EXPLORANDO O SOFTWARE WINPLOT EM CONTEÚDOS DE
MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO
Afonso Luis Souza Faria1; Marcio Demetrius Martinez2
Bolsista do Programa de IC-Jr-MS (FUNDECT/CNPQ), UEMS, Unidade Universitária de
Nova Andradina; E-mail:[email protected]
2Professor do Curso de Matemática da UEMS, Unidade Universitária Nova Andradina; Email: [email protected]
1
Resumo: O propósito deste trabalho foi analisar a eficiência do software Winplot como
importante ferramenta de ensino e aprendizagem em conteúdos de Matemática do Ensino
Médio. De um modo mais específico, o objetivo foi analisar o possível uso do Winplot como
ferramenta promotora da interatividade aluno-aluno, aluno-professor e aluno-máquina de
modo que o aluno pesquisador pudesse, além de aprender sobre o conteúdo matemático,
também desenvolver habilidades como criatividade e autonomia. Para esta pesquisa,
elaboramos uma seqüência didática e aplicamos à alunos do Ensino Médio. Verificamos que
as construções de algumas curvas planas, variando os valores reais de parâmetros em suas
equações ou expressões, por meio de animações, permitem aos alunos observarem os efeitos
geométricos provocados pela sua variação, favorecendo o entendimento de parâmetro na
noção de funções e geometria analítica.
Palavras-chave: plano cartesiano. funções. geometria analítica. parâmetro. software
Abstract: The purpose of this work was to analyze the efficiency of the software Winplot as
an important teaching and learning tool with Mathematics’ subjects in High School. In a more
specific way, the objective was to analyze the possible use of Winplot as a promoter tool in
the interaction between student-student, student-teacher and student-machine, so that the
researcher student would be able not only to learn on mathematical subjects, but also develop
skills as creativity and autonomy. To come out this research, we elaborated a didactic
sequence and we applied it to High School students. We have verified that the constructions
of some plane curves, varying the real values of parameters in their equations or expressions,
through animated gifs, allow the students to observe the geometric effects caused by their
variation, favoring the understanding of parameter in the notion of functions and analytical
geometry.
Key-words: cartesian plane. functions. analytical geometry. parameter. software
Introdução:
Esta comunicação científica é parte de um projeto de iniciação científica júnior IC-JrMS (FUNDECT/CNPQ) desenvolvido no curso de Matemática da Universidade Estadual de
Mato Grosso do Sul tendo como objetivo explorar um simulador gráfico proporcionando
assim mais um recurso de apoio ao estudo de funções e geometria analítica no ensino médio.
São conhecidas as dificuldades que muitos alunos apresentam na real compreensão de
conceitos e definições matemáticos. Entre as razões do insucesso na aprendizagem são
apontados métodos de ensinos desajustados das teorias de aprendizagem mais recentes, assim
como a falta de meios pedagógicos modernos. Aos alunos são apontados desmotivação,
desenvolvimento insuficiente cognitivo e deficiente preparação matemática. Para combater
este insucesso faz-se crescente e diversificado estudo do uso do computador no ensino de
Matemática como complemento ajustado às dificuldades específicas dos alunos. Assim o uso
de um simulador gráfico possibilita o desenvolvimento da capacidade de abstração e
associação de idéias, contribuindo no desenvolvimento do senso crítico, tornando importuna a
simples memorização por parte do estudante, despertando-lhe um maior interesse,
favorecendo assim, a construção do conhecimento.
Utilizamos o software de domínio público WINPLOT, o qual foi desenvolvido por
Richard Parris, da Phillips Exeter Academy. Trata-se de um programa gráfico de propósito
geral, permitindo o traçado e animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diferentes tipos
de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui interface disponível em
língua portuguesa e simples de manipular, possui também inúmeros recursos e ainda assim é
pequeno, cabendo em um disquete.
O uso imaginativo do Winplot para alunos do ensino médio é uma contribuição
poderosa para solidificar idéias e a simples possibilidade de movimentar curvas pela variação
controlada de parâmetros e coeficientes constitui um recurso pedagógico de alcance ilimitado
não somente para o estudante, mas também para o próprio professor.
O propósito desta pesquisa foi analisar a contribuição do Winplot para a melhoria da
qualidade do ensino e da aprendizagem de funções reais e geometria analítica e usar esse
software como ferramenta promotora da interatividade aluno-aluno, aluno-professor e alunomáquina de modo que o aluno possa, além de aprender sobre o conteúdo matemático, também
desenvolver habilidades como criticidade, criatividade e autonomia.
Esta pesquisa foi aplicada à alunos do terceiro ano do Ensino Médio, buscando
verificar o enfoque crítico que levasse à autonomia de aprendizagem desses alunos. A escolha
desta série justificou-se basicamente pelo fato de eles já terem estudado as principais funções
reais, e por terem começado a estudar equações de planos, circunferências e cônicas em
Geometria Analítica.
O experimento se deu no laboratório de informática da UEMS de Nova Andradina,
buscando verificar o enfoque crítico que levasse a autonomia de aprendizagem do aluno.
Metodologia:
A metodologia de pesquisa utilizada se baseou na Engenharia Didática que vem sendo
muito utilizada na área de Educação Matemática por abordar a concepção, realização,
observação e análise de seqüências de ensino, procurando associar a prática docente à
pesquisa.
Distinguimos quatro fases no processo da Metodologia da Engenharia Didática: as
análises preliminares; a concepção e análise a priori de experiências didático-pedagógicas;
experimentação, implementação da experiência ou aplicação da seqüência didática; e
finalmente, a análise posteriori e validação da experiência.
Fundamentando-se nesta metodologia, elaboramos e aplicamos uma seqüência
didática e posterior análise dos dados coletados. Com estes resultados foram feitas conclusões
da pesquisa, bem como os caminhos que ela sugere para o ensino e aprendizagem de equações
paramétricas em geometria Analítica e o conceito de parâmetro e coeficientes nas funções
reais.
A seqüência didática foi dividida em três sessões:
•
SESSÃO I: plano cartesiano, construção e animação de pontos e segmentos;
•
SESSÃO II: funções lineares, quadráticas, exponenciais, logarítmicas, modulares e
animações com variação de parâmetros e coeficientes;
•
SESSÃO
III:
Geometria
Analítica:
parametrização
de
retas
e
parábolas,
circunferências e cônicas e animações.
Nestas atividades, o pesquisador assumiu o papel de professor e contou com o auxílio de
um observador monitor. Por nós, foram realizadas intervenções locais como esclarecimentos
sobre eventuais dificuldades ou erros apresentados em relação ao uso do Winplot e da teoria
matemática explorada. Apresentamos a seguir algumas atividades destas sessões, e apenas
para a SESSÃO I, uma análise a priori destas atividades desenvolvidas no software Winplot.
Resultados e Discussão:
1 Plano Cartesiano
Essa seção tem como objetivo a representação gráfica dos pontos do plano cartesiano
de acordo com as suas respectivas coordenadas, a parametrização de um dos pontos e a
identificação entre as construções de pontos (de modo discreto) e o alinhamento destes
utilizará como recurso a noção de par ordenado, plano cartesiano, parâmetro, representação de
pontos e criação de segmentos.
A geometria analítica em duas dimensões usa a álgebra para descrever figuras planas e
suas propriedades. O principal recurso dessa geometria é o plano cartesiano determinado por
duas retas reais perpendiculares, horizontal e vertical. No plano cartesiano, cada ponto está
univocamente associado a um par ordenado, onde o primeiro e segundo elemento denotam
respectivamente a abscissa (ou projeção do ponto no eixo horizontal) e a ordenada (ou
projeção do ponto no eixo vertical). Assim, os elementos do par ordenado constituem as
coordenadas do ponto no plano cartesiano e o par de eixos tem o nome de eixos coordenados.
Pontos sobre o eixo horizontal apresentam ordenada nula. Reciprocamente, pontos sobre o
eixo vertical apresentam abscissa nula.
Um conjunto de pontos que obedecem a um certo quesito tem o nome de lugar
geométrico. Em geometria analítica, quesitos que definem figuras planas bidimensionais são
descritos por sentenças a duas variáveis, x e y. Exemplo: a sentença que explicita a
propriedade comum a todos os pontos do eixo Ox das abscissas é y = 0, pois todos os pontos
pertencentes a esse eixo apresentam y = 0. Dizemos então que a equação do eixo Ox é y = 0.
Do mesmo modo, a equação do eixo Oy é x=0. Assim, chamamos de equação de uma curva à
sentença matemática que explicita a propriedade comum a todos os seus pontos e essa
sentença relata, normalmente, a relação entre as variáveis x e y que são as coordenadas dos
pontos da curva.
As atividades seguintes fazem parte da SESSÃO I, que tem como objetivo a
representação gráfica dos pontos no plano cartesiano de acordo com as suas respectivas
coordenadas, a parametrização de um dos pontos e a identificação entre as construções de
pontos (modo discreto) e o alinhamento destes. Utilizamos como recurso a noção de par
ordenado, plano cartesiano, parâmetro e a representação de pontos.
1.1 Estudo do ponto
1.1.1 Para criar um ponto qualquer utilize os comandos Equação → Ponto → (x,y)... Digite os
valores para X e Y e clique em OK.
1.1.2 Para calcular a distância entre dois pontos deve-se plotar o primeiro ponto e clicar em
Dupli para plotar um segundo ponto, mas sem apagar a fonte. Em seguida utilize os comandos
Dois → Distâncias... Na seqüência, seleciona os pontos e clica-se em distância.
1.1.3 Animação de pontos: Podemos animar um ponto no Winplot desde que ele esteja
definido por parâmetros.
Atividade 1: Plote os pontos A(1,2), B(2,3), C(2,1), D(-3,0) e E(-4,-3). Observando a
representação de pontos no registro gráfico é possível verificar o alinhamento de 3 pontos?
Para verificar clique em Inventário → Editar e reescreva as coordenadas do ponto A(1+t,2+t).
Observe que ao clicar em OK temos o ponto A(1,2). Que valor assumiu a letra t? A solução
está correta: Sim, t = 0. Para obter essa solução deve-se observar que dos cinco pontos
apresentados apenas três destes estão alinhados. Segundo, ao adicionar um parâmetro às
coordenadas do ponto A, obtém no plano cartesiano do Winplot a representação do ponto
A(1,2), logo o parâmetro t adicionado vale 0.
Figura 1: Representação para as Atividades 1 e 2
Atividade 2: Em Anim, Parâmetros A-W, escolha a letra T, ao abrir uma nova janela
movimente a barra a barra de Rolagem. Perguntas: Descreva o que vocês observaram na tela?
Qual o valor de T para obter o ponto B? E o ponto E?
Uma descrição correta: Observamos um ponto se movendo como trajetória de uma
curva, no caso, uma reta, ou, que o ponto móvel assume a posição dos pontos B e E que
pertencem ao alinhamento de pontos.
Uma descrição incorreta: Apenas um ponto se movimentando.
Neste caso não fazem uma reflexão sobre as atividades anteriores. Nesta atividade
proposta, primeiramente utilizam como recurso a adição do parâmetro t no ponto A(1+t,2+t) e
animação deste parâmetro tornando-o um ponto móvel validam outros pontos que estão
alinhados com o ponto A(1,2). A interpretação global entre os registros de representação do
tipo algébrico, numérico ou gráfico facilita o entendimento do ponto móvel como trajetória de
uma curva, no caso a reta.
Solução correta: para obter o ponto B, T = 1 e para obter o ponto E, T= -5. Uma
solução incorreta ocorrerá se apresentarem quaisquer outros valores para T em ambos os
pontos que não sejam os valores corretos por meio de cálculos errados. Nestas atividades os
valores de T devem ser calculados pelo método dedutivo, por substituição ou por tabelas.
Atividade 3: Faça um ponto deslizar sobre a função “2x²” sem sair do traçado.
Primeiro será preciso plotar o gráfico da função e para isso use os comandos Janela → 2 dim
→ Equação → Explícita. A seguir, em uma nova tela, digite sua expressão no campo f(x) =
(ao invés de 2x², digite 2x^2) e em seguida, como feito anteriormente, digite o ponto com
coordenadas x=a e y=2a^2, conforme Figura 2 abaixo.
Figura 2 : Valores do ponto no Winplot
Observe bem os valores dados para x e y, para que o ponto não saia do traçado. No
início o ponto ficará na coordenada (0,0), mas ao definirmos os parâmetros ele deslizará sobre
o gráfico.
2 Funções
As atividades seguintes fazem parte da SESSÃO II que envolve o trabalho com
funções lineares, quadráticas, exponenciais, logarítmicas, modulares e animações com
variação de parâmetros e coeficientes;
2.1 Funções Afins
2.1.1 Definição: Toda função do tipo
, é denominada
função polinomial do primeiro grau ou função afim.
2.1.2 Plotar o gráfico de uma função afim no Winplot.
1) Use os comandos Janela → 2 dim → Equação → Explícita.
2) Digite sua equação no campo f(x) = e se quiser um intervalo específico defina os valores
para x mín e x max, clique em travar intervalo e em OK.
Atividade 4: Plote a equação
, no intervalo -2 ≤ x ≤ 2.
Figura 3 : Gráfico de f(x)=2x-1, -2 ≤ x ≤ 2
2.1.3 A janela do inventário:
A janela apresenta os seguintes recursos:
1. Editar: Nesta opção é possível modificar a fórmula da função, determinar um novo
intervalo, alterar a cor ou a espessura do traço.
2. Apagar: Elimina uma equação selecionada do inventário.
3. Dupli: Duplica a função selecionada.
4. Copiar: Copia a fórmula da equação.
5. Derivar: O programa gera o gráfico da derivada da função.
6. Nome: Útil quando se trabalha com muitas funções.
7. Mostrar gráfico: Oculta ou mostra o gráfico.
8. Mostrar equação: Exibe a sentença da função no gráfico.
9. Família: converte a equação em uma família de curvas ou pontos.
10. Tabela: Exibe uma tabela com valores da função dentro do intervalo plotado.
2.2 Função definida por mais de uma sentença.
2.2.1 Plotar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença no Winplot:
Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma lei basta digitar no
campo f(x) = joinx(lei 1| a, lei 2| b,..., lei n). O Winplot interpreta lei 1 no intervalo x < a, a lei
2 no intervalo a < x < b e assim sucessivamente.
Atividade 5: A Receita Federal divulgou a seguinte tabela progressiva para cálculo
anual do imposto de renda de pessoa física:
Tabela 1: Tabela progressiva para cálculo anual de imposto de renda para pessoa física.
Base de cálculo em R$
Alíquota em %
Parcela a reduzir do imposto
em R$
Até 12.696,00
Acima de 12.696,01 até 25.380,00
Acima de 25.380,00
0,0
15,0
27,5
0,00
1.904,40
5.076,90
De acordo com a tabela acima, se a renda anual de um cidadão é
imposto anual
reais, então o
a pagar pode ser descrito pela função:
Figura 4: Gráfico de f(x)
2. 3 Sistemas de equações:
2.3.1 Plotar um sistema de equações no Winplot: Para construir um sistema devemos primeiro
construir duas funções na mesma tela de gráficos, para isso construiremos a primeira função e
usaremos o comando dupli do inventário para construirmos a segunda, mas sem apagar a
fonte. Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas funções entre em dois e a
seguir em interseções. Caso haja mais de um ponto de interseção basta clicar em prox
interseção. No gráfico aparecerá a marcação no ponto correspondente. Para marcar os pontos
de interseção nos gráficos, devemos clicar em marcar ponto.
2.4 Coeficiente angular da reta ou taxa de variação da função afim.
2.4.1 Sejam uma função definida por
, variando a constante
em IR obtemos
retas diferentes. Veja qual a mudança ocorrida nessa reta utilizando o Winplot, utilizando
e
variando de -2 a 2.
1) Utilize os comandos Janela → 2 dim → Equação → Explícita;
2) Digite
e clique em OK.
3) utilize os comandos Anim → Parâmetros A-W...;
4) Escolha o parâmetro A, digite -2 e clique em def L, em seguida digite 2 e clique em def R,
role a barra, clique em auto rev ou em auto cícl.
2.5 Coeficiente linear da reta que é gráfico de uma função afim.
2.5.1 Sejam uma função definida por
, variando a constante
em IR obtemos
retas distintas. Veja qual a mudança ocorrida nessa reta utilizando o Winplot, utilizando
e
variando de -2 a 2. Utilize os passos do exemplo anterior.
Figura 5: Famílias de retas
2.6 Funções Quadráticas
2.6.1 Definição: Toda função do tipo
, é
denominada função polinomial do 2º grau ou função quadrática.
2.6.2 Plotar o gráfico de uma função afim no winplot:
1) Use os mesmos comandos da função afim.
2) Ao invés de x², use x^2.
Atividade 6: Plote a equação
no intervalo de -3 ≤ x ≤ 3.
Figura 6: Parábola da Atividade 6
Obs: Use a tecla page up para aumentar o zoom e a tecla page down para diminuí-lo. Use
também as setas para enquadrar melhor o gráfico.
2.6.3 Variação dos coeficientes de uma função quadrática:
1) Plote o gráfico da equação
e varie
de -2 a 2. O que acontece?
2) Plote o gráfico da equação
e varie
de -3 a 3. O que acontece?
3) Plote o gráfico da equação
e varie
de -4 a 4. O que acontece?
Obs: Utilize os mesmos comandos usados na função afim para animação.
2.6.4 O vértice da parábola que é gráfico de uma função quadrática:
1) O vértice é calculado pelas fórmulas
2) Se
e
, em que
.
tiver
,
será o ponto máximo e
será o valor máximo da
tiver
,
será o ponto mínimo e
será o valor mínimo da
função .
3) Se
finção .
4) Você pode verificar se achou
e
corretamente através do Winplot, usando os
comandos Um → Extremos...
Atividade 7: Ache o ponto mínimo de
e o ponto máximo de
, em seguida confira seus resultados com os do Winplot.
2.6.5 Zeros de uma função quadrática:
1) Zero ou raiz da função quadrática é o ponto onde o gráfico toca o eixo X. Uma função
quadrática pode ter nenhuma, uma ou duas raízes.
2) O zero de uma função quadrática é calculado pela fórmula:
onde
.
3) Se
a equação terá dois zeros, se
a equação terá um zero e se
a equação
não terá nenhum zero (não tocará o eixo X).
4) No Winplot o zero de uma função é calculado com os comandos Um → Zeros... Clique em
próximo para ver se há outro zero. Para marcar o ponto no gráfico permanentemente clique
em marcar ponto.
Atividade 8: Calcule o ponto (ou pontos) onde a equação
eixo X. Confira seu resultado com o do Winplot.
2. 7 Funções exponenciais
2.7.1 Sendo
um número real e
um número inteiro, tem-se que:
toca o
2.7.2 Plotar uma equação exponencial no Winplot:
1) Use os comandos Janela → 2 dim → Equação → Explícita.
2) Em f(x)= digite ax^n.
2.8 Funções logarítmicas
2.8.1 Definição: Sejam
base
o expoente
e
números reais positivos e
tal que
. Chama-se logaritmo de
. Em símbolos:
na
.
2.8.2 Plotar gráfico de uma equação logarítmica no Winplot:
1) Use os comandos Janela → 2 dim → Equação → Explícita.
2) Digite em f(x)=, log(x), considerando logaritmo de x na base 10 ou log(b,x), para
considerar logaritmo de x na base b.
2.9 Relação entre as funções
2.9.1 A função
e
é a inversa da função
simétricos em relação a reta
e por isto seus gráficos são
.
Atividade 9: Plote os gráficos
(utilizando o comando dupl) e faça
Figura 7: Gráficos
2.10 Função modular
.
, todos na mesma janela
variar de 0 a 4. Observe o que acontece.
y = 2 x , y = x, y = log 2 x , respectivamente
2.10.1 Definição: Considere no eixo real de origem
Chama-se módulo de x, e indica-se por
um ponto A de abscissa x
, a distância entre os pontos A e :
logo
2.10.2 Plotar o gráfico de uma função logarítmica no Winplot:
1) Use os comandos Janela → 2 dim → Equação → Explícita.
2) Em f(x)= digite abs(f(x)).
Atividade 10: Plote o gráfico das funções
e
. Qual a
diferença entre eles?
2.11 Translação de gráficos
2.11.1 Definição: Transladar um gráfico significa mudar sua posição no plano cartesiano,
fazendo um deslocamento na horizontal e/ ou na vertical. Para isso basta trocar, na equação, x
por (x+a) e/ ou y por (y+b), onde a e b são números reais. Podemos tomar também “a e b”
como parâmetros e fazer suas variações. Trocando x por (x+a) ou y por (y+b) resulta em uma
translação do gráfico, Trocando x por ax ou y por ay observamos uma expansão ou contração
do gráfico na horizontal ou vertical.
2.11.2 Comandos no Winplot:
1) Use os comandos Um → Transladar...
2) Aparecerá a caixa Transladar por [a,b]
3) Atribuindo valores para “a” o gráfico se deslocará no eixo X (valores positivos se deslocará
para a direita, valores negativos para a esquerda), atribuindo valores para “b” o gráfico se
deslocará no eixo Y (valores positivos para cima e valores negativos para baixo).
Obs.: Para transladar um gráfico você deve primeiro plotá-lo.
Figura 8: Translação das funções
y = x− a e
y− a= x
respectivamente para a = -2, -1, 0, 1, 2.
2.12 Miscelânia: Construção/Animação de Curvas Utilizando a Forma Paramétrica
Nesta parte final de funções trabalhamos essencialmente com equações na forma
paramétrica. Estas equações permitem escrever funções y=f(x), por exemplo, em uma forma
x=t, y=f(t), com a vantagem que poderemos controlar a ação de t mediante um novo
parâmetro, chamando parâmetro de animação. Dividimos esta tarefa em duas sub-partes:
2.12.1 Curvas que iniciam na origem dos eixos coordenados.
Dada uma função y = f ( x), a ≤ x ≤ b, podemos inserir um parãmetro k de animação
para visualizar seu traço. Para isso, devemos utilizar suas equações na forma para métrica.
Fazendo x=t, temos y=f(x)=f(t). Logo as equações paramétrica dessa curva ficam:
 x(t ) = t

 y (t ) = f (t ), a ≤ t ≤ b.
O caso mais simples ocorre quando queremos animar uma curva y=f(x), iniciando a
animação na origem O(0,0). Isto corresponde a iniciar a animação em t=0.
Atividade 11: Faça a animação de y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2.
 x(t ) = t
Equações paramétricas: 
2
 y (t ) = t ,0 ≤ t ≤ 2.
 x(t ) = kt
No menu Equação → Paramétrica, digite 
2 e escolha o intervalo 0<t<2.
 y (t ) = (kt )
Em seguida, no menu Anim, selecione o parâmetro k e ajuste-o para variar de 0 (def L) até 1
(def R).
 x (t ) = t
Figura 9: Animação gráfica da equação paramétrica 
2
 y (t ) = t
Atividade 12: Faça a animação de y = sen x, 0 ≤ x ≤ 2π .
 x(t ) = t
Equações paramétricas: 
 y (t ) = sin(t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
 x(t ) = kt
No menu Equação → Paramétrica, digite 
e escolha o intervalo 0<t<2pi.
 y (t ) = sin( kt )
 x (t ) = t
 y (t ) = sen (t )
Figura 10: Animação gráfica da equação paramétrica 
2.12.2 Curvas que iniciam em um ponto qualquer do plano.
Atividade 13: Faça uma animação do segmento que liga os pontos P(-2,4) a Q(3,9).
Lembremos que as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto P( x0 y 0 )
são dadas por
 x (t ) = x 0 + at

 y (t ) = y 0 + bt , t ∈ ℜ
em que v = (a,b) é um vetor diretor desta reta.
Assim, as equações do segmento que liga os pontos P( x0 y 0 )
 x(t ) = x 0 + ( x1 − x 0 )t
.

 y (t ) = y 0 + ( y1 − y 0 )t , 0 ≤ t ≤ 1
a Q(3,9):
a
Q( x1 y1 ) são:
Daí temos a equação do segmento que liga os pontos P(-2,4)
 x (t ) = − 2 + 5t

 y (t ) = 4 + 5t , 0 ≤ t ≤ 1.
Figura 11: Animação gráfica da reta que liga os pontos P(-2,4) a Q(3,9).
Atividade 14: Construir a animação simultânea do segmento e da parábola y = x 2 , no
intervalo − 2 ≤ x ≤ 3. Dessa forma; teremos:
1) Animação do segmento:
 x (t ) = − 2 + 5kt

 y (t ) = 4 + 5kt , 0 ≤ t ≤ 1.
 x(t ) = kt
2) Animação da parábola: 
Fazendo agora o parâmetro
2
 y (t ) = (− 2 + k (t + 2)) ,− 2 ≤ t ≤ 3.
k variar entre 0 e 1 teremos a seguinte animação.
Figura 12: Animação gráfica simultânea do segmento e da parábola
y = x 2 , − 2 ≤ x ≤ 3.
3 Geometria Analítica
As atividades seguintes fazem parte da SESSÃO III, que tem como objetivo fornecer
uma breve introdução em alguns conteúdos de Geometria Analítica, a saber, circunferências,
elipses, parábolas e hipérboles e ilustrá-los com animações gráficas.
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente
recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da
álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações
para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também
em três ou mais dimensões.
As atividades propostas nessa seção visam trabalhar com a Geometria Analítica plana,
especialmente no que se refere à animação de parâmetros e coeficientes nas equações de
circunferências e cônicas. Elas também poderão servir de base para outras animações, que
poderão ser aplicadas no estudo de outros tópicos da Geometria Analítica plana ou espacial.
3.1 A Circunferência
Na Geometria Euclidiana, uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos
de um plano que estão a uma certa distância, chamada raio, de um certo ponto, chamado
centro. Num sistema de coordenadas cartesianas, uma circunferência pode ser descrita pela
equação geral (x – a)² + (y - b)² = r², onde os pontos (a, b) são o centro da circunferência e r é
o raio da circunferência.
Atividade 15: Plote uma circunferência de raio 2 e centro no ponto O(2,-1).
Para isso use os comandos Janela → 2 dim → Equação → Implícita. A seguir no
menu curva implícita, entre com a expressão (x-2)^2+(y+1)^2=4 e a seguir OK.
Figura 13: Circunferência centrada no ponto O(2,-1) e raio 2.
3.2 Elipse
A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos (focos) desse plano é constante. A elipse com eixos paralelos aos eixos
coordenados, tem como equação geral
( x − m) 2
( y − n) 2
+
= 1, onde
a2
b2
os ponto (m,n) é o centro
da elipse e a e b são dois parâmetros que definem os eixos maior e menor da elipse.
A equação na forma reduzida da elipse é
animação da elipse de equação
2
x2
y2
+ 2 = 1.
2
a
b
A Figura 14 mostra uma
2
x
y
+
= 1.
16
9
Figura 14: Animação da elipse de equação reduzida centrada na origem com raio maior 4 e menor 3.
Atividade 16: Utilizando os mesmos comandos da Atividade 15, plote a elipse de
centro de origem no ponto (-1,2), raio menor 2 e raio maior 3.
3.3 Hipérbole
A hipérbole é o conjunto dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em
valor absoluto, a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante.
A equação na forma reduzida da hipérbole é
hipérbole de equação
2
x2
y2
− 2 = 1.
2
a
b
A Figura 15 mostra a
2
x
y
−
= 1.
9
4
Figura 15: Hipérbole de centro na origem e focos sobre o eixo x
3.4 Parábola
A parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de um ponto
fixo (foco) e de uma reta fixa desse plano.
Seja F(p,0) o foco da parábola e r uma reta paralela ao eixo y, ou seja r: x = -p. Um
ponto P(x,y) está na parábola se e somente d(P,F)=d(P,r). Neste caso, sua equação é dada por
y 2 = 4 px. Escolhendo outros sistemas de coordenadas, é claro que a equação da parábola
muda. Por exemplo, se F(-p,0) e r: x = p, y 2 = − 4 px . Se F(0, p) e r: y = -p, y =
F(0,-p) e r: y = p, y = −
1 2
x . Se
4p
1 2
x .
4p
Atividade 17: Faça uma animação das diferentes equações da parábola variando o
parâmetro p.
Conclusões:
Ao término da fase de aplicação do projeto percebeu-se que os alunos continuavam
motivados e persistentes. A dependência dos alunos pela figura do professor e do monitor foi
gradativamente diminuindo à medida que eles foram conhecendo melhor o software e a
dinâmica da aula. Os questionamentos passaram a ser menos simplistas e as assertivas mais
seguras.
Percebeu-se que o uso de ferramentas como o Winplot podem auxiliar, de fato, na
compreensão das transformações gráficas, pois além da visualização rápida, permitiram que
os alunos trabalhassem com animações, recurso difícil de se fazer em ambiente lápis e papel.
Essas animações fizeram com que os alunos percebessem a importância do genérico e do
efeito imediato no gráfico, à medida que parâmetros e coeficientes iam sendo alterados.
A utilização da Engenharia Didática como metodologia mostrou-se eficiente já que
forneceu passos organizados e coerentes ao desenvolvimento e aplicação da seqüência,
partindo da teoria á prática.
De um modo geral, essa pesquisa confirmou as hipóteses iniciais, de que o uso de
computadores é atrativo aos alunos do Ensino Médio e que pelo seu uso poderia facilitar a
aprendizagem. Também, quando existe uma aplicação motivadora abre-se espaço para a
discussão e o aluno pode efetivamente participar do processo de construção de seu próprio
conhecimento.
Agradecimentos:
Agradecemos pelo apoio ao Programa ICJr-MS (FUNDECT/CNPQ) de Bolsas de
Iniciação Científica e de Extensão Universitária Júnior no Estado de Mato Grosso do Sul e a
UEMS, Unidade Universitária de Nova Andradina.
Referências:
Borba, M. C., Penteado, M. G. 2003. Informática e educação matemática. Belo HorizonteMG, Ed. Autêntica, 99p.
Pais, L. C. 2002. Educação escolar e as tecnologias da informática. Belo Horizonte-MG,
Ed. Autêntica, 165p.
Silva, C. R. 2006. Explorando equações cartesianas e paramétricas em um ambiente
informático. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, 254 p.
Utilizando
o
winplot
no
ensino
médio.
Disponível
http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/trabalho_winplot/index.htm
em:
(último
acesso em 13/08/2009).
Winplot. Disponível em: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html (último acesso em
13/08/2009).