POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
UD 2 - MÉTODOS POR
SOLUÇÃO DE
TRIÂNGULOS
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Conhecidos alguns elementos de um triângulo – ângulos e
comprimentos de lados – determinar as coordenadas de um dado
ponto.
Interseção (a vante): Sobre duas estações de coordenadas
conhecidas, determinar as coordenadas de um objeto, sem precisar
ocupá-lo;
Interseção a ré: Com o aparelho estacionado sobre o ponto cujas
coordenadas serão calculadas, aponta-se para dois pontos de
coordenadas conhecidas.
Triangulação: obtém-se figuras geométricas a partir de triângulos,
justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos
ângulos subtendidos por cada vértice.
Trilateração: semelhante à triangulação, porém o levantamento
será efetuado através da medição dos lados.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
INTERSEÇÃO À VANTE
C
γ
a
b
β
A
α
B
c
Leituras realizadas sobre pontos de coordenadas conhecidas (A e B);
Visada para o ponto C, inacessível;
Leituras angulares apenas (α e β);
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
c = [(XB – XA)2 + (YB - YA)2]1/2
γ = 180º - α - β
a = c senγ / sen α
b = c senγ / sen β
AzBA = tg-1[(XA – XB) / (YA – YB)]
AzAB = tg-1[(XB – XA) / (YB – YA)]
AzAC = AzAB – α
AzBC = AzBA + β
XC = XA + bsenAzAC
XC = XB + asenAzBC
YC = YA + bcosAzAC
YC = YB + acosAzBC
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Exemplo
β = 64º 32' 28"
α = 81º 17' 38 "
Coords B:
X = 3369,287 m
Y = 2890,836 m
Coords C:
X = 3300,259 m
Y = 3082,183 m
C
β
a
α
A
2°Semestre de 2010
B
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Distâncias
a = [(XB – XC)2 + (YB – YC)2]1/2 = 203,417 m
b = a senα/senγ = 358,051m
c = a senβ/senγ = 327,050m
Azimutes
AzBC = 340° 09' 47”
AzBA = AzBC - α = 258° 52' 09”
AzCA = AzBC – 180º + β = 224° 42' 15”
γ = AzBA – AzCA = 34° 09' 54”
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Partindo do Ponto C
XA = XC + CA sen AzCA= 3048,389m
YA = YC + CA cos AzCA = 2827,699m
Partindo do Ponto B
XA = XB + BA sen AzBA = 3048,389m
YA = YB + BA cos AzBA = 2827,699m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Podem ser realizadas verificações geométricas dos ângulos lidos e/ou
calculados no processo, uma vez que são desconsiderados o erro de
fechamento do triângulo e o possível excesso esférico.
Controle do método se dá por medições com mais uma base que
pode (ou não) compartilhar um vértice da primeira base.
Realiza-se ajustamento dos ângulos medidos, considerando as
direções lidas e o modelo condicionado.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Exemplo
β1 = 64º 32' 27,5"
Coords B:
X = 11054,091 m
Y = 9484,370 m
α1 = 81º 17' 37,5 "
Coords C:
X = 10827,622 m
Y = 10112,150 m
α2 = 37º 39' 28,2 "
β2 = 97º 31' 31,1"
Coords D:
X = 10000,000 m
Y = 10000,000 m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
C
D
α2
β2
β1
a
α1
B
A
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Azimutes
Distâncias
AzBC = 340° 09' 48”
AzCB = AzBC - 180°
AzCB = 160° 09' 48”
BC = 667,380 m
CA = a senα1/senγ1 = 1072,991m
BA = a senβ1/senγ1 = 1174,699m
AzCA = AzCB + β1
AzCA = 224° 42' 15,4”
AzBA = AzBC – α1
AzBA = 258° 52' 10,4”
γ1 = AzBA - AzCA
γ1 = 34° 09' 54”
α1 + β1 + γ1 = 180° (OK)
Coordenadas
XA = XC + CA sen AzCA= 10001,283m
YA = YC + CA cos AzCA = 9277,236m
XA = XB + BA sen AzBA = 10001,283m
YA = YB + BA cos AzBA = 9277,236m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Azimutes
Distâncias
AzCD = 262° 16' 58,5”
AzDC = AzCD - 180°
AzCB = 82° 16' 58,5”
BC = 667,380 m
CA = a senα/senγ = 1174,719m
BA = a senβ/senγ = 723,924m
AzCA = AzCD + α2
AzCA = 224° 37' 30,3”
AzDA = AzDC + β2
AzDA = 179° 28' 49,6”
γ1 = AzBA - AzCA
γ1 = 34° 09' 54”
α1 + β1 + γ1 = 180° (OK)
Coordenadas
XA = XC + CA sen AzCA= 10002,423m
YA = YC + CA cos AzCA = 9276,081m
XA = XB + BA sen AzBA = 10002,423m
YA = YB + BA cos AzBA = 9276,081m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Resumo:
Base A-B:
X = 10001,283m
Y = 9277,236m
Base B-C:
X = 10002,423m
Y = 9276,081m
∆ = 1,62m
NECESSITA DE AJUSTAMENTO!!!
Ajust:
X = 10002,445m
Y = 9277,390m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Exercício: Considere as estações de monitoramento de satélites
91752, de coordenadas UTM (688025,661;7460218,596) e 91780
de coordenadas (688042,312;7460285,057).
Calcule as coordenadas de P com base nas observações transcritas
na caderneta a seguir:
Estação
Visada
Leitura
91780
0
0
0
60
35
40
0
0
0
42
28
20
91752
P
91752
91780
P
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Interseção à ré: também conhecido como resseção ou problema de
Pothenot. O equipamento é posicionado no ponto a determinar.
P
α
C
β
y
b
p
x
B = AzBC - AzBA
a
A
a = [(XB – XA)2 + (YB - YA)2]1/2
b = [(XB – XA)2 + (YB - YA)2]1/2
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
P
α
C
β
y
p
A
x
p/senx = a/senα;
b
B = AzBC - AzBA
a
senx/seny = bsenα / asenβ;
p/seny = b/senβ;
2°Semestre de 2010
(A)
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
P
α
β
y
b
p
φ = AzBC - AzBA
x
C
B
a
A
α+β = 360° - (x + y + φ) = R;
(B)
x = R – y;
sen x/sen y = sen (R – y)/sen y = (senRcosy – senycosR)/seny
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
R = φ – α – β;
(B)
B
C
x
y
φ
A
α β
P
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
sen x = (senRcosy – senycosR) (÷ senRseny)
sen y
seny
(÷ senRseny)
sen x/sen y = senR(cotgy – cotgR) = senRcotgy – cosR (C)
(A) = (C)
senRcotgy – cosR = bsenα / asenβ
senRcotgy = bsenα / asenβ + cosR
cotgy = (bsenα / asenβ + cosR)/senR =
tg y= asenβsenR / (bsenα + asenβcosR)
y = arc tg [asenβsenR /(bsenα + asenβcosR)]
x = R – y (E)
2°Semestre de 2010
(D)
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Exemplo
C
α = 95º 45' 21"
b
β = 78º 18' 16 "
A: X = 451609,02m
y
P
β
α
B
Y = 206281,02m
a
B: X = 450514,03m
x
Y = 206836,17m
A
C: X = 450899,12m
Y = 207558,62m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
a = [(XB – XA)2 + (YB – YA)2]1/2 = 1227.68m
b = [(XC – XB)2 + (YC - YB)2]1/2 = 818.67m
AzBA = tg-1[(XA – XB) / (YA – YB)] = 116° 53' 5”
AzBC = tg-1[(XC – XB) / (YC – YB)] = 28° 03' 33”
B = AzBA – AzBC = 88º 49' 32"
R = 360° – (95º 45' 21" + 78º 17' 16" + 88º 49' 32") = 97º 07' 51"
senR = 0,9922651
cosR = -0,1241367
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
y = tg-1 [asenβsenR /(bsenα + asenβcosR)]
y = tg-1 {1227.68sen(78º 18' 16 ")sen(97º 07' 51") /
[(818.67sen(95º 45' 21") + 1227.68sen(78º 18' 16 ")cos(97º 07' 51")]}
y = 60° 50' 55”
x = R – y = 36° 16' 57”
XP = XB + psenAzBP
p = bseny/senβ = 730,18m
AzBP = AzBC + (180° - β - y) = AzBA – (180° - α – x)
AzBP = 68° 55' 23”
XP = XB + psenAzBP = 451580,45m
YP =YB + pcosAzBP = 207821,21m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Podem ser calculadas as coordenadas do ponto pelo irradiamento
com base nos três pontos de coordenadas conhecidas, permitindo um
controle “grosseiro” dos resultados.
Controle do método se dá por medições com mais uma base que
pode (ou não) compartilhar um vértice da primeira base.
Realiza-se ajustamento dos ângulos medidos, considerando as
direções lidas e o modelo condicionado.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Exemplo:
A: X = 88237,920m Y = 80232,030m
α = 44º 55' 30,5"
B: X = 82279,100m Y = 97418,580m
β = 5º 56' 19,4"
C: X = 81802,350m Y = 98696,210m
γ = 19º 56' 18,3"
D: X = 80330,690m Y = 102911,400m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
D
P
γ
C
B
α
β
A
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
∆ABC:
a = [(XB – XA)2 + (YB – YA)2]1/2 = 18190,26m
b = [(XC – XB)2 + (YC - YB)2]1/2 = 1363,68m
AzAB = tg-1[(XB – XA) / (YB – YA)] = 340° 52' 40,3”
AzBC = tg-1[(XC – XB) / (YC – YB)] = 339° 32' 12,6”
B = 180° + AzAB – AzBC = 181º 20' 27,6"
R = 360°–(44º55'30,5"+5º56'19,4"+181º20'27,7") = 127º 47' 42,5"
y = tg-1 [asenβsenR /(bsenα + asenβcosR)]
y = tg-1 {18190,26.sen(5º 56' 19,4")sen(97º 07' 51") /
[(1363,68.sen(44º55'30,5") + 18190,26.sen(5º56'19,4")cos(127º 52' 42,5")]}
y = 97° 17' 42,4”
x = R – y = 30° 30' 0,1”
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
XP = XA + AP.senAzAAP
AP=asen(α+x)/senα=24929,653m
AzAP=AzAB+x=11° 22' 40,3”
XP=XB+p.senAzBP=93156,008m
YP=YB+p.cosAzBP= 104671,752m
XP = XB + BP.senAzABP
BP=asenx/senα=13073,470m
AzBP=AzAB+x+α=56° 18' 10,8”
XP=XB+p.senAzBP=93156,008m
YP=YB+p.cosAzBP= 104671,752m
XP = XC + CP.senAzACP
CP=bsen(y+β)/senβ=12830,146m
AzCP=AzBC-180º-y=62° 14' 30,2”
XP=XC+p.senAzCP=93156,008m
YP=YC+p.cosAzCP= 104671,752m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
∆BCD:
b = [(XC – XB)2 + (YC - YB)2]1/2 = 1363,68m
c = [(XD – XC)2 + (YD - YC)2]1/2 = 4464,71m
AzBC = tg-1[(XC – XB) / (YC – YB)] = 339° 32' 12,6”
AzCD = tg-1[(XB – XA) / (YB – YA)] = 340° 45' 15,3”
B = 180° + AzAB – AzBC = 178º 46' 57,4"
R = 360°–(5º56'19,4"+19º56'18,3"+178º 46' 57,4") = 155º 20' 24,9"
y = tg-1 [bsenγsenR /(csenβ + bsenγcosR)]
y = tg-1 {1363,68.sen(19º 56' 18,3")sen(155º 30' 24,9") /
[(4464,71.sen(5º56'19,4") + 1363,68.sen(19º 56' 18,3")cos(155º 20' 24,9")]}
y = 78° 32' 37,1”
x = R – y = 76° 47' 47,8”
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
XP = XB + BP.senAzABP
BP=bsen(β+x)/senβ=13074,358m
AzBP=AzBC+x=56° 20' 0,5”
XP=XB+p.senAzBP=93160,601m
YP=YB+p.cosAzBP= 104666,460m
XP = XC + CP.senAzACP
CP=bsenx/senβ=12831,748m
AzCP=AzBC+ x + β =62° 16' 19,9”
XP=XC+p.senAzCP=93160,601m
YP=YC+p.cosAzCP= 104666,460m
XP = XD + DP.senAzADP
DP=csen(γ+y)/senγ=12949,396m
AzDP=AzCD-180º-γ=82° 12' 38,2”
XP=XD+p.senAzDP=93160,601m
YP=YD+p.cosAzDP= 104666,460m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Resumo:
∆ABC:
X = 93156,008m
Y = 104671,752m
∆BCD:
X = 93160,601m
Y = 104666,460m
∆ABD:
X = 93158,414m
Y = 104671,886m
∆ACD:
X = 93159,099m
Y = 104671,598m
NECESSITA DE AJUSTAMENTO!!!
Ajust:
X = 93153,645m
Y = 104685,246m
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Exercício: Considere as estações de monitoramento de satélites
91752, de coordenadas UTM (688025,661;7460218,596), 91780 de
coordenadas (688042,312;7460285,057) e C, de coordenadas
(687955,35;7460265,631).
Calcule as coordenadas de P com base nas observações transcritas na
caderneta a seguir:
Estação
P
Visada
Leitura
91780
0
0
0
91752
324
53
40
C
278
57
30
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Triangulação: obtém-se figuras geométricas a partir de triângulos,
justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos
ângulos subtendidos por cada vértice.
É comum o emprego do termo “cadeia” para as redes de
triangulação, uma vez que os vértices calculados geram nova base
para cálculo de novos vértices, e assim, sucessivamente,
abrangendo grandes áreas.
O cálculo simples emprega os conceitos da lei dos senos e
irradiamento para definição dos demais lados e azimutes.
Uma vez que não são observadas distâncias, o método não se limita
ao alcance dos distanciômetros; por outro lado, é necessário
intervisibilidade entre as estações, normalmente em cotas elevadas.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Nas triangulações geodésicas a superfície elipsóidica pode ser
substituída por uma superfície esférica de curvatura média. Os erros
cometidos sobre os lados poderão atingir 1cm, no máximo.
Pelo teorema de Legendre, triângulos esféricos com lados pequenos
em relação ao raio da Terra podem ser substituídos por triângulos
planos com lados de mesma extensão e ângulos reduzidos de um
terço do excesso esférico.
O excesso esférico de um triângulo geodésico é dado pela relação
entre a área desse triângulo suposto plano e o quadrado do raio
de curvatura média da região considerada.
Pelo teorema de Gauss, o raio médio é dado pela raiz dos raios de
curvatura normal e primeiro vertical (M e N).
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Utiliza-se como figura básica o quadrilátero com duas diagonais
observadas ou quadrilátero com um ponto central.
Garantem-se os controles de orientação e escala através da
introdução dos pontos de LAPLACE, ou azimutes de controle, e das
bases. Deve-se introduzir um azimute de controle, a espaços
regulares, preferencialmente coincidente com a base.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
O conceito de rigidez é o mais aceitável para, a priori, se controlar
e definir a qualidade do desenvolvimento triangular. Quando o
limite estipulado para a classe atingir o valor ΣR1, será necessária a
introdução de uma base.
No transporte do lado deve-se escolher o melhor caminho, ou seja,
aquele que tenha menor coeficiente de rigidez.
Para medir-se a rigidez, calcula-se o coeficiente de rigidez, produto
de dois fatores: um relacionado à quantidade de observações e
equações de condição e outro relacionado aos ângulos observados.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Quadrilátero simples com duas diagonais
Quadrilátero de ponto central com uma
das diagonais observadas.
Quadrilátero com ponto central, sem
diagonal observada.
Pentágono com ponto central
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Hexágono com ponto central
Triângulo com ponto central
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Trilateração: processo de estabelecimento de controle geodésico
horizontal através da determinação do comprimento de lados de
triângulos. (T34-400)
Pode ser empregada nos mesmos casos em que seja viável a
triangulação, porém é mais indicada em casos de restrição ou
impossibilidade de leitura angular.
Em tese, um pentágono ou um hexágono seriam figuras ideais para
trilateração devido à quantidade de condições matemáticas;
contudo, do ponto de vista prático, é quase impossível estabelecer
figuras como essas no campo.
As especificações (IBGE) definem as condições mínimas para a
formação de figuras, preferindo-se a configuração em quadrados na
manutenção da rigidez das cadeias;
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Pequenas Trilaterações: pequenos triangulos geodésicos podem
ser calculados sobre a esfera de curvatura média (teorema de
Legendre) fazendo analogia a triângulos planos de lados de mesmo
comprimento.
Grandes Trilaterações: o cálculo dos triângulos exige a
determinação do excesso esferóide, ao invés do excesso esférico.
A – A' = (ε” / 3) [1 + (a2 + 7b2 + 7c2)/120R2]
B – B' = (ε” / 3) [1 + (b2 + 7a2 + 7c2)/120R2]
C – C' = (ε” / 3) [1 + (c2 + 7a2 + 7c2)/120R2]
Para triângulos de lados com mais de 300 km, além do cálculo do
excesso esferóide, convém levar em conta a variação da curvatura
compreendida entre todos os vértices do triângulo.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
SHORAN (Short Range Navigation): São empregadas aeronaves
que medem as distâncias a duas estações pelo tempo de resposta de
uma onda eletromagnética. Método vantajoso na ligação entre data
geodésicos, e de ilhas afastadas do datum continental.
HIRAN (High Precision SHORAN): Permite a medida de
distâncias de até 800km, permitindo estabelecer ligação entre
territórios separados por grandes massas de água (usado no Canadá
e nas ligações Escócia – Noruega, Escócia – Ilhas Faroe – Islândia
– Groelândia – Canadá, Creta – Líbia);
SHIRAN (S-band HIRAN): Projetado para levantamentos
geodésicos, baseia-se na diferença de fase entre o sinal de ida e o
de volta. Foi usado no Brasil, aprtindo do datum Chuá até fechar na
rede de triangulação do Nordeste.
2°Semestre de 2010
POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO
Redes de Trilateração HIRAN e SHORAN
http://www.floridageomatics.com/publications/gfl/chapter-three.htm
2°Semestre de 2010