Resolução de equações do 2º grau no Cabri-Géomètre II
Para resolver equações do 2º grau, provavelmente você já aprendeu várias estratégias que
usavam sempre a álgebra (parte da matemática que estuda equações e cálculos com variáveis e
incógnitas, que são representadas por letras).
Agora vamos voltar no tempo e usar uma estratégia adotada por Euclides (306 a.c.), quando as
equações eram resolvidas por geometria (parte da matemática que estuda as formas).
Para isso, será utilizado usar um programa de geometria chamado Cabri Géometrè
(www.cabri.com), de origem francesa e bastante usado no mundo inteiro.
ATIVIDADE 1: Vamos acompanhar a resolução da equação x 2  5x  4  0 .
Devemos escrever a equação da seguinte forma: 5 x  x 2  4 .
a
b
Chamamos de a o coeficiente de x e de b o termo independente que ficou isolado no segundo
membro da equação.
Portanto: a = 5 e b = 4.
Agora, abrindo o Cabri Géometrè, vamos construir os seguintes passos:
1º PASSO: Construa um segmento de tamanho qualquer usando a ferramenta SEGMENTO,
como mostra a figura:
2º PASSO: Rotule o segmento criado como AB, usando a ferramenta RÓTULO e depois
encontre a distância entre os pontos A e B, usando a ferramenta DISTÂNCIA E COMPRIMENTO.
Clique e segure o botão esquerdo do mouse sobre o ponto B e arraste até ajustar o segmento
para 5 cm que é o valor de “a”.
3º PASSO: Use a ferramenta PONTO MÉDIO e encontre o ponto médio do segmento AB e rotule
este ponto como C.
4º PASSO: Use a ferramenta RETA PERPENDICULAR e trace a perpendicular a AB passando
por C.
5º PASSO: Use agora a ferramenta PONTO SOBRE O OBJETO e crie um ponto P sobre a
perpendicular, abaixo do segmento AB.
6º PASSO: Encontre a distância entre os pontos C e P, usando a ferramenta DISTÂNCIA E
COMPRIMENTO, clique e segure o botão esquerdo do mouse sobre o ponto P e arraste até
ajustar o segmento CP para um comprimento igual à raiz quadrada do segundo membro da
equação: b = 4  2 “nesse caso”.
7º PASSO: Use a ferramenta COMPASSO e transporte o segmento CB para o ponto P. É só
você clicar em compasso, em seguida no ponto C, no ponto B e por último em P.
8º PASSO: Usando a ferramenta PONTOS DE INTERSECÇÃO marque as intersecções da
circunferência com o segmento AB e rotule como E e F.
9º PASSO: Use a ferramenta segmento e crie o segmento PF e usando a ferramenta
DISTÂNCIA E COMPRIMENTO meça o segmento FB, neste momento você estará encontrando
uma das raízes positivas da equação x 2  5x  4  0 que é 1.
Obs.: O resultado obtido foi aproximado devido dificuldades no próprio programa.
Aqui está a raiz!
Justificativa: Na última figura temos um triângulo retângulo FCP com lados ( 2,5 cm ), ( 2,5  x )
e ( 2 cm ) como mostra a figura abaixo.
2,5 – x
Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
2,52  2,5  x 2  2 2 
C
F
2 cm
2,5 cm
6,25  6,25  5 x  x 2  4 
0  5x  x 2  4 
x 2  5x  4  0 Portanto aquela é a raiz da equação dada.
P
Atividades
Justificativa: Na última figura temos um triângulo retângulo FCP com lados ( 2,5 cm ), ( 2,5  x )
e ( 2 cm ) como mostra a figura abaixo.
2,5 – x
C
Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
2,52  2,5  x 2  2 2 
F
2 cm
2,5 cm
6,25  6,25  5 x  x 2  4 
0  5x  x 2  4 
x 2  5x  4  0 Portanto aquela é a raiz da equação dada.
P
1. Resolva a equação x 2  10 x  16  0 usando o CABRI-GEÓMETRÈ, depois faça a
JUSTIFICATIVA e resolva por BHASKARA para comprovar sua resposta.
JUSTIFICATIVA:
2.
FÓRMULA DE BHASKARA:
Resolva a equação x 2  7 x  9  0 usando o CABRI-GEÓMETRÈ, depois faça a
JUSTIFICATIVA, e resolva por BHASKARA para comprovar sua resposta.
JUSTIFICATIVA:
3. Resolva a equação
FÓRMULA DE BHASKARA:
x 2  20 x  64  0 usando o CABRI-GEÓMETRÈ, depois faça a
JUSTIFICATIVA, e resolva por BHASKARA para comprovar sua resposta.
JUSTIFICATIVA:
4. Resolva a equação
FÓRMULA DE BHASKARA:
x 2  7 x  10  0 usando o CABRI-GEÓMETRÈ, depois faça a
JUSTIFICATIVA, e resolva por BHASKARA para comprovar sua resposta.
JUSTIFICATIVA:
FÓRMULA DE BHASKARA:
Referências:
GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio – Ed. Schwarcz LTDA – São Paulo, 2000.
GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática. Ed. Ática - São Paulo, 1996.
IMENES, Luiz Márcio. Matemática para todos. Ed. Scipione – São Paulo, 2002.
IMENES, Luiz Márcio. Pra que serve a matemática – Equação do 2º grau. Ed. Atual – São Paulo,
1992.
SPINELLI, Walter & Souza, Maria Helena de. Matemática – 8ª série – Ed. Ática – São Paulo,
1999.
R.P.M. – Revista do Professor de Matemática.