3ª LISTA DE ESTATÍSTICA (apresentar os cálculos com 4 casas decimais)
1)Se X é uma variável aleatória, com E(X) = µ e V(X) = σ2, verificar que Y =
X −µ
σ
possui E(Y) = 0 e
V(Y) = 1.
2)As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 interrupções no processo de produção de determinada
indústria, durante um mês são, respectivamente 8p; 5p ; 0,09 ; p ; 0,03 ; 0,02 ; 0,01 e 0,01.
a)Determine o valor de p
b)Determinar o número médio mensal de interrupções no processo de produção.
c)Determinar o desvio padrão do número de interrupções no processo de produção num mês.
3)A transportadora Yuki Ltda possui uma frota de quatro caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é
feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia (X) é a seguinte:
X
P(X)
0
0,1
1
0,2
2
0,3
3
0,3
4
0,1
Sabendo-se que o valor do aluguel por dia é da ordem de US$300 e que a despesa total diária com
manutenção de cada veículo é igual a US$140 quando este é alugado no dia, e de US$15 quando tal fato
não acontece, calcule:
a)O número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio padrão.
b)A média e o desvio padrão do lucro diário.
4)Um designer de peças para iluminação tem um novo projeto para a fabricação de um lustre. Se este novo
modelo de lustre for um sucesso ele ganhará R$24.000,00 porém se este novo modelo de lustre não for um
sucesso ele não ganhará nada pois terá seu pequeno lucro consumido com as despesas fixas do projeto. Se
este designer resolveu vender seu projeto a uma loja antes de iniciar a produção por R$18.000,00, qual
deve ser a estimativa do designer para a probabilidade de sucesso de seu novo modelo de lustre?
5)É dada a distribuição conjunta das variáveis aleatórias número de fornecedores por artigo e número de
vezes em que a compra pode ser parcelada.
nº de fornecedores (F)
nº de parcelamentos (P)
1
2
3
Total
2
3
5
Total
0,12
0,08
c
0,32
0,15
0,13
d
0,33
a
b
e
0,35
0,44
0,37
0,19
1,00
a)Determinar os valores de: a ; b ; c ; d ; e.
b)Calcule P( 3 ≤ F ≤ 5 , P ≥ 2).
c)Calcule P( 3 ≤ F ≤ 5 | P ≥ 2).
d)Calcule o número médio de parcelas.
e)Calcule o número médio de fornecedores.
f)Calcule a COV (F,P).
6)Uma caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Selecionam-se e testam-se transistores
até que um transistor não defeituoso seja escolhido. Encontre o número esperado de transistores
selecionados.
7)Quer se verificar a relação entre o tempo de reação e o número de alternativas apresentadas a indivíduos
acostumados a tomadas de decisão. Planejou-se um experimento em que se pedia ao participante para
classificar objetos segundo um critério previamente discutido. Participaram do experimento 20 executivos
divididos aleatoriamente em três grupos. Pediu-se, então, a cada grupo para classificar dois, três e quatro
objetos, respectivamente. Qual o coeficiente de correlação entre tempo de reação e número de
alternativas?
Tempo de reação
2
3
4
5
Total
2
1
0
3
3
2
0
5
2
2
1
5
0
1
6
7
7
6
7
20
Nº de objetos
2
3
4
Total
8)Três unidades foram sorteadas aleatoriamente em uma linha de produção contínua. Seja p a
probabilidade desta unidade estar dentro das especificações e X o número total de unidades dentro das
especificações.
a)Determine E(X).
b)Determine V(X).
9)Um produto é fabricado soldando-se a uma base, quatro peças do tipo A e duas peças do tipo B. As
distribuições de probabilidades dos pesos da base, peça do tipo A e peça do tipo B são as seguintes (em
gramas):
Peso da base
Probabilidade
2,0
0,4
2,1
0,6
Peso da peça A
Probabilidade
7
0,1
8
0,5
9
0,3
10
0,1
Peso da peça B
Probabilidade
5
0,3
6
0,4
7
0,3
a)Determine o peso médio do produto final.
b)Determine o desvio padrão do produto final.
10)A tabela abaixo fornece a probabilidade do número de vezes que uma máquina está desregulada em
cinco vistorias realizadas.
Seja X = nº de vezes em que a máquina está desregulada
X
P(X)
0
2c
1
c
2
0,17
3
2
3c
4
0,07
5
2
c
a)Determine o valor de c.
b)Calcular a probabilidade de que uma máquina esteja desregulada no máximo uma vez.
c)Se P(X< k) = 0,6 , determine o valor mínimo de k.
d)Calcular o número médio de vezes em que a máquina está desregulada.
11)Suponha que um vendedor está frente ao problema de quantas caixas de certo produto deve estocar
para a demanda de amanhã. Suponha que toda caixa de produto não vendida no fim do período (dia)
representa uma perda completa para o vendedor. Adote também que toda demanda não satisfeita não traz
nenhum custo a não se a perda. O freguês desapontado voltará no futuro. É conhecida a tabela:
Demanda total de caixas por dia Probabilidade
25
0,1
26
0,3
27
0,5
28
0,1
Sabendo que o preço da compra é de 8 u.m. e o preço da venda é de 10 u.m.:
a)Qual é a quantidade a estocar para se ter o maior valor esperado de lucro?
b)Se tivermos condições de prever com certeza qual é a demanda do dia seguinte (neste caso o estoque
seria sempre igual à demanda) qual seria o lucro esperado?
c)A diferença entre o valor encontrado em a) e b) chama-se o valor esperado da informação perfeita
[V.E.I.P.]. Quanto é o V.E.I.P.?
12)Uma indústria produz cilindros em 6 tamanhos diferentes, de acordo com o raio e a altura dos mesmos.
A tabela abaixo indica a porcentagem de raios e alturas com os quais os cilindros são produzidos.
Raio
1 cm
2 cm
Total
11%
27%
12%
50%
2%
30%
18%
50%
13%
57%
30%
100%
Altura
3 cm
4 cm
5 cm
Total
a)Qual a probabilidade de um cilindro escolhido ao acaso ter raio de 1 cm e altura de no máximo 4 cm?
b)Qual a distribuição marginal do raio do cilindro?
c)Qual a distribuição marginal da altura do cilindro?
d)As variáveis aleatórias raio e altura do cilindro são independentes? Porquê?
e)Calcular a média e a variância da variável aleatória diâmetro do cilindro.
RESPOSTAS E BIBLIOGRAFIA:
1) (bibliografia nº 1)
2)a)0,06 b)1,01 interrupções c)1,42 interrupções
3) (bibliografia nº 3) a)E(X) = 2,1 caminhões DP(X) = 1,14 caminhões
b)E(Y) = R$307,50
DP(Y) = R$198,76
4) (minha autoria) p < 0,75
5) (minha autoria)a) a = 0,17 b = 0,16 c = 0,12 d = 0,05 e = 0 02
b)0,36
c)0,6429
d)E(P) = 1,75 parcelas e)E(F) = 3,38 fornecedores
f) – 0,205 fornecedores x parcelas
6) (bibliografia nº 1) 11/9 = 1,2222 transistores.
7) (minha autoria) 0,72133
8) (minha autoria) a)E(X) = 3p b)V(X) = 3p(1 – p)
9) (minha autoria)a)47,66 g b)1,94 g
10) (minha autoria) a)c = 0,20 b)0,60 c)k = 2 d)E(X) = 1,38 vezes
11) (bibliografia nº 2) a)26 unidades b)53,2 u.m. c)2,2 u.m.
12) (minha autoria) a)38%
b)
R
1
2
P(R)
0,5
0,5
c)
A
3
4
5
P(A)
0,13
0,57
0,30
d)Não pois P(1,3) ≠ P(1)P(3) e)E(D) = 3 cm V(D) = 1 cm2.
1. LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidade. 4 ed. rev. São Paulo: Makron Books, 1994.
2. MIRSHAWKA, Victor. Exercícios de Probabilidades e Estatística para Engenharia. 3 ed. São Paulo:
Nobel, 1989.
3. OLIVEIRA, Francisco Estevam M. Estatística e Probabilidade. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1999