Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1
Código ECIV018
Código:
Professor: Eduardo Nobre Lages
Equilíbrio
q
de Corpos
p Rígidos
g
Maceió/AL
Objetivo
Estudo do equilíbrio de sistemas
de forças não concorrentes.
Background
F1
M1
F2
M2
F3
R
M
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Quando o sistema força-binário equivalente de todas as
ações atuantes no corpo, em relação a qualquer ponto de
referência, é nulo, o corpo está em equilíbrio.
Para um corpo em equilíbrio
equilíbrio, o sistema de forças não
causa qualquer movimento translacional ou rotacional ao
corpo considerado.
Algebricamente or equilíbrio
corresponde
a
r
r r
R=0 e M=0
que em termos
t
dos
d componentes
t retangulares
t
l
pode
d
ser expresso como
Rx = 0 , R y = 0 e Rz = 0
juntamente com
M x = 0, M y = 0 e M z = 0
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
A maioria dos problemas que tratam do equilíbrio de um
corpo rígido se enquadra em duas categorias:
• Verificação
Verificação:: quando todas as ações que atuam no corpo
rígido são conhecidas e se deseja saber se a condição de
equilíbrio é ou não atendida.
• Imposição
Imposição:: quando algumas das ações que atuam no
corpo rígido são desconhecidas, normalmente as
reações de apoio, e se deseja saber quem são essas
ações desconhecidas que garantem a condição de
equilíbrio.
ilíb i
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Para identificação da
situação física
f
real do
problema de equilíbrio
faz-se um esboço
conhecido como
diagrama espacial.
espacial
Alguns problemas podem ser estabelecidos:
• Quão resistentes devem ser os pilares?
• Quão resistente deve ser a viga?
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Para os problemas que envolvem o equilíbrio de
um corpo rígido
rígido, escolhe
escolhe-se
se uma porção
SIGNIFICATIVA e traça-se um diagrama separado,
denominado de diagrama de corpo livre,
livre
mostrando essa porção, todas as ações que
atuam sobre ela e as cotas (necessárias no
cálculo dos momentos das forças).
forças)
Equilíbrio de um Corpo
Rígido em Duas Dimensões
Consideração possível quando todas as forças atuantes
no corpo apresentam um plano comum para suas linhas
de ação, assim como os binários, existindo, estão na
direção perpendicular desse mesmo plano.
Tomando-se o plano das forças como o plano cartesiano
xy, todas as forças apresentam componente z nula.
Qualquer binário presente no sistema só apresenta
componente z não nula.
Para construção
P
t ã do
d sistema
i t
fforça-binário
bi á i
equivalente, tomando-se um ponto de referência
qualquer no plano das forças, só as equações
Rx = 0 , R y = 0 e M z = 0
precisam ser verificadas/impostas.
Reações de Apoio em
Duas Dimensões
Diagrama Espacial
R l t
Roletes
S
t
Suporte
basculante
Diagrama de Corpo Livre
Força com linha de ação
conhecida (perpendicular à
direção de deslizamento)
S
fí i sem
Superfície
atrito
Reações de Apoio em
Duas Dimensões
Diagrama Espacial
C
b curto
t
Cabo
H
t curta
t
Haste
Diagrama de Corpo Livre
Força com linha de ação
conhecida (na direção
do cabo/haste)
Reações de Apoio em
Duas Dimensões
Diagrama
g
Espacial
p
Cursor sobre
haste sem atrito
Pino deslizante
sem atrito
Diagrama de Corpo Livre
90º
Força com linha de ação
conhecida (perpendicular à
direção de deslizamento)
Reações de Apoio em
Duas Dimensões
Diagrama Espacial
Pino sem atrito
ou articulação
S
fí i
Superfície
rugosa
Diagrama de Corpo Livre
ou
Força de direção
desconhecida
Reações de Apoio em
Duas Dimensões
Diagrama Espacial
Engaste
Diagrama de Corpo Livre
Força de direção
desconhecida e binário
ou
Estaticidade de um
Arranjo Estrutural
Hipostática: O arranjo apresenta uma insuficiência na
vinculação, permitindo movimentos globais de
corpo rígido, possibilitando o equilíbrio apenas
de sistemas de forças particulares.
Estaticidade de um
Arranjo Estrutural
Isostática: O arranjo apresenta uma vinculação mínima
suficiente
f
para impedir qualquer movimento
global de corpo rígido, sendo as reações de
apoio determinadas exclusivamente através das
equações globais de equilíbrio.
3 componentes das
reações de apoio
Estaticidade de um
Arranjo Estrutural
Hiperestática: O arranjo apresenta uma vinculação mais do
que o suficiente
f
para não permitir
movimentos globais de corpo rígido, não
sendo possível a determinação de todas as
reações de apoio exclusivamente através
das equações globais de equilíbrio.
4 componentes das
reações de apoio
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
Exemplo:
p :
A
B
30º
20 m
Uma estrutura em arco treliçado é fixa ao suporte
articulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de
30º com a horizontal. O vão AB mede 20 m. O peso
próprio da estrutura é de 100 kN. A força resultante dos
ventos
t é de
d 20 kN
kN, e situa-se
it
a 4 m acima
i
d
de A
A,
horizontalmente, da direita para a esquerda. Determine
as reações nos suportes A e B.
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Diagrama de Corpo Livre
y
20 kN
VA
100 kN
B
x
A
60º
RB
4 4mm
10 m
20 m
HA
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Imposição do Equilíbrio no Ponto B
Rx = 0 ∴ RB cos 60o + H A − 20 = 0
R y = 0 ∴ RB sin 60o − 100 + VA = 0
M z = 0 ∴ −100 ⋅10 + VA ⋅ 20 + 20 ⋅ 4 = 0
Ry
Mz
B
Rx
0,5 ⋅ RB + H A = 20
H A = −11,2 kN
0,866 ⋅ RB +
+V
VA = 100
VA = 46,0 kN
20 ⋅VA = 920
RB = 62,4 kN
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
Exemplo:
p :
0,39 m
Lanchonete do CTEC
Um letreiro é pendurado por duas correntes no mastro AB. O
mastro é articulado em A e é sustentado pelo cabo BC.
Sabendo que os pesos do mastro e do letreiro são 1000 N e
800 N, respectivamente, determine a tração no cabo BC e a
reação na articulação em A.
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Diagrama de Corpo Livre
2,52 m
VA
1,26 m
TBC
8,8º
B
0 36 m
0,36
HA
A
1000 N
1,41 m
800 N
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Imposição do Equilíbrio
í
no Ponto A
Rx = 0 ∴ H A + TBC cos171,2o = 0
Ry
R y = 0 ∴VA − 1000 − 800 + TBC sin
i 171,2 = 0
o
M z = 0 ∴ −1000 ⋅1,26 − 800 ⋅1,41 + TBC cos 8,8 ⋅ 0,36 +
o
TBC sin 8,8o ⋅ 2,52 = 0
H A − 0,988 ⋅ TBC = 0
VA + 0,153 ⋅ TBC = 1800
0,741 ⋅ TBC = 2388
Mz
A
H A = 3184,0 N
VA = 1306,9 N
TBC = 3222,7 N
Rx
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
Exemplo:
p :
Pr. 4.39
B&J – 5
5ª ed. rev.
θ
P
L
Uma barra delgada AB, de peso P, está presa a dois blocos
A e B que se movem em guias lisas, como ilustrado. A
constante da mola é k, e a mola não está esticada quando
AB está na horizontal. Desprezando o peso dos blocos,
deduza uma equação para θ, P, L e k que deve ser
satisfeita quando a barra está em equilíbrio.
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Diagrama de Corpo Livre
FM
FM
θ
HA
L/2
P
VB
L
FM = kL(cosθ + sinθ − 1)
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Imposição do Equilíbrio
í
no Ponto A
R x = 0 ∴ H A − FM = 0
Ry
R y = 0 ∴ FM − P + VB = 0
L
M z = 0 ∴ − P cosθ + FM Lsinθ + VB Lcosθ = 0
2
Mz
A
Rx
Isolando VB da segunda equação, substituindo o resultado
na terceira e trazendo o valor de FM chega-se a
P
cosθ + kL(cosθ + sinθ − 1)(sinθ − cosθ ) = 0
2
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Corpo sujeito à ação de duas forças:
forças:
Q
rA r
MR = 0
Q
B
B
P
P
A
A
Q
B
P
A
rB r
MR = 0
Se um corpo sujeito à ação de duas
forças está em equilíbrio, as duas forças
devem ter igual intensidade, igual linha
de ação e sentidos opostos.
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Corpo sujeito à ação de três forças:
forças:
Q
S
C
rD r
MR = 0
Q
B
P
S
C
B
A
D
P
A
D
A condição necessária para que um corpo sujeito à
ação de três forças esteja em equilíbrio é que as
linhas de ação das três forças sejam concorrentes.
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
Exemplo:
p :
Uma chave
U
h
é utilizada
tili d para girar
i um eixo.
i
U
Um pino
i
ajusta-se no furo A, e uma superfície plana e sem atrito
apóia-se no ponto B do eixo. Se uma força P de 250 N
de intensidade for aplicada ao ponto D da chave
chave,
determine as reações do eixo sobre a chave nos pontos
A e B.
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
p ((continuação):
ç )
P
FA
HB
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
p ((continuação):
ç )
75 sin 50o
o
=
7
,
7
tan α =
375 + 75 cos 50o
P
FA
α
HB
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
p ((continuação):
ç )
FA
α
α = 7,7 o
HB
Equilíbrio do ponto
material
HB = 1849
1849,0
0N
FA = 1865,9 N
P = 250 N
7,7º
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
Exemplo:
p :
C
h
S
B
A
L
Uma haste delgada de comprimento L e peso W é
mantida em equilíbrio tal como mostra a figura, com uma
extremidade apoiada sobre uma parede sem atrito e a
outra presa a uma corda de comprimento S. Deduza uma
expressão para a distância h em termos de L e S. Mostre
que essa posição de equilíbrio não existe se S>2L.
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
p ((continuação):
ç )
BD BCD = BD BDE
2
2
⎛L⎞ ⎛h⎞
⎛S⎞
2
⎜ ⎟ −h = ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎝2⎠
⎝2⎠
S2 − L2
h=
3
C
2
h
S
D
H
T
B
E
A
L
W
Situações Particulares de
Equilíbrio em Duas Dimensões
Exemplo
p ((continuação):
ç )
cos θ ≤ 1
h
≤1
S2
C
S2 − L2
3
≤1
S2
S2 − L2
h=
3
θ
S
D
H
T
S ≤ 2L
B
E
A
L
W
Equilíbrio de um Corpo
Rígido em Três Dimensões
Para a verificação/imposição do equilíbrio, define-se um
diagrama de corpo livre que seja objetivo com o que se
deseja calcular e escolhe-se um ponto de referência para
construção
ç do sistema força-binário
ç
equivalente.
q
Algebricamente o equilíbrio corresponde à
verificação/imposição da nulidade desse sistema forçabinário equivalente, ou seja,
r r
R=0 e
r r
M=0
Em termos dos componentes retangulares tem-se
Rx = 0 , R y = 0 , Rz = 0
M x = 0, M y = 0 e M z = 0
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Esfera
Superfície sem atrito
Diagrama de Corpo Livre
Força com linha de ação
conhecida (perpendicular ao
plano de deslizamento)
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Cabo
Diagrama de Corpo Livre
Força com linha de ação
conhecida (na direção do cabo,
puxando o objeto vinculado)
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Rolete sobre
superfície rugosa
Roda sobre trilho
Diagrama de Corpo Livre
Forças impedindo os
movimentos nas direções
perpendiculares ao plano e à
direção de deslizamento
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Superfície rugosa
Rótula ou
junta esférica
Diagrama de Corpo Livre
Forças impedindo o
movimento em todas as
direções
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Junta universal
Diagrama de Corpo Livre
Forças impedindo o movimento em
todas
direções
binário
t d as di
õ e bi
á i iimpedindo
di d o
giro em torno do eixo perpendicular à
cruz da conexão
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Engaste
Diagrama de Corpo Livre
Forças e binários impedindo todos os
movimento relativos de translação e de
rotação
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Dobradiça sustentando
apenas carga radial
Mancal sustentando
apenas carga radial
Diagrama de Corpo Livre
Forças impedindo o movimento radial
(direção
(di ã perpendicular
di l ao eixo
i do
d arranjo).
j )
Podem apresentar binários (não
apreciáveis em condições normais de uso)
Reações de Apoio e Conexões
em Três Dimensões
Diagrama Espacial
Pino e suporte
Dobradiça e mancal sustentando
empuxo axial e carga radial
Diagrama de Corpo Livre
Forças impedindo todos os movimentos
apresentar
P d
t
relativos
l ti
translacionais.
t
l i
i Podem
binários (não apreciáveis em condições
normais de uso)
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
Exemplo:
p :
A barra uniforme AB
pesa 60N. Ela tem uma
junta esférica em A e
está presa por um cabo
CD fixo ao ponto médio
C da barra.
Sabendo que a barra está encostada em uma parede lisa no
ponto B, determine a força de tração no cabo e as reações em
A e B.
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p ((continuação):
ç )
Diagrama de
Corpo Livre
TCD
FBX
FAY
60N
FAX
FAZ
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Forças envolvidas
r
W = (0; − 60; 0 )N
r
FA = (FAX ; FAY ; FAZ )
r
FB = (FBX ; 0; 0 )
r
TCD = TCD λˆ CD = (− 0,8TCD ; 0,48TCD ; − 0,36TCD )
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Sistema força-binário
em relação ao ponto A
r
R A = (FAX + FBX − 0,8TCD ; − 60 + FAY + 0,48TCD ; FAZ − 0,36TCD )
r
r
r
r
M A = AC × W + AB × FB + AC × TCD
r r
r
= AC × W + TCD + AB × FB
r r
r
= AC × W + TCD + 2AC × FB
r
r r
= AC × W + TCD + 2FB
(
(
(
)
)
)
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Imposição do
equilíbrio
r
r
RA = 0
r
r
MA = 0
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Sistema de equações
resultante
FAX + FBX − 0,8TCD = 0
− 60 + FAY + 0,48TCD = 0
FAZ − 0,36TCD = 0
− 108TCD + 6750 = 0
225FBX − 180TCD = 0
15000 − 300FBX = 0
Problemas que Envolvem o
Equilíbrio de um Corpo Rígido
Exemplo
p (continuação):
(
ç )
Reações de apoio
FAX = 0
FAY = 30 N
FAZ = 22,5 N
FBX = 50 N
TCD = 62,5 N