CADERNO
MARISTA
PARA O
ENEM
EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
DIRETORIA
Diretor-Presidente: Ir. José Wagner Rodrigues da Cruz
Diretor-Secretário: Ir. Claudiano Tiecher
Diretor-Tesoureiro: Ir. Délcio Afonso Balestrin
Ir. José de Assis Elias de Brito
Jaqueline de Jesus
Jorge dos Santos Souza Júnior
SECRETÁRIO EXECUTIVO
Ir. Valdícer Civa Fachi
Luciano Stropper
ÁREA DE MISSÃO
Coordenador: Ir. José de Assis Elias de Brito
Assessores: Mércia Maria Silva Procópio, Leila Regina
Paiva de Souza, João Carlos de Paula
Analista: Deysiane Farias Pontes
Maria Waleska Cruz
Maria Ireneuda de Souza Nogueira
COMISSÃO DE EDUCAÇÃO BÁSICA
Bárbara Pimpão
Cláudia Laureth Faquinote
Flávio Antonio Sandi
Ir. Gilberto Zimmermann Costa
Ir. Iranilson Correia de Lima
Ir. José de Assis Elias de Brito
Ir. Paulinho Vogel
Jaqueline de Jesus
João Carlos Puglisi
Maria Waleska Cruz
Mércia Maria Silva Procópio
Silmara Sapiense Vespasiano
EQUIPE DE ELABORAÇÃO
Deysiane Farias Pontes
Flávio Antonio Sandi
Mércia Maria Silva Procópio
Wilson Martins de Carvalho Júnior
REVISÃO TÉCNICA
Deysiane Farias Pontes
Mércia Maria Silva Procópio
REVISÃO GRAMATICAL
Edipucrs
CAPA
Coordenação de Marketing e Inteligência de Mercado
– Província Marista Brasil Centro-Norte.
PRODUÇÃO EDITORIAL
Edipucrs
COLABORAÇÃO
Analista de Inteligência Competitiva – União Marista
do Brasil: Gustavo Lima Ferreira.
Coordenação de Comunicação e Marketing – União
Marista do Brasil: Marjoire Castilho.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
U58c
União Marista do Brasil
Caderno Marista para o Enem (Exame Nacional do Ensino
Médio) : área de matemática e suas tecnologias / União Marista
do Brasil. – Porto Alegre : UMB, 2013.
116 p.
ISBN 978-85-397-0324-1
1. Matemática – Ensino Médio. 2. Exame Nacional do
Ensino
Médio – Brasil. 3. Ciência e Tecnologia. 4. Educação – Brasil.
I. Título.
CDD 373.81
Ficha Catalográfica elaborada pelo Setor de Tratamento da Informação da BC-PUCRS
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MARISTAS NO BRASIL E NO MUNDO: VOCÊ FAZ PARTE DESSA FAMÍLIA . . . . . . . . . . . . . . . 5
EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO (ENEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ANÁLISE DAS COMPETÊNCIAS DA ÁREA MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
O COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
CADERNO DE EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ANEXO 1 – TEORIA DE RESPOSTA AO ITEM NO ENEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
GABARITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ANOTAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
APRESENTAÇÃO
Estimado(a) educando(a),
O material que tem em mãos foi elaborado pensando em você e em sua preparação
para a realização do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), porta de entrada para as melhores e mais conceituadas universidades e outras instituições de Ensino Superior, públicas
ou privadas, de nosso país.
Nesta publicação, nos dedicaremos à Área de Matemática e suas Tecnologias.
Assim, você compreenderá melhor como são as provas, o que é exigido, as instituições
que o adotam, as competências e as habilidades avaliadas, como são realizados os cálculos das notas, além de outras informações que podem contribuir para um ótimo desempenho nesse exame.
Orientamos que você dedique atenção especial ao domínio das linguagens (textos,
quadrinhos, mapas, equações, gráficos, tabelas e outros), à investigação, à contextualização
dos fenômenos e mantenha-se constantemente atento aos grandes temas da atualidade.
Bom estudo e sucesso no Exame Nacional do Ensino Médio!
4
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
MARISTAS NO BRASIL E NO MUNDO:
VOCÊ FAZ PARTE DESSA FAMÍLIA
Nesta seção, você encontrará informações importantes sobre o Instituto Marista e sobre a nossa presença no Brasil, da qual você participa e a quem dedicamos nossos esforços
para oferecer-lhe um serviço de excelência educacional.
Brasil Marista
São Marcelino Champagnat, fundador do Instituto Marista, escolheu a Educação
como missão. Nós, maristas, seguimos o seu exemplo há quase 200 anos, em todos os continentes, sob a égide e a inspiração de Maria, a Boa Mãe.
Somos cerca de 76 mil pessoas: irmãos, leigos (as) e colaboradores (as), em 79 países, atendendo a mais de 654 mil crianças e jovens.
No Brasil, estamos presentes em 23 estados e no Distrito Federal, organizados
em quatro unidades administrativas: as Províncias Maristas do Rio Grande do Sul, Brasil
Centro-Norte e Brasil Centro-Sul, agora comunicada como Grupo Marista, e o Distrito
Marista da Amazônia.
São 98 cidades brasileiras, mais de 29 mil irmãos, leigos (as) e colaboradores (as),
cerca de 350 mil pessoas beneficiadas.
Áreas de atuação
O Brasil Marista conta com milhares de pessoas que diariamente vivenciam e disseminam importantes valores humanos e cristãos. Faz parte do jeito marista a busca constante
por excelência.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
5
A evangelização tem papel integrador e está presente em todas as ações maristas de
forma transversal, perpassando nossas iniciativas, na animação vocacional de Irmãos e nas
atividades pastorais com crianças e jovens por todo o Brasil.
Com a missão de evangelizar, ou seja, vivenciar e disseminar tais valores, os maristas
mantêm iniciativas em quatro áreas: educação, solidariedade, saúde e comunicação. São
frentes de atuação que se constituem em campos de aplicação e multiplicação da Missão
Marista. Seja nos colégios, nos campi universitários, nas escolas gratuitas, nos centros sociais,
nos hospitais, nas editoras ou nas emissoras de rádio e TV, tudo o que é realizado busca a
excelência, a valorização de colaboradores, Leigos e Irmãos, e uma efetiva contribuição social
e cultural às comunidades em que se fazem presentes. Bons valores, com excelência, nossa
missão é proporcionar essa combinação única para a construção de um mundo melhor.
Na Área de Educação, o Brasil Marista promove o diálogo entre as ciências, as sociedades e as culturas, sob uma perspectiva cristã da realidade. Dessa forma, permite entender as
necessidades humanas e sociais contemporâneas, questioná-las, traçar caminhos e modos
de enfrentar os problemas do cotidiano. O jeito de educar fundamenta-se em uma formação
integral. Investe na reflexão, no protagonismo social e na valorização do ser humano.
Presença Marista na Educação Superior
O papel das universidades e faculdades que fazem parte do Brasil Marista é de ofertar
à sociedade, por meio do ensino, pesquisa e extensão, cidadãos profissionalmente capacitados que sejam comprometidos com o desenvolvimento econômico e social do país e
possuam como valor a ética fundamentada no cristianismo e nos princípios maristas.
• Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR): atende a mais de 35 mil
alunos, oferecendo 63 cursos de graduação, 14 programas de Pós-Graduação
Stricto Sensu e mais de 250 cursos de Pós-Graduação Lato Sensu, distribuídos
em cinco campi.
• Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUCRS): possui cerca
de 30 mil alunos, mais de 146 mil diplomados, 66 opções de cursos de graduação,
24 de mestrado, 21 de doutorado e mais de 100 especializações.
• Faculdade Marista Recife: oferece quatro cursos de graduação: Sistemas para
Internet, Direito, Gestão de Recursos Humanos e Administração e cursos de pósgraduação.
• Faculdade Católica do Ceará: oferece quatro cursos de graduação: Design de
Moda, Publicidade e Propaganda, Educação Física – Bacharelado e Educação Licenciatura.
•
Universidade Católica de Brasília (incluindo o Centro Universitário do Leste de Minas
e a Faculdade Católica do Tocantins): parceria educacional com outras congregações
religiosas – Província Lassalista de Porto Alegre; Província São José da Congregação
dos Sagrados Estigmas de Nosso Senhor Jesus Cristo; Inspetoria São João Bosco;
Inspetoria Madre Mazzarello; e Diocese de Itabira/Coronel Fabriciano (MG).
• Centro Universitário – Católica de Santa Catarina: com campi em Joinville e
Jaraguá do Sul, oferece 27 cursos de graduação e 19 cursos de especialização.
6
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
União Marista do Brasil (UMBRASIL)
A União Marista do Brasil (UMBRASIL), criada em 2005 e sediada em Brasília (DF), é
a associação das Províncias e de suas Mantenedoras que representam o universo do Brasil
Marista. É uma organização jurídica de direito privado, sem fins lucrativos que, baseada
nos princípios e valores cristãos, representa, articula e potencializa a presença e ação maristas no Brasil.
A UMBRASIL também participa efetivamente do monitoramento das políticas públicas, por meio da representatividade em conselhos e fóruns nas áreas do direito da criança
e do adolescente, da educação, da assistência social, da juventude, da economia solidária
e outras de sua atuação, na busca por transformações significativas e duradouras para as
infâncias e juventudes.
Abrangência
Considerando as áreas de atuação do Brasil Marista e a ação de seus protagonistas, a
UMBRASIL:
• Promove e fomenta ações no âmbito da assistência social, da educação, do ensino, da pesquisa, da cultura, do meio ambiente, da saúde, da comunicação social, da formação humana, da promoção e da proteção dos direitos humanos das
infâncias, adolescências e juventudes, em âmbito nacional e internacional, por
meio da articulação para o monitoramento da Convenção sobre os Direitos da
Criança da Organização das Nações Unidas (ONU).
• Potencializa a união e a articulação de suas Associadas.
•
Representa legal e oficialmente suas Associadas, junto aos poderes constituídos da
nação, aos órgãos públicos e às organizações privadas nacionais e internacionais.
• Contribui para a formação de lideranças a serviço da Missão Marista.
• Incide politicamente nas diversas instâncias, em articulação com a Sociedade
Civil e com o Poder Público.
A UMBRASIL acredita que pela educação, evangelização, promoção e garantia dos
direitos é possível transformar a realidade, sendo fiel à missão herdada de São Marcelino
Champagnat na formação de bons cristãos e virtuosos cidadãos.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
7
EXAME NACIONAL
DO ENSINO MÉDIO (ENEM)
O ENEM foi criado pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP),
sob a supervisão do Ministério da Educação (MEC), em 1998, para avaliar o desempenho dos
jovens ao término da escolaridade básica. Aplicado anualmente aos estudantes concluintes
e aos egressos do Ensino Médio, desde a primeira edição, o exame é organizado a partir de
uma Matriz de Referência baseada em competências e habilidades. Em 2009, o ENEM foi reformulado visando à democratização das oportunidades de concorrência às vagas federais
de Ensino Superior e à reestruturação dos currículos do Ensino Médio.
A Matriz constitui também referência para as análises de desempenho, pois orienta
a avaliação dos graus de desenvolvimento das habilidades pelos estudantes avaliados,
além de dar uma visão ampla do perfil que se deseja selecionar para as etapas seguintes
de estudo.
As provas do novo ENEM são avaliações compostas por uma parte objetiva e uma redação, pois os organizadores do exame assumem o pressuposto de que os conhecimentos
adquiridos ao longo da escolarização deveriam possibilitar ao jovem: o domínio das diferentes formas de linguagens, a compreensão dos fenômenos, a capacidade de enfrentamento
de problemas, a construção de argumentação consistente e a elaboração de propostas de
intervenção responsáveis e bem fundamentadas. Esses são os eixos cognitivos básicos que
têm como intenção habilitar todos a enfrentarem melhor o mundo que os cerca, com todas
as suas responsabilidades e seus desafios.
A partir da edição de 2009, a prova assumiu um novo formato. Passou de 63 para 180
questões, agrupadas em quatro áreas de conhecimento: Linguagens, Códigos e suas
Tecnologias; Matemática e suas Tecnologias; Ciências da Natureza e suas Tecnologias
e Ciências Humanas e suas Tecnologias.
No primeiro dia de prova, serão realizadas as provas de Ciências da Natureza e suas
Tecnologias e Ciências Humanas e suas Tecnologias, compostas de 45 questões objetivas,
em cada uma delas, com duração total de 4 horas e 30 minutos. No segundo, serão realizadas as provas de Linguagens, Códigos e suas Tecnologias, Matemática e suas Tecnologias,
também compostas de 45 questões objetivas cada, e uma redação, com duração total de 5
horas e 30 minutos.
Baseadas na Matriz do ENEM, as questões que compõem as provas são chamadas
de itens e estão fundamentadas na interdisciplinaridade e contextualização dos conhecimentos, o que possibilita superar a mera reprodução de conteúdos isolados. Para cada
uma das áreas, organizou-se um conjunto de competências, que estabelecem as ações ou
operações que descrevem performances a serem avaliadas na prova. O desdobramento
das competências em habilidades mais específicas resulta da associação de conteúdos gerais aos cinco eixos cognitivos, totalizando assim 30 habilidades para cada uma das áreas,
totalizando 120 habilidades.
8
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
A correção das provas objetivas gera quatro proficiências. Cada uma delas baseada
nas respostas dadas aos 45 itens de cada prova. Nesse processo é utilizado o modelo matemático estatístico da Teoria da Resposta ao Item (Ver Anexo 1). São quatro escalas distintas,
uma para cada área do conhecimento. Assim, os resultados das provas de áreas diferentes
não são comparáveis. O resultado da prova do ENEM traz cinco notas: uma para cada área de
conhecimento avaliada e a nota da redação. Não existe uma média global de desempenho e
as médias são apresentadas separadamente. A nota do ENEM em cada área não representa
a proporção de questões que o estudante acertou na prova.
As situações de avaliação são estruturadas de modo a verificar se o estudante é capaz
de ler e interpretar textos em diversas formas de linguagem, identificando e selecionando
informações, inferindo contextos, propondo soluções e intervenções lúcidas e fundamentadas numa vida ética e produtiva, visando ao bem-estar coletivo, exigindo uma base sólida
em domínios-chave.
Como o desenvolvimento de competências é um processo contínuo, busca-se estabelecer graus de desenvolvimento no momento em que a avaliação é feita. A partir da análise
das provas constrói-se a escala de proficiência que estabelece os níveis de desenvolvimento
que organizam os resultados dos participantes.
Após a divulgação dos resultados do ENEM, os participantes contam com uma certificação que serve a diferentes finalidades:
• permite o acesso ao Ensino Superior ou em diferentes processos de seleção do
mundo do trabalho;
• serve como vantagem competitiva em programas governamentais de intercâmbio, como o Ciência sem Fronteiras;
• permite um destaque em processos de seleção de estagiários, que podem ingressar no ProUni (Programa Universidade para Todos), o qual oferece bolsas
de estudo para estudantes com renda familiar per capita de até três salários mínimos –, uma vez que a nota do ENEM é utilizada como critério de seleção dos
estudantes;
• é obrigatório para ingresso no Fundo de Financiamento ao Estudante do Ensino
Superior (Fies).
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
9
ANÁLISE DAS COMPETÊNCIAS DA ÁREA
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Uma das características marcantes do trabalho por competências é o caráter interdisciplinar e contextualizado nas experiências do dia a dia, que favorecem as aprendizagens
dos estudantes. Para auxiliar a comunidade educativa nesse modo de conceber o ensino e a
aprendizagem, compreendendo as relações entre os componentes curriculares, apresentamos as exigências de cada competência da Área de Matemática e suas Tecnologias.
Competência 01
Construir significados para os números naturais,
inteiros, racionais e reais.
Habilidades associadas: H1, H2, H3, H4 e H5.
Para ser capaz de construir significado de números, você precisa entender a relação deles com os contextos históricos e sociais, suas necessidades da época e o porquê de
terem sidos criados. Observe que esses diferentes tipos de números têm relação com as
situações-problema.
Há situações que podem ser descritas usando os números naturais como, por exemplo, contar a quantidade de elementos de um conjunto ou construção de um código de
acesso. Porém, outras situações demandam o uso de outros tipos de números: temperaturas, taxa de crescimento de uma população, rendimento de poupança, medida de área, etc.
Observe que a Matemática, por meio de seus diferentes tipos de números e suas operações, possibilita-nos ampliar a nossa compreensão a respeito dos diversos contextos e,
consequentemente, formularmos propostas de intervenção na realidade com maior possibilidade de êxito.
Competência 02
Utilizar o conhecimento geométrico para realizar
a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Habilidades associadas: H6, H7, H8 e H9.
Em virtude dessa competência ter um foco na utilização do conhecimento geométrico para realizar ou ampliar a leitura do mundo físico, vale a pena destacar que o construção
desse conhecimento geométrico é uma via de mão dupla, pois analisamos a natureza para
criar argumentos e conhecimentos.
Podemos perceber no cenário que nos cerca elementos que herdamos da própria
natureza e outros que são construídos pelos homens. Muitos desses elementos presentes
10
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
no mundo físico podem ser descritos por meio da linguagem geométrica. As características
das figuras planas ou espaciais nos possibilita ampliar a nossa compreensão da realidade,
pois nos fornecem um modelo com razoável aproximação do mundo físico. Isso traz uma
enorme vantagem para a nossa vida, uma vez que podemos planejar a construção de pontes, prédios; estimar o tamanho de um pico (Everest); localizar objetos e pessoas em qualquer ponto da Terra; obter distâncias inacessíveis (Terra à Lua), etc.; sem ter que fazê-las ou
obtê-las diretamente.
Um dos mais belos exemplos de que as propriedades geométricas nos possibilita ampliar o nosso conhecimento acerca do mundo físico foi dado por Eratóstenes, no século III
a.C., ao medir a circunferência da Terra.
Competência 03
Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidades associadas: H10, H11, H12, H13 e H14.
Compreender os aspectos históricos, envolvendo grandezas e medidas, possibilitará
entender a importância da matemática para a organização da vida em sociedade e as soluções dos problemas que exigiram e exigem as ferramentas matemáticas nos mais variados
períodos da nossa história.
Por meio das grandezas (distâncias, ângulos, tempo, temperatura, área, comprimento, etc.) e suas unidades de medidas (kms, graus, horas), você ampliará a compreensão da
realidade. Com isso, você poderá avaliar melhor a realidade e, consequentemente, propor
melhores soluções para os problemas que nos cercam. É importante perceber que as noções
de grandezas e medidas demandam uma compreensão de outros significados matemáticos
como, por exemplo, estimativas, proporcionalidade, medida, padronização das medidas.
Competência 04
Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidades associadas: H15, H16, H17 e H18.
Ao estudar grandezas observe que, muitas vezes, uma está relacionada com outra
como, por exemplo, quantidade de combustível e valor a ser pago, ou, velocidade e tempo.
Essa relação pode ser diretamente ou inversamente proporcional. Além disso, você precisa
também identificar entre as duas variáveis qual é a dependente e qual a independente. Veja
que, no caso de abastecimento de um veículo, o valor (variável dependente) a ser pago depende da quantidade de combustível (variável independente).
Os problemas envolvendo a variação de grandezas estão presentes nos mais variados
contextos (físico, econômico, geográfico, etc.), muitos deles, em problemas cotidianos. No
entanto, cuide, pois nem sempre as variáveis estão numa relação de dependência e isso
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
11
pode gerar interpretações equivocadas como é o caso do crescimento de um indivíduo e o
tempo necessário. De posse dessas ferramentas você conseguirá propor soluções e tomar
decisões mais acertadas.
Competência 05
Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidades associadas: H19, H20, H21, H22 e H23.
Observe que as variáveis (por exemplo, distância e tempo) podem ser relacionadas
entre si por meio de uma relação matemática. Essa relação de dependência (y = f(x)) favorece o entendimento do comportamento de uma quando a outra varia. A representação algébrica possibilita registrar um modelo para uma situação específica, facilitando a resolução
de futuras informações.
Isso acontece, por exemplo, para entender o comportamento de um valor monetário
aplicado ao longo do tempo.
Essa relação de dependência entre as variáveis também pode ser expressa por meio
da linguagem gráfica.
Os gráficos nos possibilitam ampliar o nosso entendimento dos fenômenos, pois os
tornam mais “visíveis” e, além disso, é mais rápido de observar os seus comportamentos e
compreender como as variáveis se comportam uma em relação à outra. Cada curva (reta,
parábola, exponencial, logarítmica, trigonométrica) está relacionada com a natureza do
comportamento do fenômeno (as curvas logarítmicas expressam os abalos sísmicos). Tanto
a linguagem algébrica como a gráfica se complementam, ampliam a nossa compreensão
acerca dos diferentes fenômenos.
Competência 06
Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
Habilidades associadas: H24, H25 e H26.
As informações de problemas de diferentes naturezas (científica, social), muitas vezes
são apresentadas por meio de gráficos e/ou tabelas (geralmente um texto escrito complementa as informações). Por meio desses dados apresentados, você poderá fazer previsões
e interpretá-las, observando a coerência da proposta. Para isso, será necessário cruzar informações entre as tabelas e gráficos, uma vez que elas se complementam.
É importante considerar as diferenças gráficas em que as informações são apresentadas (linha, coluna, setor, dispersão, etc.), pois elas trazem em si mesmas informações relevantes. Por isso, torna-se importante você conhecer como os diferentes tipos de gráficos são
construídos a partir do rol da amostragem.
12
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Competência 07
Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
Habilidades associadas: H27, H28, H29 e H30.
Os dados recolhidos de uma amostra podem ser “tratados” estatisticamente por meio
das ferramentas matemáticas. Isso possibilita uma melhor compreensão de determinados
acontecimentos. A partir da organização de um rol de elementos em tabelas e, utilizando
conceitos e ferramentas matemáticas, você poderá fazer inferências sobre o fenômeno em
estudo. O cálculo da média, da mediana, da moda, bem como saber quão dispersos (distantes) estão os valores da amostra em relação a média do conjunto dos elementos, possibilita
ampliar a compreensão sobre o fenômeno em estudo e realizar um prognóstico mais adequado.
Já que não conseguimos controlar o acaso, utilizamos a probabilidade como medida
da possibilidade de ocorrência de um determinado fato. Todas as vezes que nos deparamos
com um acontecimento ainda não consumado, ou cuja realização esteja fora de nossa influência, interessa-nos fazer a estimativa de probabilidade para formularmos propostas de
intervenção na realidade a partir de modelos matemáticos.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
13
O COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA
Segundo os PCN + Ensino Médio, “a Matemática deve ser compreendida como uma
parcela do conhecimento humano essencial para a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional. Nessa
etapa da escolaridade, portanto, a Matemática vai além de seu caráter instrumental, colocando-se como ciência com características próprias de investigação e de linguagem e com
papel integrador importante junto às demais Ciências da Natureza. Enquanto ciência, sua
dimensão histórica e sua estreita relação com a sociedade e a cultura em diferentes épocas
ampliam e aprofundam o espaço de conhecimentos não só nesta disciplina, mas nas suas
inter-relações com outras áreas do saber. Nesse caso, é necessário também dominar códigos
e nomenclaturas da linguagem matemática, compreender e interpretar desenhos e gráficos
e relacioná-los à linguagem discursiva. Além disso, o aluno precisa analisar e compreender a
situação por inteiro, decidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la, tomar decisões, argumentar, se expressar e fazer registros.”
Ressalta-se, ademais, que a “resolução de problemas é peça central para o ensino de
Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo
está engajado ativamente no enfrentamento de desafios.” (PCN + Ensino Médio Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais).
A Matemática também é considerada uma das ciências mais aplicadas ao cotidiano
e seus princípios e postulados são utilizados em diversas situações do nosso dia a dia para
solução de questões práticas e também para compreender fatos e fenômenos sociais e naturais. Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos
matemáticos explicações para suas teorias.
Temas ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia,
Finanças, entre outras áreas do conhecimento, se utilizam das bases matemáticas para subsidiarem suas pesquisas e na formulação de seus princípios e postulados.
Segundo as Matrizes Curriculares do Brasil Marista, a Matemática: “Presente em nossa
cultura por meio da contagem, das medições e suas técnicas, da estatística, da probabilidade, das diferentes geometrias, na economia, nas artes, nas mídias, entre outros, o conhecimento matemático não está restrito às exigências das aplicações no cotidiano e tampouco
às questões empíricas das outras áreas; é um conhecimento que tem estrutura e linguagem
próprias. É importante considerar que, ao transcender a utilidade imediata, criam-se sistemas e padrões abstratos, e que a linguagem matemática como um conjunto de símbolos
e códigos com sintaxe e semântica próprias traduz os padrões presentes em situações e
fenômenos, de forma clara e exata”.
Demarcada como área do conhecimento, a Matemática apresenta, conforme
aponta Maria Alice Gravina (1998), duas características distintas que permanecem em
constante relação:
14
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
• é ferramenta para o entendimento de problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. Fórmulas, teoremas e, mais geralmente, teorias matemáticas são
usadas na resolução de problemas práticos e na explicação de fenômenos nas
mais variadas áreas do conhecimento. Nesse sentido, o aspecto importante é a
aplicabilidade da Matemática.
• é desenvolvimento de conceitos e teoremas que vão constituir uma estrutura
matemática. O objetivo é a descoberta de regularidades e de invariantes, cuja
evidência se estabelece pela demonstração baseada no raciocínio lógico e mediada tão somente pelos axiomas de fundamentação da estrutura e teoremas já
destes deduzidos. É investigação no plano puramente matemático.
Em relação ao ENEM 2013, a prova de Matemática e suas Tecnologias será aplicada
no dia 27 de outubro de 2013, juntamente com a prova de Linguagens e suas Tecnologias e
a Redação.
Serão 45 questões objetivas, que envolverão conhecimentos numéricos, geométricos, algébricos, algébricos/geométricos e de estatística e probabilidade, de acordo com o
programa curricular oficial do Ensino Fundamental e do Ensino Médio.
Ressalta-se, entretanto, que além do domínio da Álgebra, Geometria e demais conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental e Médio, a prova de Matemática do Enem
exige capacidade de interpretação. Nesse sentido, textos verbais e não verbais, tais como
gráficos, tabelas, imagens e outros recursos textuais são utilizados nas questões e a interpretação correta dos mesmos é fundamental à resolução dos problemas. Ressalta-se, portanto,
a importância da leitura sobre temas variados presentes no debate da sociedade contemporânea; bem como a busca de informação atualizada e de fontes confiáveis sobre o que
acontece no Brasil e no mundo valem também para resolver questões de Matemática.
O conteúdo da prova de Matemática do Enem, publicado pelo MEC Edital do Enem
2013 é o seguinte:
Matemática e suas Tecnologias
• Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.
• Conhecimentos geométricos – características das figuras geométricas planas e
espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos
triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.
• Conhecimentos de estatística e probabilidade – representação e análise de
dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
15
• Conhecimentos algébricos – gráficos e funções; funções algébricas do 1º e do
2º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.
• Conhecimentos algébricos/geométricos – plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.
Gráfico 1. Distribuição das questões de acordo com os blocos de conhecimentos.
16
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
CADERNO DE
EXERCÍCIOS
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
17
O Caderno de Exercícios foi organizado levando em consideração as competências, as
habilidades e os conteúdos relacionados a partir de uma análise feita pelos organizadores
desse material. Ressalta-se que foi um recurso didático utilizado pelos educadores para que os
estudantes possam construir a noção de como esses três elementos estão integrados na Prova
do ENEM. As questões aqui apresentadas são oriundas das provas do ENEM (2009 – 2012).
Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações
dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
1 – (ENEM, 2011) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio
de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
Disponível em: http://www.enersul.com.br.
Acesso em: 26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
A. 2.614.
B. 3.624.
C. 2.715
D. 3.725.
E. 4.162.
Cálculos
18
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa
de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em
qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode
ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
A. 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
B. 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
C. 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
D. 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
E. 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
3 – (ENEM, 2012) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através
do Serviço de Atendimento ao Consumidor (SAC). O atendente ditou para João o número
de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 __ 9 8 2 0 7, sendo
que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu.
De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no
número de protocolo é a de
A. centena.
B. dezena de milhar.
C. centena de milhar.
D. milhão.
E. centena de milhão.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
19
4 – (ENEM, 2012) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU
55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir
sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura está indicada a proximidade do asteroide em relação
à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da
superfície da Terra é igual a
A. A. 3,25 x 10² km.
B. B. 3,25 x 103 km.
C. C. 3,25 x 104 km.
D. D. 3,25 x 105 km.
E. E. 3,25 x 106 km.
Cálculos
20
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
1 – (ENEM, 2009) A Música e a Matemática se encontram na representação dos tempos das
notas musicais, conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do
compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou
com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação
de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser
preenchido com
A. 24 fusas.
B. 3 semínimas.
C. 8 semínimas.
D. 24 colcheias e 12 semínimas.
E. 16 semínimas e 8 semicolcheias.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
21
2 – (ENEM, 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para
os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
A. 38.000.
B. 40.500.
C. 41.000.
D. 42.000.
E. 48.000.
3 – (ENEM, 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista
com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada
candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la
para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e em nenhum deles apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número
75.913 é
A. 24.
B. 31.
C. 32.
D. 88.
E. 89.
Cálculos
22
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
4 – (ENEM, 2012) Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo
que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro.
O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em
m³, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de
litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o
outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.
Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a
A. 3.534,85.
B. 3.544,20.
C. 3.534.850,00.
D. 3.534.859,35.
E. 3.534.850,39.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
23
5 – (ENEM, 2012) Um maquinista de trem ganha R$ 100,00 por viagem e só pode viajar a
cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de 1º a 10 de
junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro.
Considere que o ano tem 365 dias.
Se o maquinista quiser ganhar o máximo possível, quantas viagens precisará fazer?
A. 37.
B. 51.
C. 88.
D. 89.
E. 91.
6 – (ENEM, 2012) O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que
permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que
é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos
quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os
símbolos que representam preto e branco também podem estar associados aos símbolos
que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.
Folha de S. Paulo. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br>.
Acesso em: 18 fev. 2012 [adaptado].
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?
A. 14.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
E. 23.
Cálculos
24
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
1 – (ENEM, 2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de
madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é
de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma
caixa é igual a
A. 4.
B. 8.
C. 16.
D. 24.
E. 32.
2 – (ENEM, 2009) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é
composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2,
em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores
são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são
multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e
assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados
das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r).
O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela
sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo,
isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso
contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao
dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso,
os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,
A. 0 e 9.
B. 1 e 4.
C. 1 e 7.
D. 9 e 1.
E. 0 e 1.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
25
3 – (ENEM, 2009) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos.
A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br
Acesso em: 12 jul. 2009 [adaptado].
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa
estimativa, para o mesmo volume da mistura final diesel/biodiesel consumida no segundo
semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 3%?
A. 27,75 milhões de litros.
B. 37,00 milhões de litros.
C. 231,25 milhões de litros.
D. 693,75 milhões de litros.
E. 888,00 milhões de litros.
4 – (ENEM, 2010) A loja Telas & Molduras cobra R$ 20,00 por metro quadrado de tela, R$
15,00 por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de R$ 10,00. Uma artista
plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, agora para 8 quadros
retangulares (50 cm × 100 cm). O valor da segunda encomenda será
A. o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros
dobraram.
B. maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
C. a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
D. menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.
E. igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Cálculos
26
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
5 – (ENEM, 2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu
30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido.
Depois desses dois meses resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de
A. R$ 4.222,22.
B. R$ 4.523,80.
C. R$ 5.000,00.
D. R$ 13.300,00.
E. R$ 17.100,00.
6 – (ENEM, 2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga,
em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um
dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.
Disponível em: http://www.wwf.org.br.
Acesso em: 23 abr. 2010.
Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, é de
A. 250.
B. 25.
C. 2,5.
D. 0,25.
E. 0,025
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
27
7 – (ENEM, 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas.
A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é
A. 21.
B. 24.
C. 26.
D. 28.
E. 31.
H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico
na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
1 – (ENEM, 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma
festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com
todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo.
No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas.
Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo
inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final
para cada uma das 55 pessoas?
A. R$ 14,00.
B. R$ 17,00.
C. R$ 22,00.
D. R$ 32,00.
E. R$ 57,00.
Cálculos
28
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita,
está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e
mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que,
para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
r(t) = 5 865
1+0,15 x cos (0,06t)
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento
do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no
perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o
valor de
A. 12.765 km.
B. 12.000 km.
C. 11.730 km.
D. 10.965 km.
E. 5.865 km.
3 – (ENEM, 2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior
retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (Certificado de Depósito Bancário).
As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Rendimento
mensal (%)
IR (imposto de renda)
POUPANÇA
0,560
ISENTO
CDB
0,876
4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
A. a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
B. a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
C. o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
D. o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
E. o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
29
H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade
utilizando conhecimentos numéricos.
1 – (ENEM, 2011) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um
motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono
vai até um ferro-velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm;
68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do
que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro
A. 68,21 mm.
B. 68,102 mm.
C. 68,02 mm.
D. 68,012 mm.
E. 68,001 mm.
Cálculos
30
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2012) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído,
consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas
não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades
que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.
Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é
A. 0,20 m e 1,45 m.
B. 0,20 m e 1,40 m.
C. 0,25 m e 1,35 m.
D. 0,25 m e 1,30 m.
E. 0,45 m e 1,20 m.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
31
Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre ela.
H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos
no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
1 – (ENEM, 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2
metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar
para atingir o ponto mais alto da rampa é
A. 1,16 metros.
B. 3,0 metros.
C. 5,4 metros.
D. 5,6 metros.
E. 7,04 metros.
2 – (ENEM, 2011) Um técnico em refrigeração precisa revisar todos os pontos de saída de ar
de um escritório com várias salas. Na imagem apresentada, cada ponto indicado por uma
letra é a saída do ar, e os segmentos são as tubulações.
L
G
H
I
K
F
J
Iniciando a revisão pelo ponto K e terminando em F, sem passar mais de uma vez por
cada ponto, o caminho será passando pelos pontos
A. K, I e F.
B. K, J, I, G, L e F.
C. K, L, G, I, J, H e F.
D. K, J, H, I, G, L e F.
E. K, L, G, I, H, J e F
32
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever
um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta,
do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C.
O desenho que Bruno deve fazer é
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
33
4 – (ENEM, 2012) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em
uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros
andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da
morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o
segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que
há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça
um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.
Disponível em: <www.baixaki.com.br>.
Acesso em: 29 fev. 2012.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada
por
Cálculos
34
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.
1 – (ENEM, 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
Disponível em: <http://mdmat.psico.ufrgs.br>.
Acesso em: 1 mai. 2010.
Essa figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
A. pirâmide.
B. semiesfera.
C. cilindro.
D. tronco de cone.
E. cone.
2 – (ENEM, 2011) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No
esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central
na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e
CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos
descartados são
A. todos iguais.
B. todos diferentes.
C. três iguais e um diferente.
D. apenas dois iguais.
E. iguais dois a dois.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
35
3 – (ENEM, 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
A. Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
B. Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
C. Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
D. Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
E. Cilindro, prisma e tronco de cone.
Cálculos
36
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H8 – Resolver situação-problema que envolva
conhecimentos geométricos de espaço e forma.
1 – (ENEM, 2009) Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a
seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que,
por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere
que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.
Disponível em: <www.escritosriodearte.com.br>.
Acesso em: 28 jul. 2009.
Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a
escultura contém
A. dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
B. dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.
C. dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
D. dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.
E. dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
37
2 – (ENEM, 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos
e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando
as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que
têm o formato de cubo é igual a
A. 5 cm.
B. 6 cm.
C. 12 cm.
D. 24 cm.
E. 25 cm.
Cálculos
38
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo.
A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que
formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Figura I
Figura II
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
A. C = 4Q
B. C = 3Q + 1
C. C = 4Q - 1
D. C = Q + 3
E. C = 4Q – 2
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
39
4 – (ENEM, 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir às vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria
dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
8 cm
4 cm
20 cm
4 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra,
Dona Maria deverá
A. encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o
volume do copo.
B. encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o
volume do copo.
C. encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o
volume do copo.
D. encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o
volume do copo.
E. encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o
volume do copo.
5 – (ENEM, 2010) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três
tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional
à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja
encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.
4m
6m
4m
6m
(I)
8m
(II)
8m
(III)
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π ≡ 3).
A. I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3.
B. I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3.
C. II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4.
D. III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3.
E. III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12.
40
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
6 – (ENEM, 2011)
Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br>.
Acesso em: 28 abr. 2010.
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu
centro, de
A. 45°.
B. 60°.
C. 90°.
D. 120°.
E. 180°.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
41
7 – (ENEM, 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou
o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em
um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B
de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto, sob um ângulo visual
2a. A figura ilustra essa situação:
P
2α
α
A
Trajetória do barco
B
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30° e, ao chegar ao ponto B,
verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e
mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
A. 1.000 m.
B. 1.000
m.
C. 2.000
m.
D. 2.000 m.
E. 2.000
m.
Cálculos
42
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de
argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
1 – (ENEM, 2009) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8
peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no
tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
Figura A
Figura B
Disponível em: <http://pt.eternityii.com>.
Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura
A colocando a peça
A. 1 após girá-la 90° no sentido horário.
B. 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
C. 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
D. 2 após girá-la 180° no sentido horário.
E. 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
43
2 – (ENEM, 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito
36
36
,5 m
olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem
largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da
pista são iguais.
m
,5
84,39 m
BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensino-aprendizagem de Matemática em
cursos de 1º e 2º graus. 1990. Dissertação de Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 [adaptado].
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das
raias o corredor estaria sendo beneficiado?
A. 1
B. 4
C. 5
D. 7
E. 8
Cálculos
44
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento,
como mostra a figura.
5 cm
25 cm
40 cm
30 cm
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo
volume fosse de 2.400 cm³?
A. O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
B. O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
C. O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
D. O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E. O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
45
4 – (ENEM, 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação
de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
B
A
P
Q
C
D
Nessa figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral,
são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00
o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um
vitral?
A. R$ 22,50.
B. R$ 35,00.
C. R$ 40,00.
D. R$ 42,50.
E. R$ 45,00.
Cálculos
46
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão
da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
1 – (ENEM, 2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma
fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
Produção
(em toneladas)
Emissão de dióxido de carbono
(em partes por milhão – ppm)
1,1
2,14
1,2
2,30
1,3
2,46
1,4
2,64
1,5
2,83
1,6
3,03
1,7
3,25
1,8
3,48
1,9
3,73
2,0
4,00
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: <www.mec.gov.br>.
Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido
de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é
A. inferior a 0,18.
B. superior a 0,18 e inferior a 0,50.
C. superior a 0,50 e inferior a 1,50.
D. superior a 1,50 e inferior a 2,80.
E. superior a 2,80.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
47
2 – (ENEM, 2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior Telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande
(E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo
voltado para o céu”.
Disponível em: <http://www.estadao.com.br>.
Acesso em: 27 abr. 2010 [adaptado].
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o
diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro
aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do
telescópio citado?
A. 1 : 20.
B. 1 : 100.
C. 1 : 200.
D. 1 : 1.000.
E. 1 : 2.000.
3 – (ENEM, 2011) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros
voos. Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6.000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados.
Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br>.
Acesso em: 21 abr. 2010 [adaptado].
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em
pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias
após o início do caos?
A. 3.390 pés.
B. 9.390 pés.
C. 11.200 pés.
D. 19.800 pés.
E. 50.800 pés.
Cálculos
48
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
4 – (ENEM, 2011) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
b = 160 cm
a = 2.300 mm
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,
A. 0,23 e 0,16.
B. 2,3 e 1,6.
C. 23 e 16.
D. 230 e 160.
E. 2.300 e 1.600.
5 – (ENEM, 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan
nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês
para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano
de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 [adaptado].
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude na
forma decimal é
A. 124,02°.
B. 124,05°.
C. 124,20°.
D. 124,30°.
E. 124,50°.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
49
H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de
representação de situação do cotidiano.
1 – (ENEM, 2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o
desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem
de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que
essa folha deverá ter?
A. 2,9 cm × 3,4 cm.
B. 3,9 cm × 4,4 cm.
C. 20 cm × 25 cm.
D. 21 cm × 26 cm.
E. 192 cm × 242 cm.
Cálculos
50
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2009) O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as
flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que
cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em
velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o
ponto Y?
A. 25 min.
B. 15 min.
C. 2,5 min.
D. 1,5 min.
E. 0,15 min.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
51
3 – (ENEM, 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de
lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda
com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características
técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro
as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
E. 5.
4 – (ENEM, 2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no
estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um
estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas
cidades, A e B, era de 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante
está na escala de
A. 1 : 250.
B. 1 : 2.500.
C. 1 : 25.000.
D. 1 : 250.000.
E. 1 : 25.000 000.
Cálculos
52
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
5 – (ENEM, 2011) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento
por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250.
Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da
maquete?
A. 4,8 e 11,2
B. 7,0 e 3,0
C. 11,2 e 4,8
D. 28,0 e 12,0
E. 30,0 e 70,0
6 – (ENEM, 2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda
sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda,
morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando
sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade
do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: <http://veja.abril.com.br>.
Acesso em: 25 jun. 2011 [adaptado].
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala
entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
A. 1:700
B. 1:7.000
C. 1:70.000
D. 1:700.000
E. 1:7.000.000
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
53
H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
1 – (ENEM, 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50
cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por
litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool
foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto
dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool,
então a expressão que relaciona V e x é
A. V = 10.000 + 50x – x2.
B. V = 10.000 + 50x + x2.
C. V = 15.000 – 50x – x2.
D. V = 15.000 + 50x – x2.
E. V = 15.000 – 50x + x2.
2 – (ENEM, 2009)
Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil,
Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais
840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que
são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já
descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por
exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.
Disponível em: <http://noticias.terra.com.br>.
Acesso em: 10 jul. 2009 [adaptado].
Comparando as capacidades do Aquífero Guarani e desse novo reservatório da
SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é
A. 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
B. 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
C. 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
D. 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
E. 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
Cálculos
54
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2011) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa
queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:
• Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20
minutos.
• Meia hora de supermercado: 100 calorias.
• Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
• Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
• Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
• Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Disponível em: <http://cyberdiet.terra.com.br>.
Acesso em: 27 abr. 2010 [adaptado].
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que,
em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?
A. 50 minutos.
B. 60 minutos.
C. 80 minutos.
D. 120 minutos.
E. 170 minutos.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
55
4 – (ENEM, 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas
pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para
cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes,
pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de
se alimentar. Isso pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, nº 166, mar. 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores.
O copo tem formato cilíndrico e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A
quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3)
A. 20 mL.
B. 24 mL.
C. 100 mL.
D. 120 mL.
E. 600 mL.
5 – (ENEM, 2012) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as
em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na
figura a seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
A. I.
B. II.
C. III.
D. IV.
E. V.
56
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H13 – Avaliar o resultado de uma medição
na construção de um argumento consistente.
1 – (ENEM, 2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao
final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava,
dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José,
Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4: 4 : 2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte
do trajeto?
A. 600, 550, 350.
B. 300, 300, 150.
C. 300, 250, 200.
D. 200, 200, 100.
E. 100, 100, 50.
2 – (ENEM, 2012) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada
temperatura elevada: em seu lugar, aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que, no processo de cozimento, a cerâmica de argila sofra
uma contração, em dimensões lineares, de 20%.
Disponível em: <www.arq.ufsc.br>.
Acesso em: 30 mar. 2012 [adaptado].
Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V
de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é
A. 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional
ao comprimento de seu lado.
B. 36% menor que V, porque a área da base diminui de a² para [(1 – 0,2)a]².
C. 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.
D. 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.
E. 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
57
H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
geométricos relacionados a grandezas e medidas.
1 – (ENEM, 2012) Em exposições de artes plásticas é usual que estátuas sejam expostas
sobre plataformas giratórias. Como medida de segurança, a base da escultura deve estar
integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar
técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos
da medida L do lado da base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência
de segurança seja cumprida?
A. R ≥ L / √2.
B. R ≥ 2L / π.
C. R ≥ L / √π.
D. R ≥ L /2.
E. R ≥ L / (2 √2).
Cálculos
58
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão
da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.
1 – (ENEM, 2011) A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional
à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção
d
b
Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa
relação é
.
A.
.
B.
.
C.
D.
E.
.
.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
59
2 – (ENEM, 2011) Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no
plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto
excedente.
O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é
Cálculos
60
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2012) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua
altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga,
que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
A.
S=
B.
C.
D.
E.
S=
k . b . d2
x2
k.b.d
x2
S=
k . b . d2
x
S=
k . b2 . d
x
S=
k . b . 2d
2x
4 – (ENEM, 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de
água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia
sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia
sanitária ecológica?
A. 24 litros.
B. 36 litros.
C. 40 litros.
D. 42 litros.
E. 50 litros.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
61
5 – (ENEM, 2012) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que
representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada
pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por
ele circula. O consumo de energia (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência
do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a
relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que
circula por ele?
Cálculos
62
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
1 – (ENEM, 2009) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de
pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve
o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por
dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
Centers for Disease Control and Prevention – CDC-EIS Summer Course (1992) [adaptado].
De acordo com as informações do gráfico,
A. o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
B. o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
C. o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
D. uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de
pulmão.
E. o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
63
2 - (ENEM, 2010)
A resistência elétrica e as dimensões do condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um
grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que
existe proporcionalidade entre:
• Resistência (R) e Comprimento (L), dada a mesma secção transversal (A);
• Resistência (R) e a área de secção transversal (A), dado o mesmo comprimento
(L); e
• Comprimento (L) e a área de secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas
que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes:
Disponível em: <http://www.efeitojoule.com>.
Acesso em: abr. 2010 [adaptado].
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre Resistência (R) e
Comprimento (L), Resistência (R) e Área da Secção Transversal (A), e entre Comprimento (L)
e Área da Secção Transversal (A) são, respectivamente,
A. direta, direta e direta.
B. direta, direta e inversa.
C. direta, inversa e direta.
D. inversa, direta e direta.
E. inversa, direta e inversa.
Cálculos
64
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2011) Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização
racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas pode
ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com potência de 4.800 W consome 4,8 kW
por hora.
Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em
sete dias, quantos kW?
A. 0,8.
B. 1,6.
C. 5,6.
D. 11,2.
E. 33,6.
4 – (ENEM, 2011) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas
nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil
internações pelo mesmo motivo.
Revista Época. 26 abr. 2010 [adaptado].
Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de
mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por
AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a
A. 4 mil.
B. 9 mil.
C. 21 mil.
D. 35 mil.
E. 39 mil.
Cálculos
65
CADERNO
MARISTA PARA
O TECNOLOGIAS
ENEM – EXAME–NACIONAL
DO ENSINO MÉDIO
ÁREA
DE MATEMÁTICA
E SUAS
ANOTAÇÕES
65
5 – (ENEM, 2012) Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e
jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período
de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo
número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e
que uma bicicleta custa 9.200 tíquetes.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em
reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é
A. 153.
B. 460.
C. 1.218.
D. 1.380.
E. 3.066.
6 – (ENEM, 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que
precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2
kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
A. 12 kg.
B. 16 kg.
C. 24 kg.
D. 36 kg.
E. 75 kg
Cálculos
66
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas
como recurso para a construção de argumentação.
1 – (ENEM, 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e
que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
n
1,03n
3
1,093
6
1,194
9
1,305
12
1,426
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá
A. escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades
anuais são iguais a 36%.
B. escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C. escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D. escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
E. escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a
rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
67
2 – (ENEM, 2011)
Café no Brasil
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o
equivalente a 331 bilhões de xícaras.
Revista Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120
mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o
consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior. De acordo com essas informações,
qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010?
A. 8 bilhões de litros.
B. 16 bilhões de litros.
C. 32 bilhões de litros.
D. 40 bilhões de litros.
E. 48 bilhões de litros.
3 – (ENEM, 2012) A capacidade mínima, em BTU/h, de um aparelho de ar condicionado,
para ambientes sem exposição ao sol, pode ser determinada da seguinte forma:
• 600 BTU/h por m2, considerando-se até duas pessoas no ambiente;
• para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h;
• acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletroeletrônico em funcionamento no ambiente.
Será instalado um aparelho de ar condicionado em uma sala, sem exposição ao sol,
de dimensões 4m x 5m, em que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho de televisão em funcionamento.
A capacidade mínima, em BTU/h, desse aparelho de ar condicionado deve ser
A. 12.000.
B. 12.600.
C. 13.200.
D. 13.800.
E. 15.000.
Cálculos
68
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
4 – (ENEM, 2012) O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros
das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.
Figura 1
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do
losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.
Figura 2
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da
Figura 1, teve um aumento de
A. 300%.
B. 200%.
C. 150%.
D. 100%.
E. 50%.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
69
H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade
envolvendo variação de grandezas.
1 – (ENEM, 2011) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas
para as festas de fim de ano:
• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa.
• Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas.
• Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado.
• Uma garrafa de vinho serve seis pessoas.
• Uma garrafa de cerveja serve duas.
• Uma garrafa de espumante serve três convidados.
Quem organiza festas faz esses cálculos em relação ao total de convidados, independente do gosto de cada um. Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia.
Jornal Hoje. 17 dez. 2010 [adaptado].
Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados
para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de
A. 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de
farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
B. 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de
farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.
C. 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de
farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
D. 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de
vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.
E. 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de
farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
Cálculos
70
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o
conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de
aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre
35 m² de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m² de área. O
fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do
que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo
possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte
(ambientes representados por três retângulos e um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
A. quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
B. três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
C. duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
D. uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
E. nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
71
Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19 – Identificar representações algébricas que
expressem a relação entre grandezas.
1 – (ENEM, 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região
metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês
de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas, totalizando
880.605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: <http://www.folha.uol.com.br>.
Acesso em: 26 abr. 2010 [adaptado].
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo
nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente,
as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro,
fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é
A. y = 4.300x
B. y = 884.905x
C. y = 872.005 + 4.300x
D. y = 876.305 + 4.300x
E. y = 880.605 + 4.300x
Cálculos
72
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
1 – (ENEM, 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois
as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para
a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA).
Almanaque abril 2010, São Paulo, abr., ano 36 [adaptado].
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em
termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
A. 1998 e 2001.
B. 2001 e 2003.
C. 2003 e 2006.
D. 2003 e 2007.
E. 2003 e 2008.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
73
2 – (ENEM, 2012) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele
ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada
produto vendido, a partir do 101° produto vendido.
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o
número de produtos vendidos é
Cálculos
74
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem
envolva conhecimentos algébricos.
1 – (ENEM, 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o
ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo
retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza
A. massa.
B. volume.
C. superfície.
D. capacidade.
E. comprimento.
2 – (ENEM, 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo
o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma
função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da
quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda
da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q). Considerando-se as
funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de
produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
E. 5.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
75
3 – (ENEM, 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que
encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na
largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
3
y
5
x
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por
A. 2xy.
B. 15 – 3x.
C. 15 – 5y.
D. – 5y – 3x.
E. 5y + 3x – xy.
4 – (ENEM, 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar
em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas
por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do
produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço
de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
A. 5.
B. 11.
C. 13.
D. 23.
E. 33.
76
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como
recurso para a construção de argumentação.
1 – (ENEM, 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas
paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias
nos eixos são dadas em quilômetros
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô
subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (–5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse
prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha
reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
A. (–5, 0).
B. (–3,1).
C. (–2,1).
D. (0,4).
E. (2,6).
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
77
H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade
utilizando conhecimentos algébricos.
1 – (ENEM, 2011) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200
anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que
indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%
Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br>.
Acesso em: 24 abr. 2011 [adaptado].
Uma jovem com IMC = 20 kg/m2, 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de
massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade
de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é
(Use e )
A. reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.
B. reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%.
C. manter seus níveis atuais de gordura.
D. aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%.
E. aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.
Cálculos
78
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso
a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas.
A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$
350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de
um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da
rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas
apresentadas?
A. 100n + 350 = 120n + 150.
B. 100n + 150 = 120n + 350.
C. 100(n + 350) = 120(n + 150).
D. 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000).
E. 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000).
3 – (ENEM, 2012) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes
possibilidades de pagamento:
• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00.
• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00, e mais uma prestação de R$ 26.000,00 para dali a 6 meses.
• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação
de R$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses
da data da compra.
• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano
da data da compra, pagando R$ 39.000,00.
• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00.
Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o
dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade
de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida
fossem vencendo.
Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas,
Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
E. 5.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
79
Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas
da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 – Utilizar informações expressas em gráficos
ou tabelas para fazer inferências.
1 – (ENEM, 2010) Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10
anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a
partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível.
Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades
consideradas. Qual gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?
A.
B.
C.
D.
E.
80
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2011) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3.000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas
amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6.000 K; as mais quentes são
brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10.000 K. A tabela apresenta uma
classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.
Estrela da Sequência Principal
Classe
Espectral
Temperatura
Luminosidade
Massa
Raio
O5
40 000
5 x 105
40
18
BO
28 000
2 x 104
18
7
AO
9 900
80
3
2,5
G2
5 770
1
1
1
MO
3 480
0,06
0,5
0,6
Temperatura em Kelvin
Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade. Disponível em: <http://www.zenite.nu>.
Acesso em: 1 mai. 2010 [adaptado].
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do
Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade?
A. 20.000 vezes a luminosidade do Sol.
B. 28.000 vezes a luminosidade do Sol.
C. 28.850 vezes a luminosidade do Sol.
D. 30.000 vezes a luminosidade do Sol.
E. 50.000 vezes a luminosidade do Sol.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
81
3 – (ENEM, 2012) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico
mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a
menor venda absolutas em 2011 foram
A. março e abril.
B. março e agosto.
C. agosto e setembro.
D. junho e setembro.
E. junho e agosto.
Cálculos
82
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
4 – (ENEM, 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em
milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e
2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar
o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas
de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico,
ocasionando derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto é possível inferir que houve maior
aquecimento global em
A. 1995.
B. 1998.
C. 2000.
D. 2005.
E. 2007.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
83
5 – (ENEM, 2012) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante
a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e
18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?
A. 20.
B. 21.
C. 24.
D. 25.
E. 27.
Cálculos
84
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
1 – (ENEM, 2009) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da
população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Disponível em: <www.ibge.gov.br>
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre
05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09
será igual a
A. 23.940.
B. 32.228.
C. 920.800.
D. 23.940.800.
E. 32.228.000.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
85
2 – (ENEM, 2009) Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos
(ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais
regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o
tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo
tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado
pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e
o tamanho da frota de veículos.
Disponível em: <http://www.ntu.org.br>
Acesso em: 16 jul. 2009 [adaptado].
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril
de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem
inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a
A. 355 milhões.
B. 400 milhões.
C. 426 milhões.
D. 441 milhões.
E. 477 milhões.
Cálculos
86
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU) a respeito da
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população
total nos países desenvolvidos.
Disponível em: <www.economist.com>.
Acesso em: 9 jul. 2009 [adaptado].
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano
2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3
= 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
A. 490 e 510 milhões.
B. 550 e 620 milhões.
C. 780 e 800 milhões.
D. 810 e 860 milhões.
E. 870 e 910 milhões.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
87
4 – (ENEM, 2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a
França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia
mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países
ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
Investimentos Bilaterais
(em milhões de dólares)
Ano
Brasil na França
França no Brasil
2003
367
825
2004
357
485
2005
354
1.458
2006
539
744
2007
280
1.214
Disponível em: <www.cartacapital.com.br>.
Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos
investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França
em um valor
A. inferior a 300 milhões de dólares.
B. superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares.
C. superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares.
D. superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares.
E. superior a 600 milhões de dólares.
Cálculos
88
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
5 – (ENEM, 2010) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos
depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios
de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze
conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de
medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro
de medalhas é reproduzida a seguir.
Classificação
País
Medalhas de
ouro
Medalhas de
prata
Medalhas de
bronze
Total de
medalhas
8º
Itália
10
11
11
32
9º
Coreia do Sul
9
12
9
30
10º
Grã-Bretanha
9
9
12
30
11º
Cuba
9
7
11
27
12º
Ucrânia
9
5
9
23
13º
Hungria
8
6
3
17
Disponível em: <http://www.quadroademedalhas.com.br>.
Acesso em: 05 abr. 2010 [adaptado].
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem
alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a
classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?
A. 13º.
B. 12º.
C. 11º.
D. 10º.
E. 9º.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
89
6 – (ENEM, 2010) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento,
conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Disponível em: <www.folhaonline.com.br>.
Acesso em: 30 abr. 2010 [adaptado].
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados
de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre
A. 100 km2 e 900 km2.
B. 1 000 km2 e 2 700 km2.
C. 2 800 km2 e 3 200 km2.
D. 3 300 km2 e 4 000 km2.
E. 4 100 km2 e 5 800 km2.
Cálculos
90
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
7 – (ENEM, 2011) A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de
Pernambuco.
Diário de Pernambuco. 28 abr. 2010 [adaptado].
Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 100 kWh e outro do
tipo residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses consumidores com 1
kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de
A. R$ 0,27.
B. R$ 0,29.
C. R$ 0,32.
D. R$ 0,34.
E. R$ 0,61.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
91
8 – (ENEM, 2011) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas
se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três
as alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.
Época. Ed. 619. 29 mar. 2010 [adaptado].
Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete?
A. Menos de 23.
B. Mais de 23 e menos de 25.
C. Mais de 50 e menos de 75.
D. Mais de 100 e menos de 190.
E. Mais de 200.
Cálculos
92
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
9 – (ENEM, 2012) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações
podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações
resolvidas excede o número de reclamações recebidas.
Disponível em: <http://blog.bibliotecaunix.org>.
Acesso em: 21 jan. 2012 [adaptado].
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado
na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na
A. segunda e na terça-feira.
B. terça e na quarta-feira.
C. terça e na quinta-feira.
D. quinta-feira, no sábado e no domingo.
E. segunda, na quinta e na sexta-feira.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
93
H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou
tabelas como recurso para a construção de argumentos.
1 – (ENEM, 2011) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de
uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite
verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h2,
onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.
O PERFIL DOS NOVOS CORREDORES
DUILIO SABA
SANDRA TESCARI
Idade
50 anos
Idade
42 anos
Altura
1,88 metro
Altura
1,70 metro
Peso
96,4 quilos
Peso
84 quilos
Peso ideal
94,5 quilos
Peso ideal
77 quilos
No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas
categorias relacionadas aos pesos.
Escala de Índice de Massa Corporal
CATEGORIAS
IMC (kg/m2)
Desnutrição
Abaixo de 14,5
Peso abaixo do normal
14,5 a 20
Peso normal
20 a 24,9
Sobrepeso
25 a 29,9
Obesidade
30 a 39,9
Obesidade mórbida
Igual ou acima de 40
A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a
categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são
A. Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de
sobrepeso.
B. Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de
sobrepeso.
C. Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de
sobrepeso.
D. Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC
24,7, estando na categoria de peso normal.
E. Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC
22,6, estando na categoria de peso normal.
94
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
2 – (ENEM, 2012) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10
às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
Nesse dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o
melhor negócio?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
E. 5.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
95
3 – (ENEM, 2012) Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.
Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com
hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento
em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda
etapa em 10%.
Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava
na categoria de
A. hipoglicemia.
B. normal.
C. pré-diabetes.
D. diabetes melito.
E. hiperglicemia.
Cálculos
96
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação
de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto
de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados
(não em classes) ou em gráficos.
1 – (ENEM, 2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade
mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados,
a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os
dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao
longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a
A. 17°C, 17°C e 13,5°C.
B. 17°C, 18°C e 13,5°C.
C. 17°C, 13,5°C e 18°C.
D. 17°C, 18°C e 21,5°C.
E. 17°C, 13,5°C e 21,5°C.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
97
2 – (ENEM, 2011) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas
de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?
A. 14,6%.
B. 18,2%.
C. 18,4%.
D. 19,0%.
E. 21,0%.
Cálculos
98
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2012) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos
anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as
duas empresas de maior média anual.
As empresas que este investidor escolhe comprar são
A. Balas W e Pizzaria Y.
B. Chocolates X e Tecelagem Z.
C. Pizzaria Y e Alfinetes V.
D. Pizzaria Y e Chocolates X.
E. Tecelagem Z e Alfinetes V.
4 – (ENEM, 2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de
consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções
de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30.000 m² e
o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare
(10.000 m²).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é
A. 20,25.
B. 4,50.
C. 0,71.
D. 0,50.
E. 0,25.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
99
H28 – Resolver situação-problema que envolva
conhecimentos de estatística e probabilidade.
1 – (ENEM, 2009) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares
aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de
fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente,
qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
A. 2 × (0,2%)4.
B. 4 × (0,2%)2.
C. 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2.
D. 4 × (0,2%).
E. 6 × (0,2%) × (99,8%).
2 – (ENEM, 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população
total nos países desenvolvidos.
Disponível em: <www.economist.com>.
Acesso em: 9 jul. 2009 [adaptado].
Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou
mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de
A. A. ½.
B. 7/20.
C. 8/25.
D. 1/5.
E. 3/25.
100
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
3 – (ENEM, 2010) Os dados do gráfico seguinte foram colhidos no conjunto de seis regiões
metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos
(DIEESE).
Disponível em: <http://g1.globo.com>.
Acesso em: 28 abr. 2010 [adaptado].
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na Região Metropolitana de Porto Alegre
equivale a 250.000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de
A. 24.500.
B. 25.000.
C. 220.500.
D. 223.000.
E. 227.500.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
101
4 – (ENEM, 2010) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar
um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de
se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4,
e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das
vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é
A. E1E3.
B. E1E4.
C. E2E4.
D. E2E5.
E. E2E6.
5 – (ENEM, 2011) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo
Comitê Gestor da Internet (CGI).
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver
banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio?
A. 0,45
B. 0,42
C. 0,30
D. 0,22
E. 0,15
102
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
6 – (ENEM, 2011) Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra
a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São
Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo
com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já
matou 17 mil no mundo.
A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação. Campanha de
vacinação contra a gripe suína
Campanha de vacinação contra a gripe suína
Datas da vacinação
Público-alvo
Quantidade de
pessoas vacinadas
8 a 19 de março
Trabalhadores da saúde e indígenas
42
22 de março a 2 de abril
Portadores de doenças crônicas
22
5 a 23 de abril
Adultos saudáveis entre 20 e 29 anos
56
24 de abril a 7 de maio
População com mais de 60 anos
30
10 a 21 de maio
Adultos saudáveis entre 30 e 39 anos
50
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é
A. 8%.
B. 9%.
C. 11%.
D. 12%.
E. 22%.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
103
7 – (ENEM, 2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada
urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Cor
Urna 1
Urna 2
Amarela
4
0
Azul
3
1
Branca
2
2
Verde
1
3
Vermelha
0
4
Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da
urna 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a
com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade
de ganhar?
A. Azul.
B. Amarela.
C. Branca.
D. Verde.
E. Vermelha.
Cálculos
104
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
8 – (ENEM 2012) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram
postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando
suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”.
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma
pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de
Halloween” é “Chato” é mais aproximada por
A. 0,09.
B. 0,12.
C. 0,14.
D. 0,15.
E. 0,18.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
105
9 – (ENEM, 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4,
e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
Cálculos
106
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade
como recurso para a construção de argumentação.
1 – (ENEM, 2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e
15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para
cada bola colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as
outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores
dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes
do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo
resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade
de ganhar o jogo é
A. Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
B. Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4
possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
C. Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5
possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
D. Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5
possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de
Bernardo.
E. Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
2 – (ENEM, 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em
cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para
cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio
acredita que sua soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é
A. Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
B. José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto
para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
C. José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto
para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
D. José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
E. Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
107
3 – (ENEM, 2012) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é
A. 212.952.
B. 229.913.
C. 240.621.
D. 255.496.
E. 298.041.
Cálculos
108
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – ANOTAÇÕES
H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade
utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
1 – (ENEM, 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbana ou Residencial
Suburbana. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor”
da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de
ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é
A. 1/ 5.
B. 1/ 4.
C. 2 /5.
D. 3 /5.
E. 3 /4.
Cálculos
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
109
ANEXO 1
TEORIA DE RESPOSTA AO ITEM NO ENEM
Em 2009, o ENEM passou por importantes mudanças que transformaram significativamente o modo como o desempenho dos participantes é verificado. Como os técnicos do
INEP, responsáveis pela organização do Exame, passaram a utilizar um método estatístico
conhecido como Teoria de Resposta ao Item (TRI), as questões passaram a ser chamadas
de itens, pois devem ser elaboradas de acordo com critérios específicos para que possam
estimar, com maior grau de precisão, o que uma pessoa sabe ou ignora.
Cada item deve avaliar uma única habilidade predominante, estar baseado em conteúdo importante e relevante, privilegiar contextos vivenciados pelos estudantes, apresentando de forma clara a ideia central no enunciado, para possibilitar medir níveis de conhecimentos diferentes pelas perguntas. Tudo isso favorece o atendimento aos três parâmetros
estatísticos, medidos matematicamente, sendo eles:
• Poder de discriminação, que é a capacidade de um item distinguir os estudantes
que têm o conhecimento requisitado para resolvê-lo daqueles que não o têm.
• Grau de dificuldade, que é determinado por meio da aplicação de um pré-teste,
em que as questões são resolvidas por um número reduzido de estudantes do 3º
ano do Ensino Médio, considerados voluntários.
• Possibilidade de acerto ao acaso (chute), considerando os resultados do pré-teste e a classificação das questões quanto ao grau de dificuldade – é inconsistente
o fato de o estudante errar questões consideradas fáceis e acertar as difíceis.
Para saber se um item cumpre os três requisitos necessários é preciso testá-lo previamente. Após a testagem, questões podem ser eliminadas, reformuladas ou incorporadas a
um banco de itens, que precisa ser constantemente atualizado. As provas podem variar ano
a ano, pois é a qualidade delas que garante a capacidade de comparação. Quanto melhor a
prova, mais precisos serão os resultados.
Diante desses parâmetros, o desempenho na prova não contabiliza apenas o número
total de acertos, mas também as características de cada item, que permitem estimar a habilidade de um candidato avaliado e garantir que essas habilidades, medidas a partir de um
conjunto de itens, sejam comparadas com outro conjunto na mesma escala.
Por meio da utilização da TRI, não é possível comparar diretamente o número de acertos de cada estudante com o escore obtido em uma área do conhecimento, pois o número
de itens corretos pode apresentar níveis de dificuldades diferentes, e as demais características dos itens afetam o resultado. Dessa mesma forma, podemos entender que o número
de acertos não pode ser comparado, também, entre as diferentes áreas do conhecimento.
Sendo assim, não existe um escore único, tal como ocorre na maioria dos vestibulares.
Outra característica da TRI é não ter um limite padrão inferior ou superior entre as áreas de conhecimento. Os valores máximos e mínimos de cada prova dependerão das carac-
110
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
terísticas dos itens selecionados. No ENEM, somente a prova de redação tem esses valores
preestabelecidos, uma vez que a correção não é feita com base na TRI.
A TRI envolve psicologia, estatística e informática, por isso provas aplicadas em momentos diferentes podem ser comparadas, e populações variadas (diversos grupos de estudantes) também podem ser comparadas. Outra vantagem é que a probabilidade de resposta “correta” aumenta o valor do indivíduo em relação ao conhecimento que possui, pois
quanto maior for a habilidade do indivíduo, maior é a probabilidade de acerto da questão.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
111
GABARITO
HABILIDADE 1
1. A 2. A 3. C 4. D
HABILIDADE 2
1. D 2. D 3. E 4. D 5. C 6. C
HABILIDADE 3
1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. B 7. B HABILIDADE 4
1. D 2. B 3. D HABILIDADE 5
1. E 2. E HABILIDADE 6
1. D 2. C 3. C 4. E HABILIDADE 7
1. E 2. E 3. A HABILIDADE 8
1. A 2. B 3. B 4. A 5. D 6. D 7. B
HABILIDADE 9
1. C 2. A 3. C 4. B HABILIDADE 10
1. D 2. E 3. C 4. B 5. B HABILIDADE 11
1. D 2. D 3. C 4. E 5. C 6. D HABILIDADE 12
1. D 2. E 3. B 4. C 5. D
112
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
HABILIDADE 13
1. B 2. C HABILIDADE 14
1. A HABILIDADE 15
1. C 2. D 3. A 4. B 5. D HABILIDADE 16
1. E 2. C 3. D 4. D 5. D 6. A HABILIDADE 17
1. C 2. E 3. D 4. E HABILIDADE 18
1. E 2. C HABILIDADE 19
1. C
HABILIDADE 20
1. C 2. E HABILIDADE 21
1. B 2. D 3. E 4. B HABILIDADE 22
1. B HABILIDADE 23
1. A 2. A 3. D HABILIDADE 24
1. A 2. A 3. E 4. E 5. E HABILIDADE 25
1. D 2. A 3. E 4. D 5. B 6. C 7. B 8. C 9. B CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
113
HABILIDADE 26
1. B 2. A 3. D HABILIDADE 27
1. B 2. C 3. D 4. E HABILIDADE 28
1. C 2. C 3. A 4. D 5. D 6. C 7. E 8. D 9. E HABILIDADE 29
1. C 2. D 3. B HABILIDADE 30
1. E 114
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
REFERÊNCIAS
ANDRADE, D. F. de; TAVARES, H. R.; VALLE, R. da C. (2000). Teoria de resposta ao item: conceitos e
aplicações. São Paulo: ABE – Associação Brasileira de Estatística.
ENEM. Prova 2009.
ENEM. Prova 2009. Anulada.
ENEM. Prova 2010.
ENEM. Prova 2011.
ENEM. Prova 2012.
ENEM. Relatório 1998.
ENEM. Relatório 1999.
ENEM. Relatório 2000.
ENEM. Relatório 2001.
ENEM. Relatório 2002.
ENEM. Relatório 2003.
ENEM. Relatório 2004.
ENEM. Relatório 2005.
ENEM. Relatório 2006.
ENEM. Relatório 2007.
ENEM. Relatório 2008.
INEP. Disponível em: <www.inep.gov.br/enem>. [Acessos diversos.]
KLEIN, R. (2003). Utilização da Teoria de Resposta ao Item no Sistema Nacional de Avaliação da
Educação Básica (SAEB).
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS
ANÍSIO TEIXEIRA. DIRETORIA DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – DAEB. Nota Técnica:
Procedimento de cálculo das notas do Enem. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/visualizar/-/asset_publisher/6AhJ/content/redacao-tera-avaliacao-de-itens-de-competencia-e-correcao-mais rigorosa?redirect=http%3a%2f%2fportal.inep.gov.br%2f>. Acesso em: 03 jun. 2012.
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS. Parte III – Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso
em: 19 abr.2013.
Revista do ENEM. Colégio Marista Dom Silvério.
Veja. Disponível em: <http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/raio-x-do-enem-os-conteudos
-mais-cobrados-desde-2009>. Acesso em: 17 abr. 2013.
CADERNO MARISTA PARA O ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
115
ANOTAÇÕES