SIMULADO azul · Matemática
Resoluções comentadas
1.e
Considere a figura:
4
Como a rampa tem inclinação a 4%, temos que: h =
· c s c = 25 h
100
Por Pitágoras temos:
A
B
x
x
26 – x
40
x + x + 26 – x + 40 = 78 s x + 66 = 78 s x = 12
A quantidade da bebida A é 2x, ou seja: 2 · 12 = 24 taças
2.d
1,555... milhões de quilômetros é igual a 1,555... · 1.000.000 km =
5
14
· 106 km
= (1 + 0,555...) · 106 km = (1 + ) · 106 km =
9
9
3.b
Distância Terra-Lua:
17.100.000
km = 380.000 km = 380.000.000 m = 3,8 · 108 m
45
4.a
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
AB = 34 m = 5, 8 m
DE = 13 m
AC = 153 m = 12, 3 m
Opção I: (5,8 + 12) m = 17,8 m
Opção II: (3 + 13) m = 16 m
Opção III: (12,3 + 5) = 17,3 m
Opção II e economia de 1,8 metro.
5.a
Observe que A, B e a ilha são vértices de um triângulo retângulo.
Assim: sen 50° =
c 2 = h2 + x 2 s 625 h2 − h2 = x 2 s x 2 = 624 h2 s x = 4 39 ⋅ h
tg α =
h
39
s tg α =
x
156
8.a
DesenhoRealidade
1 cm
1.200.000 cm
28 cm
x
x = 33.600.000 cm = 336 km.
Da física temos:
336 km
s
v =
sv =
s v = 192 km/h
7
t
h
4
9.a
10 confeiteiros aprontam 16 bolos por dia.
6 confeiteiros aprontam x bolos por dia.
Por uma regra de três, temos que x = 9,6.
Assim são fabricados 9,6 bolos por dia durante y dias e 16 bolos
por dia durante (15 – y) dias.
Deve-se fabricar, nesses quinze dias, a quantia de 176 bolos.
9,6y + 16 (15 – y) = 176 s 9,6y + 240 – 16y = 176 s 6,4y = 64 s
s y = 10 dias
Assim, durante 10 dias a produção foi feita por 6 confeiteiros e durante 5 dias por 10 confeiteiros.
Gasto com os confeiteiros: 100 · 10 · 6 + 100 · 5 · 10 = 6000 + 5.000 =
= R$ 11.000,00
Valor arrecadado com a venda dos bolos: 176 · 200 = R$ 35.200,00
Sobra para a confeitaria: 35.200 – 11.000 = R$ 24.200,00
10.b
I. Seja x o número de caminhões que José carrega em um dia de
trabalho, trabalhando 6 horas por dia.
20
x
=
s x = 10
3 ⋅ 4 1⋅ 6
100
100
s AB =
sen 50°
AB
6.e
Como a figura está na escala 1 : 5.000, 4 cm na realidade representam 4 · 5.000 = 20.000 cm = 200 m na realidade.
Pela lei dos senos, temos:
2
200 ⋅
AB
200
2
=
s AB =
= 200 ⋅ 1, 41 = 282 m
1
sen 45° sen 30°
2
282
Como a largura do rio é de 250 metros, temos que
= 1,128.
250
Logo, a ponte é 0,128 = 12,8% maior do que a largura do rio no
trecho.
Assim, José carrega 10 caminhões por dia quando trabalha
6 horas diariamente.
II. Seja y o número de caminhões que Augusto carrega em um dia
de trabalho, trabalhando 6 horas por dia.
15
y
=
s y = 5, 625
8 ⋅ 2 1⋅ 6
Assim, Augusto carrega 5,625 caminhões por dia.
Juntos, em um dia de trabalho, trabalhando 6 horas por dia,
carregarão 15,625 caminhões por dia.
Seja z o número de dias para carregarem juntos 250 caminhões.
1 ———— 15,625
z ———— 250
7.c
Observe a figura:
Assim: z =
c
h
α
x
250
= 16 dias
15, 625
11.c
M = C · (1 + i) t
M = 500 · (1 + 0,01)t
M = 500 · (1,01)t
resoluções comentadas · MATEMÁTICA · SIMULADO azul
1
12.c
Calculemos o percurso Ds entre as duas cidades:
Em condições normais: Ds = v · Dt
No dia de chuva estrondosa: Ds = 0,8v · Dt’, em que Dt’ é o novo
tempo de viagem.
Temos, portanto: v · Dt = 0,8 v · Dt’
Ou seja: t ’ =
t
t 5
=
=
t = 1,25 t
0, 8 4 4
5
Logo, o aumento no intervalo de tempo foi de 25%.
A viagem que duraria 2 horas e 40 minutos, ou seja, 160 minutos,
1
irá durar 160 minutos + · 160 minutos = (160 + 40) minutos =
4
= 200 minutos = 3 horas e 20 minutos.
Como o trem atrasou 20 minutos na partida, temos que ele saiu às
12 horas e 20 minutos e chegou 3 horas e 20 minutos depois, ou
seja, às 15 horas e 40 minutos.
13.a
Sejam x o número de quilômetros rodados durante o ano pelo
comprador e C o custo anual da pick-up.
I.Para a versão a diesel:
2,4x
+ 0,06 · 60.000 s CD = 63.600 + 0, 24x
CD = 60.000 +
10
II.Para a versão a gasolina:
CG = 48.000 +
3,2x
+ 0,04 · 48.000 s CG= 49.920 + 0, 4x
8
Fazendo CD = CG, temos:
63.600 + 0,24x = 49.920 + 0,4x s 0,16x = 13.680 s x = 85.500 km.
Logo, os custos são os mesmos se o comprador rodar 85.500 km anualmente; é mais vantagem a pick-up a diesel se rodar mais que 85.500
km e rodando menos que 85.500 km é mais vantagem a gasolina.
14.b
C = 1 s T = 8 = 10 – 2 · 1
C = 2 s T = 6 = 10 – 2 · 2
C = 3 s T = 4 = 10 – 2 · 3
C = 4 s T = 2 = 10 – 2 · 4
T = 10 – 2 · C
15.c
Do item I, conclui-se que o argentino não é advogado.
Do item II, uma das duas proposições é verdadeira. Como do item I
o argentino não é advogado, temos que o italiano é economista.
Do item III, uma das duas proposições é verdadeira. Como do
item II concluiu-se que o italiano é economista, temos então que
o francês é advogado. Consequentemente, o argentino é auditor.
Assim, temos: o argentino é auditor, o italiano é economista e o
francês é advogado.
16.b
a) (F)Crescimento proporcional determina como gráfico uma reta.
c) (F) Com o passar do tempo para x = 20 ou mais (1960 ou mais),
a população cresce.
d) (F)O gráfico apresenta uma população crescente ano a ano, o
que não significa que houve um aumento maior da população
em relação ao ano anterior.
e) (F)Observe que a partir de x = 30 (1970) o ritmo cresce cada vez menos.
17.e
a) (F)Na maior velocidade do carro (150 km/h) o consumo é de
8 km/L, que é o maior consumo.
b) (F)Existem situações em que aumentando a velocidade o consumo
aumenta e em outras, aumentando a velocidade, o con sumo diminui.
c) (F) Ver item b.
d) (F)De 50 km/h para 60 km/h a velocidade aumentou e o consumo
diminuiu.
2
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18.c
100 = 64 + (0,4) · (x – 200) (com x > 200)
x – 200 = 90 s x = 290 minutos
19.d
F(E) = 37 + 0,22 (x – 60)
F(C) = 35 + 0,35 (x – 80)
F(E) , F(C) s 37 + 0,22 (x – 60) , 35 + 0,35 (x – 80) s
s 37 + 0,22x – 13,2 , 35 + 0,35x – 28 s 16,8 , 0,13x s x . 129,2
20.b
Considere como x o salário de Roberto proveniente das vendas
em dezembro. A média salarial de outubro, novembro e dezembro é dada por:
3.000 + 3.600 + x 6.600 + x
=
3
3
6.600 + x 6.600 + x
=
20% dessa média é:
3⋅5
15
O salário de Roberto referente às vendas em janeiro é, então,
dado por:
6.600 + x 6.600 + x
−
3
15
Como ele pretende que este seja de R$ 4.000,000, temos:
6.600 + x 6.600 + x
−
= 4.000 s 5 ⋅ ( 6.600 + x ) − ( 6.600 + x ) = 60.000 s
3
15
s 4 ⋅ ( 6.600 + x ) = 60.000 s 6.600 + x = 15.000 s x = 15.000 − 6.600 s
s r$ 8.400,00
21.a
Se 0 < x < 1000, não haverá desconto. Portanto P(x) = x.
Se x . 1.000, haverá um desconto de 10% sobre (x – 1000); ou
seja, ele pagará pela compra R$ 1.000,00 mais 90%, ou seja, 0,9
de (x – 1000).
Então nesse caso, P(x) = 0,9(x – 1000) + 1000.
22.c
xy =
8
= 10
2 ⋅ 0, 4
A temperatura é a mais baixa, após dez horas de funcionamento do aparelho. Como ele foi ligado às 9 horas, isso ocorrerá às
19 horas.
23.d
y = (70 – x) · 1.000 + 150x (70 – x) s
s y = 70.000 – 1.000x + 10.500x – 150x2 s
s y = – 150x2 + 9.500x + 70.000
xy =
− 9.500
= 31, 67
− 300
O preço do ingresso deverá ser de: 70 – 31,67 = R$ 38,33
24.a
Considere a função f(x) = ax (x – 100)
Para x = 1, f(x) = 3.
1
Então: − 99a = 3 s −
33
1
f ( 66 ) = − ⋅ 6 6 ( 66 − 100 ) = − 2 ⋅( − 34 ) = 68 metros
33
25.b
Como os pentágonos são regulares, temos que a medida de cada
180 ⋅ (5 − 2)
= 108°.
ângulo interno é
5
O maior ângulo interno do losango é dado por: 360° – 2 · 108 =
= 360 – 216° = 144°
O menor ângulo interno do losango é dado por: 180° – 144° = 36°
26.d
O octodecágono possui 18 vértices, sendo dois a dois simétricos
em relação ao centro da circunferência que o descreve. Logo, são
nove diagonais passando pelo seu centro (nove diâmetros). A traça
passou duas vezes por cada um desses diâmetros. Assim, a quantidade de “mordidas” foi de 18.
30.e
Considere a figura:
B
27.b
Como todos os losangos são congruentes, temos que:
360° : 9 = 40°, que é a medida de cada ângulo agudo do losango.
Logo, o ângulo obtuso do losango é: 180° – 40° = 140°
Da figura, temos: 140° + 140° + a = 360° s 280° + a = 360° s a = 80°
x
A maior distância em linha reta que se pode percorrer nesse palco
é o diâmetro do círculo, ou seja, 2r = 30 3 metros.
60°
120°
x
y
x
120°
x
Do enunciado, temos que o perímetro do terreno antes da divisão é de 200 m.
Assim: 5x = 200 s x = 40
Pela lei dos cossenos, temos:
y 2 = 40 2 + 40 2 − 2 ⋅ 40 ⋅ 40 ⋅ −
1
s y 2 = 1.600 + 1.600 + 1.600 s
2
s y 2 = 4.800 s y = 40 3 s y = 40 ⋅ 1, 7 s 68 metros
km 88
km 282
B
C
z
Vicinal III
300
y
Vicinal II
Vicinal I
x
D
km
276
2,7
A
α
10
km
B
1
M
α
x
B
Os triângulos ABC e MNP são semelhantes. Então:
Daí: x = 75; y = 69 e z = 50
Logo, a praça de pedágio A encontra-se no quilômetro 88, B no
quilômetro 88 + 75 = 163, C no quilômetro 163 + 69 = 232 e D
no quilômetro 282.
Temos, então:
km 163
B
P
Nela, observa-se que: AD = 282 – 88 = 194 km
Pelo teorema de Tales temos:
300 + 276 + 200 300 276 200
=
=
=
194
x
y
z
A
C
km
260
km 88
33.c
Considere as figuras:
Vicinal IV
A
31.a
Seja x a quantidade em metros aumentada em cada lado do canteiro antigo.
O novo triângulo terá medidas (5 + x), (4 + x) e (2 + x) em metros.
Observe que 5 + x é o maior lado do novo triângulo e, como ele
é retângulo, temos que ele é a hipotenusa.
Assim, por Pitágoras:
(5 + x)2 = (4 + x)2 + (2 + x)2 s 25 + 10x + x2 = 16 + 8x + x2 + 4 + 4x + x2 s
s 25 + 10x = x2 + 12x + 20 s x2 + 2x – 5 = 0
D = 4 + 20 = 24
−2 ± 2 6
x=
s x = −1± 6 s x = ( 6 − 1) m
2
32.b
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo ABC, cujos vértices pertencem à circunferência.
29.e
Considere a figura seguinte:
Rodovia
São Francisco
30°
Sendo O o centro da circunferência inscrita, temos no triângulo AÔB:
r
3
r
tg 30° =
s
=
s r = 15 3 metros
45
3
45
x
x
Rodovia
São José
O
45
A
28.c
Considere a figura:
Rodovia
São Francisco
r
km 232
C
x
10
1
sx
2, 7
3, 7 metros
34.b
Observe a figura, em que x é o comprimento, em metros, da quadra.
km 282
D
5 2
5 2
Luciana
km 185
A praça de pedágio mais próxima ao carro de Luciana é B e está
a 185 – 163 = 22 km dela.
x
Por Pitágoras, temos que x2 = 50 m2, que é a área da quadra.
resoluções comentadas · MATEMÁTICA · SIMULADO azul
3
35.d
Considere a figura:
A
120
x
y
n
m
B
130
C
175.000
= 1,16 (crescimento de 16% entre 1999 e 2000)
150.000
Das relações métricas no triângulo retângulo, temos:
I.1302 = 1202 + x2 s x = 50 km
600
km
13
250
III.x2 = 130 · n s 2.500 = 130n s n =
13
850
y+n=
km
13
II.120x = 130y s 120 · 50 = 130y s y =
36.d
Estados
Unidos
Inglaterra
28 – x
x
30 – x
II.2001 e 2004:
f(x) = ax + b
f(0) = 200.000 s b = 200.000
f(3) = 3a + b s 500.000 = 3a + 200.000 s 3a = 300.000 s a = 100.000
f(x) = 100.000x + 200.000
f(1) para o ano 2001 temos:
f(1) = 100.000 + 200.000 = 300.000
300.000
= 1,5 (crescimento de 50% entre 2001 e 2002)
200.000
III.
500.000
= 2,5 (crescimento de 150% entre 2001 e 2004)
200.000
IV.
800.000
= 1,6 (crescimento de 60% entre 2004 e 2006)
500.000
1.000.000
V.
= 1,25 (crescimento de 25% entre 2006 e 2009)
800.000
20
28 – x + x + 30 – x + 20 = 68 s 78 – x = 68 s x = 10
37.d
Considere a figura seguinte como um desses degraus.
12 cm
sen 8° =
40.d
I.1999 e 2001
f(x) = ax + b
f(0) = 150.000 s b = 150.000
f(2) = 2a + b s 2a + 150.000 = 200.000 s 2a = 50.000 s a = 25.000
Para o ano 2000 temos:
f(1) = 175.000
Após 2009, nada pode ser afirmado.
41.a
Pelo gráfico, temos a função f(x) = ax + b (x3˜).
I.
f(0) = 0 s 0 · a + b = 0 s b = 0
II.f(4) = 48 s 4a = 48 s a = 12
Assim, f(x) = 12x.
8°
Como dona Célia tem quatro filhos, então cada um deles tem três
irmãos. O desconto será para os três irmãos. Assim:
12
12
s 0 ,15 =
s x = 80 cm
x
x
f(3) = 12 · 3 = 36
A rampa toda mede 80 · 5 = 400 cm = 4 metros.
Em cada uma das mensalidades, o desconto será de R$ 36,00.
Assim, dona Célia gastará com as mensalidades dos filhos:
38.d
Seja x a medida aumentada na largura.
Considere a figura:
Ano letivo
16 + x
Valor da mensalidade
6
o
R$ 520,00 – R$ 36,00 = R$ 484,00
7o
R$ 540,00 – R$ 36,00 = R$ 504,00
8
o
R$ 570,00 – R$ 36,00 = R$ 534,00
9o
R$ 600,00 – R$ 36,00 = R$ 564,00
Total: 484 + 504 + 534 + 564 = 2.086
25 + 2x
2
(16 + x) · (25 + 2x) = 1.075 s 400 + 32x + 25x + 2x = 1.075 s
s 2x2 + 57x – 675 = 0 s x = – 37,5 (Não convém.) ou x = 9
Logo, as dimensões máximas serão 25 m e 43 m.
O perímetro é: 2 · 43 + 2 · 25 = 146 metros
39.d
Sejam x o número de filhos e y o número de moedas que o pai tinha inicialmente.
I. 7 · x + 3 = y
II. 8 · (x – 1) + 6 = y
De I e II, temos: 7x + 3 = 8 (x – 1) + 6 s 7x + 3 = 8x – 8 + 6 s
s x = 5 e y = 38
Assim, Jurandir tem 5 filhos.
120 : 5 = 24
Cada filho receberá R$ 24,00.
4
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Como em 2016 somente três filhos de dona Célia estudarão na escola, o desconto será sobre dois irmãos:
f(2) = 12 · 2 = 24
Assim, dona Célia gastará com a mensalidade dos três filhos mais
novos (que já estão numa série subsequente).
Ano letivo
Valor da mensalidade
7
o
R$ 540,00 – R$ 24,00 = R$ 516,00
8o
R$ 570,00 – R$ 24,00 = R$ 546,00
9o
R$ 600,00 – R$ 24,00 = R$ 576,00
Total: 516 + 546 + 576 = R$ 1.638,00.
Para gastar 5% a mais em mensalidade, ela deverá ter o total delas de 1,05 · 2.086 = R$ 2.190,30.
Assim, o valor da mensalidade do curso do filho mais velho deverá ser de: 2.190,30 – 1638 = R$ 552,30
42.c
f(x) = ax, em que f(180) = 2.880 s 180a = 2.880 s a = 16
Então: f(x) = 16x
Como Mauro iniciou o curso no 20o dia, ele deixou de ir em 19 dias.
180 – 19 = 161
f(161) = 16 · 161 = R$ 2.576,00
43.d
n(n − 3)
n(n − 3)
d=
s 3n + 5 =
s n2 – 3n = 6n + 10 s
2
2
s n2 – 9n – 10 = 0 s n = –1 (Não convém.) ou n = 10
Os triângulos MNP e NQR são semelhantes.
Assim:
x 18 − x
s 8 x = 72 − 4 x s 12 x = 72 s x = 6 metros
=
4
8
45.d
Considere a figura:
n
H
Logo, o polígono é o decágono.
7
Número de lados: n = 10
Número de diagonais: 3n + 5 = 30 + 5 = 35
A
Total de delegações: 10 + 35 = 45
m
h
24
x
44.c
Considere a figura:
R
Piso C
B
p
Aplicando Pitágoras no triângulo ABH:
x2 = 72 + 242 s x2 = 625 s x = 25
De uma relação métrica no triângulo retângulo:
7 · 24 = x · h s 7 · 24 = 25 h s h = 6,72 km
Piso B P
8,0 m
4,0 m
M
α
x N
β
Piso A
18 – x
Q
A nova rodovia deve ter 6,72 km.
Como a prefeitura irá arcar com apenas 5 km, caberá ao proprietário arcar com 6,72 – 5 = 1,72 km.
1,72
= 0,256 = 25,6%
6,72
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5