Matemática 3
Módulo 2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
Resposta correta: C
SALA
4.
Sabemos que:
I. cos180° = –1; sen270° = –1; cos0° = 1; sen90° = 1
b2 . (1)
=
=
−a2 + (a − b)2 + 2ab
b2
ƒ (α) =
=
2
b
=
b2
2
b
=1
Resposta correta: B
2.
I.
sec 2 x + cossec 2 x
sec 2α + cossec 2α ,
Como sec2α = 1 + tg2α e cossec2α = 1 + cotg2α:
=
−a2 + a2 − 2ab + b2 + 2ab
Observe a função:
ƒ(x) =
II. Substituindo na expressão original, temos:
a2 . ( −1) − (a − b)2 . ( −1) + 2ab . (1)
cos2 x + sen2 x + 1
2
=
= 2 . cos sec x
sen x
sen x
=
Do círculo trigonométrico sabemos que:
ƒ(α) =
1+ tg2α + 1+ cotg2α
ƒ(α) =
2 + tg2α + cotg2α
ƒ(α) =
2+
ƒ(α) =
a4 + 2a2 b2 + b4
a2 b2
ƒ(α) =
(a2 + b2 )2
a2 b2
ƒ(α) =
a2
b2
+
b2
a2
a2 + b2
a.b
Resposta correta: D
5.
II. No terceiro quadrante, temos –1 < cos x < 0 ⇒ –1 <
2k – 1 < 0 ⇒ –1 + 1 < 2k – 1 + 1 < 0 + 1 ⇒ 0 < 2k <
1 ⇒
0 2k
1
1
<
< ⇒0<k<
2
2
2
2
]0;
1
[
2
Resposta correta: C
3.
Separadamente, temos:
2
2
I. 1 + tg x = sec x =
III. A = 1 + cosπ + cos π + ... + cos π
2
17
A = 1 + (–1) + (–1) + ... + (–1)
A = 1 – 1 + 1 – ... – 1
A=0
2
1
cos2 x
1
sen x
1
cos x
II.
=
=
cos x
cos x
cos2 x
III.
6.
1
sen2 x + 1
=
sen x
sen x
V. Substituindo na expressão:
sec x
cos x
1
1 + tg2 x −
, temos:
+
+ sen x +
cos x
tgx
sen x
IV. sen x +
2
cos x
−
1
2
cos x
+
17
Resposta correta: A
cos x
cos x
cos x
cos2 x
=
= cos x .
=
sen x
tg x
sen x
sen x
cos x
1
π
e π:
2
2
17
I. A = 1 + cosx + cos x + ... + cos x
2
17
A = 1 + cos0 + cos 0 + ... + cos 0
2
17
A = 1 + 1 + 1 + ... + 1
A = 18
π
2 π
17 π
II. A = 1 + cos + cos
+ ... + cos
2
2
2
2
17
A = 1 + 0 + 0 + ... + 0
A=1
Substituindo x por 0,
cos2 x
sen2 x + 1
+
=
sen x
sen x
Simplificando:
ex − ex . tg4 x
y=
sec x − tg2 x sec x
y=
e x (1 − tg4 x )
sec x(1 − tg2 x )
y=
ex (1 − tg2 x ) (1+ tg2 x )
,
sec x (1 − tg2 x )
2
y=
PRÉ-VESTIBULAR
2
como 1 + tg x = sec x, então:
|
VOLUME 1
|
ex . sec 2 x
sec x
MATEMÁTICA 3
1
x
E = sen2 x + cos2 x + sen x cos x, como sen2 x + cos2 x, temos:
y = e . sec x
1
x
y=e .
cos x
y=
E = 1 + senx cos x
Resposta correta: D
ex
cos x
sen x
1 + cos x
+
:
1 + cos x
sen x
4.
Resposta correta: C
:
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
2ab
a2 − b2
, então, cotgx =
.
2
2
2ab
a −b
Substituindo o valor da cotgx na relação
cossec2x = 1 + cotg2x.
cossec2 x = 1 + cotg2 x
Se tgx =
sen2 x + 1 + 2cos x + cos2 x
:
sen x (1 + cos x )
:
sen2 x + cos2 x + 1 + 2cos2 x
:
sen x (1 + cos x )
:
1 + 1 + 2cos x
:
sen x (1 + cos x )
:
2 + 2cos x
:
sen x (1 + cos x )
Fa − b I
GH 2ab JK
cossec 2 x = 1 +
(a2 − b2 )2
4a2b2
:
4a2b2 + (a2 )2 − 2a2b2 + (b2 )2
cossec 2 x =
4a2b2
:
2
2
sen x (1 + cos x )
:
cossec 2 x = 1 +
2
sen x.senx + (1 + cos x ) . (1 + cos x )
2 (1 + cos x )
sen x (1 + cos x )
:
Lembrando:
sen2x + cos2x = 1
Lembrando:
2
:
sen x
1
= cos sec x
sen x
cossec 2 x =
(a2 )2 + 2a2b2 + (b2 )2
4a2b2
: 2x
cossec2 x =
(a2 + b2 )2
4a2b2
: 2 x cos sec x →
1
:
sen x
2cos sec x
Resposta correta: C
1
a2 + b2
cossec x =
como cossec x =
, então:
2ab
sen x
5.
2ab
sen x = 2
a + b2
Sendo E =
1 – tg2 x
, teremos:
1 + tg2 x
sen2 x
cos2 x
E=
sen2 x
1+
cos2 x
1–
Resposta correta: D
2.
Desenvolvendo a equação:
2
2
2
(1 + cotg x) senx = 2, como 1 + cotg x = cossec x, então:
cos2 x – sen2 x
cos2 x
E=
, como sen2x + cos2x = 1, então:
2
cos x + sen2 x
cos2 x
2
cossec x . senx = 2
1
. senx = 2
sen2 x
1
=2
sen x
senx =
E=
1
, como x ∈ 1° quadrante, então: x = 30°
2
cos2 x – sen2 x
1
E = cos2x – sen2x
Desta maneira: sen3x = sen90° = 1
Resposta correta: D
Resposta correta: C
3.
6.
sen 3 x − cos3 x
Sendo E =
, então:
senx − cos x
Resolvendo a equação:
x 2 – 2 sec θ . x + 1 = 0
b
E=
2
g
2
Δ = –2 sec θ – 4.11
.
sen3 x − cos3 x
E=
senx − cos x
Δ = 4 sec2 θ – 4
e
PRÉ-VESTIBULAR
j
Δ = 4 sec 2 θ – 1 , como sec2θ – 1 = tg2θ
(senx − cos x ) (sen2 x + senx cos x + cos2 x )
senx − cos x
Δ = 4tg θ
2
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
cos2 θ + sen2θ
=8
senθ cos θ
1
=8
senθ cos θ
8senθ cos θ = 1
1
senθ cos θ =
8
2
Desejamos encontrar (senθ + cosθ) , então
Δ = 2tgθ
x1 =
2 sec θ + 2tgθ
= sec θ + tgθ
2
x2 =
2 sec θ – 2tgθ
= sec θ – tgθ
2
A diferença S será:
S = x1 – x2
S = sec θ + tgθ – sec θ – tgθ
b
g b
bsenθ + cos θg
bsenθ + cos θg
bsenθ + cos θg
bsenθ + cos θg
bsenθ + cos θg
g
S = sec θ + tgθ – sec θ + tgθ
S = 2tgθ
Resposta correta: D
7.
(
)
1
⇒ (sen2α + cos2α ) sen2α − cos2α =
4
1
1
1
3
3
= ⇒ 1 − 2 cos2α = ⇒ 2 cos2α = ⇒ cos2α = ⇒
4
4
4
8
8
⇒ sec 2α =
3
2
ou x =
2
8
5
− 1 = tg2α ⇒ tg2α = ⇒ tgα =
3
3
5
3
= sen2θ + cos2 θ + 2. senθ cos θ
2
= 1+ 2.
2
= 1+
2
=
1
8
1
4
5
4
Dividindo o numerador e o denominador da fração por
2
cos x, teremos:
sen2 x senx.cos x
+
2
cos2 x
y = cos x2
.
sen x cos2 x
−
cos2 x cos2 x
FG senx IJ + senx
H cos x K cos x , como senx = tgx, então:
y=
cos x
FG senx IJ − 1
H cos x K
A soma 2 – 2 – 3 – 1 = –4
Resposta correta: Não há resposta
11. Lembrando...
1 + tg2α = sec 2 α
2
2
Assim, a expressão sec x – tg x fica:
1 + tg2 x – tg2 x = 1
2
2
Resposta correta: B
12. A soma infinita de PG é dada por:
a
S= 1
1– q
cot gθ
S=
, como cos2θ = 1 – sen2θ, então:
1 – sen2θ
cos θ
S = sen2θ
cos θ
cos θ
1
S=
⋅
senθ cos2 θ
1
1
S=
⋅
senθ cos θ
S = cos sec θ.sec θ
tg2 x + tgx
tg2 x − 1
k2 + k
k 2 − 12
k(k + 1)
y=
(k − 1)(k + 1)
k
y=
k −1
y=
Resposta correta: y =
− cos y + 4
= + cos y − 2
−2
para x ∈ Z temos cosy ∈ Z → cosy = ± 1 ou 0
para cosy = 1 → x = –1
para cosy = –1 → x = –3
para cosy = 0 → x = –2
Resposta correta: B
9.
2
10. –x2 + (x – 2) cosy + 4 = 0
→ – x2 + xcosy + 4 – 2cosy =0
Δ = cos2y – 8cosy + 16 = (cosy – 4)2
− cos y ± ( cos y − 4)
→ x=2
x=
−2
II. sec α = 1 + tg α
y=
= sen2θ + 2senθ cos θ + cos2 θ
Resposta correta: C
I. Temos:
sen4α − cos4α =
8.
2
k
k −1
Observe que:
cotgθ + tgθ = 8
cos θ senθ
+
=8
senθ cos θ
Resposta correta: C
13. Aplicando as relações de Girard:
PRÉ-VESTIBULAR
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
3
x’ + x” =
−b
a
x’ . x” =
−1
1
senα + cosα = –1 (I)
c
a
k +1
1
senα . cosα = k + 1 (II)
senα + cosα =
senα . cosα =
Da equação (I), temos que:
2
2
(senα + cosα) = (–1)
2
2
sen α + 2senα cosα + cos α = 1
2
2
2
2
sen α + cos α+ 2senα cosα = 1, como sen α + cos α = 1,
então:
1 + 2senα cosα = 1
2senα cosα = 0
senα cosα = 0, substituindo a equação (II)
k+1=0
k = –1
Resposta correta: B
2
2
14. Sabemos que sen x + cos x = 1, então:
(sen2x + cos2x)3 = 13
2 2
2
2
2 2
2 3
(senx2)3 + 3. (sen x) .cos x + 3sen x.(cos x) + (cos x) = 1
6
2
2
2
2
6
sen x + 3sen x cos x (sen x + cos x) + cos x = 1
6
6
2
sen x + cos x + 3(senxcosx) . 1 = 1
F 1 IJ
sen + cos x + 3 . G
H 6K
x
6
6
6
sen x + cos x = 1 – 3 .
E=1–
1
⇒
2
E=
2
.1=1
1
62
1
2
Resposta correta: C
2
2
2
15. I. (senx + cosx) = sen x + 2 senx cosx + cos x = 1 + 2
senx cosx = 1 + sen(2x) = 1 + sen(2x)
1
2
2
2
2
. cos2x = 1
II. (1 + tg x) . cos x = sec x . cos x =
cos2 x
2
2
2
2
III. cos x + (1 + tg x) . cos x = cos x + 1
IV. cotg2 x . sen2 x =
cos2 x
sen2 x
. sen2 x = cos2 x
V. [cos2 x + (1 + tg2 x) . cos2 x − cotg2 x . sen2 x =
(cos2 x + 1)
2
cos2 x
2
= cos x + 1 – cos x = 1
2
2
2
2
2
2
VI. (sen x + cosx) . [cos x + (1 + tg x) . cos x – cotg x .
2
. sen x] = 1 + sen(2x)
VII.
(sen x + cos x)2 .[cos2 x + (1+ tg2 x).cos2 x − cotg2 x .sen2 x]
1 + sen(2x)
=
1 + sen(2x)
=1
1 + sen(2x)
Resposta correta: A
4
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 1
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