Matemática 2
LEIA COM ATENÇÃO
01. Só abra este caderno após ler todas as instruções e quando for autorizado pelos fiscais da sala.
02. Preencha os dados pessoais.
03. Autorizado o início da prova, verifique se este caderno contém 32 (trinta e duas) questões que podem
ser de proposições múltiplas e/ou de respostas numéricas. Se não estiver completo, exija outro do fiscal
da sala.
04. As questões de proposições múltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0)
a duplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras
falsas. Na folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna I (das dezenas); as falsas,
na coluna II (das unidades).
05. As questões numéricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser
marcados, na folha de respostas, na coluna correspondente ao número da questão. Respostas com
valores entre 0 e 9 devem ser marcadas antepondo-se zero(0) ao valor.
06. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e número de inscrição. Qualquer
irregularidade observada, comunique imediatamente ao fiscal.
07. Assinale a resposta de cada questão no corpo da prova e, só depois, transfira os resultados para a
folha de respostas.
08. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferográfica preta e faça as marcas de
acordo com o modelo (●
●
●
●
●
● ) . A marcação da folha de respostas é definitiva, não admitindo
rasuras.
09. Não risque, não amasse, não dobre e não suje a folha de respostas, pois isto poderá prejudicá-lo.
10. Os fiscais não estão autorizados a emitir opinião nem a prestar esclarecimentos sobre o conteúdo das
provas. Cabe única e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir.
11. Se a Comissão verificar que a resposta de uma questão é dúbia ou inexistente, a questão será
posteriormente anulada e os pontos a ela correspondentes, distribuídos entre as demais.
No m e:
I n sc ri ção :
I d en ti d ad e:
Ó rg ã o Exp ed id o r:
Assi n atu ra:
COMISSÃO DE PROCESSOS
SELETIVOS E TREINAMENTOS
Fone: (81) 3231-4000
Fax: (81) 3231-4232
MATEMÁTICA 2
As informações seguintes referem-se às questões 1, 2, 3 e 4.
A figura abaixo ilustra um prisma hexagonal regular reto ABCDEFA1B1C1D1E1F1 com
altura medindo 7, e lado da base medindo 12.
A1
F1
E1
F
E
B1
C1
A
D1
D
B
C
01. Analise a veracidade das afirmações seguintes, referentes às posições relativas
de retas e planos contendo vértices do prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
0-0) A reta contendo a aresta AB e a reta contendo a aresta D1E1 são
paralelas.
1-1) A reta contendo a aresta AB e a reta contendo a aresta C1D1 são
reversas.
2-2) O plano contendo a face ABB1A1 e o plano contendo a face DEE1D1 são
paralelos.
3-3) O plano contendo a face ABB1A1 e o plano contendo a face CDD1C1 são
paralelos.
4-4) A reta contendo a aresta AB é paralela ao plano contendo a face
CDD1C1.
02. As diagonais de um prisma são os segmentos com extremos nos vértices do
prisma, que não são arestas do prisma nem diagonais de suas faces. Calcule o
comprimento de uma diagonal do prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1, com maior
medida.
03. Analise a veracidade das afirmações seguintes, referentes a pontos no espaço
eqüidistantes de vértices do prisma.
0-0) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A e B formam um
plano.
1-1) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A, B e C formam
uma reta.
2-2) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A, B, C, D, E e F
formam uma reta.
3-3) Existe um único ponto do espaço que está à mesma distância de todos os
vértices do prisma.
4-4) O ponto da interseção de AD1 com DA1 eqüidista de todos os vértices do
prisma.
04. Existe uma esfera circunscrita ao prisma. Calcule seu diâmetro.
As informações a seguir referem-se às questões 5 e 6.
A ilustração abaixo representa uma região retangular onde será construída uma
casa, que ocupará a área hachurada. Na região do retângulo não ocupada pela casa
será construído um jardim. As medidas estão em metros, e todos os ângulos são
retos.
18
A
3
3
13
5
10
6
05. Calcule a área, em m2, do jardim e indique a soma dos dígitos do valor obtido.
06. Instalando-se uma torneira no ponto A, qual é o comprimento mínimo, em
metros, da mangueira que permita alcançar todos os pontos do jardim, sem
passar pelo interior (ou por cima ou por baixo) da casa?
07. A figura abaixo ilustra o dodecaedro regular, que possui 12 faces pentagonais e
congruentes entre si. Escolhendo, ao acaso, dois vértices do dodecaedro, qual
a probabilidade (p) de eles serem extremos de uma mesma aresta? Indique
19p.
08. A figura abaixo é a planificação de um sólido e é composta de 8 triângulos
equiláteros de lado 6 2 .
Calcule o volume do sólido e indique a soma dos dígitos do número obtido.
09. A figura abaixo ilustra um círculo dividido em regiões usando 10 cordas. As
regiões devem ser coloridas de forma que duas regiões com um segmento (de
extremos distintos) de suas fronteiras em comum sejam pintadas com cores
diferentes. Qual o número mínimo de cores necessárias para colorir todas as
regiões?
10. Um reservatório tem a forma de um cone circular reto invertido. Ele está
preenchido até ¾ de sua altura, como ilustrado abaixo. Calcule o percentual (p)
do volume que está preenchido e indique o inteiro mais próximo de p.
11. Cada um dos círculos limitados pelas circunferências de equações
x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 e x2 + y2 - 10x - 2y + 22 = 0
fica dividido em duas regiões de mesma área por uma reta de equação
y = mx + n.
Assinale 3n.
12. Se a água de um reservatório evapora-se à taxa de 15% ao mês, em quantos
meses (indique o inteiro mais próximo) ficará reduzida à terça parte? Dados:
use as aproximações ln(1/3) ≅ -1,10 e ln(0,85) ≅ -0,16.
13. Seja ABC um triângulo com perímetro 12 e área 6. Qual a área de um triângulo
semelhante a ABC, cujo perímetro e área têm o mesmo valor numérico?
14. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 6. Os pares de segmentos
com um extremo em cada vértice do quadrado e o outro extremo no interior do
quadrado trissectam o ângulo do quadrado com mesmo vértice. Calcule a área
S do quadrilátero hachurado na figura e indique S(2+ 3 ).
D
C
A
B
15. Um queijo na forma de um cilindro reto de raio da base 15cm pode ser cortado
em três partes de mesmo volume, segundo as ilustrações a seguir. No primeiro
caso, as partes são obtidas cortando-se o cilindro por dois planos paralelos à
base; no segundo caso, o cilindro é cortado por três semiplanos
perpendiculares à base do cilindro e tendo seu eixo como fronteira. Seja h a
altura do queijo para a qual as partes cortadas têm a mesma área total da
superfície. Indique h/ π.
16. O plano de pagamento de um apartamento consiste em prestações mensais
calculadas da seguinte forma:
- A primeira mensalidade é de R$ 400,00.
- As mensalidades dos meses subseqüentes são obtidas multiplicando-se o
valor da mensalidade do mês anterior por 1,01.
Se o pagamento estende-se durante 10 anos, qual o valor total pago, em
milhares de reais? Dado: use a aproximação 1,01 120 ≅ 3,30.
17. Um cilindro reto está inscrito em um cone, ou seja, a base do cilindro está
contida na base do cone, e a circunferência da outra base está contida na
superfície lateral do cone, como ilustrado abaixo. Se a medida do raio do cone
é o triplo da medida do raio do cilindro e a altura do cone é 12, indique a altura
do cilindro.
As informações seguintes referem-se às questões 18 e 19.
A figura abaixo ilustra um triângulo com lados medindo 13, 14 e 15.
18. Indique a medida da altura relativa ao lado que mede 14.
19. Indique o raio da circunferência inscrita no triângulo.
20. A maquete de uma vila é feita na escala de 1dm para 20m. Se a vila tem área
de 8.000m2, qual a área correspondente na maquete, em dm2?
21. Dentre os paralelogramos com lados adjacentes medindo 4 e 5, existe um cuja
área é máxima. Indique tal área máxima.
22. O triângulo ABC ilustrado na figura abaixo tem lados medindo AB = 7 e BC =
13. Sabendo-se que BMNO é um quadrado com todos os vértices sobre os
lados do triângulo ABC, indique a soma dos dígitos da medida do lado do
quadrado.
A
M
B
N
O
C
23. Sejam a e b as raízes da equação x2 – 5x + q = 0. Sabendo-se que
b
a
a
b
a .b .a .b = 243,
indique o valor de q.
24. Uma pirâmide reta de base quadrada tem lado da base medindo 2 2 cm e
3
arestas laterais medindo 5/2 cm. Indique o volume, em cm , desta pirâmide.
25. Na figura abaixo, os quadrados são concêntricos, e as retas contendo os lados
dos quadrados são paralelas ou perpendiculares entre si. Sabendo que as
áreas dos quadrados medem 256 e 64, indique a área da região hachurada.
26. Em um estádio olímpico, ilustrado abaixo, existem um campo de futebol e uma
pista de corrida, com bordas cujos trechos curvos são semicircunferências
centradas nos pontos médios dos lados menores do campo. As medidas do
campo são 100 e 60 metros, e a largura da pista é de 10 m. Usando a
aproximação π ≅ 3,14 , calcule a área da pista, em metros quadrados, e indique
a soma dos seus dígitos.
27. A figura abaixo ilustra uma sala, em forma de ‘L’, que se pretende ladrilhar com
peças quadradas de lado 30cm. Indique a metade do número de peças
necessárias para ladrilhar a sala.
3,0 m
4,2 m
2,4 m
4,8 m
28. Calcule a soma S dos ângulos internos do polígono, em forma de seta, ilustrado
na figura abaixo. Indique S/10.
29. Se a área da superfície de um cubo é dada por 6x2 – 36x + 54, onde x é um
número real maior que 3, podemos representar o volume do cubo por:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
3
x –3
3
x – 27
3
(x – 3)
3
2
6x – 36 x + 54x
3
2
x – 9 x + 27x – 27
30. Quais dos recortes de cartolina ilustrados abaixo, formados por um quadrado e
quatro triângulos eqüiláteros, podem ser dobrados, ao longo das linhas
pontilhadas, para formar uma pirâmide?
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
31. Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro em
O, e AB é um diâmetro. Indique o valor do ângulo α, em graus.
B
O
α
A
53°
C
32. Se na figura abaixo o ponto O é o centro da circunferência de raio 8 e
OD = 3DB, indique 100senα.
A
α
O
D
B
C