http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0058
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FLUXO DE CARGA DESACOPLADO RÁPIDO CONTINUADO PARA DETERMINAÇÃO DO
PONTO DE MÁXIMO CARREGAMENTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
PARTE I: DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
Elisabete de Mello Magalhães 1, Alfredo Bonini Neto 2, Dilson Amancio Alves 3
1
2
UNESP - Departamento de Engenharia Elétrica, Ilha Solteira – Brasil, [email protected]
UNESP - Departamento de Engenharia Elétrica, Ilha Solteira – Brasil, elisabete.magalhã[email protected]
3
UNESP - Departamento de Engenharia Elétrica, Ilha Solteira – Brasil, [email protected]
Resumo: O método de fluxo de carga desacoplado rápido
(FCDR) é considerado inadequado para a obtenção do ponto
de máximo carregamento de sistemas elétricos de potência.
No entanto, neste trabalho mostra-se, que com pequenas
modificações, a versão BX do fluxo de carga desacoplado
rápido torna-se adequada para a obtenção desse ponto.
Palavras-Chave: Fluxo de carga desacoplado rápido, curva
P-V, método da continuação.
1. INTRODUÇÃO
A crescente preocupação com os problemas relacionados
com a instabilidade estática de tensão se deve à sua
importância para o planejamento e a operação dos sistemas
elétricos de potência. Fatores como o crescente aumento da
demanda de energia, a transferência de elevadas quantidades
de potência para atender o consumo, aliados as exigências
econômicas e ambientais têm, em geral, levado os sistemas a
operarem próximos de seus limites, com reduzidas margens
de carregamento, ou seja, os sistemas tornam-se vulneráveis
a possíveis ocorrências de instabilidade de tensão. A
margem de estabilidade é definida como o maior aumento
de carga que o sistema pode ter, sem provocar o colapso de
tensão.
O levantamento da curva P-V é considerado o
procedimento mais adequado para a determinação das
margens de estabilidade estática de tensão. Assim, entre os
objetivos fundamentais dos métodos de análise da
estabilidade estática de tensão está a obtenção do ponto de
máximo carregamento (PMC) dos sistemas de potência.
Os métodos mais utilizados para o traçado das curvas PV são o fluxo de carga convencional (FC), e o fluxo de
carga continuado (FCC) que associa o método de Newton a
um método da continuação [1]. O primeiro, considerado
robusto, converge quase sempre e com poucas iterações,
mas devido à singularidade da matriz Jacobiana no PMC,
este não possibilita precisar o PMC devido aos problemas
numéricos que surgem em torno deste. Para carregamentos
maiores que o do PMC, as equações de FC não têm solução.
Por outro lado, o FCC [1-11] composto por quatro
elementos básicos (o passo preditor, o passo corretor, um
controle de passo e a parametrização) procura garantir
através da parametrização, a não singularidade da matriz
Jacobina (J) no PMC e com isso, a eliminação dos
problemas numéricos que ocorrem em torno deste. Assim,
possibilita-se que os mesmo algoritmos, com precisão
simples, sejam usados tanto na vizinhança quanto no próprio
PMC. Dessa forma, o traçado completo do perfil de tensão é
efetuado variando automaticamente o valor de um
determinado parâmetro do sistema, sem preocupação com as
singularidades das equações do fluxo de carga.
Em geral, o fluxo de carga usando o método de Newton
desacoplado (FCND), derivado do FC convencional e
presente na literatura [12], no qual se pode fazer uso de dois
algoritmos de resolução o simultâneo e o alternado,
apresenta um fraco desempenho para o traçado de curvas PV e falha na obtenção do PMC de sistemas elétricos de
potência.
Em [13] foi apresentado o fluxo de carga utilizando o
método de Newton desacoplado continuado (FCNDC),
utilizando o algoritmo alternado de resolução, propiciando a
determinação do PMC de sistemas elétricos de potência sem
problemas relacionados à singularidade da matriz J.
Visando maior rapidez e robustez para o traçado das
curvas P-V, surgem os FC desacoplado rápido (FCDR). As
simplificações introduzidas na matriz Jacobiana do FC pelo
método de Newton deram origem às versões BX e XB do
método de FCDR [14].
O amplo uso do método de FC desacoplado rápido
convencional, para cálculos de FC, é devido a suas
características de velocidade de convergência e pouca
necessidade de memória computacional. Em função destas
vantagens, sempre há um interesse por parte das
concessionárias em usá-lo nos algoritmos em geral e,
particularmente, associado ao método da continuação. O
intuito é o de reduzir a carga computacional exigida para o
traçado das curvas P-V. Em [15] foram apresentados os
métodos de FCDR parametrizados, usando Vk ou k, de uma
barra k qualquer, ou  como parâmetro.
Neste trabalho apresenta-se o fluxo de carga desacoplado
rápido continuado modificado (FCDRCM) na versão BX
[16], a qual consiste na adição de uma equação de reta que
passa por um ponto no plano formado pelas variáveis:
tensão nodal de uma barra k (Vk) qualquer e o fator de
carregamento (). O uso dessa técnica elimina a necessidade
de troca de parâmetro ao longo do traçado da curva P-V, e
amplia o grupo das variáveis de tensão que podem ser
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FLUXO DE CARGA DESACOPLADO RÁPIDO CONTINUADO PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO DE MÁXIMO CARREGAMENTO DE
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PARTE I: DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
Elisabete de Mello Magalhães, Alfredo Bonini Neto, Dilson Amancio Alves
adotadas para a composição da equação da reta. Nesta
metodologia o coeficiente angular da reta () será utilizado
como parâmetro. O FCDRCM é utilizado no traçado das
curvas P-V dos sistemas: IEEE 118 e 300 barras, e duas
configurações do sistema Sul-Suldeste Brasileiro: de 638 e
787 barras. Os resultados e discussões, que são apresentados
na parte II desse trabalho [17], comprovam a eficiência do
método desacoplado proposto na obtenção do PMC.
2. FLUXO DE CARGA CONTINUADO
Nos estudos de estabilidade estática de tensão, o sistema
elétrico de potência é representado pelo seguinte conjunto
de equações de FC:
G ( θ , V , λ )  0 , ou
ΔP ( θ , V , λ )  λ P esp  P ( θ , V )  0
(1)
ΔQ ( θ , V , λ )  λ Q esp  Q ( θ , V )  0
sendo  o fator de carregamento, V o vetor das magnitudes
das tensões nodais e  o vetor do ângulo das tensões nodais,
Pesp o vetor da diferença entre as potências ativas gerada
(Pgesp) e consumida (Pcesp) para as barras de carga (PQ) e de
geração (PV), e Qesp o vetor da diferença entre as potências
reativas gerada (Qgesp) e consumida (Qcesp) para as barras de
carga PQ. ∆P e ∆Q são denominados resíduos (mismatches)
de potência ativa e reativa, respectivamente, P(θ,V) e
Q(θ,V) corresponde as equações não lineares de potência
ativa e reativa para cálculo dos vetores V e θ. Para uma
barra k qualquer, Pk(θ,V) e Qk(θ,V) são dados por:
Pk , V   G k Vk2  Vk  Vl g kl cosθ kl  b kl senθ kl , k  PQ, PV
l  k
Q k , V 
  B k Vk2
 Vk  Vl g kl senθ kl  b kl cosθ kl , k  PQ,
l  k
sendo k o conjunto de todas as barras diretamente
conectadas à barra k, (Yk,k=Gk+jBk) o elemento da diagonal k
da matriz admitância nodal (Y), e (Ykl=gkl+jbkl) à admitância
série do ramo que conecta as barras k e l. Após a definição
de um padrão de variação da carga e de uma estratégia de
despacho da geração, realiza-se o traçado da curva P-V por
meio de sucessivas soluções de (1) utilizando um FC. Nesse
procedimento, P e Q, são as variáveis independentes,
enquanto que V e θ, excetuando V e θ da barra referência e
as V das barras PV, são as variáveis dependentes.
Com a inclusão de  como variável em (1), o sistema
resulta em n equações e n+1 incógnitas. Assim, qualquer
uma das n+1 incógnitas pode ser definida como parâmetro.
No caso em que  é tratado como variável independente no
processo iterativo de Newton, isto é, quando ele for usado
como parâmetro e seu valor for prefixado, a linearização da
equação (1) de acordo com o método de Newton fornece:
 P   H N    
  
Q   M L  V    J V 
(2)
onde as submatrizes que compõem a matriz Jacobiana J são
representadas por H=P/, N=P/V, M=Q/ e
L=Q/V. P e Q correspondem aos mismatches de
potências ativa e reativa, respectivamente, enquanto V e
 correspondem às correções das magnitudes e ângulos das
tensões.
A parametrização fornece uma forma de identificar cada
solução ao longo da trajetória a ser obtida. O PMC é obtido,
p.ex., através do incremento gradual de , adotado como
parâmetro, a partir do caso base (=1) até um valor para o
qual não mais se obtenha solução (o processo iterativo do
FC não converge). Em geral, nesse ponto, realiza-se um
controle de passo que consiste numa simples redução no
incremento (no passo) de  e a nova solução é obtida a partir
da última solução convergida. O PMC é considerado como
sendo o último ponto convergido, após sucessivas repetições
desse procedimento. Entretanto, conforme já comentado, a
divergência do FC é consequência da singularidade da
matriz J de (1) no PMC e, portanto, não será possível
determiná-lo precisamente. Como visto anteriormente
diversos autores propuseram diferentes implementações dos
conhecidos métodos da continuação para superar as
dificuldades numéricas introduzidas pela singularidade da
matriz J e possibilitar a determinação do PMC. Entre os
muitos métodos descritos na literatura, o mais amplamente
utilizado consiste de quatro elementos básicos: um
procedimento de parametrização, um passo preditor, um
controle de passo e um passo corretor.
3.
FLUXO
DE
CARGA
PARAMETRIZADO POR Vk
CONTINUADO
Para se superar as dificuldades numéricas devidas à
singularidade de J no PMC, é necessária uma mudança de
parâmetro de forma que a nova matriz Jacobiana não
apresente singularidade no PMC, e de preferência em toda
sua vizinhança.
De acordo com [18], a curva P-V completa pode ser
obtida considerando a magnitude da tensão como parâmetro,
sendo  considerado como variável dependente.
Em [5] mostrou-se que os ângulos das tensões também
podem ser escolhidos como parâmetro. Conforme ilustra a
figura 1, na curva P-V a tensão está continuamente
decrescendo à medida que o carregamento se aproxima do
PMC. Assim, a tensão de uma determinada barra poderia ser
prefixada e a respectiva solução determinada. Para alcançar
este objetivo, conforme apresentado na [19] foi proposto a
utilização da magnitude de tensão de uma barra k, Vk, como
parâmetro, e nesta condição a aplicação do método de
Newton à equação (1) resultaria em:
 P  
 Q   
  
H
M
H

 M
  
 P esp  


V' 
L1
 Q esp  
  
  
  
N'  



 V'   J V V'
L'  
  
  
N1
(3)
onde o vetor V' não contém o elemento Vk, o qual é
substituído por . As submatrizes N' e L' diferem das N e
L da equação (2) apenas na coluna k na qual as derivadas de
P e Q com relação à Vk foram substituídas pelas derivadas
229
Tabela 1. Características dos sistemas SUL/SULDESTE.
Sistema
Barras
Circuitos
Transformadores
Carga
Geração
638
540
98
1221
55
787
675
112
1309
86
Os métodos FCDR parametrizados apresentados em [19]
apresentaram um bom desempenho para os sistemas teste do
IEEE analisados: de 14, 30, 57 e 118 barras. Por outro lado,
quando avaliados para o traçado das curvas P-V de sistemas
como o IEEE-300 barras e os apresentados na tabela 1,
apresentaram um fraco desempenho, falhando não só na
obtenção da curva P-V, mas em algumas situações até
mesmo para o caso base. Nesse sentido nesse trabalho são
propostas pequenas modificações visando possibilitar o
traçado das curvas P-V para sistemas com as características
acima mencionadas.
4. FLUXO DE CARGA DESACOPLADO RÁPIDO
CONTINUADO
Na metodologia proposta à técnica de parametrização
utilizada é desenvolvida a partir da técnica de
parametrização geométrica apresentada em [13]. Na técnica
proposta acrescenta-se a (1), uma equação de reta que passa
por um ponto escolhido (0, Vk0) no plano formado pelas
variáveis fator de carregamento () e magnitude da tensão
nodal (Vk) de uma barra k qualquer:
R(Vk, , )=( Vk1- Vk0)- ( 1-0,)=0
(4)
Obtém-se assim o seguinte sistema de equações:
Δ P (θ, V , λ)=λP esp - P(θ, V )=0
Δ Q (θ, V , λ)=λQ esp -Q(θ, V )=0
(5)
Δ R (Vk , λ)=(Vk -Vk0 )-α(λ-λ 0 )=0
sendo  o coeficiente angular da reta. Com a adição de mais
uma equação (R),  pode ser tratado como uma variável
dependente e  é considerada uma variável independente, ou
seja, escolhida como parâmetro da continuação (seu valor é
prefixado). Assim, o número de incógnitas é igual ao de
equações, isto é, a condição necessária para que se tenha
solução é atendida, desde que a matriz tenha posto máximo
(seja não singular). Observa-se que a prefixação do valor de
 corresponde à técnica de previsão trivial ou polinomial
modificada de ordem zero [1]; [6]. Conforme apresentado
em [13], calcula-se o valor inicial de 1 a partir das
coordenadas de um ponto inicial escolhido O (0, Vk0) e dos
seus respectivos valores obtidos para um caso base P (1=1,
Vk1), o que pode ser observado na figura 1, 1=( Vk1- Vk0)/(
1-0).
caso base
P (λ1, V 141 )
1
Tensão [p.u.]
com relação à nova variável . Procedendo desta forma a
nova matriz Jacobiana JV não apresentará singularidade,
resultando num método mais robusto não só no ponto em
questão, mas ao longo de toda a curva.
Um ponto importante na avaliação dos métodos de fluxo
de carga desenvolvidos é a verificação dos seus
desempenhos durante a simulação de sistemas reais de
grande porte, tais como é o caso das duas configurações do
sistema Sul-Suldeste Brasileiro, a configuração de 638
barras e a de 787 barras. Suas principais características são
apresentadas na tabela 1.
0.8
PMC
0.6
0.4
α1
ponto escolhido
0.2
0
O (λ0, V 140 )
0
0.5
1
1.5
Fator de carregamento, λ
2
Fig. 1. Reta inicial que passa por um ponto escolhido O (0, Vk0) e o
ponto do caso base P (1, Vk1) no plano λ- Vk.
A partir do sistema de equações (5), a versão BX para o
FCDRCM passa a ser:
B'   P
(6)
 V   Q 
B "m     
    R 
em que:
G


B"  Q iesp  i Piesp 
B "m  
Bi



e k

(7)
onde B″ é a matriz da versão BX do FCDR convencional
[12]; [14] ; [19]. Gi e Bi são os elementos da diagonal das
matrizes de condutância e suceptância nodal correspondente
as barras PQ (i  {barras PQ}), ek é um vetor com todos
elementos nulos, exceto na coluna em que a variável será
escolhida para determinar o plano em que se encontra o
feixe de retas para o traçado da curva P-V e α que é o
coeficiente angular da reta e será o parâmetro da
continuação.
4.1. Procedimento Geral para Traçado da Curva P-V
Em função das análises realizadas definiu-se o seguinte
procedimento geral para o traçado da curva -Vk:
230
FLUXO DE CARGA DESACOPLADO RÁPIDO CONTINUADO PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO DE MÁXIMO CARREGAMENTO DE
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PARTE I: DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
Elisabete de Mello Magalhães, Alfredo Bonini Neto, Dilson Amancio Alves
1. Obtenha o ponto "P" para o caso base utilizando o FC
convencional e calcule o correspondente valor do
coeficiente angular da reta (1) que passa pelo ponto
escolhido "O"(Vk0=0,0 p.u., 0=0,0), e pelo ponto
"P"(1=1, Vk1);
2. Obtenha os próximos pontos da curva -Vk aumentando
gradualmente o valor de , i+1=i + com =0,05;
3. O PMC foi encontrado então pare o processo, caso
contrário retorne para o passo (1).
As coordenadas iniciais do centro do feixe de retas,
ponto "O", foram escolhidas de modo a possibilitar o
traçado da curva P-V de qualquer sistema desejado. As
justificativas para sua escolha podem ser encontradas em
[13]. Para esta metodologia foram utilizadas as coordenadas
(0, 0) para o ponto “O”. Outro ponto importante do
FCDRCM é manter o parâmetro α constante durante o
traçado da curva P-V. A constatação de que o PMC foi
alcançado é feita com base na troca de sinal da variável .
4. CONCLUSÃO
Este trabalho apresentou o equacionamento do
FCDRCM para o traçado completo da curva P-V utilizando
como parâmetro o coeficiente angular da reta que passa por
um ponto no plano formado pelas variáveis: tensão nodal de
uma barra k qualquer e o fator de carregamento. O uso dessa
técnica elimina a necessidade de troca de parâmetro ao
longo do traçado da curva P-V, e amplia o grupo das
variáveis de tensão que podem ser adotadas para a
composição da equação da reta.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o apoio do CNPq (Conselho
Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), da
CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior) e a FAPESP (Fundação de Amparo à
Pesquisa do Estado de São Paulo).
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