1
Licenciatura em Matemática
Cálculo I
Aula 14.1
Transmissão: 28/08/07 (terça-feira)
Vh - Abertura
P1/ Lourenço
Tempo: 18:10 / 18:15 (5’)
Tempo: 18:15 / 18:50 (35’)
1.
Unidade 04: Integrais
Tema 19: Integrais trigonométricas.
Objetivo: Calcular integrais trigonométricas.
2. Funções trigonométricas
Antiderivadas
a) ∫ senx dx = − cos x + c
Prova: Dx (− cos x ) = −(− senx ) = senx
b) ∫ cos x dx = senx + c
Prova: Dx (senx ) = cos x
c) ∫ sec 2 dx = tgx + c
d ) ∫ cos sec 2 x dx = − cot gx + c
e) ∫ sec x tgx dx = sec x + c
f ) ∫ cos sec x cot gx dx = − cos sec x + c
3. Identidades trigonométricas
senx cossec x = 1
cos x sec x = 1
tgx cot gx = 1
senx
tgx =
cos x
cos x
cot gx =
senx
2
sen x + cos2 x = 1
tg 2 x + 1 = sec 2 x
cot g 2 x + 1 = cossec 2 x
4. Aplicação
Calcular:
(
)
a ) ∫ 3 sec x tgx − 5 cos sec 2 x dx
2 cot gx − 3sen 2 x
b) ∫
dx
senx
c) ∫ tg 2 x + cot g 2 x + 4 dx
(
Cálculo I
)
Aula 14.1
Lourenço
2
5. Solução
(
)
a) ∫ 3 sec x tgx − 5 cos sec 2 x dx = 3∫ sec x tgx dx − 5∫ cos sec 2 x dx
= 3 sec x − 5(− cot gx ) + c =
3 sec x + 5 cot gx + c
6. Solução
2 cot gx − 3sen 2 x
dx
senx
2 cot gx − 3sen 2 x
1
sen 2 x
dx
=
2
⋅
cot
gx
dx
−
3
∫
∫ senx
∫ senx dx
senx
b) ∫
= 2∫ cos sec x ⋅ cot gx ⋅ dx − 3∫ senx dx = 2(− cos sec x ) − 3(− cos x ) + c
= −2 cos sec x + 3 cos x + c
7. Solução
(
)
c) ∫ tg 2 x + cot g 2 x + 4 dx
∫ (tg x + cot g x + 4)dx = ∫ (sec x − 1 + cos sec x − 1 + 4)dx
= ∫ (sec x + cos sec x + 2 )dx = ∫ sec x dx + ∫ cos sec x dx + 2 ∫ dx
2
2
2
2
2
2
2
2
= tgx − cot gx + 2 x + c
8. Integração
Eliminação de radicais
1.º Caso
a2 − x2
x = a senθ ⇒ a 2 − a 2 sen 2θ
(
= a 2 1 − sen 2θ
)
; 1 − sen 2θ = cos 2 θ
;−
π
2
≤θ ≤
π
2
= a 2 cos 2 θ
= a cos θ
9. Integração
Eliminação de radicais
2.º Caso
a2 + x2
x = a tgθ ⇒ a 2 − a 2tg 2θ
(
= a 2 1 + tg 2θ
Cálculo I
)
; 1 + tg 2θ = sec 2 θ
Aula 14.1
;−
π
2
<θ <
π
2
Lourenço
3
a 2 ⋅ secθ
= a sec θ
10. Integração
Eliminação de radicais
3.º Caso
x2 − a2
x = a sec θ ⇒ a 2 sec 2 − a 2
(
)
= a 2 sec 2 θ − 1
; sec 2 θ − 1 = tg 2θ
; 0 ≤θ <
π
2
ou π ≤ θ <
3π
2
= a tg θ
= a tgθ
2
2
11. Aplicação
Calcular
∫
9 − x2
dx .
x2
12. Solução
∫
9 − x2
dx =
x2
∫
32 − x 2
dx
x2
32 − x 2 → x = 3 senθ ⇒ dx = 3 cosθ dθ
(
32 − x 2 = 9 − (3 senθ ) = 9 − 9 sen 2θ = 9 1 − sen 2θ
2
= 9 cos 2 θ = 3 cosθ ; −
π
2
≤θ ≤
)
π
2
9− x
3 cosθ
dx = ∫
⋅ 3 cosθ dθ
2
x
9sen 2θ
cos 2 θ
=∫
dθ = ∫ cot g 2θ dθ = ∫ cos sec 2 θ − 1 dθ
sen 2θ
∫
2
(
)
= ∫ cos sec 2 θ dθ − ∫ dθ
= − cot gθ − θ + c
x = 3senθ ⇒ senθ =
Cálculo I
x
3
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Lourenço
4
cot gθ =
∫
9 − x2
x
9 − x2
9 − x2
⎛ x⎞
=
−
− sen −1 ⎜ ⎟ + c
dx
2
x
x
⎝3⎠
13. Aplicação
Encontre a área limitada pela elipse
x2 y 2
+
= 1:
a2 b2
14. Solução
x2 y 2
+
=1
a2 b2
x2 y2
y2
x2 a2 − x2
+
= 1⇒ 2 = 1− 2 =
a 2 b2
b
a
a2
b2 ( a 2 − x 2 )
y2 a2 − x2
2
=
⇒y =
b2
a2
a2
b 2
y=±
a − x2
a
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15. Solução
1.º quadrante:
b 2
a − x2
0≤ x<a
a
ab
1
A=∫
a 2 − x 2 dx
0 a
4
y=
a2 − x2
x = a senθ ⇒ a 2 − a 2 sen 2θ
= a 2 (1 − sen 2θ )
= a 2 ⋅ cos 2 θ = a cos θ
x = a senθ ⇒ dx = a ⋅ cos θ ⋅ dθ
x = 0 ⇒ senθ = 0 ⇒ θ = 0
x = a ⇒ senθ = 1 ⇒ θ =
0 ≤θ ≤
b
a
b
A=4
a
A=4
π
π
2
2
∫
a
0
∫
π
2
0
a 2 − x 2 dx
a cosθ ⋅ a cosθ dθ
π
A = 4ab ∫ 2 cos 2 θ dθ
0
π
A = 4ab ∫ 2
0
; cos 2 θ =
1
(1 + cos 2θ )
2
1
(1 + cos 2θ )dθ
2
π
⎡ π
⎤
A = 2ab ⎢ ∫ 2 dθ + ∫ 2 cos 2θ dθ ⎥
0
0
⎣
⎦
π
1
⎡
⎤2
A = 2ab ⎢θ + sen2θ ⎥
2
⎣
⎦0
⎡π 1
⎤
A = 2ab ⎢ + sen π − 0⎥
⎣2 2
⎦
π
⎡ ⎤
A = 2ab ⎢ ⎥
⎣2⎦
A = π ab
elipse
Se a = b = r ⇒
Cálculo I
A = π r 2 círculo
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6
16. Aplicação
Calcule
∫x
1
x2 + 4
2
dx :
17. Solução
x = 2tgθ ⇒ dx = sec 2θ dθ
;−
(
π
2
<θ <
)
π
2
x + 4 = 4tg θ + 4 = 4 tg θ + 1 = 4 sec 2 θ = 2 secθ
2
∫x
2
dx
=∫
2
2 sec 2 θ dθ
1 secθ
= ∫ 2 dθ
2
4tg θ ⋅ 2 secθ 4 tg θ
x2 + 4
secθ
1 cos 2 θ
cosθ
=
⋅
=
2
2
tg θ cosθ sen θ sen 2θ
2
⎧u = senθ
;
=
⎨
∫ x2 x2 + 4
⎩du = cosθ dθ
dx
1 du 1 − 2
1 −1
1
∫ x 2 x 2 + 4 = 4 ∫ u 2 = 4 ∫ u du = − 4 ⋅ u = − 4u + c =
1
cos sec θ
=−
+c = −
+c
4 senθ
4
dx
=
1 cosθ
dθ
4 ∫ sen 2θ
x = 2tgθ ⇒ tgθ =
cos sec θ =
∫x
x
2
x2 + 4
x
x2 + 4
=−
+c
4x
x2 + 4
dx
2
Dinâmica Local / P1 - Lourenço
Tempo: 18:50 / 19:15 (25’)
18. Dinâmica Local
Livro-texto, página 101, exercício 4.
Retorno da Dinâmica Local
Cálculo I
Aula 14.1
Tempo: 19:15 /19:20 (5’)
Lourenço