Pré-Universitário
Universitário Popular da UFF
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
DISCIPLINA: Matemática I
PROFESSOR: DAVID ANDRADE
Matriz quadrada:: é a matriz que possui o número de linhas
igual ao número de colunas.
MATRIZES
Considere a tabela abaixo que mostra os resultados dos
quatro primeiros colocados na Copa do Mundo em 2006:
Matriz quadrada de ordem 3 por 3. Ou simplesmente,
matriz quadrada de ordem 3.
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta da
t
matriz A (indicamos: A ) é a matriz obtida de A trocando as
respectivas linhas e colunas de A.
Se quisermos saber o número de vitórias da seleção
italiana (5) basta procurarmos o número situado na 1ª linha
e 2ª coluna. O número de derrotas da equipe de Portugal
(2) é o número situado na 4ª linha e 4ª coluna. A tabela
acima é um exemplo de matriz numérica.
Na matriz numérica os números são dispostos em linhas e
colunas respectivas. A matriz acima tem 4 linhas e 4
colunas, que é a ordem da matriz.
Lei de formação de uma matriz
É uma expressão algébrica que define todos os elementos
da matriz.
Exemplo: Determine a matriz M dada pela lei de formação:
M = (mij)2 x 3, onde mij = i + 2j, com 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤
3
Diagonal principal e diagonal secundária de uma matriz
quadrada
Resolução: Temos que a matriz M tem ordem 2 por 3 (2 x
3); possui duas linhas e 3 colunas.
mi j = i + 2j
m11 = 1 + 2 . 1 = 3 ; m12 = 1 + 2 . 2 = 5 ; m13 = 1 + 2 . 3 = 7
m21 = 2 + 2 . 1 = 4 ; m22 = 2 + 2 . 2 = 6 ; m23 = 2 + 2 . 3 = 8
Considere a matriz
Quadrada
uadrada de ordem 4. Os elementos a11 = 1, a22 = 7, a33
= 6 e a44 = 15 constituem a diagonal principal da matriz A.
Ou seja, são os elementos aij, com i = j. Os elementos a14
= 4, a23 = – 1, a32 = 1 e a41 = 4, da forma aij, com i + j = n +
1, onde n = 4 é a ordem da matriz, constituem a diagonal
secundária da matriz.
Matriz simétrica
t
Classificação das matrizes
Matriz linha: é a matriz que possui uma única linha.
S é matriz simétrica se sua transposta S é igual a S.
t
S é simétrica se S = S. Logo, se S for simétrica, então S
será uma matriz quadrada.
Ex:
L = [1 3 7 8]1 x 4
Matriz coluna: é a matriz que possui uma única coluna.
Matriz oposta
Dada uma matriz A, a matriz – A é a oposta da matriz A.
Ex:
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A matriz produto P terá o número de linhas da matriz A e o
número de colunas da matriz B.
Matriz antisimétrica
t
Uma matriz A é antisimétrica se A = – A . Toda matriz
antisimétrica é quadrada.
o número de colunas n da matriz A é
igual ao número de linhas n da matriz B.
B A ordem da matriz
P é m x p.
Vejamos um exemplo numérico. Sejam as matrizes:
Ex:
Operações com matrizes
Determine a matriz produto P = A . B
1ª) Multiplicação de uma matriz por um número k ∈R
Resolução: Determinamos a matriz produto P = A . B,
multiplicando os elementos das linhas de A pelos
respectivos elementos das colunas de B. Vejamos:
Generalizando: Dada uma matriz M
,
podendo M ser de qualquer ordem.
2ª) Soma e subtração de matrizes
Regra: Só podemos somar e subtrair matrizes de mesma
ordem, somando e subtraindo elementos de linhas
li
e
colunas, respectivamente.
Considere:
Matriz identidade (notação: I)
Considere A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos
que A é a matriz identidade de ordem n (indicamos: In) se
A = (aij), com aij = 1 se i = j e aij = 0, se ≠ j.
Determine a matriz S = A – B + 4C
Matriz inversa
Definição: Considere uma matriz A quadrada de ordem n.
–1
A inversa da matriz A, se existir, será a matriz A de
–1
–1
ordem n tal que: A . A = A . A = In, onde In é a
identidade de ordem n.
3ª) Produto de matrizes
Regra: Dadas duas matrizes A e B, só estará definida a
matriz produto P = A . B se o número de coluna da 1ª
matriz A for igual ao número de linhas da 2ª matriz B.
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Cofator
DETERMINANTES
A toda matriz quadrada M está associado um número real
K que é o determinante da matriz M.
Notação: deT M = K ou |M| = K, com K∈R
R
Para definirmos determinante de uma matriz de ordem n
≥ 4, precisaremos definir o cofator Cij de um elemento aij
de uma matriz quadrada A de ordem n qualquer.
i+j
Definimos: Cij = (– 1) Dij, onde Dij é o determinante que
se obtém da matriz A, eliminando sua i-ésima
i
linha e jésima coluna.
Determinante de uma matriz de ordem 1
Determinante de uma matriz de ordem 2
Determinante de uma matriz de ordem 3
Repetimos as duas primeiras colunas ou as duas primeiras
linhas com o seguinte procedimento:
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e) Calcule a soma dos produtos dos elementos da 1ª linha
pelos seus respectivos cofatores e compare com o valor
encontrado para o determinante de A.
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Muitos dos problemas algébricos são resolvidos através da
utilização de equações lineares. Vejamos um exemplo
ilustrativo: Um filho propôs a seu pai o seguinte acordo.
Para cada nota acima de 8, obtida durante o ano, seu pai
lhe daria R$ 20,00 e para cada nota abaixo de 5, o filho
teria que dar ao pai R$ 30,00. Durante o ano o menino
realizou 64 provas e, ao final,l, ganhou do pai R$ 1.080,00.
Quantas notas acima de 8 o menino tirou?
Propriedades dos determinantes
P1: Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de
uma matriz por um número real K e somamos a outra fila
respectiva, o determinante não se altera (Teorema de
Jacobi).
P2: Se uma matriz A tem uma fila de zeros, então deTA =
0.
P3: Se uma matriz A tem duas filas iguais ou duas filas
onde uma é combinação linear da outra, então deTA = 0.
P4: Quando
uando temos acima ou abaixo das diagonais, todos
os elementos iguais a zero (matriz triangular), o
determinante é igual ao produto dos elementos
elem
da
diagonal.
P5: quando trocamos duas filas paralelas de uma matriz A
obtemos uma matriz A', tal que deTA' = – deTA
Observem que nas equações x + y = 64 e 20x – 30y =
1.080 do sistema, as incógnitas x e y possuem grau 1.
Dizemos que temos então um sistema de equações do 1º
grau e o par ordenado (60, 4) é a solução do sistema.
P6: Dada uma matriz A, se multiplicarmos uma fila da
matriz A por um número real k, obteremos uma matriz A',
onde deTA' = k . deTA.
Classificação de um sistema
P7: Dada uma matriz M de ordem n. Se multiplicarmos a
matriz M por um número K∈R,
R, obteremos uma matriz M' =
n
K.M, onde deTM' = K .deTM.
P8: Dadas duas matrizes A e B de ordem n. Temos que
deT(A.B) = deTA.deTB.
t
P9: Dadas uma matriz A de ordem n e sua transposta
tran
A.
t
Temos deT A = deTA
–1
P10: Seja P uma matriz de ordem n invertível e P a sua
inversa. Temos que
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-
Temos como conjunto verdade V = {(2, –1)}. O sistema
tem uma única solução. Dizemos que o sistema é possível
e determinado SPD.
SPD: Sistema possível e determinado. Solução única.
O sistema foi resolvido usando-se
usando
o método da eliminação
através da soma, que consiste em reduzir o sistema a uma
equação com uma incógnita. Para isso, eliminamos
uma das incógnitas usando operações elementares de
soma e produto. No caso, eliminamos a incógnita
in
x,
multiplicando a 2ª equação por 3 e somando com a 1ª
equação. Poderíamos ter resolvido o sistema pelo método
da substituição, que consiste em explicitar uma das
incógnitas em uma das equações e substituir na outra
equação. Vejamos:
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Há um terceiro
rceiro método de resolução que é o da
comparação, que consiste em explicitar a mesma incógnita
nas duas equações e comparar (igualar) as expressões.
Vejamos:
Resolução de um sistema pelo método do escalonamento
E1: Resolva o sistema
Infinitos valores de x e y multiplicados por zero dão zero.
Dizemos que o sistema é possível
el e indeterminado (SPI).
SPI: Sistema possível e indeterminado (admite infinitas
soluções).
Não há valores de x e y que multiplicados por zero, dêem
resultado igual a – 5.
Dizemos que o sistema é impossível (SI), não admite
solução.
Sistema de 3 equações e 3 incógnitas
Exemplo: Resolva o sistema:
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Exercício Resolvido:
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Discutir um sistema em função de um parâmetro m
qualquer, é verificar para que valores reais de m o sistema
é SPD, SPI ou SI.
Resolução de um sistema pelo Método de Crammer
Só é aplicável a sistemas onde o número de equações é
igual ao número de incógnitas.
Referências bibliográficas:
Considere o sistema
Temos as seguintes matrizes associadas ao sistema
Entendendo a Matemática, 1. João Carlos Domingues
Vianna. 4. Ed. – Niterói: impressão independente, 2010.
Entendendo a Matemática, 2. João Carlos Domingues
Vianna. 4. Ed. – Niterói: impressão independente, 2010.
que é a matriz incompleta do sistema ou matriz
dos coeficientes das incógnitas.
Matemática: Ciências e aplicações, 1: ensino médio /
Gelson Iezzi...[ET AL.].
]. 5.ed. – São Paulo: Atual, 2010.
Matemática: Ciências e aplicações, 3: ensino médio /
Gelson Iezzi...[ET AL.]. 5.ed. – São Paulo: Atual, 2010.
Novo Bezerra, vol. Único / Manoel Jairo Bezerra e José
Carlos Putnoki. 4. ed. – São Paulo: Scipione, 1997.
O sistema
tem
em a seguinte representação
matricial
Temos também os seguintes determinantes:
que é o determinante dos
coeficientes das incógnitas.
que é o determinante
obtido de D, substituindo os coeficientes da incógnita x (2
e – 3) pelos termos independentes (– 4 e 7).
que é o determinante
obtido de D, substituindo os coeficientes da incógnita y (–
( 3
e 5) pelos termos independentes (– 4 e 7).
que fornecerá o conjunto verdade V = {(1, 2)}
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