Apostila 5
12.6 - Mediana
Colocando os valores em ordem crescente, mediana é o elemento que ocupa a
posição central.
Variável Discreta será mostrada através de exemplos:
Exemplo:
a) Seja a série: 5, 7, 8, 10, 14 a mediana será o número que se encontra no meio
~
(número ímpar de elementos) x = 8
b) Seja a série: 5, 7, 8, 10, 14, 15 a mediana será a média dos elementos centrais (
~
8 + 10
número par de elementos) x =
2
~
x=9
c) Dada a distribuição:
xi
1
2
3
4
∑
Fi
1
3
5
2
11
Fac
1
4
9
11
~
n = 11 (número ímpar de elementos), x será o 6º elemento que se encontra na terceira
linha da tabela. Usa-se a Fac para encontrar o valor xi correspondente à mediana.
~
Portanto x = 3
d) Seja:
xi
82
85
87
89
90
∑
Fi
5
10
15
8
4
42
Fac
5
15
30
38
42
~
n = 42 (número par de elementos), x será a média entre o 21º e o 22º elementos que se
encontram na terceira linha da tabela Usa-se a Fac para encontrar o valor xi
~
87 + 87
correspondente à mediana. Como o 21º elemento = 87 e o 22º elemento = 87, x =
2
~
x = 87
1
Apostila 5
Variável Contínua também será mostrada através do exemplo a seguir:
Seja:
classes
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
∑
Fi
5
12
18
14
6
3
58
Fac
5
17
35
49
55
58
1º passo: Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é contínua não há necessidade de
verificar se n é par ou ímpar.
No caso da tabela acima n=58, portanto n/2 = 29º
2º passo: Identifica-se a classe Modal pela Fac. Nesse caso a classe modal (MD) é a 3ª.
⎛n
⎞
⎜ −∑ f ⎟•h
~
2
⎠
3º passo: Aplica-se a fórmula: x = l MD + ⎝
FMD
onde: l MD = limite inferior da classe MD
n
= tamanho da amostra ou número de elementos
∑ f = soma das freqüências anteriores à classe MD
h
= amplitude da classe MD
FMD = freqüência da classe MD
⎛ 58
⎞
⎜ − 17 ⎟ • 10
~
⎝ 2
⎠
x = 55 +
18
~
x = 61,67
12.7 - Quartis
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Há, portanto,
três quartis:
Q1 = 1º quartil, valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos
dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
Q2 = 2º quartil, coincide com a mediana (Q2 = MD)
Q3 = 3º quartil, valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos
termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
Os quartis são usados apenas para dados agrupados em classe e são obtidos
pelas seguintes fórmulas:
⎞
⎛n
⎜ −∑ f ⎟•h
4
⎠
Q1 = l Q1 + ⎝
FQ1
2
Apostila 5
⎞
⎛ 3n
⎜ −∑ f ⎟•h
4
⎠
Q3 = l Q 3 + ⎝
FQ 3
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e a mediana
classes
7 17
17 27
27 37
37 47
47 57
∑
Fi
6
15
20
10
5
56
Fac
6
21
41
51
56
Passos para os cálculos:
1º passo: n = 56
Q1
n
56
=
= 14º
4
4
~
Q3
3n
3 • 56
=
= 42º
4
4
x
n
56
=
= 28º
2
2
2º passo: Pela Fac identifica-se a classe Q1, classe MD, e classe Q3
classes
7 17
17 27
27 37
37 47
47 57
∑
Fi
6
15
20
10
5
56
Fac
6
21
41
51
56
Classe Q1
Classe MD
Classe Q3
3º passo: Uso das fórmulas:
Para Q1 temos lQ1 = 17, n = 56, ∑f = 6, h = 10, FQ1 = 15
~
Para x temos lMD = 27, n = 56, ∑f = 21, h = 10, FMD = 15
Para Q3 temos lQ3 = 37, n = 56, ∑f = 41, h = 10, FQ3 = 10
Logo:
⎛ 56
⎞
⎜ − 6 ⎟ • 10
⎝ 4
⎠
Q1 = 17 +
= 22,33
15
⎛ 56
⎞
⎜ − 21⎟ • 10
~
⎝ 2
⎠
x = 27 +
= 30,5
20
⎛ 3 • 56
⎞
− 41⎟ • 10
⎜
⎝ 4
⎠
= 38
Q3 = 37 +
10
3
Apostila 5
12.8 – Decis
Continuando o estudo das medidas separatrizes medianas e quartis, temos os
decis. São valores que dividem a série em 10 partes iguais.
Para obter os decis utiliza-se a seguinte fórmula:
Di = l Di
⎞
⎛ in
⎜ −∑ f ⎟•h
⎠
⎝ 10
+
FDi
Onde:
lDi
n
h
FDi
∑f
= limite inferior da classe Di, i = 1,2,3,....,9
= tamanho da amostra
= amplitude da classe
= freqüência da classe Di
= soma das freqüências anteriores à classe Di
12.9 – Percentis
São as medidas que dividem a amostra em 10 partes iguais. Para obter os
percentis, utiliza-se das fórmula:
⎞
⎛ in
−∑ f ⎟•h
⎜
100
⎠
Pi = l Pi + ⎝
FPi
Onde:
l Pi
= limite inferior da classe Pi, i = 1,2,3,....,99
n
= tamanho da amostra
h
= amplitude da classe
FPi
= freqüência da classe Pi
∑f
= soma das freqüências anteriores à classe Pi
4
Apostila 5
Portanto , nesta distribuição, o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma
com 40% dos elementos e outra com 60% dos elementos. O valor 16,59 indica que 72%
da distribuição estão abaixo dele e 28% acima dele.
12.10 – Moda
Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor mais
freqüente da distribuição. Para distribuições simples (sem intervalo de classe), a
identificação da moda é facilitada pela observação do elemnto que apresenta maior
freqüência.
Exemplo: Para a distribuição abaixo
Xi
Fi
243
7
245
17
248
23
251
20
307
8
A moda será 248. Indica-se Mo = 248 (é o elemento de maior freqüência)
Para dados agrupados em classes, existem diversas fórmulas para o cálculo da Moda.
Serão apresentados dois modos:
a) 1º processo: fórmula de Czuber
∆1
Mo = l +
•h
∆1 + ∆ 2
Onde:
l = Limite inferior da classe modal
∆1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior;
∆2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior;
h = amplitude da classe
5
Apostila 5
b) 2º processo: determinação gráfica da Moda
É preciso construir o histograma da distribuição, identificar a classe modal ( aquela
com maior altura) e fazer a construção indicada abaixo:
De acordo com a forma que apresentam, os gráficos de distribuições de freqüências
podem ser:
6
Apostila 5
a) Unimodais: Quando apresentam um ponto de máximo. Nesse caso podemos ter curvas
simétricas ou assimétricas; uma curva simétrica extremamente importante é a curva de
normal ou de Gauss, enquanto que as assimétricas podem ser positivas (cauda longa à
direita ou negativas (cauda longa à esquerda).
b) Antimodais: apresentam um ponto de mínimo
c) Amodais: Sem pontos de máximos ou de mínimos
d) Plurimodais: Quando temos 2 ou mais pontos de máximo
7
Apostila 5
A plurimodalidade ocorre geralmente motivada por três razões
a) dados pertencentes a populações diferentes
b) número de classes e intervalos inadequados
c) insuficiência de dados
Exercícios
8
Apostila 5
9
Apostila 5
13 – Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose
Servem para verificarmos a representatividade das medidas de posição, pois é
muito comum encontrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas
de maneira distinta.
Assim, para as séries:
a) 20, 20, 20, 20, 20
b) 15, 10, 20, 25, 30
__
__
temos x a = x b = 20.
Nota-se que os valores da série “a” se concentram totalmente na média 20,
enquanto os valores da série “b” se dispersam em torno do mesmo valor. Ou seja, a série
“a” não apresenta dispersão e os valores da série “b” estão dispersos em torno de 20.
Neste capítulo vamos medir o grau de concentração ou dispersão dos dados em torno da
média.
13.1 – Amplitude Total
É a diferença entra o maior e o menor dos valores da séria.
R = Xmax – Xmin
Exemplo: Para a série 10, 12, 20, 22, 25, 33, 38
R = 38 – 10 → R = 28
A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito limitada, pois,
sendo uma medida que depende apenas dos valores externos, é instável, não sendo
afetada pela dispersão dos valores internos.
13.2 – Desvio médio e Variância
Como a amplitude total é uma medida instável, utilizaremos estas outras medidas
que são mais estáveis.
a) Desvio médio
__
Neste caso considera-se o módulo de cada desvio (xi - x ), evitando com isso que
∑di = 0. Assim, o Desvio Médio é dado por:
Dm =
∑
__
xi - x • Fi
=
∑ di • Fi
n
n
Trata-se da média aritmética dos desvios considerados em módulos (valor
absolutos).
b) Variância
__
Neste caso considera-se o quaddrado de cada desvio (xi - x )2, evitando com isso
que ∑di = 0. Assim, a definição da variância é dada por:
2
__
⎞
⎛
2
⎜ xi − x ⎟ • Fi
∑
di • Fi
∑
⎠
⎝
2
σ =
=
n
n
Trata-se da média aritmética dos quadrados dos desvios.
__
σ 2 indica variância e lê-se sigma ao quadrado e x é a média da população.
10
Apostila 5
Para o caso do cálculo da variância de valores amostrais é conveniente usar a
fórmula:
2
__
⎞
⎛
xi
x ⎟ • Fi
−
⎜
∑
⎠
⎝
S2 =
n -1
As diferenças entre as fórmulas são:
σ 2 tem como denominador o tamanho da amostra n
S2 tem como denominador o tamanho da amostra menos 1 (n - 1).
Para o cálculo da variância, é mais interessante o uso das seguintes fórmulas
práticas:
2
(
xiFi ) ⎤
1⎡
∑
2
2
⎥
σ = ⎢∑ xi • Fi −
n
n⎢
⎥⎦
⎣
2
(
xiFi ) ⎤
1 ⎡
∑
2
2
⎥
⎢∑ xi • Fi −
S =
n -1 ⎢
n
⎥⎦
⎣
que são obtidas por transformações nas respectivas fórmulas originais.
13.3 – Desvio Padrão
Observando a fórmula para o cálculo da variância, notamos tratar-se de uma soma
de quadrados. Dessa forma obteremos os valores ao quadrado. Para voltarmos á variável
original, necessitamos definir outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da
variância – o desvio padrão.
σ = σ2
S = S2
Resumindo: Para o cálculo do desvio padrão deve-se primeiramente determinar o
valor da variância e, em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado.
11
Apostila 5
12
Apostila 5
13
Apostila 5
13.4 – Coeficiente de Variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos
relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dado por:
σ
S
C•V = __
ou
C•V = __
x
x
14
Apostila 5
13.5 – Escores Reduzidos
Uma importante utilização do desvio padrão constitui o seu emprego na variável:
__
__
xi − x
xi − x
ou Zi =
Zi =
σ
S
que mede o afastamento de um valor “xi” em relação à média da distribuição, em
unidades do desvio padrão.
14 – Medidas de Assimetria
Já foi acentuado que, em uma distribuição simétrica, coincidem a média, a moda e
a mediana e que os quartis ficam eqüidistantes da mediana, o que não ocorre numa
distribuição assimétrica
14.1 – Coeficientes de assimetria
Quando dispomos de valores da média e do desvio padrão devemos utilizar:
15
Apostila 5
a) Primeiro Coeficiente de Pearson
__
__
x − Mo
x − Mo
ou
As =
As =
S
σ
Se As = 0 a distribuição é simétrica
Se As > 0 a distribuição é assimétrica positiva
Se As < 0 a distribuição é assimétrica negativa
Quando não temos condições de calcular a média e o desvio padrão utilizamos:
b) Segundo Coeficiente de Pearson
~
Q3 + Q1 − 2 x
As =
Q3 − Q1
Vale o mesmo critério estabelecido acima
16
Apostila 5
15 – Medidas de Curtose
Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Com
referência ao grau de achatamento, pode-se ter:
Para medir o grau de curtose utilizaremos o coeficiente K:
17
Apostila 5
K=
Q3 − Q1
2(P90 − P10 )
onde:
P90 = 90º percentil;
Q3 = 3º quartil
P10 = 10º percentil
Q1 = 1º quartil
Se K = 0,263, diremos que a curva correspondente à distribuição de freqüência é
mesocúrtica.
Se K > 0,263, diremos que a curva correspondente à distribuição de freqüência é
platicúrtica.
Se K = 0,263, diremos que a curva correspondente à distribuição de freqüência é
leptoúrtica.
18
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