Programa de Iniciação a Docência em Matemática
(UEM 2010)- Outubro 9: 1–9.
c
PIBID-MAT
www.dma.uem.br/pibid
Produtos Notáveis
Priscila Costa Ferreira de Jesus e Tatiane Oliveira Santos
Resumo: Neste trabalho apresentamos uma proposta de atividade para o desenvolvimento de produtos notáveis que pode auxiliar o na comprensão deste tópico
e no trabalho do professor. Para as demonstrações sugerimos um enfoque mais
geométricas e a construção de materiais manipulativos que tem por objetivo a visualização destes produtos especiais. Uma atividade envolvendo o triângulo de Pascal
é apresentada de modo a generalizar a construção do binômio de Newton. Alguns
exercı́cios são sugeridos ao final do texto.
Sumário
1 Introdução
1
2 Proposta de ensino
2.1 Proposta da atividade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3 O Quadrado da soma.
3
4 Quadrado da diferença.
4
5 O produto da soma pela diferença
5
6 Curiosidade: Produtos notáveis e o Triângulo de Pascal
6
1. Introdução
Nos Elementos, Euclides realiza todas as construções utilizando somente régua
e compasso. Além disso, a régua não tem nenhuma marcação, nenhum número,
nenhuma medida. Euclides e os antigos matemáticos gregos não faziam cálculos
e nem estabeleciam medidas. Preocupavam-se apenas com relações que podiam
obter geometricamente.
A parte mais substancial do percurso efetuado pela matemática grega estava
subordinada à geometria. Na Grécia antiga o raciocı́nio matemático baseava-se,
quase unicamente, nas formas e figuras geométricas, assim, um segmento de reta
representava também o seu próprio comprimento, o produto de dois segmentos
de reta representava uma área retangular, o produto de três segmentos de reta
representava um volume de um paralelepı́pedo. Isto é, efetuavam as operações aritméticas através das construções geométricas, por exemplo, se x e y ′ representavam
dois segmentos, então x.y era a área do retângulo de lados x e y. Para os geômetras
gregos, um problema solúvel com régua não graduada e compasso era um problema
cuja solução passava por construir os elementos desconhecidos, utilizando apenas a
régua não graduada e o compasso, a partir dos elementos geométricos conhecidos.
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Typeset by style.
c Pibid – Mat.
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2. Proposta de ensino
Ao abordar um conteúdo em sala de aula é importante sempre explicar ao aluno
o porque estudar tal assunto.
O conteúdo tratado neste texto é conhecido como “Produtos Notaveis”, e para
isto, nós professores devemos entender também a importância deste conteúdo.
Antes de qualquer coisa, o que são os produtos notáveis?
Vamos entender o significado das palavras “Produtos”e “Notaveis”. Nos dicionários encontramos os seguintes significados:
• Produtos: o resultado de uma multiplicacao.
• Notáveis: Digno de nota, de atenção.
Assim o termo “Produtos Notáveis”significa multiplicação que se destaca.
Respondendo a nossa questão temos dois motivos fundamentais para o ensino
de produtos notáveis:
1. O assunto esta proposto nos parâmetros curriculares nacionais.
2. É uma ferramenta que auxilia nos cálculos de álgebra e geometria.
Se as fórmulas só forem impostas por nós professores, os alunos não saberão
a origem das fórmulas e geralmente esquecem pelo fato de acharem que isso é
decoreba.
Neste texto temos o intuito de mostrar ao aluno como foram demonstradas
geometricamente algumas das fórmulas, pois assim poderemos transmitir uma visão
mais concreta do assunto.
2.1. Proposta da atividade:
1. Objetivos:
• Compreender geometricamente a demonstração da fórmula do quadrado
da soma, diferença de dois quadrados e produto da soma pela diferença.
2. Conceitos a serem Desenvolvidos
• Quadrado da soma.
• Diferenca de dois quadrados.
• Produto da soma pela diferença.
3. Materiais Didáticos utilizados:
•
•
•
•
Papel cartão.
Tesoura.
Régua.
Lápis e borracha.
É importante que o professor utilize as duas formas de demonstrações já que
cada aluno tem a sua maneira própria de visualizar, então demonstraremos algebricamente e geometricamente.
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3. O Quadrado da soma.
Desenvolvimento desta atividade:
Proponha ao aluno que recorte um quadrado de lados com medida a, um
quadrado de lados com medida b e dois retângulos de lados com medidas a e
b. Veja figura 1.
Figura 1: Ilustrando as peças que serão produzidas
Dada as figuras em (1) é importante aproveitar o momento para o enriquecimento da atividade com relação ao estudo das propriedades das figuras geométricas.
Propomos ao professor que indague aos alunos quais são as maneiras de se obter
a respectivas áreas, os ângulos que compõe as figuras, classificação das figuras
geométricas e como encontrar seus perı́metros.
Com essas quatro figuras peça aos alunos que montem um quadrado utilizando
todas as peças. Veja a figura 2.
Figura 2: Ilustrando o quadrado da soma
Questionem aos alunos as maneiras de obtermos a área deste quadrado formado
por todas as peças.
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O esperado são as seguintes respostas:
• (a + b)
2
• (a + b)(a + b)
• a2 + ba + ab + b2 ou a2 + ab + ab + b2 ou a2 + 2ab + b2
Reflita com os alunos a maneira que pensaram para calcular a área do quadrado
montado e conclua que independentemente da maneira que foi calculada a área do
quadrado de lados (a + b) o resultado tem que ser sempre igual já que se trata da
mesma figura. Isto é,
2
(a + b) = (a + b).(a + b) = a2 + b.a + a.b + b2 = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2 .
Logo,
2
(a + b) = a2 + 2.a.b + b2 .
4. Quadrado da diferença.
Desenvolvimento desta atividade:
Com as figuras utilizadas no exercı́cio anterior os desafiem a construir um
quadrado de lado (a − b). Os alunos devem sobrepor o lado de medida b dos
retângulos sobre os lados do quadrado. Veja a figura 3.
Figura 3: Ilustrando o quadrado da diferença
Questione-os sobre as diferentes maneiras de se obter a área deste quadrado
(quadrado azul).
Esperam-se as seguintes respostas:
• (a − b)
2
• (a − b)(a − b)
• a2 − ba − ab + b2 ou a2 − 2ab + b2
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Novamente reflita com os alunos a maneira que pensaram para calcular a área
do quadrado.
Conclua com os alunos que independentemente da maneira que foi calculada a
área do quadrado de lados (a − b), o resultado tem que ser sempre igual já que se
trata da mesma figura.
Isto é,
2
(a − b) = (a − b).(a − b) = a2 − b.a − a.b + b2 = a2 − a.b − a.b + b2 = a2 − 2.a.b + b2 .
Logo,
2
(a − b) = a2 − 2.a.b + b2 .
5. O produto da soma pela diferença
Desenvolvimento desta atividade:
Utilizando essas figuras pergunte como é possı́vel mostrar geometricamente uma
figura com área de medidas (a + b).(a − b).
Do quadrado de lados com medida a (quadrado azul), sobreponha o retângulo
de medidas a e b (retângulo cinza). Veja a figura 6.
Figura 4: Ilustrando a construção do retângulo de lados de medidas a − b
Pergunte aos alunos de que forma podemos manipular as peças para obtermos
o lado (a + b).
O professor deve direcionar à aula para que os alunos percebam que deve-se
posicionar o retângulo de lado a e b (retângulo verde), da seguinte maneira, veja a
figura 5:
Obtendo uma figura com um lado de medida (a + b). Desta forma conseguimos
obter uma figura que representa um retângulo (retângulo vermelho) com lados de
medidas (a + b) e (a − b).
Indague aos alunos qual é a área dos retângulos (a + b) e (a − b) e as maneiras
que eles chegaram nestes resultados. Os alunos poderão apresentar as seguintes
respostas:
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Figura 5: Construção do retângulo de lados de medidas (a + b) e (a − b).
• (a + b)(a − b).
• a2 − ba + ab + b2 ou a2 + b2 .
Conclua com os alunos que:
(a − b).(a + b) = a2 − b.a + a.b + b2 = a2 + b2 .
Logo,
(a − b).(a + b) = a2 + b2 .
6. Curiosidade: Produtos notáveis e o Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm
diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio
Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado. As diagonais exteriores deste
triângulo é sempre o número um, e os outros números é sempre o resultado da
soma dos dois números dois que estão acima. Confira na figura 6.
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Figura 6: Ilustrando o triângulo de Pascal
Por exemplo, na sexta linha temos o número 5 e o número 10 que somados
resultam 15, notem que o número 15 está logo abaixo e entre os números 6 e 20.
Peça para que cada aluno construa em seus cadernos o Triângulo de Pascal, para
o entendimento do processo.
No triângulo de Pascal, algumas propriedades podem ser observadas juntamente
com os alunos:
• Na segunda diagonal (esquerda para direita) quando encontrado um número
primo (isto é, apenas divisı́vel por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisı́veis por ele.Por exemplo na linha 8
temos: ( 1 7 21 35 35 21 7 1), como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisı́veis
por ele.
• Observem também que a soma de cada linha é uma potência de 2.
n
O que muita gente não sabe é que o famoso produto notável da forma (a + b)
pode ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o Triângulo de
Pascal.
Observe com os alunos que os números da terceira linha do triângulo ( 1 2 1)
representam os coeficientes de 1.a2 + 2.a.b + 1.b2 .
Explique que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do pro2
3
4
duto notável (a + b) , outros produtos do tipo (a + b) , (a + b) e, assim por
diante.
Dê exemplos como:
3
(a + b) = 1.a3 + 3.a2 .b + 3.a.b2 + 1.b3 ( quarta linha )
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4
(a + b) = 1.a4 + 4.a3 .b + 6.a2 .b2 + 4.a.b3 + 1.b4 ( quinta linha )
5
(a + b) = 1.a5 + 5.a4 .b + 10.a3 .b2 + 10.a2 .b3 + 5.a.b4 + 1.b5 ( sexta linha )
A partir desse momento uma dúvida geral surgirá entre os alunos: Como os
termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima?
Explique que a regra é a seguinte:
• em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo
termo b, isto é, em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que
a0 = b0 = 1, a1 = a, b1 = b);
• a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão decrescendo e os de b
vão crescendo;
• a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao
expoente do binômio;
• o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;
• o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;
• o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio; a
expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.
Propomos que exemplifique com o desenvolvimento de (a + b)
5
5
(a + b) = 1.a5 .b0 + 5.a4 .b1 + 10.a3 .b2 + 10.a2 .b3 + 5.a1 .b4 + 1.a0 .b5
Explique este exemplo citando as regras e mostrando como utilizá-las, por exemplo:
• expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente)
• expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)
• soma do expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do binômio)
• a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)
Analise a figuras e escreva o produto notável que representa a área colorida.
Desenvolva algebricamente e geometricamente: (−2 + x).(−x + 2) (x + 6)2
x
( 2 + y).( x2 − y) (x − y4 )2
Desenvolva utilizando como ferramenta o triângulo de Pascal: (−2+x)3 (x+6)4
(c + d)5 (a − 2b ).
Agradecimentos
Agradecimentos especiais à profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty Andrade pelas inúmeras sugestões.
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Referências
1. ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José. Praticando Matemática, 7a Série. 1o ed.
São Paulo: Editora do Brasil, 2002.
2. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática - 7a série. 2ed. São Paulo: Ática, 2006.
3. http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca l/curios.htm
4. http://www.brasilescola.com/matematica/quadrado-soma.htm
5. http://www.brasilescola.com/matematica/produto-soma-pela-diferenca.htm
6. http://www.brasilescola.com/matematica/quadrado-diferenca.htm