8
Livro: Introdução à Álgebra Linear
Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 8: Determinantes
Sumário
1
Propriedades dos Determinantes
. . . . . . . . . . 211
1.1
Propriedades Características . . . . . . . . . . . . . 211
1.2
Propriedades Adicionais das Funções
1.3
Propriedade Multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . 215
D
. . . . . . 212
2
Existência de Determinantes . . . . . . . . . . . . . 218
3
Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4
Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
210
1.
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1
211
Propriedades dos Determinantes
Estudaremos nesta seção as propriedades dos determinantes de matrizes
quadradas, dividindo-as em três categorias, a saber:
1) Propriedades características, aquelas que bastam para determinar as funções determinantes;
2) Propriedades adicionais, aquelas que seguem de modo quase direto das
propriedades características;
3) Propriedade multiplicativa, que relaciona determinantes de produtos de
matrizes com os determinantes dos fatores. Essa propriedade é consequência
das propriedades características e de propriedades das matrizes anteriormente
estudadas.
1.1
Propriedades Características
Seja K um corpo1 e seja n um número natural, com n ≥ 2. Denotaremos
por MK (n), ou simplesmente por M(n), o espaço das matrizes quadradas de
ordem n com entradas no corpo K . Nosso objetivo, neste capítulo, é estender
a n > 3 a noção de determinante de uma matriz em M(n) que introduzimos
no Capítulo 4 nos casos n = 2 e n = 3.
Dada uma matriz A ∈ M(n), denotaremos por A1 , . . . , An ∈ K n os seus
vetores linhas e escrevemos

A1

 . 
A =  ..  .
An
Queremos xar a nossa atenção sobre as funções D : M(n) → K que
possuem as seguintes propriedades:
(D1) D é linear como função de cada linha separadamente.
1O
leitor pode xar sua atenção nos casos K = R ou K = C, se com isto se sentir mais
confortável.
212
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Isto signica que se Aj = A0j + tA00j , onde A0j , A00j ∈ K n e t ∈ K , então





D  A0j



A1
..
.










+ tA00j  = D 


..


.


An
A1

.. 
. 

A0j
..
.
An






 + tD 






A1

.. 
. 


A00j  .
.. 
. 

An
(D2) Se duas linhas adjacentes Aj e Aj+1 de A são iguais, então D(A) = 0.
(D3) Se In representa a matriz identidade de M(n), então D(In ) = 1.
Estas propriedades são satisfeitas, por exemplo, pelas funções determinantes det : M(2) → K e det : M(3) → K introduzidas na Seção 3 do
Capítulo 4 (veja Problemas 3.1 e 3.3 do Capítulo 4.)
As Propriedades (D1) e (D2) de uma função D acarretam várias outras
propriedades, como veremos a seguir. Essas propriedades, juntamente com a
Propriedade (D3), determinam uma única função que chamaremos de função
determinante, ou simplesmente, determinante, conforme veremos na Seção 2.
Nas próximas subseções estudaremos mais propriedades de tais funções
D.
1.2
Propriedades Adicionais das Funções
D
Nesta seção estudaremos as propriedades das funções D que decorrem
das Propriedades (D1) e (D2) da seção anterior.
Seja j um número natural com 1 ≤ j ≤ n − 1. Se A0 é
a matriz obtida de A por meio de uma transformação elementar Lj ↔ Lj+1 ,
então D(A0 ) = −D(A).
Demonstração Considere a matriz B tal que Bj = Bj+1 = Aj + Aj+1 e
Bi = Ai , se i 6= j e i 6= j + 1.
Da Propriedade (D2) temos que D(B) = 0. Da Propriedade (D1) (utiliProposição 8.1.1.
1.
213
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
zada duas vezes), obtemos a igualdade






0 = D(B) = D 




A1


.. 
. 

Aj
Aj
..
.
An
A1

 ..
 .


 A


j
+D

 Aj+1



 ..

 .
An

A1

 ..

 .



 A

 j+1
+D

 Aj



 ..

 .
An


A1

 ..

 .



 A

 j+1
+D

 Aj+1



 ..

 .
An






,




da qual segue-se o resultado, pois sabemos, por (D2), que






D




A1

.. 
. 

Aj
Aj
..
.
An

A1
 ..
 .


 A

 j+1
 = D

 Aj+1



 ..

 .
An






 = 0.




Corolário 8.1.2.
Se A é uma matriz com duas linhas iguais, então D(A) =
0.
Com uma troca de linhas, podemos transformar a matriz A
em uma matriz A0 com duas linhas adjacentes iguais. Logo, pela proposição
anterior e pela Propriedade (D2), temos que
Demonstração
D(A) = ±D(A0 ) = 0.
Se A0 é uma matriz obtida de A por uma transformação
elementar Li ↔ Lj , i, j = 1, . . . , n, com i 6= j , então D(A0 ) = −D(A).
Demonstração Usando a mesma ideia da prova da Proposição 8.1.1, considerando neste caso a matriz B tal que Bi = Bj = Ai + Aj e Bk = Ak , se
k 6= i, j , obtemos o resultado com auxílio do Corolário 8.1.2.
Corolário 8.1.3.
214
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Se uma matriz A0 é obtida de uma matriz A na qual
somamos a uma linha um múltiplo de outra, mantendo as demais inalteradas,
então D(A0 ) = D(A).
Demonstração Para i < j , sejam
Corolário 8.1.4.

A1

 . 
 .. 
 
 
 Ai 
 . 
. 
A=
 . ,
 
 Aj 
 . 
 . 
 . 
An

A1



..


.




A
+
tA
 i
j


..
.
A0 = 
.




 Aj 


..


.


An
Temos da propriedade (D1) que
D(A0 ) = D(A) + tD(A00 ),
onde

A1
(1)

 . 
 .. 
 
 
 Aj 
 . 
. 
A00 = 
 . .
 
 Aj 
 . 
 . 
 . 
An
Pelo Corolário 8.1.2, temos que D(A00 ) = 0, logo o resultado segue da igualdade (1), acima.
Se uma matriz A0 é obtida de uma matriz A na qual
somamos a uma linha uma combinação linear de outras, mantendo as demais
inalteradas, então D(A0 ) = D(A).
Demonstração Use repetidamente o Corolário 8.1.4.
Corolário 8.1.5.
1.
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
215
Se os vetores linhas de uma matriz A são linearmente
dependentes, então D(A) = 0.
Demonstração Se os vetores linhas da matriz são linearmente dependentes,
então uma das linhas é combinação linear das demais, seguindo-se o resultado
do Corolário 8.1.5.
Corolário 8.1.6.
1.3
Propriedade Multiplicativa
Nesta subseção, mostraremos como funções D possuindo as Propriedades
(D1), (D2) e (D3) da Seção 1 se comportam em relação à multiplicação de
matrizes.
Sejam A e B elementos de M(n) e seja D : M(n) → K
uma função possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3).
Proposição 8.1.7.
(i) Se E é uma matriz elementar, então D(EA) = D(E)D(A).
(ii) Se A e B são matrizes equivalentes por linhas, então
D(A) 6= 0 ⇐⇒ D(B) 6= 0.
(iii) A é invertível se, e somente se, D(A) 6= 0.
(iv) D(AB) = D(A)D(B).
(i) Seja E1 a matriz elementar obtida operando sobre In
com Li ↔ Lj . Temos que E1 A é a matriz obtida de A mediante a operação
Li ↔ Lj , logo, pelo Corolário 8.1.3, temos que D(E1 A) = −D(A). Por outro
lado, do Problema 1.3(a), temos que D(E1 ) = −1, o que acarreta o resultado
neste caso.
Seja E2 a matriz elementar obtida de In mediante a operação Li → Li +
tLj . Temos, pelo Corolário 8.1.4, que D(E2 A) = D(A) e pelo Problema
1.3(a) temos que D(E2 ) = 1, daí obtendo o resultado neste caso também.
Finalmente, se E3 é a matriz elementar correspondente a Li → cLi , temos
de (D1) que D(E3 A) = cD(A) e, pelo Problema 1.3(a), D(E3 ) = c. Logo,
D(E3 A) = D(E3 )D(A).
Demonstração
216
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
ii) A e B são equivalentes se, e somente se, B = Er · · · E1 A, onde E1 , . . . , Er
são matrizes elementares. De (i), por indução, temos que
D(B) = D(Er ) · · · D(E1 )D(A).
Como D(E) 6= 0, para toda matriz elementar E , vale o resultado.
iii) Se A é invertível, do Teorema 2.1.6, temos que A é equivalente a In , logo
por (ii) segue-se que D(A) 6= 0, já que D(In ) = 1 6= 0.
Reciprocamente, se D(A) 6= 0, seja B a matriz equivalente a A na forma
escalonada. Como por (ii) temos que D(B) 6= 0, segue-se que B = In . Daí,
A é equivalente a In , logo, pelo Teorema 2.1.6, tem-se que A é invertível.
iv) Se A não é invertível, então AB é não invertível. Logo, por (iii), temos
que D(AB) = 0 e D(A) = 0, seguindo-se o resultado neste caso. Se A é
invertível, então, pelo Teorema 2.1.6, A = E1 · · · Er onde os Ei 's são matrizes
elementares. Portanto, por indução utilizando (i), temos que
D(AB) = D(E1 ) · · · D(Er )D(B) = D(E1 · · · Er )D(B) = D(A)D(B).
Se existirem duas funções D : M(n) → K e D0 : M(n) →
K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3), então D = D0 .
Demonstração Seja A ∈ M(n). Se A não é invertível, então da Proposição
8.1.7(iii) temos que D(A) = 0 = D0 (A).
Se A é invertível, logo, A = E1 · · · Er , onde os Ei 's são matrizes elementares. Pela Proposição 8.1.7(iv), temos que D(A) = D(E1 ) · · · D(Er ) e D0 (A) =
D0 (E1 ) · · · D0 (Er ). Pelo Problema 1.3(b), temos que D(Ei ) = D0 (Ei ), para
todo i = 1, . . . , r, logo D(A) = D0 (A).
Teorema 8.1.8.
Assim, temos assegurada a unicidade de uma função D : M(n) → K ,
possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3), caso tal função exista. Vamos,
na próxima seção, mostrar que tal função existe, a qual passaremos a denotar
por det e a chamar de função determinante . Para n = 2 e n = 3, as funções
det : M(2) → K e det : M(3) → K , que introduzimos no Capítulo 4, são as
1.
217
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
únicas funções que possuem as Propriedades (D1), (D2) e (D3), com domínios
M(2) e M(3), respectivamente.
Problemas
1.1
Mostre que se a matriz A ∈ M(n) possui uma linha nula, então D(A) =
0.
1.2 Seja D : M(n) → K
uma função que possui as Propriedades (D1) e (D2).
Mostre que se A é a matriz diagonal Diag(a11 , . . . , ann ) (com a notação do
Problema 2.15, Capítulo 1), então
D(Diag(a11 , . . . , ann )) = a11 . . . ann D(In ).
Em particular, conclua que D(c In ) = cn D(In ), onde c ∈ K .
Seja D : M(n) → K , possuindo as Propriedades (D1) e (D2), e sejam
E1 , E2 e E3 matrizes elementares obtidas da matriz identidade In mediante,
respectivamente, uma operação do tipo Li ↔ Lj , Li → Li + tLj , Li → cLi ,
para i 6= j .
1.3
a) Mostre que
D(E1 ) = −D(In ),
D(E2 ) = D(In )
e
D(E3 ) = cD(In ).
b) Se D, D0 : M(n) → K possuem as propriedades (D1), (D2) e (D3), então
D(E1 ) = D0 (E1 ) = −1, D(E2 ) = D0 (E2 ) = 1 e D(E3 ) = D0 (E3 ) = c.
Seja A uma matriz invertível de ordem n e suponha que exista a função
det : M(n) → K . Mostre que
1.4
det(A−1 ) =
1
.
det A
Seja E ∈ M(n) uma matriz elementar. Com a mesma hipótese do
problema anterior, mostre que det(E t ) = det(E).
1.5
Sugestão
Utilize o Problema 2.1.9.
218
2
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Existência de Determinantes
Nesta seção, estabeleceremos a existência das funções determinantes para
valores de n maiores do que 3, que já sabemos existirem para n = 2 e n = 3. A
demonstração de tal existência será feita por indução sobre n. Mostraremos
que se existe uma função D0 : M(n − 1) → K que possui as Propriedades
(D1), (D2) e (D3), então existe uma função D : M(n) → K que possui as
mesmas propriedades.
Na realidade, mostraremos que a função D pode ser obtida de vários
modos possíveis a partir de D0 , o que permitirá certa exibilidade no cálculo
de D(A), onde A é uma matriz quadrada de ordem n.
Sejam n ≥ 2 e A ∈ M(n). Para cada par (i, j) ∈ N2 , com 1 ≤ i, j ≤
n, dene-se a matriz A(i|j) como a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de A
suprimindo-se a i-ésima linha e a j -ésima coluna.
Nosso resultado está contido no próximo teorema.
Sejam n ≥ 3 e D0 : M(n − 1) → K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3). Dado j com 1 ≤ j ≤ n, a função Dj : M(n) → K
denida por
Teorema 8.2.1.
Dj (A) =
n
X
(−1)i+j aij D0 (A(i|j)),
i=1
onde A = [aij ] ∈ M(n), também satisfaz as condições (D1), (D2) e (D3).
Demonstração Fixemos j . Para cada i, temos que D 0 (A(i|j)) é independente da linha i, ou seja, dos elementos aik , k = 1, . . . , n, e é separadamente
linear em cada uma das n−1 linhas restantes de A. Por outro lado, (−1)i+j aij
é independente das entradas de A(i|j) e é linear na linha i de A. É, portanto,
fácil vericar que (−1)i+j aij D0 (A(i|j)) é separadamente linear nas linhas de
A. Logo, Dj é uma soma de funções de A que são separadamente lineares
na linhas de A, donde se conclui que Dj possui a Propriedade (D1). Para
provar que Dj possui a Propriedade (D2), suponhamos que A ∈ M(n) tenha
as linhas Ak e Ak+1 iguais.
Se i 6= k e i 6= k + 1, a matriz A(i|j) tem duas linhas iguais, logo
2.
EXISTÊNCIA DE DETERMINANTES
219
D0 (A(i|j)) = 0. Daí temos
Dj (A) = (−1)k+j akj D0 (A(k|j)) + (−1)k+j+1 ak+1,j D0 (A(k + 1|j)).
Mas, akj = ak+1,j e A(k|j) = A(k + 1|j), logo Dj (A) = 0, já que as duas
parcelas que compõem Dj (A) são uma simétrica da outra.
Finalmente, sendo δij as entradas da matriz In , temos que
Dj (In ) =
n
X
(−1)i+j δij D0 (In (i|j)) = δjj D0 (In (j|j)) = D0 (In−1 ) = 1,
i=1
já que In (j|j) = In−1 e D0 (In−1 ) = 1, mostrando que Dj possui a Propriedade
(D3).
Esse teorema nos mostra que para calcular o determinante de uma matriz
A, escolhe-se uma coluna j qualquer de A, obtendo
n
X
det(A) =
(−1)i+j aij det(A(i|j)),
i=1
que é usualmente chamado de desenvolvimento de Laplace de det(A) segundo
os elementos da coluna j .
Exemplo 1.
Calculemos det(A), onde

2 3
1 0
0 1
3 2


A=
.
0 5 −1 0
1 −2 1 1

Temos do Teorema 8.2.1, desenvolvendo segundo os elementos da primeira
coluna, que




1
3 2
3 1 0




det(A) = 2 det  5 −1 0 − det 1 3 2 .
−2 1 1
5 −1 0
Calculando os determinantes 3 × 3, acima, pela Regra de Sarrus, obtemos
que det(A) = −36.
220
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Problemas
2.1
Mostre que se uma matriz A possui uma coluna nula, então det(A) = 0.
Prove que o determinante de uma matriz triangular superior (resp.
inferior) é o produto dos elementos de sua diagonal principal. Mostre que uma
tal matriz é invertível se, e somente se, suas entradas na diagonal principal
são todas não nulas.
2.2*
2.3*
Seja a ∈ R. Prove que


1 1 1 1
1 a a2 a3 


det 
 = 0.
1 a2 a3 a4 
1 a3 a4 a5
2.4
Considere a matriz de Vandermonde 2

1 a1 a21 . . . an−1
1

n−1
2
1 a2 a2 . . . a2
A=
..
..
 .. ..
.
.
. .
2
n−1
1 an an . . . an



.


Mostre que
det(A) =
Y
(aj − ai ).
i<j
3
Matriz Adjunta
Seja A = [aij ] ∈ M(n). Dene-se o cofator do elemento aij da matriz A
como
∆ij (A) = (−1)i+j det(A(i|j)).
A matriz [∆ij (A)] ∈ M(n) será chamada de matriz dos cofatores da
matriz A e sua transposta será chamada de matriz adjunta de A e denotada
adj(A).
2 Em
homenagem a Alexandre-Theóphile Vandermonde (França 1735 1796).
3.
221
MATRIZ ADJUNTA
Exemplo 1.
Seja


1 0 0


A = 1 2 1  .
0 0 −1
Temos que ∆11 (A) = −2, ∆12 (A) = 1, ∆13 (A) = ∆21 (A) = ∆23 (A) =
∆31 (A) = 0, ∆22 (A) = ∆32 (A) = −1 e ∆33 (A) = 2. Logo,


−2 1 0


[∆ij (A)] =  0 −1 0 .
0 −1 2
Portanto,


−2 0
0


adj(A) =  1 −1 −1 .
0
0
2
A seguir, veremos uma relação entre uma matriz e a sua adjunta.
Proposição 8.3.1.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então
adj(A) · A = det(A) In .
Demonstração
Denotemos por B a matriz adj(A) · A. Queremos mostrar
que
(
bij =
det(A), se i = j
0,
se i 6= j .
Denotando ∆ij (A) por ∆ij , temos que

∆11 . . . ∆n1
 
a11 . . . a1j . . . an1

 .
 .
.. 
..
.. 
 ..
 .
. 
.
. 

  .


 

[bij ] =  ∆1i . . . ∆ni   ai1 . . . aij . . . ain  .
 .
 .
.. 
..
.. 
 ..

. 
.
. 

  ..

∆1n . . . ∆nn
an1 . . . anj . . . ann
222
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Logo, pelo Teorema 8.2.1,
bjj =
n
X
aij ∆ij = det(A).
i=1
Por outro lado, seja i 6= j . Supondo, sem perda de generalidade, que i < j ,
temos
n
n
bij =
X
akj ∆ki =
k=1
X
(−1)i+k akj det(A(k|i)),
k=1
que é o determinante da matriz

a11 . . . a1j . . . a1j . . . an1
 ..
 .
..
.
..
.

..  ,
. 
an1 . . . anj . . . anj . . . ann
desenvolvido segundo os elementos da i-ésima coluna, o qual é nulo.
Corolário 8.3.2.
Se A é uma matriz invertível, então
A−1 =
Demonstração
1
adj(A).
det(A)
Se A é invertível, então det(A) 6= 0 e, portanto,
1
adj(A) · A = In ,
det(A)
o que implica que
A−1 =
1
adj(A).
det(A)
A expressão acima para a inversa de uma matriz A de ordem n é muito
interessante do ponto de vista teórico, mas pouco útil do ponto de vista
prático, pois para utilizá-la para calcular a inversa de A seria necessário
calcular n2 determinantes de ordens n − 1 (os cofatores dos elementos de A).
Isto é computacionalmente impraticável se n é grande. Por outro lado, o
3.
223
MATRIZ ADJUNTA
método de inversão por escalonamento apresentado na Seção 1 do Capítulo
2 é computacionalmente muito mais ecaz.
Vamos, a seguir, relacionar o determinante de uma matriz com o de sua
transposta.
Sabemos do Problema 1.5 que se E é uma matriz elementar qualquer,
então det(E t ) = det(E).
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, qualquer. Logo, existem matrizes elementares E1 , . . . , Er tais que Er · · · E1 A = B , onde ou B é uma matriz
com a última linha nula, ou B = In .
Se B possui uma linha nula, B t terá uma coluna nula, logo det(B) =
det(B t ) = 0 (cf. Problema 2.1). Se B = In , então det(B) = det(B t ) = 1.
Podemos escrever
A = F1 · · · Fr B,
(1)
onde Fi = Ei−1 , i = 1, . . . , n, são também matrizes elementares (cf. Corolário
2.1.5). Tomando transpostas em (1), obtemos
At = B t Frt · · · F1t .
(2)
Tomando, agora, determinantes em (1) e (2), obtemos
det(A) = det(F1 ) · · · det(Fr ) det(B) e det(At ) = det(B t ) det(Frt ) · · · det(F1t ),
o que acarreta que det(At ) = det(A), pois det(B) = det(B t ) e det(Fi ) =
det(Fit ), para todo 1 ≤ i ≤ r.
Assim, provamos o seguinte resultado:
O determinante de uma matriz quadrada é igual ao
determinante de sua transposta.
Proposição 8.3.3.
Portanto, toda armação sobre o determinante de uma matriz quadrada,
relativamente a suas linhas, também vale para suas colunas e vice-versa. Assim, em particular, podemos calcular determinantes usando desenvolvimentos
de Laplace segundo os elementos de uma linha Li , ou seja,
det(A) =
n
X
j=1
(−1)i+j aij det(A(i|j)).
224
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Problemas
Mostre que a inversa de uma matriz triangular inferior é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior é triangular superior.
3.1
Mostre que se det(A) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros,
então todas as entradas de A−1 também são números inteiros.
3.2
3.3
Mostre que se A é invertível, então adj(A) é invertível e
(adj(A))−1 = adj(A−1 ).
3.4
Como é afetada a matriz inversa A−1 se
a) permutarmos em A a i-ésima com a j -ésima linha?
b) a i-ésima linha de A é multiplicada por uma constante k não nula?
c) a i-ésima linha de A é somada à k vezes a j -ésima linha?
4
Regra de Cramer
Nesta seção, mostraremos como expressar a solução única de um sistema
de n equações com n incógnitas AX = B , onde A é uma matriz invertível.
É a chamada Regra de Cramer, que apresentamos para n = 2 e n = 3 na
Seção 3 do Capítulo 4, que se relaciona naturalmente com os determinantes
e que serviu de motivação para a sua introdução e posterior estudo de suas
propriedades.
Seja AX = B um sistema linear
n × n. Se det(A) 6= 0, então o sistema tem uma única solução dada por
Teorema 8.4.1. (Regra de Cramer)
xj =
det(A(j) )
,
det(A)
j = 1, . . . , n,
onde A(j) denota a matriz obtida de A substituindo a sua j -ésima coluna pela
única coluna de B .
4.
225
REGRA DE CRAMER
Como det(A) 6= 0, segue-se da Proposição 8.1.7(iii) que A
é invertível. Portanto, a solução do sistema é dada por
Demonstração
X = A−1 · B =
1
adj(A) · B
det(A)

 
∆11 . . . ∆n1
b1

 
∆
. . . ∆n2   b2 
1 
 
 .12
=
.. 
  .. 
.
det(A) 
.
.

 . 
∆1n . . . ∆nn
bn

b1 ∆11 + b2 ∆21 + · · · + bn ∆n1


b1 ∆12 + b2 ∆22 + · · · + bn ∆n2 
1 
,

=
..

det(A) 
.


b1 ∆1n + b2 ∆2n + · · · + bn ∆nn

mostrando que o elemento da j -ésima linha da matriz X é
xj =
b1 ∆1j + b2 ∆2j + · · · + bn ∆nj
.
det(A)
(1)
Considerando a matriz

a11 . . . a1,j−1 b1 a1,j+1 . . . a1n
 .
A(j) =  ..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.

..  ,
. 
an1 . . . an,j−1 bn an,j+1 . . . ann
tem-se claramente que
b1 ∆1j + · · · + bn ∆nj = det(A(j) ),
o que conclui a prova, em vista de (1).
Exemplo 1.
Usemos a regra de Cramer para resolver o sistema linear



x1 + 2x2 + x3
= 5
−x1 + 2x2 + 2x3 = 0


x1 + 2x2 + 3x3 = −1.
226
CAPÍTULO 8.
DETERMINANTES
Temos que


1 2 1


A = −1 2 2 ,
1 2 3
e

A(1)

5 2 1


=  0 2 2 ,
−1 2 3

A(2)

1
5 1


= −1 0 2
1 −1 3

A(3)

1 2 5


= −1 2 0 .
1 2 −1
Como det(A) = 8 6= 0, det(A(1) ) = 8, det(A(2) ) = 28 e det(A(3) ) = −24,
a Regra de Cramer nos dá
x1 = 1,
x2 = 7/2 e x3 = −3.
Problemas
4.1
Resolva pela regra de Cramer os seguintes sistemas lineares:
(a)




2x + y + 3z = 0
4x + 2y + 2z = 0



2x + 5y + 3z = 0 ;
(b)


−2x − y + 2w = 1




3x + y − 2z − 2w = 0


−4x − y + 2z + 3w = 2




3x + y − z − 2w = −1 .
Bibliograa
[1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso , Coleção Textos Universitários, SBM, 2006.
[2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos , Editora Ciência Moderna,
2001.
[3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros , Coleção Matemática e Aplicações, IMPA, 2008.
[4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios , Coleção
PROFMAT, SBM, 2012.
[5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction , HarperCollins
College Publishers, 1993.
[6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra , 2nd edition, Undergraduate Texts
in Mathematics, Springer, 1986.
[7] E.L. Lima, Álgebra Linear , 3a edição, Coleção Matemática Universitária,
IMPA, 1998.
[8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear , 2a edição, Coleção
Matemática Universitária, IMPA, 2010.
300