FOLHAS DE PROBLEMAS
Termodinâmica e teoria cinética
Física dos Estados da Matéria
2002/03
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
1ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM
1. Calcular o trabalho realizado por 10g de oxigénio (O2) expandindo-se
isotermicamente a 20oC da pressão de 1 atm para 0,3 atm.
2. Um gás ideal é levado de um estado A, caracterizado por P = 1 atm, V = 1 l, a um
estado B, caracterizado por P = 4 atm, V = 5 l, por dois processos diferentes: no
primeiro processo, P varia com V da forma P = 100/V2 (SI); no outro processo,
aquela variação é da forma P = 124-24 V (SI).
Calcular o trabalho realizado entre A e B em cada um dos casos.
3. Calcular o trabalho realizado por uma mole de um gás durante uma expansão
isotérmica quase-estática desde um volume inicial Vi até um volume final Vf ,
quando a equação de estado é:
a) P(V-b) = RT (R,b são constantes)
b) PV = RT (1-B/V) (R = constante; B = f(T))
4. Um gás ideal sofre o seguinte ciclo reversível:
i)
Uma expansão isobárica desde o estado (P1,V1) até ao estado (P1,V2);
ii) Uma redução isocórica da pressão até ao estado (P2,V2);
iii) Uma redução isobárica de volume até ao estado (P2,V1);
iv) Um aumento isocórico da pressão até ser restabelecido o estado original
(P1,V1).
a) Qual é o trabalho realizado neste ciclo ?
b) Se P1 = 3 atm, P2 = 1 atm, V1 = 1 l e V2 = 2 l, que trabalho é realizado pelo
gás ao efectuar este ciclo 100 vezes ?
______________________________________ FEM 1. 1 ____________________________________
5.
A compressibilidade isotérmica K e o coeficiente de expansão volumétrica β de
uma substância são dados, repectivamente, por:
K =−
β=
( )
( )
1 ∂V
V ∂P
1 ∂V
V ∂T
T
=
P
=
3(V − a )
4 PV
V −a
TV
onde a é uma constante. Determinar a equação de estado da substância.
6.
A capacidade calorífica molar a pressão constante de um gás varia com a
temperatura de acordo com a seguinte equação:
C p = a + bT −
c
T2
onde a, b e c são constantes. Que quantidade de calor é transferida durante um
processo isobárico no qual n moles do gás sofrem um aumento de temperatura de
Ti a Tf ?
7. Um cilindro contém 1 mole de oxigénio gasoso à temperatura de 27o C. O cilindro
está equipado com um pistão móvel sem atrito que mantém uma pressão constante
de 1 atm sobre o gás enquanto este é aquecido até a sua temperatura atingir 127oC.
a) Traçar a curva representativa do processo no diagrama PV.
b) Qual é o trabalho realizado pelo gás ?
c) Sobre o quê é esse trabalho realizado ?
d) Que quantidade de calor foi fornecida ao gás ?
e) Qual foi a variação da energia interna do gás ?
[NOTA: Cp = 7,03 cal/(mole ✕ grau) ; Cv = 5,04 cal/(mole ✕ grau)]
8. Um cilindro horizontal isolado contém um pistão não condutor sem atrito. De cada
lado do pistão há 54 l de um gás ideal monoatómico inerte, à temperatura de 273
______________________________________ FEM 1. 2 ____________________________________
K e à pressão de 1 atm. Fornece-se, lentamente, calor ao gás da esquerda até que o
pistão tenha comprimido o gás da direita a 7,59 atm.
a) Qual é o trabalho realizado sobre o gás da direita ?
b) Qual é a temperatura final do gás da direita ?
c) Qual é a temperatura final do gás da esquerda ?
d) Qual é a quantidade de calor fornecida ao gás da esquerda ?
[NOTA: Para um gás monoatómico ideal: Cp = (5/2)R ; Cv = (3/2)R]
______________________________________ FEM 1. 3 ____________________________________
2ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM
1. Uma das extremidades de uma barra termicamente isolada é mantida à
temperatura T1 e a outra à temperatura T2 (com T2 > T1).
T1
T2
l1,k1
S
l2,k2
A barra, de secção homogénea, é formada por dois segmentos de materiais
diferentes, um de comprimento l1 e coeficiente de condutibilidade calorífica k1 e o
outro de comprimento l2 e coeficiente de condutibilidade calorífica k2.
a) Mostrar que a temperatura da superfície de contacto, S, entre as duas partes da
barra é dada por:
T =
(k1 / l1 )T1 + (k2 / l2 )T2
(k1 / l1 ) + (k2 / l2 )
b) Qual é a condutibilidade calorífica, k, da barra como um todo (ou seja, de uma
barra equivalente de um único material e comprimento l1+l2) ?
2. Uma arrecadação tem quatro paredes de tijolo, uma área de 4 x 5 m2 e uma altura
de 3 m. A temperatura no seu interior é θ1 = 15oC, enquanto que a temperatura
exterior é θ2 = − 20oC. O coeficiente de condutibilidade calorífica dos tijolos é de
0,002 cal (grau cm s)
–1
e a espessura das paredes é de 50 cm. Se for possível
desprezar as perdas de calor através do solo e do tecto, determinar a quantidade de
calor que a arrecadação liberta por minuto.
______________________________________ FEM 2. 1 ____________________________________
3.
Um sistema termodinâmico evolui, efectuando uma transformação cíclica que
passa pelos estados A, B, C e regressa a A, como se indica no diagrama PV
abaixo:
P(✕10-4 atm)
4
C
A
2
B
V(m3)
2,0
4,0
TABELA
Q
A
B
C
B
C
A
a)
W
∆U
+
+
Preencher a Tabela com os sinais +, – ou zero, consoante as variações
termodinâmicas de cada transformação.
b)
Calcular o trabalho realizado pelo sistema durante o ciclo.
4. Uma molécula-grama de um gás diatómico inicialmente à pressão de 1 atm e à
temperatura de 300 K é submetida ao seguinte conjunto de transformações:
(i)
Uma compressão adiabática que aumenta a sua temperatura para 400 K;
(ii)
Uma expansão isobárica até a sua temperatura atingir 600 K;
(iii)
Uma expansão adiabática até à temperatura de 450 K;
(iv)
Uma redução isobárica de volume até ao estado inicial.
Supondo as transformações reversíveis,
a) Representar o ciclo no diagrama PV.
b) Calcular as quantidades de calor postas em jogo em cada uma das quatro
transformações.
______________________________________ FEM 2. 2 ____________________________________
c) Calcular a variação da energia interna no decorrer da transformação (ii)
(expansão isobárica).
[NOTA: γ = 7/5 ; CP = (7/2) R.]
5. Quando um sistema é levado do estado a ao estado b seguindo a trajectória [acb],
20 kcal entram no sistema e este realiza um trabalho de 7,5 kcal.
P
c
b
a
d
V
a) Se o caminho seguido for [adb], qual é a quantidade de calor que entra no
sistema se o trabalho realizado for igual a 2,5 kcal ?
b) Quando o sistema volta de b para a ao longo da trajectória curva [ba], o
trabalho realizado é de 5 kcal. O sistema absorve ou liberta calor ? Qual a
quantidade ?
c) Se Ua = 0 e Ud = 10 kcal, determinar o calor absorvido nos processos [ad] e
[db].
6. Um gás ideal expande-se adiabaticamente de forma que sua pressão passa de 2
atm para 1 atm. Depois é aquecido a volume constante até à temperatura inicial e a
sua pressão sobe para 1,22 atm.
a) Determinar o valor do γ deste gás.
b) Representar a transformação sofrida pelo gás num diagrama PV.
7. Por compressão adiabática de um gás ideal até à redução do seu volume a metade
há um aumento de temperatura de 17oC para 110oC.
Calcular o valor da capacidade calorífica molar a volume constante do gás.
______________________________________ FEM 2. 3 ____________________________________
8. Num processo quase-estático A→ B (ver diagrama) no qual não há trocas de calor
entre o sistema e o exterior, a pressão P de uma certa quantidade de gás varia com
P = α V-5/3 ,
o volume V de acordo com a relação:
P(x106 dine/cm2)
(a)
A
32
(b)
(c)
1
B'
(a)
P=α V-5/3
A'
B
(c)
8
1
V(x 103 cm3)
onde α é uma constante. Determinar o trabalho (quase-estático) realizado e o
calor absorvido em cada um dos seguintes três processos, nos quais o sistema é
levado do estado A ao estado B:
(a) O sistema sofre uma expansão desde o volume inicial até ao volume final,
recebendo calor de modo a manter constante a pressão. O volume é, então,
fixado e é extraído calor de forma a que a pressão seja reduzida para 106
dine/cm2;
(b) O volume é incrementado e é absorvido calor de forma a que a pressão
decresça linearmente com o volume;
(c) Os mesmos passos seguidos na transformação (a) mas agora em sentido
inverso, isto é, de A para A’ e de A’ para B.
______________________________________ FEM 2. 4 ____________________________________
3ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM
1. Uma máquina de Carnot cuja fonte fria está a uma temperatura de 280 K tem um
rendimento de 40%. Deseja-se aumentá-lo para 50%.
a) De quantos graus deve ser aumentada a temperatura da fonte quente,
mantendo constante a da fonte fria ?
b) De quantos graus deve ser diminuída a temperatura da fonte fria, mantendo
constante a da fonte quente ?
c) Tirar as devidas conclusões.
2. Uma máquina frigorífica de Carnot absorve calor da água a 0oC cedendo-o a um
ambiente à temperatura de 27oC. Supondo que 50 kg de água a 0oC são
convertidos em gelo a 0oC, determinar:
a) O coeficiente de performance da máquina;
b) A quantidade de calor entregue ao meio ambiente;
c) A quantidade de energia mecânica que deve ser fornecida à máquina.
[NOTA: O calor de fusão da água é de 80 cal/g.]
3. Uma máquina térmica que opera com um gás ideal descreve um ciclo que
representado num diagrama PV é um rectângulo. Sejam P1 e P2 as pressões baixa e
alta, respectivamente, e V1 e V2 os volumes menor e maior, respectivamente.
a) Calcular o trabalho realizado pela máquina durante um ciclo de
funcionamento.
b) Indicar que partes do ciclo envolvem um fluxo de calor para o gás e calcular o
valor total da quantidade de calor recebida pelo gás num ciclo.
c) Mostrar que o rendimento da máquina é dado por:
________________________________________ FEM 3. 1___________________________________
η=
γP2
γ −1
+
P2 − P1
V1
V2 − V1
4. A figura representa um diagrama PV de um determinado ciclo realizado por um
gás ideal. Todos os processos são quase-estáticos e as capacidades caloríficas são
constantes. Provar que o rendimento térmico de uma máquina que realizasse este
ciclo seria:
η = 1−γ
T4 − T1
T3 − T2
P
3
P3
Adiabáticas
P2
2
P1
4
1
V2
V1
V4
V
5. A figura representa o diagrama PV de um determinado ciclo realizado por um gás
ideal. Todas as transformações são quase-estáticas. Provar que o rendimento de
uma máquina que realizasse tal ciclo seria:
(γ −1) / γ
P
η = 1− 1
P2
________________________________________ FEM 3. 2___________________________________
P
Adiabáticas
2
P2
3
1
P1
4
V
V2
V1
V3
V4
6. Um ciclo diesel ideal é, basicamente, contituído pelas seguintes transformações:
1→2, compressão adiabática; 2→3, expansão isobárica; 3→4, expansão adiabática;
4→1, redução isocórica da pressão. Mostre que a expressão do rendimento de uma
máquina que realize um ciclo diesel ideal é:
γ
γ
V3
V
− 2
V1
1 V1
η = 1−
γ V3
V
− 2
V1
V1
P
P2
2
3
P4
4
P1
1
V
V2
V3
V1
________________________________________ FEM 3. 3___________________________________
7. a) Põe-se 1 kg de água a 273 K em contacto com um foco calorífico a 373 K.
Quando a água alcança a temperatura de 373 K, quais são as variações de entropia
da água, do foco calorífico e do universo ?
b) Se se tivesse aquecido a água pondo-a primeiro em contacto com um foco a
323 K e depois com outro a 373 K, qual seria a variação de entropia do universo ?
c) Comparando os resultados das alíneas a) e b), que conclusões podem ser
tiradas ?
8. Calcular a variação da entropia do universo como resultado de cada um dos
seguintes processos:
a) Um bloco de cobre de 400 g de massa e à temperatura de 100oC é colocado
num lago a 10oC. A capacidade calorífica a pressão constante do bloco é de
150 JK-1.
b) O mesmo bloco, a 10oC, é deixado cair de uma altura de 100 m para dentro do
lago. Quanto vale a energia indisponível para ser convertida em trabalho ?
c) Dois blocos iguais ao anterior, um a 100oC e o outro a 10oC, são colocados em
contacto térmico.
9. Uma massa m de água à temperatura T1 é misturada, adiabática e isobaricamente,
com outra massa igual de água à temperatura T2. Demonstrar que a variação de
entropia do universo é:
∆S = 2mc p ln
(T1 + T2 ) / 2
T1T2
________________________________________ FEM 3. 4___________________________________
10. A transformação cíclica representada na figura é constituída por duas isobáricas
(2→3 e 4→1), uma isotérmica (1→2) e uma adiabática (3→4). Supondo que 0,5
moles de oxigénio descrevem este ciclo, que P1 = 1 atm, V1 = 5000 cm3, V3 =
2500 cm3 e que na transformação isotérmica a entropia do gás aumenta de 2,88
JK-1,
a) determinar o volume V2;
b) desenhar o diagrama entrópico do ciclo;
c) Indicar, justificando, se uma máquina que realizasse este ciclo seria uma
máquina térmica ou uma máquina frigorífica.
[NOTA: admita que o oxigénio se comporta como um gás ideal e que
CV=5R/2 e γ=7/5.]
P
P1
1
4
2
P2
3
V
V1
V2
V4
V3
________________________________________ FEM 3. 5___________________________________
4ª FOLHA DE PROBLEMAS DE FEM
1. Supondo que o azoto (N2) é um gás ideal à temperatura ambiente e à pressão
atmosférica, determinar o tempo livre médio de uma molécula de N2, num
ambiente com essas condições.
2. a) Determinar o número de colisões moleculares que em cada segundo é, em
média, sentido por cada centímetro quadrado de uma superfície plana exposta ao
ar, à pressão de 1 atm e a 300 K.
b)
Qual deve ser a altura de um cilindro com 1 cm2 de área de secção e que
contenha um número de moléculas igual ao número de moléculas de ar que a 1
atm e a 300 K, colidem com a superfície de 1 cm2 em cada segundo ?
[NOTA: A massa molecular média do ar é 29.]
3. Uma superfície metálica limpa é colocada num vácuo que tem uma pressão
residual de oxigénio de 10-7 Torr à temperatura ambiente.
a) Estimar o tempo que leva a cobrir a superfície com oxigénio se o diâmetro de
uma molécula de O2 for de 0,23 nm e o sistema estiver à temperatura
ambiente.
b) Que tempo levará a cobrir metade da área da superfície se a pressão residual
for reduzida para 10-10 Torr ?
[NOTA: Admitir que aderem à superfície todas as moléculas que a atingem, o que
é uma aproximação razoável à temperatura ambiente.]
4. Considere-se um gás que se encontra repartido entre as duas câmaras de um
recipiente. As câmaras são mantidas às temperaturas T1 e T2 (com T1 ≠ T2), sendo
a pressão, muito baixa, do gás nas câmaras P1 e P2, respectivamente. As câmaras
______________________________________ FEM 4. 1_____________________________________
comunicam entre si por meio de um orifício suficientemente pequeno para que o
equilíbrio térmico de cada câmara não seja perturbado.
a) Como é que se pode caracterizar a condição de equilíbrio molecular entre as
duas câmaras ?
b) Obter uma relação entre as pressões P1 e P2 e as temperaturas T1 e T2.
5. Obter uma expressão que forneça o tempo necessário para que a pressão de um
gás à temperatura T, armazenado num recipiente com um volume V e que possui
um orifício de área S numa das suas paredes aberto para um vácuo circundante,
caia de Po para P.
6. Um recipiente com um volume de 2 l contém ar a uma pressão de 10-3 Torr e à
temperatura de 300 K. Numa das suas paredes há uma pequena fenda com uma
área de 10-10 cm2 que comunica com a atmosfera nas condições PTN.
a) Não desprezando nos cálculos a efectuar o número de moléculas que saem do
recipiente, mostrar que ao fim de 1 h:
i)
O número de moléculas no recipiente é de ~ 1,67 x 1017;
ii)
A pressão no recipiente é de ~ 2,6 x 10-3 Torr;
iii)
O número de moléculas que por unidade de tempo atravessa a fenda de
dentro para fora é desprezável face ao número das que entram no
recipiente pela fenda.
b) Determinar o tempo necessário para que a densidade de moléculas no interior
do recipiente aumente para metade do número de moléculas por unidade de
volume no exterior.
[NOTA: A massa molecular média do ar é 29.]
7. a) Um recipiente de volume V está dividido em dois compartimentos de igual
volume por uma divisória fina onde existe um pequeno orifício de área S.
Inicialmente, na câmara da esquerda há um gás ideal à pressão Po tendo a câmara
da direita sido evacuada. Obtenha uma expressão para a pressão Pe na câmara da
______________________________________ FEM 4. 2_____________________________________
esquerda como função do tempo. Admita que a temperatura se mantém constante
e que é a mesma de ambos os lados da divisória.
b) Supondo agora que inicialmente a pressão na câmara da esquerda é Pe(0) e na
câmara da direita Pd(0), determine a pressão Pe(t) do gás no lado esquerdo,
continuando a admitir que a temperatura é a mesma nos dois compartimentos.
8. O
coeficiente
de
viscosidade
do
hélio
nas
condições
PTN
é
de
1.86 × 10 −5 kg m −1 s −1 . Determinar:
a) O coeficiente de condutibilidade calorífica;
b) O livre percurso médio;
c) O diâmetro molecular;
d) A pressão para a qual o livre percurso médio é igual a 10-2 m a 300 K e a
30 K.
9. O coeficiente de viscosidade do gás hélio a T = 273 K e P = 1 atm é η1 enquanto
que o do gás argon é η2. As massas atómicas destes gases monoatómicos são µ1 e
µ2, respectivamente.
a) Qual é o valor do quociente, σ2/σ1, entre as secções eficazes dos átomos
Ar-Ar, σ2 , e He-He, σ1 ?
b) Qual é o valor do quociente, k2/k1, entre as condutibilidades caloríficas do
argon, k2, e do Hélio, k1, quando T = 273 K ?
c) Quanto vale D2/D1, o quociente entre os coeficientes de difusão de ambos
os gases, quando T = 273 K ?
d) As massas atómicas do He e do Ar são, respectivamente, µ1 = 4 e µ2 = 40.
Os coeficientes de viscosidade medidos a 273 K são, respectivamente, η1 =
1,84 x 10-4 g cm-1s-1 e η2 = 2,105 x 10-4 g cm-1s-1. Utilizar esta informação
para calcular os valores aproximados das secções eficazes σ1 e σ2.
e) Se se admitir que os átomos se comportam como esferas rígidas, calcular o
diâmetro d1 do átomo de hélio e o diâmetro d2 do átomo de argon.
______________________________________ FEM 4. 3_____________________________________
SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
1ª FOLHA
1.
W = 917J
1.
1º processo: 80KJ; 2º processo: 0.5J
2.
3.
5.
[
]
a)
W = RT ln (Vf − b) (V − bi )
b)
W = RT ln (Vf Vi )+ B(1 Vf − 1 Vi )
a)
Wciclo = (V2 − V1 )(P1 − P2 )
b)
2.026 × 104 J
[
]
(V − a)P3 4 = C2 T
[
]
6.
Q = ν (Tf − Ti ) a + b(Tf + Ti ) 2 − c (Tf Ti )
7.
b)
W = 810.4J
c) sobre o exterior
8.
d)
∆Q = 2942.1J
e)
∆U = 2131.7J
W = 1.02 × 10 4 J
b) TDF = 614.25K
a)
c)
TEF = 3530K
d)
∆Q = 1.08 × 10 J
5
2ª FOLHA
k = (l1 + l2 ) (l1 k1 + l2 k2 )
1.
b)
2.
∆Q = 1.9 × 10 J
3.
4.
5
W = −20.26J
b) ∆Q12 = ∆Q34 = 0 ; ∆Q23 = 5.82KJ ; ∆Q41 = −4.36KJ
b)
c)
∆U23 = 4.157KJ
a)
∆Qadb = 15Kcal
b)
∆Qadb = −17.5Kcal (sistema liberta calor)
c)
∆Qad = 12.5Kcal ; ∆Qdb = 2.5Kcal
6.
a)
γ = 1.4
7.
CV = 5R 2
5.
______________________________________ FEM S. 1____________________________________
8.
a)
W = 3600J e ∆Q = 18800J
b)
W = 1.153 × 104 J e ∆Q = 7930J
c)
W = 700J e ∆Q = −2900J
3ª FOLHA
1.
a) 93K
b) 46.5K
2.
3.
7.
8.
a)
ω = 10.1
b)
∆Q = 4.4 × 10 cal
c)
W = 1.7 × 106 J
a)
W = (P2 − P1 )(V2 − V1 )
b)
∆QTOTAL = νR[(TA − TB ) + (TC − TD )]
6
a)
∆S(água ) = 1310 JK −1 ; ∆S(foco ) = −1120JK −1 ; ∆S(universo ) = 190JK −1
b)
∆S(universo ) = 95JK
a)
∆S(universo ) = 6.3JK
b)
∆S(universo ) = 1.39JK
c)
∆S(universo ) = 3.6JK
10. a)
−1
−1
−1
−1
V2 = 10l
c) máquina frigorífica
4ª FOLHA
1.
τ = 6.8 × 10 −10 s
2.
a)
2.86 × 10 colisões (scm
23
2
)
b) 120 m
3.
a) 67.3s
b) 67300s
4.
5.
6.
a)
φ1 = φ2
b)
P1 P2 = T1 T2
t = (V S ) 2πM RT ln(P0 P )
b)
t = 37.6 anos
P
vS
a) Pe (t ) = 0 1 + exp −
t
2
V
7.
b)
Pe (t ) = [Pe (0) + Pd (0)] 2 + [Pe (0 ) − Pd (0)] 2exp (− v St V )
______________________________________ FEM S. 2____________________________________
8.
a)
b)
k = 5.8 × 10 −2 Wm −1 s −1 K −1
l = 2.73 × 10 −7 m
d ≈ 1.8 × 10−10 m
d) 300 K: P = 2.877Pa ; 30 K: 0.2877Pa
c)
9.
a)
σ 2 σ 1 = (η1 η2 ) µ2 µ1
b)
k 2 k1 = (η 2 η1 )(µ1 µ 2 )
c)
D2 D1 = (η2 η1 )(µ1 µ2 )
d)
σ 1 = 1.006 × 10−19 m2 ; σ 2 = 2.83 × 10 −19 m 2
e)
d1 = 1.79 × 10
−10
m ; d2 = 3.00 × 10
−10
m
______________________________________ FEM S. 3____________________________________