5
SÉRIES DE FOURIER
Em 1822 o matemático francês Joseph Fourier1 apresentou sua obra Theorie Analytique
de la Chaleur, onde apresenta um tratamento matemático sobre o problema da condução térmica.
Desde o século XVII, com o desenvolvimento do cálculo diferencial, físicos e matemáticos
conseguiram descrever inúmeros fenômenos por meio das equações diferenciais. Em seu tratado,
Fourier não apenas apresenta uma solução para a equação do calor, mas também uma forma para
resolver inúmeras equações diferenciais parciais.
5.1 Séries de Fourier
Uma série de Fourier, é a representação de uma função periódica como uma soma de
funções periódicas simples, particularmente, co-seno e seno. Para que possamos escrever uma
função periódica com os resultados discutidos por Fourier, definiremos primeiro uma série
trigonométrica.
5.1.1 Definição
Chama-se
série
trigonométrica
a
uma
série
da
forma:
a0
+ a1 cos( x ) + b1 sen( x) + a 2 cos(2 x) + b2 sen(2 x ) + ........ ou, sob uma forma mais compacta:
2
a0
+
2
∞
∑
n= 1
(a n cos(nx) + bn sen(nx))
(1)
As constantes a 0 , a n , bn (n = 1,2,3,...) são os coeficientes da série trigonométrica.
Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que
sen(nx) e cos(nx) são funções periódicas de período 2π. Neste livro, não trataremos sobre
1
FOURIER,Jean Baptiste Joseph. (1768 – 1830). Estudou a teoria matemática de condução do calor. Estabeleceu
equações diferenciais parciais referentes à difusão do calor e solucionou-as usando séries de funções
trigonométricas.
convergência ou divergência de séries, tal estudo, demandaria um capítulo específico para tal.
5.1.2 Determinação dos coeficientes da série
Suponhamos que a função f(x), periódica e de período 2π, pode ser representada por
uma série trigonométrica convergente para f(x) no intervalo (-π,π), isto é, que seja a soma desta
série:
f ( x) =
∞
a0
+
2
∑
n= 1
(a n cos(nx) + bn sen(nx ))
(2)
Suponhamos que a integral da função do primeiro membro desta igualdade é igual à
soma das integrais dos termos da série (2), isto é possível desde que a série proposta convirja
absolutamente. A série pode então ser integrada termo a termo de -π a π:
π
∫
f ( x )dx =
−π
π
∫
−π
a0
dx +
2
∞
π
∑ (∫ a
n= 1 − π
π
n
cos( nx ) dx + ∫ bn sen( nx ) dx ) (3)
−π
Calculando as integrais separadamente, obtemos:
π
∫
−π
π
a0
dx = π .a 0
2
∫
π
∫ b sen(nx)dx) =
a n cos(nx)dx) = 0
n
−π
0
−π
Assim:
π
∫
f ( x )dx =
−π
π
∫
−π
a0 =
1
π
a0
dx = π .a 0
2
π
∫
f ( x)dx
−π
Para calcular os outros coeficientes da série, utilizaremos as seguintes integrais
auxiliares; se n e k forem inteiros e se n ≠ k, tem-se:
π
∫
-π
π
cos(nx).cos(kx) dx = 0
∫
-π
π
cos(nx).sen(kx) dx = 0
∫
-π
sen(nx).sen(kx) dx = 0
E se n = k:
π
∫
π
π
∫
cos (kx) dx = π
2
-π
sen(kx).cos(kx) dx = 0
-π
∫
sen2 (kx) dx = π
-π
Para determinar a k para k ≠ 0 , multipliquemos os dois membros da igualdade abaixo
por cos(kx):
π
∑
a
f ( x) cos(kx)dx = ∫ 0 cos(kx)dx +
2
−π
∞
∫
∫
−π
∞
a0
dx +
2
−π
π
π
f ( x )dx =
∫
−π
π
π
∫
−π
π
π
( ∫ a n cos( nx ) dx + ∫ bn sen( nx ) dx )
n= 1 − π
−π
π
∑ (∫ a
n= 1 − π
π
n
cos(nx) cos(kx)dx + ∫ bn sen(nx) cos(kx)dx)
−π
π
f ( x ) cos( kx ) dx = a k ∫ cos 2 ( kx ) dx = a k .π
−π
π
1
ak =
f ( x ) cos(kx)dx
π −∫π
De modo análogo, ao multiplicarmos a expressão (3) por sen(kx), obtém-se:
bk =
π
1
f ( x) sen(kx)dx
π −∫π
Ex.1: Dada uma função periódica de período 2π definida como segue: f(x) = x2 onde -π < x < π,
calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica:
1
ao =
π
1
an =
π
π
∫
-π
π
∫
-π
1 x3
x dx = .
π
3
π
2
=
−π
1
x cos(nx)dx =
π
2
1  π 3 π 3  2π 3
2π 2
+
=
=


3 
π  3
3
3π
 2 sen( nx )
−
x . n

4

−
n = 1, 3, 5
1  4π cos( nπ )   n 2
an = 
=


n2
π 
  4 n = 2, 4, 6, ...
 n2
∫
π
sen( nx )

.2 xdx 
n
 −π
1
=
π
 2 sen( nx ) 2x cos(nx ) 2

+
− 3 sen(nx )
2
x .
n
n
n

 −π
π
π
1
bn =
π
∫
-π
π
1
x sen(nx) dx =
π
2 xsen(nx) 2


2 cos( nx )
+
+ 3 cos(nx) = 0
2
 − x . n
n
n
 −π
2
f(x) = x2 =
π
2
3
−
4
4
4
4
cos(1x) + 2 cos(2 x ) − 2 cos(3 x) + 2 cos(4 x)...
2
1
2
3
4
Ex.2: Dada uma função periódica de período 2π definida como segue, calcular os coeficientes de
Fourier e escrever a série trigonométrica:
 x, − π ≤ x ≤ 0
f(x) = 
 2 x,0 < x ≤ π
1
ao =
π
π
∫
-π
0
1 
f(x)dx = .  ∫ xdx +
π  −π
 1  x2
2xdx
∫0  = π  2

π
0
−π
π 
1
+ x2  =
0
π

 π 2
π
π 2
2
−
+
π
=
=


2
 2
 2π
an =
0
π

1  1
1 0
2
1
x
cos(
nx
)
dx
+
2
x
cos(
nx
)
dx
cos(
n
π
)
−
=
= , n = 1, 3, 5, ….
∫

∫
2
2 

π  −π
n  −π
π n2
0
 π n
bn =
π

1 0
1 − 3π cos nπ
=
 ∫ x sen( nx )dx + ∫ 2 x sen( nx )dx  =
π  −π
n
0
 π
f(x) = π −
3n
−3n
n = 1,3,5...
n = 2,4,6...
2
2
3
cos( x) + 3sen( x) −
cos(3x ) − sen(2 x) + ....
π
9π
2
5.1.3 Propriedade
Indiquemos a propriedade seguinte de uma função f(x) de período 2π:
π
λ + 2π
−π
λ
∫ ϕ ( x )dx =
∫ ϕ ( x )dx
λ - número qualquer
A propriedade mencionada significa: A integral de uma função periódica ϕ(x) sobre um
segmento arbitrário de comprimento igual ao período tem sempre o mesmo valor.
Como resultado da propriedade acima, temos a simplificação de alguns cálculos:
a0 =
1
π
∫
λ + 2π
λ
f ( x )dx
bn =
1
π
∫
λ + 2π
λ
f ( x ) sen( nx )dx
an =
1
π
∫
λ + 2π
λ
f ( x ) cos( nx )dx
Ex.: f(x) = x de período 2π sobre o segmento 0 ≤ x ≤ 2π
1
ao=
π
∫
2π
0
1
an=
π
∫
1
π
∫
bn =
2π
0
2π
0
x2 1
xdx =
2 π
2π
= 2π
0
1
x cos( nx )dx =
π
2π
 sen( nx ) cos( nx ) 
−
=0
 x.
n
n 2  0

2
n
x sen( nx )dx = -
f(x) = π - sen(x) -
2
2
2
sen(2x) sen(3x) sen(4x) - …
2
3
4
5.1.4 Séries de Fourier de funções pares e ímpares
Se tivermos o desenvolvimento de Fourier de uma função f(x) ímpar, o produto
f(x).cos(nx) é uma função ímpar e f(x).sen(nx) uma função par, logo:
a0 =
1
π
∫
an =
1
π
∫
bn =
1
π
∫
π
−π
π
−π
π
−π
f ( x )dx = 0
f ( x) cos(nx) = 0
f ( x ) sen(nx) =
2
π
∫
π
0
f ( x) sen(nx)dx
Em conseqüência do exposto acima, a série de Fourier de uma função ímpar apenas
contém senos e a série de Fourier de uma função par apenas contém co-senos.
5.1.5 Séries de Fourier de funções de período 2 
Como uma grande parte dos problemas práticos que envolvem as séries de Fourier trata
de períodos que envolvem números inteiros, procuramos nesta seção abordar períodos quaisquer 2 
. Assim, os coeficientes de Fourier podem ser generalizados como:
ao =
1

∫
an =
1

∫
bn =
1

∫

−

−

−
f ( x )dx
 nπ x 
f ( x) cos
 dx
  
 nπ x 
f ( x) sen
 dx
  
f ( x) =
a0
+
2
∞
∑
n= 1
(a n cos(
nπ x
nπ x
) + bn sen(
))


Como exemplo, apresentamos o desenvolvimento em série de Fourier da função periódica
f(x) =
|x|, de período 2  = 6, definida no intervalo [ − 3 , 3 ].
πx
3π x
πx
3π x




cos
cos
cos
cos



 4
3 4.3
 +
 +
3 +
3 + 
|x| = - 2 . 
=
.



32
32
2 π
2 π 2  1
 1






5.1.6 Séries de Fourier somente em senos e co-senos
Nesta seção apresentamos os coeficientes de Fourier para uma função f(x) qualquer,
podendo desenvolvê-la à vontade, numa série de senos ou de co-senos, válida no intervalo de (0,π).
Para o desenvolvimento em co-senos, os coeficientes an se determinam pela fórmula:
π
2
an = ∫ f ( x ) cos(nx)dx
π 0
Para o desenvolvimento em senos, os coeficientes bn são dados por:
π
2
bn = ∫ f ( x) sen(nx)dx
π 0
Devido a esta abrangência para o desenvolvimento de funções em séries de Fourier,
podemos concluir que uma função f(x), que não seja nem par nem ímpar, pode ser desenvolvida no
intervalo (0,π) numa série de senos ou de co-senos, ou ainda numa série de senos e co-senos. É
importante notar, entretanto, que a série de Fourier em senos e co-senos correspondentes à f(x) no
intervalo de (-π,π) é única, o mesmo não acontece quando o intervalo se reduz a (0,π), neste caso há
uma infinidade de séries em senos e co-senos juntos, que satisfazem a função.
Apresentamos, a seguir, dois exemplos de desenvolvimento de Fourier, apenas em séries
de senos ou de co-senos.
Ex. 1: f(x) = x  [0, π] em séries de senos.
 senx sen 2 x

−
+ 
x=2 
2
 1

Ex. 2: f(x) = x  [0, π] em séries de co-senos.
x=
π 4  cos x cos 3 x

−
+ 
−
2

3
2 π  1

5.1.7 Aplicações das séries de Fourier
Torna-se relevante notarmos que podemos fazer aproximações de funções por séries, até
mesmo porque muitas vezes nem chegamos a conhecer a função em sua forma analítica quando
trabalhamos com experimentos, sejam eles em campo, laboratório, trabalho ou no dia-a-dia. Cabe,
no entanto, ressaltarmos que quando desejamos uma aproximação muito boa para uma função nas
vizinhanças de um ponto, a série de Taylor, vista no capítulo 3, seria uma boa escolha, porém, a
função em questão deve obedecer algumas restrições, como ser suave, no sentido que podemos
derivá-la até uma determinada ordem. Além disso, esta aproximação é local, e não global como no
caso das séries de Fourier. Para funções periódicas a série de Fourier é muito mais adequada para
fazermos tais aproximações.
A seguir, utilizamos uma ferramenta computacional para representar uma função, que
chamamos onda quadrada:
f( x)
4 .
sin( x)
π
sin( 3. x)
sin( 5. x)
sin( 7. x)
3
5
7
2
1
f( x ) 0
1
2
0
5
10
x
Notar que, com quatro parcelas, já ocorre uma aproximação da função desejada. Se
fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita para a representação da função:
f(x) =
− 1, − π < x < 0
1,
0≤ x< π
Em cursos de engenharia ou tecnologia na área elétrica, por exemplo, consideramos a
onda um sinal elétrico, sendo que a primeira parcela sendo nula, indica que o sinal estaria acima e
abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal.
A segunda parcela [(4/π). sen(x)] tem o mesmo período ou mesma freqüência (inverso do período)
do sinal. Por esta igualdade, é chamada oscilação fundamental do sinal. As parcelas seguintes têm
freqüências múltiplas [(4/3π).sen(3x), (4/5π).sen(5x), ...] da fundamental e são chamadas oscilações
harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal. Portanto, pode-se dizer que todo sinal
periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação fundamental
e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental.
Os coeficientes an e bn são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico. Notar que só
existem harmônicos ímpares neste exemplo e, se consideramos o componente contínuo no sinal
quadrado, ele deixa de ser uma função ímpar e, portanto, nem todos os ak precisam ser nulos.
Os sinais periódicos se transmitem pelos meios físicos como um conjunto de
componentes senoidais conforme respectivas séries de Fourier. Se o sinal é senoidal, o processo é
facilitado por existir somente o componente fundamental. Se não é, haverá em geral infinitos
harmônicos. Nenhum dispositivo real tem resposta de freqüência em uma faixa infinita. Assim, os
circuitos de transmissão e recepção de sinais devem ter largura de banda suficiente para a passagem
dos harmônicos mais significativos, de forma a permitir a reconstituição mais próxima possível do
sinal original. Em alguns casos, harmônicos são indesejáveis. Num processo usado para variar
iluminação em residências, por exemplo, onde o controle de algumas centenas de watts, isso não
representa problema. Já num equipamento industrial, de dezenas ou centenas de quilowatts,
harmônicos na faixa de megahertz podem ter intensidade suficiente para produzir interferências em
outros aparelhos eletrônicos. Neste caso, ligam-se ou desligam-se seqüências de ciclos inteiros e o
que se varia é a quantidade deles. Portanto, a forma senoidal é preservada, evitando harmônicos.
Exercícios Resolvidos 5.1
Apresentamos, a seguir, o desenvolvimento de algumas funções em séries de Fourier e, em seguida,
o gráfico destas séries com algumas parcelas:
1. f(x) = 3x + 1
0<x<6
Em série de senos:
( nπ x )
( nπ x ) 

cos
cos
2 .1 6
 nπ x  2 . 1 
6 + 18
6 dx 
(
3 x + 1)sen
− 6( 3 x + 1)

bn =
=


∫
∫
6 0
6 
nπ
nπ
 6 


 0
6
( nπ x )


cos

2 .1
6 + 108 sen nπ x 
=
 − 6( 3 x + 1)

6 
nπ
6 
( nπ ) 2
 0

6
=
2.1  114 cos( nπ ) 108
6
108 
(
)
+
sen
n
π
+
−
.0 
−
6 
nπ
nπ ( nπ ) 2 
( nπ ) 2
=
2.20
nπ

n = 1, 3, ...
=
2.18
nπ

n = 2, 4, ...
 40

 π x  36
 2π x  40
 3π x 
sen
sen
sen
−
+
 − 
f(x) = 3x + 1 = 
 6  2π
 6  3π
 6 
 π

20
10
f( x )
0
10
20
0
7.5
15
22.5
30
x
2. f(x) =
x
p/ 0 < x ≤ 1
2–x
p/ 1 < x < 2
0<x<2
Em série de senos:
bn= 2 .
1 1
 nπ x 
 ∫ 0 xsen 2  dx +
2


 − 2x
 nπ x 
cos
bn = 
+
 2 
 nπ
∫
∫
 nπ x  
( 2 − x )sen
 dx 
1
 2  
2
1
2
1
2
− 2
2
 2π x  
( 2 − x ) cos nπ x  4 ∫ 2 cos 4π x  d 
cos
 dx  + 
nπ
 2   0  nπ
 2  nπ
 2  1
 − 2x
− 2
4
4
 nπ x 
 nπ x  
 nπ x 
 nπ x  
(
)
cos
sen
+
2
x
cos
−
sen
bn = 
+








2
2
 2  ( nπ )
 2   0  nπ
 2  ( nπ )
 2 1
 nπ
 − 2x
4
nπ 
4
 nπ 
 nπ    − 2 
 nπ  
cos
sen
+
cos(
)
−
sen
+






bn = 


2
2  ( nπ ) 2
 2  ( nπ )
 2    nπ 
 2 
 nπ
bn =
8
( nπ )
2
 nπ 
=
sen 
 2 
8
-
f(x) =
8
π
2
n = 1, 5, 9, …
( nπ ) 2
8
n = 3, 7, 11, …
( nπ ) 2
8
8
8
 1xπ 
 3 xπ 
 5 xπ 
 7 xπ 
+
 + ……..
sen 
2 sen 
2 sen 
2 sen 
 2  ( 3π )
 2  ( 5π )
 2  ( 7π )
 2 
2
1
f( x ) 0
1
2
0
2.5
5
x
7.5
10
3. f(x) = x
ao =
1
3
∫
3
-3 < x < 3
xdx =
−3
x2
2
∫
3
−3
=0
an = 0 (a função é ímpar, apresenta apenas o coeficiente bn)
1
bn =
3
1  3x
 nπ x 
 nπ x 
∫ − 3xsen 3  dx = 3 . − nπ . cos 3  +
3
3
∫
3
 nπ x  
cos
 dx 
nπ
 3   −3
3
1  3x
9
 nπ x 
 nπ x  
. cos
sen
bn = . −
+

2
3  nπ
 3  ( nπ )
 3   − 3
bn =
9
1  − 9
.
. cos( nπ ) −
cos( nπ
3  nπ
( nπ ) 2
bn =
1  − 18

.
. cos( nπ ) 
3  nπ

bn =
−
6
nπ
n = 2, 4
6
nπ
n = 1, 3
f(x) = +

) 

6
6
 1xπ  6
 2 xπ 
 3 xπ  6
 4 xπ 
 +
 ...
sen 
sen 
sen 
sen 
π
 3  2π
 3  3π
 3  4π
 3 
4
2
f( x ) 0
2
4
0
5
10
15
20
x
Exercícios 5.1
1.
Desenvolver em séries de Fourier válida de -π a π as funções abaixo:
a) f(x) = 2x
b) g(x) = x – 4
c) h(x) = 3x2
2. Desenvolver em séries de senos para 0 < x < π as funções:
a) f(x) = -3x
b) g(x) = 3 – x
3.
Desenvolver em séries de Fourier f(x), sendo:
f(x) =
4.
3 no intervalo de (-π,0)
4 no intervalo de [0, π)
Desenvolver em séries de Fourier:
a) f(x) = x, para -3< x < 3
b) f(x) = 2, para -20< x < 0
1, para 0 ≤ x < 20
5. Achar a série de Fourier a cada função dada:
a) f(x) =
x + 1 , -1 ≤ x < 0
1–x , 0≤x≤1
f(x+2) = f(x)
b) g(x) = x2 – 1 de [-π,π]
6. Desenvolver:
a) f(x) = x2 , -π< x < π
b) f(x) = x2 , -4< x < 4
c) f(x) = x2 , em série de senos de 0 a π.
7.
Desenvolver em séries de senos:
f(x) =
x, 0≤x≤1
1, 1≤x≤2
8.
Desenvolver em séries de co-senos:
g(x) = 1 – x , com 0 ≤ x ≤ 3
9. Através da série de Fourier para a onda quadrada, mostrar que:
π
1 1 1
= 1 − + − + .......
4
3 5 7
10. Desenvolver em séries de Fourier de [-π,π]:
f(x) = 2x – 7
11. Através da série de Fourier para a onda triangular, mostrar que:
π
2
8
= 1+
1
1
+ 2 + .......
2
3
5
12. Desenvolver em séries de Fourier:
f(x) =
0 , -4 < x < 0
ex , 0 < x < 4.