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Professor Mauricio Lutz
ESTATÍSTICA BÁSICA
1. Conceito
Existem muitas definições propostas por autores, objetivando estabelecer
com clareza o que é estatística, como por exemplo:
Þ A Estatística é um conjunto de métodos destinados à coleta,
organização, resumo, apresentação e análise de dados de observação, bem como
da tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises.
Þ A Estatística é um conjunto de processos ou técnicas empregadas na
investigação e análise de fenômenos coletivos ou de massa.
Þ A Estatística é a matemática aplicada aos dados de observação.
2. População (N)
Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenômeno
que possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o conjunto
Universo, podendo ser finita ou infinita.
Þ Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível
de contagem.
Þ Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é
impossível de contar e geralmente esta associada a processos.
Exemplo: O governo encomenda ao instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE) uma pesquisa para conhecer o salário médio do brasileiro. O universo
estatístico ou população estatística é, neste caso, o conjunto de todos os
assalariados brasileiros.
3. Amostra (n)
É um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a amostra
deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo
que ela represente todas as características da população como se fosse uma
fotografia desta.
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Em termos de critérios de coleta a amostra pode ser classificada, em
termos mais amplos como:
Þ Amostra probabilística ou aleatória: cada elemento da população tem a
mesma probabilidade de ser incluído na amostra.
Þ Amostra não-probabilística: cada elemento da amostra é escolhido
intencionalmente.
Exemplo: Um partido político quer conhecer a tendência dos eleitorados quanto a
preferência entre dois candidatos a presidência do Brasil, numa determinada cidade.
Para isso, encomenda uma pesquisa a uma empresa especializada. A população
estatística, nesse caso, é o conjunto de todos os eleitores brasileiros, mas como
quero em uma cidade específica então temos uma amostra.
4. Censo
É a coleta exaustiva de informações das "N" unidades populacionais.
5. Experimento
Conjunto de procedimentos reprodutíveis que visam a obtenção de
informação sobre uma dada realidade, que podem ser determinístico ou aleatório.
5.1 Experimento determinístico
É aquele que garantidas as mesmas condições iniciais o resultado será o
mesmo.
Exemplos: Observar a temperatura de ebulição da água em condições normais de
temperatura e pressão, ou soltar sempre um objeto de certa altura e calcular a
velocidade com que chega ao solo.
5.2 Experimento aleatório
É aquele que mesmo garantindo as condições iniciais é impossível prever
com certeza o resultado do mesmo.
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Exemplos: O lançamento de uma moeda ou um dado, ou ainda o comportamento de
um índice financeiro como o Ibovespa (Bolsa de Valores de São Paulo).
6. Variável
É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão,
geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de
amostragem. Os símbolos utilizados para representar as variáveis são as letras
maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y, Z, ... que pode assumir qualquer valor de um
conjunto de dados. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas (ou
atributos) e quantitativas.
6.1 Variável Qualitativa
É o tipo de variável que não pode ser medida numericamente. Podem ser
classificadas em:
A Þ Ordinal ou por Postos: os elementos têm relação de ordem, de conceito ou
de colocação entre eles.
Exemplos:
De conceito: ótimo, bom, regular
De colocação: primeiro, segundo, terceiro
B Þ Nominal: os elementos são identificados por um nome.
Exemplo: Cor dos olhos: castanho, preto, azul e verde
6.2 Variável Quantitativa
Pode ser medida numericamente. Classificam-se em:
A Þ Discreta: o valor numérico muda em saltos ou passos, não admitindo valores
intermediários entre eles.
Exemplos: Número de carros, número de filhos.
B Þ Contínua: admite infinitos valores entre elas (dentro de um intervalo).
Exemplo: altura.
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Observações:
Þ Todas as vaiáveis associadas a contagem são discretas.
ÞTodas as vaiáveis associadas à medidas que dependem da precisão de um
instrumento são contínuas.
Þ A variável idade, apesar de geralmente ser representada por valores inteiros, é
uma variável contínua pois está relacionada com o tempo, que é variável contínua.
Þ Quantia em dinheiro também é considerada uma variável contínua.
7 Normas para apresentação tabular de dados
As Normas para apresentação Tabular da Estatística Brasileira é dada
pela Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, onde será apresentado os pontos
principais.
Uma tabela estatística compõe-se de elementos essenciais e elementos
complementares.
Os elementos essenciais de uma tabela estatística são: título, corpo,
cabeçalho e coluna indicadora.
Titulo é a indicação que precede a tabela e que contém a designação do
fato observado, o local e a época em que foi registrado.
Corpo é o conjunto de colunas e linhas que contém respectivamente, em
ordem horizontal e vertical, as informações sobre o fato observado.
Casa é o cruzamento de uma coluna com uma linha. As casas não
deverão ficar em branco, apresentando
sempre um número ou um sinal
convencional.
Cabeçalho é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das
colunas.
Coluna indicadora é a parte da tabela que especifica o conteúdo das
linhas. Uma tabela pode ter mais de uma coluna indicadora.
Os elementos complementares de uma tabela estatística são: fonte, notas
e chamadas, e se situam de preferência no rodapé da tabela.
Fonte é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados
ou pela sua elaboração.
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Notas são informações de natureza geral, destinadas a conceituar ou
esclarecer o conteúdo das tabelas, ou a indicar a metodologia adotada na
elaboração dos dados.
Chamadas são informações de natureza especifica sobre determinadas
partes da tabela, destinadas a conceituar ou esclarecer dados. As chamadas são
indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à esquerda
nas casas e à direita na coluna indicadora. A numeração das chamadas da tabela
será sucessiva, de cima para baixo e da esquerda para a direita. A distribuição das
chamadas no rodapé na tabela obedecerá à ordem de sua sucessão na tabela,
separando-se uma das outras por ponto (.). As chamadas de uma tabela que ocupe
mais de uma página devem figurar no rodapé da tabela da ultima página, de acordo
com a sucessão da mesma.
7.1 Sinais convencionais
– (traço), quando o dado for nulo;
... (três pontos), quando não se dispuser do dado;
X (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das
informações;
0 (zero), quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade
utilizada;
? (ponto de interrogação). quando temos dúvida quanto à exatidão de
determinado valor;
7.2 Apresentação das tabelas
As tabelas, excluídos os títulos, serão delimitadas, no alto e em baixo, por
traços horizontais grossos, preferencialmente.
Recomenda-se não delimitar as tabelas, à direita e à esquerda, por
trações verticais.
Será facultativo o emprego de traços verticais para separar as colunas no
corpo da tabela.
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Quando uma tabela, por expressa altura, tiver de ocupar mais de uma
página, não será delimitada na parte inferior, repetindo-se o cabeçalho na página
seguinte. Neste caso, deve-se usar, no alto do cabeçalho ou dentro da coluna
indicadora, a designação contínua ou conclusão, conforme o caso.
Exemplo:
Pessoal docente lotado na IFF X por categoria funcional e formação acadêmica 1999
Formação
Acadêmica
Graduação
Categoria Funcional
Total
Substitutos
Efetivos
Estagiários
Bolsistas
100
300
250
90
740
Especialização
-
...
10
310
320
Aperfeiçoamento
50
50
30
10
140
Mestrado
10
-
20
40
70
Doutorado (1)
(2) 50
(3) 30
20
-
100
Total
210
380
330
450
1370
Fonte: Pró-Reitoria de Recursos Humanos
(1) Com e sem curso de mestrado
(2) Protegido pela Lei nº 5.540
(3) Livres docentes
Após a coleta dos dados e sua apuração necessita-se de métodos de
apresentação dos dados. Para tanto um dos instrumentos é a tabela.
A filosofia da tabulação obedece ao seguinte critério:
Máximo de esclarecimento (informação) num mínimo de espaço.
Uma tabela pode ser decomposta em três partes:
A Þ Título: é uma apresentação do que a tabela está tentando representar. Deve
conter informações suficientes para responder às seguintes questões:
i) O que? (referente ao fato);
ii) Onde? (referente ao lugar);
iii) Quando? (referente ao tempo).
Exemplos:
Acidentes com morte na RS 509 em 2004
O que? Acidentes com morte;
Onde? RS 509;
Quando? 2004.
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Peso médio dos alunos do Ensino Médio do IFF no ano de 2008
O que? Peso médio dos alunos do Ensino Médio;
Onde? IFF;
Quando? 2008
B Þ Corpo: é composto de um conjunto de colunas e subcolunas onde são postos
os dados coletados.
Exemplo:
Estimativa de crescimento populacional para a cidade de Porto Alegre 1990 – 2050
Anos
População (em 1000 hab.)
1990
10035
2000
12047
2010
13959
2020
15468
2030
17089
2040
18999
2050
20093
Fonte: Secretaria de habitação e transporte de POA
C Þ Rodapé: colocam-se todas as legendas que visam esclarecer a interpretação
da tabela. Geralmente também é no rodapé que se coloca a fonte dos dados.
Exemplo:
Número de alunos da rede pública de Alegrete em 2005
Masculino
Feminino
Total
Menores de 15 anos
1568
1379
2947
Maiores de 15 anos
1378
1534
2912
Total
2946
Fonte: Coordenadoria Regional de Ensino
2913
5859
8. Distribuição de freqüências
É o tipo de série estatística na qual permanece constante o fato, o local e
a época. Os dados são colocados em classes preestabelecidas, registrando a
freqüência de ocorrência. Uma distribuição de freqüência pode ser classificada em
discreta e intervalar.
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8.1 Distribuição de freqüência discreta ou pontual
É uma série de dados agrupados na qual o número de observações está
relacionado com um ponto real.
Notas de Alunos na Disciplina de Matemática no 1º semestre de 2008
Notas
Quantidade
5.4
5
6.3
3
6.5
4
7.0
3
7.2
5
7.8
2
Total
Fonte: Secretaria escolar do IFF.
22
8.2 Distribuição de freqüências intervalar
Na distribuição de freqüência, os intervalos parciais deverão ser
apresentados de maneira a evitar dúvidas quanto à classe a que permanece
determinado elemento.
O tipo de intervalo mais usado é do tipo fechado a esquerda e aberto a
direita, representado pelo símbolo:
.
Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Geografia da UFSM - 2003
Altura (cm)
Média
Quantidade
150
158
154
18
158
166
162
25
166
174
170
20
174
182
178
52
182
190
186
30
190
198
194
15
X
160
Total
Fonte: Curso de Geografia
8.3 Elementos de uma distribuição de freqüências
8.3.1 Dados brutos
São os valores originais conforme eles foram coletados, não estando
ainda prontos para a análise, pois não estão numericamente organizados ou
tabelados.
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8.3.2 Rol
É uma lista, onde as observações são dispostas em uma determinada
ordem, seja ele crescente ou decrescente. O objetivo da ordenação é tornar possível
a visualização das variáveis ocorridas, uma vez que os valores extremos são
percebidos de imediato, e também facilitar a construção da distribuição de
freqüências.
8.3.3 Classe ou classe de freqüência (k)
É cada subintervalo (linha) na qual dividimos o fenômeno. Para determinar
o número de classes a partir dos dados não tabelados, podemos usar a Fórmula de
Sturges, mas deve-se saber que existem outros métodos de determinação do
número de classes em uma tabela de freqüência. O que se deseja fazer é apenas
comprimir um conjunto de dados em uma tabela, para facilitar a visualização e
interpretação dos mesmos.
n(k ) = 1 + 3.3 log n ,
onde “n” é o número de informações.
Além da Regra de Sturges, existem outras fórmulas empíricas para
resolver o problema para determinação do número de classes [n(k)], há quem prefira
n(k ) @ n .
8.3.4 Limite de Classe ( li ou Li )
Uma classe é um subconjunto do Rol limitada inferiormente por um
número chamado limite da classe (representado por li ) e superiormente por um outro
número chamado limite superior da classe (representado por Li ).
8.3.5 Amplitude total (H)
É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da
primeira classe, ou a diferença entre o último e o primeiro elemento de um conjunto
de dados postos em ordem crescente.
H = Ln - l1
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8.3.6 Amplitude do intervalo de classe (h)
É a diferença entre dois limites inferiores ou superiores consecutivos, caso
já exista a distribuição de freqüência.
h = ln - ln-1 ou h = Ln - Ln -1
Para a determinação da amplitude das classes de uma determinada
distribuição de freqüências a ser construída podemos utilizar a seguinte equação:
H
k
A amplitude do intervalo de classe deve ser constante em toda a
distribuição de freqüência intervalar.
h=
8.3.7 Ponto médio de classe (Xi)
É a média aritmética simples do limite inferior com o limite superior de uma
mesma classe.
Xi =
li + Li
2
8.3.8 Freqüência absoluta (fi)
É a quantidade de valores em cada classe.
n
n = å f i = f1 + f 2 + ... + f n
i =1
8.3.9 Freqüência acumulada ou freqüência absoluta acumulada (Fi)
É o somatório da freqüência absoluta da i-ésima classe com a freqüência
absoluta das classes anteriores, ou a freqüência acumulada da classe anterior.
n
Fi = å f i = n
i =1
8.3.10 Freqüência Relativa (fri)
É o quociente entre a freqüência absoluta da i-ésima classe com o
somatório das freqüências.
fri =
n
fi
Obs.:
n
åf
i =1
å fr
i =1
i
=1
i
A soma da coluna de freqüências relativas é sempre igual a 1, que
corresponde a 100% e pode ser lida como percentual.
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8.3.11 Freqüência Relativa Acumulada (Fri)
É o somatório da freqüência relativa da i-ésima classe com as freqüências
relativas das classes anteriores.
n
Fri = å fri = 1
i =1
Método prático para construção de uma distribuição de freqüências com classe:
1º - Organize os dados brutos em um ROL;
2º - Calcule a amplitude;
3º - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges".
Observação: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos
levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade de um julgamento
pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados.
Exemplo: São observados as idades de 20 indivíduos participante de um grupo de
estudos de informática, obtendo os seguintes dados:
45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51
Determine a distribuição de freqüência.
Primeiramente pegamos os dados e colocamos eles em Rol crescente.
41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o
agrupamento dos valores em vários intervalos de classe, para tanto temos que
calcular a amplitude, número de classes e intervalo da classe.
Amplitude total: H = Ln - l1 = 60 - 41 = 19
Número de classes: n(k ) = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 20 = 5,3 @ 6
Intervalo de classe: h =
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H 19
= = 3,17 @ 4
k
6
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Idades dos alunos do grupo de estudo de informática
Classes
Xi
Freqüências (fi)
Fi
fri (%)
Fri (%)
41
45
43
7
7
35
35
45
49
47
3
10
15
50
49
53
51
4
14
20
70
53
57
55
1
15
5
75
57
61
59
5
20
25
100
61
65
63
não é necessário
X
X
X
X
20
X
100
X
Total
Fonte: Secretaria escolar
Observe que quando trabalhando com uma distribuição de freqüência com
intervalo perdemos um pouco a precisão, pois não sabemos, por exemplo, quanto
alunos tem a idade de 45 anos, só sabemos que tem 3 alunos com idades entre 45 e
49 anos.
Exercícios
1)Dados o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em classe e
elaborar uma tabela de distribuição de freqüências (freqüência, freqüência
acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada) .
33
50
61
69
80
35
52
64
71
81
35
53
65
73
84
39
54
65
73
85
41
55
65
74
85
41
55
66
74
88
42
57
66
76
89
45
59
66
77
91
47
60
67
77
94
48
60
68
78
97
2) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) Construir a distribuição de freqüência;
b) Determinar as freqüências relativas;
c) determinar as freqüências acumuladas;
d) Qual é a amplitude amostral;
e) Qual a percentagem de elementos maiores que 5.
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3) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos (dadas
em cm):
151 152
161 162
166 166
168 168
169 169
170 170
173 173
176 176
179 179
182 182
Pede-se determinar:
154
163
166
168
169
171
174
176
180
183
155
163
167
168
169
171
174
177
180
184
158
163
167
168
169
171
174
177
180
185
159
164
167
168
170
171
175
177
180
186
159
165
167
168
170
172
175
177
181
187
160
165
167
168
170
172
175
178
181
188
161
165
168
169
170
172
175
178
181
190
a) A amplitude amostral;
b) O número de classes;
c) A amplitude das classes;
d) Os limites das classes;
e) As freqüências absolutas das classes;
f) As freqüências relativas;
g) Os pontos médios das classes;
h) A freqüência acumulada.
4) As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
6,0
8,0
2,0
4,0
0,0
7,0
5,0
4,5
2,0
8,5
5,5
4,0
6,5
6,0
5,0
1,0
5,0
4,5
7,0
5,5
3,5
0,0
1,5
3,5
4,0
6,5
5,0
2,5
7,0
6,0
5,0
4,5
Determinar:
a) O rol;
b) As distribuições de freqüências (variável contínua).
c) A maior e a menor notas;
d) A amplitude total;
e) Qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4.
f) Qual o limite superior da segunda classe;
g) Qual o ponto médio da quarta classe;
h) Qual o ponto médio da terceira classe.
5) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
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161
166
168
169
170
173
176
178
182
190
14
Professor Mauricio Lutz
69
57
72
54
93
68
72
58
64
62
65
76
60
49
74
59
66
83
70
45
60
81
71
67
63
64
53
73
81
50
67
68
53
75
65
58
80
60
63
53
Construir a tabela de distribuição de freqüência , dado log40=1,6.
6) Completar os dados que faltam:
Valores
Freqüências (fi)
1
4
2
4
3
7
5
5
6
fri (%)
0,08
16
4
7
Fi
0,16
0,14
28
38
7
45
0,14
8
7) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84
68
33
52
47
73
68
61
73
77
74
71
81
91
65
55
57
35
85
88
59
80
41
50
53
65
76
85
73
60
67
41
78
56
94
35
45
55
64
74
65
94
66
48
39
69
89
98
42
54
Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da
primeira classe e 10 para intervalo de classe.
8) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6
5
2
6
4
3
6
2
6
5
1
6
3
3
5
1
3
6
3
4
5
4
3
1
3
5
4
4
2
6
2
2
5
2
5
1
3
6
5
1
5
6
2
4
6
1
5
2
4
3
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe
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9) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes:
Áreas (m2)
300
Nº de lotes
400
14
500
46
600
58
700
76
800
68
900
62
1000
48
1100
22
1200
6
Com referência a essa tabela, determine:
a) A amplitude total;
b) O limite superior da quinta classe;
c) O limite inferior da oitava classe;
d) O ponto médio da sétima classe;
e) A amplitude do intervalo da segunda classe;
f) A freqüência da quarta classe;
g) A freqüência relativa da sexta classe;
h) A freqüência acumulada da quinta classe;
i) O número de lotes cuja área não atinge 700m2;
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2;
k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2;
l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2;
m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior a
1000m2.
n) A classe do 72º lote;
o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes.
10) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas
de uma empresa de ônibus:
Nº de acidentes
0
1
2
3
4
5
6
7
Nº de motoristas
20
10
16
9
6
5
3
1
Determine:
a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
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9 Medidas de posição
São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos
quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva
de freqüência.
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência
central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se
agruparem em torno dos valores centrais). As medidas de tendência central mais
utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. As outras medidas de posição
são as separatrizes , que englobam, a própria mediana, os quartis e os percentis.
9.1 Media aritmética
É a mais utilizada das medidas de tendência central para descrever,
resumidamente, um conjunto de dados.
9.1.1 Média para dados não agrupados
A média aritmética é definida, para dados não agrupados, ou seja, que
não vêem organizados em uma tabela de freqüência como sendo:
n
X =
åX
i =1
i
,
n
onde X i é o valor das varias observações e n é o número de observações.
Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6
n
A média para esse exemplo é X =
åX
i =1
i
n
5 + 6 + 10 + 8 + 7 + 6
= 7.
6
=
9.1.2 Média para dados agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em
tabelas de freqüências, determinamos à média aritmética simples.
Quando temos dados agrupados a média é calculada como sendo:
n
X =
å X .f
i
i =1
n
åf
i =1
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i
i
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Exemplo:
Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Agropecuária do IFF – Campus Alegrete - 2000
Altura (cm)
Xi
fi
Xi . fi
150
158
154
18
2772
158
166
162
25
4050
166
174
170
20
3400
174
182
178
52
9256
182
190
186
30
5580
190
198
194
15
2910
X
160
27968
Total
Fonte: Departamento de registros acadêmicos (2000)
n
. X=
å X .f
i
i =1
i
=
n
åf
i =1
27968
= 174,8
160
i
Se agora tivermos dados tabelados com valores ponderados podemos
calcular através de:
n
å X .W
X =
i
i =1
n
åW
i =1
onde
Wi
i
,
i
é o peso.
Exemplo:
Nota do Aluno “A” 1º semestre de 2008 - IFF
Notas (Xi )
Pesos(Wi)
Xi .Wi
7,8
2
15,6
8,3
3
24,9
9,2
2
18,4
5,8
3
17,4
Total
10
76,3
Fonte: Departamento de registros acadêmicos
n
X=
å X .W
i
i =1
n
åW
i =1
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i
i
=
76,3
= 7,63
10
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9.1.3 Desvio em relação à média
É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média
aritmética, ou seja:.
di = X i - X
Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6, sabemos que a media é 7.
Logo temos 6 desvios em relação a média que são:
d1 = 5 - 7 = -2 ; d 2 = 6 - 7 = -1 ; d 3 = 10 - 7 = 3 ;
d 4 = 8 - 7 = 1 ; d 5 = 7 - 7 = 0 ; d 6 = 6 - 7 = -1
9.1.4 Propriedades da média aritmética
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
No exemplo anterior : d1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 + d 6 = 0 .
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa
constante.
Se no conjunto de dado {5, 6, 10, 8, 7, 6} somarmos a constante 2 a cada um dos
valores da variável temos:
(5 + 2) + (6 + 2) + (10 + 2) + (8 + 2) + (7 + 2) + (6 + 2)
6
y=9
y=
y = X +2=7+2=9
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável
por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa
constante.
Se nos dados {5, 6, 10, 8, 7, 6} multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores
da variável temos:
(5 x3) + (6 x3) + (10 x3) + (8 x3) + (7 x3) + (6 x3)
6
126
y=
= 21
6
y=
y = X x3 = 7 x3 = 21
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4ª propriedade: A média aritmética simples deverá estar entre o menor e o maior
valor observado.
li £ X £ Li
9.2 Media geométrica
É a raiz n-ésima do produto de todos eles,representado por
dado pela seguinte equação:
Xg = n
n
ÕX
i
Xg
, ou seja, é
= n X 1. X 2 ..... X n
i -1
Exemplo: Calcular a média geométrica dos dados {1, 4, 16, 64}.
X g = 4 1x 4 x16 x64 = 4 4096 = 8
Se tivermos dados tabelados podemos calcular através de:
n
Xg =
å fi
i =1
n
Õ (X )
i
f1
= n ( X 1 ) 1 .( X 2 ) 2 .....( X n ) n
f
f
f
i =1
Exemplo: Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo:
Xi
fi
1
2
3
4
9
2
27
1
Total
9
X g = 9 12.34.9 2.271 = 9 177147 = 3,83
9.3 Media harmônica
Chama-se média harmônica de n números x1, x2, x3,...xn, todos diferentes
de zero o numero X h tal que:
n
n
Xh = n
=
.
1
1
1
1
+
+ ... +
å
X1 X 2
Xn
i =1 X i
Isto é, X h é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números.
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Exemplos: Calcule a média harmônica de {2, 4, 3}:
Xh =
n
3
=
1 1 1
1
1 1 1
+ + + .. +
+ +
x1 x2 x3
xn 2 4 3
Xh =
3
3 3x12 36
=
=
=
= 2,769
6 + 3 + 4 13
13
13
12
12
Se tivermos dados tabelados podemos calcular através de:
n
Xh =
åf
i =1
n
i
fi
åX
i =1
f1 + f 2 + ... + f n
f
f1
f
+ 2 + ... + n
X1 X 2
Xn
=
i
Exemplo: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:
Classes
fi
Xi
fi / Xi
1
3
2
2
2/2=1
3
5
4
4
4/4=1
5
7
8
6
8/6=1,33
7
9
4
8
4/8=0,5
9
11
2
10
2/10=0,2
20
X
4,03
Total
n
Xh =
åf
i =1
n
i
fi
åX
i =1
=
20
= 4,96
4,03
i
Obs.:
ÞA média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.
ÞA igualdade X g = X h = X só ocorrerá quando todos os valores da série forem
iguais.
ÞDeve-se observar esta propriedade entre as medias X ³ X g ³ X h
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9.4 Mediana
A mediana ( Md ) de um conjunto de valores, dispostos segundo uma
ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o
separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
9.4.1 A mediana em dados não tabelados
Dada uma série de valores, por exemplo:
{ 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o
da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a
Md = 9 .
Se a série dada tiver número par ou ímpar de termos, o valor mediano
será o termo de ordem dado pela fórmula:
PMd =
n +1
2
Exemplos: a) Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
Primeiramente temos que ordenar a serie { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }
n = 9 , logo
n + 1 9 + 1 10
=
=
= 5 , ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a
2
2
2
mediana.
Portanto a mediana será o elemento 2, isto é, Md = 2 .
.
b) Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }
Primeiramente temos que ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }
10 + 1 11
n = 10 , logo a
= = 5,5 , ou seja, a mediana será a média aritmética do 5º e 6º
2
2
2+3
termos da série, portanto
= 2,5 .
2
Portanto a mediana será 2,5, isto é, Md = 2,5 .
.Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá
coincidência da mediana com um dos elementos da série. Quando o número de
elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com
um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2
elementos centrais da série.
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Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o
mesmo valor.
A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série
ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se
deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a X = 10 e Md = 10 ; já em { 5, 7, 10, 13, 65 } a
X = 20 e Md = 10 , isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a
do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana
permanece a mesma.
9.4.2 A mediana em dados tabelados
Temos que considerar dois casos nos dados tabelados, o primeiro sem
intervalo de classe e o segundo com intervalo de classe.
9.4.2.1 Sem intervalos de classe
Neste
caso,
é
o
bastante
identificar
a
freqüência
acumulada
imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele
valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.
Quando o somatório das freqüências for par ou ímpar o valor mediano
será o termo de ordem dado pela fórmula:
PMd
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
= è i =1 ø
2
Exemplos: a) Dada a tabela abaixo determine a mediana.
Variável (Xi)
Freqüência (fi )
Fi
0
2
2
1
6
8
2
9
17
3
13
30
4
5
35
Total
35
X
Como o somatório das freqüências foi 35 a fórmula ficará:
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æ n ö
ç å fi ÷ +1
35 + 1 36
PMd = è i =1 ø
=
=
= 18 , ou seja, o 18º termo é a nossa mediana, portanto
2
2
2
Md = 3 .
b) Calcule a mediana dos dados da tabela abaixo.
Variável (Xi)
Freqüência (fi )
Fi
12
1
1
14
2
3
15
1
4
16
2
6
17
1
7
20
1
8
Total
8
X
Como o somatório das freqüências foi 8 a fórmula ficará:
PMd
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
8 +1 9
= è i =1 ø
=
= = 4,5 , ou seja, a mediana se encontra entre o 4º e o 5º
2
2
2
termo e será a média aritmética destes termos, portanto
15 + 16
= 15,5 . Portanto
2
a mediana é Md = 15,5 .
9.4.2.2 Com intervalos de classe
Devemos seguir os seguintes passos:
a) Determinamos as freqüências acumuladas;
n
åf
b) Calculamos
i =1
2
i
;
c) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada, pois tal classe será
a classe mediana;
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d) Calculamos a mediana pela seguinte fórmula:.
æ n
ö
ç å fi
÷
ç i =1 - F ÷.h
ant
ç 2
÷
ç
÷
ø ,
Md = li + è
f i med
onde li é o limite inferior da classe mediana; Fant é a freqüência acumulada da
classe anterior à classe mediana; h é a amplitude do intervalo da classe mediana e
fi
med
é a freqüência absoluta da classe que contém a mediana.
Exemplo: Dada a tabela abaixo determine a mediana.
Classes
Freqüência (fi )
Fi
50
54
4
4
54
58
9
13
58
62
11
24
62
66
8
32
66
70
5
37
70
74
3
40
40
X
Total
n
åf
i
40
= 20 , logo a classe mediana será (58
2
2
isso determinamos li = 58 , Fant = 13 , f i med = 11 e h = 4 .
Calculamos
i =1
=
62). Com
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
æ n
ö
ç å fi
÷
ç i =1 - F ÷.h
ant
ç 2
÷
ç
÷
ø = 58 + (20 - 13)4
Md = li + è
f i med
11
7 x4
= 58 + 2,55 = 60,55
11
Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição,
isto significa, que tem 20 valores antes e 20 valores depois de 60,55.
Md = 58 +
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Emprego da Mediana
Þ Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais.
Þ Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média
aritmética.
Þ Quando a variável em estudo é salário.
9.5 Moda
A moda ( Mo ) é, por definição, o valor mais freqüente dos dados. Assim
para dados não agrupados ou para tabelas de freqüência de dados discretos basta
localizar o valor de maior freqüência, e este será a moda.
Se num conjunto de dados existir somente um valor que se repita mais, se
dirá que a moda é unimodal, se houver 2 valores que se repitam na mesma
quantidade diremos que é bimodal, se houver 3 ou mais valores que se repitam na
mesma quantidade diremos que plurimodal ou multimodal. Caso não haja valores
que se repitam diremos que é amodal.
Exemplos: a) Considere os seguintes dados {1, 4, 5, 4, 3, 2, 5, 7, 1, 5, 5}
Primeiramente ordenamos os dados para facilitar a nossa visualização.
{1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7}
Portanto neste exemplo a moda é Mo = 5 .
b) Considere a seguinte tabela de freqüências para dados discretos.
Ocorrências
fi
Neste caso basta observarmos qual a
0
2
maior freqüência e a moda será o valor que tem esta
2
3
freqüência. No nosso exemplo, a maior freqüência é
3
5
4
4
5 e o valor associado a ela é 3 logo nossa moda é
Mo = 3 .
Caso tenhamos dados contínuos o cálculo da moda é um pouco mais
complicado. Procedemos da seguinte forma:
a) Definimos qual a classe que tem maior freqüência. Esta classe é chamada classe
modal;
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b) Calculamos a moda com a fórmula (moda de Czuber)
ìD1 = f Mo - f ant
æ D1 ö
÷÷.h Þ í
Mo = l Mo + çç
,
è D1 + D 2 ø
îD 2 = f Mo - f pos
onde lMo é o limite inferior da classe modal; f Mo é a freqüência absoluta da classe
modal; f ant é a freqüência absoluta da classe anterior a classe modal; f pos é a
freqüência absoluta da classe posterior a classe modal e h é a amplitude do
intervalo de classe.
Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências
Classes
fi
0
2
1
2
4
3
4
6
4
6
8
2
Primeiramente localizamos a classe de
maior freqüência. A classe é 4
6. A amplitude de
classe é 2, logo calculamos a moda através da
equação:
æ D1 ö
æ
ö
4-3
÷÷.h = 4 + çç
÷÷.2
Mo = l Mo + çç
è (4 - 3) + (4 - 2 ) ø
è D1 + D 2 ø
2
æ 1 ö
Mo = 4 + ç
÷.2 = 4 + = 4,67
3
è1+ 2 ø
9.6 Separatrizes
Como vimos à mediana caracteriza uma série de valores devido à sua
posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante
quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo
número de valores.
Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que,
consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão
ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam
em sua posição na série. Essas medidas – os quartis e os percentis – são
juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
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9.6.1 Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro
partes iguais.
Há, portanto, três quartis:
O primeiro quartil ( Q1 ) é o valor situado de tal modo na série que separa
os primeiros 25% dos 75% restantes.
O segundo quartil ( Q2 ) é o valor situado de tal modo na série que
separa em duas partes iguais, isto é, temos então a mediana.
O terceiro quartil ( Q3 ) é o valor situado de tal modo na série que separa
os primeiros 75% dos 25% restantes.
9.6.1 Quartis sem intervalo de classes
Procedimento no caso de dados brutos:
a) Colocam-se os dados em ordem (rol);
b) Calcula-se a posição do quartil através da formula:
n
PQi = i. ,
4
onde i é o número do quartil e n é o número de observações;
c) O quartil será o valor que ocupa, no rol, a posição calculada anteriormente.
9.6.2 Quartis com intervalo de classes
Devemos seguir os seguintes passos:
n
åf
i
n
a) Calcula-se a posição do quartil a través de PQi = i. i =1 = i. ;
4
4
b) O quartil estará localizado na classe onde, pela primeira vez, Fi ³ PQi , onde Fi é a
freqüência absoluta acumulada;
c) Para encontrar o valor do quartil aplica-se a seguinte fórmula:
(PQi - Fant ).h ,
Qi = li +
f Qi
onde li é o limite inferior da classe que contém o respectivo quartil; Fant é a
freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o quartil; h é a
amplitude do intervalo da classe que contém o quartil e f Qi é a freqüência absoluta
da classe que contém o quartil.
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Exemplo:
Estaturas (cm)
fi
Fi
150
154
4
4
154
158
9
13
158
162
11
24
162
166
8
32
166
170
5
37
170
174
3
40
40
X
Total
Ü
Q1
Ü
Q3
Primeiro quartil
Temos:
n
åf
PQ1 = i. i =1
4
Q1 = li +
i
(P
Qi
= 1.
40
= 10
4
- Fant ).h
f Qi
= 154 +
(10 - 4)4 = 154 + 24 = 154 + 2,66 = 156,66
9
9
Q1 = 156,66 cm
Terceiro quartil
Temos:
n
åf
PQ 3 = i. i =1
4
Q3 = li +
i
(P
Qi
= 3.
40
= 30
4
- Fant ).h
f Qi
= 162 +
(30 - 24)4 = 162 + 24 = 162 + 3 = 165
8
8
Q3 = 165 cm
9.6.2 Percentis
Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma
série em 100 partes iguais.
Indicamos por P1 , P2 , ..., P32 , P99 .
É evidente que P50 = Md , P25 = Q1 e P75 = Q3 .
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29
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Para encontrar o valor do percentil desejado, procede-se como no caso
dos quartis, sendo que para o cálculo da posição do percentil, a fórmula será:
n
åf
i
n
PPi = i. i =1 = i.
,
100
100
onde i é o número do percentil e n é o número de observações.
Para encontrar o valor de percentil quando os dados estão agrupados em
classe, a fórmula será:
Pi = li +
(PPi - Fant ).h ,
f Pi
onde li é o limite inferior da classe que contém o respectivo percentil; Fant é a
freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o percentil; h é a
amplitude do intervalo da
classe que contém o percentil e f Pi é a freqüência
absoluta da classe que contém o percentil.
Exemplo:
Estaturas (cm)
fi
Fi
150
154
4
4
154
158
9
13
158
162
11
24
162
166
8
32
166
170
5
37
170
174
3
40
40
X
Total
Ü
P8
Oitavo percentil
Temos:
n
PP `8 = i.
åf
P8 = li +
i =1
i
100
= 8.
40
= 3,2
100
(PPi - Fant ).h = 150 + (3,2 - 0)4 = 150 + 12,8 = 150 + 3,2 = 153,2
P8 = 153,2 cm
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f Pi
4
4
30
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Exercícios
1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um
estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais
da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
2) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a)
b)
c)
xi
Fi
xi
fri
xi
fi
2
3
4
5
6
3
9
19
25
28
7
8
9
10
11
1/16
5/18
1/3
2/9
5/48
85
87
88
89
90
5
1
10
3
5
3) Das estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a
média.
Estaturas (cm)
145
No de alunos
150
150
2
155
155
10
160
160
27
165
165
38
170
27
170
175
21
175
180
8
180
185
7
4) Dada a distribuição abaixo determine a média
Classes
68
Fi
72
8
72
76
20
76
80
35
80
84
40
5) turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa
disciplina:
Turma A (40 alunos) – média 6,5
Turma B (35 alunos) – média 6,0
Turma C (35 alunos) – média 4,0
Turma D (20 alunos) – média 7,5
Determine a média geral.
6) Para cada item abaixo, determine a mediana.
a)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
c) 12, 7, 10, 8, 8
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93
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31
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7) Para cada distribuição determine a mediana:
a)
xi
73
75
77
79
81
fi
b)
2
10
12
5
2
xi
232
235
237
240
Fi
15
40
55
61
8) Para cada distribuição, determine a mediana:
a)
Classes
1
3
3
3
fi
5
5
5
7
7
8
9
6
22
25
18
fi
25
28
25
28
31
31
30
34
20
9) Para cada série, determine a moda:
a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10
b) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48
10) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
xi
72
75
78
80
fi
b)
8
18
28
38
xi
2,5
3,5
4,5
6,5
fi
7
17
10
5
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11
4
b)
Classes
9
11
13
3
32
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11) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
Classes
7
10
10
6
fi
13
13
10
16
16
15
19
19
10
22
5
b)
Classes
10
20
20
7
Fi
30
30
19
40
40
28
50
32
12) Para as distribuições:
a)
Classes
4
6
6
4
fi
Calcule P65 e Q1.
8
8
10
11
10
15
12
5
b)
Classes
20
30
30
3
Fi
Calcule P43 e Q3.
40
40
8
50
50
18
60
60
22
70
24
13) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em
certa rodovia:
N° de acidentes
0
1
2
3
4
N° de dias
20
15
10
5
3
Pede-se:
a) Determinar a média.
b) Determinar a mediana.
c) Determinar a moda.
d) Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?
14) Sendo:
Idade (anos)
N° de pessoas
10
14
15
14
18
28
18
22
40
22
26
26
30
a)Determine a média.
b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.
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30
20
30
34
15
34
38
10
38
42
5
33
Professor Mauricio Lutz
c) Determine a moda.
d) Calcular o trigésimo percentil.
e) determinar a medida que deixa ¼ dos elementos.
f) Calcular o percentil 80.
g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
15) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47, 18, 24.
Então, a mediana e a média são respectivamente:
a) 33 e 30
b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9
16) Considere o seguinte conjunto de dados: {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}. A média,
mediana e moda são respectivamente:
a) 4,5; 3,6; 6.
b) 5,0; 5,5; 5.
c) 5,0; 5,5; 6.
d) 5,1; 5; 5.
e) 5,2; 5,5; 5.
17) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
Notas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº de alunos
1
3
6
10
13
8
5
3
1
Calculando a nota mediana e modal obtemos respectivamente:
a) 25,5; 5.
b) 25; 13
c) 10; 5
d) 6; 6
e) 5; 6.
10 Medidas de dispersão
Suponha que estivéssemos observando dois grupos de alunos e anotando
os resultados dos mesmos em uma dada prova. Suponha ainda que os resultados
fossem:
Grupo 1 = {5, 5, 5, 5, 5}
Grupo 2 = {4, 5, 8, 7, 1}
Se calcularmos a média dos dois grupos vemos que ambos apresentam a
mesma média aritmética, 5, mas também vemos claramente que o conjunto de
dados provêm de grupos cujos resultados são bem diferentes.
A diferença entre um grupo e outro se encontra num fato que a média, assim
como qualquer outra medida de posição não pode perceber: a variabilidade dos
dados.
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Para caracterizar essas diferenças os estatísticos criaram as medidas de
dispersão, como a amplitude total (ou desvio extremo), desvio médio, variância (ou
desvio quadrático), desvio padrão e coeficiente de variação.
10.1 Amplitude total ou amplitude de variação ou desvio extremo (H)
É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da
primeira classe, ou a diferença entre o último e o primeiro elemento de um conjunto
de dados postos em ordem crescente.
H = Ln - l1
Exemplo: Suponha que temos o seguinte conjunto de dados {1; 2; 5; 3; 1; 7; 2; 5}.
Para esse caso a amplitude total é dada por
H = Ln - l1 = 7 - 1 = 6
Essa medida tem aplicações muito limitadas, pois só capta o que acontece com os
valores extremos, sendo completamente insensível aos valores intermediários.
10.2 Desvio Médio
Uma maneira muito interessante de perceber como os dados estão
dispersos é perceber como estão variando em torno da média. Uma forma de fazer
isso é com o desvio médio ( d ).
O desvio médio é definido como a média dos valores absolutos dos
desvios em relação à média aritmética, ou seja:
Dados não tabelados
Dados tabelados
n
d=
åX
i =1
i
n
å(f
n
-X
d=
i =1
i
Xi - X
n
åf
i =1
onde
)
i
X i é a i-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do
i-ésimo intervalo (caso contínuo); f i é a freqüência absoluta da i-ésima ocorrência
possível (caso discreto) ou da i-ésima classe (caso contínuo);
aritmética das observações e n é o número de observações.
Exemplo: Suponha que temos a seguinte tabela de freqüências.
Classes
Freqüência (fi )
0
2
1
2
4
3
4
6
2
6
8
1
Total
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7
X
é a média
Para facilitar a aplicação da expressão
do desvio médio, vamos criar algumas colunas
auxiliares na nossa tabela de freqüências, de
modo que nossa nova tabela é dada por:
35
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Classes
fi
Xi
X i . fi
Xi - X
X i - X . fi
0
2
1
1
1
2,86
2,86
2
4
3
3
9
0,86
2,58
6
2
5
10
1,14
2,28
8
1
7
7
3,14
3,14
7
X
27
X
10,86
4
6
Total
As colunas auxiliares são, na verdade, organização do processo aritmético
de cálculo da medida. Observe que para montar a 5ª coluna precisamos saber
quanto vale a média aritmética. Para tanto podemos usar as colunas 4 e 2 para
calcular. Nesse caso temos:
å(f
n
27
X=
= 3,86 , assim d =
7
i =1
Xi - X
i
)
n
åf
i =1
=
10,86
= 1,55 .
7
i
10.3 Variância ou desvio quadrático
Outra medida de dispersão em torno da média é a variância ( S 2 ) que é
definida como:
Dados não tabelados
Dados tabelados
å (X
n
S2 =
i =1
i
-X
)
å f (X
n
2
S2 =
n -1
i =1
i
-X
i
-1
n
åf
i =1
onde
i
)
2
X i é a i-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do
i-ésimo intervalo (caso contínuo); f i é a freqüência absoluta da i-ésima ocorrência
possível (caso discreto) ou da i-ésima classe (caso contínuo); X é a média
aritmética das observações e n é o número de observações.
O fato de dividirmos por n - 1 está relacionado ao fato de ser uma
amostra, caso fosse uma variância populacional seria somente n.
Exemplo: Retornemos ao exemplo anterior criando algumas colunas auxiliares na
nossa tabela de freqüências.
Classes
(
X i X i . fi X - X
i
) (X
i
- X
)2
(
fi X i - X
0
2
1
1
1
2,86
8,18
8,18
2
4
3
3
9
0,86
0,74
2,22
4
6
2
5
10
1,14
1,30
2,6
6
8
1
7
7
3,14
9,86
9,86
7
X
27
X
20,08
22,86
Total
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fi
)2
36
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å f (X
n
S2 =
i
i =1
i
-X
i
-1
n
åf
i =1
)
2
=
22,86
= 3,81
7 -1
10.3.1 Algumas propriedades da variância
a) Variância de dados constantes é zero;
b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a cada valor observado a
variância não será alterada, isto é, S 2 = (k ± X ) = S 2 ( X ) ;
c) Multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante k cada valor observado a
variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante, isto é,
S 2 = (k . X ) = k 2 .S 2 ( X ) .
10.4 Desvio padrão
Pelo fato de a variância ser uma medida que utiliza o quadrado dos
desvios em relação à média, sentiu-se a necessidade de uma medida que utilizasse
a mesma unidade dos dados. Esta medida é chamada desvio padrão (S).
O desvio padrão é definido tão somente como a raiz quadrada positiva da
variância.
S = S2
10.5 Coeficiente de Variação (CV)
É uma medida relativa de dispersão. Utilizada para fazer comparação da
dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias. Define-se
como:
CV =
S
X
Exemplo: Considere que tenhamos duas séries. A primeira com média 4 e desvio
padrão 1,5 e outra com média 3
e desvio padrão 1,3. Neste caso temos os
seguintes coeficientes de variação:
CV1 =
S 1,5
1,3
=
= 0,375 e CV2 =
= 0,43
X
4
3
Logo se conclui que a primeira série tem uma dispersão relativa em torno
da média menor que a segunda.
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Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média
pouco representativa. Valores menores que 50% implicam CV baixo e a média é tão
mais representativa quanto menor for o valor do CV .
11 Medidas de assimetria e curtose
Uma questão importante quanto à descrição dos dados é saber onde está a
maior concentração de valores (por exemplo se a maior concentração se dá antes
ou depois da média). Esta questão é respondida pelas medidas de assimetria.
Uma outra questão que podemos responder é: como se dá a concentração?
Muito acentuada ou não? Para essa pergunta utilizam-se os coeficientes de Curtose.
11.1 Assimetria
Assimetria é o grau de desvio ou afastamento que a curva de freqüência
apresenta em relação a uma curva simétrica.
Diz-se que uma distribuição é simétrica se obedece à seguinte condição
X = Md = Mo
Graficamente:
X = Md = Mo
Quando uma distribuição não é simétrica diz-se que é assimétrica. Neste
caso temos duas possibilidades:
Assimetria à direita ou positiva - Isso ocorre quando a maior concentração
dos dados está localizada abaixo da média, ou seja,
X > Md > Mo
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Graficamente:
Mo
Md
X
Assimetria à esquerda ou negativa - isso ocorre quando temos uma
concentração dos dados acima da média, ou seja,
X < Md < Mo
Graficamente:
X Md Mo
Uma medida estatística que caracteriza a assimetria é o coeficiente de
Pearson que é definido como
As =
X é a média aritmética;
Mo
X - Mo
, onde
S
é a moda e S é o desvio padrão.
Para essa medida temos o seguinte comportamento:
Se As = 0 Þ simétrica;
Se As < 0 Þ assimétrica à esquerda ou negativa;
Se As > 0 Þ assimétrica à direita ou positiva;
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11.2 Curtose
A curtose é uma medida de "achatamento" da distribuição. Se uma
distribuição é pouco achatada dizemos que é leptocúrtica. Quando a distribuição tem
um certo grau de achatamento dizemos que é mesocúrtica. Quando é muito
achatada diz-se que é platicúrtica..
Graficamente podemos representar como:
X
A medida estatística que caracteriza a Curtose é
K=
Q3 - Q1
, onde
2( P90 - P10 )
Q3 é o terceiro quartil ; Q1 é o primeiro quartil; Os quartis dividem um conjunto de
dados em quatro partes iguais. P90 é o percentil 90; P10 é o percentil 10; Percentil
são valores que dividem o conjunto das observações em 100 partes iguais.
Se
K = 0,263 Þ Mesocúrtica;
K > 0,263 Þ Platicúrtica;
K < 0,263 Þ Leptocúrtica.
Exercícios
1) Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10,12
a) Qual a amplitude total?
b) Determine o desvio médio?
c) Calcule a variância?
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2) Para a serie 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a) Construir a distribuição de freqüência.
b) Calcular a amplitude.
c) Determinar o desvio médio.
d) Calcular a variância populacional.
e) Determinar o desvio-padrão populacional.
f) Calcular o coeficiente de variação.
3) Calcular a variância amostral:
Classes
2
4
4
3
fi
6
6
5
8
8
8
10
10
6
12
3
4) Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:
Pontos
35
o
N de alunos
45
45
1
55
55
3
65
65
8
75
75
3
85
85
3
95
2
a) Calcular o desvio médio.
b) Determinar a variância populacional.
c) Determinar o desvio padrão.
d) Calcular o coeficiente de variação.
e) Determinar o coeficiente de assimetria (1o coeficiente de Pearson).
f) Calcular o coeficiente de curtose.
5) Abaixo temos a distribuição da freqüência dos pesos de uma amostra de 45
alunos:
Peso em Kg
o
N de alunos
40
45
45
4
50
10
50
55
15
a) Determinar a média.
b) Determinar a variância.
c) Qual é o valor do coeficiente de variação?
d) A distribuição é simetria?
e) A distribuição é mesocúrtica?
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55
60
8
60
65
5
65
70
3
41
Professor Mauricio Lutz
6) Sendo:
Classes
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
10
20
35
25
10
fi
Calcular a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, coeficiente de
assimetria e coeficiente de curtose.
7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura média de 160,6cm, com um desvio padrão
igual a 5,97cm. Outro Grupo B de 125 moças tem uma estatura média de 161,9cm,
sendo o desvio padrão igual a 6,01cm. Qual é o Grupo mais homogêneo e o
coeficiente de variação respectivamente:
a) Grupo A e 3,717.
b) Grupo B e 3,712
c) Grupo A e 3,715.
d) Grupo A e 3,700.
e) Grupo B e 3,717.
8) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8cm, com um
coeficiente de variação de 3,3%, portanto o desvio padrão desse grupo vale
a) 3,9352
b) 4,1254
c) 4,3045
d) 5,1032
e) 5,4054
9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão de 1,5 e
coeficiente de variação de 2,9%, logo o valor da média desta distribuição é
a) 48,5.
b) 49,8.
c) 50,9.
d) 51,7.
e) 52,3.
10) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: X = 48,1 ,
Mo = 47,5 e S = 2,12 , logo o valor do coeficiente de assimetria é
a) 0,283
b) 0,385
c) 0,435
d) 0,543
e) 0,678
11) Considere as seguintes medidas, relativas a uma distribuição de freqüência:
Distribuição
Q1
Q3
P10
P90
A
814
935
772
1012
Portanto o valor do grau de curtose e o tipo de curva são respectivamente:
a) 0,252 e platicúrtica.
b) 0,252 e leptocúrtica.
c) 0,255 e leptocúrtica.
d) 0,355 e mesocúrtica.
e) 0,358 e platicúrtica.
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42
Professor Mauricio Lutz
12 Representação gráfica de uma distribuição
A estatística gráfica consiste na utilização de estruturas geométricas,
cores, noções de proporção etc., para expor a informação contidas nos dados. A
filosofia é a mesma das tabelas: o máximo de informação no mínimo de espaço.
Tem com características o uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade,
clareza e veracidade. Podem ser de dois tipos:
A Þ Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público
em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos
tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As
legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam
presentes.
B Þ Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho
estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de
ser
também
informativos.
Os
gráficos
de
análise
freqüentemente
vêm
acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto
explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo
gráfico.
Temos que ter cuidado para evitar o uso indevido de gráficos, que
podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando
mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção
de escalas.
Os gráficos podem ser classificados em gráficos de barras, colunas,
histogramas e polígonos de freqüências entre outros.
10.1 Gráfico em colunas ou em barras
É a representação de uma série por meios de retângulos, dispostos
verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são
proporcionais aos respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos
são proporcionais aos respectivos dados.
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43
Professor Mauricio Lutz
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos
retângulos e os dados estatísticos.
Exemplo:
Construção de Aeronaves Brasil – 1984-89
Anos
Unidades
1984
184
1985
171
1986
167
1987
203
1988
199
1999
197
Fonte: EMBRAER
a) Gráfico em colunas
b) Gráfico em barras
Construção de Aeronaves Brasil - 1984-89
Construção de Aeronaves Brasil - 1984-89
225
1989
200
1988
150
Anos
Unidades
175
125
100
75
1987
1986
1985
50
1984
25
0
1984
1985
1986
1987
1988
0
1989
25
50
75
100
125
150
175
200
225
Unidades
Anos
Fonte: EMBRAER
Fonte: EMBRAER
10.2 Gráfico em colunas ou em barras múltiplas
Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos
representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito
de comparação.
Exemplo:
Balança comercial Brasil – 1984-88
Valor (US$ 1.000.000)
Especificação
1984
1985
1986
1987
1988
Exportação
27.005
25.639
22.348
26.224
33.789
13.916
13.153
14.044
15.052
14.605
(FOB)
Importação
Fonte: Ministério da Economia
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44
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a) Gráficos em colunas múltiplas
b) Gráfico em barras múltiplas
Balança Comercial Brasil - 1984-88
Balança Comercial Brasil - 1984-88
40.000
1988
35.000
1987
25.000
Anos
US$ milhão
30.000
20.000
1986
15.000
1985
10.000
5.000
1984
0
1984
1985
1986
1987
1988
0
5.000
10.000
15.000
Anos
exportação
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
US$ milhão
importação
exportação
Fonte: Ministério da Economia
importação
Fonte: Ministério da Economia
10.3 Histograma
É um gráfico de colunas justapostas, cujas alturas são proporcionais às
freqüências absolutas e cujas bases correspondem ao intervalo de classe da
distribuição.
Exemplo:
Notas dos alunos da Classe A
Notas
Freqüência
Freqüência
Acumulada
0,0
1,7
5
5
1,7
3,4
6
11
3,4
5,1
6
17
5,1
6,8
1
18
6,8
8,5
4
22
8,5
10,2
3
25
25
X
Total
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
Notas dos alunos da Classe A
7
Números de alunos
6
5
4
3
2
1
0
0,85
2,55
4,25
5,99
Ponto médio da classe
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
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7,65
9,35
45
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10.4 Polígono de freqüências
É um gráfico de linha, cujos vértices são proporcionais às freqüências
absolutas e correspondem aos pontos médios das classes da distribuição.
O gráfico consiste na ligação dos pontos cartesianos formados pelos
pontos médios das classes e as freqüências por linhas poligonais.
Os pontos inicial e final do gráfico são pontos médios das classes que
existiriam antes da primeira e depois da última classe real dos dados. Eles são
introduzidos para manter a proporcionalidade na representação dos dados.
Este gráfico também pode ser utilizado para representar freqüências
acumuladas. Neste caso usam-se os pontos finais da classe como referência, ao
invés dos pontos médios.
Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior temos:
a) Polígono de freqüência da freqüência absoluta
Notas dos alunos da Classe A
7
Número de alunos
6
5
4
3
2
1
0
-0,85
0,85
2,55
4,25
5,99
7,65
9,35
11,1
Ponto médio da classe
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
b) Polígono de freqüência da freqüência acumuladas
Notas dos alunos da Classe A
30
Número de alunos
25
20
15
10
5
0
0
1,7
3,4
5,1
6,8
Limite superior da classe
Fonte: Escola Estadual Olavo Bilac
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8,5
10,2
46
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Exercícios
1) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na Grande São Paulo,
medida nos meses de abril, segundo o Dieese:
RECORDE NA GRANDE SÃO PAULO
Taxa de desemprego nos meses de abril - em %
22
20,4
20,3
20
18,8
18,6
18
17,7
16,1
15,9
16
15,9
15,3
15,5
14,2
14
13,5
13,1
12
11,6
10
10,4
10,3
10,6
8,9
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
1994
1993
1992
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
8
Fonte: Dieese
Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de
desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de:
a) abril de 1985 a abril de 1986.
b) abril de 1989 a abril de 1990.
c) abril de 1995 a abril de 1996.
d) abril de 1997 a abril de 1998.
e) abril de 2001 a abril de 2002.
2) Uma pessoa com 83kg, considerando-se obesa, consulta um nutricionista e
é aconselhada a fazer uma dieta para perder 0,5kg por semana. O gráfico
seguinte apresenta a situação real do emagrecimento, durante as quatros
primeiras semanas da dieta.
semanas
início
83,5
83
82,5
82
81,5
81
kg
80,5
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80
(1) semana
(2) semana
(3) semana
(4) semana
47
Professor Mauricio Lutz
A análise do gráfico mostra que:
a) ao final da primeira semana, tinha perdido menos de 1kg;
b) na segunda semana, não perdeu “peso”;
c) ao final da terceira semana, tinha perdido 1kg;
d) ao final da quarta semana, perdeu mais de 2kg;
e) na terceira e quarta semanas, a dieta não deu o resultado previsto.
3) O gráfico a seguir mostra saldos anuais da transferência de capitais entre
América Latina/Caribe e os países desenvolvidos, em bilhões de dólares.
Valores positivos indicam saldos favoráveis à América Latina/Caribe.
16,0
15,5
13,1
11,3
9,0
-18,7
-22,8
-26,9
-31,6
1977
1978
1979
1980
1981
1982
-32,3
1983
1984
1985
1986
De acordo com o gráfico, no período de 1977 a 1986, o saldo total é:
a) 42.800.000 dólares a favor da América Latina/Caribe.
b) 42.800.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.
c) 67.400.000.000 dólares a favor da América Latina/Caribe.
d) 67.400.000.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.
e) 72.300.000.000 dólares a favor dos países desenvolvidos.
4) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no
período 1985-1996, realizado pelo Seade-Dieese, apresentou o seguinte
gráfico sobre taxa de desemprego.
Médias anuais da taxa de desemprego total
Grande São Paulo
16,0%
1985 - 1996
14,0%
12,0%
10,0%
8,0%
6,0%
85
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86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
48
Professor Mauricio Lutz
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado:
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%;
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período;
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente;
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%;
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e
1991.
5) O histograma abaixo apresenta a distribuição de freqüência das faixas
salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir
que a média desses salários é, aproximadamente:
Núme ro de
funcionários
16
14
12
10
8
6
4
2
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
Salário (em R$)
a) R$ 420,00
b) R$ 536,00
c) R$ 562,00
d) R$ 640,00
e) R$ 708,00
6) Os dados abaixo referem-se à origem do petróleo consumido no Brasil em
dois diferentes anos.
Origens do consumo em 1990
(em % )
Origens do consumo em 2002
(em % )
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
Produção Interna
Importação
Produção Interna
Origens das importações em 1990
(milhares de barris)
Catar
Irã
Iraque
Arábia Saudita
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Importação
Origens das importações em 2002
(milhares de barris)
Iraque
37
Arábia Saudita
100
150
158
Argélia
Nigéria
33
60
77
114
49
Professor Mauricio Lutz
Analisando os dados, pode-se perceber que o Brasil adotou determinadas
estratégias energéticas, dentre as quais podemos citar:
a) a diminuição das importações dos países muçulmanos e a redução do
consumo interno.
b) a redução da produção nacional e diminuição do consumo do petróleo
produzido no Oriente Médio.
c) a redução da produção nacional e o aumento das compras de petróleo dos
países árabes e africanos.
d) o aumento da produção nacional e redução do consumo de petróleo vindo
dos países do Oriente Médio.
e) o aumento da dependência externa de petróleo vindo de países mais
próximos do Brasil e redução do consumo interno.
veículos (%)
7) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a
velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam
em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade
permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a
elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com a sua
velocidade aproximada.
45
40
40
35
30
30
25
20
15
15
10
6
5
3
5
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
velocidade (km/h)
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:
a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h
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50
Professor Mauricio Lutz
Gabarito distribuições de freqüências
1)Dados o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os elementos em
classe e elaborar uma tabela de distribuição de freqüências (freqüência,
freqüência acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada) .
33
50
61
69
80
35
52
64
71
81
35
53
65
73
84
39
54
65
73
85
41
55
65
74
85
41
55
66
74
88
42
57
66
76
89
45
59
66
77
91
47
60
67
77
94
48
60
68
78
97
Amplitude total: H = Ln - l1 = 97 - 33 = 64
Número de classes: n(k ) = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 50 = 6,6 @ 7
Intervalo de classe: h =
H 64
=
= 9,14 @ 10
k
7
Classes
Xi
Freqüências (fi)
Fi
fri (%)
Fri (%)
33
43
38
7
7
0,14
0,14
43
53
48
5
12
0,10
0,24
53
63
58
9
21
0,18
0,42
63
73
68
11
32
0,22
0,64
73
83
78
10
42
0,20
0,84
83
93
88
6
48
0,12
0,96
93
103
98
2
50
0,04
1
Total
50
1
2) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) Construir a distribuição de freqüência;
b) Determinar as freqüências relativas;
c) determinar as freqüências acumuladas;
d) Qual é a amplitude amostral;
e) Qual a percentagem de elementos maiores que 5.
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Xi
Freqüências (fi)
fri (%)
Fi
Fri (%)
3
1
0,05
1
0,05
4
3
0,15
4
0,20
5
5
0,25
9
0,45
6
6
0,30
15
0,75
7
4
0,20
19
0,95
8
1
0,05
20
1
Total
20
1
51
Professor Mauricio Lutz
d) H = 8 - 3 = 5
e) 0,30 + 0,20 + 0,05 = 0,55 = 55%
3) Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos
(dadas em cm):
151
161
166
168
169
170
173
176
179
183
152
162
166
168
169
170
173
176
179
182
154
163
166
168
169
171
174
176
180
183
155
163
167
168
169
171
174
177
180
184
158
163
167
168
169
171
174
177
180
185
159
164
167
168
170
171
175
177
180
186
159
165
167
168
170
172
175
177
181
187
160
165
167
168
170
172
175
178
181
188
161
165
168
169
170
172
175
178
181
190
Pede-se determinar:
a) A amplitude amostral = H = 190 - 151 = 39
b) O número de classes = n(k ) = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log100 = 7,6 @ 8
c) A amplitude das classes = h =
H 39
=
= 4,875 @ 5
k
8
d) Os limites das classes;
e) As freqüências absolutas das classes;
f) As freqüências relativas;
g) Os pontos médios das classes;
h) A freqüência acumulada.
Limite das classes
Freqüências (fi)
fri (%)
Fi
151
156
153,5
4
0,04
4
156
161
158,5
4
0,04
8
161
166
163,5
11
0,11
19
166
171
168,5
33
0,33
52
171
176
173,5
17
0,17
69
176
181
178,5
17
0,17
86
181
186
183,5
9
0,09
95
186
191
188,5
5
0,05
100
100
1
Total
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Xi
161
166
168
169
170
173
176
178
182
190
52
Professor Mauricio Lutz
4) As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
6,0
8,0
2,0
4,0
0,0
7,0
5,0
4,5
2,0
8,5
5,5
4,0
6,5
6,0
5,0
1,0
5,0
4,5
7,0
5,5
3,5
0,0
1,5
3,5
4,0
6,5
5,0
2,5
7,0
6,0
5,0
4,5
Determinar:
a) O rol;
0,0
3,5
5,0
6,0
0,0
4,0
5,0
6,5
1,0
4,0
5,0
6,5
1,5
4,0
5,0
7,0
2,0
4,5
5,5
7,0
2,0
4,5
5,5
7,0
2,5
4,5
6,0
8,0
3,5
5,0
6,0
8,5
b) As distribuições de freqüências (variável contínua).
Classes
0,0
Freqüências (fi)
1,5
1,5
3
3,0
4
3,0
4,5
4,5
6,0
5
6,0
10
7,5
8
7,5
9,0
2
c) O maior e o menor graus;
8,5 e 0,0
d) A amplitude total = H = 8,5 - 0,0 = 8,5
e) Qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4.
9 / 32 = 0,28125 = 28,125%
f) Qual o limite superior da segunda classe = 3,0
g) Qual o ponto médio da quarta classe = x4 =
4,5 + 6,0
= 5,25
2
h) Qual o ponto médio da terceira classe = x3 =
3,0 + 4,5
= 3,75
2
5) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
69
65
60
67
57
76
81
68
72
60
71
53
54
49
67
75
93
74
63
65
68
59
64
58
72
66
53
80
58
83
73
60
64
70
81
63
62
45
50
53
Construir a tabela de distribuição de freqüência , dado log40=1,6.
Rol
45
59
65
72
H = 93 - 45 = 48
49
60
66
73
50
60
67
74
53
60
67
75
53
62
68
76
n(k ) = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 6,28 @ 7
h=
H 48
=
= 6,857 @ 7
k
7
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
53
63
68
80
54
63
69
81
57
64
70
81
58
64
71
83
58
65
72
93
53
Professor Mauricio Lutz
Limite das classes
Xi
Freqüências (fi)
fri (%)
Fi
Fri (%)
45
52
48,5
3
0,075
3
0,075
52
59
55,5
7
0,175
10
0,250
59
66
62,5
11
0,275
21
0,525
66
73
69,5
10
0,250
31
0,775
73
80
76,5
4
0,100
35
0,875
80
87
83,5
4
0,100
39
0,975
87
94
90,5
1
0,025
40
1
40
1
Total
6) Completar os dados que faltam:
Valores
Freqüências (fi)
Fi
fri (%)
1
4
4
0,08
2
4
8
0,08
3
8
16
0,16
4
7
23
0,14
5
5
28
0,10
6
10
38
0,20
7
7
45
0,14
8
5
50
0,10
7) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84
74
59
67
65
68
71
80
41
94
33
81
41
78
66
52
91
50
56
48
47
65
53
94
39
73
55
65
35
69
68
57
76
45
89
61
35
85
55
98
73
85
73
64
42
77
88
60
74
54
Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da
primeira classe e 10 para intervalo de classe.
Rol
33
50
61
71
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
35
52
64
73
35
53
65
73
39
54
65
73
41
55
65
74
41
55
66
74
42
56
67
76
45
57
68
77
47
59
68
78
48
60
69
80
54
Professor Mauricio Lutz
81
84
85
85
Limite das classes
88
89
91
94
94
98
Xi
Freqüências (fi)
fri (%)
Fi
Fri (%)
30
40
35
4
0,08
4
0,08
40
50
45
6
0,12
10
0,20
50
60
55
9
0,18
19
0,38
60
70
65
11
0,22
30
0,60
70
80
75
9
0,18
39
0,78
80
90
85
7
0,14
46
0,92
90
100
95
4
0,08
50
1
50
1
Total
8) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6
5
2
6
4
3
6
2
6
5
1
6
3
3
5
1
3
6
3
4
5
2
4
2
3
5
1
2
3
5
5
1
4
3
4
6
2
5
6
1
5
6
2
4
6
1
5
2
4
3
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe
Rol
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
4
4
4
4
4
4
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
2
3
3
5
6
5
6
5
6
Limite das classes
Freqüências (fi)
fri (%)
Fi
Fri (%)
1
6
0,12
6
0,12
2
8
0,16
14
0,28
3
9
0,18
23
0,46
4
7
0,14
30
0,60
5
10
0,20
40
0,80
6
10
0,20
50
0,80
Total
50
1
55
Professor Mauricio Lutz
9) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400
lotes:
Áreas (m2)
300
Nº de lotes
400
14
500
46
600
58
700
76
800
68
900
62
1000
48
1100
22
1200
6
Com referência a essa tabela, determine:
a) A amplitude total H = 1200 - 300 = 900
b) O limite superior da quinta classe = 800
c) O limite inferior da oitava classe = 1000
d) O ponto médio da sétima classe = x7 =
900 + 1000
= 950
2
e) A amplitude do intervalo da segunda classe = h = 500 - 400 = 100
f) A freqüência da quarta classe = 76
g) A freqüência relativa da sexta classe = Fri =
62
= 0,155 = 15,5%
400
h) A freqüência acumulada da quinta classe = Fi = 14 + 46 + 58 + 76 + 68 = 262
i) O número de lotes cuja área não atinge 700m2 = 14 + 46 + 58 + 76 = 194
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2 = 62 + 48 + 22 + 6 = 138
k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2
14 + 46 + 58 = 118
118
= 0,295 = 29,5%
400
l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2
48 + 22 + 6 = 76
76
= 0,19 = 19%
400
m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior a
1000m2
58 + 76 + 68 + 62 + 48 = 312
312
= 0,78 = 78%
400
n) A classe do 72º lote = 3a Classe
o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes = 5a Classe
14 + 46 + 58 + 76 + 68 = 262
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
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262
= 0,655 = 65,5%
400
56
Professor Mauricio Lutz
10) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70
motoristas de uma empresa de ônibus:
Nº de acidentes
0
1
2
3
4
5
6
7
Nº de motoristas
20
10
16
9
6
5
3
1
Determine:
a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente = 20 motoristas.
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes =
6 + 5 + 3 + 1 = 15
c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes =
20 + 10 + 16 = 46
d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes
9 + 6 + 5 = 20
e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes
20 + 10 + 16 = 46
46
= 0,65714 = 65,714%
70
Gabarito medidas de posição
1) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um
estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos
mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou na aprovado.
n
åX
7,5 + 8 + 3,5 + 6 + 2,5 + 2 + 5,5 + 4 39
=
= 4,875
n
8
8
Não foi aprovado.
X =
i =1
i
=
2) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a)
b)
c)
xi
Fi
fi
xi
fri
2
3
3
7
3
9
6
8
4
19
10
9
5
25
6
6
28
3
a)
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
fi
xi
fi
1/16
9
85
5
5/18
40
87
1
1/3
48
88
10
10
2/9
32
89
3
11
5/48
15
90
5
57
Professor Mauricio Lutz
n
X=
å X .f
i
i =1
i
åf
i =1
2.3 + 3.6 + 4.10 + 5.6 + 6.3 112
=
=4
3 + 6 + 10 + 6 + 3
28
=
n
i
b)
1
5
1
2
5
144. = 9 ; 144. = 40 ; 144. = 48 ; 144. = 32 ; 144. = 15
6
18
3
9
48
n
X=
å X .f
i
i =1
i
n
åf
i =1
=
7.9 + 8.40 + 9.48 + 10.32 + 11.15 1300
=
= 9,028
9 + 40 + 48 + 32 + 15
144
=
85.5 + 87.1 + 88.10 + 89.3 + 90.5 2109
=
= 87,875
5 + 1 + 10 + 3 + 5
24
i
c)
n
X=
å X .f
i
i =1
i
n
åf
i =1
i
3) Das estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a
média.
Estaturas (cm)
145
150
150
155
155
160
160
165
165
170
170
175
175
180
180
185
No de alunos
2
10
27
38
27
21
8
7
xi
147,5
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
182,5
n
X=
å X .f
i
i =1
n
åf
i =1
X=
i
=
147,5.2 + 152,5.10 + 157,5.27 + 162,5.38 + 167,5.27 + 172,5.21 + 177,5.8 + 182,5.7
2 + 10 + 27 + 38 + 27 + 21 + 8 + 7
i
23090
= 164,929
140
4) Dada a distribuição abaixo determine a média
Fi
2
10
27
38
xi
70
74
78
82
fi
8
12
15
5
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
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58
Professor Mauricio Lutz
n
X=
å X .f
i
i =1
i
n
åf
i =1
=
70.8 + 74.12 + 78.15 + 82.5 3028
=
= 75,7
8 + 12 + 15 + 5
40
i
5) turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa
disciplina:
Turma A (40 alunos) – média 6,5
Turma B (35 alunos) – média 6,0
Turma C (35 alunos) – média 4,0
Turma D (20 alunos) – média 7,5
Determine a média geral.
n
X=
å X .f
i
i =1
i
n
åf
i =1
=
40.6,5 + 35.6 + 35.4 + 20.7,5 760
=
= 5,846
40 + 35 + 35 + 20
130
i
6) Para cada item abaixo, determine a mediana.
a)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
n = 7 , logo
n +1 7 +1 8
=
= = 4 , ou seja, o 4º elemento da série ordenada será a
2
2
2
mediana.
Portanto a mediana será o elemento 4, isto é, Md = 4 .
.
b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
n +1 8 +1 9
=
= = 4,5 , ou seja, a mediana será a média aritmética do
2
2
2
4+6
4º e 5º termos da série, portanto
=5 .
2
Portanto a mediana será 5, isto é, Md = 5 .
.
c) 12, 7, 10, 8, 8
n = 8 , logo
Primeiramente temos que ordenar a serie { 7, 8, 8, 10, 12 }
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
59
Professor Mauricio Lutz
n = 5 , logo
n +1 5 +1 6
=
= = 3 , ou seja, o 3º elemento da série ordenada será a
2
2
2
mediana.
Portanto a mediana será o elemento 8, isto é, Md = 8 .
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93
Primeiramente temos que ordenar a serie { 82, 84, 86, 88, 91, 93 }
n +1 6 +1 7
=
= = 3,5 , ou seja, a mediana será a média aritmética do
2
2
2
86 + 88
3º e 4º termos da série, portanto
= 87 .
2
Portanto a mediana será 87, isto é, Md = 87 .
n = 6 , logo
7) Para cada distribuição determine a mediana:
a)
xi
73
75
77
79
81
fi
2
10
12
5
2
Fi
2
12
24
29
31
Como o somatório das freqüências foi 2 + 10 + 12 + 5 + 2 = 31 a fórmula
ficará:
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
31 + 1 32
PMd = è i =1 ø
=
=
= 16 , ou seja, o 16º termo é a nossa mediana,
2
2
2
portanto Md = 77 .
b)
xi
232
235
237
240
Fi
15
40
55
61
Como o somatório das freqüências foi 61 a fórmula ficará:
æ
ö
ç å fi ÷ +1
61 + 1 62
PMd = è i =1 ø
=
=
= 31 , ou seja, o 31º termo é a nossa mediana,
2
2
2
portanto Md = 235 .
n
8) Para cada distribuição, determine a mediana:
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
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60
Professor Mauricio Lutz
a)
Classes
1
3
3
5
5
7
7
9
9
11
11
13
fi
3
5
8
6
4
3
Fi
3
8
16
22
26
29
n
åf
3 + 5 + 8 + 6 + 4 + 3 29
=
= 14,5 , logo a classe mediana
2
2
2
7). Com isso determinamos li = 5 , Fiant = 8 , f i med = 8 e h = 2 .
i =1
Calculamos
será (5
i
=
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
æ n
ö
ç å fi
÷
ç i=1 - F ÷.h
ant
ç 2
÷
ç
÷
ø = 5 + (14,5 - 8).2
Md = li + è
f i med
8
Md = 6,625
Esta mediana é estimada, pois não temos os 29 valores da
distribuição, isto significa, que tem metade dos valores antes e metade depois
de 6,625.
b)
Classes
22
25
25
28
28
31
31
34
fi
18
25
30
20
Fi
18
43
73
93
n
åf
Calculamos
i =1
2
i
=
93
= 46,5 , logo a classe mediana será (28
2
Com isso determinamos li = 28 , Fiant = 43 , f i
med
= 30 e h = 3 .
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
æ n
ö
ç å fi
÷
ç i=1 - F ÷.h
ant
ç 2
÷
ç
÷
è
ø = 28 + (46,5 - 43).3
Md = li +
f i med
30
Md = 28,35
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RS – 377 km 27 – Passo Novo
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Fone/Fax: (55) 3421-9600
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31).
61
Professor Mauricio Lutz
Esta mediana é estimada, pois não temos os 93 valores da
distribuição, isto significa, que tem metade dos valores antes e metade depois
de 28,35.
9) Para cada série, determine a moda:
a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10
Moda = 7
b) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48
Primeiramente organizamos os dados:
40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 45, 47, 48
Moda = 43
10) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
72
75
78
80
8
18
fi
Moda = 80
28
38
3,5
4,5
6,5
7
17
fi
Moda = 3,5
10
5
xi
b)
2,5
xi
11) Para cada distribuição, determine a moda:
a)
Classes
7
10
10
13
13
16
16
19
19
22
fi
6
10
15
10
5
Fi
6
16
31
41
46
ìD1 = f Mo - f ant
æ D1 ö
÷÷.h Þ í
Mo = l Mo + çç
è D1 + D 2 ø
îD 2 = f Mo - f pos
é
13
equação:
Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe
16. A amplitude de classe é 3, logo calculamos a moda através da
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62
Professor Mauricio Lutz
ìD1 = f Mo - f ant = 15 - 10 = 5
í
îD 2 = f Mo - f pos = 15 - 10 = 5
æ D1 ö
æ 5 ö
÷÷.h = 13 + ç
Mo = lMo + çç
÷.3 = 14,5
è5+5ø
è D1 + D 2 ø
b)
Classes
10
20
20
30
30
40
40
50
Fi
7
19
28
32
fi
7
12
9
4
é
20
equação:
Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe
30. A amplitude de classe é 10, logo calculamos a moda através da
ìD1 = f Mo - f ant = 12 - 7 = 5
í
îD 2 = f Mo - f pos = 12 - 9 = 3
æ D1 ö
5 ö
÷÷.h = 20 + æç
Mo = l Mo + çç
÷.10 = 26,25
è5 + 3ø
è D1 + D 2 ø
12) Para as distribuições:
a)
Classes
4
6
4
fi
4
Fi
Calcule P65 e Q1.
6
8
8
10
10
12
11
15
5
15
30
35
Calculo do P65
Temos:
n
PP 65 = i.
åf
i =1
i
100
P65 = li +
= 65.
35
= 22,75
100
(PPi - Fant ).h = 8 + (22,75 - 15)2 = 9,033
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f Pi
15
63
Professor Mauricio Lutz
Primeiro quartil
Temos:
n
PQ1 = i.
åf
i =1
i
= 1.
4
(P
Q1 = li +
35
= 8,75
4
- Fant ).h
Qi
f Qi
=6+
(8,75 - 4)2 = 6,864
11
b)
Classes
20
30
30
3
Fi
3
fi
Calcule P43 e Q3.
40
40
50
50
60
60
70
8
18
22
24
5
10
4
2
Calculo do P43
Temos:
n
åf
PP 43 = i.
i =1
i
100
= 43.
24
= 10,32
100
(PPi - Fant ).h = 40 + (10,32 - 8)10 = 42,32
P43 = li +
f Pi
10
Terceiro quartil
Temos:
n
PQ 3 = i.
åf
i =1
Q3 = li +
i
4
(P
Qi
= 3.
24
= 18
4
- Fant ).h
f Qi
= 40 +
(18 - 8)10 = 50
10
13) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53
dias, em certa rodovia:
N° de acidentes
0
1
2
3
4
N° de dias
20
15
10
5
3
Pede-se:
a) Determinar a média.
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64
Professor Mauricio Lutz
b) Determinar a mediana.
c) Determinar a moda.
d) Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?
N° de acidentes
0
1
2
3
4
N° de dias
20
15
10
5
3
Fi
20
35
45
50
53
a)
n
X=
å X .f
i
i =1
i
n
åf
i =1
=
0.20 + 1.15 + 2.10 + 3.5 + 4.3 62
=
= 1,17
20 + 15 + 10 + 5 + 3
53
i
b) Como o somatório das freqüências foi 53 a fórmula ficará:
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
53 + 1 54
Md = è i=1 ø
=
=
= 27 , ou seja, o 27º termo é a nossa mediana,
2
2
2
portanto Md = 1 .
c) Moda = 0
d)
10 + 5 + 3
= 0,33963 = 33,963%
53
14) Sendo:
Idade (anos)
10
14
14
15
N° de pessoas
18
18
28
22
22
40
26
26
30
30
30
20
34
34
15
38
38
10
42
5
a)Determine a média.
b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.
c) Determine a moda.
d) Calcular o trigésimo percentil.
e) determinar a medida que deixa ¼ dos elementos.
f) Calcular o percentil 80.
g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
Idade (anos)
10
14
14
18
18
22
22
26
26
30
30
34
34
38
38
42
N° de pessoas
15
28
40
30
20
15
10
5
xi
12
16
20
24
28
32
36
40
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65
Professor Mauricio Lutz
15
Fi
43
83
113
133
148
158
163
a)
n
X=
åX .f
i
i =1
i
n
åf
i =1
=
12.15 + 16.28 + 20.40 + 24.30 + 28.20 + 32.15 + 36.10 + 40.5 3748
=
= 22,994
15 + 28 + 40 + 30 + 20 + 15 + 10 + 5
163
i
b) Calcular a mediana.
n
åf
i
163
= 81,5 , logo a classe mediana será (18
2
2
Com isso determinamos li = 18 , Fiant = 43 , f i med = 40 e h = 4 .
Calculamos
i =1
=
22).
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
æ n
ö
ç å fi
÷
ç i =1 - F ÷.h
ant
ç 2
÷
ç
÷
è
ø = 18 + (81,5 - 43).4
Md = li +
f i med
40
Md = 21,85
c) Primeiramente localizamos a classe de maior freqüência. A classe é 18
A amplitude de classe é 4, logo calculamos a moda através da equação:
ìD1 = f Mo - f ant = 40 - 28 = 12
í
îD 2 = f Mo - f pos = 40 - 30 = 10
æ D1 ö
æ 12 ö
÷÷.h = 18 + ç
Mo = lMo + çç
÷.4 = 20,182
è 12 + 10 ø
è D1 + D 2 ø
d) Calculo do P30
Temos:
n
PP 30 = i.
åf
i =1
i
100
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= 30.
163
= 48,9
100
22.
66
Professor Mauricio Lutz
(PPi - Fant ).h = 18 + (48,9 - 43).4 = 18,59
P30 = li +
f Pi
40
e) Primeiro quartil
Temos:
n
åf
PQ1 = i.
i =1
i
= 1.
4
(P
Q1 = li +
163
= 40,75
4
- Fant ).h
Qi
f Qi
= 14 +
(40,75 - 15)4 = 17,679
28
f) Calculo do P80
Temos:
n
PP80 = i.
åf
i =1
P30 = li +
g)
i
100
= 80.
163
= 130,4
100
(PPi - Fant ).h = 26 + (130,4 - 113).4 = 29,48
f Pi
20
40 + 30 + 20 + 15 + 10 + 5 120
=
= 0,7362 = 73,62%
163
163
15) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47,
18, 24. Então, a mediana e a média são respectivamente:
a) 33 e 30
b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9
Organizando os dados temos:
18, 18, 21, 23, 24, 24, 26, 37, 43, 47
n
X=
åX
i =1
n
i
=
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18 + 18 + 21 + 23 + 24 + 24 + 26 + 37 + 43 + 47 281
=
= 28,1
10
10
67
Professor Mauricio Lutz
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
10 + 1 11
Md = è i =1 ø
=
= = 5,5 , ou seja, a mediana será a média aritmética
2
2
2
24 + 24
do 5º e 6º termos da série, portanto
= 24 .
2
Portanto a mediana será 24, isto é, Md = 24 .
Gabarito letra B.
16) Considere o seguinte conjunto de dados: {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}. A
média, mediana e moda são respectivamente:
a) 4,5; 3,6; 6.
b) 5,0; 5,5; 5.
c) 5,0; 5,5; 6.
d) 5,1; 5; 5.
e) 5,2; 5,5; 5.
Organizando os dados temos:
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9
n
X=
åX
i =1
i
n
=
2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 8 + 9 51
= = 5,1
10
10
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
10 + 1 11
Md = è i =1 ø
=
= = 5,5 , ou seja, a mediana será a média aritmética
2
2
2
5+5
do 5º e 6º termos da série, portanto
=5 .
2
Portanto a mediana será 5, isto é, Md = 5 .
Moda = 5.
Gabarito letra D.
17) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte
distribuição:
Notas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº de alunos
1
3
6
10
13
8
5
3
1
Calculando a nota mediana e modal obtemos respectivamente:
a) 25,5; 5.
b) 25; 13
c) 10; 5
d) 6; 6
e) 5; 6.
Notas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº de alunos
1
3
6
10
13
8
5
3
1
Fi
1
4
10
20
33
41
46
49
50
Moda = 6.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
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68
Professor Mauricio Lutz
æ n ö
ç å fi ÷ + 1
50 + 1 51
Md = è i=1 ø
=
=
= 25,5 , ou seja, a mediana será a média aritmética
2
2
2
do 25º e 26º termos da série, portanto Md = 6 .
Gabarito Letra D.
Gabarito Medidas de dispersão, Assimetria e curtose
1) Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10,12
a) Qual a amplitude total?
H = Ln - l1 = 12 - 2 = 10
b) Determine o desvio médio?
n
åX
X =
i =1
i
n
n
d=
=
åX
i =1
i
2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 10 + 12 43
=
= 6,143
7
7
-X
=
n
2 - 6,143 + 3 - 6,143 + ... + 12 - 6,143 21,143
=
= 3,02
7
7
c) Calcule a variância?
å (X
n
S2 =
i =1
i
-X
)
n -1
2
=
(2 - 6,143)2 + (3 - 6,143)2 + ... + (12 - 6,143)2
7
=
82,857
= 13,81
6
2) Para a serie 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a) Construir a distribuição de freqüência.
Classes
5
6
7
8
9
Total
fi
3
4
6
3
2
18
xi - x
1,833
0,833
0,167
1,167
2,167
6,167
3,36
0,694
0,028
1,362
4,696
10,14
5,499
3,332
1,002
3,501
4,334
17,668
10,08
2,776
0,168
4,086
9,392
26,502
xi - x
2
f i xi - x
f i xi - x
2
b) Calcular a amplitude.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
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69
Professor Mauricio Lutz
H = Ln - l1 = 9 - 5 = 4
c) Determinar o desvio médio.
å (f
n
d=
i =1
Xi - X
i
n
åf
i =1
)
=
17,668
= 0,982 .
18
i
d) Calcular a variância populacional.
å f (X
n
S2 =
i
i =1
-X
i
n
åf
i =1
)
2
=
26,502
= 1,472
18
i
e) Determinar o desvio-padrão populacional.
S = S 2 = 1,472 = 1,213
f) Calcular o coeficiente de variação.
S 1,213
=
= 0,1775 = 17,75%
X 6,833
CV =
3) Calcular a variância amostral:
Classes
2
4
4
6
6
8
8
10
5
8
6
3
xi
3
5
7
9
11
xi - x
4,08
2,08
0,08
1,92
3,92
12,08
16,646
4,326
0,0064
3,686
15,366
40,03
49,938
21,63
0,0512
22,116
46,098
139,833
2
2
n
å X .f
i
i
n
åf
i =1
Total
3
f i xi - x
i =1
12
fi
xi - x
X=
10
i
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
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=
3.3 + 5.5 + 8.7 + 6.9 + 3.11 177
=
= 7,08
25
25
25
70
Professor Mauricio Lutz
å f (X
n
S2 =
i
-X
i
-1
i
i =1
n
åf
i =1
)
2
=
139,833
= 5,826
25 - 1
4) Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:
Pontos
35
o
45
45
55
55
65
65
75
75
85
85
95
Total
N de alunos
1
3
8
3
3
2
xi
40
50
60
70
80
90
xi - x
25
15
5
5
15
25
625
225
25
25
225
625
25
45
40
15
45
50
220
625
675
200
75
675
1250
3500
1
4
12
15
18
20
P10
Q1
Q3
P90
2
xi - x
f i xi - x
f i xi - x
2
Fi
n
å X .f
X=
i
i =1
i
=
n
åf
i =1
40.1 + 50.3 + ... + 90.2 1300
=
= 65
20
20
i
a) Calcular o desvio médio.
å(f
n
d=
i =1
Xi - X
i
)
n
åf
i =1
=
220
= 11
20
i
b) Determinar a variância populacional.
å f (X
n
S2 =
i =1
i
i
-X
n
åf
i =1
)
2
=
3500
= 175
20
i
c) Determinar o desvio padrão.
S = S 2 = 175 = 13,229
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
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20
71
Professor Mauricio Lutz
d) Calcular o coeficiente de variação.
CV =
S 13,229
=
= 0,2035 = 20,35%
X
65
e) Determinar o coeficiente de assimetria (1o coeficiente de Pearson).
As =
X - Mo 65 - 60
=
= 0,378
S
13,229
ìD1 = f Mo - f ant = 8 - 3 = 5
í
îD 2 = f Mo - f pos = 8 - 3 = 5
æ D1 ö
æ 5 ö
÷÷.h = 55 + ç
Mo = lMo + çç
÷.10 = 60
è5+5ø
è D1 + D 2 ø
f) Calcular o coeficiente de curtose.
K=
Q3 - Q1
75 - 56,25
=
= 0,256
2( P90 - P10 ) 2(85 - 48,333)
n
PQ1 = i.
å
i =1
n
å
20
= 1. = 5 PQ 3 = i. i=1
4
4
e
fi
4
fi
= 3.
20
= 15
4
Q1 = li +
(PPi - Fant ).h = 55 + (5 - 4 ).10 = 56,25
Q3 = li +
(PPi - Fant ).h = 65 + (15 - 12).10 = 75
f Pi
8
f Pi
3
n
åf
PP10
n
åf
i
20
20
i =1
= i.
= 10.
= 2 PP 90 = i.
= 90.
= 18
100
100
100
100
e
i =1
i
P10 = li +
(PPi - Fant ).h = 45 + (2 - 1).10 = 48,333
P90 = li +
(PPi - Fant ).h = 75 + (18 - 15).10 = 85
f Pi
3
f Pi
3
5) Abaixo temos a distribuição da freqüência dos pesos de uma amostra de 45
alunos:
Peso em Kg
o
N de alunos
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
40
45
4
45
50
10
50
55
15
55
60
8
60
65
5
65
70
3
Total
45
72
Professor Mauricio Lutz
xi
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
xi - x
11
6
1
4
9
14
121
36
1
16
81
196
44
60
15
32
45
42
196
484
360
15
198
405
588
2050
4
14
29
37
42
45
Q3
P90
xi - x
2
f i xi - x
2
f i xi - x
Fi
Q1P10
a) Determinar a média.
n
X=
å X .f
i
i =1
i
=
n
åf
i =1
42,5.4 + 47,5.10 + 67,5.3 2407,5
=
= 53,5
45
45
i
b) Determinar a variância.
å f (X
n
S2 =
i =1
i
i
-X
n
åf
i =1
)
2
=
2050
= 45,556
45
i
c) Qual é o valor do coeficiente de variação?
S = S 2 = 45,556 = 6,75
CV =
S 6,75
=
= 0,1262 = 12,62%
X 53,5
d) A distribuição é simetria?
As =
X - Mo 53,5 - 52,083
=
= 0,21
S
6,75
ìD1 = f Mo - f ant = 15 - 10 = 5
í
îD 2 = f Mo - f pos = 15 - 8 = 7
æ D1 ö
æ 5 ö
÷÷.h = 50 + ç
Mo = lMo + çç
÷.5 = 52,083
è5+7ø
è D1 + D 2 ø
Assimetria à direita ou positiva, pois As > 0 , portanto a distribuição
não é simétrica
e) A distribuição é mesocúrtica?
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
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73
Professor Mauricio Lutz
K=
Q3 - Q1
57,969 - 48,625
=
= 0,22
2( P90 - P10 ) 2(63,5 - 42,25)
n
PQ1 = i.
n
å
å
45
= 1. = 11,25 PQ 3 = i. i=1
4
4
e
fi
i =1
4
fi
= 3.
45
= 33,75
4
Q1 = li +
(PPi - Fant ).h = 45 + (11,25 - 4).5 = 48,625
Q3 = li +
(PPi - Fant ).h = 55 + (33,75 - 29).5 = 57,969
f Pi
10
f Pi
8
n
åf
PP10
n
åf
i
45
45
i =1
= i.
= 10.
= 4,5 PP 90 = i.
= 90.
= 40,5
100
100
100
100
e
i =1
i
P10 = li +
(PPi - Fant ).h = 45 + (4,5 - 4).5 = 45,25
P90 = li +
(PPi - Fant ).h = 60 + (40,5 - 37 ).5 = 63,5
f Pi
10
f Pi
5
A distribuição não é mesocúrtica pois K não é igual a 0,260.
6) Sendo:
Classes
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
Total
fi
10
20
35
25
10
xi
35
45
55
65
75
xi - x
20,5
10,5
0,5
9,5
19,5
420,25
110,25
0,25
90,25
380,25
205
210
17,5
237,5
195
865
4202,5
2205
8,75
2256,25
3802,5
12475
xi - x
2
f i xi - x
f i xi - x
2
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100
74
Professor Mauricio Lutz
10
Fi
30
65
90
100
P10
Q1
Q3P90
Calcular a média, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, coeficiente
de assimetria e coeficiente de curtose.
n
å X .f
X=
i
i =1
i
=
n
åf
i =1
i
å f (X
n
S2 =
i
i =1
10.35 + 20.45 + 35.55 + 25.65 + 10.75 5550
=
= 55,5
100
100
i
-X
n
åf
i =1
)
2
=
12475
= 124,75
100
i
S = S 2 = 124,75 = 11,17
CV =
As =
S 11,17
=
= 0,2013 = 20,13%
X 55,5
X - Mo 55,5 - 56
=
= -0,045
S
6,75
ìD1 = f Mo - f ant = 35 - 20 = 15
í
îD 2 = f Mo - f pos = 35 - 25 = 10
æ D1 ö
æ 15 ö
÷÷.h = 50 + ç
Mo = lMo + çç
÷.10 = 56
è 15 + 10 ø
è D1 + D 2 ø
K=
Q3 - Q1
64 - 47,5
=
= 0,275
2( P90 - P10 ) 2(70 - 40)
n
PQ1 = i.
åf
i =1
n
i
4
åf
100
= 1.
= 25 PQ 3 = i. i =1
4
4
e
i
= 3.
100
= 75
4
Q1 = li +
(PPi - Fant ).h = 40 + (25 - 10 ).10 = 47,5
Q3 = li +
(PPi - Fant ).h = 60 + (75 - 65).10 = 64
f Pi
f Pi
n
å
PP10
20
25
n
fi
å
100
100
i =1
= i.
= 10.
= 10 PP 90 = i.
= 90.
= 90
100
100
100
100
e
i =1
fi
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
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75
Professor Mauricio Lutz
P10 = li +
(PPi - Fant ).h = 30 + (10 - 0).10 = 40
P90 = li +
(PPi - Fant ).h = 60 + (90 - 65).10 = 70
f Pi
10
f Pi
25
7) Um Grupo A de 85 moças tem estatura média de 160,6cm, com um desvio
padrão igual a 5,97cm. Outro Grupo B de 125 moças tem uma estatura média
de 161,9cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01cm. Qual é o Grupo mais
homogêneo e o coeficiente de variação respectivamente:
a) Grupo A e 3,717. b) Grupo B e 3,712 c) Grupo A e 3,715.
d) Grupo A e 3,700. e) Grupo B e 3,717.
CV =
S
X
CV A =
S
5,97
=
= 3,717
X 160,6
CVB =
S
6,01
=
= 3,712
X 161,9
Alternativa correta é a letra B.
8) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8cm, com um
coeficiente de variação de 3,3%, portanto o desvio padrão desse grupo vale
a) 3,9352
CV =
b) 4,1254
c) 4,3045
d) 5,1032
e) 5,4054
S
S
Þ 0,033 =
Þ S = 5,4054
X
163,8
Alternativa correta é a letra E.
9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão de 1,5 e
coeficiente de variação de 2,9%, logo o valor da média desta distribuição é
a) 48,5.
CV =
b) 49,8.
c) 50,9.
d) 51,7.
e) 52,3.
S
1,5
Þ 0,029 =
Þ X = 51,7
X
X
Alternativa correta é a letra D.
10) Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: X = 48,1 ,
Mo = 47,5 e S = 2,12 , logo o valor do coeficiente de assimetria é
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
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76
Professor Mauricio Lutz
a) 0,283
As =
b) 0,385
c) 0,435
d) 0,543
e) 0,678
X - Mo 48,1 - 47,5
=
= 0,283
S
2,12
Alternativa correta é a letra A.
11) Considere as seguintes medidas, relativas a uma distribuição de
freqüência:
Distribuição
Q1
Q3
P10
P90
A
814
935
772
1012
Portanto o valor do grau de curtose e o tipo de curva são respectivamente:
a) 0,252 e platicúrtica.
b) 0,252 e leptocúrtica.
d) 0,355 e mesocúrtica.
e) 0,358 e platicúrtica.
K=
Q3 - Q1
935 - 814
=
= 0,252
2( P90 - P10 ) 2(1012 - 772)
K < 0,263 Þ Curva Leptocúrtica
Alternativa correta é a letra B.
Gabarito representação gráfica
1) d; 2) b; 3) d; 4)d;
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5)e;
6)d;
7)b;
c) 0,255 e leptocúrtica.