Natal, 04 de abril de 2011
Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias -
MATEMÁTICA
A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é um projeto realizado
com alunos do Ensino Básico que tem como objetivo estimular o estudo da Matemática por
meio de resoluções de problemas motivantes, que despertem o interesse e a curiosidade de
professores e alunos.
O Quadro abaixo apresenta dados da OBMEP referentes aos anos em que o Programa está
em vigor.
Admitindo que, para a aplicação das provas, cada escola utilize 20 pessoas como pessoal de
apoio e que a população do Brasil seja de aproximadamente 192.870.418 pessoas, pode-se
afirmar que, em 2009, o número de
A) alunos, somado ao de pessoal de apoio, foi superior a 10% da população brasileira.
B) alunos, somado ao de pessoal de apoio, foi inferior a 10% da população brasileira.
C) escolas participantes foi 10% maior que em 2008.
D) alunos participantes foi 10% maior que em 2008.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
37
A
A
48,6
B
29,4
C
9,6
D
12,3
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
48,6
Em um experimento, uma aranha é colocada dentro de uma caixa, sem tampa, em um ponto A
e estimulada a caminhar até o ponto B, onde se encontra um alimento. O seu trajeto, sempre
em linha reta, é feito pelas paredes e pelo piso da caixa, passando pelos pontos P e Q,
conforme ilustra a Figura 1. A Figura 2 mostra a mesma caixa recortada e colada sobre uma
mesa.
De acordo com a Figura 2, onde AB é um segmento de reta, pode-se afirmar que a trajetória
A) utilizada pela aranha é a menor possível.
B) correspondente ao segmento AB é a menor possível.
C) utilizada pela aranha é a maior possível.
D) correspondente ao segmento AB é maior que a utilizada pela aranha.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
38
B
A
12,8
B
52,0
C
18,0
D
17,1
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
52,0
José, professor de Matemática do Ensino Médio, mantém um banco de dados com as notas
dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre, construiu as Tabelas abaixo, referentes à
distribuição das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano.
Ao calcular a média das notas de cada turma, para motivar, José decidiu sortear um livro entre
os alunos da turma que obteve a maior média.
A média da turma que teve o aluno sorteado foi
A) 63,0.
B) 59,5.
C) 64,5.
D) 58,0.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
39
A
A
41,7
B
16,5
C
30,8
D
10,9
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
41,7
Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa
um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões
medindo 20cm x 30cm x 40cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões
40cm x 20cm, o nível da água ficou a 25cm de altura.
Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20cm x 30cm, a altura da
água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente,
A) 16cm.
C) 33cm.
B) 17cm.
D) 35cm.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
40
C
A
16,4
B
24,8
C
35,5
D
23,1
DUPLAS OU BRANCAS
0,1
ÍNDICE DE ACERTO (%)
35,5
A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e
deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do
Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/L. Quando essa
concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de reduzi-la é adicionar água limpa, livre de
nitrato. Uma análise feita na água de um reservatório de 12.000L constatou a presença de
nitrato na concentração de 15mg/L.
Com base em tais informações, a quantidade mínima de litros de água limpa que se deve
acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é
A) 6.000L.
C) 12.000L.
B) 4.000L.
D) 18.000L.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
41
A
A
47,9
B
23,8
C
12,9
D
15,3
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
47,9
A Figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são
paralelas entre si.
Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até à posição B.
Se a escala de representação for de 1:50.000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer
será de, aproximadamente,
A) 1.333.
B) 750.
C) 945.
D) 3.000.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
42
A
A
34,1
B
28,6
C
19,2
D
17,9
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
34,1
Para se tratar de uma doença, Dona Cacilda toma, por dia, os remédios A e B. Esses
medicamentos são vendidos em caixas de 30 e 28 comprimidos, respectivamente. O
medicamento A é ingerido de oito em oito horas e o B, de doze em doze horas.
Ela comprou uma quantidade de caixas de modo que os dois tipos de comprimidos acabassem
na mesma data e iniciou o tratamento às 7 horas da manhã do dia 15 de abril, tomando um
comprimido de cada caixa.
A quantidade de caixas dos remédios A e B que Dona Cacilda comprou foi, respectivamente,
A) 5 e 5.
B) 5 e 7.
C) 7 e 5.
D) 7 e 7.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
43
C
A
7,6
B
27,7
C
57,8
D
6,8
DUPLAS OU BRANCAS
0,1
ÍNDICE DE ACERTO (%)
57,8
Na construção de antenas parabólicas, os fabricantes utilizam uma curva, construída a partir
de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, conforme a Figura abaixo.
Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou como modelo a curva que passa pelos
pontos de coordenadas (00), (4,1), (-4,1).
Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
44
B
A
16,2
B
28,0
C
29,4
D
26,2
DUPLAS OU BRANCAS
0,1
ÍNDICE DE ACERTO (%)
28,0
A Figura 1 abaixo representa o Globo Terrestre. Na Figura 2, temos um arco AB sobre um
meridiano e um arco BC sobre um paralelo, em que AB e BC têm o mesmo comprimento. O
comprimento de AB equivale a um oitavo (1/8) do comprimento do meridiano.
Sabendo que o raio do paralelo mede a metade do raio da Terra e assumindo que a Terra é
uma esfera, pode-se afirmar que o comprimento do arco BC equivale a
A) metade do comprimento do paralelo.
B) um quarto do comprimento do paralelo.
C) um terço do comprimento do paralelo.
D) um oitavo do comprimento do paralelo.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
45
D
A
12,1
B
41,6
C
18,8
D
27,3
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
27,3
Os modelos matemáticos que representam os crescimentos populacionais, em função do
tempo, de duas famílias de microorganismos, B1 e B2, são expressos, respectivamente, por
meio das funções
para t >= 0
Com base nestas informações, é correto afirmar que,
A) após o instante t = 2, o crescimento populacional de B1 é maior que o de B2.
B) após o instante t = 2, o crescimento populacional de B1 é menor que o de B2.
C) Quando t varia de 2 a 4, o crescimento populacional de B1 aumenta 10% e o de B2
aumenta 90%.
D) Quando t varia de 4 a 6, o crescimento populacional de B1 cresce 20 vezes menos que o de
B2.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
46
B
A
18,2
B
33,5
C
24,5
D
23,7
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
33,5
Um empresário contribui financeiramente para uma instituição filantrópica e a visita
semanalmente, sendo o dia da semana escolhido aleatoriamente.
Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a visita ocorrer no mesmo dia da semana é :
A) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.
B) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.
C) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.
D) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
47
D
A
15,9
B
23,2
C
20,7
D
40,0
DUPLAS OU BRANCAS
0,1
ÍNDICE DE ACERTO (%)
40,0
A Figura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos
L1 e L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente.
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição das distâncias entre esses pontos.
Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou
a quantidade de cabo (L1+ L2) que usou para fixar a torre.
O valor encontrado, usando
A) 54,6m.
B) 44,8m.
C) 62,5m.
D) 48,6m.
(%) de respostas na alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
48
A
A
38,1
B
24,1
C
21,2
D
16,4
DUPLAS OU BRANCAS
0,0
ÍNDICE DE ACERTO (%)
38,1
(%) de
respostas na
alternativa:
NÚMERO DA QUESTÃO
ALTERNATIVA CORRETA
37
A
38
B
39
A
40
C
41
A
42
A
43
C
44
B
45
D
46
B
47
D
48
A
A
48,6
12,8
41,7
16,4
47,9
34,1
7,6
16,2
12,1
18,2
15,9
38,1
B
29,4
52,0
16,5
24,8
23,8
28,6
27,7
28,0
41,6
33,5
23,2
24,1
C
9,6
18,0
30,8
35,5
12,9
19,2
57,8
29,4
18,8
24,5
20,7
21,2
D
12,3
17,1
10,9
23,1
15,3
17,9
6,8
26,2
27,3
23,7
40,0
16,4
DUPLAS OU
BRANCAS
0,0
0,0
0,0
0,1
0,0
0,0
0,1
0,1
0,0
0,0
0,1
0,0
ÍNDICE DE
ACERTO (%)
48,6
52,0
41,7
35,5
47,9
34,1
57,8
28,0
27,3
33,5
40,0
38,1
PROVA DISCURSIVA DE
MATEMÁTICA
Matilda saiu de casa para fazer compras. Passou em um supermercado e numa
farmácia, gastando um total de R$ 110,00.
Se suas despesas no supermercado foram superiores às despesas na farmácia
em R$ 94,00, quanto ela gastou em cada estabelecimento?
QUESTÃO 01 – O QUE ESPERAR?
COMPETÊNCIA: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas
ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos.
CONTEÚDO CONCEITUAL: Sistemas lineares.
QUESTÃO 01 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
SOLUÇÃO 01
Sejam x o valor gasto no supermercado e y o valor gasto na farmácia. Assim, x
+ y = 110. Como a despesa no supermercado superou em R$94,00, a despesa
na farmácia, então x = y + 94 ou x – y = 94.
Portanto, Matilda gastou R$ 102,00 no supermercado e R$ 8,00 na farmácia.
QUESTÃO 01 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
SOLUÇÃO 02
Construção de uma tabela em que uma das condições é fixada.
Fixando a soma R$110,00:
Supermercado
90,00
100,00
102,00
Farmácia
20,00
10,00
8,00
Diferença
70,00
90,00
94,00
Portanto, as despesas foram de R$ 102,00 no supermercado e de R$ 8,00 na farmácia.
Fixando a diferença R$ 94,00:
Farmácia
10,00
9,00
8,00
+94,00
94,00
94,00
94,00
Supermercado
104,00
103,00
102,00
Farmácia + Supermercado
114,00
112,00
110,00
Portanto, as despesas foram de R$ 102,00 no supermercado e de R$ 8,00 na farmácia.
QUESTÃO 01 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
SOLUÇÃO 03
110 – 94 = 16 e 16/2 =8.
94 + 8 = 102 ou 110 – 8 = 102.
Portanto, as despesas foram de R$ 102,00 no supermercado e de R$ 8,00 na farmácia.
QUESTÃO 01 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
SOLUÇÃO 04
110 + 94 = 204 e 204/2 = 102.
110 – 102 = 8 ou 102 + 8 = 110.
Portanto, as despesas foram de R$ 102,00 no supermercado e de R$ 8,00 na farmácia.
QUESTÃO 01 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
SOLUÇÃO 05
Seja x o gasto na farmácia e x + 94 o gasto no supermercado.
x + x + 94 = 110.
2x = 16 e x = 8.
8 + 94 = 102.
Portanto, as despesas foram de R$ 102,00 no supermercado e de R$ 8,00 na farmácia.
VESTIBULAR 2011 - CORREÇÃO EFETIVA - MATEMÁTICA
NOTA NA QUESTÃO 1
0.4
41.5 % ( 3201 )
Média =
5.09
D. Padrão = 4.63
Mínimo = 0
Máximo = 10
Provas = 7717
0.1
0.2
A análise do gráfico deverá ser
feita da seguinte forma:
Para a primeira barra, o valor
acumulado é a nota 0. A
segunda barra o valor
acumulado é a nota 1, e assim
sucessivamente para o eixo X.
9 % ( 691 )
4 % ( 308 )
1.9 % ( 148 )
1.9 % ( 146 )
1.5 % ( 112 )
0.6 % ( 50 )
-1
0
1
2
1.8 % ( 140 )
0.7 % ( 51 )
0.5 % ( 38 )
0.0
Densidade
0.3
36.7 % ( 2832 )
3
4
5
Nota
6
7
8
9
10
NÚMERO DA QUESTÃO - ->
QUESTÃO 01
Nº de candidatos
(%)
Nota: 0,00 (zero)
2862
36,4
Nota: 0,01 - 0,25
Nota: 0,26 - 0,50
900
230
11,4
2,9
Nota: 0,51 - 0,75
231
2,9
Nota: 0,76-1,0
3648
46,3
NOTA MÉDIA
0,51
QUESTÃO 02 - PERGUNTA
Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes
massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada
cidade litorânea , a altura da maré é dada pela função
onde t é medido em horas a partir da meia noite.
Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto,
precisa conhecer o movimento das marés.
Desse modo,
A) qual a altura máxima atingida pela maré?
B) em quais horários isto ocorre no período de um dia?
,
QUESTÃO 02 – O QUE ESPERAR?
COMPETÊNCIA:
Utilizar
noções
de
variação
de
grandezas
para
a
compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Interpretar informações envolvendo a variação
de grandezas.
SUB-HABILIDADE: Calcular máximo e mínimo de função trigonométrica.
CONTEÚDO CONCEITUAL: Funções trigonométricas.
QUESTÃO 02 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
59.3 % ( 4578 )
Média =
1.93
D. Padrão = 3.24
Mínimo = 0
Máximo = 10
Provas = 7717
0.5
0.6
VESTIBULAR 2011 - CORREÇÃO EFETIVA - MATEMÁTICA
NOTA NA QUESTÃO 2
0.3
0.2
0.1
12.1 % ( 935 )
7.8 % ( 603 )
4.7 % ( 365 )
3.6 % ( 279 )
2.9 % ( 220 )
1.8 % ( 137 )
2.2 % ( 173 )
1.7 % ( 129 )
2 % ( 152 )
1.9 % ( 146 )
0.0
Densidade
0.4
A análise do gráfico deverá ser
feita da seguinte forma:
Para a primeira barra, o valor
acumulado é a nota 0. A
segunda barra o valor
acumulado é a nota 1, e assim
sucessivamente para o eixo X.
-1
0
1
2
3
4
5
Nota
6
7
8
9
10
NÚMERO DA QUESTÃO - ->
QUESTÃO 02
Nº de candidatos
(%)
Nota: 0,00 (zero)
4606
58,5
Nota: 0,01 - 0,25
Nota: 0,26 - 0,50
1303
485
16,6
6,2
Nota: 0,51 - 0,75
641
8,1
Nota: 0,76-1,0
836
10,6
NOTA MÉDIA
0,20
QUESTÃO 03 - PERGUNTA
Uma família é composta por cinco pessoas: os pais, duas meninas e um
menino. No aniversário de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com os
filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos.
Mantendo-se os pais à frente dos filhos,
A) qual a quantidade máxima de fotos diferentes que podem ser tiradas,
com relação à ordem de localização das pessoas na foto?
B) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabilidade do pai estar à
esquerda da mãe e o menino ficar entre as duas meninas?
QUESTÃO 03 – O QUE ESPERAR?
COMPETÊNCIA: Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos
naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para o cálculo de probabilidade e
interpretação de informações.
HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Interpretar propostas de intervenção na realidade
utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
CONTEÚDO CONCEITUAL: Principio de contagem e probabilidade.
QUESTÃO 03 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
A) Para a posição dos pais temos 2 possibilidades.
Para os filhos temos possibilidades. 6 !3
Logo, pelo princípio fundamental da contagem, teremos: 2x6=12 posições
diferentes para a foto.
B) Das 12 posições possíveis, em seis o pai está à esquerda da mãe.
Dessas posições, em apenas duas o filho está entre as meninas.
39.2 % ( 3028 )
Média =
4.04
D. Padrão = 4.04
Mínimo = 0
Máximo = 10
Provas = 7717
0.2
A análise do gráfico deverá ser
feita da seguinte forma:
Para a primeira barra, o valor
acumulado é a nota 0. A
segunda barra o valor
acumulado é a nota 1, e assim
sucessivamente para o eixo X.
15.5 % ( 1198 )
0.1
10.8 % ( 834 )
7.5 % ( 580 )
6 % ( 465 )
5.1 % ( 397 )
5 % ( 384 )
4.6 % ( 356 )
3.4 % ( 266 )
1.4 % ( 107 )
1.3 % ( 102 )
0.0
Densidade
0.3
0.4
VESTIBULAR 2011 - CORREÇÃO EFETIVA - MATEMÁTICA
NOTA NA QUESTÃO 3
-1
0
1
2
3
4
5
Nota
6
7
8
9
10
NÚMERO DA QUESTÃO - ->
QUESTÃO 03
Nº de candidatos
(%)
Nota: 0,00 (zero)
3059
38,9
Nota: 0,01 - 0,25
Nota: 0,26 - 0,50
878
485
11,2
6,2
Nota: 0,51 - 0,75
1121
14,2
Nota: 0,76-1,0
2328
29,6
NOTA MÉDIA
0,40
QUESTÃO 04 - PERGUNTA
Para comemorar o aniversário de independência, o Governo da Guiana
comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1
representa a bandeira e a Figura 2, as características geométricas desta.
QUESTÃO 04 – O QUE ESPERAR?
COMPETÊNCIA: Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre ela.
HABILIDADE/SUB-HABILIDADE: Resolver situação-problema que envolva
conhecimentos geométricos de comprimento e área de figuras planas.
CONTEÚDO CONCEITUAL: Comprimento e área de figuras planas.
QUESTÃO 04 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
QUESTÃO 04 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
QUESTÃO 04 - EXPECTATIVA DE
RESPOSTA
VESTIBULAR 2011 - CORREÇÃO EFETIVA - MATEMÁTICA
NOTA NA QUESTÃO 4
0.5
55.7 % ( 4299 )
0.3
A análise do gráfico deverá ser
feita da seguinte forma:
Para a primeira barra, o valor
acumulado é a nota 0. A
segunda barra o valor
acumulado é a nota 1, e assim
sucessivamente para o eixo X.
0.1
0.2
25.2 % ( 1945 )
4 % ( 312 )
3.3 % ( 254 )
2 % ( 156 )
1.2 % ( 93 )
-1
0
1
2
3
4
5
Nota
6
2.9 % ( 220 )
2 % ( 157 )
1.1 % ( 84 )
0.8 % ( 63 )
0.0
Densidade
0.4
Média =
1.21
D. Padrão = 2.37
Mínimo = 0
Máximo = 10
Provas = 7717
7
1.7 % ( 134 )
8
9
10
NÚMERO DA QUESTÃO - ->
QUESTÃO 04
Nº de candidatos
(%)
Nota: 0,00 (zero)
4361
55,4
Nota: 0,01 - 0,25
Nota: 0,26 - 0,50
2400
436
30,5
5,5
Nota: 0,51 - 0,75
198
2,5
Nota: 0,76-1,0
476
6,0
NOTA MÉDIA
0,12
MATEMÁTICA
Desempenho Geral
PROVA DISCURSIVA DE
NÚMERO DA
QUESTÃO - ->
QUESTÃO 01
QUESTÃO 02
QUESTÃO 03
QUESTÃO 04
Nº de
candidatos
(%)
Nº de
candidatos
(%)
Nº de
candidatos
(%)
Nº de
candidatos
(%)
Nota: 0,00 (zero)
2862
36,4
4606
58,5
3059
38,9
4361
55,4
Nota: 0,01 - 0,25
Nota: 0,26 - 0,50
900
230
11,4
2,9
1303
485
16,6
6,2
878
485
11,2
6,2
2400
436
30,5
5,5
Nota: 0,51 - 0,75
231
2,9
641
8,1
1121
14,2
198
2,5
2328
0,40
29,6
476
0,12
6,0
Nota: 0,76-1,0
NOTA MÉDIA
3648
0,51
46,3
836
0,20
10,6
Nota média na prova (por item): 0,31
Nota média na prova (total):1,23
Total de candidatos: 7.871
1500
VESTIBULAR 2011 - CORREÇÃO EFETIVA - MATEMÁTICA
NOTA NA PROVA
1000
500
A análise do gráfico deverá
ser feita da seguinte forma:
Para a primeira barra, o
valor acumulado é a nota 0.
A segunda barra o valor
acumulado é a nota 0,5, e
assim sucessivamente para
o eixo X.
0
Número de candidatos
Média =
1.23
D. Padrão = 1.11
Mínimo = 0
Máximo = 4
Provas = 7717
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Nota
2.5
3.0
3.5
4.0
Arquivo disponível no sítio da COMPERVE:
www.comperve.ufrn.br
Observatório da Vida do Estudante Universitário:
www.comperve.ufrn.br/conteudo/observatorio