O Triângulo de Pascal
Márcio Nascimento da Silva
6 de fevereiro de 2009
Resumo
O Triângulo de Pascal ou Triângulo Artimético (ou na Itália, Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito definido a partir do número 1 e através de
somas sucessivas. Indı́cios desse triângulo aparecem 2000 anos antes do nascimento
de Pascal, no entanto, o triângulo leva seu nome pela sua maior contribuição ao
estudo de suas propriedades. Este pequeno artigo se destina a estudantes do ensino
fundamental (5o ao 9o ano), mas falaremos sobre os números binomias, definindo,
antes, o fatorial de um número inteiro não negativo.
1
Blaise Pascal
Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nascido em Clermont em 1623 e
falecido em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático.
Em 1632, toda a famı́lia foi viver em Paris.
O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que
seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15
anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo,
movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos,
chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a
dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de
Euclides.
Pascal estudou e demonstrou no trabalho do “Triângulo aritmético”, publicado em
1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar
indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal
ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada
número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta
inúmeras propriedades e relações, por exemplo, “as somas dos números dispostos ao longo
das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci”.
2
Construção do Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é a disposição em linhas de números inteiros através do seguinte
algoritmo:
1
1. Na linha 0, escreva 1;
2. Na próxima linha, linha 1, escreva o número 1 duas vezes;
3. Na linha seguinte, linha 2, escreva o número 1, um espaço em branco, e novamente
o número um. No espaço em branco, some os dois elementos imediamente acima;
4. Na linha 3, comece escrevendo o número 1, depois dois espaços em branco, e por
fim o número 1 novamente. Em cada espaço em branco, escreva a soma dos dois
elementos imediatamente acima;
5. Continue o processo aumentando o número de espaços em branco a cada linha.
O resultado desse algoritmo é:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
..
.
Preenchendo os espaços em branco, teremos:
1
1
1
& .
1
1
(1 + 1)
1
&
.&
.
(1 + 2)
(2 + 1)
& . &
1
(1 + 3)
1
. & .
(3 + 3)
(3 + 1)
..
.
ou seja
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
4
10
..
.
2
1
1
5
1
1
3
Propriedades
3.1
Soma dos elementos de uma linha
No Triângulo de Pascal, a soma dos elementos da linha n é igual a 2n .
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
1
6
10
4
5
1 = 20
−→
2 = 21
−→
4 = 22
−→
8 = 23
−→ 16 = 24
1
10
−→
−→ 32 = 25
1
..
.
3.2
..
.
Potência de base 11
No Triângulo de Pascal, os algarismos em cada linha formam uma potência de base 11:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
..
.
1
4
−→
100 = 110
−→
1(101 ) + 1(100 ) = 111
−→
1(102 ) + 2(101 ) + 1(100 ) = 112
−→
1(103 ) + 3(102 ) + 3(101 ) + 1(100 ) = 113
−→ 1(104 ) + 4(103 ) + 6(102 ) + 4(101 ) + 1(100 ) = 114
..
.
1
na próxima linha, temos:
1
5
10
10
5
1
Portanto, repetindo o processo, temos:
1(105 ) + 5(104 ) + 10(103 ) + 10(102 ) + 5(101 ) + 1(100 ) = 161051 = 115
3.3
Teorema das Diagonais ou Stick de Hóquei
A soma dos primeiros n elementos em diagonal é igual ao elemento abaixo, na próxima
diagonal:
1
3
[1]
1
1
[2]
1
1
1
3
[3]
4
5
1
1
[6]
10
4
10
1
5
1
..
.
1
1
[1]
1
[2]
1
1
1
[3]
3
[4]
5
1
1
6
[10]
4
1
10
5
1
..
.
Veja que a “figura” formada pelos números entre colchetes lembra um taco de Hóquei.
3.4
Números Triangulares
São números naturais que podem ser representados num triângulo equilátero, como mostra
a Figura 1. Esses números foram desenvolvidos por Gauss, quando ele tinha apenas 10
anos.
...
1
3
6
10
Figura 1: Números triangulares.
Os números triangulares aparecem na terceira diagonal do Triângulo de Pascal:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
[1]
[3]
[6]
4
1
4
1
1
5
[10]
10
5
1
..
.
Nessa mesma época, Gauss encontrou uma maneira de somar os n primeiros números
naturais:
n(n + 1)
Sn =
2
Observando o Teorema das Diagonais, vemos que cada número triangular é a soma
dos elementos da diagonal acima:
1
1
[1]
1
[2]
1
1
1
3
[3]
4
5
1
6
10
1
4
10
1
5
1
..
.
1
1
[1]
1
[2]
1
1
1
[3]
4
5
1
3
[6]
10
1
4
10
1
5
1
..
.
1
1
[1]
1
[2]
1
1
1
[3]
[4]
5
1
3
6
[10]
1
4
10
1
5
1
..
.
Portanto, a expressão geral para um número triangular é
tn =
n(n + 1)
2
5
Por exemplo, o 150 número triangular é
t15 =
15(15 + 1)
15.16
=
= 15.8 = 120
2
2
Podemos observar ainda que a soma de dois números triangulares consecutivos é sempre um quadrado perfeito:
1
1
1
2
1
3
1
1
1
4
5
[1]
[3]
6
10
1
4
10
1
5
1
..
.
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
[6]
[10]
15
1
1
4
10
20
..
.
1
5
15
1
6
1
Provemos que isso é sempre verdade. Considere dois números triangulares consecutivos, digamos:
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
,
tn+1 =
tn =
2
2
Somando, temos
n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
+
2
2
n(n + 1) + (n + 1)(n + 2)
(n + 1)[n + (n + 2)]
=
=
2
2
2n + 2
(n + 1)[2n + 2]
= (n + 1).
=
2
2
= (n + 1).(n + 1) = (n + 1)2
tn + tn+1 =
Desta forma, além de provar que a soma de dois números triangulares consecutivos é
um quadrado perfeito, ainda podemos dizer quanto vale. Por exemplo, se somarmos o 14o
e o 15o números triangulares, o resultado será 152 = 225.
6
4
Aplicações do Triângulo de Pascal
4.1
Binômio de Newton
Dados a, b ∈ R e n ∈ N, a expressão
(a + b)n
é chamada binômio de Newton. A sua expansão pode ser algo bem trabalhoso.
Exemplo 4.1 Vamos expandir o binômio (x + 1)5 . Então:
(x + 1)5 =
=
=
=
=
=
(x + 1)2 .(x + 1)2 .(x + 1)
(x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 1).(x + 1)
(x4 + 2x3 + x2 + 2x3 + 4x2 + 2x + x2 + 2x + 1).(x + 1)
(x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1).(x + 1)
x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2 + x + x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
x5 + 5x4 + 10x3 + 10x4 + 5x + 1
Ou seja
(x + 1)5 = 1.x5 + 5.x4 + 10.x3 + 10.x4 + 5.x + 1
Agora observe a linha 5 do Triângulo de Pascal:
1
1
1
1
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
..
.
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
−→
Linha 0
−→
Linha 1
−→
Linha 2
−→
Linha 3
−→
Linha 4
−→
Linha 5
−→
Linha 6
−→
Linha 7
..
.
Veja que os números da linha 5 são exatamente os coeficientes do desenvolvimento de
(x + 1)5 .
De um modo geral, cada linha do Triângulo de Pascal fornece os coeficientes do desenvolvimento (a + b)n . Por exemplo, se quisermos saber o desenvolvimento de (x + y)4 .
Então, olhando para a Linha 4, temos:
(x + y)4 = 1.x4 .y 0 + 4.x4−1 .y 1 + 6.x4−2 .y 2 + 4.x4−3 .y 3 + 1.x4−4 .y 4
= x4 + 4.x3 .y + 6.x2 .y 2 + 4.x.y 3 + y 4
7
4.2
Fatorial
Dado um número inteiro não negativo n, definimos o seu fatorial por
n! = 1.2.3. · · · .(n − 1).n
Assim, temos os seguintes fatoriais:
1! = 1
3! = 1.2.3 = 6
5! = 1.2.3.4.5 = 120
8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 40320
Por convenção, 0! = 1.
4.3
Número Binomial
Sejam n, k dois números inteiros e não negativos com k ≤ n. Chamamos de número
binomial de numerador n e classe k a seguinte razão:
n!
k!(n − k)!
Que será denotada por
µ ¶
n
k
Exemplo 4.2 Alguns números binomiais:
µ ¶
5
5!
1.2.3.4.5
4.5
=
=
=
= 10
3
3!(5 − 3)!
(1.2.3).(1.2)
1.2
µ ¶
8
8!
1.2.3.4.5.6.7.8
6.7.8
=
=
=
= 56
5
5!(8 − 5)!
(1.2.3.4.5).(1.2.3)
1.2.3
µ ¶
7
7!
1.2.3.4.5.6.7
=
=
=1
0
0!(7 − 0)!
(1).(1.2.3.4.5.6.7)
O interessante é que cada número do Triângulo de Pascal é um número binomial:
¡0¢
1
−→
0
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
−→
1
3
6
10
−→
1
4
10
1
5
1
−→
1
¡2¢
¡2¢
0
1
2
¡3¢
0
−→
¡ 1¢
0
¡2 ¢
¡3¢
−→
¡1¢
¡ 3¢
1
¡3¢
2
3
¡4¢
¡ 4¢
¡4¢
¡4¢
¡4¢
0
1
2
3
4
¡5¢
¡5¢
¡5¢
¡ 5¢
¡5¢
¡ 5¢
0
1
2
3
4
5
..
.
..
.
8
Referências
[1] ARAÚJO, Edgar da Silva. O Triângulo de Pascal: História, propriedades e
aplicações. Monografias do Curso de Matemática, 2008.
[2] FILHO, Edgard de Alencar. Teoria Elementar dos Números. 3a ed. São Paulo:
Livraria Nobel SA, 1992.
9