VisualizaçÃespacial: algumas actividades
Jos6 Manuel Matos e Maria de FAtirna Gordo
No espÃ-ritdos novos programas de
CoordenaçÃvisual-motora
Matemátic parece estar subjacente uma
preocupq30 em envolver o aluno em
actividadesque contribuam para a consmãe o desenvolvimento das suas
n-s
geom6tricas. Papel especial parecem desempenhar as actividades que
envolvam de alguma maneira as capacidades espaciais da criançpois s'o susceptÃ-veide facilitar a aprendizagem da
Ultimamente muito
se tem falado na
importâncida
visualizaçÃna
aprendizagem da
MatemáticaEste
artigo explora
diversas capacidades
relacionadas com a
visualizaçÃespacial
e apresenta algumas
sugestõede
actividades.
Uma primeira capacidade espacial 6
a coordemç' visual-motora, isto e, a
capacidade de coordenar a vis'o com os
movimentos do corpo.
Desde o inÃ-cida escolaridade devem ser dadas aos alunos possibilidades
de desenvolvimento da coordem$o da
vis'o com os seus actos motores. Se um
aluno tem dificuldade em empiihar peGeometria.
A visualizaç5espacial, em pariicu- quenos cubos para construir um cubo
lar, 6 simultaneamente facilitadora de maior, 6 natural que nã possa prestar
muita atençÃaos pormenores da comuma aprendizagem da Geometria, e desenvolvida pelas experiencias geomdtri- m@Ã- do cubo, nomeadamente se os
cas na sala de aula. Engloba um conjunto cubinhosest'o todos alinhados, se o niê
de capacidades relacionadas com a for- mero de cubinhos nas h& d h # k s do
macomo os alunos percepcionamomun- espaç6 igual, etc.
Esta capacidadecomeça ser desendo que os rodeia, e com a sua capacidade
de interpretar, modif'care antecipartrans- volvida desde muito cedo em actividaf o r m a ~ &dos
~ objectos. Diversos edu- des como comer, vestir, jogar e muitas
cadores têm-s debruçad sobre a in- outras. Naescolaela podeserestimulada
atravédo recursoa actividadesde escritemçkentreestacapacidadeseaaprendizagem da Matemhtica, procurando es- ta, a jogos com bolas e actividades de
pecificamente ultrapassar as dificul- desenho livre ou de colagens.
A coordmq'o visual-motora tamdadesperceptuais dos alunos na compreensãoddesenhosde figurastridimensio- bem se desenvolve propondo aos alunos
nais, na interpretq'o de representaçõ a descobertade um caminho, apinturade
visuais de conceitos m a t e d c o s e no um desenho ou a. reproduçÃde figuras
estudodosprocessos relacionadoscom a dadas. Muitas revistas prop'em passaimaginação
transformaç'edeentida- tempos deste tipo. Na sala & aula, o
des rnaternhticas. Neste artigo analisa- professor pode ainda propor aos alunos
remos sete capacidades de visualizaçià que simulemum labirinto com cordas no
espacial seguindo de perto a descriç' chãe que procurem o caminho certo.
feita por De1 Grande (1990) e propore- Este labirinto pode ser preparado por
mos diversas actividades com elas rela- alunos mais velhos sob a orientaçÃdo
cionadas. De fora ficar'o outras cate- professor.
Uma actividade deste tipo pode ser
gorizaç'e das capacidades espaciais,
assim como uma análismais apro-fun- mesmo transformada num trabalho de
dada de investigaç'e dos processos projecto. Sea escola necessitarde pinturas,6comum deixar o trabalho de acaba
mentais a elas associados.
Capacidades relacionadas com a visualizaçÃespacial
CoordenaçÃvisual-motora
Capacidade de coordenar a visã com os movimentosdo corpo.
Exemplos:
Resolver e fazer labirintos,
Pintar desenhos,
Reproduzir desenhos dados,
Pintar e
m marcados com pontinhos.
Memdria visual
Memóri visual
Capacidade de recordar objectos que jA n'o estãvisÃ-veis
Exemplos:
Observar figuras e wplá-lasmas sem as votar a observar,
Observar figuras em papel pontoado e d e ~ M - l a no
s geoplano, sem as voltar a
observar.
Percepgfio flgura-fundo
Capacidade de Identificar um componente espec'fico numa determinada
situaçÃe envolve a mudançde percemo de figuras contra fundos
complexos.
Exemplos:
Completar figuras de forma a se assemelharem a outras dadas,
Procurar figuras imersas n o u m (por exemplo, utilizando Tangiam e pavimenmç
Constânciperceptual
Capacidade de reconhecer figuras geom6tricas em diversas p o s p s ,
tamanhos e contextos e texturas.
Exemplos:
Procurar todos os quadrados num geoplano 5x5,
Construir urna figura gmméirutilizando diversos materiais,
Procurar, na sala da aula ou noutro contexto, uma determinada figura geomébh
Pe-o
da posiçÃno espaç
Capacidade para distinguir figuras iguais mas colocadas com orimtaçõ
diferentes.
Exemplos:
Desenhar urna figura slméwde urna dada,
Descobrir figuras com eixos de simetria, utilizando o Mira ou um espelho,
Encontrar figuras iguais a urna dada mas mo r i e m dfersntss.
Percepgãde tela*
mento de algumas paredes exteriores ao
cuidado dos alunos. Claro que este tipo
de trabalho exige um planeamento das
pinturas e efectuar. Nesse planeamento
poderãinterviroutras área da Matemhtica, especialmente no que diz respeito
ao cáiculda tinta necessáripara cobrir
a áre a pintar.
espaciais
Capacidade de ver e imaginar dois ou mais objectos em relaçÃconsigo
próprio ou em rela@io connosco.
Exemplos:
Constfu@o da aldeia dos cubos,
Fazer uma comtm@o com cubos a partir do desenho da mesma,
Descobrir qual o cubo que corresponde a uma p
i
~
~
.
DlscrimlnaçÃvisual
Capacidade para identificar semelhanp ou d i f e r e m entre objectos.
Exemplos:
Identificar caracter'sticas de Mhgulos,
Descobrir as difeentre dois desenhos,
Descobrir cMrios. que conduzem a determinadas-lc
ou ordemçks
Educaçae Matemátic no 26
2' trimestre de 1993
A rnemdria visual 6 a capacidade de
recordar objectos que j A nã est'o 3 vista. Com alunos mais pequenos 6 possivel
propor uma actividade na qual o professor disp'e alguns objectos familiares
sobre uma mesa e pede que todos os
observemcom atençã
Depoiso professorremove os objectos e pede aos alunos
que recordem os objectos observados.
Pode ainda pedir que reconstituam a psiçÃem que eles estavam.
Para alkm de actividades deste tipo
mais elementar, desenvolve-se esta capacidade quando, por exemplo, se pede
aos alunosque copiem figurasmaiscomplexas numa base de papel penteado ou
quadriculado, ou utilizando o geoplano.
Apó esta actividade d importante que o
professor discuta com os alunos estrate@asque eles utilizarampara recordarem
as figuras e a sua posigo.
PercepçÃf igura-fundo
Esta 6a capacidade de identificar um
componente especifico numa detenninada situaç' e envolve a mudanp de
percepçÃde figuras contra fundoscomplexos.
I? possivel desenvolver esta capacidade atravéde actividades que exijam a
observaçÃde figuras escondidas. A figura 1 mostra uma possibilidade de desenvolvimento desta capacidade solicitando que os alunos isolem elementos
geometricos de um fundo, isto e, que
deixemde tomar atençaaos detalhesou
a eventuais marcas extemporâneae que
e pode
destaquem as figurasgeométrica
ser utükadate ao '
2 Ciclo.
Um conjunto de actividades que desenvolvem a percepç' figura-fundo
pode serexplorado a partir de um problema de pavimentaçãDe inÃ-cipodem
figura I
ser utilizadas figuras geométricaiguais
(quadrados, trihgdos de vário tipos,
recthqdos, paialelogramos,etc.) recorrendo,por exemplo, aos blocos l6gicos.
SeguidamenteserÃinteressante procurar
nessas paviment@es figurasdiferentes
das que foram usadas piara a sua constru$50. Na figura 2 mostram-se um quadrado, um rcdngulo e um hexágon n'o
regularquepodem serencontradosnuma
pavimentaçcom quadrados.
Podem ainda ser encontrados
octógonoe outras figuras geométricas
NSo podem, no entanto, ser encontrados
cÃ-rculoshexágonoregulares, e outras.
Serà interessante pedir aos alunos que
procurem rectas paralelas ou que se
ultersectem.
Na pavimenwo da figura 2, por
exemplo,encontram-sedois sistemas de
rectasparalelas. No entanto, numa pavi-
com hexágonoregulares sà k
poss'veiencontrarrectasparalelas sepr-longarmos os lados dos hexdgonos. Es-
men-
d e v a vivenciar experikias atravé
das quais contactem com exemplos diversificados. Aos alunos mais pequenos
pode-se pedir que construam rectângu
los utilizando materiais variados (canetas de feltro, papel e tesoura, fios de lã
arame, ele.). Aos mais velhos pode-se
proporque procuremtodos osquadrados
num geoplano de 5x5. Facilmente os
alunos chegar'o aos casos em que os
quadrados tê um dos lados horizontais.
tas outras que po- Existem, no entanto outros quadrados
dem serpro~ostas. que niio estã colocados nas p o s i à §
mais comuns (figura 4} e que devem ser
abordados na sala de aula. Este tipo de
ConsÃ-ânc
perceptual
actividades tem-serevelado importante
Aconsthciaperceptual,tamMmcha- mesmo para alunos de cursos de fonnamada consthcia de forma
e tamanho, implicaacapacidadede reconhecerli&r's geométrica
em diversas posiç'es tamanhos,
contextos e texturas. Uma
pessoa mostra possuir
constancia perceptual
quandoreconheceumcubo
ou um quadrado, mesmo
numa posi* nã habituai.
Muitos alunos apenas
l-econhecem figuras geoetricas nas suas posiç'e
figura 3
habituais (bases h&tais no caso dos Wingulos, rectângulosquadrados ou para- I$O inicial de professores.
Actividades semelhantes podem ser
lelogramos,diagonais horizontais e verticais no caso do losango) ou bem pm- desenvolvidas para outras figuras geopordonadas(nãs'oreconhecidoscomo métricasPode-seainda procurar, neste
triângulotri~gulos"magros"
ou "acha- geoplaoo,todos osmthgulos, todos os
tados", outriâuguio"muitoescalem"). triângulois-sceles,etc.
Para os alunos mais novos 6 poss'vel
Outros exemplos podiam ser encontrados, quer no dom'nio da Geometria,
quer noutros dom'nios do conheciroento. A origem desta situa@ pode ser
encontradana forma como formamos os
nossos conceitos. Por exemplo, os alunos normalmente encontram quadrados
desenhados tios manuais ou na aula em
certas posiç'eparticulares (um dos lados horizontais). O seu conceito de quadrado vai pois incluir a propriedade impiÃ-citque tenham um lado horizontal.
h possÃ-veconseguir que os alunos
formem conceitos de entidades geomb
tricas mais amplos. Para isso os alunos
tasactividadespodem serintegradas
inclusiva-mente
no 3ÂCiclo.
O Tangram
pode també desenvolver a percepçÃfigura-fundo. A activi da&
da figura 3 6 um
exemplo de mui-
Ed-
e Matemátic nQ26
2" trimestre de 1993
que o algarismo das dezenas e o algarismo das midade.s tã tmcadm. Estamos aexerceracapacidadede
da posiçÃno esmo quando, na actividade da figura 5, discriminamos entre as
m
diversas letras.
Esta capacidade pode ainda ser desenvolvidapedindo aos alunosquedesenhem ou que identifiquem figuras geométricasimktricasde outrasdadas numa
base quadriculada, penteada ou atà no
geoplano. Pode-setarnMm descobrir eixos de simetria em diversas figuras utilizando o Mira ou um espelho.
PercepçÃde rela-
espaciais
Estamos a usar a pereepcSo de rela-
à § k espaciais quando conseguimos ver
ou imaginar dois ou mais objectos em
figura 5
criar um jogo. Fonna-se no chiio da sala que o campo de jogos da escola pennadiversas figuras geomktricas utilizando nece um rectânguloapesar de poder
cordéie fixando os vériice c o m fita mudar de a m n c i a conforme a posi*
cola. Um aluno de cada vez para coloca a partir da qual o observemos.
os
no interior de um trihgulo. PedePercepqá da posiçÃno
se depoisque o aluno salte paraos outros
espaw
trihgulos ate ter percorrido todos os
triângulosO jogo pode tamMm ser joEsta capacidade envolve a aptid'o
gado com outras figuras geométricas para distinguir figuras iguais mas coloPara aldm da condncia perceptual este cadas com oriendiferentes, Disjogo pode desenvolver tamMm a coor- tingue-se da percepçÃ
figura-fundo ou
denaçÃvisual-motora.
da constânciperceptual porque nestas
O professor dever4 tarnMm explorar duas última procuramos identificar enn'o-exemplos dos conceitos: no caso tidades geomktricas numa diversidade
dos triâuguloso professor deve apresen- de contextos,posiçõe
tamanhos.Exertar figurasgeométricaque emboraparecemos a capacidade de perce*
da
cendo triâugulon'o o s'o ~triâugulos posiçÃno e s p p quando procuramos
com lados curvos, ou em que um dos discriminarquais das figuras que sendo
vdrtices n'o fecha, etc).
iguais do ponto de vista da
Associada h constiincia perceptual figura-fundoou daconst3nciaperceptual
aparece ainda a capacidade de reconhe- estã dispostas com uma orientaçÃd'cer caracter'sticasgeométricaque per- ferente.
manecem inaltedveis mesmo depois de
Por exemplo, h$ alunos que confunuma mudançde perspectiva.Por exem- dem os bb, os dd, os pp ou os qq, ou que
plo, 4 importante discutir com os alunos algumas vezes escrevem número em
EducaçÃe M a b d t i c a no 26
2Âtrimestre de 1993
rel@o consigo próprio ou em relaçÃ
connosco. Quando as criança mais pequenas estã a jogar hs escondidas tem
muita dificuldade em imaginar se, do
ponto de vista do seu companheiro de
brincadeira, estã bem escondidas ou
n'o. Mais tarde, quando elas desenvolvem a capacidade de percepcionar as
relaç6cespaciais entre os jogadores,jh
s'o capazes de se esconder eficazmente.
Esta capacidade pode ser desenvolvidanaescola, semirermos aactivida&s adequadas. Uma actividade interessante&a& pedir aos aiunosqueconstniam uma aldeia com pequenos cubos.
Pode-se dividir a classe em grupos de
Ms alunos,dar cimo cubos a cada grupo
e pedir a cada grupo que construa uma
casa com esses cinco cubos. Os alunos
podem, por exemplo, construir casas
como as da figura 6.
Estaactividade pode sercomplementada propondo aos alunos a colwaç'
dos diversos edifÃ-cioao longo de ruas.
Pode ainda ser desenvolvida atravé da
construçÃde casas mais complexas,
com um númer maior de cubos.Durante esta actividade o professor deve
questio-nar os alunos sobre quais as casas que sã iguais e as que sãdiferentes.
O professor pode ainda dar 20 cubos
a cada grupo de alunos e pedir que constmarn: a) uma casa que seja alta, b) uma
casa que seja baixa, c) uma casa que
tenha dois andares, etc. Um outro tipo de
actividades pode ser proposto pedindo
aos alunos que reproduzam casas feitas
pelo professor ou pelos colegas, O professor pode pedir aos alunos que indiquem com quantos cubos foi feita cada
casa, sem desfazer a casa.
Nalgumas actividades nã t5 possÃ-ve
distinguir entre a percepçÃde relaws
espaciais e a percepçida posiç' no
espaçde que falhos a&. Umaactividade como a proposta na figura 7 requer
simultaneamente uma discriminaça
entre as duas posig'es diferentes tomadas pelo Y (percepç' da posiçÃno
espaçoe uma antecipaç3da posiç'
que o próxim Y vai tomar (perce~ã
de relaçikespaciais).
Na p e r c e ~ a odas relaçõ
espaciais
inclui-se ainda a capacidade de relacionar objectos geomdtricos com as suas
vistas (perspectivas, na linguagem dos
desenhadores) e as suas planificaç'es
Discrlminaçi4visual
Esta últim rapacidade estÃenvolvida quando procuramos analisar se duas
figuras $0 iguais ou, sendo diferentes,
quais as suas diferenças
Procura-seaqui
caracterÃ-sticadas figuras nas quais elas
sejam semelhantes ou diferentes. Nesta
capacidade niioestÃenvolvidaa situaçÃ
do objecto no espaçocontrariamente i
percepçÃda posiqã no espaçou h
percepçfide relaçõ
espaciaisque discutimos anteriomente.
Um passatempo muito divulgado e
que desenvolve a discriminaç5visual 6
o de descobrir as diferençaentre dois
desenhos. Esta actividade pode tamMm
ser proposta na sala de aula.
Nas aulas de Geometria,usamos e
desenvolvemos esta capacidade quando
propomos aos alunos que efectuem classificaç'ee ordenaç8ede formas georndtricas.
Uma actividade mais elaborada que
1) '0-pmfess.g.rforma: grupos de afim0.s e.Wt^esdiversos tfiftrgub?.
.subctihjurito desies- tf^t•g~lo
e pede aos alunos'que adivinhem
3). Cada gruw&
aluas pega num triangulo 'e pergunta a,o pmfe.s~r
se
també desenvolve a discriminq30 visual 6 a proposta na figura 8.
Durante esta actividade o professor
deve discutir com os alunos as
consequênciada aceita@ das regras
propostas por estes. Esta actividade pode
ser desenvolvidacoro outras figuras geomktricas quaisquer ou envolvendo animais ou entidades fantásticaque d pciso agrupar segundo caracter'sticas a
descobrir (Tyler e Round, 1990). Uma
actividade do tipo da da figura 8 pode ser
adaptada a alunos mais velhos, hclusivamente aos da formaç'inicial de professores.
Referfincias
De1 Grande, J. (1990). Spatial sense.
Arithmetic Teacher, 37( Z), 14-20.
Tyler, S., Round, G. (1990). Enigmas com
figuras. Lisboa: Gradiva.
JosÃManuel Matos
F. C.T.-UNL
Maria de FMma Gordo
ESE de Setúba
- '11
Grupo de Trabalho sobre Hist-ria e
Ensino da MatemAtica CGTHEMD
Objectivo central:
promover e estimular uma perspectiva histbrica no ensino e aprendizagem da Matemiitica
Actividades principais:
- criaçãna sede da APM, de um Centro de Documentaç'
- recolha de experigncias referentes a este terna
- colaboraç' em publicaç6esem especial na Revista Educaçi e
Materndticae no APMInfomçioe ainda no sector de publicaçõda
-
APM
oferta de um serviç de informaçõ aos sdcios sobre temas,
-
biografias, e outros textos sobre Histbria da Matemhtica
Para mais informaç6esescrever para GTHEM -@M/
-o
. -
e M a t e d i c a no26
2Âtrimestre de
1993
sede
P