Ano Lectivo 2010/11
2º Ciclo em Física
MECÂNICA QUÂNTICA COMPLEMENTAR
4ª Série
1. A partir da definição do operador rotação ℜ no espaço euclidiano e do operador
rotação R no espaço dos vectores de estado de um sistema quântico, mostre que:
r
r
R + r = ℜ −1 r
2. Considere a matriz 2×2 definida por:
r r
a0 + i σ ⋅ a
U=
r r
a0 − i σ ⋅ a
r
onde a0 é um nº real e a é um vector tridimensional com componentes reais.
a) Prove que U é unitário e se tem det U = 1.
b) Uma matriz 2×2 unitária e com determinante 1 representa, no espaço do spin de
uma partícula de spin 1/2, uma rotação num espaço euclidiano tridimensional.
Determine o eixo e o ângulo de rotação correspondentes a U em termos de a0, ax,
a y, a z .
3. Suponha um electrão num estado para o qual uma medida da componente de spin
segundo OZ dá o valor 1/2. Qual a probabilidade de a componente de spin segundo a
direcção OZ’, que faz um ângulo θ com OZ, ter o valor +1/2 (-1/2)? Qual o valor
médio da componente de spin ao longo desse eixo?
4. Considere uma rotação R de um ângulo α em torno do eixo OZ, e no sentido directo.
Esta rotação faz a passagem de um refencial (XYZ) para um referencial (X'Y'Z').
Associe a cada um dos referenciais as coordenadas esféricas (rθφ) e (r'θ 'φ ')
respectivamente. Seja Ψ o vector de estado de uma patícula sem spin. Considere
Ψ ( r 'θ 'φ ' ) = RΨ ( rθφ )
a) Relacione (rθφ) e (r'θ 'φ ').
b) Procure determinar R fazendo uma expansão em série de Taylor da função
Ψ ( r 'θ 'φ ' ) .
c) Uma rotação finita em torno do eixo OX comuta com uma rotação finita em
torno do eixo OZ?
d) Qual o operador correspondente a uma rotação de um ângulo θ em torno de uma
r
direcção de versor d ?
4ª Série
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Ano Lectivo 2010/11
e)
2º Ciclo em Física
Suponha que o Hamiltoniano H comuta com as componentes do momento
angular orbital. Calcule [H , R]
5. Considere um operador de rotação no espaço do spin para uma partícula de spin 1/2.
r
Suponha uma rotação de um ângulo φ em torno de um eixo definido pelo versor n .
a) Escreava o operador rotação em função das matrizes de Pauli e da matriz
identidade.
1
2
b) A partir da expressão que obteve determine a matriz Dσσ
' (αβγ ) ,onde (αβγ) são
os ângulos de Euler que caracterizam a rotação.
c) Determine a expressão dos vectores próprios de σ x e σ y pertencentes aos
valores próprios ± 1 , utilizando a expressão que obteve em b) para a matriz
rotação.
33
. Qual a probabiliddae
22
r
de que a projecção do spin segundo uma direcção e sentido definidos pelo versor n
6. Uma partícula de spin 3/2 encontra-se no estado jm =
com coordenadas polares θ =
π
4
,ϕ =
π
4
seja m=1/2? Recorra a uma tabela de
matrizes rotação D.
r
7. Considere um vector próprio de l 2 e lz, lm = 20 . Admita que este estado é
rodado de um ângulo β em torno do eixo OY. Determine a probabilidade de o novo
estado ter m = 0, m = ±1, m = ±2 .
8. Considere uma partícula de spin 1.
a) Mostre que se tem
e
−i
αSn
= 1 − iS n sin α − S n2 (1 − cos α )
r r r
onde S n = S ⋅ n e n é uma vector unitário arbitrário.
b) Com base no resultado da alínea anterior, escreva a expressão da matriz
Dm1 m ' (αβγ ) .
4ª Série
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