de um
produto é igual ao produto
dos valores absolutos.
O valor absoluto de uma
razão é a razão dos valores
absolutos.
A desigualdade triangular.
Limites laterais
Dado um ponto sobre uma reta (ou, equivalente, um número real a) existem duas formas de
nos aproximarmos desse ponto: pela direita ou pela
esquerda.
Assim, pode–se definir dois tipos particulares
de limite, chamados limites laterais: os limites laterais à esquerda e os limites laterais à direita.
Diz–se que o número real L é o limite à direita de
f(x) quando x tende para a, e escreve–se lim+ f( x ) = L,
x →a
quando, para todo e > o dado, existir um d > o tal que
0 < x − a < δ ⇒| f ( x ) − L |< ε. De uma forma mais clara:
x→a+ significa que x→a e x>a.
De forma análoga, o número L é o limite à
esquerda de f(x) quando x tende para a (simbolicamente: lim− f( x ) = L) quando dado e > o existe d > o,
x →a
tal que 0 < a – x < δ ⇒|f( x) − L|< ε . x → a- significa que
x→a e x<a.
Teorema
Dada uma função f: I → R, onde I é um intervalo
aberto, lim f( x ) = L existe se, e somente se, os limites
x →a
laterais lim+ f( x) = L e lim− f( x) = M existem e são iguais,
x →a
x →a
Definição
isto é, L = M.
Dada uma função f: I → R, onde I é um intervalo
aberto de R, e números reais a ∈ I e L ∈ R, dizemos
que o limite de f(x) quando x tende a a ser igual a L
quando ocorre o seguinte:
Dado e > 0, existe d > 0 tal que | x – a | < d ⇒ |
f(x) – L| < e
Neste caso, indicamos simbolicamente
Propriedades operatórias
lim f( x ) = L.
x →a
Na definição acima, d e e simbolizam apenas
dois números reais positivos quaisquer, que, em
geral, são tomados bem pequenos, ou seja, próximos
de zero. Dizer que d é um número positivo próximo de
zero significa dizer que | x – a | é pequeno, isto é, x
está próximo de a. O mesmo pode–se dizer a respeito
de e. Assim, d e e são nada mais do que cotas (em
outras palavras, números que controlam as distâncias
1)Se lim
f(x) = L e lim
g(x) = M, então:
x→a
x→a
f(x) + g(x) = L + M
(a) lim
x→a
f(x) . g(x) = L . M
(b) lim
x→a
(c) lim
x→a
f( x )
g( x )
= L / M (M ≠ 0)
2)Se lim
f(x) = L e a ∈ R, então lim
(a.f(x)) =
x→a
x→a
a.L
3)Se f é uma função polinomial, então limx→a
f(x) = f(a)
4)Se lim
f(x) = L, então lim
|f(x)| = |L|
x→a
x→a
5)Se lim
f(x) = L ∈0 e a ∈ R, então lim
(f(x))a
x→a
x→a
= La
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EM_V_MAT_023
Limite
4
entre determinados números reais) e o que está dito
acima pode ser traduzido como: quanto mais próximo
x estiver de a, mais próximo f(x) estará de L.
6)Se lim
f(x) = L ≠ 0 e b ∈ R + – {1}, então
x→a
lim log f(x) = log L
x→a
b
b
7)Se lim
f(x) = L1 > 0 e lim
g(x) = L2, então
x→a
x→a
lim f(x) g(x) = LL12
x→a
Teorema da unicidade
Se lim
f(x) existe, então ele é único.
x→a
Teorema do sanduíche
Se lim
f(x) = lim
g(x) = L e f(x) < h(x) < g(x),
x→a
x→a
numa vizinhança de a, então lim
h(x) = L.
x→a
Casos de indeterminação
0.∞
(3)
0
0
0
(7)
1∞
(1)
∞−∞
(2)
(5)
00
(6) ∞
(4)
∞
∞
( )
Neste caso, lim p x = 0.
x →+∞ q( x )
Terceiro caso: gr(p) > gr (q)
Analisaremos esse caso logo adiante, pois aqui
p( x )
o limite lim
é infinito.
x →+∞ q( x )
Derivada
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas
que variam – a velocidade de um foguete, a inflação
da moeda, o número de bactérias em uma cultura e
assim por diante. Vamos estudar o conceito derivada,
que é a ferramenta matmática para estudar taxas nas
quais variam as grandezas físicas.
Chama–se derivada de um função y = f(x) ao
limite da razão incremental (Dy/Dx) quando o incremento Dx da variável independente tende a zero.
Indica–se por f’(x); ou seja:
f '( x ) = lim
∆x → 0
Limites fundamentais
lim sen x = 1
(1) x→0
x
∆y
∆x
= ∆lim
x →0
f( x + ∆x ) − f( x )
∆x
Interpretação geométrica
x
 1
(2) lim 1+  = e (e = 2, 718281828459 & )
x→∞ 
 x 
(3) Se p(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + ... + a1x + a0 e
an ≠ o, então o grau de p é n, denotamos gr(p) = n.
p( x )
inclinação da reta secante PQ:
m PQ = tan β =
Primeiro caso: gr(p) = n = m = gr(q)
p( x ) an
Neste caso, lim
.
=
bn
x →+∞ q( x )
∆y
→ razão
∆x
incremetal
inclinação da reta tangente em P:
m P = tan α = lim
∆x → 0
∆y
→ f ( x)
∆x
‘
Estudaremos os limites do tipo lim
, onde p e
x →+∞ q( x )
q são polinômios de graus n e m, respectivamente,
p(x) dado como acima e q(x) = bmxm + bm – 1xm – 1 + ...
+
b1x + b0
Tem–se três casos distintos:
De fato:
lim
x →+∞
p( x )
an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + a0
= lim
=
q( x ) x →+∞ bm x m + bm −1x m −1 + ... + b1x + b0
1
1
1
x (an + an −1 + ... + a1 n −1 + a0 m
a
x
x
x
lim
= n .
1
1
1
b
x →+∞ m
m
x ( bm + bm −1 + ... + b1 m −1 + b0 m )
x
x
x
EM_V_MAT_023
n
A derivada de uma função, num ponto, nos
dá a inclinação da reta tangente à curva neste
ponto, ou seja:
f '( x 0 ) = lim
x → x0
f( x ) − f( x 0 )
x − x0
Segundo caso: gr(p) < gr (q)
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5
Fórmulas
1)f(x) = k, k
R
f´(x) = 0
2)f(x) = xn, n
A integração é a operação inversa da diferenciação.
N
f´(x) = n.xn–1
`` Exemplo:
3)f(x) = x–1
dF ( x )
= 2 x → dF ( x ) = 2 x .dx → ∫ dF ( x ) = ∫ 2 x .dx → F ( x ) = x 2 + c
dx
f´(x) = –x–2
dF ( x )
= 2 x → dF ( x ) = 2 x .dx → ∫ dF ( x ) = ∫ 2 x .dx → F ( x ) = x 2 + c
dx
4)f(x) = sen x
f´(x) = cos x
5)f(x) = cos x
Propriedades
f´(x) = –sen x
6)f(x) = ax, a
R+
1) ∫(f( x ) + g( x ))dx = ∫ f( x )dx + ∫ g( x )dx
f´(x) = ax . In a
2) ∫ k.f( x )dx = k. ∫ f( x )dx
Propriedades
Área pelo cálculo integral
1)f = u + v → f´= u´+ v´
2)f = u . v → f´= u´. v + u . v´
generalizando: f = f1.f2...fn → f´= f1.f2...fn+...
f1.f2´... fn´
3) f =
uv ’− vu ’
u
→ f ’=
v
v2
Regra da cadeia
Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas f’(u) e g’(x)
existem, então a função composta definida por y =
fog(x) tem derivada dada por y’ = f ’(u) . g’(x)
Integral indefinida
b
Sab=∫ f(x)dx=[F(x)]ab=F(b)-F(a)
a
∫
b
a
n
f(x)dx = lim ∑ f(ck ).dx
dx → 0
k =1
(integral definida)
Principais fórmulas
Conceito
Dada uma função f(x), chama–se função primitiva f(x) a função F(x) que derivada dê f(x), isto é,
F’(x) = f(x)
Ex.: f(x) = 2x → F(x) = x
Chama–se integral indefinida de uma função
f(x), toda expressão do tipo F(x) + c, onde F(x) é uma
primitiva de f(x). Indica–se por ∫ f( x )dx = F( x ) + c
1)A função f:R → R dada por f(x)=x n tem primitiva F(x)=
x n+1
+c, em
n+1
que C é uma constante
real.
2
∫ 2 xdx = x 2 + c
6
F (x)=(n+1)
x n+1-1 n
=x =f(x)
n+1
2)A função F(x) = sen x + c é uma primitiva da
função f(x) = cos x . A função G(x) = – cos x +
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EM_V_MAT_023
Exemplo:
‘
``
De fato, derivando F’, temos
C é uma primitiva da função f(x) = sen x .
``
∫
3) A função F(x) = ln x + c é primitiva da função
1
x
f(x)=
.
Nosso objetivo aqui é estabelecer uma relação
entre derivada e integral, o que nos permite calcular
uma série de integrais, sem termos de recorrer a
métodos mais formais.
Exemplo:
x
t-1
dt
dx = ∫
dt = ∫ dt- ∫ = t - ln |t|+ k = x- ln| x+1|+ c
x+1
t
t
Integração
envolvendo trinômio quadrado
1
1) ∫
ax +bx+c
Fórmulas
2) ∫
ax 2+bx+c
Listamos as primitivas das principais funções
elementares.
3) ∫
(1) ∫ x n dx = x
n +1
n +1
4) ∫
∫e
(4) ∫ cos xdx = sen x + c
∫ sen xdx = -cos x + c
1
∫ xsenhx
2
(5) ∫ cosh xdx =
+c
+10x+30
x
``
dx = e x + c
dx= ∫
1
x 2 +10x+25+5
dx= ∫
dx
∫ sen2 x = − cot gx + c
(6)
∫ cos2
(7)
∫ x 2 + a2 = a arctg a + c = − a arc cot a + c ’(a > 0)
= tgx + c
dx
(8) f
(9)
x
∫
(10)
1
dx
a2 − x 2
dx
2
x ±a
dx
2
∫ x 2 − a2
x
= arcsen
1
x
x
x
+ c = − arccos + c ’(a > 0)
a
a
= ln( x + x 2 ± a2 ) + c
=
mx+q
1
x−a
ln|
| +c
2a
x+a
Métodos de integração
dx
dx
1
dx
2
ax +bx+c
+c
(2) ∫ dx = ln| x | +c
x
(3) ∫ a x dx = 1 a x + c
ln a
dx
2
mx+q
ax 2+bx+c
dx
Exemplo:
1
1
1
∫ x 2 +10x+30 dx= ∫ x 2 +10x+25+5 dx= ∫ (x+5)2 +5 dx= ∫
1
dxdx=
=∫
(x+5) 2 +5
1
2
5 +(x+5)
2
dx=
dx =
1
2
5 +(x+5) 2
1
x+5
arctan
+c
5
5
Integração por partes
Sejam u e v duas funções diferenciais de x. Diferenciando o produto u . v, temos:
d(u . v)=u . dv+v . du → ∫ d(u . v)=∫ u . dv+∫ v . du →
u . v=∫ u . dv+∫ v . du → ∫ u . dv = u.v - ∫ v . du
``
Exemplo:
I = ∫ x . senx dx
u = senx → du = cosx dx
u = x → du = dx
dv = senx dx → v = -cosx
Integração por substituição
EM_V_MAT_023
Dada ∫ f( x ) dx , não imediata, o método da
substituição consiste em fazer uma mudança de
variável x = g(t) e dx = g’(t) dt, de maneira que a
nova integral ∫ f(g( t))g ’( t) dt seja mais fácil de calcular
que a original.
I=– xcosx- ∫ -cosx dx = -xcosx+ ∫ cosx dx = -xcosx + senx + c
Teorema
(fundamental do cálculo)
`` Seja f uma função contínua em [a,b]. Se F é
b
uma primitiva de f, então ∫ f(x)dx=F (b)-F(a)
a
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7
dx=
sim for, determine–os.
``
1. Use o gráfico em anexo para responder as seguintes
questões, fazendo aproximações razoáveis quando for
necessário.
Solução:
y = x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇒ ∆ = 36 − 32 = 4 ⇒ y =
6 ±2
2
4

2
a) Para quais valores de x, y = 1?
b) Para quais valores de x, y = 3?
c) Para quais valores de y, x = 3?
y = 0 ⇒ x = 2 ou x = 4
d) Para quais valores de x, y = 0?
y = –10 ⇒ x2 – 6x + 8 = –10 ⇒ x2 – 6x + 18 = 0 ⇒ D
= 36 – 72 < 0 ⇒ não existe raiz real!
Logo, para nenhum x, y = –10.
y ≥ 0 ⇒ olhando no esboço do gráfico, tem–se:
x ≤ 2 ou x ≥ 4.
e) Quais são os valores máximo e mínimo de y e em
quais valores de x eles ocorrem?
Pelo gráfico, que é simétrico, vê–se que o ponto mínimo
fica entre os extremos (ou seja x = 3).
Logo, ymín = 32 – 6 . 3 + 8 = –1.
Também pelo gráfico, percebe–se que a função cresce
indefinidamente, isto é, lim f ( x ) = ∞
x →∞
Logo, y não tem máximo.
3.
``
a) Se você tivesse uma máquina que pudesse registrar
a população mundial continuamente, você esperaria por um gráfico da população versus o tempo que
fosse uma curva contínua (não–interrompida)? Explique o que poderia causar interrupções na curva.
Solução:
a) Basta procurar no gráfico os valores de x que correspondem a y = 1.
b) Suponha que um paciente de um hospital receba
uma injeção de um antibiótico a cada oito horas e
que entre as injeções a concentração C de antibiótico na corrente sanguínea decresce à medida que
ele é absorvido pelos tecidos. Como deveria ser o
gráfico de C versus o tempo decorrido?
x = –2,9, x = –2; x = 2,35; x = 2,9
b)Nenhum, pois traçando uma reta horizontal passando por y = 3, não há interseção com o gráfico.
c) y = f(x) = f(3) = 0
d)y < 0  todos os pontos abaixo do eixo x.
``
Solução:
–1,75 < x < 2,15, aproximadamente.
a) Esperaríamos um gráfico interrompido, pois poderia
haver grandes mortes como terremotos, guerras etc.
e) Máximo: y maior (ponto mais alto).
b)
ymáx = 2,8 em x = –2,6.
Mínimo: y menor (ponto mais baixo).
ymín = –2,2 em x = 1,2.
2. Use a equação y = x2 – 6x + 8 para responder as
alternativas.
b) Para quais valores de x, y = –10?
c) Para quais valores de x, y ≥ 0?
8
d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo? Se as-
A concentração decresce por oito horas, e, depois disso, volta ao maior valor, já que é novamente injetado o
antibiótico.
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EM_V_MAT_023
a) Para quais valores de x, y = 0?
5. Calcule os limites abaixo:
4. Uma construtora deseja cercar um terreno de
1 000 metros quadrados para sua sede, em três de
seus lados, deixando o quarto lado para a construção. Seu adjetivo como engenheiro superior é
projetar isto, de forma a usar o mínimo de muro.
Proceda, então, da seguinte forma.
a) Sejam x e y as dimensões do terreno e L o comprimento da cerca requerida para cercar aquelas dimensões. Como a área é de 1 000 metros
quadrados, deve–se ter xy = 1 000. Ache uma
fórmula para L em termos de x e de y, e então
expresse L em termos só de x, usando a equação da área.
``
b) lim x →1
x −1
x −1
Solução:
a) xlim
→2
x 2 −4
( x − 2 )( x + 2 )
= lim
= 2 +2 =4
x − 2 x →2
( x −2 )
b) lim
x −1
1
1
=
=
( x +1 )( x −1 ) 1 +1 2
6. Calcule os seguintes limites:
a) lim x →∞
b)
c)
``
2x 3 − 5x + 2
3
7 x + 4 x 2 + 3x − 1
1
1
1
limn→∞
+
+L +
1.2 2.3
(n − 1).n
x − senx
lim x →∞
x + senx
Solução:
5
2 

x 3 2 − 2 + 3 
2
x
x 

=
a) xlim
→∞ 3 
4 3
1  7
x 7 − + 2 − 3 
x x
x 

d) Estime o menor valor de L.
``
x2 − 4
x −2
x →2
b) Há restrições sobre os valores de x ? Explique.
c) Faça um gráfico de L versus x em um intervalo
razoável e use o gráfico para estimar o valor de
x que resulte no menor valor para L.
a) lim x →2
Solução:
1 000
a)y =
x
2 000
L = 2y + x =
x
b)Como x é uma medida, x > 0.
1
2
1
2
1
2
1 − + − + ... +
b) nlim
→∞
1
1
1
− = lim 1 − =1.
( n −1 ) 2 n →∞ n
c) lim x − sen x = ?
x →∞
x + sen x
Antes façamos lim
c)
x →∞
1
sen x
= lim . sen x = 0 , pois é
x →∞ x
x
1
x
→0
zero vezes algo que é limitado entre –1 e 1.
 sen x 
x 1 −

n 
Assim, lim 
=1.
x →∞
 sen x 
x 1 +

x 

1
7.
Façamos por cálculo:
L’ = 1 + 2 000 –
2 000
=1
x2
1
=0
x2
``
 x  x −2
Calcule lim x →∞  
2
Solução:
F a z e n d o x – 2 = y, x = y + 2 , t e m – s e
1
1
 1 y
lim 1 + y  = e 2 = e
y →+∞ 
2 
x2 = 2 000
EM_V_MAT_023
x ≅ 44 ,72
L=
2 000
+ 44,72 = 89,44
44,72
8. Considere o triângulo T, de vértices A, B e C, tal que
os ângulos  e B são agudos. Seja H a altura relativa
ao lado AB. Para cada número natural n, seja Fn a
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9
c) 9
figura formada pela união de n retângulos justapostos
contidos em T (veja na figura o caso n = 4).
d) 5
e) 3
``
Solução: D
f’(x) = –2 . 5 . x4 + 4 . 3x2 + 3 = –10x4 + 12x3 + 3
f’(–1) = –10 + 12 + 3 = 5
10. (PUC Minas) O valor da derivada da função f(x) = 7-x
no ponto (–2) é:
a) –1/2
b) –1/6
Cada retângulo tem dois lados perpendiculares
H
a AB medindo
e um lado ligando AC e BC
n +1
(o maior dos retângulos tem um lado contido em AB).
Sendo que a área de T é a, calcule, em função de a e
de n, a diferença entre a área de T e a área de Fn. Qual
o limite da área de Fn, quando n tende a infinito?
``
c) 1/6
d) 2
e) 3
``
1

f '( x ) =  ( 7 − x ) 2

Solução:
Seja Dn o triângulo de A’B’C de vértice em C e altura
H/(n + 1). Como Dn e T são semelhantes, tem–se
AB = (n + 1)A 'B '. Portanto, a área de Dn mede:
área ( ∆n ) =
−1
1
=− .
6
2 9
11. A tangente à curva y = x3 no ponto (1,1) tem coeficiente
angular igual a:
a) 1
A diferença entre a área de T e a área de Fn é igual
à soma das áreas dos triângulos sombreados da
figura. Como a soma das áreas dos dois triângulos
laterais ao retângulo Rk, k = 1, 2, ..., n é igual à área
do triângulo Dn , tem–se:
n
n +1
Portanto, pode–se escrever a área de Fn em função
de a e de n pela expressão:
área( Fn ) = a −
1
−
 1
1
−1 ) = −
' = ( 7 − x ) 2 ({
−x
2
7
 2
( 7 − x )'
Para x = –2, f '( −2 ) =
n
H
A'B ' =
2( n + 1)
( n + 1)2
área( T / Fn ) = ( n +1 )área( ∆n ) =
Solução: B
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
``
Solução: C
A interpretação geométrica da derivada é o coeficiente
angular da tangente à curva. Logo:
y’ = 3x2 ⇒ y’(1) = 3.
a
n
a
=
n +1 n +1
Passando ao limite quando n tende ao infinito,
concluímos que lim área( Fn ) = a .
9. (UEL) A derivada da função f, de IR em IR, definida
por f(x)= –2x 5 + 4x 3 + 3x – 6, no ponto de abcissa
x= –1, é igual a:
a) 25
12. A lei da gravidade afirma que a intensidade F da
força exercida por um ponto com massa M sobre um
GMm
ponto com massa m é F =
, em que G é uma
r2
constante e r a distância entre pontos. Supondo os
b) 19
10
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EM_V_MAT_023
x →+∞
pontos em movimento, ache uma fórmula para a taxa
de variação instantânea de F em relação a r.
``
64 40
64 40
128 80
736
+
+ 24 − +
+ 24 = −
+
+ 48 =
u .a .
5
3
5
3
5
3
15
Solução:
16. Suponha que a função velocidade de uma partícula,
movendo–se ao longo de um eixo seja v(t)= 3 t2+ 2.
Ache a velocidade média da partícula no intervalo
de tempo [1,4] por integração.
13. Calcule as integrais.
a)
b)
c)
``
=−
∫ 4cosxdx
2
∫ (x+x )dx
cosx
∫ sen2x
``
dx
Solução:
v(t) = 3t 2 + 2
Solução:
a) ∫ 4 cos x dx = 4 ∫ cos x dx = −4 sen x + c
Sabemos que a velocidade é a taxa de variação da
posição com o tempo, ou seja:
dx
v=
⇔ dx = vdt ⇔ ∫ dx = ∫ vdt
x2 x2 x3
dt
+
+
+c.
2
2
3
3t 3
Logo, x(t) = ∫ 3t 2 + 2 dt =
+ 2t + c = t 3 + 2t + c
cos x
du
1
−2
−+
3
dx
u
du
u
c
=


→
=
=
−
−
+
c
=
−
cos
sec
x
+
c
c) ∫
=
∫ u2 ∫
u = sen x
sen x
sen 2 x
∆x x ( 4 ) − x (1 ) 64 + 8 + c −1 − 2 − c 69
du =cos x dx
v =
=
=
=
1
∆t
4 −1
3
3
+ c = – cos sec x + c
– u –1 + c = –
sen x
b) ∫ ( x + x 2 )dx =
14. Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x
entre os pontos de abscissa 1 e 2.
``
Solução:
2
3
∫ ( x − 0 )dx =
1
x 4 2 16 1 15
= − = u .a .
4 1 4 4 4
1. Resolva as seguintes desigualdades:
a) 2x-3 <1
Obs.: equação do eixo x: y = 0.
b) x2 - 7x + 12 > x2 - 7x + 12
15. Determinar a área delimitada pelas curvas y = 16 – x4
e y = x4 – 5x2 + 4 :
``
Solução:
d) x2 - 5x > x2 - 5x
2. Ache o conjunto solução das seguintes equações:
16 – x4 = x4 – 5x2 + 4
a) x = x + 5
2x4 – 5x2 – 12 = 0
y = x2 ⇒ 2y2 – 5y – 12 = 0
c) 3x - 5 - 2x + 3 > 0
= 25 + 96 = 121 ⇒
4
5 ±11 
 3
4 −
 2
•y=4⇒x=±2
b) x = x - 5
c)
⇒ y=
x -1
x -1
=
x +1 x +1
(
d) x2 − 5x + 6 = − x2 − 5x + 6
3
3
⇒ x 2 = − ( impossível )
2
2
Logo, os pontos de interseção são: –2 e 2.
• y =−
)
(
)
( x 4 - 4 ) - ( x 2 + 2) = x 4 - 4 - x 2 + 2
e) x2 + 4x + 9 + (2x - 3) = x2 + 4x + 9 + 2x - 3
EM_V_MAT_023
f)
 2x5 5x3
 2
dx =Encontre
+o domínio
+12 x real
= funções abaixo:
Área = ∫ (16 − x 4 − ( x 4 − 5 x 2 + 4 ))dx = ∫ −2 x 4 + 5 x 2 +12 3.
−
 das
3
 5
 −2
−2
−2
1
2
5
3
 2x
 2
5x
a) f ( x ) =
− x 4 − ( x 4 − 5 x 2 + 4 ))dx = ∫ −2 x 4 + 5 x 2 +12 dx =  −
+
+12 x 
=
x −3
−
2
5
3


−2
2
2
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11
b) lim  9x2 + 1 − 3x 
2
b) g ( x ) = x − 3
c)
g(x ) =
d) f ( x ) =
4. Calcule:
a)
x
2
x → +∞
− 2x + 5
c)
x
|x |


2
lim
x→∞ 

x +3 3 x +5 5 x 

3x − 2 + 3 2x − 3 
d) lim  2x2 − 3 − 5x 
x → −∞
3
 3n2 + n - 2 
lim

n→∞ 
 4n2 + 2n + 7 


e) lim x( x2 + 1 − x )
x → +∞
2n3 + 2n2 +1 

 4n3 + 7n2 + 3n + 4 

b) lim
n→∞ 
lim 
n→∞
2n3
 2n2 + 3
+
1- 5n2 

5n + 1 
lim
x →1
b) lim
x →2
b) lim
x → −1
x 3 + 3x 2 − 9x − 2
x3 − x − 6
c)
e)
f)
x +1
2
6 x + 3 + 3x
xp − 1
xq − 1
x →0
lim
x →2
g) lim
x →2
 x + 7 − 3 2x − 3 
3

 x + 6 − 23 3x − 5 
i)
lim
x →1
 x 3 − x2 − x + 1


 x 3 − 3x + 2 
12
x3
x2 
−

 3x2 − 4 3x + 2 

lim
x→∞ 
lim
x +1
x + 17 − 2
1+ 3 x
1+ 5 x
x → −1
limπ
x→
6
limπ
x→
sen( x − π / 6)
3 − 2 cos x
2
g) lim
π
x→
6
cos x
3
(1− sen x )2
2 sen2 x + sen x − 1
2 sen2 x − 3 sen x + 1
8. Ache os limites:
a)
lim
x→∞
1

 1+ x 
7x
1
+ 1)3x
b) lim(x
x →0
d) lim
x→∞
e)
x x
 1+ x 
mx
 k
 1+ x 
ln (1+ x )
3x − 1

lim
x→∞ 
lim
x →0
9. Achar os limites das sucessões:
6. Ache os limites:
a)
f)
c)
h)
4
 k 1+ x − 1
  k ∈IN* 


 
x
( p e q inteiros)
3 10 − x − 2
x −2
2x − 2
26 + x − 3
3

d) lim
x →0
e)
9 + 5x + 4 x 2 − 3
x
lim
2x
5x + 3
lim
x →1
4x5 + 9x + 7
3x6 + x 3 + 1
lim
c) x → −1
d) lim
x →1
x → +∞
Ache os limites:
a)
5. Calcule:
2x 2 + 3
4x + 2
lim
g) lim
x→∞
7.
d)
a)
f)
1 1 1 ( −1)n−1
a) 1, − , , − ,...,
,...;
2 3 4
n
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EM_V_MAT_023
c)
4
b)
2 4 6
2n
, , ,...,
,.... ;
1 3 5
2n – 1
c)
2 , 2 2 , 2 2 2 ,... ;
c) y =
1+ x
1− x
17. Calcule:
a) y = –
d) 0,2; 0,23; 0,233; 0,2333
10. Encontre a equação de cada uma das retas pelo ponto
(x − 1)
(–1;2) e que seja uma reta tangente à curva y =
(x + 3)
11. Derive as seguintes funções:
b) y =
18.
a) y = x3 –3x2 + 5x – 2
b) y =
c) y =
1
x –x
8
8
1
1
x4 –
4
2
x2
20. ∫ 2x xdx
9
4
12. Encontre a derivada das seguintes funções:
21.
π /2
∫ sen θ dθ
−π / 2
22.
π /4
∫ cos x dx
−π / 4
b) f(x) = ( x + 4)–2
c) f(x) =
2
7 x + 3x − 1
13. Ache as derivadas das seguintes funções:
a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3
b) y = sen3(4x)
c) y = 5 senx + 3 cosx
d) y = ( 1 + 3x – 5x2)30
e) y = ( 3 – 2 senx)5
14. Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) y = x2 3 x 2
b) y = tgx – cotgx
c) y = 2t sent – (t2 – 2) cost
d) y =
2
2x − 1
−
1
x
15. Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y =
b) y =
1
4
1
–
3
x + x2 – 0,5x4
2x + 3
2
x − 5x + 5
c) y = 3x2/3 – 2x5/2 + x–3
d) y =
a
b
−
3 2 x3 x
x
EM_V_MAT_023
16. Ache as derivadas das seguintes funções:
a) y = ax2 + bx + c
b) y = –
5x
3
8
3 1
19. ∫ 2 dx
1x
2
x
2 4
8(1 − x )
0
2
∫ ( x − 4x + 7)dx
−3
4
a) f(x) = (x2 + 4x – 5)3
11
4
2 −
x −2
2( x − 2 )
23.
ACHANDO A DISTÂNCIA PERCORRIDA DA
CURVA VELOCIDADE VERSUS TEMPO.
Para uma partícula em movimento retilíneo, a área total
entre a curva da velocidade versus tempo e um intervalo
t0, t1 sobre o eixo t representa a distância percorrida
naquele intervalo de tempo.
Os exercícios que seguem, envolvem movimento
uniformemente acelerado. Nesses exercícios, suponha
que o objeto move–se na direção positiva de um eixo,
e aplique as fórmulas (8) e (9) ou aquelas do exercício
30, conforme for apropriado. Em alguns dos problemas,
você necessitará da relação 88 pés/s = 60m/h.
a) Um automóvel, percorrendo uma estrada reta, desacelera uniformemente de 55 para 25m/h em 30s.
Ache a sua aceleração em pés/s?
b) Um ciclista, percorrendo um caminho reto, acelera
uniformemente do repouso para 30km/h em 1 minuto. Ache a sua aceleração em km/s?
24. Vendo um carro de polícia, você freia o seu Porsche novo
para reduzir a sua velocidade de 90 para 60m/h, a uma
taxa constante na distância de 200 pés.
a) Ache a aceleração em pés/s2.
b) Quanto tempo irá levar para você reduzir a sua velocidade a 55m/h?
c) Com a aceleração obtida na parte (a), quanto
tempo levaria para você parar completamente o
carro partindo dos 90m/h?
a
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13
25. Um motociclista, partindo do repouso, aumenta a sua
rapidez com uma aceleração constante de 2,6m/s2.
Após ter percorrido 120m ele diminui a rapidez com
uma aceleração constante de –1,5m/s2 até atingir a
velocidade de 12m/s. Qual é a distância percorrida pelo
motociclista até este ponto?
26. Um carro, após ter parado no guichê do pedágio,
deixa–o com uma aceleração constante de 2pés/s2. No
instante em que ele deixa o guichê está a 5 000 pés de
um caminhão, viajando com uma velocidade constante
de 50pés/s. Quanto tempo irá levar para o carro alcançar
o caminhão, e qual será a distância percorrida, então,
desde o guichê?
6. Calcule as derivadas das funções:

 x
a) y = a  1 − cos2   

2 
b) y =
1
2
2
2
tg x
c) y = e4x+5
d) y = a x2
7.
Determine as derivadas:
a) y = Log (tgx)
b) y = sen(Logx)
c) y = tg(Logx)
d) y = sen(cosx)
1. Encontre sa derivadas das funções abaixo:
8. Ache as derivadas:
x
e −1
x
e +1
a) y = x2 senx
a) y =
b) y =
b) y = ex(1–x2)
x
senxcosx
c) y = (Logx)3
x
c) y = arc sen
3
d) y = sen (Logx ) 


2. Encontre as derivadas das seguintes funções abaixo,
usando a definição:
a
d) y = (arcsenx)2
9.
∫ (x
−3
1/ 4
+ x − 3x
Nos exercícios abaixo, calcule a integral e verifique a
sua resposta por diferenciação.
a) y = x3
b) y = 1/x
10. ∫ x(1 + x 3 ) dx
c) y =
11. ∫ x1/ 3 ( 2 − x )2 dx
x
d) y = sen2x
3. Encontrar as tangentes dos ângulos formados pelas
tangentes às curvas e ao eixo OX :
a) y = x 3
Para x = 1
12.
x
Para x = 2
4. Calcule as derivadas das funções:
a) y = 2senx – cos 3x
∫
5
2
x + 2x − 1
dx
4
x
13. ∫ [14 sen x + 2 cos x ] dx
14.
∫
b) y = 1/x Para x = 1/2
c) y =
2
+ x ) dx
1
θ
2 
 θ − 2e − cos sec θ dθ
sen x
2 dx
cos x
16.
2
∫ [1 + sen θ cos sec θ ] dθ
15.
∫
b) y = tg(ax + b)
c) y =
sen x
1+ cos x
d) y = sen2x cos3x
a) y = x senx + cosx
b) y = sen3xcosx
14
c) y = a cos 2x
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EM_V_MAT_023
5. Calcule as derivadas das funções:
3.
a) Df = IR – {3}
b) Dg = {x
1.
3}
d) Df = IR*
b) 3 < x < 4
4.
c) x < 2 ou x > 8
5
a)
27
64
b)
16 1
=
128 8
d) x < 0 ou 0 < x < 5
2.
a) x = -5
2
b) S = ∅
c) 1/5
c) {x ∈IR / x < −1 ou x ≥ 1}
d) +∞
d) S = {x ∈IR /2 ≤ x ≤ 3}
e) S = {x IR /x 3 }
EM_V_MAT_023
3 ou x ≥
c) Dg = IR
a) 1 < x < 2
2
f)
/ x ≤ –
5.
a) 4
b) 15
11
c) 1
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15
d)
p
q
9.
a) 0;
e) 5
b) 1;
6
c) 2;
f) −1
12
d)
7
.
30
g) 34
10. t1 : x + (4 6 – 10)y – 8 6 + 21 = 0 e t2 : x – (4 6 + 10)
y + 8 6 + 21 = 0
h) loga6
11.
23
a) y`= 3x2 – 6x + 5
i) 2/3
b) y`= x7 – 4x3
6.
c) y`= x3 –x
a) 2/9
12.
a) f`(x) = 6(x+2)(x2 + 4x + 5)2
b) 0
b) f`(x) = –2(x+4)–3
2
3
c)
d) +∞
c) f`(x) = –2(14x + 3)(7x2 +3x – 1)–2
13.
a) y`= 5x4 –12x2 + 2
e) 0
b) y`= 12 sen2(4x) cos(4x)
c) y` = 5 cosx –3 senx
2
4
f)
d) y` = 30( 1 + 3x – 5x2)29 . ( 3 – 10x)
e) y` = –10 cosx(3–2senx)4.
g) 2/5
14.
a) 54
a) y` =
x5/3
3
4
2
sen 2 x
b) 32
b) y`=
c)
c) y`= t2sent
d)
1
k
d) y`=
a) y`=
f) ∞
g) –3
b) y` =
8.
d) y`=
b) e1/ 3
1
e
d) emk
e)
1
ln 3
2
x ( 2 x − 1)
−1
3
+ 2x – 2x3
2
−2 x − 6 x + 25
2
2
( x − 5x + 5)
c) y`= 2x–1/3 –5x3/2 – 3x–4
a) e7
c)
1 − 4x
2
15.
e) 1
16
8
4b
23
3x
x
−
2a
3 2
3x x
16.
a) y`= 2ax + b
b) = –15x2/a
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7.
1
2
x (1 − x )
c) y` =
c) y` =
d) y` = 2senxcosx = sen2x
17.
a) y` =
b) y`=
18. 48
19.
20.
1
2 x
3.
4x + 3
3
( x − 2)
7
x
2 5
(1 − x )
a) 3
b) –4
c)
2
1
2 2
4.
3
844
a) y` = 2cosx – 3sen3x
5
a
21. 0
22.
b) y` =
2
c) y` =
23.
a) −
b)
22
15
1
7 200
pés / s
km / s
2
cos ( ax + b )
1
1+ cos x
d) y` = 2cos2xcos3x – 3sen2xsen3x
22
5.
2
a) y` = xcosx
b) y` = sen2x(3cos2x – sen2x)
24.
a) −
b)
c)
121
70
33
60
11
2
pés / s 2
5
c) y` = –
s
a sen 2 x
cos 2 x
6.
s
 x
 2
 x
 2
a) y` = 2asen3   cos  
25. 280 m
b) y` = tgx sec2x
26. 100s; 10 000 pés
c) y` = 4.e4x+5
d) y` = 2x . ax . log a
7.
1.
a) y` =
a) y` = 2xsenx + x2cosx
b) y` =
sen 2 x
4 x
+
c) y` = 3(Logx)2.
x
1
x
c) y` =
x
EM_V_MAT_023
a) y`= 3x2
b) y` = –
1
2
x
sen 2 x
cos(Logx )
b) y` =
cos2x.
d) y` = cos (Logx )3  3. (Logx )2 1
2.
2
x
2
sec (Logx )
x
d) y` = –senxcos(cosx)
8.
a) y` =
x
2e
2
x
( e + 1)
b) y` = ex(1– 2x– x2)
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17
1
c) y` =
2
a −x
2
2 arcsen x
d) y` =
1− x
2
1
2
12
2
3
5
9. − x −2 + x 3/2 −
x
5/4
+
1
3
3
x +C
10. (x2/5) + (x5/5) + C
11. 3x4/3 –
12.
x
2
2
−
12
7
2
x
+
x7/3 +
3
10
x10/3 + C
1
3 +C
3x
13. –4 cos x + 2 sen x + C
14. 1n θ – 2eθ + cotg θ + C
15. sec x + C
18
EM_V_MAT_023
16. θ – cos θ + C
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19
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20
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