Solução da Equação Bidimensional da Condução do Calor pela
Combinação dos Métodos Espectral e das Diferenças Finitas
Shailo Lacerda Lautharte *
Universidade Federal de Santa Maria - Centro de Tecnologia
97105-900, Santa Maria, RS
E-mail: [email protected]
José Vanderlei Prestes de Oliveira
Universidade Federal de Santa Maria - Departamento de Matemática
97105-900, Santa Maria, RS
E-mail: [email protected]
RESUMO
Os métodos espectrais [3] têm sido utilizados com freqüência na resolução de problemas de
valores de contorno e de valores iniciais. A ideia básica desses métodos consiste em representar
a solução do problema dado numa série truncada de funções conhecidas que gozam de certas
propriedades, como por exemplo, a ortogonalidade. O método das diferenças finitas visa
transformar o problema de resolver uma equação diferencial em um problema de resolver um
sistema de equações algébricas, aproximando as derivadas que aparecem na equação por
diferenças finitas.
Neste trabalho, apresenta-se uma nova abordagem para resolver a equação bidimensional da
condução do calor, através da combinação do método espectral com o método das diferenças
finitas. Inicialmente, toma-se a função distribuição de temperatura e expande-se em uma série
truncada de polinômios de Laguerre [2], na variável temporal. Após algumas manipulações
algébricas, obtém-se então um conjunto de problemas acoplados, que serão resolvidos um a um,
recursivamente, através do método das diferenças finitas [1]. Para ilustrar essa ideia, considerase o problema da condução do calor bidimensional descrito pela equação
 ∂2 T ∂2 T
∂T
= α 
+
2
∂t
∂ y2
 ∂x

 ,

0 < x <1,
0 < y <1 ,
0 < x <1,
0 < y <1 ,
t >0
t >0
0 ≤ x ≤1,
0 ≤ y ≤1 ,
t >0
com as condições de contorno
T ( x,0, t ) = T ( x,1, t ) = 0 ,
T ( 0, y , t ) = T (1, y , t ) = 0 ,
e a condição inicial
T ( x, y ,0 ) = x (1 − x 2 ) y (1 − y ) ,
sendo
α
a difusividade térmica do material da placa.
Utilizando a expansão da distribuição de temperatura T em polinômios de Laguerre na
variável temporal nas equações acima; após algumas manipulações algébricas, obtém-se
 ∂ 2 T m ( x, y ) ∂ 2 T m ( x, y ) 
 = Q m ( x, y )
T m ( x, y ) − α 
+
2
2
∂x
∂y


* Bolsista de Iniciação Científica PICME/CNPq
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com as condições de contorno
T m ( x,0 ) = T m ( x,1) = 0 ,
T
m
0 < x <1,
0 < y <1 ,
( 0, y ) = T (1, y ) = 0 ,
m
m≥0
m ≥0
onde
Q 0 ( x, y ) = x (1 − x 2 ) y (1 − y ) ,
Q m ( x, y ) = Q m −1 ( x, y ) −T m −1 ( x, y ) ,
m ≥1 .
Para resolver esse conjunto de problemas, discretizam-se as equações acima nas variáveis x e
y , utilizando-se o método das diferenças finitas, recursivamente. Uma vez estabelecidos todos
os coeficientes T k ( x, y ), k =0,1,  , M da expansão
M
T ( x, y , t ) = ∑T k ( x, y ) Lk ( t ) ,
K=0
onde Lk ( t ) são os polinômios de Laguerre, obtém-se uma aproximação para a solução
procurada.
Convém salientar que esta metodologia já foi aplicada com sucesso na solução de problemas
unidimensionais como pode ser verificado, por exemplo, no artigo [4]. Com facilidade a
formulação apresentada pode ser adequada para resolver uma ampla classe de problemas. A
simplicidade da formulação apresentada favorece a implementação de códigos computacionais.
Resultados das simulações numéricas serão apresentados e comparados com aqueles obtidos
da solução analítica e com os resultados apresentados por outros métodos, encontrados na
literatura.
Palavras-chave: Equação Bidimensional do Calor, Método Espectral, Diferenças Finitas
Referências
[1] C. Cunha, "Métodos Numéricos Para as Engenharias e Ciências Aplicadas", Editora da
UNICAMP, Campinas-SP, 1993.
[2] P. J. Davis, P. Rabinowitz, “Methods of Numerical Integration”, Academic Press, INC.,
London, 1975.
[3] D. Gottlieb, S. A. Orszag, “Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and
Applications”, SIAM, Vermont, 1993.
[4] J. V. P. de Oliveira, A. V. Cardona, T. T. Kunz, Solução para o Problema Unidimensional
Transiente de Dispersão de Poluentes com Coeficiente de Dispersão Variável Através da
Combinação do Método Espectral e das Diferenças Finitas (28th Latin American Congress
on Computational Methods in Engineering), Belém-PA, 2006.
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