caderno do
ensino fundamental
5ª- SÉRIE
volume 3 – 2009
MATEMÁTICA
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 5ª- série,
volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe,
Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-363-9
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria
Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter.
VII. Título.
CDU: 373.3:51
Ricardo
Kleber
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Ricardo
Kleber
SumáRio
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
12
Situação de Aprendizagem 1 – Definir e classificar experimentando
Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço
12
21
Situação de Aprendizagem 3 – Geometria e frações com o geoplano ou
malhas quadriculadas 30
Situação de Aprendizagem 4 – Perímetro, área e arte usando malhas geométricas
Orientações para Recuperação
46
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para
a compreensão do tema 46
Considerações Finais
47
Conteúdos de matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
Ricardo
48
Kleber
39
São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA
CuRRiCulAR PARA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor,
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu,
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
Ricardo
Kleber
Ricardo
Kleber
FiChA do CAdERno
Formas geométricas, perímetro e área
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Volume:
temas e conteúdos:
Ensino Fundamental
5ª3
Formas geométricas planas
Figuras geométricas espaciais
Composição e decomposição de figuras
Simetrias, perímetro e área
Ricardo
Kleber
oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se
à forma de abordagem desses temas, sugerida
ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os
princípios norteadores do presente currículo,
destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, principalmente as relacionadas à leitura e à escrita
matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder
a oito semanas de trabalho letivo. De acordo
com o número de aulas disponíveis por semana, o professor poderá explorar cada assunto
com mais ou menos aprofundamento, ou seja,
poderá escolher uma escala adequada para o
tratamento do assunto. Em cada situação específica, fica a critério do professor determinar o
tempo necessário, por exemplo, para trabalhar
cada assunto. O tema correspondente a uma das
unidades pode ser estendido para mais de uma
semana, enquanto o de outra unidade pode ser
tratado de modo mais simplificado.
É desejável que você tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas,
elas compõem um panorama do conteúdo do
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bimestre e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular e
levando em consideração seu interesse e o de
seus alunos pelos temas apresentados, pode
determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a
forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula.
As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelo professor
com mais ou menos intensidade, segundo seu
interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos,
nem todas as unidades foram contempladas
com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem seja explicitada nas mesmas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que o professor poderá utilizar para o
enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
Matemática – 5ª- série – Volume 3
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas neste bimestre.
Conteúdos básicos do bimestre
O estudo de Geometria na 5ª- série começa com o reconhecimento, a observação e a
classificação de figuras planas e espaciais. Um
desafio que se apresenta logo de início para
o professor é o fato de que os alunos iniciam
a série com um vocabulário geométrico bastante limitado; por exemplo, palavras como “quadrado” são usadas para designar qualquer tipo
de quadrilátero. Sua ação deve centrar esforços para a implementação de estratégias que
possam facilitar a incorporação significativa
de vocabulário, além da compreensão dos elementos mais importantes de uma figura geométrica, da classificação de figuras de acordo
com critérios diversificados e da verificação
de algumas propriedades elementares das figuras geométricas.
No que diz respeito ao trabalho com a classificação e o desenvolvimento de vocabulário
com significado, vale dizer que as estratégias
cujos resultados são, normalmente, melhores são aquelas que aproximam as etapas da
aprendizagem do universo concreto. Aulas
expositivas sobre classificação de triângulos
quanto aos seus lados ou sobre os nomes dos
quadriláteros tendem a ser pouco motivadoras para alunos de 5ª- série. Em contrapartida,
aulas em que há um desafio a ser resolvido,
em que existe um jogo a ser disputado ou uma
atividade de manipulação concreta de figuras
geométricas são extremamente motivadoras e,
ao longo do seu desenvolvimento, naturalmente surge a necessidade prática de novo vocabulário e de critérios para organizar as figuras
a partir de seus elementos ou propriedades.
Nessa perspectiva, a aula deve ser preparada
de forma a criar situações motivadoras para
o desenvolvimento de habilidades relacionadas à classificação com base na observação
e na resolução de problemas. Os problemas
propostos devem dar conta de dirigir, sempre
baseada na experimentação, uma linha de
investigação em que os alunos possam concluir, por sua conta, propriedades e formas
de organizar as figuras geométricas com base
em critérios.
Dada a importância da experimentação
no desenvolvimento do pensamento geométrico nas séries iniciais, apresentaremos
nesta proposta de planejamento inúmeras
atividades em que os alunos terão de construir, observar e manipular diversas figuras
e aparatos. Nas Situações de Aprendizagem,
sugerimos a construção de poliedros com canudos de refrigerantes e linha, e apresentamos algumas abordagens possíveis de uso do
geoplano e da malha quadriculada, malha de
pontos e de triângulos.
A Geometria abre também as portas para
o desenho geométrico que, inapropriadamente,
vem sendo deixado de lado em muitas Propostas Curriculares. O trabalho com os instrumentos geométricos na 5ª- série, principalmente com
régua, esquadros e compasso, é importante por
vários aspectos. Citando apenas três deles, esse
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tipo de trabalho desenvolve a motricidade fina,
contribui para a verificação e compreensão de
propriedades geométricas e exige o desenvolvimento de linguagem apropriada para os registros. Se o desenho geométrico aparece com menor ênfase do que a Geometria nesta proposta,
queremos deixar claro que tal opção se deve ao
grande volume de temas geométricos e estratégias de abordagem que gostaríamos de compartilhar com o professor neste momento, e não à
menor importância do desenho geométrico.
As oito unidades propostas no planejamento
do bimestre têm apenas a função de organizar
um ponto de partida para o percurso dos temas,
mas, como nos planejamentos dos bimestres
anteriores, sempre estará a critério do professor
fazer a adaptação mais adequada, dadas as necessidades do seu projeto de curso de Geometria.
Na medida do possível, as quatro Situações
de Aprendizagem apresentadas neste documento percorrem as oito unidades do bimestre, direta
ou indiretamente, como veremos a seguir.
Na Situação de Aprendizagem 1 – definir e
classificar experimentando, propomos atividades em que a compreensão das características
das figuras geométricas emerge da manipulação experimental e da troca de experiências
em pequenos grupos. Um bom programa de
desenvolvimento do pensamento geométrico
para crianças pequenas é aquele que compreende bem seus objetivos e sabe elaborar as
perguntas certas capazes de desencadear ideias,
articulações e sínteses por parte dos alunos.
A ênfase de uma das propostas apresentadas
10
na Situação de Aprendizagem 1 é a do trabalho
com a classificação de figuras geométricas com
base em critérios estabelecidos inicialmente pelos próprios alunos e, em seguida, pelo professor. Em outra atividade, apresentamos algumas
possibilidades de uso do tangram como recurso didático. Mais uma vez, a ênfase será dada
ao papel da descoberta dos alunos, que deverá
ser conduzida sempre por uma boa pergunta
ou sequência de perguntas. Além do tangram
tradicional, serão também apresentados outros
tipos, bem como algumas possibilidades diferentes de uso. A Situação de Aprendizagem 1
é finalizada com a proposta de uma atividade
com espelhos para a investigação de simetria
de reflexão. Essa atividade tem o objetivo de
auxiliar no desenvolvimento da percepção de
simetrias nas figuras como meio facilitador da
compreensão de suas propriedades e de suas
representações.
Na Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço, apresentamos diversas atividades para o estudo inicial da geometria dos
sólidos. De início, apresentamos uma proposta
de construção de sólidos com o uso de linha
e canudos de refrigerante, que, além do trabalho com a Matemática, permite aos alunos
exercitar sua motricidade. Uma alternativa
para a construção dos sólidos com canudos
seria a construção com papel a partir de suas
planificações. Nessa direção, não trabalharemos propriamente a construção, mas serão
explorados inúmeros desdobramentos do trabalho com a planificação de sólidos por meio
de investigação com poliminós. O trabalho com
poliminós permite investigar as várias vistas de
Matemática – 5ª- série – Volume 3
uma figura espacial, aborda o raciocínio lógico
dedutivo, explora estratégias de contagem e
permite o trabalho com jogos de estratégia.
Na Situação de Aprendizagem 3 – geometria e
frações com o geoplano ou malhas quadriculadas,
nosso interesse será explorar problemas de perímetro, área, raciocínio lógico dedutivo e operações
com frações, utilizando o recurso do geoplano, que
é um tabuleiro com percevejos ou pregos no qual
podemos desenhar figuras usando elásticos ou
uma linha, ou da malha quadriculada. A riqueza
do geoplano como recurso didático reside no fato
de ele permitir o trabalho tanto com a Geometria quanto com a Aritmética como veremos em
algumas sugestões do seu uso no ensino de soma
e subtração de frações.
Por fim, na Situação de Aprendizagem 4
– Perímetro, área e arte usando malhas geométricas, apontamos para a importância do
uso de malhas de pontos, quadriculada ou de
triângulos, na introdução ao estudo da geometria métrica. As malhas não nos permitem
trabalhar com qualquer tipo de figura ou com
qualquer medida, porém constituem um recurso muito valioso para a compreensão da ideia
de medida associada à de comparação. Identificar medidas de perímetro e área em uma
malha pela composição e pela decomposição
de figuras desenvolve de forma significativa a
capacidade de observação, habilidade indispensável para a aprendizagem da Geometria.
Outra atividade proposta será o uso de malhas
para ampliar, reduzir ou deformar figuras. A
compreensão visual do que será discutido
nessas atividades mantém relação próxima com
o desenvolvimento do tema transversal Cidadania, uma vez que estaremos aprimorando a
competência de leitura de imagens dos alunos.
A Situação de Aprendizagem 4 é finalizada
com uma proposta de construção de mosaicos
em malhas de pontos ou de figuras. O objetivo,
aqui, é possibilitar o desenvolvimento da criatividade, da observação, do senso estético e a
identificação de padrões e regularidades.
Quadro geral de conteúdos do
3º- bimestre da 5ª- série do Ensino
Fundamental
unidade 1 – Observação de figuras planas: semelhanças e diferenças.
unidade 2 – Observação de figuras espaciais: semelhanças e diferenças.
unidade 3 – Classificação de figuras e
ampliação do vocabulário geométrico.
unidade 4 – Propriedades elementares
dos polígonos, simetria, malhas e geoplano.
unidade 5 – Investigação de padrões,
regularidades, propriedades elementares de figuras geométricas e simetria.
unidade 6 – Figuras espaciais: construção, planificação e representação
de vistas.
unidade 7 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição e
simetria.
unidade 8 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição e
simetria.
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SituAçõES dE APREndizAgEm
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1
DEFINIR E ClASSIFICAR ExPERIMENTANDO
Nesta Situação de Aprendizagem, os alunos vão classificar figuras geométricas com
base em critérios estabelecidos, partindo da
manipulação experimental de representações
dessas figuras. Também serão exploradas as
ideias de composição e decomposição de figuras com o uso do tangram, de semelhança de
figuras geométricas e de simetria de reflexão.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: elementos das figuras planas; classificação de figuras planas; propriedades elementares das figuras planas; identificação de simetria; composição e decomposição de
figuras (primeiras ideias sobre perímetro e área de uma figura).
Competências e habilidades: estabelecer critérios de classificação; reconhecer elementos geométricos que podem caracterizar uma figura; resolver problemas geométricos pela experimentação; usar o raciocínio dedutivo para resolver problemas de natureza geométrica.
Estratégias: manipulação de material concreto, trabalho em grupo e jogos.
12
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
apresentada uma proposta de atividade que
segue essa perspectiva de abordagem.
É provável que nas séries anteriores os
alunos já tenham tido uma introdução ao
estudo de Geometria, porém uma atividade
diagnóstica no início do trabalho é indispensável para que seja verificado o estágio
de conhecimento de cada aluno sobre formas planas e espaciais. É possível que a atividade elaborada para esse propósito atinja
plenamente seus objetivos se o professor utilizar recursos lúdicos que favoreçam a experimentação dos alunos com diversidade de
formas planas e espaciais, sem uma classificação prévia das formas, das propriedades e
da relação entre propriedades. A seguir será
Separe os alunos em pequenos grupos e peça
que observem as figuras numeradas. Cada aluno
do grupo deverá escolher uma das figuras ao acaso e descrever para os demais uma ou duas características dela que tenham chamado sua atenção.
O momento criado pode ser muito valioso para o
professor trabalhar, além da experimentação em
Geometria, temas transversais como o respeito
dos alunos ao ouvir com atenção a explicação dos
colegas; a organização como uma regra importante para o bom funcionamento do trabalho; a
tolerância como um valor, etc. Em seguida, cada
aluno deve escolher ao acaso mais uma figura e
indicar algumas de suas características. Solicite
Matemática – 5ª- série – Volume 3
aos alunos que registrem suas obervações. A seguir, os grupos devem escolher outra figura, um
aluno deve dizer uma característica dessa figura, e o grupo deverá procurar outras figuras no
conjunto que tenham a mesma característica
mencionada. Como mediador da atividade, é
importante que o professor esteja atento à diversidade de escolhas dos alunos acerca das características, socializando eventualmente as ideias
entre os grupos. Alguns exemplos de características que, provavelmente, devem aparecer e que
podem ser socializadas entre os grupos são:
f figuras com três lados, quatro lados, cinco
lados, etc.;
f figuras com dois lados “retos” e um lado
“curvado”;
f figuras com três “bicos” ou com três “pontas” (referência aos vértices);
f figuras com “buracos” (referência às formas não convexas);
f figuras com lados paralelos ou com lados em
“cruz” (referência à perpendicularidade);
f figuras que podem ser “dobradas direitinho” (referência à simetria axial);
f figuras com lados que têm a mesma medida.
Dois aspectos são importantes para que
esta Situação de Aprendizagem atinja plenamente seus objetivos: 1) o sortimento das
figuras deve ser bem diversificado de forma
que favoreça a identificação e a exploração
de várias características diferentes; 2) em um
primeiro momento o professor deve dirigir o
mínimo possível a escolha de características
porque a atividade é essencialmente de experimentação e vivência com as formas geométricas (a mediação do professor será importante
em um segundo momento para a socialização
das ideias entre os grupos).
Depois que os alunos estiverem familiarizados com um amplo repertório de características
possíveis de serem mencionadas, proponha para
toda a classe a atividade “Dominó das formas”.
O jogo funciona da seguinte maneira: o grupo 1
apresenta uma figura para a classe e descreve
uma característica dela. Se o grupo 2 tiver uma
figura com aquela característica, ele a apresenta
para a classe e a elimina do seu conjunto de figuras, caso contrário, passa a vez para o grupo 3
e assim por diante, até que um grupo da
sequência tenha uma figura com aquela característica. O grupo que eliminou uma figura deve
dizer outra característica dela para que o jogo
possa continuar. As características citadas podem
ser repetidas, mas não na mesma jogada, ou seja,
a característica que permitiu ao grupo eliminar
sua figura deve ser diferente da que será proposta pelo grupo como característica que vai dar
continuidade ao jogo (o que não quer dizer que
as características não possam voltar a aparecer
no jogo). Como em um dominó, vencerá o jogo
o grupo que conseguir eliminar primeiro todas as
suas figuras. Com a prática de algumas rodadas,
os alunos devem perceber que uma boa estratégia para acabar logo com suas figuras será dizer,
sempre que possível, uma característica que seja
comum ao maior número de figuras do seu “estoque”. Por exemplo, se o grupo 2 tem, na sua
13
vez, a possibilidade de colocar no dominó uma
figura que atende a condição “1 lado curvado”,
e se a figura colocada tem “1 par de lados paralelos”, traço comum em muitas outras figuras
desse grupo, essa característica deverá ser escolhida para a sequência do jogo na expectativa
de que os demais grupos passem sua vez até que
volte para o grupo 2 a possibilidade de eliminar
uma nova figura do seu “estoque”.
As atividades propostas permitem fazer
um diagnóstico dos conhecimentos geométricos da turma, bem como trabalhar o desenvolvimento de vocabulário geométrico
ao convencionar com a classe algumas palavras para descrever certas características
das figuras (paralelo, perpendicular, vértice,
convexo, congruente, ângulo, quadrilátero,
triângulo, etc.). Outra importante habilidade
14
que vai ser trabalhada com a turma é a de
fazer a classificação.
Há outro jogo interessante que também
pode ser feito com figuras recortadas em papel. Nesse jogo, cada grupo escolhe uma “característica secreta” que permite determinado
agrupamento de algumas das suas figuras.
Em seguida, esse agrupamento é mostrado
para a classe e cada grupo terá de descobrir
qual foi a tal “característica secreta” pensada. Na faixa etária de alunos da 5a série, esse
tipo de atividade cria um ambiente favorável
de aprendizagem, porque trabalha com experimentação e com material que pode ser
tocado e manipulado em um ambiente de
brincadeira (lúdico). A seguir, apresentamos
alguns exemplos de figuras que podem ser
utilizadas nessa atividade.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
15
A ideia de que uma figura pode ser composta (ou decomposta) por outras é muito
rica para o desenvolvimento do pensamento
geométrico e constitui uma proposta interessante de continuidade da Situação de Aprendizagem de experimentação e classificação
de figuras. Nesse contexto, atividades com
tangram são apropriadas para o trabalho
com formas planas. Se, nas séries anteriores, os alunos não construíram um tangram,
o trabalho pode ter início com esta atividade; se os alunos já construíram, propomos
que seja feito algum tipo de tangram menos
convencional. Apresentamos alguns tipos de
tangram que podem ser confeccionados com
cartolina, papel-cartão, cortiça, madeira ou
outros materiais.
tradicional
geométricos. Não descreveremos aqui os
procedimentos para essa construção, mas o
professor poderá encontrá-los em muitos livros didáticos ou nos endereços eletrônicos
sugeridos mais adiante.
Além das tradicionais figuras que podem
ser feitas com o uso do tangram, muitas outras
atividades de investigação geométrica podem
ser propostas. Vejamos algumas delas com o
uso de um tangram diferente do tradicional.
Material necessário para a atividade: tesoura e
uma folha com o desenho do tangram abaixo
para cada aluno.
triangular
Corte as 15 figuras que compõem o retângulo grande e, em seguida, faça as atividades
1, 2, 3, 4 e 5 com as peças desse tangram.
quadrangular
circular
Atividade 1
Ordene as figuras de acordo com seus tamanhos.
oval
O processo de construção de um tangram pode ser uma boa oportunidade para
um primeiro contato com os instrumentos
16
Com esta atividade o professor pode discutir
com os alunos uma definição mais consistente sobre o que entendemos por “tamanho” da figura. A ideia é que eles possam
perceber intuitivamente a área associada
ao que usualmente compreenderiam como
Matemática – 5ª- série – Volume 3
o “tamanho” da figura. Vale destacar que o
percurso didático de um programa de Geometria deve levar em consideração que, para
as faixas etárias menores, o significado se
constrói muito mais por meio de situações
concretas e aproximações experimentais
do que com formalismo e definições. Mais
adiante apresentaremos outras atividades
específicas do uso do tangram para explorar a ideia de perímetro e área de uma figura a partir da sua decomposição.
f coloque a maior delas sobre a mesa, fique em
pé com os olhos afastados da mesa. Pegue
outra figura de três lados e, tapando um dos
olhos, tente encontrar uma posição que faça
uma sobreposição perfeita das duas figuras.
Se a sobreposição acontecer, dizemos que as
duas figuras são semelhantes;
f repita o mesmo experimento com as figuras de quatro lados;
f registre quais foram as figuras semelhantes
que você encontrou.
Atividade 2
Essa atividade explora a ideia de perímetro
e, como a anterior, trabalha com duas importantes habilidades: a de ordenar e a de
estimar. É muito importante que os alunos
de 5ª- série consigam estabelecer a ordem de
grandeza entre comprimentos e entre áreas
de figuras que possibilitem uma distinção
clara de medidas. A habilidade e a destreza
com o uso e a leitura das medidas indicadas
na régua também devem ser motes desta
atividade.
Atividade 3
Dizemos que duas figuras são semelhantes
se têm a mesma “forma”, mas tamanhos diferentes. Faça a seguinte experiência com as
figuras de três lados:
Samuel Silva
Qual figura tem o maior comprimento total? Qual delas tem o menor comprimento?
Ordene as figuras pelo seu comprimento e,
depois, confira se sua ordenação está correta,
utilizando a régua.
Com essa atividade iniciamos a exploração
de um tema central da Geometria, o estudo da
semelhança de figuras. Com os experimentos
propostos, os alunos deverão perceber que:
f os triângulos do tangram são todos semelhantes;
f alguns quadriláteros do tangram são semelhantes, outros não.
Com base na primeira conclusão, o professor
pode fazer o seguinte tipo de exploração.
Apesar de os alunos ainda não terem a ideia
formalizada de ângulo, explore o fato de que
as “pontas” dos triângulos desse tangram,
sejam eles grandes ou pequenos, se encaixam perfeitamente. Quando isso acontece,
os triângulos são semelhantes. Note que
17
essa é uma oportunidade para introduzir de
forma intuitiva a seguinte ideia (que só será
formalizada nas séries seguintes): se dois
triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.
Verificação análoga pode ser feita entre dois
paralelogramos semelhantes do tangram (o
maior e o menor), como se pode ver a seguir:
Com a observação dos quadriláteros, o aluno
deverá perceber que alguns são semelhantes,
e outros não. Uma problematização interessante que pode ser feita é a seguinte: será que
o mesmo critério aplicado para definir triângulos semelhantes pode ser usado para definir
quadriláteros semelhantes? Os alunos devem
perceber que não. O exemplo abaixo mostra
dois quadriláteros do tangram com ângulos
correspondentes congruentes, porém, que não
são semelhantes (a percepção de que eles
não são semelhantes deverá ter sido verificada a
partir do experimento com um olho vedado).
Tanto no caso dos quadrados quanto no dos
paralelogramos semelhantes, o tangram proposto na atividade tem a vantagem de permitir que a proporcionalidade entre os lados
seja facilmente percebida pelos alunos por
meio de encaixes (composição de figuras
por sobreposição), uma vez que a razão de
semelhança é dois. Vale observar que nem todos os paralelogramos desse tangram são semelhantes. O paralelogramo maior não é
semelhante ao intermediário, que por sua vez
não é semelhante ao menor.
Atividade 4
Na comparação entre quadrados, os alunos
devem ter identificado figuras semelhantes.
Com base nessa observação, você pode discutir que, no caso das figuras de quatro lados,
além do encaixe perfeito entre as “pontas”
correspondentes, também deve haver proporcionalidade entre os lados para que elas sejam
semelhantes.
18
Separe todos os triângulos do tangram,
ordene-os pelo seu perímetro, depois pela sua
área e, por fim, compare essas ordenações. Registre as conclusões sobre o que você observou
na comparação entre as duas ordenações.
Note, inicialmente, que o enunciado dessa atividade exige compreensão do uso das palavras
área e perímetro, que devem ter sido trabalhadas
nas atividades anteriores. Como no tangram
Matemática – 5ª- série – Volume 3
proposto todos os triângulos são semelhantes,
espera-se que os alunos percebam e concluam,
pela experimentação, que se aumentamos o perímetro de um triângulo sua área também vai
aumentar. De forma geral, tratando-se de triângulos semelhantes, se o perímetro for duplicado,
a área será multiplicada por 4; se o perímetro for
multiplicado por k, a área será multiplicada por
k². Esta conclusão não precisa ser formalizada,
mas pode ser compreendida por meio de recursos
como a figura a seguir:
Atividade 5
Investigue a possibilidade de formar figuras
quaisquer usando as peças do tangram.
Essa atividade explora as abordagens tradicionais de tangram que o aproximam de um quebra-cabeças de formas e encaixes. Os alunos
costumam se motivar com esse tipo de desafio,
que também pode ser feito com outros tipos de
tangram e com o objetivo de formação de outros tipos de figuras por composição.
Com as situações propostas até aqui, trabalhamos, pela experimentação, as habilidades
de classificar, comparar, generalizar e estimar
medidas. Outra habilidade importante que
pode ser desenvolvida com alunos dessa série
é a antecipação da representação de formas
pelo uso da simetria. Propomos, a seguir, uma
atividade com esse objetivo.
Disponibilize ou solicite aos alunos que tragam de casa um pequeno espelho retangular.
Caso não haja disponibilidade de um espelho
por aluno, a atividade também pode ser feita em
pequenos grupos.
A atividade consiste em fazer um desenho em
uma folha de papel de tal forma que, quando colocado em frente a um espelho, forme uma determinada figura. Por exemplo, para formar a letra A,
basta que os alunos desenhem no papel metade da
letra para que possam vê-la inteira com a fusão
entre o desenho feito e a imagem no espelho.
Apresentamos a seguir alguns exemplos de
atividades interessantes (6 e 7) que podem ser
feitas explorando a ideia de simetria de reflexão. No entanto, essas atividades não constam
no Caderno do Aluno; como elas abordam o
tema eixos de simetria de uma figura, é importante que o professor aborde com a classe este assunto. Para isso, o professor poderá
levar um espelho, para sala de aula, para verificar com seus alunos a existência, ou não,
de eixos de simetria nas figuras apresentadas.
Atividade 6
Verifique se as letras do seu nome podem ser escritas por reflexão com o auxílio de um espelho.
Com essa atividade o professor poderá explorar
ideias de que nem todas as letras do alfabeto
possuem simetria de reflexão.
Atividade 7
Colocando o espelho em determinada posição você pode formar, a partir dos desenhos
a seguir, uma forma geométrica fechada. Encontre essa forma geométrica e, em seguida,
19
registre a descrição de algumas de suas características.
Respostas:
um losango
(4 lados congruentes);
ângulos opostos
congruentes;
lados opostos paralelos
uma pipa;
ângulos opostos
congruentes
hexágono convexo
Especificamente em relação aos temas geométricos explorados, espera-se que, ao final das
atividades, os alunos estejam aptos a:
octógono côncavo
Essa atividade permite trabalhar investigações
de simetria axial de figuras geométricas.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 apresenta
para o professor uma proposta de trabalho
com Geometria com base em materiais concretos e na experimentação. A metodologia
de uso desse material que estamos propondo
leva em consideração a construção do conhecimento a partir da manipulação de figuras e
o desenvolvimento da habilidade de classificar
a partir da negociação de ideias entre grupos
de alunos. Os conhecimentos geométricos que
decorrem do uso dessa proposta devem ser
sistematizados pelo professor ao longo do desenvolvimento das atividades.
Como estamos valorizando, nas atividades
propostas, o trabalho em grupo, a negociação
20
de ideias e a troca de experiências entre os
alunos, o professor deve buscar estratégias de
avaliação que levem em consideração não só
o desenvolvimento da compreensão dos temas
matemáticos, mas também aspectos como
a participação de todos os integrantes nas
discussões do grupo, a atitude solidária e de
respeito dos alunos, o respeito às regras determinadas para as atividades, etc.
f identificar visualmente, em figuras planas,
paralelismo, perpendicularismo, semelhança, congruência e simetria;
f saber utilizar de forma mais apropriada o
vocabulário geométrico elementar;
f saber agrupar figuras de acordo com determinado critério estabelecido.
Tais conhecimentos e habilidades devem
ser avaliados pelo professor com a utilização
de instrumentos diversificados, como prova,
participação nas atividades em grupo e produção de relatórios com os registros das investigações de classificação de figuras. A produção
dos relatórios constitui um item importante
da avaliação, porque sinaliza a importância do
uso apropriado da linguagem para expressar
ideias matemáticas. Por meio da avaliação dos
relatórios, o professor poderá sinalizar direções
para os alunos não só do ponto de vista da articulação das ideias matemáticas, como também
da produção de texto.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2
PlANIFICANDO O ESPAçO
A proposta de trabalho desta Situação de
Aprendizagem é explorar os sólidos geométricos de forma concreta e por meio das suas
representações. No primeiro caso, será dada
ênfase à manipulação e à construção dos sólidos e, no segundo, às representações de suas
planificações e das suas vistas (frontal, superior, lateral).
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: elementos das figuras espaciais; classificação de figuras espaciais; representação de figuras espaciais; planificações e vistas de figuras espaciais.
Competências e habilidades: estabelecer critérios de classificação; reconhecer elementos geométricos que podem caracterizar uma figura espacial; ler, interpretar e representar figuras
tridimensionais; usar o raciocínio dedutivo para resolver problemas de natureza geométrica.
Estratégias: manipulação de material concreto, trabalho em grupo e jogos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Na Situação de Aprendizagem 1, apresentamos algumas estratégias para o trabalho inaugural do estudo da Geometria das formas planas
na 5a série do Ensino Fundamental. O estudo
de Geometria nas séries iniciais deve buscar elementos de leitura das imagens do nosso mundo
como forma de aproximar os temas investigados do concreto. Apesar de o nosso mundo ser
essencialmente tridimensional, muitas vezes os
programas de Geometria das séries iniciais dão
excessiva ênfase à Geometria plana e quase nenhuma à espacial. Entendemos que a Geometria
plana tem um papel muito importante na formação inicial dos alunos, pelo fato de desenvolver o pensamento abstrato e fornecer elementos
importantes de análise para a investigação dos
sólidos geométricos. Contudo, uma Proposta
Curricular moderna certamente não deixaria de
fora um primeiro contato com o estudo geométrico das formas espaciais já nas primeiras séries
do Ensino Fundamental.
Da mesma maneira como iniciamos o trabalho com a Geometria plana por meio de uma
atividade que pudesse desencadear classificações, ordenação e desenvolvimento de vocabulário geométrico, o mesmo poderia ser feito
com a Geometria em três dimensões. Uma coleção de sólidos geométricos poderia ser usada
no lugar da coleção de figuras planas na Situação de Aprendizagem 1 e praticamente todas as
atividades propostas poderiam ser adaptadas
ao ambiente tridimensional. As características
que poderiam ser investigadas agora seriam:
sólidos que rolam (e que não rolam); sólidos
que afunilam (e que não afunilam em um ponto);
sólidos formados apenas por “linhas retas” (e sólidos formados por “linhas curvas”); total de
faces (muitas vezes chamadas de “lados” pelos
21
alunos que estão iniciando o estudo dos sólidos); total de vértices (ou “bicos”); total de
arestas (“linhas”); sólido que fica de pé apoiado em qualquer face, etc.
A manipulação dos sólidos geométricos
também pode ser feita utilizando-se materiais
simples, como canudos, linha e fita adesiva. O
aluno pode ser convidado a montar alguns sólidos e a investigar alguns de seus elementos e
propriedades por meio da construção, como veremos a seguir. Para a atividade, sugerimos que
se disponibilizem canudos de refrigerantes em
cores e diâmetros diferentes, linha (ou barbante fino) e uma agulha para passar a linha pelos
canudos. Convencionaremos que seta simples
(→) indicará o sentido em que a linha deve ser
passada no canudo vazio, e a seta dupla (⇒) o
sentido em que a linha deve ser inserida em um
canudo já ocupado por uma linha.
Inicialmente, vamos construir um cubo e
suas diagonais. Passamos a linha por meio de
quatro canudos, indicados por 1, 2, 3 e 4:
A estrutura de um cubo feita com canudos
não tem a mesma rigidez que, por exemplo, a
estrutura de um tetraedro feito com o mesmo material teria. Isso pode ser explorado por
meio da investigação da rigidez dos triângulos
e da ausência de rigidez dos quadriláteros. Uma
situação de problematização interessante que
pode ser proposta é a seguinte: “Como podemos
tornar a estrutura do cubo de canudinhos mais
rígida com a incorporação de novos canudos?”.
É muito provável que os alunos proponham
a colocação de canudos nas diagonais das faces. Pode-se discutir com eles que os novos canudos fixados formarão um tetraedro regular,
que, por ser um sólido formado apenas por
triângulos, será uma estrutura rígida. A construção de um tetraedro regular com canudos é
mais simples que a do cubo, e pode ser encontrada nas referências bibliográficas listadas no
final deste Caderno (além de tetraedro, é possível construir, com canudos, pirâmides de base
quadrangular, icosaedro, octaedro, etc.).
1
2
4
3
A sequência a seguir descreve o complemento da construção:
17
6
7
5
2
16
18
13
4
8
22
12
1
11
3
14
9
10
15
A construção de sólidos geométricos também pode ser feita utilizando cartolina, um
estoque de polígonos de mesmos lados e fita
adesiva. Porém outra estratégia mais interessante para o trabalho com a construção de sólidos
de papel é iniciar a discussão com investigações
sobre a planificação de figuras espaciais. De
posse de uma planificação da figura, estaremos
com uma peça já pronta para a sua montagem.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
O trabalho com planificações é interessante
porque exige dos alunos o desenvolvimento da visualização dos sólidos em perspectivas diferentes.
A seguir, apresentamos uma série de atividades
que trabalham diretamente com a planificação de
figuras e com a representação das vistas frontal,
superior e lateral de um sólido.
Atividade 1
Observe a construção de um cubo a partir
da sua planificação:
b)
c)
As três planificações formam cubos.
Atividade 2
As planificações a seguir não formam
cubos. Como você pode concluir isso rapidamente?
b)
a)
Planificação do cubo
c)
Um cubo tem seis faces e, portanto, sua planificação deve ser formada por seis quadrados.
As figuras a e c não têm seis quadrados, portanto, não formam um cubo. A figura b não forma
um cubo porque, apesar de ter 6 quadrados, não
há como associar as bases e as faces laterais.
Construção do cubo a partir da sua planificação
Atividade 3
Investigue em cada caso a seguir se a planificação indicada permite ou não a construção de
um cubo, apenas por dobradura, sem cortar o
papel. Caso você esteja com dificuldades, copie
em uma folha de papel cada uma das planificações e tente montar o cubo a partir delas:
a)
Quais das planificações a seguir formam
cubos e quais não formam? Procure responder
sem montar os cubos, mas, se isso não for possível, copie a planificação em uma folha, recorte e
tente montar o cubo.
a)
b)
c)
d)
23
Apenas b e c formam cubos. Note que, nessa atividade, foi sugerida a resolução sem a
construção concreta do cubo. Nem todos os
alunos conseguem resolver essa questão apenas com o pensamento abstrato, porém deve
ser uma meta sua, professor, fazer com que
gradativamente todos possam resolver um
problema semelhante a esse sem a construção física do cubo.
Com as atividades anteriores, os alunos perceberam que são necessários seis quadrados
compondo a planificação para que se possa
fazer um cubo, contudo, nem todas as combinações dos seis quadrados podem formá-lo.
Um desdobramento interessante acerca dessa
investigação seria pedir aos alunos que desenhem todas as possíveis planificações de um
cubo, mas, para que haja reflexão anteriormente à atividade, algumas perguntas podem
facilitar o percurso, como veremos a seguir.
Atividade 4
É possível formar um cubo quando temos
uma planificação com cinco quadrados alinhados e um não alinhado? Justifique sua resposta.
Não é possível, porque cinco quadrados alinhados conseguem fechar apenas quatro
das seis faces do cubo. O sexto quadrado da
planificação fechará a quinta face do cubo,
e uma face ficará aberta. Exemplos de tais
planificações são:
Note que o tipo de discussão proposta por
essa atividade faz com que o aluno tenha
24
que exercitar não só a visualização espacial
como também o raciocínio lógico-dedutivo. É
possível que muitos alunos encontrem explicações diferentes e, nesse caso, é importante
que cada uma delas seja analisada pelo professor do ponto de vista lógico para verificar
sua consistência. O exercício de compreender
que uma justificativa não é correta ou é insuficiente é tão ou mais proveitoso do que apenas
ver a resposta correta do problema.
Uma planificação formada por quadrados de
modo que eles partilhem pelo menos um lado é
chamada de poliminó. Dependendo do número
de quadrados envolvidos, o poliminó receberá
nomes específicos como: dominó (dois quadrados), triminó (três quadrados), tetraminó (quatro
quadrados), pentaminó (cinco quadrados), etc.
Os exercícios de planificações de cubos trabalham com os hexaminós (seis faces quadradas).
Atividades com poliminós são interessantes porque exigem o uso de várias habilidades matemáticas, como abstração espacial,
raciocínio lógico-dedutivo, estratégias de contagem de possibilidades e ideias relacionadas
à simetria de reflexão e de rotação. Veremos
agora algumas ideias que podem ser utilizadas
em atividades com poliminós.
Atividade 5
Desenhe todos os pentaminós diferentes
que você conseguir encontrar. Uma dica importante para você não desenhar pentaminós
repetidos é: se dois ou mais pentaminós são
iguais, mas estão em posições diferentes, eles
devem ser considerados o mesmo pentaminó,
Matemática – 5ª- série – Volume 3
como no exemplo a seguir, em que temos quatro representações da rotação (giro) de um
mesmo pentaminó e outras quatro representações do mesmo pentaminó feitas a partir
de uma reflexão (espelhamento). No caso do
exemplo, todos os oito pentaminós devem ser
considerados equivalentes.
Atividade 6
O pentaminó apresentado no enunciado da
atividade anterior possui oito representações
que podem ser consideradas idênticas (quatro
rotações e quatro reflexões). Investigue o número de representações idênticas (rotações e
reflexões) de cada um dos 12 pentaminós.
Para dar nome aos pentaminós podemos
usar letras que lembrem sua forma:
primeiro pentaminó
R
1
de volta em
4
sentido horário do
primeiro pentaminó
I
L
N
giro de
1
de volta em
2
sentido horário do
primeiro pentaminó
giro de
Reflexões dos
pentaminós
da esquerda
com relação
a um eixo
vertical
P
T
U
V
1
giro de de volta em
4
sentido anti-horário do
primeiro pentaminó
Existem 12 pentaminós diferentes, que são:
W
X
Y
Z
Os pentaminós L, N, P, R e Y possuem
oito representações idênticas (quatro rotações e quatro reflexões). O pentaminó
Z possui quatro representações idênticas
(duas rotações e duas reflexões). V, U e
W possuem quatro representações idênticas (todas por rotação). I possui duas
representações idênticas (por rotação) e X
é o único pentaminó que só possui uma representação.
25
Existem inúmeras atividades com pentaminós
(e outros poliminós) que podem ser montadas,
todas elas explorando a criatividade, o raciocínio
lógico e a visualização espacial. Apresentamos a
seguir um jogo com pentaminós.
Os poliminós podem também ser usados
para a montagem de quebra-cabeça de preenchimento, como em alguns jogos de computador, por exemplo, o Tetris. A atividade a seguir
explora essa ideia.
Forme grupos de alunos e disponibilize para cada
grupo um conjunto dos 12 pentaminós diferentes.
Cada grupo deverá usar todos os pentaminós para
formar um campo fechado. Vencerá o grupo que
conseguir formar o campo com o maior número de
quadrados no seu interior. Como exemplo, apresentamos uma solução (Figura 1) que consegue deixar
11 quadrados no interior do campo (os 11 quadrados
estão indicados na Figura 2 pela cor cinza).
Atividade 7
Com os 12 pentaminós, monte um retângulo 6 × 10.
Esse problema apresenta várias soluções
possíveis, sendo uma delas a seguinte:
Figura 1
6 × 10
Como são 12 pentaminós, temos um total
de sessenta quadrados. Esse problema pode
ser reformulado para outras possibilidades
de retângulos, como 4 × 15, 3 × 20 e 5 × 12.
Apresentamos a seguir uma solução para
cada um desses casos.
Figura 2
5 × 12
4 × 15
3 × 20
26
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Atividade 8
guida, agrupe-os de acordo com o seguinte
Determine o número de dominós, triminós
e tetraminós distintos.
critério: completando o menor retângulo
Existem apenas um dominó, dois triminós e
cinco tetraminós (temos também 12 pentaminós, que já foram vistos anteriormente).
retângulos 2 × 4, 3 × 3, 3 × 4, 2 × 5, 1 × 6
Atividade 9
Existem 35 hexaminós. Desenhe-os em
uma folha de papel quadriculado e, em se-
possível em cada hexaminó formaremos
e 2 × 3. Agrupe os hexaminós pelo menor
retângulo que podemos formar com cada
um deles.
Nessa atividade você pode dar um exemplo
para os alunos.
2×4
3×3
3×4
2×5
1×6
2×3
27
A representação de vistas de uma figura espacial no plano é uma habilidade que pode ser
desenvolvida desde as primeiras séries do Ensino Fundamental. Inicialmente, o professor pode
levar sólidos geométricos e outras figuras espaciais e pedir a seus alunos que façam um esboço
da figura de acordo com o que estão enxergando na sua linha de visão. O desenvolvimento da
habilidade para a representação de figuras por
meio de suas vistas (lateral, frontal e superior)
se dá a partir da observação cuidadosa de detalhes como a incidência de luz e sombra. Não é
esperado que alunos de 5a série consigam fazer
representações de objetos mais detalhados com
precisão, porém é desejável que se inicie um trabalho para capacitá-los a representar vistas de
objetos geométricos elementares, como cubos,
paralelepípedos, cilindros e pirâmides simples
(esse trabalho terá continuidade na 6ª- série,
explorando o uso de malhas como ferramenta
auxiliar ao desenho).
Veremos a seguir uma atividade que trabalha a identificação de objetos a partir da representação das suas vistas.
Atividade 10
Desenhe as vistas frontal, lateral e superior
de cada um dos objetos sobre a mesa.
Superior
5
2
1
3
4
lateral
Frontal
28
7
6
Respostas:
FRontAl
lAtERAl
SuPERioR
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Atividade 11
A figura a seguir representa a fotografia de
uma casa. Desenhe as vistas do lado direito,
do lado esquerdo, frontal, traseira e superior
dessa casa.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Respostas:
1
superior
2
frontal
5
4
lateral esquerda
3
lateral direita
traseira
Considerações sobre a avaliação
Em relação à avaliação, é necessário verificar se seus alunos sabem fazer planificações
de sólidos e identificar sólidos por suas planificações. Deve-se também verificar se os alunos
conseguem estabelecer critérios a respeito das
condições para que uma planificação gere um
sólido ou não. Essa verificação poderá ser feita por meio de avaliações individuais ou por
meio de propostas de trabalhos em grupo, em
que os alunos tenham de construir sólidos com
canudos, papel ou outro material, e desenhar
suas vistas e planificações.
As atividades propostas na Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço indicam ao
professor a necessidade de se iniciar o estudo dos
sólidos geométricos já na 5ª- série. Assim como
na Situação de Aprendizagem 1, a proposta de
abordagem enfatiza mais os aspectos de descobertas pela manipulação das figuras geométricas
do que pelo formalismo das definições.
A atividade de construção dos poliedros
com canudos e linha também pode ser avaliada. Como nem todos possuem o mesmo
desenvolvimento motor e facilidade para trabalhos manuais, é importante que o professor
permita que os alunos que não tenham construído os sólidos de maneira correta ou adequada possam refazer a atividade.
O desenvolvimento da competência de
leitura e representação de imagens é um dos
objetivos centrais das atividades propostas
para este bimestre e deve ser avaliado para
que se identifique com clareza a aprendizagem dos alunos. Em um primeiro momento,
a representação de vistas e planificações de
um sólido geométrico deve ser conduzida com
a manipulação e a experimentação, porém é
desejável que, com o tempo, os alunos estejam
aptos a identificar um sólido por sua planificação (e vice-versa), sem precisar montá-lo ou
desmontá-lo fisicamente.
Especificamente em relação aos temas geométricos explorados, espera-se que ao final das
atividades os alunos estejam aptos a:
f identificar elementos de um sólido geométrico (arestas, vértices, faces);
f representar um sólido por meio das suas
vistas e planificações;
f identificar a forma de um sólido pela sua
planificação;
f classificar sólidos de acordo com critérios
estabelecidos.
29
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3
GEOMETRIA E FRAçõES COM O GEOPlANO OU
MAlHAS QUADRICUlADAS
Esta Situação de Aprendizagem trata da
classificação de figuras geométricas e introduz
a discussão sobre área e perímetro utilizando como suporte o geoplano. Na sequência
da atividade, utilizamos o geoplano ordenado como recurso auxiliar para o estudo das
frações (classificação, operação de adição e
ordenação).
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: classificação de figuras; elementos de figuras planas; propriedades elementares de figuras planas; introdução às ideias de perímetro e área (composição e decomposição); adição e subtração de frações (com o geoplano); simetria.
Competências e habilidades: comparar perímetros e áreas; resolver situação-problema a partir da leitura atenta do enunciado; desenvolver raciocínio lógico-dedutivo em problemas
geométricos.
Estratégias: manipulação de material concreto; exploração da ideia de composição e decomposição de figuras.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Um geoplano consiste em uma malha de pontos marcados em uma base qualquer, que pode
ser de madeira, isopor, cortiça ou de qualquer
outro material que permita a fixação nos pontos
de pregos, percevejos ou alfinetes. Na construção
de um geoplano, é importante que se tenha em
vista que material será usado para as marcações
que serão feitas. O ideal é que os pontos marcados e fixados no geoplano sejam resistentes,
porque normalmente as atividades com esse material didático ficam mais interessantes quando
usamos elásticos para fazer as marcações de
30
pontos, segmentos, polígonos, etc. Para a fixação de um elástico esticado, os pontos da malha
do geoplano devem ser pregos ou percevejos e
a base de madeira. Se quisermos construir um
geoplano com isopor e alfinetes ou percevejos
na malha de pontos, teremos de usar linha ou
barbante na marcação dos pontos, segmentos
e polígonos (a linha não exerce força sobre o
ponto fixo como o elástico, permitindo que a
fixação dos pontos na base seja menos rígida).
A imagem a seguir representa um geoplano 9 × 9,
que é o tamanho mínimo para a realização de
atividades com esse recurso. Geoplanos maiores
permitem maior flexibilidade na exploração de
ideias e conceitos.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Atividade 1
Construa no geoplano a forma dos algarismos de 0 a 9.
O geoplano é um recurso didático que permite
abordagem tanto de temas da Geometria como da
aritmética das frações, motivo pelo qual escolhemos essa ferramenta para apresentar algumas possibilidades de exploração de temas da Matemática
na Situação de Aprendizagem 3. Para a exposição
que segue, estamos admitindo um geoplano 9 × 9
feito em base de madeira e com pregos nos pontos
de cruzamento da malha. Utilizaremos para a
manipulação do geoplano conjuntos de elásticos,
de preferência de cores diferentes.
A proposta inicial de uso deve permitir que
os alunos aprendam a manipular o geoplano
e consigam compreender os comandos dados
pelo professor. Durante os comandos, o professor pode trabalhar a construção do vocabulário
geométrico dos alunos, bem como a problematização acerca da necessidade de comandos, definições e termos claros para que todos possam
compreender da mesma maneira qual é o problema proposto. Vejamos um exemplo de uma
primeira situação de uso do geoplano.
Devemos observar que alguns algarismos podem
ser construídos de maneiras diferentes. Veja, por
exemplo, que o algarismo 8 foi construído com
o uso de apenas dois elásticos, mas poderia ter
sido feito com sete (nesse caso, cada elástico
ligaria apenas dois pontos). Alguns alunos poderão ter dificuldade para imaginar uma forma
de representar alguns algarismos e, nesse caso,
sugira que eles procurem em uma calculadora
como o algarismo aparece no visor.
Atividade 2
Represente no geoplano as iniciais de seu
nome e sobrenome.
Resposta pessoal. Havendo dificuldade, os
alunos podem verificar nos livros como as
letras de forma maiúscula são escritas.
Atividade 3
Na impossibilidade de construir ou adquirir geoplanos, pode-se utilizar malhas
quadriculadas para o desenvolvimento das
atividades a seguir. No Caderno do Aluno,
são propostas algumas atividades com a
utilização das malhas quadriculadas.
Agora use apenas um elástico para representar uma figura no geoplano, de tal forma que o
elástico esteja fixado por quatro pregos e que
fique um prego na parte de dentro da figura.
(Observação: os pontos de fixação não devem
ser considerados parte de dentro da figura.)
31
Atividade 4
É provável que a maior parte dos alunos
encontre como solução a que apresentamos
acima. Isso permitirá que se discuta se
essa solução, de fato, atende à condição
do problema de que na parte de dentro da
figura fique apenas um prego (na verdade,
essa solução deixa cinco pregos na parte
de dentro). Para resolver esse problema,
basta desviar o elástico deixando quatro dos
pregos que ficaram na parte de dentro para o
lado de fora, como indica a solução correta
apresentada à direita na ilustração acima.
Na sequência, o professor pode formular a
seguinte pergunta: “Por que foi colocada
a observação no enunciado dizendo que os
pontos de fixação não devem ser considerados
parte de dentro da figura?”.
Essa pergunta permite aos alunos perceber que
sem essa regra o problema não teria solução.
A leitura atenta do enunciado deve ser uma
habilidade valorizada pelo professor. Oriente
os alunos a assinalar os elementos mais importantes do texto de um enunciado, como “a
pergunta”, “os dados”, “as restrições”, etc.
Muitas variações dessa atividade podem ser
criadas, por exemplo: “Faça uma figura que
deixe dez pregos no seu exterior sem tocar
nenhum elástico”; “Faça uma figura em que
o elástico esteja fixado por cinco pregos, e que
deixe três pregos no seu interior”, etc.
32
Desenhe uma figura que não seja um quadrado e que atenda à seguinte condição: a figura deve ter a mesma aparência, seja qual for
o lado do geoplano que estejamos utilizando
para observá-la.
Os alunos devem encontrar soluções diferentes
para essa atividade. É importante que possam
compartilhar suas experiências, tentando
ajudar uns aos outros na verificação se a
solução encontrada está correta, ou se deve ser
modificada. Por meio dessa atividade, pode-se
explorar a ideia de simetria axial e de simetria
de rotação. O comando do enunciado exige
que a figura construída tenha dois eixos de
simetria, sendo que a figura refletida em cada
um deles deverá ser sempre a mesma. Pensando
o mesmo problema sob o ponto de vista de
simetria de rotação, estamos em busca de uma
figura que se mantenha idêntica se girarmos o
geoplano em 1 de volta, 1 de volta ou 3 de
4
2
4
volta. Neste momento do curso, os alunos ainda
não estudaram formalmente ângulos, portanto,
a ideia que deve ser usada quando queremos nos
referir a um ângulo é a de giro correspondente à
parte de uma volta toda. Apresentamos a seguir
duas soluções para o problema.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
A atividade 5, apresentada a seguir, não
consta no Caderno do Aluno. Todavia, se o
professor julgar conveniente, deve discutí-la
com os alunos, de modo que eles reconheçam
que a diagonal de um quadrado possui medida
maior do que a medida de seus lados.
Atividade 5
1
c) triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 2 e 3;
d) paralelogramo com um par de lados
opostos medindo 2;
e) pipa com todos os lados de medida
diferente de 2;
f) um trapézio de bases 2 e 4.
2
5
4
3
Meça com a régua as distâncias no geoplano que estão representadas na figura por 1, 2,
3, 4 e 5. Em seguida, registre suas conclusões
sobre a comparação entre as medidas encontradas (existem ou não medidas iguais?).
As medidas 1, 2, 3 e 4 são iguais e a medida
5 é maior que as outras. Essa atividade é
importante porque, para que o trabalho com
perímetro de figuras no geoplano transcorra
bem, é necessário que os alunos percebam que
a diagonal de um quadrado tem medida maior
que os lados do quadrado. Se, por exemplo,
estabelecermos como unidade de medida do
geoplano o lado do menor quadrado formado
por quatro pregos, a distância entre dois
pregos opostos pela diagonal do quadrado será
diferente da unidade de medida do geoplano.
Atividade 6
Construa as seguintes figuras no geoplano,
assumindo como unidade de medida a medida
do lado do menor quadrado formado com
quatro pregos:
a) quadrado de lado 2;
b) triângulo isósceles de base 4;
Essa atividade favorece a construção de vocabulário. Ainda que não haja uma preocupação no
estudo com rigor das propriedades das figuras
geométricas, com base nas construções feitas,
pode-se discutir, por exemplo, eixo de simetria
de algumas figuras (o quadrado, o triângulo
isósceles e a pipa possuem, respectivamente,
4, 1 e 1 eixos de simetria); a classificação dos
triângulos quanto aos seus lados, paralelismo
e perpendicularidade; a classificação dos quadriláteros (ainda que informal e sem a preocupação de explorar a ideia de inclusão nas
definições dos quadriláteros notáveis), etc.
a
b
f
c
e
d
Outros desdobramentos que a atividade permite podem decorrer de perguntas como:
É possível construir no nosso geoplano
um triângulo isósceles de base 3? É possível construir no geoplano um triângulo
33
equilátero de lado 2? E um losango que não
tenha ângulos de 1 de volta?”.
4
Pela manipulação os alunos deverão perceber
que todas as figuras solicitadas não podem ser
construídas no nosso geoplano. Deve ser dada
especial atenção à segunda pergunta, porque
muitos alunos poderão achar que o triângulo
indicado abaixo é equilátero, quando na
verdade é isósceles, com um lado medindo 2 e
os lados congruentes medindo mais do que 2.
O geoplano também pode ser usado para o
trabalho com áreas. Nos bimestres anteriores,
os alunos foram apresentados à ideia de que
“medir é comparar”. Na introdução ao estudo
da medida de área de superfícies, inicialmente,
os alunos fizeram experimentações de medida
utilizando um padrão arbitrário qualquer de
medida e, na sequência, foram apresentados ao
metro quadrado, que corresponde à área de um
quadrado de 1 m por 1 m. No caso do estudo
de área com o uso do geoplano, convencionaremos que o menor quadrado que podemos formar seja definido como de área “uma unidade
quadrada”, representada por 1 u². A atividade
a seguir explora algumas possibilidades do trabalho com áreas no geoplano.
Atividade 7
Construa no geoplano figuras diferentes
com área 4 u².
34
Existem muitas possibilidades diferentes e é
importante que a classe possa compartilhar
e discutir os resultados. A seguir, apresentamos três soluções para o problema. Note
que, para compreender essas soluções, os
alunos precisarão deduzir que a diagonal
divide a área de um quadrado ao meio (de
forma mais geral, as diagonais de quaisquer
quadriláteros notáveis, exceto o trapézio,
dividem sua área ao meio).
Atividade 8
Construa um quadrado de lado 2 e, depois,
outro que tenha o triplo da medida do lado do
anterior, isto é, que tenha lado 6. Compare a
área dos dois quadrados.
O quadrado de lado 2 tem área 4 u² e o de
lado 6 tem área 36 u².
Propondo aos alunos que repitam essa
atividade com outras medidas do quadrado
inicial e outros comandos para o lado no
novo quadrado (“o dobro do anterior”, “o
quádruplo do anterior”, “metade do anterior”,
etc.), pode-se pedir a eles que formulem uma
hipótese sobre o que acontece com a área de
um quadrado se multiplicarmos seu lado por
um certo número. Registrando e comparando o
padrão dos resultados, os alunos vão perceber
Matemática – 5ª- série – Volume 3
que a área será multiplicada pelo quadrado
do número. Alguns poderão também deduzir
esse resultado por estratégias de contagem,
verificando que o número de unidades da área
de um quadrado pode ser obtido multiplicando-se o total de quadrados dispostos na base e
na altura do quadrado.
A ideia de proporcionalidade explorada nessa
atividade será muito importante quando os
alunos forem estudar semelhança de figuras
nas séries seguintes.
Atividade 9
Construa no geoplano as seguintes figuras:
a) retângulo de área 2 u²;
b) triângulo de área 2 u² com um elástico;
c) triângulo de área 2 u² com três elásticos;
d) paralelogramo com área 2 u²;
e) hexágono com área 4 u²;
f) um retângulo e um quadrado de áreas
iguais.
Além de investigações geométricas, o geoplano também pode ser usado para o estudo
das operações de adição e subtração com frações, desde que se estabeleça uma orientação
semelhante à de um jogo de batalha-naval (ou a
do plano cartesiano), como veremos a seguir.
Faz parte do programa da 5ª- série o estudo
das operações de adição e subtração de frações. Se orientarmos as linhas e colunas do
geoplano com números, podemos associar
a cada prego um par ordenado (p,q), o que
pode ser convencionado que representa a frap
ção . Sem perda de generalidade, estamos
q
simplificando nossa análise estudando apenas
as frações com numeradores e denominadores
positivos e em um geoplano 9 × 9, lembrando
que o estudo pode se tornar mais interessante em
geoplanos maiores, como o de medida 21 × 21.
Vejamos exemplos da representação de algumas frações no geoplano que passaremos a
chamar de “geoplano ordenado”:
q
8
7
d
6
a
5
d
4
3
b
e
b
A
2
f
0
c
f
C
1
1
2
3
4
5
6
8 p
7
Os pregos A, B, C e D representam, respecretângulo e quadrado
de mesma área
tivamente, as frações
.
35
Utilizando os elásticos, podemos começar
a praticar o uso do geoplano ordenado fazendo as seguintes marcações:
(1) todas as frações com denominador 5;
Com essa atividade, o dispositivo permite
observar que:
f frações com mesmo denominador necessariamente estão alinhadas horizontalmente;
(2) todos os números naturais;
(3) todas as frações equivalentes a 1 .
1)
2)
3)
36
2
q
8
7
6
5
4
3
2
1
0
f frações equivalentes necessariamente estão
alinhadas com a origem e entre si.
Agora fica fácil determinar um procedimento para fazer adição de frações utilizando
o geoplano ordenado. Por exemplo, para fazer
1
2
3
4
5
6
7
8 p
q
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 os passos são:
+
2 3
f marcamos o conjunto de frações equivalentes a 1 ;
2
f marcamos o conjunto de frações equiva1 a 2;
lentes
+
2
1
2
3
4
5
6
7
8 p
q
8
7
6
5
4
3
2
1
0
f as frações impróprias estão localizadas
na diagonal que passa pela origem ou à direita dela;
1
2
3
4
5
6
7
8 p
3
f procuramos frações dos conjuntos marcados
que estejam alinhadas horizontalmente e,
nessa mesma linha de alinhamento, encontramos o resultado da soma adicionando os
numeradores das frações.
q
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3
6
1
2
7
6
4
6
3
4
5
6
7
8 p
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Outra tarefa simples que pode ser feita
com o uso desse geoplano é a ordenação de
um subconjunto de frações.
Para ordenar duas frações distintas representadas por (m,n) e (r,s), inicialmente amarramos
um barbante na origem do geoplano, que deve
estar alinhado com o eixo p. Rotacionando o
barbante esticado em sentido anti-horário,
o primeiro par ordenado intersectado representa
a maior das frações. Vejamos uma justificativa
para o caso indicado na figura abaixo, em que
queremos ordenar as frações m e r :
n s
q
s'
s
n
barbante
m
r
p
No geoplano, dois pregos que representam
frações de mesmo numerador sempre estão
alinhados verticalmente. Nesse caso, a maior
das frações representadas será a de menor denominador, ou seja, será aquela representada
pelo ponto mais próximo do eixo p.
m r
representada no
Observando a fraçãoe
n s
m r
geoplano, notamos que existe uma fraçãoe ,
n s
com s’ > s, tal que (0,0), (m,n) e (r, s’) sejam
colineares. Uma vez que pontos colineares a
(0,0) representam frações equivalentes, comparar (m,n) com (r,s) é equivalente a comparar
(r,s’) com (r,s). Como (r,s) está mais próximo do
eixo p do que (r,s’), segue que
r m
> .
s n
A explicação anterior não deve ser utilizada
com formalismo para os alunos, porque perderia
totalmente seu sentido em uma 5ª- série; porém,
sua ideia intuitiva pode ser explorada por meio
de exemplos e da investigação experimental.
O geoplano ordenado também permite
o uso de narrativas para a construção de importantes conceitos matemáticos, como veremos a seguir com a exploração da ideia
de frações equivalentes, enumerabilidade de
conjuntos numéricos e densidade. É evidente
que a viabilidade de aplicação das ideias apresentadas na sequência deve ser avaliada com
critério, levando-se em consideração o interesse
e o estágio de conhecimento dos alunos.
Imaginemos uma situação em que o geoplano ordenado representa uma floresta, sendo que cada prego é uma árvore muito fina.
Se estivéssemos localizados na origem do geoplano e olhando na direção dessa floresta,
quais árvores seriam visíveis? (Essa ideia pode
ser transformada em uma atividade.)
3
6
não seria visível por ter à sua frente as ár2 1
e . Nessa linha
vores correspondentes a
4 2
de olhar, a única árvore visível seria aquela
2 1
correspondente à fraçãoe . Explorando essa
4 2
ideia para outras frações, pode-se dizer que
um ponto (p,q) do geoplano é visível da origem se e somente se p e q são números primos
entre si, o que implica dizer que as árvores visíveis são aquelas representadas por frações
p
irredutíveis .
q
Uma árvore correspondente à fração
37
Se considerarmos uma fração redutível
4
qualquer, como , encontramos a fração
8
irredutível correspondente ligando os pontos
(4,8) e (0,0), e verificamos que (1,2) representa
a árvore visível que encobre (4,8).
q
8
7
6
5
Frações irredutíveis
("árvores visíveis")
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p
Sabemos que o conjunto dos racionais é
enumerável, o que significa dizer que podemos
estabelecer uma correspondência biunívoca
entre o conjunto dos racionais e dos números
naturais. Uma vez que a representação no geoplano ordenado das árvores visíveis com base na
origem indica todas as frações irredutíveis que
compõem o conjunto dos racionais, podemos
utilizar o geoplano com essas frações marcadas
para colocá-las “em fila”, isto é, em correspondência com os números naturais (bijeção entre
Q e IN), como se vê na figura abaixo:
q
8
7
6
5
Árvores visíveis a partir da origem
4
Caminho de ordenação de todas as
1
frações irredutíveis a partir de
1
3
2
1
0
p
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 1 1 3 4 3 2 1 1 5 6 5 4
Q : ...
1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3
IN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
38
lembre-se de que o uso do geoplano ordenado para a discussão de enumerabilidade das
frações (mais especificamente dos números racionais) só se justifica no contexto de ampliação
de repertório de ideias matemáticas, podendo
perfeitamente ser postergado para as séries seguintes, quando serão estudados os números
racionais como um conjunto numérico.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 3 – geometria e
frações com o geoplano ou malhas quadriculadas, a
proposta é que se trabalhe leitura e compreensão
de enunciados, vocabulário geométrico, raciocínio
lógico-dedutivo na investigação de problemas de
construção de figuras no geoplano e uma introdução
à ideia de área (por composição e decomposição)
e perímetro. A identificação de simetria nas figuras
geométricas também pode e deve ser explorada por
meio do geoplano ou de malhas quadriculadas.
Como vimos, além de muito útil para o trabalho
com Geometria, o geoplano também permite que
se explorem as operações de adição e subtração de
frações, bem como que se apresentem as frações
equivalentes, frações próprias e frações impróprias
em um contexto de resolução de problemas.
Em relação à avaliação, o professor poderá utilizar o próprio geoplano, pedindo a seus
alunos que construam figuras, investiguem propriedades e resolvam problemas no dispositivo.
A competência de leitura de enunciado também
pode e deve ser verificada, sendo necessário, para
isso, que o professor faça um trabalho cuidadoso
de orientação de estratégias para a formação de
um bom leitor, tais como grifar a palavra-chave,
sublinhar a pergunta, separar os dados, identificar as condições-limite do problema, etc.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4
PERíMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MAlHAS GEOMÉTRICAS
As ideias de perímetro e área são apresentadas
nesta Situação de Aprendizagem por meio da composição e da decomposição de figuras na malha
quadriculada. Também com o auxílio de malhas,
serão exploradas as ideias de ampliação e redução,
e de simetria de reflexão e translações no plano.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdo e temas: perímetro e área (por decomposição e composição); ampliação e redução
de figuras com o auxílio de malhas; simetria.
Competências e habilidades: comparação de perímetros e áreas; raciocínio lógico-dedutivo
em problemas geométricos; leitura, análise e interpretação de imagens.
Estratégias: manipulação de material concreto (malhas); exploração da ideia de composição
e decomposição de figuras.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
O estudo da Geometria tem, entre outros
objetivos, o de possibilitar uma melhor leitura
do espaço em duas e três dimensões, o que certamente tem como consequência a ampliação
de repertório para a apreciação estética e para
a compreensão crítica da produção humana,
da natureza e, de forma geral, do mundo que
nos cerca. A Situação de Aprendizagem 4
tem por objetivo apresentar uma série de estratégias que, de alguma forma, favorecem o
desenvolvimento de repertório para a apreciação estética da arte e da natureza. Além da
dimensão estética, também será dada ênfase
à aplicação de conhecimentos geométricos na
leitura crítica de situações do cotidiano (comércio, embalagens, estatística, etc.).
Iniciamos propondo um trabalho de construção de mosaicos em malhas, que podem
ser quadriculadas, formadas por triângulos
ou por losangos. A aprendizagem de conhecimentos geométricos com o uso de malhas
inicia-se na 5ª- série e tem continuidade na
6ª- série. Para a 5ª- série, o que interessa é a possibilidade de exploração das malhas e a descoberta de relações e propriedades de forma
experimental. As malhas possibilitam também
um ambiente adequado para se trabalhar a ampliação de vocabulário geométrico dos alunos.
Por exemplo, é comum que alunos da 5ª- série
nomeiem “quadrado” todo e qualquer quadrilátero e que utilizem a palavra “reta”
para designar retas, semirretas e segmentos
de reta. Sabe-se que aulas expositivas sobre classificações geométricas nem sempre
são bem-sucedidas com os alunos menores,
39
porém, havendo uma atividade motivadora em
que a questão da classificação e da ampliação de
vocabulário apareça de forma indireta ao longo
de toda a atividade, a aprendizagem e a incorporação de vocabulário se dão de forma natural.
A malha quadriculada (ou papel quadriculado) constitui material muito útil para o
trabalho com Geometria. Com ela, podemos
fazer ampliação e redução de figuras, construir
mosaicos e trabalhar ideias relacionadas à
Geometria métrica com o cálculo de áreas e perímetros a partir de unidades preestabelecidas.
Tão rica é a variedade de possibilidades permitida pela malha que se torna indispensável uma
reflexão crítica sobre quais são os objetivos da
atividade que será desenvolvida com os alunos
com o uso da malha. Por exemplo, uma atividade de ampliação e redução de figuras com o
uso da malha pode ter como objetivo permitir
ao aluno aprender a se orientar na malha pela
contagem de quadradinhos. Pode também ter
objetivos subsequentes relacionados à compreensão do uso que normalmente a mídia faz
de recursos de ampliação e redução de imagens
para chamar mais ou menos atenção para determinada informação. As atividades propostas a seguir têm em vista o trabalho com esses
dois objetivos aqui mencionados.
Uma malha quadriculada pode ter apenas
uma de suas dimensões alteradas ou as duas (comprimento e largura). A passagem de uma figura de
uma malha para outra que teve suas dimensões
alteradas representará a ampliação ou a redução
da figura se ambas dimensões da malha forem
alteradas pelo mesmo fator. Caso apenas uma
40
seja alterada, ou se as duas forem alteradas, mas
não pelo mesmo fator, a transposição da figura de
uma malha para a outra implicará algum tipo
de deformação. Vejamos os problemas a seguir,
que possibilitam a compreensão dessas ideias.
Atividade 1
Desenhe a mesma figura na malha quadriculada, cujos quadradinhos têm lados com o
dobro da medida dos quadradinhos da malha
original.
Atividade 2
Agora, desenhe a figura correspondente à
anterior nas malhas a seguir (a da esquerda teve
apenas a largura dobrada, e a da direita apenas
o comprimento). Em seguida, compare as figuras
com a original e descreva o tipo de distorção que
você verificou.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Respostas:
Atividade 1
Atividade 3
Compare as três transformações que você fez
da camisa nas atividades anteriores e responda:
a) Dois segmentos de reta paralelos em uma
delas se mantêm paralelos nas outras?
b) Dois segmentos de reta perpendiculares em uma delas se mantêm perpendiculares nas outras?
Atividade 2
c) Na camisa original, para que a manga encoste na lateral da camisa, é
1 de volta de
necessário um giro de
8
circunferência. Ocorre o mesmo com as
camisas “transformadas”?
Paralelismo e perpendicularidade entre segmentos são mantidos em todas as transformações, porém o ângulo de 1 de volta só será
8
mantido no caso em que ambas as dimensões
da malha foram dobradas (no caso da atividade 1). No caso em que apenas a dimensão
horizontal foi dobrada, o ângulo entre a manga e a lateral da camisa aumentou (a manga
se afasta da lateral da camisa), e, no caso em
que apenas a dimensão vertical foi dobrada,
o ângulo diminuiu (a manga se aproxima da
lateral da camisa).
Atividade 4
Quando o comprimento e a largura da
malha foram dobrados, a camisa aumentou
de tamanho com as proporções mantidas.
Nos casos em que dobramos apenas a
largura, ou apenas o comprimento, a camisa
“estica” verticalmente ou horizontalmente.
Proponha uma malha quadriculada que
faça a seguinte transformação no homem indicado na figura: ele deve parecer mais gordo
e baixo, sua perna direita deve parecer mais
afastada da esquerda e seus braços mais afastados do seu corpo.
41
A malha tem que ser ampliada horizontalmente. A seguir, apresentamos uma solução.
Atividade 5
Os três gráficos a seguir mostram a informação de que uma empresa vendeu R$ 100 000,00
no ano 2006 e R$ 110 000,00 no ano de 2007.
Qual das três representações gráficas você acha
que a diretoria da empresa vai utilizar para convencer os acionistas de que a empresa está em
franco crescimento? Justifique sua resposta.
a) (em R$)
b) (em R$)
110 000
110 000
100 000
100 000
2006
2007
2006 2007
c) (em R$)
110 000
100 000
2006
42
2007
O crescimento da empresa entre 2006 e 2007
foi de 10 %, informação que pode ser obtida por
meio de qualquer um dos três gráficos. Contudo, como para a empresa interessa impressionar seus acionistas sobre esse crescimento, o
gráfico indicado no item b deve ser o escolhido,
porque trabalha com ampliação vertical da malha, acentuando a aparência do crescimento das
vendas. Atividades desse tipo têm seu valor não
só pelo trabalho realizado com a compreensão
de temas da Matemática, como também pelo
alcance na dimensão de construção da cidadania. Um bom leitor da informação deve sempre
estar atento às técnicas, que, muitas vezes, são
utilizadas para destacar um resultado positivo
ou atenuar um resultado negativo.
As malhas podem ser usadas também para a
construção de mosaicos. Nesse caso, o trabalho
pode ser feito em associação com o uso dos instrumentos geométricos, e podem ser discutidas e
aprofundadas ideias relacionadas à simetria de
reflexão (axial) e de rotação. Exemplificaremos
algumas possibilidades de abordagem com o
uso da malha de triângulos equiláteros.
Atividade 6
Marque um ponto na malha abaixo e, em
seguida, pinte todos os triângulos ao redor
desse ponto. Depois disso, responda: Qual é a
fração de uma volta completa que corresponde ao ângulo interno do triângulo equilátero?
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Como são necessários seis triângulos
equiláteros idênticos em torno do ponto, o
ângulo interno de um triângulo tem 1 de giro
6
de uma volta completa.
Não há razões formais para se retardar
a apresentação do transferidor e a unidade
de medida grau para os alunos, a não ser pelo excesso de temas de Geometria que já fazem
parte do programa da 5ª- série. Nesta proposta
de planejamento, deixamos a discussão do
uso do transferidor e da apresentação da
unidade de medida grau para a 6ª- série. Por
esse motivo, estamos sempre trabalhando
com ângulo associado a um giro de uma
fração da volta completa. Caso o professor
prefira antecipar a discussão sobre ângulos da
6a série para a 5a série, não há problema.
Os perímetros das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são,
respectivamente: 4 u, 6 u, 6 u, 8 u, 6 u. As áreas
das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 2 u², 4 u², 4 u², 6 u² e 6 u². Essa atividade permite explorar a ideia de que podemos
ter figuras de mesmo perímetro com áreas
diferentes e de mesma área com perímetros diferentes. (Observação: dada a importância do
trabalho com malhas no estudo de perímetro
e área de figuras, é recomendável que ele seja
retomado na 6ª- série.)
Atividade 8
Observe o mosaico a seguir e construa o seu.
Em seguida, identifique qual seria a “peça básica” utilizada para a construção do seu mosaico.
Atividade 7
Adote o lado do triângulo da malha como unidade de comprimento (1 u) e a área do triângulo da
malha como unidade de área (1 u²). Determine o
perímetro e a área das figuras a seguir.
1
3
2
4
5
Peça básica
Resposta pessoal. O professor deve disponibilizar a malha nessa atividade e deverá
esclarecer qual é a ideia da “peça básica”,
que é uma peça modelo que pode ser utilizada para a construção do mosaico (vale dizer
que, nas bordas da malha, às vezes precisamos completar o preenchimento sem o uso
da peça básica). Por essa atividade, também
pode-se explorar a ideia de simetria. Por
exemplo, no mosaico apresentado há simetria de reflexão.
43
Atividade 9
Construa um mosaico com a “peça básica”
indicada a seguir:
mosaico, de elementos que se opõem ou que se
complementam (dia e noite, pássaros e peixes,
escuro e claro, felicidade e tristeza, etc.). Além do
valor estético e artístico das atividades envolvendo
construção de mosaicos, os alunos poderão desenvolver a habilidade de identificação e criação de
padrões e regularidades.
Resposta:
A proposta dessa atividade valoriza a criatividade dos alunos, bem como desenvolve seu senso
estético para a apreciação artística. Muitos desdobramentos podem ser conduzidos com base
na construção de mosaicos por meio de uma
“peça básica”, dentre eles a apreciação artística da obra do artista gráfico holandês Maurits
Cornelis Escher (1898-1972), que utilizava essa
técnica em muitos dos seus trabalhos. Na indicação bibliográfica, sugerimos endereços eletrônicos com imagens da obra de Escher, que pode
ser apreciada e investigada do ponto de vista de
sua construção. Consiste em um exercício muito
interessante observar uma gravura de Escher e
tentar descobrir qual a “peça básica” utilizada
nela. Escher também trabalhava muito bem com
a fusão de imagens e com o uso, em um mesmo
44
A construção de mosaicos também pode ser
feita em malhas de pontos ou malhas quadriculadas. Nas malhas, também podemos desenhar
figuras no plano que simulem a percepção tridimensional, como nos exemplos a seguir.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
da competência de leitura, análise e interpretação de imagens.
É importante destacar que as possibilidades de uso das malhas como recursos didáticos não se esgotam nos exemplos que foram
apresentados, cabendo ao professor identificar novos caminhos possíveis dentro do seu
planejamento de curso. As malhas também
podem e devem ser utilizadas na continuidade
dos estudos de Geometria na 6ª- série.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 4 apresenta possibilidades de uso das malhas quadriculadas, de pontos e de triângulos para o
trabalho com área, perímetro, introdução
ao estudo de ângulos, simetria, ampliação e
redução de figuras. Além dos temas geométricos tratados diretamente nas atividades,
também foi dada atenção ao desenvolvimento
Com relação à avaliação, o professor pode
solicitar aos alunos que resolvam, individualmente ou em grupo, problemas geométricos selecionados nas malhas. Além disso, o
professor pode propor que construam mosaicos em duas situações distintas: com liberdade total de criação e com regras predefinidas
pelo professor. No primeiro caso, o professor
valorizará o uso do conhecimento da aula
mobilizado pela criatividade artística dos alunos e, no segundo, verificará a competência
dos alunos na resolução de problemas. Exemplos de regras que você pode estabelecer para
a construção dos mosaicos são: os mosaicos
devem ser feitos apenas com quadriláteros;
os mosaicos devem ser feitos a partir de uma
peça básica que envolva losangos e triângulos
equiláteros; os mosaicos devem ter simetria de
1
giro de de volta, etc.
4
45
ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO
Uma vez identificado que os objetivos mínimos não foram atingidos plenamente por
algum aluno na Situação de Aprendizagem 1,
o professor pode diversificar a abordagem dos
temas por meio de novos exercícios ou de novas situações-problema com o uso do material
sugerido. Exercícios do livro didático sobre o
assunto também podem e devem ser utilizados para sistematizar conhecimentos.
Em relação aos conceitos trabalhados na
Situação de Aprendizagem 2, o professor pode
propor exercícios referentes ao assunto, disponíveis na maioria dos livros didáticos. Além
disso, podem-se usar malhas como suporte
para o desenho das representações dos sólidos.
O trabalho com a manipulação de sólidos já
construídos, em que os alunos têm que identificar os elementos e a relação entre os elementos
dos objetos (arestas, vértices e faces), também
é uma estratégia possível para recuperação.
Para a discussão sobre perímetro e área
de figuras (Situação de Aprendizagem 3),
bem como para o trabalho com frações, o uso
de papel quadriculado pode ser um suporte
alternativo. O professor poderá preparar
uma lista de exercícios na qual os alunos
deverão compor e decompor figuras em
uma malha quadriculada para o trabalho
com área e perímetro, pedindo-lhes que pintem barras no papel quadriculado para representar as frações e a operação de adição
entre elas.
Uma alternativa ao trabalho, na Situação de Aprendizagem 4, com malhas na
recuperação envolvendo os conceitos de
área e perímetro é a utilização do tangram.
Atividades com esse material são bem
conhecidas e exploradas na maioria dos livros didáticos e podem servir como apoio
para fichas de exercícios.
RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
livros
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo
padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.
ERNEST, Bruno. O espelho mágico de M. C.
Escher. São Paulo: Tashen, 1991.
KAlEFF, Ana Maria et al. Quebra-cabeças
geométricos e formas planas. Rio de Janeiro:
Editora da Universidade Federal Fluminense,
2005.
46
KAlEFF, Ana Maria et al. Vendo e entendendo poliedros. Rio de Janeiro: Editora da
Universidade Federal Fluminense, 2003.
lINDQUIST, Mary Montgomery; SHUlTE,
Albert P. Aprendendo e ensinando Geometria.
São Paulo: Atual, 1996.
SOUzA, Eliane Reame et al. A Matemática das
sete peças do tangram. São Paulo: Caem, 1997.
Matemática – 5ª- série – Volume 3
Sites
CEMPEM. Disponível em: <http://www.
cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/cursos/
el654/2001/pedro_e_fabio/El654/geoplano/
geoplano.htm>. Acesso em: 11 mar. 2008.
EDUCOM – Pentaminós. Disponível em:
<http://web.educom.pt/pr1305/mat_geometri_
pentaminos.htm> e <http://web.educom.pt/
pr1305/mat_pentamino_inicio.htm>. Acesso
em: 11 maio 2009.
EDUCOM – Tangram. Disponível em:
<http://web.educom.pt/pr1305/mat_tangram.
htm>. Acesso em: 11 maio 2009.
FACU lDADE DE CIÊNCIAS – Escher.
Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/
icm2001/icm21>. Acesso em: 1°- maio 2009.
UFRGS. Disponível em: <http://matematica.
p s i c o. u f rg s. b r / a s s e s s o r i a s / m at 5 _ 0 5 1 /
atividade_geoplano.pdf>. Acesso em: 11 maio
2009.
UFSC. Disponível em: <http://www.inf.ufsc.
br/~edla/projeto/geoplano/software.htm>.
Acesso em: 11 maio 2009.
UNESP. Disponível em: <http://www.feg.unesp.
br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoIvany.
pdf>. Acesso em: 11 maio 2009.
UNICAMP – Mosaicos. Disponível em:
<http://austin.ime.unicamp.br/~samuel/
Extensao/TeiaSaber/PDF/Geometriados
MosaicosAgosto2006.pdf>. Acesso em: 1°maio 2009.
USP. Disponível em: <http://paje.fe.usp.
br/~labmat/edm321/1999/material/_private/
geoplano.htm>. Acesso em: 11 mar. 2009.
Como sugestão geral para o professor, válida
para todos os Cadernos, indicamos a Revista
do Professor de Matemática (coleção completa),
editada pela Sociedade Brasileira de Matemática, disponível em: <http://www.rpm.org.br/
novo/home.htm>. Acesso em: 1°- maio 2009.
CONSIDERAçõES FINAIS
O 3o bimestre da 5a série dedica esforço ao
estudo introdutório de Geometria plana e espacial, privilegiando a descoberta por meio
do trabalho experimental investigativo. Os
conteúdos trabalhados neste bimestre mantêm
relação direta com os conteúdos do 2o bimestre
da 6a série, e indireta com outros bimestres,
conforme pode-se verificar na grade de conteúdo de Matemática por série e bimestre do
Ensino Fundamental apresentada a seguir.
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ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE
do EnSino FundAmEntAl
4-º bimestre
3-º bimestre
2-º bimestre
1-º bimestre
5a- série
48
6a- série
7a- série
8a- série
NÚMEROS REAIS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
NÚMEROS NATURAIS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações.
- Introdução às potências.
NÚMEROS NATURAIS
- Sistemas de numeração
na Antiguidade.
- O sistema posicional
decimal.
NÚMEROS RACIONAIS
- Transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
FRAçõES
- Representação.
- Comparação e
ordenação.
- Operações.
NÚMEROS INTEIROS
- Representação.
- Operações.
POTENCIAçãO
- Propriedades para
expoentes inteiros.
NÚMEROS RACIONAIS
- Representação
fracionária e decimal.
- Operações com decimais
e frações.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- A linguagem das potências.
NÚMEROS DECIMAIS
- Representação.
- Transformação em
fração decimal.
- Operações.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
ÁlGEBRA
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
ÁlGEBRA
- Equações de 2º- grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
funções; a ideia de
interdependência.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1º- e 2º- graus.
NÚMEROS/
PROPORCIONAlIDADE
- Proporcionalidade direta
e inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: π.
ÁlGEBRA/EQUAçõES
- Equações de 1º- grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações de 1º- grau
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Proporcionalidade,
noção de semelhança.
- Relações métricas em
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Teoremas de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- Área de polígonos.
- Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
SISTEMAS DE
MEDIDAS
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
GEOMETRIA/MEDIDAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área
por composição e
decomposição.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- Gráficos de setores.
- Noções de
probabilidade.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
ÁlGEBRA
- Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
TRATAMENTO DA
INFORMAçãO
- Contagem indireta e
probabilidade.