a
o
5 SÉRIE 6 ANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO PROFESSOR
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
5a SÉRIE/6o ANO
VOLUME 2
Nova edição
2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Dione Whitehurst Di Pietro
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colaboradores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abordagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orientações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avaliação constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
A NOVA EDIÇÃO
Os materiais de apoio à implementação
do Currículo do Estado de São Paulo
são oferecidos a gestores, professores e alunos
da rede estadual de ensino desde 2008, quando
foram originalmente editados os Cadernos
do Professor. Desde então, novos materiais
foram publicados, entre os quais os Cadernos
do Aluno, elaborados pela primeira vez
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do
Professor e do Aluno foram reestruturados para
atender às sugestões e demandas dos professores da rede estadual de ensino paulista, de modo
a ampliar as conexões entre as orientações oferecidas aos docentes e o conjunto de atividades
propostas aos estudantes. Agora organizados
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e
série do Ensino Médio, esses materiais foram revistos de modo a ampliar a autonomia docente
no planejamento do trabalho com os conteúdos
e habilidades propostos no Currículo Oficial
de São Paulo e contribuir ainda mais com as
ações em sala de aula, oferecendo novas orientações para o desenvolvimento das Situações de
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curriculares da Coordenadoria de Gestão da Educação
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo reorganizaram os Cadernos do Professor, tendo em vista as seguintes
finalidades:
f incorporar todas as atividades presentes
nos Cadernos do Aluno, considerando
também os textos e imagens, sempre que
possível na mesma ordem;
f orientar possibilidades de extrapolação
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do
Aluno, inclusive com sugestão de novas atividades;
f apresentar as respostas ou expectativas
de aprendizagem para cada atividade presente nos Cadernos do Aluno – gabarito
que, nas demais edições, esteve disponível
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou
respeitar as características e especificidades de
cada disciplina, a fim de preservar a identidade
de cada área do saber e o movimento metodológico proposto. Assim, além de reproduzir as
atividades conforme aparecem nos Cadernos
do Aluno, algumas disciplinas optaram por descrever a atividade e apresentar orientações mais
detalhadas para sua aplicação, como também incluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do
Professor (uma estratégia editorial para facilitar
a identificação da orientação de cada atividade).
A incorporação das respostas também respeitou a natureza de cada disciplina. Por isso,
elas podem tanto ser apresentadas diretamente
após as atividades reproduzidas nos Cadernos
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no
Gabarito. Quando incluídas junto das atividades, elas aparecem destacadas.
Além dessas alterações, os Cadernos do
Professor e do Aluno também foram analisados pelas equipes curriculares da CGEB
com o objetivo de atualizar dados, exemplos,
situações e imagens em todas as disciplinas,
possibilitando que os conteúdos do Currículo
continuem a ser abordados de maneira próxima ao cotidiano dos alunos e às necessidades
de aprendizagem colocadas pelo mundo contemporâneo.
Seções e ícones
Leitura e análise
Para começo de
conversa
Aprendendo a
aprender
Você aprendeu?
?
!
Lição de casa
Pesquisa individual
O que penso
sobre arte?
Situated learning
Pesquisa em grupo
Learn to learn
Homework
Roteiro de
experimentação
Ação expressiva
Pesquisa de
campo
Para saber mais
Apreciação
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
7
13
Situação de Aprendizagem 1 – Definir e classificar experimentando
Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço
13
26
Situação de Aprendizagem 3 – Geometria e frações com o geoplano ou
malhas quadriculadas 37
Situação de Aprendizagem 4 – Perímetro, área e arte usando malhas geométricas
Situação de Aprendizagem 5 – Tabelando a informação
54
Situação de Aprendizagem 6 – A linguagem dos gráficos
Situação de Aprendizagem 7 – Construção de gráficos
62
72
Situação de Aprendizagem 8 – Medidas de tendência central
Orientações para Recuperação
47
81
90
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema
Considerações Finais
93
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais
101
91
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada volume não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à abordagem desses temas,
sugerida ao longo dos dois volumes. Nessa
abordagem, busca-se evidenciar os princípios
norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as
competências pessoais envolvidas, principalmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os volumes, os conteúdos estão
organizados em 16 unidades de extensões aproximadamente iguais. De acordo com o número
de aulas disponíveis por semana, o professor
poderá explorar cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, poderá escolher
uma escala adequada para tratar do assunto.
Em cada situação específica, fica a critério do
professor determinar o tempo necessário, por
exemplo, para trabalhar cada assunto. O tema
correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, ao passo que
o de outra pode ser tratado de modo mais simplificado. Independente disso, o ideal é que você
tente contemplar todas as 16 unidades, tendo
em vista que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo do volume e, muitas vezes, uma
das unidades contribui para a compreensão das
outras. Insistimos, no entanto, no fato de que
somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e
o de seus alunos pelos temas apresentados, pode
determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos volumes, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica de seu conteúdo, oito Situações de Aprendizagem, que
pretendem ilustrar a abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em
sala de aula.
As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelo professor com maior ou menor aprofundamento,
segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos
Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem,
mas a expectativa é de que a forma de abordagem seja explicitada nas atividades oferecidas.
Também são apresentados, sempre que
possível, materiais, como textos, softwares,
sites, vídeos, entre outros, em sintonia com a
abordagem proposta, que o professor poderá
utilizar para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
enunciadas neste volume.
7
Conteúdos básicos do volume
Este volume inicia com o estudo da Geometria
por meio do reconhecimento, da observação e
da classificação de figuras planas e espaciais;
nas oito últimas unidades, estudam-se os fenômenos científicos e sociais que geralmente
envolvem a coleta de dados e que devem ser
organizadas da melhor forma possível, para
transmitirem adequadamente determinadas
informações.
O estudo de Geometria na 5a série/6o ano
começa com o reconhecimento, a observação e
a classificação de figuras planas e espaciais. Um
desafio que se apresenta logo de início para o
professor é o fato de que os alunos começam a
série/ano com um vocabulário geométrico bastante limitado – por exemplo, palavras como
“quadrado” são usadas para designar qualquer
tipo de quadrilátero. Sendo assim, você deve
concentrar seus esforços na implementação de
estratégias que possam facilitar a incorporação
significativa de vocabulário, além da compreensão dos elementos mais importantes de uma
figura geométrica, da classificação de figuras
de acordo com critérios diversificados e da verificação de algumas propriedades elementares
das figuras geométricas.
No que diz respeito ao trabalho com a classificação e ao desenvolvimento de vocabulário
com significado, vale dizer que as estratégias
que em geral apresentam os melhores resultados
são aquelas que aproximam as etapas de aprendizagem do universo concreto. Aulas expositivas sobre classificação de triângulos quanto aos
8
seus lados ou sobre os nomes dos quadriláteros
tendem a ser pouco motivadoras para alunos de
5a série/6o ano. Em contrapartida, aulas em que
há um desafio a ser resolvido, em que existe um
jogo a ser disputado ou uma atividade de manipulação concreta de figuras geométricas são
extremamente motivadoras. Ao longo do desenvolvimento de tais atividades, naturalmente surge a necessidade prática de novo vocabulário e
de critérios para organizar as figuras a partir de
seus elementos ou propriedades. Nessa perspectiva, a aula deve ser preparada de forma a criar
situações motivadoras para o desenvolvimento
de habilidades relacionadas à classificação com
base na observação e na resolução de problemas. Os problemas propostos devem dar conta
de dirigir, sempre baseada na experimentação,
uma linha de investigação em que os alunos possam concluir, por conta própria, propriedades e
formas de organizar as figuras geométricas com
base em critérios.
Dada a importância da experimentação
no desenvolvimento do pensamento geométrico nas séries/anos iniciais, apresentaremos
nesta proposta de planejamento inúmeras
atividades em que os alunos terão de construir, observar e manipular diversas figuras
e aparatos. Nas Situações de Aprendizagem,
sugerimos a construção de poliedros com canudos de refrigerantes e linha, e apresentamos algumas abordagens possíveis de uso do
geoplano e da malha quadriculada, malha de
pontos e de triângulos.
A Geometria também abre as portas para
o desenho geométrico, que, inapropriada-
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
mente, vem sendo deixado de lado em muitos
currículos. O trabalho com os instrumentos
geométricos na 5a série/6o ano, principalmente
com régua, esquadros e compasso, é importante por vários aspectos. Citando apenas
três deles, esse tipo de trabalho desenvolve a
motricidade fina, contribui para a verificação
e compreensão de propriedades geométricas e
exige o desenvolvimento de linguagem apropriada para os registros.
Se o desenho geométrico aparece com menor ênfase do que a Geometria nesta proposta, queremos deixar claro que tal opção se
deve ao grande volume de temas geométricos
e estratégias de abordagem que gostaríamos
de compartilhar com o professor neste momento, e não à menor importância do desenho geométrico.
As oito primeiras unidades propostas no
planejamento do volume têm apenas a função
de organizar um ponto de partida para o percurso dos temas, mas, como no planejamento
do Caderno do volume anterior, sempre estará a critério do professor fazer a adaptação
mais adequada, dadas as necessidades do seu
projeto de curso de Geometria.
Na medida do possível, as quatro primeiras Situações de Aprendizagem apresentadas
neste Caderno percorrem as oito primeiras
unidades deste volume, direta ou indiretamente, como veremos a seguir.
Na Situação de Aprendizagem 1, propomos atividades em que a compreensão das
características das figuras geométricas emerge da manipulação experimental e da troca de
experiências em pequenos grupos. Um bom
programa de desenvolvimento do pensamento
geométrico para crianças pequenas é aquele
que apresenta seus objetivos de forma adequada e propõe as perguntas capazes de desencadear ideias, articulações e sínteses por
parte dos alunos. Portanto, a ênfase de uma
das propostas apresentadas na Situação de
Aprendizagem 1 é a do trabalho com a classificação de figuras geométricas com base em
critérios estabelecidos inicialmente pelos próprios alunos e, em seguida, pelo professor.
Em outra atividade, apresentamos algumas possibilidades de uso do tangram como
recurso didático. Mais uma vez, a ênfase será
dada ao papel da descoberta dos alunos, que
deverá ser conduzida sempre por uma boa
pergunta ou sequência de perguntas. Além
do tangram tradicional, serão também apresentados outros tipos, bem como algumas
possibilidades diferentes de uso. A Situação
de Aprendizagem 1 é finalizada com uma
proposta de uma atividade com espelhos
para a investigação de simetria de reflexão, a
qual tem o objetivo de auxiliar no desenvolvimento da percepção de simetrias nas figuras
como meio facilitador da compreensão de
suas propriedades e de suas representações.
A Situação de Aprendizagem 2 traz diversas
atividades para o estudo inicial da geometria
dos sólidos. De início, apresentamos uma proposta de construção de sólidos com o uso de
linha e canudos de refrigerante, que, além do
9
trabalho com a Matemática, permite aos alunos
exercitar sua motricidade. Uma alternativa para
a construção dos sólidos com canudos é a construção com papel a partir de suas planificações.
Nesse sentido, não trabalharemos propriamente
a construção, mas serão explorados inúmeros
desdobramentos do trabalho com a planificação de sólidos por meio de investigação com
poliminós. O trabalho com poliminós permite
investigar as várias perspectivas de uma figura
espacial, aborda o raciocínio lógico dedutivo,
explora estratégias de contagem e permite o trabalho com jogos de estratégia.
Na Situação de Aprendizagem 3, nosso
interesse é explorar problemas de perímetro,
área, raciocínio lógico dedutivo e operações
com frações, utilizando o recurso do geoplano, que é um tabuleiro com percevejos ou pregos no qual podemos desenhar figuras usando
elásticos ou uma linha, ou da malha quadriculada. A riqueza do geoplano como recurso
didático reside no fato de ele permitir o trabalho tanto com a Geometria quanto com a
Aritmética, como veremos em algumas sugestões do seu uso no ensino de soma e subtração
de frações.
Na Situação de Aprendizagem 4, apontamos para a importância do uso de malhas
de pontos, quadriculada ou de triângulos, na
introdução ao estudo da geometria métrica.
As malhas não nos permitem trabalhar com
qualquer tipo de figura ou com qualquer medida, porém, constituem um recurso muito
valioso para a compreensão da ideia de medida associada à de comparação. Identificar
10
medidas de perímetro e área em uma malha
pela composição e pela decomposição de figuras desenvolve de forma significativa a capacidade de observação, habilidade indispensável
para a aprendizagem da Geometria.
Outra atividade proposta será o uso de
malhas para ampliar, reduzir ou deformar
figuras. A compreensão visual do que será
discutido nessas atividades mantém relação
próxima com o desenvolvimento do tema
transversal “Cidadania”, uma vez que estaremos aprimorando a competência de leitura de
imagens dos alunos.
A Situação de Aprendizagem 4 é finalizada
com uma proposta de construção de mosaicos
em malhas de pontos ou de figuras. O objetivo
aqui é possibilitar o desenvolvimento da criatividade, da observação, do senso estético e a
identificação de padrões e regularidades.
Nas oito unidades finais deste volume, será
abordado o estudo dos fenômenos científicos
e sociais, que envolve com frequência a coleta de dados, os quais devem ser organizados
da melhor forma possível para transmitir
adequadamente determinadas informações.
O eixo do planejamento, que procura desenvolver habilidades associadas à organização,
leitura, análise e apresentação desses dados, é
denominado Tratamento da Informação.
Esse será o conteúdo principal desta segunda
parte do volume, a ser desenvolvido com base nos
seguintes tópicos: leitura e interpretação de informações estatísticas; coleta; organização; resumo e
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
apresentação de informações; construção e análise de tabelas e gráficos; cálculo e interpretação
das principais medidas de centralidade; e, por
fim, problemas elementares de contagem.
Na Situação de Aprendizagem 5, o aluno terá contato com o desafio de organizar e
apresentar dados estatísticos por meio de tabelas. Além de desenvolver as habilidades de
classificar e organizar dados, essa Situação
de Aprendizagem também abre espaço para
a discussão inicial de um importante item do
programa de Matemática do Ensino Fundamental: o estudo da porcentagem.
informação estatística, transmitida por meio de
tabelas e gráficos, partimos para a Situação de
Aprendizagem 7, cujo objetivo central é investigar aspectos relacionados à construção dos gráficos de colunas, linhas, setores e outros, além de
estudar fatores relevantes, como escolha do tipo
mais adequado de gráfico para informar algo,
escolha da escala mais conveniente e seleção de
cores e formas mais sugestivas. Nas atividades
propostas, o aluno terá mais uma oportunidade
de contato com o uso da régua e do compasso;
nesse caso, o professor poderá retomar o trabalho com ênfase nos procedimentos de utilização
desses instrumentos.
Na Situação de Aprendizagem 6, há uma
seleção de gráficos adequados ao desenvolvimento da habilidade de ler as informações.
Consideramos em nossa escolha a relevância
científica e/ou social dos dados informados, a
diversidade da forma usada para transmitir a
informação, a riqueza de possibilidades relacionadas à leitura de elementos em destaque no
gráfico e, por fim, a relevância das informações
para a exploração da interdisciplinaridade e de
temas transversais. Após trabalharmos as habilidades de leitura, interpretação e análise da
Na Situação de Aprendizagem 8, iniciamos uma discussão sobre pesquisa estatística,
população e amostra, o que permitirá, entre
outras coisas, a retomada do tema “porcentagem”. Na sequência, apresentamos estratégias
para o trabalho com as principais medidas de
tendência central, que são a moda, a média e
a mediana. Mais do que desenvolver a habilidade de calcular essas medidas, interessa-nos
que o aluno possua as competências necessárias para compreender alcances e limites de
cada uma delas diante de situações reais.
11
Quadro geral de conteúdos do volume 2 da 5a série/6o ano do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Observação de figuras planas: semelhanças e diferenças.
Unidade 2 – Observação de figuras espaciais: semelhanças e diferenças.
Unidade 3 – Classificação de figuras e ampliação do vocabulário geométrico.
Unidade 4 – Propriedades elementares dos polígonos, simetria, malhas e geoplano.
Unidade 5 – Investigação de padrões, regularidades, propriedades elementares de figuras
geométricas e simetria.
Unidade 6 – Figuras espaciais: construção, planificação e representação de vistas.
Unidade 7 – Perímetro e área de figuras por composição e decomposição com auxílio de
malhas quadriculadas e geoplano.
Unidade 8 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição e simetria.
Unidade 9 – Leitura, interpretação e construção de dados na forma de tabelas.
Unidade 10 – Cálculo de porcentagem.
Unidade 11 – Gráficos de colunas e linhas – leitura, interpretação e análise.
Unidade 12 – Gráficos de setores e outros – leitura, interpretação e análise.
Unidade 13 – Plano ordenado e escalas.
Unidade 14 – Construção de gráficos de colunas, linhas, setores e outros.
Unidade 15 – População, amostra, porcentagem, pesquisa estatística.
Unidade 16 – Moda, média aritmética simples e ponderada, mediana.
12
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO
Conteúdos e temas: elementos das figuras planas; classificação de figuras planas; propriedades elementares das figuras planas; identificação de simetria; composição e decomposição de
figuras (primeiras ideias sobre perímetro e área de uma figura).
Competências e habilidades: estabelecer critérios de classificação; reconhecer elementos geométricos que podem caracterizar uma figura; resolver problemas geométricos pela experimentação; usar o raciocínio dedutivo para resolver problemas de natureza geométrica.
Sugestão de estratégias: manipulação de material concreto, trabalho em grupo e jogos.
Nesta Situação de Aprendizagem, os alunos vão classificar figuras geométricas com
base em critérios estabelecidos, partindo da
manipulação experimental de representações
dessas figuras. Também serão exploradas as
ideias de composição e decomposição de figuras com o uso do tangram, de semelhança de
figuras geométricas e de simetria de reflexão.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
É provável que nas séries/anos anteriores
os alunos já tenham tido uma introdução ao
estudo de Geometria, porém, uma atividade
diagnóstica no início do trabalho é indispensável para que seja verificado o estágio de conhecimento de cada aluno sobre formas planas e
espaciais. É possível que a atividade elaborada
para esse propósito atinja plenamente seus objetivos se o professor utilizar recursos lúdicos
que favoreçam a experimentação dos alunos
com diversas formas planas e espaciais, sem
uma classificação prévia das formas, das propriedades e da relação entre propriedades.
Dois aspectos são importantes para que esta
Situação de Aprendizagem atinja plenamente
seus objetivos: 1) o sortimento das figuras deve
ser bem diversificado, de forma que favoreça a
identificação e a exploração de várias características diferentes; 2) em um primeiro momento, o
professor deve dirigir o mínimo possível a escolha de características porque a atividade é essencialmente de experimentação e vivência com as
formas geométricas (a mediação do professor
será importante, em um segundo momento, para
a socialização das ideias entre os grupos).
Atividade diagnóstica
Agora você vai trabalhar em grupo. Com a
ajuda de seu professor, forme pequenos gru-
13
pos (de 3 ou 4 participantes), discuta cada
uma das perguntas a seguir e escreva em seu
caderno as conclusões do seu grupo. Lembre-se de que, para realizar um bom trabalho coletivo, seu grupo deve estar atento às seguintes regras:
f Quando um participante do grupo está falando, os outros devem ouvi-lo em silêncio.
Essa regra é importante porque, quando
mais de uma pessoa fala ao mesmo tempo,
dificilmente conseguimos entender o que
cada uma está querendo dizer.
f Todos os membros do grupo devem participar das discussões. Se um integrante está
participando muito mais do que o outro, ele
deve deixar que aqueles que tenham participado menos possam expressar suas ideias.
Ao final da atividade, seu grupo deverá fazer
uma autoavaliação do trabalho levando em consideração as regras estabelecidas. Bom trabalho!
Figuras para realização da atividade
1
4
2
6
7
3
5
8
12
11
10
13
14
9
15
14
16
17
18
19
20
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
22
21
23
24
25
28
27
29
30
26
33
32
31
37
39
38
35
36
34
43
41
40
42
44
45
47
49
46
48
50
15
1. Um participante do grupo deve escolher
uma das 50 figuras, e cada integrante deverá citar uma característica da figura escolhida. Em seguida, é a vez de outro participante escolher, e repete-se a atividade até
que todos os integrantes tenham escolhido,
cada um, uma figura. Registre na tabela a
seguir as características observadas.
Nome do aluno que escolheu a figura:
Número da figura escolhida:
Nome do aluno
Característica
identificada
2. Cada integrante do grupo deve escolher
uma figura e citar uma de suas características. Em seguida, todos os outros
integrantes do grupo devem listar quais
das 50 figuras têm a característica escolhida. Cada um deverá preencher a tabela a seguir.
Nome do aluno que
escolheu a figura
Número da figura e
característica escolhida
Número das figuras com
a característica escolhida
Escolhemos uma figura para descrever, em linguagem inforNBMBMHVNBTEFTVBTDBSBDUFSÓTUJDBT
t'JHVSBDJODPMBEPTUPEPTPTMBEPTTÍPiSFUPTwDJODPiCJDPTwVNQBSEFMBEPTQBSBMFMPTRVBOEPEPCSBEBEFGPSNB
DPOWFOJFOUF PDPSSF TPCSFQPTJÎÍP QFSGFJUB FOUSF BT QBSUFT
EPCSBEBTSFGFSÐODJBËTJNFUSJB
QPTTVJMBEPTiFNDSV[wSFGFA seguir, cinco características que podem ser listadas, entre
SÐODJBBPTÉOHVMPTSFUPT
OÍPQPTTVJiCVSBDPTwSFGFSÐODJBBP
outras, com a respectiva correspondência nas figuras. Note
GBUPEFPQPMÓHPOPTFSDPOWFYP
QPTTVJEPJTQBSFTEFMBEPT
que explicitamos as características em linguagem informal,
com as mesmas medidas entre si.
como provavelmente aparecerá no texto dos alunos.
t1PSFYFNQMPTFPBMVOPFTDPMIFVBmHVSBFDJUPVDPNP
característica o fato de ter "cinco lados", o grupo de alunos
t1FMPNFOPTiVNMBEPSFUPwEFBEFBEFB
pode identificar como tendo a mesma característica as figu-
EFBEFB
SBTF
t1PTTVJiMBEPTDVSWPTwEFBEFB
t1PTTVJBQFOBTiMBEPTSFUPTwFiCVSBDPTwEFB
t1PTTVJiCJDPTwEFBEFBFYDFUP
EFB
EFB
t'JHVSBDPNMBEPTSFUPTFQFMPNFOPTVNQBSEFMBEPTQBSBMFMPTEFB
16
3. Utilizando as 50 figuras com
que você trabalhou em classe,
preencha a tabela com os números
das figuras que atendem às características
apresentadas.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Característica
Número das figuras
Figuras com apenas 3 lados (retos ou “curvos”)
Figuras com apenas 3 lados retos
Figuras com apenas 3 “bicos”
Figuras com pelo menos
4 lados retos
%FB
%FB
Figuras com pelo menos
1 par de lados paralelos
0CTFSWBÎÍPUBNCÏNQPEFTFSBDFJUP
TFDPOTJEFSBSNPTRVFBmHVSBUFNMBEPT
Figuras com todos os lados de mesma medida
Figuras com lados que formam uma
“quina” perfeita (lados “em cruz”), ou seja,
possuem ângulo reto.
4. Muitas das características que
você identificou na atividade em
grupo (e na Lição de casa) recebem nomes específicos na Matemática. Sua
tarefa agora será estabelecer uma corresponNomenclatura “oficial” na Matemática
dência entre as nomenclaturas “oficiais” dessas características na Matemática e a descrição que você fez. Para a realização dessa
tarefa, você poderá utilizar o dicionário e recorrer à ajuda de seu professor.
Característica correspondente e um exemplo
'JHVSBHFPNÏUSJDBQMBOBDVKP
Polígono
DPOUPSOPÏGFDIBEPFGPSNBEP
QPSTFHNFOUPTEFSFUBT&YFNQMP
Quadrilátero
Triângulo
/ÍPQPMÓHPOP
Figuras com 4 lados retos
(ou polígono de quatro lados). Exemplo:
1PMÓHPOPEFMBEPT&YFNQMP
Figuras com pelo
menos 1 lado curvo. Exemplo:
19
38
17
1PMÓHPOPOÍPDPOWFYP
Figuras com lados retos e “buracos”
(ou polígono que tem pelo menos
um ângulo interno maior que 180o). Exemplo:
17
Dados dois pontos quaisquer em seu interior, o segmento que os liga está
DPOUJEPOBSFHJÍP
Polígono convexo
JOUFSJPSEPQPMÓHPOPPVQPMÓHPOP
com todos os ângulos internos
NFOPSFTRVFo
&YFNQMP
7ÏSUJDFT
Ângulo reto
Paralelogramo
13
Espaço formado por lados “em cruz”, ou que
formam uma “quina perfeita”. Exemplo:
45
Quadrilátero com dois
QBSFTEFMBEPTQBSBMFMPT&YFNQMP
Triângulo retângulo
Triângulo com um ângulo formado por lados
“em cruz” (“em quina perfeita”). Exemplo:
Triângulo isósceles
Triângulo que tem pelo
menos 2 lados iguais. Exemplo:
Triângulo escaleno
18
“Bicos” de uma figura
com lados retos. Exemplo:
5SJÉOHVMPDPNUSÐTMBEPTEJGFSFOUFT&YFNQMP
36
34
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
5. No espaço a seguir, você deve registrar
outras definições “oficiais” da Matemática que seu professor vai apresentar para
a classe.
NFOUP Ï NBJT JNQPSUBOUF RVF P BMVOP DPOTJHB FYQSFTTBS
Nesta atividade, você poderá redefinir com maior rigor
6. Preencha a tabela a seguir com
base nas 36 figuras apresentadas.
seu pensamento de alguma forma, mesmo que ainda sem o
SJHPSOFDFTTÈSJPEPWPDBCVMÈSJPNBUFNÈUJDP
algum termo ou palavra usada durante a aula. Neste mo-
5
2
1
4
3
6
8
7
11
9
10
12
13
16
15
14
17
20
18
19
21
24
22
26
28
23
27
25
29
33
35
30
31
34
32
36
19
Nomenclatura “oficial”
na Matemática
Definição
Figuras
Triângulo
Polígono de 3 lados
20 a 34
Quadrilátero
Polígono de 4 lados
%FB
Triângulo equilátero
5SJÉOHVMPDPNPTMBEPTJHVBJT
Retângulo
Quadrilátero com
4 ângulos retos
Losango
1PMÓHPOPDPNMBEPTJHVBJT
4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19
Ao unir dois pontos quaisquer no
interior do polígono por um
segmento de reta, pode ser que esse
Polígono não convexo
TFHNFOUPOÍPmRVFJOUFJSBNFOUF
DPOUJEPOPJOUFSJPSPVQPMÓHPOPFN
RVFQFMPNFOPTVNÉOHVMPJOUFJSPÏ
NBJPSRVFEPJTSFUPT
As atividades propostas permitem fazer um
diagnóstico dos conhecimentos geométricos da
turma, bem como trabalhar o desenvolvimento de vocabulário geométrico ao convencionar
com a classe algumas palavras para descrever
certas características das figuras (paralelo, perpendicular, vértice, convexo, congruente, ângulo, quadrilátero, triângulo etc.).
A ideia de que uma figura pode ser composta por (ou decomposta em) outras é
muito rica para o desenvolvimento do pensamento geométrico e constitui uma proposta
tradicional
20
triangular
interessante de continuidade da Situação de
Aprendizagem de experimentação e classificação de figuras. Nesse contexto, atividades
com tangram são apropriadas para o trabalho com formas planas. Se, nas séries/anos
anteriores, os alunos não construíram um
tangram, o trabalho pode ter início com esta
atividade; se os alunos já construíram, propomos que seja feito algum tipo de tangram
menos convencional. Apresentamos alguns
tipos de tangram que podem ser confeccionados com cartolina, papel-cartão, cortiça,
madeira ou outros materiais.
quadrangular
circular
oval
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
O processo de construção de um tangram
pode ser uma boa oportunidade para um primeiro contato com os instrumentos geométricos. Não descreveremos aqui os procedimentos
para essa construção, mas o professor poderá
encontrá-los em muitos livros didáticos ou nos
endereços eletrônicos sugeridos nas referências
bibliográficas listadas no final deste Caderno.
Essa atividade explora a ideia de perímetro e, como a
BOUFSJPSUSBCBMIBDPNEVBTJNQPSUBOUFTIBCJMJEBEFTB
de ordenar e a de estimar. É muito importante que os
BMVOPT EF a TÏSJFo BOP DPOTJHBN FTUBCFMFDFS B PSEFNEFHSBOEF[BFOUSFDPNQSJNFOUPTFFOUSFÈSFBTEF
mHVSBTRVFQPTTJCJMJUFNVNBEJTUJOÎÍPDMBSBEFNFEJEBT"IBCJMJEBEFFBEFTUSF[BDPNPVTPFBMFJUVSBEBT
NFEJEBTJOEJDBEBTOBSÏHVBUBNCÏNEFWFNTFSNPUFT
desta atividade.
Além das tradicionais figuras que podem
ser feitas com o uso do tangram, muitas outras
atividades de investigação geométrica podem
ser propostas.
7. Cole o tangram disponível
no final deste Caderno (Anexo
1) em uma cartolina e, em seguida, recorte suas 15 peças e ordene-as
pelo “tamanho”.
Com esta atividade o professor pode discutir com os aluOPTVNBEFGJOJÎÍPNBJTDPOTJTUFOUFTPCSFPRVFFOUFOEFNPT QPS iUBNBOIPw EB GJHVSB " JEFJB Ï RVF FMFT QPTTBN
QFSDFCFS JOUVJUJWBNFOUF B ÈSFB BTTPDJBEB BP RVF VTVBM
NFOUF DPNQSFFOEFSJBN DPNP P iUBNBOIPw EB GJHVSB
Vale destacar que o percurso didático de um programa de
(FPNFUSJBEFWFMFWBSFNDPOTJEFSBÎÍPRVFQBSBBTGBJYBT
etárias menores, o significado se constrói muito mais por
.FOPSDPNQSJNFOUPUPUBMF
.BJPSDPNQSJNFOUPUPUBM
Dizemos que duas figuras
são semelhantes quando têm
a mesma “forma”, mas tamanhos diferentes. Faça a seguinte experiência com as figuras de três lados do
tangram: coloque a maior delas sobre a
mesa; fique em pé diante da mesa, pegue outra figura de três lados e, tapando
um dos olhos, tente encontrar uma posição que faça uma sobreposição perfeita das duas figuras. Se a sobreposição
acontecer, dizemos que as duas figuras
são semelhantes.
NFJPEFTJUVBÎÜFTDPODSFUBTFBQSPYJNBÎÜFTFYQFSJNFOUBJT EP RVF DPN GPSNBMJTNP F EFGJOJÎÜFT .BJT BEJBOUF
apresentaremos outras atividades específicas do uso do
tangram para explorar a ideia de perímetro e área de uma
8. Qual das 15 figuras que compõem o tangram tem menor comprimento total? Qual
tem o maior comprimento? (Utilize sua régua nesta atividade.)
© Samuel Silva
GJHVSBBQBSUJSEBTVBEFDPNQPTJÎÍP
21
Com essa atividade, iniciamos a exploração de um tema central da Geometria, o
estudo da semelhança de figuras. Com os
experimentos propostos, os alunos deverão
perceber que:
porém, que não são semelhantes (a percepção de que eles não são semelhantes deverá
ter sido verificada a partir do experimento
com um olho vedado).
f os triângulos do tangram são todos semelhantes;
f alguns quadriláteros do tangram são semelhantes, outros não.
Com base na primeira conclusão, o professor pode fazer o seguinte tipo de exploração.
Apesar de os alunos ainda não terem a ideia
formalizada de ângulo, explore o fato de que
as “pontas” dos triângulos desse tangram, sejam eles grandes ou pequenos, se encaixam
perfeitamente. Quando isso acontece, os triângulos são semelhantes. Note que essa é uma
oportunidade para introduzir de forma intuitiva a seguinte ideia (que só será formalizada
nas séries/anos seguintes): se dois triângulos
têm ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.
Com a observação dos quadriláteros, o
aluno deverá perceber que alguns são semelhantes e outros, não. Uma problematização
interessante que pode ser feita é a seguinte:
será que o mesmo critério aplicado para definir triângulos semelhantes pode ser usado
para definir quadriláteros semelhantes? Os
alunos devem perceber que não. O exemplo a
seguir mostra dois quadriláteros do tangram
com ângulos correspondentes congruentes,
22
Na comparação entre quadrados, os alunos devem ter identificado figuras semelhantes. Com base nessa observação, você pode
discutir que, no caso das figuras de quatro
lados, além do encaixe perfeito entre as “pontas” correspondentes, também deve haver proporcionalidade entre os lados para que elas
sejam semelhantes.
Verificação análoga pode ser feita entre
dois paralelogramos semelhantes do tangram (o maior e o menor), como se pode ver
a seguir:
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Tanto no caso dos quadrados quanto no
dos paralelogramos semelhantes, o tangram
proposto na atividade tem a vantagem de permitir que a proporcionalidade entre os lados
seja facilmente percebida pelos alunos por
meio de encaixes (composição de figuras por
sobreposição), uma vez que a razão de semelhança é dois. Vale observar que nem todos os
paralelogramos desse tangram são semelhantes. O paralelogramo maior não é semelhante
ao intermediário, que, por sua vez, não é semelhante ao menor.
12. Separe todos os triângulos do
tangram, ordene-os pelo seu perímetro, depois pela sua área e, por
fim, compare essas ordenações. Registre
as conclusões sobre o que você observou
na comparação entre as duas ordenações.
Note, inicialmente, que o enunciado dessa atividade exige
DPNQSFFOTÍPEPVTPEBTOPÎÜFTÈSFBFQFSÓNFUSPRVFEFWFNUFSTJEPUSBCBMIBEBTOBTBUJWJEBEFTBOUFSJPSFT$PNP
no tangram QSPQPTUP UPEPT PT USJÉOHVMPT TÍP TFNFMIBOUFTFTQFSBTFRVFPTBMVOPTQFSDFCBNFDPODMVBNQFMB
FYQFSJNFOUBÎÍPRVFTFBVNFOUBNPTPQFSÓNFUSPEFVN
USJÉOHVMPTVBÈSFBUBNCÏNWBJBVNFOUBS%FGPSNBHFSBM
9. Liste os triângulos semelhantes que você
encontrou.
FF
tratando-se de triângulos semelhantes, se o perímetro for
EVQMJDBEPBÈSFBTFSÈNVMUJQMJDBEBQPSTFPQFSÓNFUSP
for multiplicado por k, a área será multiplicada por k². Essa
DPODMVTÍPOÍPQSFDJTBTFSGPSNBMJ[BEBNBTQPEFTFSDPN-
10. Repita o experimento com os quadriláteros
do tangram e liste os que são semelhantes.
QSFFOEJEBQPSNFJPEFSFDVSTPTDPNPBGJHVSBBTFHVJS
5PEPTPTRVBESBEPTTÍPTFNFMIBOUFTFOUSFTJFTÍPTFmelhantes e congruentes.
11. Comparando os resultados obtidos nas
atividades 9 e 10 desta seção, escreva uma
regra que seja válida para os triângulos e
para os quadriláteros, e que também garanta a semelhança entre as figuras.
13. Investigue a possibilidade de formar figuras quaisquer usando as peças do tangram.
Os triângulos que têm ângulos internos dois a dois de mesma
3FTQPTUBQFTTPBM&TTBBUJWJEBEFFYQMPSBBTBCPSEBHFOTUSBEJ-
NFEJEBTÍPTFNFMIBOUFT$PNSFMBÎÍPBPTRVBESJMÈUFSPTBMÏN
cionais de tangramRVFPBQSPYJNBNEFVNRVFCSBDBCFÎBT
dos ângulos internos dois a dois de mesma medida, tem de ha-
de formas e encaixes. Os alunos costumam se motivar com
ver proporcionalidade entre os lados em correspondência para
FTTFUJQPEFEFTBmPRVFUBNCÏNQPEFTFSGFJUPDPNPVUSPT
RVF FMFT TFKBN TFNFMIBOUFT &TTB EJTDVTTÍP EFWF TFS GFJUB EF
tipos de tangramFDPNPPCKFUJWPEFGPSNBÎÍPEFPVUSPT
NBOFJSBJOGPSNBMBQFMBOEPNBJTQBSBBJOUVJÎÍPEPRVFQBSBB
UJQPTEFmHVSBTQPSDPNQPTJÎÍP
Do maior para o menor, T, T, T, T, T = T
GPSNBMJ[BÎÍPQPSRVFPTBMVOPTBJOEBOÍPDPOIFDFNBEFmOJÎÍP
EFÉOHVMPFOÍPGPSBNTVmDJFOUFNFOUFBQSFTFOUBEPTËJEFJBEF
QSPQPSDJPOBMJEBEF0UFNBEFTFNFMIBOÎBEFmHVSBTHFPNÏUSJDBTTFSÈSFUPNBEPFNPVUSBTÏSJFBOPEP&OTJOP'VOEBNFOUBM
14. Forme polígonos de 5 e 6 lados com algumas peças do tangram. Desenhe os resultados obtidos no espaço a seguir.
23
MBEPT
Resposta pessoal. Discuta com os alunos que a linha onde foi
MBEPT
DPMPDBEPPFTQFMIPÏDIBNBEBEFFJYPEFTJNFUSJB/FTUBBUJ5
4
WJEBEFPTBMVOPTEFWFSÍPSFnFUJSRVFNVJUBTmHVSBTFMFUSBT
OÍPUÐNFJYPEFTJNFUSJB/BmHVSBBTFHVJSIÈPFYFNQMPEB
13
9
10
WJTUBGSPOUBMEFVNBJHSFKB
1
12
Com as situações propostas até aqui, trabalhamos, pela experimentação, as habilidades de
classificar, comparar, generalizar e estimar medidas. Outra habilidade importante que pode
ser desenvolvida com alunos dessa série/ano é
a antecipação da representação de formas pelo
uso da simetria. Propomos, a seguir, três atividades com esse objetivo. Para desenvolvê-las,
disponibilize ou solicite aos alunos que tragam
de casa um pequeno espelho retangular ou um
CD “riscado”, que deverá ser fixado com fita
adesiva em uma das bordas da carteira. Caso
não haja disponibilidade de um espelho por
aluno, a atividade também pode ser feita em
pequenos grupos. Essas atividades permitem
que os alunos façam investigações a respeito de
simetria axial de figuras geométricas.
16. Colocando o espelho em determinada posição você pode formar, a partir dos desenhos a seguir, uma forma geométrica fechada. Encontre essa forma geométrica e,
em seguida, registre a descrição de algumas
de suas características.
3FTQPTUB
um losango
MBEPTDPOHSVFOUFT
ângulos opostos
DPOHSVFOUFT
lados opostos paralelos
Investigando eixos de simetria
15. Faça um desenho de tal forma que, quando colocado em frente a um espelho, forme
uma determinada figura. Por exemplo, para
formar a letra A, basta que você desenhe
metade da letra para que possa vê-la inteira com a “fusão” entre o desenho feito e a
imagem no espelho, como mostra a figura:
VNRVBESJMÈUFSP
os ângulos opostos
BTTJOBMBEPTTÍP
congruentes
hexágono convexo
PDUØHPOPOÍPDPOWFYP
Cada linha em destaque representa o local onde o espelho
deverá ser colocado para completar a respectivo polígono,
PVTFKBFMBJOEJDBPFJYPEFTJNFUSJBEBmHVSB
24
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
17. Verifique se as letras maiúsculas e de forma
do seu nome podem ser escritas por reflexão com o auxílio de um espelho, ou seja,
informe qual(is) tem eixo de simetria.
Resposta pessoal.
&TTB BUJWJEBEF QFSNJUF USBCBMIBS JOWFTUJHBÎÜFT EF TJNFUSJB
BYJBMEFmHVSBTHFPNÏUSJDBT
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 apresenta para o professor uma proposta de trabalho com Geometria utilizando materiais
concretos e por meio da experimentação.
A metodologia de uso desse material que
estamos propondo leva em consideração
a construção do conhecimento a partir da
manipulação de figuras e o desenvolvimento da habilidade de classificar a partir da
negociação de ideias entre grupos de alunos. Os conhecimentos geométricos que
decorrem do uso dessa proposta devem ser
sistematizados pelo professor ao longo do
desenvolvimento das atividades.
Como estamos valorizando, nas atividades
propostas, o trabalho em grupo, a negociação
de ideias e a troca de experiências entre os
alunos, o professor deve buscar estratégias
de avaliação que levem em consideração não
só o desenvolvimento da compreensão dos
temas matemáticos, mas também aspectos
como a participação de todos os integrantes
nas discussões do grupo, a atitude solidária
e de respeito dos alunos, o respeito às regras
determinadas para as atividades etc.
Especificamente com relação aos temas geométricos explorados, espera-se que, ao final
das atividades, os alunos estejam aptos a:
f identificar visualmente, em figuras planas,
paralelismo, perpendicularismo, semelhança, congruência e simetria;
f saber utilizar de forma mais apropriada o
vocabulário geométrico elementar;
f saber agrupar figuras de acordo com determinado critério estabelecido.
Tais conhecimentos e habilidades devem ser avaliados pelo professor com a utilização de instrumentos diversificados, que
incluem, além das avaliações periódicas e
de final de percurso da aprendizagem, também os registros referentes à participação
nas atividades em grupo e produção de relatórios com os registros das investigações
de classificação de figuras. A produção dos
relatórios constitui um item importante
da avaliação, porque sinaliza a importância
do uso apropriado da linguagem para expressar ideias matemáticas. Por meio da avaliação
dos relatórios, o professor poderá sinalizar
direções para os alunos não só do ponto de
vista da articulação das ideias matemáticas,
como também da produção de texto.
25
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
PLANIFICANDO O ESPAÇO
Conteúdos e temas: elementos das figuras espaciais; classificação de figuras espaciais; representação de figuras espaciais; planificações e vistas de figuras espaciais.
Competências e habilidades: estabelecer critérios de classificação; reconhecer elementos geométricos que podem caracterizar uma figura espacial; ler, interpretar e representar figuras
tridimensionais; usar o raciocínio dedutivo para resolver problemas de natureza geométrica.
Sugestão de estratégias: manipulação de material concreto, trabalho em grupo e jogos.
A proposta de trabalho desta Situação de
Aprendizagem é explorar os sólidos geométricos de forma concreta e por meio das suas representações. No primeiro caso, será dada ênfase à
manipulação e à construção dos sólidos, e, no
segundo, às representações de suas planificações
e das suas vistas (frontal, superior, lateral).
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Na Situação de Aprendizagem 1, apresentamos algumas estratégias para o trabalho inaugural do estudo da Geometria das formas planas
na 5a série/6o ano do Ensino Fundamental. O estudo de Geometria nas séries/anos iniciais deve
buscar elementos de leitura das imagens do nosso mundo como forma de aproximar os temas
investigados do concreto. Apesar de o nosso
mundo ser essencialmente tridimensional, muitas vezes os programas de Geometria das séries/
anos iniciais dão excessiva ênfase à Geometria
plana e quase nenhuma à espacial. Entendemos
que a Geometria plana tem um papel muito importante na formação inicial dos alunos, pelo
fato de desenvolver o pensamento abstrato e fornecer elementos importantes de análise para a
26
investigação dos sólidos geométricos. Contudo,
um currículo moderno certamente não deixaria
de fora um primeiro contato com o estudo geométrico das formas espaciais já nas primeiras
séries/anos do Ensino Fundamental.
Da mesma maneira como iniciamos o trabalho com a Geometria plana por meio de uma
atividade que pudesse desencadear classificações, ordenação e desenvolvimento de vocabulário geométrico, o mesmo poderia ser feito
com a Geometria em três dimensões. Uma coleção de sólidos geométricos poderia ser usada
no lugar da coleção de figuras planas na Situação de Aprendizagem 1, e praticamente todas
as atividades propostas poderiam ser adaptadas
ao ambiente tridimensional. As características
que poderiam ser investigadas agora são: sólidos que rolam (e que não rolam); sólidos que
afunilam (e que não afunilam em um ponto);
sólidos formados apenas por “linhas retas”
(e sólidos formados por “linhas curvas”); total
de faces (muitas vezes erroneamente chamadas
de “lados” pelos alunos que estão iniciando o
estudo dos sólidos); total de vértices (ou “bicos”); total de arestas (“linhas”); sólido que fica
de pé apoiado em qualquer face etc.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
nudos de refrigerantes em cores e diâmetros diferentes, linha (ou barbante fino) e uma agulha para
passar a linha pelos canudos. Convencionaremos
que seta simples (A) indicará o sentido em que a
linha deve ser passada no canudo vazio e a seta
dupla (‰), o sentido em que a linha deve ser inserida em um canudo já ocupado por uma linha.
A manipulação dos sólidos geométricos também pode ser feita utilizando-se materiais simples,
como canudos, linha e fita adesiva. O aluno pode
ser convidado a montar alguns sólidos e a investigar alguns de seus elementos e propriedades por
meio da construção, como veremos a seguir. Para
a atividade, sugerimos que se disponibilizem ca-
É possível construir figuras em três dimensões usando vários tipos de materiais,
como papelão, cola e fita-crepe, ou, ainda, canudos, linha e agulha. Lendo este
texto, você aprenderá a construir algumas figuras em três dimensões usando canudos, linha e agulha. Essa atividade será supervisionada por seu professor e deve ser realizada em classe. Para a atividade, serão necessários alguns canudos, uma tesoura sem ponta,
linha e uma agulha de costura.
© Conexão Editorial
Leia atentamente a explicação a seguir e interprete o desenho que descreve, passo a passo,
a construção de um cubo com suas diagonais. No desenho, convencionaremos que uma seta
simples (A) indicará o sentido em que a linha deve ser passada no canudo vazio, e a seta dupla
(‰), o sentido em que a linha deve ser inserida em um canudo já ocupado por uma linha.
1o passo:
1
2
4
3
17
6
7
5
12
1
2
16
18
13
11
4
8
© Conexão Editorial
2o passo:
3
14
9
10
15
27
© Conexão Editorial
3o passo:
Para que o cubo fique mais rígido, divida cada quadrado em dois triângulos e construa,
com os canudos, as diagonais das faces do cubo.
© Conexão Editorial
4o passo:
A estrutura de um cubo feita com canudos
não tem a mesma rigidez que, por exemplo, a
estrutura de um tetraedro feito com o mesmo
material teria. Isso pode ser explorado por meio
da investigação da rigidez dos triângulos e da ausência de rigidez dos quadriláteros. Uma situação de problematização interessante que pode
ser proposta é a seguinte: Como podemos tornar
a estrutura do cubo de canudinhos mais rígida
com a incorporação de novos canudos?
É muito provável que os alunos proponham
a colocação de canudos nas diagonais das faces. Pode-se discutir com eles que os novos canudos fixados formarão um tetraedro regular,
que, por ser um sólido formado apenas por
triângulos, será uma estrutura rígida. A cons-
28
trução de um tetraedro regular com canudos é
mais simples que a do cubo, e pode ser encontrada nas referências bibliográficas listadas no
final deste Caderno (além de tetraedro, é possível construir, com canudos, pirâmides de base
quadrangular, icosaedro, octaedro etc.).
A construção de sólidos geométricos também pode ser feita utilizando cartolina, um
estoque de polígonos de mesmos lados e fita
adesiva. Porém, outra estratégia mais interessante para o trabalho com a construção
de sólidos de papel é iniciar a discussão com
investigações sobre a planificação de figuras
espaciais. De posse de uma planificação da figura, estaremos com uma peça já pronta para
a sua montagem.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
O trabalho com planificações é interessante
porque exige dos alunos o desenvolvimento da
visualização dos sólidos em perspectivas diferentes. A seguir, apresentamos uma série de
atividades que trabalham diretamente com a
planificação de figuras e com a representação
das vistas frontal, superior e lateral de um sólido.
1. Agora, você vai construir
um cubo utilizando cartolina
ou uma folha de papel. Copie
ou cole em uma cartolina a figura indicada
no final deste Caderno (Anexo 2). Se não tiver
uma cartolina, recorte a folha do Anexo 2.
Faça as dobras como indicado na figura a seguir e use fita adesiva para fixar as bordas.
Planificação do cubo
ção(ões) de um cubo. Caso você esteja com
dificuldades, copie em uma folha de papel
cada uma das planificações e tente montar
o cubo a partir delas:
a)
b)
c)
"TUSÐTQMBOJmDBÎÜFTGPSNBNDVCPT
3. As planificações a seguir não formam cubos.
Como você pode concluir isso rapidamente?
a)
b)
c)
Construção do cubo a partir da sua planificação
6N DVCP UFN TFJT GBDFT F QPSUBOUP TVB QMBOJmDBÎÍP EFWF
ser formada por seis quadrados. As figuras a e cOÍPUÐNTFJT
RVBESBEPTQPSUBOUPOÍPGPSNBNVNDVCP"mHVSBbOÍP
GPSNBVNDVCPQPSRVFBQFTBSEFUFSRVBESBEPTOÍPIÈ
DPNPBTTPDJBSBTCBTFTFBTGBDFTMBUFSBJT
"UJWJEBEFEFDPOTUSVÎÍP
2. Observe as três planificações a seguir e indique qual(is) delas pode(m) ser planifica-
4. Quais das planificações a seguir formam cubos e quais não formam? Procure responder sem montar os cubos, mas,
29
se isso não for possível, copie cada planificação em uma folha, recorte e tente
montar o cubo.
a)
b)
c)
d)
/ÍP Ï QPTTÓWFM QPSRVF DJODP RVBESBEPT BMJOIBEPT DPOTFHVFNGFDIBSBQFOBTRVBUSPEBTTFJTGBDFTEPDVCP0TFYUP
RVBESBEP EB QMBOJmDBÎÍP GFDIBSÈ B RVJOUB GBDF EP DVCP F
VNBGBDFmDBSÈBCFSUB&YFNQMPTEFUBJTQMBOJmDBÎÜFTTÍP
/PUFRVFPUJQPEFEJTDVTTÍPQSPQPTUBQPSFTTBBUJWJEBEFGB[
DPNRVFPBMVOPUFOIBRVFFYFSDJUBSOÍPTØBWJTVBMJ[BÎÍP
FTQBDJBMDPNPUBNCÏNPSBDJPDÓOJPMØHJDP²QPTTÓWFMRVF
NVJUPT BMVOPT FODPOUSFN FYQMJDBÎÜFT EJGFSFOUFT F OFTTF
Apenas b e cGPSNBNDVCPT/PUFRVFOFTTBBUJWJEBEFGPJ
DBTP ÏJNQPSUBOUFRVFDBEBVNB EFMBT TFKB BOBMJTBEB QFMP
TVHFSJEBBSFTPMVÎÍPTFNBDPOTUSVÎÍPDPODSFUBEPDVCP
professor do ponto de vista lógico para verificar sua consis-
/FN UPEPT PT BMVOPT DPOTFHVFN SFTPMWFS FTTB RVFTUÍP
UÐODJB 0 FYFSDÓDJP EF DPNQSFFOEFS RVF VNB KVTUJmDBUJWB
BQFOBTDPNPQFOTBNFOUPBCTUSBUPQPSÏNEFWFTFSVNB
OÍPÏDPSSFUBÏUÍPPVNBJTQSPWFJUPTPEPRVFBQFOBTWFSB
NFUB TVB QSPGFTTPS GB[FS DPN RVF HSBEBUJWBNFOUF UPEPT
SFTQPTUBDPSSFUBEPQSPCMFNB
QPTTBN SFTPMWFS VN QSPCMFNB TFNFMIBOUF B FTTF TFN B
DPOTUSVÎÍPGÓTJDBEPDVCP
Com as atividades anteriores, os alunos perceberam que é necessário que a planificação
seja composta por seis quadrados para que se
possa formar um cubo, contudo, nem todas as
combinações dos seis quadrados podem formá-lo. Um desdobramento interessante acerca
dessa investigação seria pedir aos alunos que
desenhem todas as possíveis planificações de
um cubo, mas, para que haja reflexão anterior
à atividade, algumas perguntas podem facilitar
o percurso, como veremos a seguir.
5. É possível formar um cubo quando temos uma planificação com cinco quadrados alinhados e um não
alinhado? Justifique sua resposta.
30
Uma planificação formada por quadrados de
modo que eles partilhem pelo menos um lado é
chamada de poliminó. Dependendo do número
de quadrados envolvidos, o poliminó receberá
nomes específicos como: dominó (dois quadrados), triminó (três quadrados), tetraminó (quatro
quadrados), pentaminó (cinco quadrados) etc.
Os exercícios de planificações de cubos trabalham com os hexaminós (seis faces quadradas).
Atividades com poliminós são interessantes porque exigem o uso de várias habilidades matemáticas, como abstração espacial,
raciocínio lógico-dedutivo, estratégias de contagem de possibilidades e ideias relacionadas
à simetria de reflexão e de rotação. Veremos
agora algumas ideias que podem ser utilizadas
em atividades com poliminós.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Desafio!
Poliminós são figuras planas formadas pela justaposição de certo número de quadrados
iguais, de maneira que um lado inteiro de um quadrado (face) fique em contato com um lado
inteiro de outro quadrado (outra face). Assim, por construção geométrica, existe somente um
poliminó de um quadrado (chamado monominó) e um poliminó de dois quadrados (dominó);
dois poliminós de três quadrados (triminós), cinco poliminós de quatro quadrados (tetraminós), e assim sucessivamente.
1)
3)
2)
4)
f Desenhe os pentaminós (poliminós formados por 5 quadrados) diferentes que existem.
Uma dica importante para não desenhar
pentaminós repetidos é: se dois ou mais pentaminós são iguais, mas estão em posições diferentes, eles devem ser considerados o mesmo
pentaminó, como no exemplo a seguir, em que
temos, além do pentaminó, mais três representações obtidas por meio da rotação (giro) de
um mesmo pentaminó e outras quatro representações do mesmo pentaminó feitas a partir
de uma reflexão (espelhamento). No caso do
exemplo, todos os oito pentaminós devem ser
considerados equivalentes.
primeiro pentaminó
1
de volta em
4
sentido horário do
primeiro pentaminó
giro de
1
volta em
2
sentido horário do
primeiro pentaminó
giro de
Reflexões dos
pentaminós
da esquerda
com relação
a um eixo
vertical
1
de volta em
4
sentido anti-horário do
primeiro pentaminó;
3
giro de de volta em
4
sentido horário do
primeiro pentaminó.
giro de
31
6. Como você concluiu na seção
Desafio!, existem 12 pentaminós
diferentes. A seguir, eles estão
desenhados e a cada um deles associou-se
uma letra do alfabeto (as letras foram escolhidas em referência à forma do pentaminó).
R
I
(Observação: se não tiver uma cartolina,
desenhe diretamente na folha quadriculada e recorte os pentaminós.)
1BSB EBS OPNF BPT QFOUBNJOØT QPEFNPT VTBS MFUSBT RVF
MFNCSFNTVBGPSNB
0T QFOUBNJOØT - / 1 3 F : QPTTVFN PJUP SFQSFTFOUBÎÜFT
JEÐOUJDBT RVBUSP SPUBÎÜFT F RVBUSP SFnFYÜFT
0 QFOUBNJ-
L
OØ ; QPTTVJ RVBUSP SFQSFTFOUBÎÜFT JEÐOUJDBT EVBT SPUBÎÜFT
FEVBTSFnFYÜFT
76F8QPTTVFNRVBUSPSFQSFTFOUBÎÜFT
JEÐOUJDBT UPEBT QPS SPUBÎÍP
* QPTTVJ EVBT SFQSFTFOUBÎÜFT
JEÐOUJDBTQPSSPUBÎÍP
F9ÏPÞOJDPQFOUBNJOØRVFTØQPTTVJVNBSFQSFTFOUBÎÍP
N
U
X
P
T
V
Y
W
Z
Recorte a folha quadriculada no final deste
Caderno (Anexo 3), cole-a sobre uma cartolina, pinte nela os 12 pentaminós e recorte-os.
32
Existem inúmeras atividades com pentaminós (e outros poliminós) que podem ser
montadas, todas elas explorando a criatividade, o raciocínio lógico e a visualização espacial. Apresentamos a seguir um jogo com
pentaminós.
7. Pegue seus 12 pentaminós e forme um
circuito fechado com diferentes quantidades de quadrados na região interior do
circuito.
A linha que delimita a região interior deve
circundar o mais “por fora” possível o
circuito, passando uma única vez pela
aresta que une dois pentaminós (a Figura
1 exemplifica um possível circuito e a Figura 2 indica que esse circuito deixou 11
quadrados na região interior).
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
8. Monte um retângulo 6 × 10 com
os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o resultado que
você obteve.
&TTF QSPCMFNB BQSFTFOUB WÈSJBT TPMVÎÜFT QPTTÓWFJT TFOEP
VNBEFMBTBTFHVJOUF
¨
Figura 1
$PNPTÍPQFOUBNJOØTUFNPTVNUPUBMEFRVBdrados.
&TTFQSPCMFNBQPEFTFSSFGPSNVMBEPQBSBPVUSBTQPTTJCJMJEBEFTEFSFUÉOHVMPTDPNP¨¨F¨"QSFTFOUBNPTB
TFHVJSVNBTPMVÎÍPQBSBDBEBVNEFTTFTDBTPT
9. Monte um retângulo 5 × 12 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o
resultado que você obteve.
Figura 2
¨
Desenhe o circuito que você formou na
malha a seguir.
)ÈBMHVNBTQPTTJCJMJEBEFTEFGPSNBÎÍP"QSFTFOUBNPTBOUFSJPSNFOUF VN FYFNQMP DPN RVBESBEJOIPT OB SFHJÍP
interior.
Os poliminós podem também ser usados
para a montagem de quebra-cabeças de preenchimento, como em alguns jogos de computador, por exemplo, o Tetris. A atividade a
seguir explora essa ideia.
10. Monte um retângulo 4 × 15
com os 12 pentaminós e pinte
no quadriculado a seguir o resultado que você obteve.
¨
33
11. Monte um retângulo 3 × 20 com os 12 pentaminós e pinte no quadriculado a seguir o
resultado que você obteve.
12. Determine o número de dominós, triminós
e tetraminós distintos.
Existem apenas um dominó, dois triminós e cinco tetraNJOØTUFNPTUBNCÏNQFOUBNJOØTRVFKÈGPSBNWJTUPT
BOUFSJPSNFOUF
¨
Desafio!
Existem 35 hexaminós. Desenhe-os em uma folha de papel quadriculado e, em seguida,
agrupe-os de acordo com o seguinte critério: completando o menor retângulo possível em
cada hexaminó formaremos retângulos 2 × 4, 3 × 3, 3 × 4, 2 × 5, 1 × 6 e 2 × 3. Agrupe os hexaminós pelo menor retângulo que podemos formar com cada um deles.
Nessa atividade você pode dar um exemplo para os alunos.
2×4
3×3
3×4
2×5
34
1×6
2×3
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
A representação de vistas de uma figura
espacial no plano é uma habilidade que pode
ser desenvolvida desde as primeiras séries/
anos do Ensino Fundamental. Inicialmente, o
professor pode levar sólidos geométricos e outras figuras espaciais e pedir a seus alunos que
façam um esboço da figura de acordo com o
que estão enxergando na sua linha de visão.
O desenvolvimento da habilidade para a representação de figuras por meio de suas vistas
(lateral, frontal e superior) se dá a partir da
observação cuidadosa de detalhes como a incidência de luz e sombra. Não é esperado que
alunos de 5a série/6o ano consigam fazer representações de objetos mais detalhados com
precisão, porém, é desejável que se inicie um
trabalho para capacitá-los a representar vistas de objetos geométricos elementares, como
cubos, paralelepípedos, cilindros e pirâmides
simples (esse trabalho terá continuidade na
6a série/7o ano, explorando o uso de malhas
como ferramenta auxiliar ao desenho).
13. Desenhe, na tabela a seguir, as vistas frontal, lateral e
superior de cada um dos objetos sobre a mesa.
1)
1
3
4
Lateral
7
6
OPcaso de
se considerar
a pirâmide
DPNPEFCBTF
RVBESBOHVMBS
3)
4)
5)
6)
7)
14. Observe a imagem da casa a seguir. Desenhe as vistas da lateral direita, da lateral
esquerda, frontal, traseira e superior dessa
casa, supondo que não existam outras janelas além das visíveis.
© Conexão Editorial
5
Superior
2)
Superior
2
Lateral
© Conexão Editorial
Veremos a seguir uma atividade que trabalha a identificação de objetos a partir da representação das suas vistas.
Frontal
Frontal
35
1
superior
2
frontal
5
4
lateral esquerda
3
lateral direita
traseira
15. Escolha um objeto qualquer, desenhe as vistas frontal, laterais e superior dele e leve-o para a aula de Matemática para mostrá-lo a seus colegas e ao
professor, juntamente com seus desenhos.
3FTQPTUBQFTTPBM1SPGFTTPSTPMJDJUFBPTBMVOPTRVFBQSFTFOUFNËDMBTTFTFVTPCKFUPTFEFTFOIPTEBTWJTUBTQBSBRVFTF
porém, é desejável que, com o tempo, os alunos
estejam aptos a identificar um sólido por sua planificação (e vice-versa), sem precisar montá-lo ou
desmontá-lo fisicamente.
Com relação à avaliação, é necessário verificar se seus alunos sabem fazer planificações
de sólidos e identificar sólidos por suas planificações. Deve-se também verificar se os alunos conseguem estabelecer critérios a respeito
das condições para que uma planificação gere
um sólido ou não. Essa verificação poderá ser
feita por meio de avaliações individuais ou
por meio de propostas de trabalhos em grupo, em que os alunos tenham de construir sólidos com canudos, papel ou outro material, e
desenhar suas vistas e planificações.
QPTTBGB[FSVNBEJTDVTTÍP
Considerações sobre a avaliação
As atividades propostas nesta Situação de
Aprendizagem indicam ao professor a necessidade de se iniciar o estudo dos sólidos geométricos já na 5a série/6o ano. Assim como na
Situação de Aprendizagem 1, a proposta de
abordagem enfatiza mais os aspectos de descobertas pela manipulação das figuras geométricas do que pelo formalismo das definições.
O desenvolvimento da competência de leitura
e representação de imagens é um dos objetivos
centrais das atividades propostas para este volume e deve ser avaliado para que se identifique com
clareza a aprendizagem dos alunos. Em um primeiro momento, a representação de vistas e planificações de um sólido geométrico deve ser conduzida com a manipulação e a experimentação,
36
A atividade de construção dos poliedros com
canudos e linha também pode ser avaliada. Como
nem todos possuem o mesmo desenvolvimento
motor e facilidade para trabalhos manuais, é importante que o professor permita que os alunos
que não tenham construído os sólidos de maneira
correta ou adequada possam refazer a atividade.
Especificamente com relação aos temas geométricos explorados, espera-se que ao final das
atividades os alunos estejam aptos a:
f identificar elementos de um sólido geométrico (arestas, vértices, faces);
f representar um sólido por meio das suas
vistas e planificações;
f identificar a forma de um sólido pela sua
planificação;
f classificar sólidos de acordo com critérios
estabelecidos.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GEOMETRIA E FRAÇÕES COM O GEOPLANO OU
MALHAS QUADRICULADAS
Conteúdos e temas: classificação de figuras; elementos de figuras planas; propriedades elementares de figuras planas; introdução às ideias de perímetro e área (composição e decomposição); adição e subtração de frações (com o geoplano); simetria.
Competências e habilidades: comparar perímetros e áreas; resolver situação-problema a partir da
leitura atenta do enunciado; desenvolver raciocínio lógico-dedutivo em problemas geométricos.
Sugestão de estratégias: manipulação de material concreto; exploração da ideia de composição e decomposição de figuras.
Esta Situação de Aprendizagem trata da
classificação de figuras geométricas e introduz
a discussão sobre área e perímetro utilizando
como suporte o geoplano. Na sequência da atividade, utilizamos o geoplano ordenado como
recurso auxiliar para o estudo das frações (classificação, operação de adição e ordenação).
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Um geoplano consiste em uma malha de
pontos marcados em uma base qualquer, que
pode ser de madeira, isopor, cortiça ou de qualquer outro material que permita a fixação nos
pontos de pregos, percevejos ou alfinetes. Na
construção de um geoplano, é importante que
se tenha em vista que material será usado para
as marcações que serão feitas. O ideal é que os
pontos marcados e fixados no geoplano sejam
resistentes, porque normalmente as atividades
com esse material didático ficam mais interessantes quando usamos elásticos para fazer as
marcações de pontos, segmentos, polígonos etc.
Para a fixação de um elástico esticado, os pontos da malha do geoplano devem ser pregos ou
percevejos e a base, de madeira. Se quisermos
construir um geoplano com isopor e alfinetes
ou percevejos na malha de pontos, teremos de
usar linha ou barbante na marcação dos pontos, segmentos e polígonos (a linha não exerce
força sobre o ponto fixo como o elástico, permitindo que a fixação dos pontos na base seja
menos rígida). A imagem a seguir representa
um geoplano, que é o tamanho mínimo para a
realização de atividades com esse recurso. Geoplanos maiores permitem maior flexibilidade na
exploração de ideias e conceitos.
37
O geoplano é um recurso didático que permite
abordagem tanto de temas da Geometria como
da aritmética das frações, motivo pelo qual escolhemos essa ferramenta para apresentar algumas
possibilidades de exploração de temas da Matemática na Situação de Aprendizagem 3. Para
a exposição que segue, estamos admitindo um
geoplano feito em base de madeira e com pregos
nos pontos de cruzamento da malha. Utilizaremos
para a manipulação do geoplano conjuntos de
elásticos, de preferência de cores diferentes.
A proposta inicial de uso deve permitir que
os alunos aprendam a manipular o geoplano
e consigam compreender os comandos dados
pelo professor. Durante os comandos, o professor pode trabalhar a construção do vocabulário
geométrico dos alunos, bem como a problematização acerca da necessidade de comandos,
definições e termos claros para que todos possam compreender da mesma maneira qual é o
1. Desenhe na malha de pontos os algarismos
de 0 a 9.
problema proposto. Vejamos um exemplo de
uma primeira situação de uso do geoplano.
Na impossibilidade de construir ou adquirir geoplanos, pode-se utilizar malhas
quadriculadas para o desenvolvimento das
atividades a seguir. No Caderno do Aluno,
são propostas algumas atividades com a
utilização das malhas quadriculadas.
Para esta e outras atividades,
utilize uma malha de pontos, ou
um geoplano, que poderá ser
construído em classe, com o auxílio de seu professor. A utilização da malha ou do geoplano
será determinada por ele, mas, para as atividades a seguir, utilizaremos a malha de pontos.
Todas as linhas que serão desenhadas nessa
malha devem ligar ao menos dois pontos. Veja
o modelo:
%FWFNPT PCTFSWBS RVF BMHVOT Blgarismos podem ser
DPOTUSVÓEPTEFNBOFJSBTEJGFSFOUFT7FKBQPSFYFNQMP
RVFPBMHBSJTNPGPJDPOTUSVÓEPDPNPVTPEFBQFOBT
EPJTFMÈTUJDPTNBTQPEFSJBUFSTJEPGFJUPDPNTFUFOFTTF DBTP DBEB FMÈTUJDP MJHBSJB BQFOBT EPJT QPOUPT
"MHVOTBMVOPTQPEFSÍPUFSEJGJDVMEBEFQBSBJNBHJOBSVNB
forma de representar alguns algarismos e, nesse caso,
sugira que eles procurem em uma calculadora como o
algarismo aparece no visor.
38
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
2. Escreva na malha de pontos seu nome e
sobrenome. (Dica: se o tamanho da malha
não for suficiente, faça abreviações.)
DBEB 1PS NFJP EFTTB BUJWJEBEF QPEFTF FYQMPSBS B JEFJB
Resposta pessoal. Havendo dificuldade, os alunos podem veri-
EFTJNFUSJBTFOEPRVFBmHVSBSFnFUJEBFNDBEBVNEFMFT
mDBSOPTMJWSPTDPNPBTMFUSBTEFGPSNBNBJÞTDVMBTTÍPFTDSJUBT
EFWFSÈ TFS TFNQSF B NFTNB 1FOTBOEP P NFTNP QSPCMF-
EFTJNFUSJBBYJBMFEFTJNFUSJBEFSPUBÎÍP0DPNBOEPEP
enunciado exige que a figura construída tenha dois eixos
NB TPC P QPOUP EF WJTUB EF TJNFUSJB EF SPUBÎÍP FTUBNPT
3. Desenhe na malha: 5 quadriláteros diferentes (3 deles convexos e 2 não convexos), 3 triângulos diferentes (1 triângulo
isósceles, 1 triângulo retângulo isósceles e
1 triângulo escaleno).
6NBQPTTÓWFMTPMVÎÍP
FN CVTDB EF VNB mHVSB RVF TF NBOUFOIB JEÐOUJDB TF HJ
rarmos o geoplano em de volta, volta ou de volta.
/FTUFNPNFOUPEPDVSTPPTBMVOPTBJOEBOÍPFTUVEBSBN
formalmente ângulos, portanto, a ideia que deve ser usaEB RVBOEP RVFSFNPT OPT SFGFSJS B VN ÉOHVMP Ï B EF HJSP
DPSSFTQPOEFOUFËQBSUFEFVNBWPMUBUPEB"QSFTFOUBNPTB
TFHVJSEVBTTPMVÎÜFTQBSBPQSPCMFNB
4. Desenhe uma figura que não seja um quadrado e que atenda à seguinte condição:
a figura deve ter a mesma aparência, seja
qual for o lado da malha que estejamos utilizando para observá-la.
0T BMVOPT EFWFN FODPOUSBS TPMVÎÜFT EJGFSFOUFT QBSB FTTB
A atividade apresentada a seguir não consta
no Caderno do Aluno. Todavia, se o professor
julgar conveniente, pode discuti-la com os alunos, de modo que eles reconheçam que a diagonal de um quadrado possui medida maior do
que a medida de seus lados.
1
2
5
4
atividade. É importante que possam compartilhar suas exQFSJÐODJBT UFOUBOEP BKVEBS VOT BPT PVUSPT WFSJmDBOEP TF
B TPMVÎÍP FODPOUSBEB FTUÈ DPSSFUB PV TF EFWF TFS NPEJm-
3
39
f Meça com a régua as distâncias no geoplano
que estão representadas na figura por 1, 2, 3,
4 e 5. Em seguida, registre suas conclusões
sobre a comparação entre as medidas encontradas (existem ou não medidas iguais?).
f) trapézio de bases 2 u e 4 u.
&TTB BUJWJEBEF GBWPSFDF B DPOTUSVÎÍP EF WPDBCVMÈSJP "JOEB RVF OÍP IBKB VNB QSFPDVQBÎÍP OP FTUVEP DPN SJHPS
EBT QSPQSJFEBEFT EBT mHVSBT HFPNÏUSJDBT DPN CBTF OBT
DPOTUSVÎÜFT GFJUBT QPEFTF EJTDVUJS QPS FYFNQMP FJYP EF
TJNFUSJB EF BMHVNBT mHVSBT P RVBESBEP P USJÉOHVMP JTØT-
As medidas 1, 2, 3 e 4 são iguais, e a medida 5 é maior que as outras. Essa atividade é
importante porque, para que o trabalho com
perímetro de figuras no geoplano transcorra
bem, é necessário que os alunos percebam
que a diagonal de um quadrado tem medida maior que os lados do quadrado. Se, por
exemplo, estabelecermos como unidade de
medida do geoplano o lado do menor quadrado formado por quatro pregos, a distância entre dois pregos opostos pela diagonal
do quadrado será diferente da unidade de
medida do geoplano.
DFMFTFBQJQBQPTTVFNSFTQFDUJWBNFOUFFFJYPTEF
TJNFUSJB
BDMBTTJmDBÎÍPEPTUSJÉOHVMPTRVBOUPBPTTFVTMBEPT QBSBMFMJTNP F QFSQFOEJDVMBSJEBEF B DMBTTJmDBÎÍP EPT
RVBESJMÈUFSPTBJOEBRVFJOGPSNBMFTFNBQSFPDVQBÎÍPEF
FYQMPSBSBJEFJBEFJODMVTÍPOBTEFmOJÎÜFTEPTRVBESJMÈUFSPT
OPUÈWFJT
FUD
a
C
f
c
5. Desenhe as figuras indicadas
na malha a seguir, assumindo
como unidade de medida de comprimento 1 u:
e
d
0VUSPT EFTEPCSBNFOUPT RVF B BUJWJEBEF QFSNJUF QP-
a) quadrado de lado 2 u;
EFN EFDPSSFS EF QFSHVOUBT DPNP É possível construir no nosso geoplano um triângulo isósceles de
b) triângulo isósceles de base 4 u;
base 3? É possível construir no geoplano um triângulo
c) triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 2 u e 3 u;
equilátero de lado 2? E um losango que não tenha ângulos
1
de de volta?
4
1FMBNBOJQVMBÎÍPPTBMVOPTEFWFSÍPQFSDFCFSRVFUPEBT
as figuras solicitadas não podem ser construídas no nosso
d) paralelogramo com um par de lados
opostos medindo 2 u;
geoplano, mas que devem ser construídas em papel. Deve
TFS EBEB FTQFDJBM BUFOÎÍP Ë TFHVOEB QFSHVOUB QPSRVF
NVJUPT BMVOPT QPEFSÍP BDIBS RVF P USJÉOHVMP JOEJDBEP B
e) pipa com todos os quatro lados de
medida diferente de 2 u;
40
TFHVJSÏFRVJMÈUFSPRVBOEPOBWFSEBEFÏJTØTDFMFTDPN
VNMBEPNFEJOEPFPTMBEPTDPOHSVFOUFTNBJTEPRVF
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
O geoplano também pode ser usado para o
trabalho com áreas. No volume 1, os alunos foram apresentados à ideia de que “medir é comparar”. Na introdução ao estudo da medida
de área de superfícies, inicialmente, os alunos
fizeram experimentações de medida utilizando
um padrão arbitrário qualquer de medida e, na
sequência, foram apresentados ao metro quadrado, que corresponde à área de um quadrado
de 1 m por 1 m. No caso do estudo de área com
o uso do geoplano, convencionaremos que o
menor quadrado que podemos formar seja definido como de área “uma unidade quadrada”,
representada por 1 u2. A atividade a seguir explora algumas possibilidades do trabalho com
áreas no geoplano.
7. Desenhe um quadrado de lado 2 u e, depois, outro que tenha o triplo da medida
do lado do anterior, ou seja, que tenha
lado 6 u. Compare a área dos dois quadrados e registre suas conclusões no espaço a seguir.
0RVBESBEPEFMBEPVUFNÈSFBV¤FPEFMBEPVUFN
ÈSFBV¤
1SPQPOEPBPTBMVOPTRVFSFQJUBNFTTBBUJWJEBEFDPN
outras medidas do quadrado inicial e outros comanEPTQBSBPMBEPOPOPWPRVBESBEPiPEPCSPEPBOUFSJPSwiPRVÈESVQMPEPBOUFSJPSwiNFUBEFEPBOUFSJPSw FUD
QPEFTF QFEJS B FMFT RVF GPSNVMFN VNB
6. Desenhe na malha a seguir
figuras diferentes com área 4 u2.
IJQØUFTF TPCSF P RVF BDPOUFDF DPN B ÈSFB EF VN
&YJTUFN NVJUBT QPTTJCJMJEBEFT EJGFSFOUFT F
OÞNFSP 3FHJTUSBOEP F DPNQBSBOEP P QBESÍP EPT
Ï JNQPSUBOUF RVF B DMBTTF QPTTB DPNQBSUJMIBS F EJTDVUJS PT
SFTVMUBEPT PT BMVOPT WÍP QFSDFCFS RVF B ÈSFB TFSÈ
SFTVMUBEPT " TFHVJS BQSFTFOUBNPT RVBUSP TPMVÎÜFT QBSB P
NVMUJQMJDBEB QFMP RVBESBEP EP OÞNFSP "MHVOT QP-
QSPCMFNB /PUF RVF QBSB DPNQSFFOEFS FTTBT TPMVÎÜFT PT
EFSÍPUBNCÏNEFEV[JSFTTFSFTVMUBEPQPSFTUSBUÏHJBT
BMVOPT QSFDJTBSÍP EFEV[JS RVF B EJBHPOBM EJWJEF B ÈSFB EF
EFDPOUBHFNWFSJGJDBOEPRVFPOÞNFSPEFVOJEBEFT
VNRVBESBEPBPNFJPEFGPSNBNBJTHFSBMBTEJBHPOBJTEF
EB ÈSFB EF VN RVBESBEP QPEF TFS PCUJEP NVMUJQMJ-
RVBJTRVFSRVBESJMÈUFSPTOPUÈWFJTFYDFUPPUSBQÏ[JPEJWJEFN
DBOEPTFPUPUBMEFRVBESBEPTEJTQPTUPTOBCBTFFOB
TVBÈSFBBPNFJP
altura do quadrado.
quadrado se multiplicarmos seu lado por um certo
41
A ideia de proporcionalidade explorada nessa atividade será
a
muito importante quando os alunos forem estudar seme-
d
MIBOÎBEFmHVSBTOBTTÏSJFTBOPTTFHVJOUFT
C
e
8. Desenhe na malha a seguir as seguintes
figuras:
f
f
a) retângulo de área 2 u2;
c
b) quadrilátero de área 6 u2;
c) triângulo de área 6 u2;
d) paralelogramo com área 2 u2;
e) hexágono com área 4 u2;
f) um retângulo e um quadrado de áreas
iguais.
Além de investigações geométricas, o geoplano também pode ser usado para o estudo
das operações de adição e subtração com frações, desde que se estabeleça uma orientação
semelhante à de um jogo de batalha-naval
(ou a do plano cartesiano), como veremos
a seguir.
Se numerarmos as linhas e as colunas da malha de pontos, teremos um tabuleiro semelhante ao do jogo batalha-naval. Cada ponto desse tabuleiro pode ser localizado de
forma única por um par de informações: a localização horizontal e a localização vertical. Imagine agora que cada ponto da malha representa uma fração de numerador igual à localização horizontal do ponto (p) e denominador igual à localização vertical (q). Veja alguns exemplos:
q
8
7
D
6
5
4
3
B=
3
4
C=
5
=5
1
D=
7
6
A
C
1
42
1
3
B
2
0
A=
1
2
3
4
5
6
7
8 p
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
9. Marque na malha todos os
pontos que representam frações de denominador 5.
q
12. Na representação de frações em uma malha quadriculada, assinale verdadeiro (V)
ou falso (F).
Caso tenha dificuldade com o vocabulário,
consulte seu professor.
(V) Frações com denominadores iguais,
necessariamente, estão alinhadas horizontalmente.
(V) As frações impróprias estão localizadas à
direita da diagonal que passa pela origem.
p
10. Marque na malha todos os pontos que representam números naturais.
q
(V) Frações equivalentes, necessariamente,
estão alinhadas com a origem da malha
e entre si.
13. Represente na malha as frações equivalentes a 2 .
3
q
8
p
7
6
11. Marque na malha a fração 1 e todas as
2
frações equivalentes à ela.
5
4
3
q
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p
p
43
Vamos determinar um procedimento para fazer a adição de frações utilizando a
malha quadriculada. Por exemplo, para
fazer
1 2 os passos são:
+
2 3
10
9
8
7
6
5
f marcamos o conjunto de frações
equivalentes a 1 ;
2
4
3
2
f marcamos o conjunto de frações
equivalentes a 2 ;
3
f procuramos frações dos conjuntos
marcados que estejam alinhadas horizontalmente e, nessa mesma linha de
alinhamento, encontramos o resultado
da soma adicionando os numeradores
das frações.
1
p
0
1
4
5
6
7
8
9 10 11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
7
6
7
6
4
6
3
q
11
8
3
6
2
+ = q
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 p
14. Represente nas malhas as seguintes operações (e seus resulta1
3
3
3
dos):
+
e
+ .
3
2
5 10
+ = 44
q
11
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Outra tarefa simples que pode ser feita
com o uso desse geoplano é a ordenação de
um subconjunto de frações.
Para ordenar duas frações distintas representadas por (m; n) e (r; s), inicialmente amarramos
um barbante na origem do geoplano, que deve
estar alinhado com o eixo p. Rotacionando o
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
barbante esticado em sentido anti-horário,
o primeiro par ordenado intersectado representa a maior das frações. Vejamos uma justificativa para o caso indicado na figura a seguir, em
que queremos ordenar as frações m e r :
n s
q
s’
O geoplano ordenado também permite
o uso de narrativas para a construção de
importantes conceitos matemáticos, como
veremos a seguir com a exploração da ideia
de frações equivalentes, enumerabilidade de
conjuntos numéricos e densidade. É evidente
que a viabilidade de aplicação das ideias
apresentadas na sequência deve ser avaliada com critério, levando-se em consideração o interesse e o estágio de conhecimento
dos alunos.
s
n
barbante
m
r
P
No geoplano, dois pregos que representam
frações de mesmo numerador sempre estão
alinhados verticalmente. Nesse caso, a maior
das frações representadas será a de menor denominador, ou seja, será aquela representada
pelo ponto mais próximo do eixo p.
r
representada no
Observando a fração
s
r
geoplano, notamos que existe uma fração ,
s
com s’ > s, tal que (0; 0), (m; n) e (r; s’) sejam
colineares. Uma vez que pontos colineares a
(0; 0) representam frações equivalentes, comparar (m; n) com (r; s) é equivalente a comparar
(r; s’) com (r; s). Como (r; s) está mais próximo
do eixo p do que (r; s’), segue que
r m
> .
s n
A explicação anterior não deve ser utilizada
com formalismo para os alunos, porque perderia
totalmente seu sentido em uma 5a série/6o ano;
porém, sua ideia intuitiva pode ser explorada por
meio de exemplos e da investigação experimental.
Imaginemos uma situação em que o geoplano ordenado representa uma floresta,
sendo cada prego uma árvore muito fina. Se
estivéssemos localizados na origem do geoplano e olhando na direção dessa floresta, quais
árvores seriam visíveis? (Essa ideia pode ser
transformada em uma atividade.)
3
não
6
seria visível por ter à sua frente as árvores cor2 1
respondentes a e . Nessa linha de olhar, a
4 2
única árvore visível seria aquela corresponden1
te à fração . Explorando essa ideia para ou2
tras frações, pode-se dizer que um ponto (p; q)
do geoplano é visível da origem se, e somente
se, p e q são números primos entre si, o que implica dizer que as árvores visíveis são aquelas
p
representadas por frações irredutíveis .
q
Uma árvore correspondente à fração
Se considerarmos uma fração redutível
4
qualquer, como , encontramos a fração
8
irredutível correspondente ligando os pontos
(4; 8) e (0; 0), e verificamos que (1; 2) representa
a árvore visível que encobre (4; 8).
45
q
8
7
6
5
Frações irredutíveis
("árvores visíveis")
4
3
cionais) só se justifica no contexto de ampliação
de repertório de ideias matemáticas, podendo
perfeitamente ser postergado para as séries/anos
seguintes, quando serão estudados os números
racionais como um conjunto numérico.
2
Considerações sobre a avaliação
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p
Sabemos que o conjunto dos racionais é
enumerável, o que significa dizer que podemos
estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos racionais e dos números naturais. Uma vez que a representação no geoplano ordenado das árvores visíveis com base na
origem indica todas as frações irredutíveis que
compõem o conjunto dos racionais, podemos
utilizar o geoplano com essas frações marcadas
para colocá-las “em fila”, isto é, em correspondência com os números naturais (bijeção entre
Q e IN), como se vê na figura a seguir:
q
8
7
6
5
Árvores visíveis a partir da origem
Nesta Situação de Aprendizagem, a proposta é
que se trabalhe leitura e compreensão de enunciados, vocabulário geométrico, raciocínio lógico-dedutivo na investigação de problemas de construção
de figuras no geoplano e uma introdução à ideia de
área (por composição e decomposição) e perímetro.
A identificação de simetria nas figuras geométricas
também pode e deve ser explorada por meio do
geoplano ou de malhas quadriculadas.
Como vimos, além de muito útil para o
trabalho com Geometria, o geoplano também
permite que se explorem as operações de adição
e subtração de frações, bem como que se apresentem as frações equivalentes, frações próprias
e frações impróprias em um contexto de resolução de problemas.
4
Caminho de ordenação de todas
1
as frações irredutíveis a partir de
1
3
2
1
0
p
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 1 1 3 4 3 2 1 1 5 6 5 4
Q : ...
1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3
IN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
Lembre-se de que o uso do geoplano ordenado para a discussão de enumerabilidade das
frações (mais especificamente dos números ra-
46
Com relação à avaliação, o professor poderá utilizar o próprio geoplano, pedindo a seus
alunos que construam figuras, investiguem propriedades e resolvam problemas no dispositivo.
A competência de leitura de enunciado também
pode e deve ser verificada, sendo necessário, para
isso, que o professor faça um trabalho cuidadoso
de orientação de estratégias para a formação de
um bom leitor, tais como grifar a palavra-chave,
sublinhar a pergunta, separar os dados, identificar
as condições-limite do problema etc.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
PERÍMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MALHAS GEOMÉTRICAS
Conteúdo e temas: perímetro e área (por decomposição e composição); ampliação e redução
de figuras com o auxílio de malhas; simetria.
Competências e habilidades: comparação de perímetros e áreas; raciocínio lógico-dedutivo em
problemas geométricos; leitura, análise e interpretação de imagens.
Sugestão de estratégias: manipulação de material concreto (malhas); exploração da ideia de
composição e decomposição de figuras.
As ideias de perímetro e área são apresentadas nesta Situação de Aprendizagem por meio
da composição e da decomposição de figuras
na malha quadriculada. Também com o auxílio
de malhas, serão exploradas as ideias de ampliação e redução, e de simetria de reflexão e
translações no plano.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
O estudo da Geometria tem, entre outros
objetivos, o de possibilitar uma melhor leitura
do espaço em duas e três dimensões, o que certamente tem como consequência a ampliação
de repertório para a apreciação estética e para
a compreensão crítica da produção humana, da natureza e, de forma geral, do mundo
que nos cerca. A Situação de Aprendizagem
4 tem por objetivo apresentar uma série de
estratégias que, de alguma forma, favorecem
o desenvolvimento de repertório para a apreciação estética da arte e da natureza. Além da
dimensão estética, também será dada ênfase
à aplicação de conhecimentos geométricos na
leitura crítica de situações do cotidiano (comércio, embalagens, estatística etc.).
Iniciamos propondo um trabalho de construção de mosaicos em malhas, que podem ser
quadriculadas, formadas por triângulos ou
por losangos. A aprendizagem de conhecimentos geométricos com o uso de malhas inicia-se na 5a série/6o ano e tem continuidade na
6a série/7o ano. Para a 5a série/6o ano, o
que interessa é a possibilidade de exploração das malhas e a descoberta de relações e propriedades de forma experimental. As malhas possibilitam também um
ambiente adequado para se trabalhar a ampliação de vocabulário geométrico dos alunos.
Por exemplo, é comum que alunos da 5a série/
6o ano nomeiem como “quadrado” todo e
qualquer quadrilátero e que utilizem a palavra
“reta” para designar retas, semirretas e segmentos de reta. Sabe-se que aulas expositivas
sobre classificações geométricas nem sempre
são bem-sucedidas com os alunos menores,
porém, havendo uma atividade motivadora em
que a questão da classificação e da ampliação
47
de vocabulário apareça de forma indireta ao
longo de toda a atividade, a aprendizagem
e a incorporação de vocabulário se dão de
forma natural.
A malha quadriculada (ou papel quadriculado) constitui material muito útil para o
trabalho com Geometria. Com ela, podemos
fazer a ampliação e a redução de figuras,
construir mosaicos e trabalhar ideias relacionadas à Geometria métrica com o cálculo
de áreas e perímetros a partir de unidades
preestabelecidas. Tão rica é a variedade de
possibilidades permitida pela malha que se
torna indispensável uma reflexão crítica sobre quais são os objetivos da atividade que
será desenvolvida com os alunos com o uso
da malha. Por exemplo, uma atividade de
ampliação e redução de figuras com o uso
da malha pode ter como objetivo permitir ao
aluno aprender a se orientar na malha pela
contagem de quadradinhos. Pode também ter
objetivos subsequentes relacionados à compreensão do uso que normalmente a mídia
faz de recursos de ampliação e redução de
imagens para chamar mais ou menos atenção
para determinada informação. As atividades
propostas a seguir têm em vista o trabalho
com esses dois objetivos aqui mencionados.
Uma malha quadriculada pode ter apenas
uma de suas dimensões alterada ou as duas
(comprimento e largura). A passagem de uma
figura de uma malha para outra que teve suas
dimensões alteradas representará a ampliação
ou a redução da figura se ambas as dimensões
da malha forem alteradas pelo mesmo fator.
48
Caso apenas uma seja alterada, ou se as duas
forem alteradas, mas não pelo mesmo fator,
a transposição da figura de uma malha para
a outra implicará algum tipo de deformação.
Vejamos os problemas a seguir, que possibilitam a compreensão dessas ideias.
1. Desenhe a figura indicada
abaixo (uma camisa) na malha
quadriculada a seguir, cujos
quadradinhos têm lados com o dobro da medida dos quadradinhos da malha original.
2. Agora, desenhe a mesma figura da atividade 1 nas malhas a seguir (a da esquerda teve
apenas a largura dobrada; a da direita, apenas o comprimento). Em seguida, compare
as figuras desenhadas com a original e descreva o tipo de distorção que você verificou.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
2VBOEPPDPNQSJNFOUPFBMBSHVSBEBNBMIBGPSBNEPCSBEPT B DBNJTB BVNFOUPV EF UBNBOIP DPN BT QSPQPSÎÜFT
NBOUJEBT/PTDBTPTFNRVFEPCSBNPTBQFOBTBMBSHVSBPV
BQFOBTPDPNQSJNFOUPBDBNJTBiFTUJDBwWFSUJDBMNFOUFPV
IPSJ[POUBMNFOUF
3. Compare as três transformações da figura que você fez nas atividades anteriores e
responda:
a) Dois segmentos de reta paralelos em uma
delas se mantêm paralelos nas outras?
" NBMIB UFN RVF TFS BNQMJBEB IPSJ[POUBMNFOUF " TFHVJS
BQSFTFOUBNPTVNBTPMVÎÍP
b) Dois segmentos de reta perpendiculares em uma delas se mantêm perpendiculares nas outras?
c) Na camisa original, para que a manga
encoste na lateral da camisa, é necessário
1
um giro de de volta de circunferência.
8
Ocorre o mesmo com as camisas
“transformadas”?
1BSBMFMJTNPFQFSQFOEJDVMBSJEBEFFOUSFTFHNFOUPTTÍPNBOtidos em todas as transformaÎÜFT QPSÏN P ÉOHVMP EF
EFWPMUBTØÏNBOUJEPOPDBTPFNRVFBNCBTBTEJNFOTÜFT
EBNBMIBGPSBNEPCSBEBTOPDBTPEBBUJWJEBEF
/PDBTP
FNRVFBQFOBTBEJNFOTÍPIPSJ[POUBMGPJEPCSBEBPÉOHVMP
5. Os três gráficos a seguir mostram a informação de que uma empresa vendeu
R$ 100 000,00 no ano 2006 e R$ 110 000,00
no ano de 2007. Qual das três representações gráficas você acha que a diretoria
da empresa vai utilizar para convencer os
acionistas de que a empresa está em franco
crescimento? Justifique sua resposta.
FOUSFBNBOHBFBMBUFSBMEBDBNJTBBVNFOUPVBNBOHBTF
BGBTUPVEBMBUFSBMEBDBNJTB
FOPDBTPFNRVFBQFOBTBEJ-
b) (em R$)
a) (em R$)
NFOTÍPWFSUJDBMGPJEPCSBEBPÉOHVMPEJNJOVJVBNBOHBTF
BQSPYJNPVEBMBUFSBMEBDBNJTB
4. Proponha uma malha quadriculada, em uma
folha avulsa, que faça a seguinte transformação
no homem indicado na figura a seguir: ele deve
parecer mais gordo e mais baixo, sua perna direita deve parecer mais afastada da esquerda e
seus braços mais afastados do seu corpo.
110 000
110 000
100 000
100 000
2006
2007
2006 2007
c) (em R$)
110 000
100 000
2006
2007
49
0DSFTDJNFOUPEBFNQSFTBFOUSFFGPJEF
JOGPSNBÎÍP RVF QPEF TFS PCUJEB QPS NFJP EF RVBMRVFS
um dos três gráficos. Contudo, como para a empresa inteSFTTBJNQSFTTJPOBSTFVTBDJPOJTUBTTPCSFFTTFDSFTDJNFOUP
o gráfico indicado no item b deve ser o escolhido, porque
Como existem seis triângulos equiláteros idênticos em torno
USBCBMIB DPN BNQMJBÎÍP WFSUJDBM EB NBMIB BDFOUVBOEP
do ponto, o ângulo interno de um triângulo tem de giro
de uma volta completa.
a aparência do crescimento das vendas. Atividades desse
UJQPUÐNTFVWBMPSOÍPTØQFMPUSBCBMIPSFBMJ[BEPDPNB
DPNQSFFOTÍP EF UFNBT EB .BUFNÈUJDB NBT UBNCÏN
/ÍP IÈ SB[ÜFT GPSNBJT QBSB TF SFUBSEBS B BQSFTFOUBÎÍP EP
QFMP BMDBODF OB EJNFOTÍP EF DPOTUSVÎÍP EB DJEBEBOJB
USBOTGFSJEPSFBVOJEBEFEFNFEJEBHSBVQBSBPTBMVOPTBOÍP
6NCPNMFJUPSEBJOGPSNBÎÍPEFWFTFNQSFFTUBSBUFOUP
TFSQFMPFYDFTTPEFUFNBTEF(FPNFUSJBRVFKÈGB[FNQBSUFEP
ËTUÏDOJDBTRVFNVJUBTWF[FTTÍPVUJMJ[BEBTQBSBEFTUBDBS
QSPHSBNBEBaTÏSJFoBOP/FTUBQSPQPTUBEFQMBOFKBNFOUP
um resultado positivo ou atenuar um resultado negativo.
EFJYBNPTBEJTDVTTÍPEPVTPEPUSBOTGFSJEPSFEBBQSFTFOUBÎÍP
EB VOJEBEF EF NFEJEB HSBV QBSB B a TÏSJFo BOP 1PS FTTF
As malhas podem ser usadas também para
a construção de mosaicos. Nesse caso, o trabalho pode ser feito em associação com o uso dos
instrumentos geométricos, e podem ser discutidas e aprofundadas ideias relacionadas à simetria de reflexão (axial) e de rotação. Exemplificaremos algumas possibilidades de abordagem
com o uso da malha de triângulos equiláteros.
6. Marque um ponto na malha abaixo e, em seguida, pinte todos os triângulos ao redor desse
ponto. Depois disso, responda: qual é a fração
de uma volta completa que corresponde ao
ângulo interno do triângulo equilátero?
NPUJWPFTUBNPTTFNQSFUSBCBMIBOEPDPNÉOHVMPBTTPDJBEP
BVNHJSPEFVNBGSBÎÍPEBWPMUBDPNQMFUB$BTPPQSPGFTTPS
QSFmSBBOUFDJQBSBEJTDVTTÍPTPCSFÉOHVMPTEBaTÏSJFo ano
QBSBBaTÏSJFoBOPOÍPIÈQSPCMFNB
7. Adote o lado do triângulo da malha a seguir como unidade de comprimento (1 u) e a área do triângulo
da malha como unidade de área (1 u2). Determine o perímetro e a área das figuras a seguir.
1
3
2
4
5
0TQFSÓNFUSPTEBTmHVSBTFTÍPSFTQFDUJWBNFOUFV
VVVV"TÈSFBTEBTmHVSBTFTÍPSFTQFDUJWBNFOUFV¤V¤V¤V¤FV¤&TTBBUJWJEBEFQFSNJUFFYQMPSBSBJEFJB
de que podemos ter figuras de mesmo perímetro com áreas
50
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
EJGFSFOUFTFEFNFTNBÈSFBDPNQFSÓNFUSPTEJGFSFOUFT0CTFSWBÎÍPEBEBBJNQPSUÉODJBEPUSBCBMIPDPNNBMIBTOPFTUVEP
EFQFSÓNFUSPFÈSFBEFmHVSBTÏSFDPNFOEÈWFMRVFFMFTFKBSFUPNBEPOBaTÏSJFoBOP
© Conexão Editorial
8. Observe que o mosaico a seguir foi construído a partir de uma “peça básica” pintada na malha.
" QSPQPTUB EFTTB BUJWJEBEF WBMPSJ[B B DSJBUJWJEBEF EPT
BMVOPT CFN DPNP GBWPSFDF P EFTFOWPMWJNFOUP EF TFV
Peça básica
TFOTPFTUÏUJDPQBSBBBQSFDJBÎÍPBSUÓTUJDB.VJUPTEFTEPCSBNFOUPTQPEFNTFSDPOEV[JEPTDPNCBTFOBDPOTUSV-
Construa uma “peça básica” e um mosaico
a partir dela na malha a seguir.
ÎÍPEFNPTBJDPTQPSNFJPEFVNBiQFÎBCÈTJDBwEFOUSF
3FTQPTUBQFTTPBM0QSPGFTTPSEFWFEJTQPOJCJMJ[BSBNBMIBOFTTB
MBOEÐT.BVSJUT$PSOFMJT&TDIFS
RVFVUJMJ[BWB
BUJWJEBEFFEFWFSÈFTDMBSFDFSRVBMÏBJEFJBEBiQFÎBCÈTJDBwRVF
FTTBUÏDOJDBFNNVJUPTEPTTFVTUSBCBMIPT/BJOEJDBÎÍP
ÏVNBQFÎBNPEFMPRVFQPEFTFSVUJMJ[BEBQBSBBDPOTUSVÎÍPEP
CJCMJPHSÈGJDBTVHFSJNPTFOEFSFÎPTFMFUSÙOJDPTDPNJNB-
NPTBJDPWBMFEJ[FSRVFOBTCPSEBTEBNBMIBËTWF[FTQSFDJTBNPT
HFOTEBPCSBEF&TDIFSRVFQPEFTFSBQSFDJBEBFJOWFT-
DPNQMFUBSPQSFFODIJNFOUPTFNPVTPEBQFÎBCÈTJDBJOUFJSB
UJHBEBEPQPOUPEFWJTUBEFTVBDPOTUSVÎÍP$POTJTUFFN
$PNFTTBBUJWJEBEFUBNCÏNQPEFTFFYQMPSBSBJEFJBEFTJNFUSJB
VNFYFSDÓDJPNVJUPJOUFSFTTBOUFPCTFSWBSVNBHSBWVSBEF
1PSFYFNQMPOPNPTBJDPBQSFTFOUBEPIÈTJNFUSJBEFSFnFYÍP
&TDIFS F UFOUBS EFTDPCSJS RVBM B iQFÎB CÈTJDBw VUJMJ[BEB
FMFTBBQSFDJBÎÍPBSUÓTUJDBEBPCSBEPBSUJTUBHSÈGJDPIP-
OFMB&TDIFSUBNCÏNUSBCBMIBWBNVJUPCFNDPNBGVTÍP
9. Construa um mosaico com a “peça básica”
indicada a seguir:
de imagens e com o uso em um mesmo mosaico, de eleNFOUPTRVFTFPQÜFNPVRVFTFDPNQMFNFOUBNEJBF
© Conexão Editorial
noite, pássaros e peixes, escuro e claro, felicidade e trisUF[BFUD
"MÏNEPWBMPSFTUÏUJDPFBSUÓTUJDPEBTBUJWJEBEFT
FOWPMWFOEP B DPOTUSVÎÍP EF NPTBJDPT PT BMVOPT QPEFSÍP EFTFOWPMWFS B IBCJMJEBEF EF JEFOUJGJDBÎÍP F DSJBÎÍP
EFQBESÜFTFSFHVMBSJEBEFT
51
A construção de mosaicos também pode ser
feita em malhas de pontos ou malhas quadriculadas. Nas malhas, também podemos desenhar
figuras no plano que simulem a percepção tridimensional, como nos exemplos a seguir.
10. Observe um desenho feito
em malha de pontos que, com o
uso adequado de cores, explora
a representação de uma imagem tridimensional. Faça um desenho na malha a seguir que
explore o campo tridimensional.
3FTQPTUBQFTTPBM6NBQPTTÓWFMTPMVÎÍPTFSJB
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) foi um importante artista gráfico holandês cujas
obras exploravam a construção de maravilhosas imagens por meio de técnicas que
você estudou indiretamente nesta Situação de Aprendizagem. As imagens criadas por
Escher exploram a ideia do infinito, dos opostos, da circularidade, além de paradoxos visuais.
52
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Faça uma pesquisa em livros e/ou na internet sobre as obras de Escher, escolha uma imagem criada por ele e tente identificar qual “peça básica” foi utilizada na sua composição.
"MHVNBTTVHFTUÜFTFNQPSUVHVÐTQBSBFTTBQFTRVJTBTÍP
'BDVMEBEFEF$JÐODJBTEB6OJWFSTJEBEFEF-JTCPB%JTQPOÓWFMFNIUUQXXXFEVDGDVMQUJDNJDNJDN"DFTTPFN
OPW
&3/45#SVOPO espelho mágico de M. C. Escher5BTDIFOEP#SBTJM
&4$)&3.$Gravuras e desenhos5BTDIFOEP#SBTJM
Considerações sobre a avaliação
Esta Situação de Aprendizagem apresenta possibilidades de uso das malhas quadriculadas, de pontos e de triângulos para
o trabalho com área, perímetro, introdução
ao estudo de ângulos, simetria, ampliação e
redução de figuras. Além dos temas geométricos tratados diretamente nas atividades,
também foi dada atenção ao desenvolvimento da competência de leitura, análise e
interpretação de imagens.
É importante destacar que as possibilidades de uso das malhas como recurso didático
não se esgotam nos exemplos que foram apresentados, cabendo ao professor identificar novos caminhos possíveis dentro do seu planejamento de curso. As malhas também podem e
devem ser utilizadas na continuidade dos estudos de Geometria na 6a série/7o ano.
Com relação à avaliação, o professor pode
solicitar aos alunos que resolvam, individualmente ou em grupo, problemas geométricos
selecionados nas malhas. Além disso, o professor pode propor que construam mosaicos em
duas situações distintas: com liberdade total de
criação e com regras predefinidas pelo professor.
No primeiro caso, o professor valorizará o uso
do conhecimento da aula mobilizado pela criatividade artística dos alunos e, no segundo, verificará a competência dos alunos na resolução de
problemas. Exemplos de regras que você pode
estabelecer para a construção dos mosaicos são:
os mosaicos devem ser feitos apenas com quadriláteros; os mosaicos devem ser feitos a partir de uma peça básica que envolva losangos e
triângulos equiláteros; os mosaicos devem ter
simetria de giro de 1 de volta etc.
4
53
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
TABELANDO A INFORMAÇÃO
Conteúdos e temas: tabelas simples e de dupla entrada; medidas; proporcionalidade e porcentagem.
Competências e habilidades: organização de informações por meio de critérios de classificação;
exploração de diferentes linguagens para apresentar informações, valorizando a leitura atenta
e seletiva dos dados disponíveis em uma tabela; análise da informação para compreender um
problema e propor uma solução.
Sugestão de estratégias: propor a apresentação de dados em tabelas de formas predefinidas, com
o objetivo de valorizar o pensamento lógico durante a busca de critérios de classificação e durante a seleção de atributos daqueles dados; analisar tabelas com dados de relevância social
de forma que favoreçam a interdisciplinaridade e a abordagem dos temas transversais; propor
perguntas que possibilitem explorar a ideia de porcentagem a partir dos dados de uma tabela
ou o enunciado de um problema.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 5
Nesta Situação de Aprendizagem, o aluno
praticará a habilidade de organizar dados em
uma tabela; em seguida, trabalhará com a leitura da informação. Os dados aqui apresentados
foram escolhidos por apresentarem relevância
social da informação analisada ou alguma vinculação ao contexto de vida do aluno. Sugere-se, a partir das tarefas propostas, o início da
discussão sobre porcentagem, que será explorada
com outros matizes nas séries/anos subsequentes.
Ao lado de números e operações, espaço e
forma, grandezas e medidas, o Tratamento
da Informação também merece destaque
nos Parâmetros Curriculares de Matemática
do Ensino Fundamental. A relevância desse
tema está diretamente associada às demandas sociais pela coleta, representação e análise
de dados, o que justifica sua incorporação na
54
presente proposta, uma vez que nos interessa
a formação de cidadãos alfabetizados diante
das mais diversas formas de informação e linguagem disponíveis.
Além disso, o tema facilita a abordagem de
conteúdos em contextos de interdisciplinaridade (a Matemática com outras áreas do conhecimento), intradisciplinaridade (relação entre as
partes da Matemática) e dos temas transversais
(ética, orientação sexual, meio ambiente, pluralidade cultural, trabalho e consumo).
Uma habilidade importante que deve ser
desenvolvida em um programa que pretenda
estruturar um planejamento vertical da informação no currículo é a de organizar a informação
disponível. Se a proposta inicial for baseada em
uma coleta de dados relacionados à própria realidade do aluno, o desenvolvimento dessa habilidade será tão significativo quanto significativas
forem as perguntas formuladas pelo professor.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Vejamos alguns problemas que podem ser utilizados como mote para o desenvolvimento de
habilidades relacionadas à organização de dados
em tabelas e leitura de informações.
Depois de ter visto um exemplo, que deverá ser explicado
QFMPQSPGFTTPSFEFSFBMJ[BSBTQSJNFJSBTUFOUBUJWBTEFTPMVDJPOBSPQSPCMFNBFTQFSBNPTRVFPBMVOPSFTPMWBDPNGBDJMJEBEFRVFTUÜFTTFNFMIBOUFT
1PTTÓWFJTSFTQPTUBTQBSBBQSJNFJSBUBCFMBFYFNQMPF
F
1. Faça uma lista com os nomes de seus irmãos e de seus
primos. Em seguida, use as tabelas abaixo para informar dados sobre o
número de pessoas que você listou. Coloque um título nas tabelas e, na parte sombreada, um título para a informação apresentada. (Observação: não há necessidade
de usar as três linhas da tabela)
Título da tabela:
QBSBTFHVOEBUBCFMBFYFNQMPF
&YFNQMP.FVTJSNÍPTFNFVTQSJNPT
Número de irmãos
Número de primos
&YFNQMP.FVTJSNÍPTFJSNÍTNFVTQSJNPTFQSJNBT
Irmãos e primos
Irmãs e primas
&YFNQMP.FVTJSNÍPTFNFVTQSJNPTNBJTWFMIPT
Irmãos e primos mais
velhos que eu
Irmãos e primos da
minha idade ou mais
novos que eu
&YFNQMP.FVTJSNÍPTFNFVTQSJNPTQPSTFYP
Título da tabela:
Descrição
Irmãos
Primos
Meninos
Meninas
&YFNQMP.FVTJSNÍPTFNFVTQSJNPTQPSJEBEFFTFYP
2. Troque seu caderno com um colega. Cada
um deverá escrever nas linhas a seguir o
máximo possível de informações sobre os
dados tabelados pelo outro. Alguns exemplos de informações que podem ser obtidas
são: número de irmãos do colega, número
de primos homens, número de primas etc.
0PCKFUJWPQSJODJQBMEBTBUJWJEBEFTFÏFTUBCFMFDFSDPOUBHFOTUFOEPQPSCBTFVNBGPSNBFTQFDÓmDBEFPSHBOJ[BÎÍP
dos dados disponíveis.
Descrição
Irmãos e
primos mais
velhos que eu
Irmãos e primos
da minha idade ou
mais novos que eu
Meninos
Meninas
Incentive os alunos a elaborar mais de uma
tabela, o que os forçará a pensar em novos
atributos para organizar a informação. Outra
tarefa interessante é comparar tabelas: formule
perguntas para favorecer a compreensão de
55
que, dependendo do tipo de tabela, perdemos
ou ganhamos informações. A seguir, sugerimos
algumas questões adequadas a esse propósito:
b) Quantas portas e janelas há em sua casa?
/FTTFDBTPPTDSJUÏSJPTEFDMBTTJmDBÎÍPQBSBBNPOUBHFNEBT
UBCFMBT QPEFN TFS DPOUBHFN TJNQMFT EBT EVBT FTUSVUVSBT
DMBTTJmDBÎÍPQFMBGPSNBEBTFTUSVUVSBTRVBOUJEBEFEFQPSUBT
f Se alguém quiser descobrir quantos irmãos meninos eu tenho, precisará de
qual(is) tabela(s)?
Da tabela do exemplo 4.
JOUFSOBT EPT RVBSUPT QPS FYFNQMP
F FYUFSOBT EB DP[JOIB
f Qual(is) tabela(s) permite(m) ao leitor
da informação saber quantos irmãos eu
tenho no total?
As tabelas dos exemplos 1 e 4.
/FTTFDBTPPTDSJUÏSJPTEFDMBTTJmDBÎÍPQBSBBNPOUBHFNEBT
QBSBPRVJOUBMQPSFYFNQMP
c) Qual é o time de futebol dos membros diretos da sua família (pai, mãe e irmãos)?
UBCFMBTQPEFNTFSDSV[BSBJOGPSNBÎÍPEPTUJNFTDPNPTGBNJMJBSFTJOEJWJEVBMNFOUFBHSVQBSBQFOBTQPSUJNFTJOEJDBSPOÞNFSPEFmMIPTRVFUPSDFNQFMPNFTNPUJNFEPQBJFPOÞNFSP
EFmMIPTRVFUPSDFNQFMPNFTNPUJNFEBNÍFFUD$PNBMHV-
f Qual tabela informa a soma dos dados
das colunas da tabela do exemplo 5?
A tabela do exemplo 3.
NBTEFTTBTUBCFMBTÏQPTTÓWFMEJTDVUJSDPNPBMVOPRVFBTPNB
EPTEBEPTOVNÏSJDPTJOEJDBEPTOFNTFNQSFDPSSFTQPOEFBP
OÞNFSPUPUBMEFGBNJMJBSFT1PSFYFNQMPTFPBMVOPUPSDFQBSBP
4ÍP1BVMPUFNVNJSNÍPQBMNFJSFOTFVNBJSNÍDPSJOUJBOBF
Se julgar conveniente, proponha outras opções de perguntas para a coleta de dados, como
estas (seja qual for a tarefa escolhida, esteja
sempre atento para não propor situações que
permitam algum tipo de desconforto, segregação, discriminação ou constrangimento para o
aluno, ao trabalhar com os dados solicitados):
3. Monte tabelas para representar as seguintes informações:
BNCPTPTQBJTTÍPDPSJOUJBOPTTVBGBNÓMJBÏDPNQPTUBJODMVJOEPPBMVOP
QPSDJODPQFTTPBTQPSÏNBTPNBEBTJOGPSNBÎÜFTOVNÏSJDBTEBUBCFMBBTFHVJSOÍPBQPOUBQBSBFTTFUPUBM
.FNCSPTEBNJOIB
família direta que
torcem pelo mesmo
time do meu pai
TFNJODMVJSNFVQBJ
.FNCSPTEBNJOIB
família direta que
torcem pelo mesmo
UJNFEBNJOIBNÍF
TFNJODMVJSNJOIBNÍF
&TTB UBCFMB JOGPSNB DPSSFUBNFOUF B TJUVBÎÍP EP QSPCMFNB QPSÏN OÍP DPSSFTQPOEF BP UPUBM EF NFN-
a) Qual o número de lápis, borrachas e canetas sobre sua mesa?
/FTTFDBTPPTDSJUÏSJPTEFDMBTTJmDBÎÍPQBSBBNPOUBHFNEBT
UBCFMBTQPEFNTFSDPOUBHFNTJNQMFTEPTUSÐTUJQPTEFPCKFUP
DPOUBHFNEPTPCKFUPTRVFFTDSFWFNFEBRVFMFTRVFOÍPFTDSFWFNTFBMHVNBMVOPUJWFSVNMÈQJTDPNCPSSBDIBFNVNB
EBTQPOUBTQPEFQFOTBSOFTTBJOUFSTFÎÍPPRVFTFSÈCFNJOUFSFTTBOUF
DMBTTJmDBÎÍPEPTPCKFUPTQPSQBESÍPEFDPSFTFUD
56
CSPTEBGBNÓMJB
A habilidade de montagem, leitura e compreensão das informações organizadas em tabelas pode ser aprimorada com a investigação
de tabelas já montadas. Para isso, é interessante utilizar tabelas publicadas em jornais,
revistas, bulas de remédio, embalagens de
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
alimentos etc. Uma atividade bem elaborada
pressupõe a seleção cuidadosa de tabelas e formação criteriosa de perguntas desafiadoras.
Veja alguns exemplos:
Recorte e cole no espaço a
seguir tabelas de jornais e
revistas com dados numéricos. Abaixo das tabelas recortadas e coladas, escreva algumas linhas explicando
as informações que podem ser obtidas
com base nelas.
a) A quantidade de água salgada do planeta
é muito maior que a de água doce. Se toda
a quantidade de água doce e de água salgada da Terra fosse mensurada por dois
baldes gigantes, quantos baldes com medida equivalente ao de água doce seriam
necessários para esvaziar o de água salgada? (Sua resposta deve ser aproximada.)
Ÿ  $PN CBTF OB SFTQPTUB EBEB B FTTB
QFSHVOUB TFOTJCJMJ[F P BMVOP QBSB P GBUP EF RVF B RVBOtidade de água salgada da Terra corresponde a cerca de
WF[FTBRVBOUJEBEFEFÈHVBEPDF.FODJPOFPTBMUPTDVTUPTEPTQSPDFTTPTEFEFTTBMJOJ[BÎÍPEBÈHVBPRVFEFWFTFS-
Resposta pessoal.
vir como um dos argumentos para estimular o uso racional
da água doce no cotidiano.
4. Faça uma leitura atenta dos
dados da tabela e responda às
perguntas a seguir.
Distribuição de água no mundo
Quantidade
Tipos de água no mundo
(em trilhões
de toneladas)
b) Numere as linhas da tabela que apresen-
tam valores numéricos (de cima para baixo, de 1 a 9). A soma dos dados presentes
nas linhas 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 corresponde ao
valor indicado em qual linha da tabela?
-JOIB4VHJSBBPTBMVOPTRVFPCUFOIBNBSFTQPTUBTFNGB[FS
DPOUBTBOBMJTBOEPPTJHOJmDBEPEFDBEBJOGPSNBÎÍPFGBÎBN
Água salgada (mares e
oceanos)
1 235 000
Água doce, dividida em:
41 000
f Congelada nas calotas
polares e geleiras
30 750
f Subsolo (de 3 750 m a
750 m)
5 652
f Subsolo (acima de 750 m)
4 424
os cálculos para conferir.
c) As águas do planeta que estão a exata-
mente 750 m de profundidade do subsolo
aparecem listadas em que linha da tabela?
-JOIB&YQMJRVFBPTBMVOPTRVFBPEJ[FSiFOUSFYFZwOÍP
JODMVÓNPTYFZOPJOUFSWBMPRVBOEPEJ[FNPTiEFYBUÏZwJODMVÓNPTYFZOPJOUFSWBMPFBPEJ[FSiBDJNBEFYwPViBCBJYP
f Lagos e lagoas
123
f Rios
12
f Umidade do solo
25
d) Como seriam indicados os dados numé-
f Atmosfera, na forma
de vapor-d’água
14
ricos na tabela se, em vez de “trilhões de
toneladas”, fossem “bilhões de toneladas”? E se fossem “quatrilhões de quilos”?
Fonte dos dados: UNIÁGUA (adaptado).
EFYwOÍPFTUBNPTJODMVJOEPYOPJOUFSWBMP
57
&TTBRVFTUÍPTFDPMPDBDPNPCPBPQPSUVOJEBEFEFUSBOTWFSTBMJEBEF EPT DPOUFÞEPT VNB WF[ RVF FTUBNPT FYQMPSBOEP QPS NFJP EB BOÈMJTF EF EBEPT 5SBUBNFOUP EB *OGPSNBÎÍP
QSPCMFNBTSFMBDJPOBEPTBPTFJYPTEFNFEJEBT
FEFOÞNFSPT
/BQSJNFJSBMJOIBEBUBCFMBFTUÈJOEJDBEPUSJMIÍP
EFUPOFMBEBTEFÈHVB$PNPUSJMIÍPDPSSFTQPOEFB
volvendo dados reais. A tabela que apresentamos
anteriormente fornece elementos interessantes
para o trabalho com porcentagem. Apresentamos uma possibilidade de abordagem partindo
do conteúdo previamente trabalhado com a turma sobre porcentagem associada à relação entre
parte e todo indicada por uma fração.
CJMIÜFTTFBJOEJDBÎÍPEBUBCFMBGPTTFFNiCJMIÜFTEFUPOFMBEBTw OB QSJNFJSB MJOIB FTUBSJB NBSDBEP 1PSUBOUPPTWBMPSFTEFUPEBTBTMJOIBTBQBSFDFSJBNNVMUJQMJDBEPTQPS
1PSPVUSPMBEPTFBJOEJDBÎÍPOBUBCFMBGPTTFFNiRVBUSJMIÜFT
5. Com base nos dados da tabela apresentada
na atividade anterior sobre a distribuição da
água no mundo, faça os cálculos necessários
para responder às seguintes perguntas.
EFRVJMPTwOÍPIBWFSJBNPEJmDBÎÍPBMHVNBOPTEBEPTBQSF-
UFSÓBNPTRVFEJWJEJSPTOÞNFSPTQPSFQBSBDPOWFSUFS
a) Qual é a porcentagem de água doce na
Terra?
UPOFMBEBT FN RVJMPT UFSÓBNPT RVF NVMUJQMJDBS QPS BT
4FPBMVOPDPNQSFFOEFRVFVNBGSBÎÍPEFEFOPNJOBEPS
PQFSBÎÜFTTFBOVMBN
DPSSFTQPOEFRVBTFEJSFUBNFOUFBVNBQPSDFOUBHFNTFVPC-
TFOUBEPT QPSRVF QBSB DPOWFSUFS USJMIÜFT FN RVBUSJMIÜFT
KFUJWPÏPEFUSBOTGPSNBSBGSBÎÍP
A ideia de porcentagem também está
diretamente relacionada ao Tratamento da
Informação e deve começar a ser explorada na
5a série/6o ano do Ensino Fundamental. Até
o momento, esperamos que o aluno tenha
habilidade de calcular:
f quanto é “tanto” por cento de um número?
f um número corresponde “a quanto” por
cento do outro?
58
em uma fra-
ÎÍPFRVJWBMFOUFEFEFOPNJOBEPS
Ÿ

Ÿ
PVTFKB
b) A água doce de aproveitamento menos
custoso é a de rios, lagos e lagoas. Do total
de água doce da Terra, qual a porcentagem que pode ser obtida dessa forma?
6UJMJ[BOEPPNFTNPSBDJPDÓOJPFYQMPSBEPOPJUFNBOUFSJPS
Ÿ
Explore a ideia de porcentagem por meio de
diagramas, figuras, frações equivalentes e, nesse contexto, o trabalho com dados adaptados e
preparados deve constituir a primeira etapa da
aprendizagem. Na sequência, é desejável que o
aluno aprenda a fazer esses cálculos mentalmente
ou com a conta, ainda que de forma aproximada,
ou com o uso da calculadora, em situações en-

Ÿ
PVTFKB
c) Do total de água da Terra, qual a porcentagem de água doce correspondente
a rios, lagos e lagoas?
6UJMJ[BOEPPNFTNPSBDJPDÓOJPFYQMPSBEPOPJUFNBOUFSJPS
Ÿ
Ÿ

PVTFKB
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
As porcentagens calculadas devem servir
como elementos de análise para o desenvolvimento do senso crítico acerca de um uso mais
racional e sustentável da água. Nesse sentido,
inúmeros dados sobre a água podem ser explorados pelo professor de Matemática em
parceria com o professor de Ciências.
6. Leia atentamente a tabela abaixo e, em seguida, responda às perguntas.
Quantidade de água per capita
em alguns países
Países
Árabia Saudita
Bahamas
Canadá
Cingapura
Congo
Emirados Árabes Unidos
Faixa de Gaza – território
palestino
Gabão
Guiana
Guiana Francesa
Ilhas Salomão
Islândia
Kuwait
Líbia
Maldivas
Malta
Nova Zelândia
Papua-Nova Guiné
Qatar
Suriname
Água per
capita (m3)
129
94
94 353
179
275 679
58
a) Compare porcentualmente os valores
do país com menor quantidade de água
per capita com o que tem maior quantidade.
Ÿ
u≅
b) Sabendo que a população da Arábia
Saudita é de 24,6 milhões de habitantes
e a de Cingapura, de 4,3 milhões, calcule o total de água que cada um desses
países tem disponível em seu território.
Compare os resultados obtidos e redija
uma conclusão sobre essa comparação.
"SÈCJB4BVEJUBuNJMIÜFTEFN$JOHBQVSB
uNJMIÜFTEFN0TEPJTDÈMDVMPTGPSBNGFJUPT
FNNJMIÜFTQBSBRVFTFKBNBJTGÈDJMDPNQBSÈMPT"QFTBSEF
Cingapura ter maior quantidade de água per capita que a
"SÈCJB4BVEJUBPUPUBMEFÈHVBEJTQPOÓWFMOFTTFQBÓTÏCFN
NFOPSRVFPEB"SÈCJB4BVEJUB
7. Observe a tabela a seguir e responda às perguntas.
66
133 333
316 689
812 121
100 000
609 319
10
118
113
149
86 554
166 563
103
292 566
Fonte dos dados: UNIÁGUA (adaptado).
Distribuição dos recursos hídricos,
da superfície e da população no Brasil
(em % do total do país)
Região
Recursos
Superfície População
hídricos
Norte
68,50
45,30
6,98
Centro-Oeste
15,70
18,80
6,41
Sul
6,50
6,80
15,05
Sudeste
6,00
10,80
42,65
Nordeste
3,30
18,30
28,91
Total
100,00
100,00
100,00
Fonte dos dados: UNIAGUA (adaptado).
59
a) Sabendo que a população do Brasil é de,
aproximadamente, 190 milhões de habitantes, calcule a população da região Sudeste, utilizando esse dado em conjunto
com um dado apresentado na tabela.
c) Compare o crescimento porcentual entre 1940 e 1990 dos números indicados
nas duas colunas da tabela.
"QSPYJNBEBNFOUFNJMIÜFTEFIBCJUBOUFTPRVFFRVJWBMF
UBOUFBOPDSFTDFV
0OÞNFSPEFIBCJUBOUFTDSFTDFVBQSPYJNBEBNFOUFOP
período comparado, enquanto o uso de água, em mIBCJ-
BEFNJMIÜFT
b) Calcule a área do território brasileiro,
sabendo que a área da região Sudeste é
de, aproximadamente, 924 mil km2.
"QSPYJNBEBNFOUFNJMIÜFTEFLN¤
c) Por que a porcentagem de recursos hídricos da região Norte é muito maior
que a das demais regiões?
Aproveite para promover a interdisciplinaridade com GeogramBDPNFTTFJUFN"SFHJÍP/PSUFEP#SBTJMDPODFOUSBHSBOEFT
SJPTFTFVTBnVFOUFTDPNPPSJP"NB[POBTFPSJP/FHSP
8. A tabela a seguir indica a evolução do uso
de água no mundo:
Evolução do uso da água no mundo
Ano
Habitantes
1940
1990
2,3 . 109
5,3 . 109
Uso da água
m3 / hab. / ano
400
800
Até aqui, o cálculo de porcentagem esteve focado na relação entre parte e todo, para
resolver problemas do tipo “um número corresponde a quanto por cento do outro?”. Para
que o aluno seja capaz de calcular “quanto é
tanto por cento de um número”, apresentamos
a atividade a seguir.
9. O Brasil produz 241 614 toneladas de lixo por dia, das
quais 76% são depositadas a
céu aberto em lixões; 13%, em aterros controlados; 10%, em usinas; e 1% é incinerado. Do total de lixo produzido por dia no
Brasil, 53% correspondem a restos de comida. Pergunta-se:
a) Quantas toneladas de lixo são depositadas por dia a céu aberto no Brasil?
/BaTÏSJFo ano, o tipo de cálculo solicitado nessa atividaEFOPSNBMNFOUFÏGFJUPQPSEFDPNQPTJÎÍP"TTJNTFOEPP
Fonte dos dados: UNIÁGUA (adaptado).
BMVOPGBSJBBTFHVJOUFDPOUBTFUPOFMBEBTDPSSFTQPO-
a) Escreva por extenso o número de habitantes do mundo em 1940 e em 1990.
EFN B FOUÍP DPSSFTQPOEFSÈ B UPOFMBEBT
CJMIÜFTEFIBCJUBOUFTPVIBCJUBOUFT
UBEPEBDPOUBuJTUPÏUPOFMBEBTRVF
CJMIÜFTEFIBCJUBOUFTPVIBCJUBOUFT
QPEFN TFS BQSPYJNBEBT QBSB UPOFMBEBT /BT TÏSJFT
$PNPRVFSFNPTBSFTQPTUBEPQSPCMFNBTFSÈPSFTVM-
BOPTTFHVJOUFTaoFao
PBMVOPEFWFDBMDVMBSQPSDFO-
60
b) Determine o total de m3 de água usado
em 1990 no mundo.
UBHFNVTBOEPOÞNFSPTDPNWÓSHVMBPVTFKBPCUFNPT
CJMIÜFT.USJMIÜFTEFN©
aTÏSJFoBOPFOUFOEFNPTBJOEBTFSQSFDJQJUBEBFTTBBCPS-
EFNVMUJQMJDBOEPPOÞNFSPQPSNBTFNVNB
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
EBHFNÏDMBSPRVFOBEBJNQFEFRVFPQSPGFTTPSGBÎBFTTF
UJQPEFDÈMDVMPTFKVMHBSTVBUVSNBBQUBBDPNQSFFOEÐMP
b) Quantas toneladas de lixo produzidas
por dia no Brasil não correspondem a
restos de comida?
&TTFQSPCMFNBUSBCBMIBDPNBJEFJBEFDPNQMFNFOUBSJEBEFSFMBDJPOBEBËQPSDFOUBHFN0FOVODJBEPGPSOFDFB
QPSDFOUBHFNEFSFTUPTEFDPNJEBOPUPUBMEFMJYP
RVBOEPPRVFOPTJOUFSFTTBÏBQPSDFOUBHFNEFMJYPEBquilo que nãoDPSSFTQPOEFBPTSFTUPTEFDPNJEBPVTFKB
veniente de seleção de atributos para organizar
informações em uma tabela predefinida. Esse
tipo de atividade pode ser desenvolvido em classe na forma de exercícios e cobrado em avaliações individuais.
Na sequência, proponha a coleta e o tratamento da informação em tabelas de forma
livre para verificar a capacidade de reprodução daquilo que foi praticado nas tabelas de
formato definido.
o
'B[FOEPPTDÈMDVMPTQPSEFDPNQPTJÎÍPUFNPT TF UPOFMBEBT DPSSFTQPOEFN B FOUÍP
DPSSFTQPOEFSÈBUPOFMBEBTFDPSSFTQPOEFSÍPB.UPOFMBEBTPVTFKBBQSPYJNBEBNFOUFUPOFMBEBT
c) Quantas toneladas de lixo são processadas por ano em aterros controlados no
Brasil?
EF UPOFMBEBT DPSSFTQPOEFN B UP-
Obter informações e responder a perguntas sobre dados apresentados nessa forma de
classificação (tabela) também são competências exigidas e devem ser avaliadas mediante
exercícios propostos a partir da análise dessas
tabelas. Na medida do possível, explore um trabalho transdisciplinar com os eixos de números
e de medidas e trabalhe, paralelamente, o cálculo com porcentagem.
OFMBEBT QPS EJB DÈMDVMP GFJUP QPS EFDPNQPTJÎÍP DPNP
OPT JUFOT BOUFSJPSFT
&N EJBT EF VN BOP UFSFNPT
.UPOFMBEBTJTUPÏBQSPYJNBEBNFOUF
toneladas.
Considerações sobre a avaliação
Proponha uma série de exercícios em que o
aluno seja convidado a buscar uma forma con-
Além de provas individuais sobre o assunto,
proponha trabalhos nos quais a turma tenha de
pesquisar dados, organizar a informação e analisá-la com o objetivo de responder a perguntas. Esses trabalhos podem ser feitos em grupo,
porém, é importante estabelecer etapas intermediárias para avaliar o andamento da tarefa e sugerir correções de rumos ou ajustes nas análises.
61
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
A LINGUAGEM DOS GRÁFICOS
Conteúdos e temas: gráficos de colunas, linhas, setores e outros; porcentagem; medidas.
Competências e habilidades: ler, interpretar e analisar a informação transmitida por meio de um
gráfico; selecionar informação relevante, transmitida por meio de gráficos, para a resolução de
problemas; avaliar de forma crítica a informação transmitida por um gráfico, do ponto de vista
de suas limitações e alcances.
Sugestão de estratégias: analisar alguns gráficos selecionados por intermédio de perguntas bem formuladas que favoreçam o desenvolvimento da competência leitora; propor situações nas quais o
aluno precise de informações obtidas em um gráfico para resolver determinado problema.
Roteiro para aplicação da
Situação de Aprendizagem 6
Além da organização dos dados em forma
de tabelas, como foi investigado na Situação
de Aprendizagem anterior, podemos apresentar informações por meio de gráficos. Esta
Situação de Aprendizagem oferece estratégias ao desenvolvimento da competência leitora de gráficos.
A leitura da informação apresentada na forma de gráfico envolve habilidades que devem
ser trabalhadas pela análise de diversos tipos de
gráficos. Algumas das habilidades a serem aprimoradas ao longo desse processo são:
62
título do gráfico, nos eixos (quando o gráfico for de colunas ou linhas), em legendas
etc., e o bom leitor de um gráfico deve estar
habilitado a localizá-la e compreendê-la.
III. Identificação das categorias utilizadas
para cruzar informações: muitos gráficos apresentam informações agrupadas
por atributos, como sexo, idade, nível de
renda, nível de escolaridade etc. O leitor
de um gráfico deve ser capaz de identificar esse(s) atributo(s) para analisar com
critério a informação apresentada.
I. Identificação da(s) informação(ões)
apresentada(s): por meio de uma leitura
atenta do título do gráfico e dos títulos
associados às informações presentes.
IV. Compreensão da linguagem pictórica
utilizada no gráfico: desenhos, cores
e ilustrações são muitas vezes usados
como elementos constituintes da informação transmitida, e o leitor competente deve ser capaz de identificar e compreender esses elementos.
II. Identificação de escalas e/ou unidades de
medida: essa informação pode ser dada no
V. Avaliação crítica do tipo de gráfico utilizado, da escolha da escala adotada,
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
da consistência matemática acerca da
informação transmitida e fazer extrapolações a partir das informações disponíveis: essa habilidade envolve uma leitura
mais refinada da informação gráfica e
deverá ser desenvolvida ao longo de todo
o Ensino Fundamental.
A leitura de inúmeros gráficos diferentes permitirá ao aluno, gradativamente,
compreender a forma como a informação é
transmitida através dessa linguagem. A escolha dos gráficos mais adequados para esse
trabalho deve ser pautada por um, ou mais,
dos seguintes critérios:
f aspecto lúdico ou curioso da informação
transmitida;
f relevância social da informação transmitida;
f possibilidades didáticas para o aprimoramento das cinco habilidades anteriormente descritas.
A seguir, analisaremos algumas possíveis abordagens da leitura de gráficos,
sinalizando sempre a habilidade que pretendemos desenvolver.
Gráficos de colunas (ou barras)
Usualmente, os gráficos de colunas (ou
barras) representam a frequência absoluta dos
dados. Analisaremos, a seguir, um gráfico cuja
relevância social da informação transmitida
pode ser aproveitada pelo professor para a discussão de temas transversais ao currículo.
1. Observe atentamente o gráfico
a seguir e responda às questões:
Brasileiros que já foram ao dentista (em milhões)
70
60
50
40
30
20
10
0
Nunca Consultou
Consultou
0 a 4 anos
5 a 19 anos
10,606
3,016
8,084
42,219
20 a 39 anos 40 a 49 anos 50 a 64 anos
1,683
59,218
0,54
24,837
0,608
24,61
65 anos ou
mais
0,635
13,897
Fonte: IBGE, PNAD, 2008. Disponível em: <http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/
monografias/GEBIS%20-%20RJ/panorama.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2013.
63
a) Qual é a principal informação transmitida por esse gráfico?
WFSUJDBMÏNBSDBEPEFFNNJMIÜFTPRVFQFSNJUFJEFO-
"MFJUVSBEPUÓUVMPEPHSÈmDPFBJEFOUJmDBÎÍPEBTCBSSBTB[VMF
etária referida que consultaram um dentista BUÏPBOPEF
NBSSPN
QFSNJUFNBDPODMVTÍPEFRVFFMFJOGPSNBTPCSFPTCSB-
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF7
UJmDBSPWBMPSBQSPYJNBEPEFNJMIÜFTEFQFTTPBTEBGBJYB
TJMFJSPTRVFKÈGPSBNFTPCSFBRVFMFTRVFOVODBGPSBNBPEFOUJTUB
b) Qual é a informação indicada na linha
horizontal? E na vertical?
e) Em que faixa de idade o número de pessoas que nunca consultaram o dentista
é maior que o número de pessoas que já
consultaram o dentista?
&YQMPSBOEP B JOGPSNBÎÍP EP FJYP IPSJ[POUBM JEFOUJmDBTF
/BGBJYBEFBBOPTEFJEBEF1FSHVOUFQBSBPTBMVOPTRVBJT
BDBUFHPSJBVUJMJ[BEBOPBHSVQBNFOUPEBTQFTTPBTRVFÏB
TÍP TVBT IJQØUFTFT TPCSF FTTB JOGPSNBÎÍP ² QPTTÓWFM RVF B
GBJYBFUÈSJBBBOPTBBOPTBBOPTFUD/PFJYP
NBJPSJB SFTQPOEB RVF OFTTB GBJYB EF JEBEF B DSJBOÎB BJOEB
WFSUJDBMBJOGPSNBÎÍPEJ[SFTQFJUPBPOÞNFSPEFCSBTJMFJSPT
OÍPUFNiEPSEFEFOUFwPRVFQPEFTFSPNPUFQBSBBEJT-
FNNJMIÜFT²JNQPSUBOUFFYQMPSBSFTTBJOGPSNBÎÍPBQBSUJS
DVTTÍPTPCSFDPOTVMUBTQSFWFOUJWBTBPEFOUJTUB
da unidade informada no título do gráfico, de tal forma que
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF7
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF*
PBMVOPDPNQSFFOEBQPSFYFNQMPRVFNBJTEFNJMIÜFT
EFCSBTJMFJSPTFOÍPCSBTJMFJSPT
OBGBJYBEFBBOPT
DPOTVMUBSBNPEFOUJTUBBUÏPBOPEF
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT*F**
f) Qual é a sua hipótese para o fato de a
maior barra marrom estar na coluna
“20 a 39 anos”?
Adultos nessa faixa de idade possivelmente estiveram mais
c) Por que a informação é apresentada
por meio de barras duplas (nas cores
azul e marrom)?
TVKFJUPTBPTQSPCMFNBTEFOUÈSJPTQPSOÍPUFSFNGFJUPDPOTVM-
$PNPTFEFTFKBJOGPSNBSPOÞNFSPEFCSBTJMFJSPTRVFDPO-
RVFGBWPSFDFNQSPCMFNBTEFOUÈSJPT
TVMUBSBNFRVFOÍPDPOTVMUBSBNPEFOUJTUBGPSBNSFTFSWBEBT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF7
UBTQSFWFOUJWBTBOUFSJPSNFOUFQPSQSÈUJDBTEFIJHJFOFCVDBM
inadequadas ou ainda pelo consumo excessivo de alimentos
EVBTCBSSBTQBSBSFUSBUBSFTTBJOGPSNBÎÍPBB[VMQBSBiOVODB
DPOTVMUPVwFBNBSSPNQBSBiDPOTVMUPVw
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF*
d) Identifique sua idade nas categorias etárias do gráfico e responda quantos brasileiros nessa mesma faixa de idade (aproximadamente) consultaram o dentista
até o ano de 2008.
64
g) Analisando o gráfico atentamente, é possível dizer quantos eram, em 2008, aproximadamente, os brasileiros na faixa de 0 a 4
anos de idade? Como é possível fazer essa
estimativa e qual é o resultado obtido?
Admitindo-se que a pesquisa tenha sido feita com todos os
CSBTJMFJSPTBTPNBEPTCSBTJMFJSPTRVFDPOTVMUBSBNPEFOUJTUB
DPNPTRVFOÍPDPOTVMUBSBNQPSGBJYBFUÈSJBEBSÈPUPUBMEF
&TTBSFTQPTUBQFTTPBMEFQFOEFEBJEBEFEPBMVOP1FOTBOEP
CSBTJMFJSPT OFTTB GBJYB EF JEBEF /P DBTP EB GBJYB TPMJDJUBEB
FNVNBMVOPEFBOPTBSFTQPTUBTFSJBDFSDBEFNJMIÜFT
FSBNDFSDBEFĉNJMIÜFTEFCSBTJMFJSPTBTPNBEPTWBMPSFT
EFCSBTJMFJSPT²JNQPSUBOUFEFTUBDBSRVFPBMVOPEFWFSÈTFS
DPSSFTQPOEFOUFTËTEVBTCBSSBT
JOTUSVNFOUBMJ[BEPQBSBDPNQSFFOEFSRVFPJOUFSWBMPOPFJYP
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF7
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Pictogramas, outra forma de representar
a informação
"JNBHFNJOGPSNBBEJTUSJCVJÎÍPEFDSJBOÎBTEFBBOPT
FOWPMWJEBTFNUSBCBMIPJOGBOUJMOP#SBTJMQPSSFHJÜFTEPQBÓT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF*
Chamaremos de pictograma um gráfico ou
desenho figurativo utilizado para transmitir determinada informação. Jornais e revistas utilizam muito esse tipo de linguagem e, portanto,
devem fazer parte da alfabetização gráfica do estudante, para reconhecer a informação apresentada dessa forma. Na sequência, veremos alguns
exemplos de atividades com pictogramas.
b) Como as cores foram utilizadas na composição da imagem?
As tonalidades de verde mais claras foram usadas para as reHJÜFTDPNNFOPSOÞNFSPEFDSJBOÎBTFOWPMWJEBTFNUSBCBlho infantil. Conforme o tom de verde escurece, passa a indiDBSSFHJÜFTDPNOÞNFSPNBJPSEFDSJBOÎBTFOWPMWJEBTFNUSBCBMIPJOGBOUJM5PEBWJBDPOWÏNDIBNBSBBUFOÎÍPEPTBMVOPT
QBSBPGBUPEFRVFBQFTBSEFBSFHJÍP/PSUFUFSPNFOPSOÞ-
2. Observe atentamente a imagem a seguir e
responda às perguntas.
NFSPEFDSJBOÎBTUSBCBMIBEPSBTFNUFSNPTQFSDFOUVBJTFTTF
OÞNFSPÏSFMBUJWBNFOUFBMUPQPJTBQPQVMBÎÍPJOGBOUJMEFTTB
SFHJÍPÏTJHOJmDBUJWBNFOUFNFOPSRVFBEBTPVUSBTSFHJÜFT
Trabalho infantil no Brasil
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF*7
Norte
378 994
© Conexão Editorial
(crianças de 10 a 17 anos)
Nordeste
1 019 855
c) Qual é a porcentagem de crianças envolvidas em trabalho infantil na região
Sudeste em relação ao total de crianças
que trabalham no Brasil?
1BSBTBCFSRVBOUPDPSSFTQPOEFQPSDFOUVBMNFOUFEP
UPUBMEFQPEFNPTUSBCBMIBSDPNBGSBÎÍP
Centro-Oeste
282 470
=
Ÿ

Ÿ
A &TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF7
Sudeste
1 107 471
Total de crianças envolvidas
em trabalho infantil no
Brasil: 3 406 514
Sul
617 724
d) Em relação ao mapa, qual é a porcentagem de crianças envolvidas em trabalho
infantil nas demais regiões do Brasil?
3FHJÍP/PSUF
Fonte: IBGE, Censo 2010.
Disponível em: <http://censo2010.ibge.gov.br/trabalho
infantil/outros/graficos.html>. Acesso em: 20 jan. 2014.
a) Qual é a principal informação transmitida por essa imagem?
≅ ≅ ≅ ≅ 3FHJÍP$FOUSP0FTUF
≅≅ ≅≅ 3FHJÍP4VM
3FHJÍP/PSEFTUF
65
e) Se você adicionar as porcentagens de
cada região, qual valor encontraria?
comparar as regiões, deveríamos calcular as porcentagens le-
32,5% + 11,1 + 29,9% + 8,3% + 18,1% = 99,9% ≅ 100%. O valor
região. Isso será feito na atividade seguinte.
vando em conta o número total de crianças e jovens de cada
encontrado não foi exatamente 100% por causa das apro-
Alguns gráficos de barras podem ser de leitura mais complexa, o que exigirá do aluno outros
recursos além da leitura simples e direta dos dados. Veremos a seguir um gráfico de barras interessante para explorar a ideia de porcentagem.
ximações feitas. Discuta com os alunos que esse resultado
de 100% era esperado, considerando que as porcentagens
foram calculadas considerando o “todo” da população de
trabalhadores de 5 a 17 anos de todo o Brasil, ou seja, o denominador da fração foi igual.
Também é importante discutir que, apesar de a região Norte
3. Observe atentamente o gráfico:
ter um índice relativamente “baixo”, isso não significa que
ele tenha poucos trabalhadores infantis. Para afirmar isso e
Concentração do trabalho infantil de 2004 a 2011 (5 a 17 anos)
18,0%
16,0%
14,0%
12,0%
13,8%
14,8%
14,0%
13,1%
12,2%
11,8%
11,1%
10,0%
8,0%
15,9%
14,9%
7,9%
10,5%
8,6%
14,4%
13,6%
12,4%
11,5%
9,9%
13,4%
13,6%
11,7%
11,3%
10,8%
8,4%
9,8%
7,9%
9,8%
11,6%
10,1%
10,2%
7,5%
Brasil
10,8%
9,7%
8,6%
10,6%
Norte
Nordeste
7,4%
6,0%
Sudeste
Sul
4,0%
Centro-Oeste
6,6%
2,0%
0,0%
2004
Brasil
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
2005
2006
2007
2004
11,8%
13,8%
14,8%
7,9%
14,9%
11,1%
2005
12,2%
13,1%
15,9%
8,6%
14,0%
10,5%
2006
11,5%
12,4%
14,4%
8,4%
13,6%
9,9%
2009
2007
10,8%
11,3%
13,4%
7,9%
13,6%
9,8%
2011
2009
9,8%
10,1%
11,7%
7,5%
11,6%
10,2%
2011
8,6%
10,8%
9,7%
6,6%
10,6%
7,4%
Fonte: IBGE, PNAD, 2004 e 2011. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/trabalhoerendimento/pnad2007/
graficos_pdf.pdf>; <http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/imprensa/ppts/00000010135709212012572220530659.pdf>.
Acesso em: 20 dez. 2013.
66
a) Qual é a principal informação transmitida pelo gráfico?
ta de informação relevante às diferentes análises permitidas
A interpretação correta apontará o fato de que, entre os jo-
É importante destacar que a primeira coluna de cada ano
vens brasileiros de 5 até 17 anos, foram selecionados apenas
indica os dados relativos ao Brasil todo; na segunda, os da-
aqueles que trabalham, ou seja, está relacionado ao traba-
dos referem-se à região Norte, na terceira, à região Nor-
lho infantil durante os anos de 2004, 2005, 2006, 2007, 2009 e
deste; e assim por diante, conforme mostra a legenda. No
2011. A região do Brasil onde vivem esses jovens também tra-
ano de 2004, o total de crianças e jovens de 5 a 17 anos
pelo gráfico (Norte, Nordeste, Sudeste, Sul e Centro-Oeste).
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
EFUPEPP#SBTJMRVFUSBCBMIBWBNÏEF²JNQPSUBOUF
RVFUSBCBMIBN$POWÏNSFJUFSBSQBSBPTBMVOPTRVFBTQPS-
EFTUBDBSQPSFYFNQMPRVFFNEPUPUBMEFKP-
DFOUBHFOTEFDBEBSFHJÍPTÍPDBMDVMBEBTMFWBOEPFNDPO-
WFOTEFBBOPTEBSFHJÍP/PSUFUSBCBMIBWBN0VTFKB
UBPUPUBMEFKPWFOTEBSFTQFDUJWBSFHJÍPOPSFGFSJEPBOPF
BTQPSDFOUBHFOTEFDBEBSFHJÍPTÍPDBMDVMBEBTMFWBOEPTF
OÍPPUPUBMEFKPWFOTEP#SBTJM1PSFTTFNPUJWPFN
FN DPOUB P UPUBM EF KPWFOT EF DBEB FTUBEP RVF BT DPN-
TFQVEÏTTFNPTFNQJMIBSUPEBTBTDPMVOBTFNBQFOBTVNB
QÜFNFOÍPPUPUBMEP#SBTJM
FTTBDPMVOB/°0UPUBMJ[BSJBOPFJYPWFSUJDBMBTPNB
É provável que o aluno tenha dificuldade para compre-
EBTQPSDFOUBHFOTSFGFSFOUFTËTCBSSBTEFDBEBSFHJÍPOFTTF
FOEFSDPSSFUBNFOUFBTJOGPSNBÎÜFTUSBOTNJUJEBTQPSFTTF
BOPB[VMDMBSPWFSNFMIPWFSEFDMBSPSPYPWFSEFFTDVSP
HSÈGJDPQPSÏNWBMFBQFOBUSBCBMIBSDPNFMFQFMBSJRVF[B
FMBSBOKB
ÏJHVBMBFOÍP
EFEBEPTRVFGPSOFDFQBSBBOÈMJTF"EJGJDVMEBEFOÍPEFWF
TFSUPNBEBDPNPVNFNQFDJMIPËBUJWJEBEFFBPSJFOUBÎÍPHSBEBUJWBÏOFDFTTÈSJBQBSBRVFPHSÈGJDPTFKBFYQMPSBdo de maneira satisfatória.
b) Quantas e quais são as categorias utilizadas para o agrupamento da informação transmitida pelo gráfico?
e) Analise os índices de trabalho infantil
referentes ao Nordeste. Para os anos
indicados no gráfico, eles sempre decresceram? Qual é a diferença entre o
índice referente a 2004 e o índice referente a 2011?
0TÓOEJDFTQBSBBSFHJÍP/PSEFTUFOÍPGPSBNTFNQSFEFDSFT-
0T EBEPT EPT KPWFOT EF B BOPT RVF USBCBMIBN FTUÍP
DFOUFT)PVWFBVNFOUPEFQBSBBVNFOUPEF
BHSVQBEPTQPSSFHJÜFTEP#SBTJMFTÍPBQSFTFOUBEPTBPMPOHP
QPOUPTQFSDFOUVBJT
%FQPJTEFIPVWFEJNJOVJÎÍPBOP
EPTBOPTEFF"MÏNEJTTPÏ
BBOP&NPÓOEJDFEJNJOVJVEFQPOUPTQFSDFOUVBJT
fornecida para cada um desses anos a porcentagem de todo
FNSFMBÎÍPB
P#SBTJMEBEPTEBQSJNFJSBDPMVOBEFDBEBBOP
c) Qual é o significado da tabela apresentada abaixo do gráfico?
f) Analise os dados de 2007. Quais são as
regiões cujos índices foram superiores
ao índice do Brasil?
"UBCFMBJOEJDBPTEBEPTVUJMJ[BEPTQBSBBDPOTUSVÎÍPEPHSÈ-
/PSUF/PSEFTUFF4VM
mDP"QSJNFJSBDPMVOBEBUBCFMBRVFDPSSFTQPOEFBPBOPEF
"TFHVOEBDPMVOBDPSSFTQPOEFËTQPSDFOUBHFOTEFF
g) É possível afirmar que o percentual dos
brasileiros de 5 a 17 anos que trabalham
tem diminuído no decorrer desses anos?
assim por diante.
²QPTTÓWFMEJ[FSRVFIÈTJNVNBEJNJOVJÎÍPEPTÓOEJDFT%JT-
JOEJDB BT QPSDFOUBHFOT EPT KPWFOT CSBTJMFJSPT OB GBJYB
EF B BOPT RVF USBCBMIBN FN DBEB SFHJÍP F OP #SBTJM
DVUBDPNPTBMVOPTRVFBTBMUVSBTEBTDPMVOBTSFGFSFOUFTB
d) Qual é o significado da informação no
eixo vertical?
TÍPWJTJWFMNFOUFNFOPSFTRVFBTDPMVOBTEFF
" JOGPSNBÎÍP EP FJYP WFSUJDBM DPSSFTQPOEF BPT EBEPT EB
4. Observe atentamente o gráfico a seguir e
responda às perguntas.
UBCFMBPVTFKBËTQPSDFOUBHFOTEBTDSJBOÎBTEFBBOPT
67
Gráfico do Censo 2012 do MEC
TFHVOEPNJMIÜFTFNJMBMVOPT"OUFTEFTTFFTDMBSFDJalunos de pós-graduação 203,717 mil
alunos de graduação 7,04 milhões
alunos 8,38 milhões
Ensino Superior
NFOUPQSPCMFNBUJ[FPFSSPEBTFHVJOUFGPSNB
Ensino Médio
A no item anterior, deve haver proporcionalidade entre a área
dos polígonos e o total de estudantes que eles representam. Veri-
alunos 29,70 milhões
Ensino
Fundamental
mRVFTFTVBSFTQPTUBFTUÈDPFSFOUFDPNQBSBOEPBÈSFBEP
polígono que ela representa com a área dos demais polígonos.
1SPWBWFMNFOUF P BMVOP QFSDFCFSÈ RVF B ÈSFB DPSSFTQPO-
alunos 7,30 milhões
Ed. Infantil
Fonte: Inep, 2012. Disponível em: <http://download.inep.gov.
br/educacao_basica/censo_escolar/resumos_tecnicos/resumo_
tecnico_censo_educacao_basica_2012.pdf>; <http://portal.
inep.gov.br/visualizar/-/asset_publisher/6AhJ/content/brasilteve-mais-de-7-milhoes-de-matriculas-no-ano-passado>.
Acesso em: 20 dez. 2013.
EFOUFBP&OTJOP4VQFSJPSÏNFOPSEPRVFBDPSSFTQPOEFOUFBP&OTJOP'VOEBNFOUBMQPSÏNÏNBJPSEPRVF
PRVFTFSJBJODPFSFOUFFNSFMBÎÍPËSFTQPTUBEBEBOP
JUFN"SFTQPTUBDPSSFUBTFSJB
NJMIÜFTNJM
a) Qual é a principal informação transmitida pelo gráfico?
NJMIÜFT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT***F7
5PUBMEFFTUVEBOUFTEP#SBTJMFNEJTUSJCVÓEPTQFMPOÓWFM
FTDPMBSFNRVFFTUÍPNBUSJDVMBEPT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT*F***
b) As informações numéricas desse gráfico
foram transmitidas por meio de polígonos. Como esses polígonos foram construídos para manter a proporcionalidade
entre eles e os dados que representam?
²QSPWÈWFMRVFPTEBEPTSFQSFTFOUBEPTTFKBNQSPQPS-
d) A área do polígono que representa os
alunos no Ensino Fundamental é igual
a quantas vezes, aproximadamente, a
área do polígono que representa os alunos no Ensino Superior?
Dada nossa hipótese do item b, podemos comparar as áreas
QFMBSFMBÎÍPFOUSFPTEBEPTOVNÏSJDPTRVFFMBTSFQSFTFOUBN
3FTQPTUBBQSPYJNBEBNFOUFWF[FTQPSRVF8
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT**F7
DJPOBJTËTÈSFBTEPTQPMÓHPOPTDPSSFTQPOEFOUFT
A &TTFJUFNUSBCBMIBDPNBIBCJMJEBEF**
c) Quantos alunos cursavam o Ensino Superior em 2012? (Observação: o Ensino
Superior inclui alunos na graduação e na
pós-graduação.)
&TTBQFSHVOUBÏJNQPSUBOUFQPSRVFPBMVOPUFSÈRVFDPNQSFFOEFSDPSSFUBNFOUFPTJHOJGJDBEPEPTOÞNFSPTJOEJDB-
Gráfico de linhas (ou segmentos) – quando
o tempo entra em jogo
Normalmente, usamos os gráficos de linhas
(ou segmentos) para representar uma grandeza, no eixo vertical, em função do tempo.
No eixo horizontal, porém, também podem
ser utilizadas outras categorias.
EPTDPNWÓSHVMB²QPTTÓWFMRVFNVJUPTGBÎBNFRVJWPDBEBNFOUFBTPNBFOFTTFDBTPBMFSUF
RVF P QSJNFJSP OÞNFSP JOEJDB NJM F BMVOPT F P
68
5. Observe atentamente o gráfico e responda às perguntas.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Casos notificados de dengue no Brasil - 2008 a 2013
500 000
450 000
400 000
350 000
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
2008
2009
Norte
2010
Nordeste
2011
Sudeste
Sul
2012
2013
Centro-Oeste
Fonte: Organização Panamericana de Saúde. Disponível em: <http://www.paho.org/bra/index.php?option=com_content&view=article&
id=3159&Itemid=1>; <http://www.paho.org/bra/index.php?option=com_content&view=article&id=3886:dados-atualizados-da-dengueno-brasil-2009&catid=1272:noticiasdtent&Itemid=816>; <http://www.paho.org/bra/index2.php?option=com_docman&task=doc_
view&gid=1377&ltemid=423>; <http://www.paho.org/bra/index.php?option=com_content&view=article&id=3709:novos-dados-dadengue-no-brasil-2011&catid=1272:noticiasdtent&Itemid=816>; <http://www.dengue.org.br/dengue_mapas.html>.
Acesso em: 26 mar. 2014.
a) Qual é a principal informação que o gráfico transmite?
3FHJÜFT $FOUSP0FTUF F 4VEFTUF PT OÞNFSPT
O gráfico mostra os casos confirmados de dengue em cada
EB SFHJÍP /PSUF F EBT SFHJÜFT 4VM F /PSEFT-
SFHJÍPCSBTJMFJSB/PSUF4VM/PSEFTUF4VEFTUF$FOUSP0FT-
UF 1SPGFTTPS EJTDVUB DPN TFVT BMVOPT RVF PT
UF
FPUPUBMEFDBTPTOP#SBTJMOPQFSÓPEPEFB
WBMPSFTTÍPBQSPYJNBEPTQPJTBFTDBMBEPFJYPWFSUJDBM
TÍP TJHOJGJDBUJWBNFOUF NBJPSFT TF DPNQBSBEPT DPN P
OÍP QFSNJUF VN HSBV EF QSFDJTÍP NBJPS %JTDVUB RVF
b) Qual foi a região brasileira em que houve mais casos confirmados de dengue
no período de 2008 a 2013?
OBTSFHJÜFT/PSUF/PSEFTUFF4VMIPVWFDBTPTEFEFO-
" SFHJÍP 4VEFTUF GPJ B RVF BQSFTFOUPV TJHOJmDBUJWBNFOUF
EF[FSP
HVFNBTDPNPFTTFTOÞNFSPTTÍPQFRVFOPTFNSFMBÎÍP Ë FTDBMB VUJMJ[BEB OP HSÈGJDP FMFT GJDBN QSØYJNPT
NBJTDBTPTEFEFOHVFOPQFSÓPEPEFB
c) No eixo vertical, qual foi a escala utilizada?
6UJMJ[PVTFDNQBSBDBEBDBTPT
d) Qual foi o número aproximado de casos
confirmados de dengue em cada grande
região e no Brasil no ano de 2013?
e) Compare os dados de 2010 com os dados de 2013 e responda: os casos confirmados de dengue diminuíram em todas
as regiões nesse período?
$PNQBSBOEPPTOÞNFSPTEFDPNPTEFDPODMVJTF
RVFFNUPEBTSFHJÜFTCSBTJMFJSBTIPVWFEJNJOVJÎÍPEFDBTPT
de dengue.
69
6. Você deve saber: uma bateria é capaz de gerar energia elétrica a partir da energia química nela armazenada. Se uma bateria estiver em uso, a energia gerada por ela decai
com o passar do tempo, conforme mostra
o gráfico que você deverá analisar a seguir.
c) Quanto tempo é necessário, aproximadamente, para que a bateria passe de 4,8
para 4,6 unidades de energia?
*OUFSFTTBOPTPJOUFSWBMPEFUFNQPFOUSFPTQPOUPT#F$EP
HSÈmDPPRVFDPSSFTQPOEFBQSPYJNBEBNFOUFBNJOVUPT
¦
PVTFKBIPSBNJOVUPTFTFHVOEPT&TTB
BUJWJEBEFTFSÈVNBCPBPQPSUVOJEBEFQBSBEJTDVUJSDPNPTBMV-
Curva de descarga de uma bateria
unidades de energia
5,4
nos os sistemas decimal e sexagesimal de medida do tempo.
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT**F7
A
5,2
d) Há maior queda de energia da bateria nos
primeiros 25 minutos de uso ou nos 25 minutos seguintes? Justifique sua resposta.
5,0
B
4,8
C
4,6
4,4
/PTQSJNFJSPTNJOVUPTBRVFEBÏEFQBTTBEFQBSB
D
4,2
0
25
50
75 100 125 150
tempo (em minutos)
175
200
FOPTNJOVUPTTFHVJOUFTBRVFEBÏEFBQSPYJNBEBNFOUFQBTTBEFQBSB
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT**F7
a) Qual é o maior valor de unidade de energia
que a bateria analisada pode armazenar?
Gráfico de setor, quando interessam
a parte e o todo
&TTF QSPCMFNB Ï SFMFWBOUF QPSRVF TJOBMJ[B B VUJMJEBEF EF VN
HSÈmDPQBSBBDPNQSFFOTÍPEFVNGFOÙNFOPGÓTJDPRVÓNJDP
BTTPDJBEPBPEFTHBTUFEBTCBUFSJBTDPNPQBTTBSEPUFNQP"
VOJEBEFEFFOFSHJBNÈYJNBEBCBUFSJBJOEJDBEBQFMPHSÈmDP
OPJOTUBOUF[FSPÏJHVBMB
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT***F7
b) Depois de quanto tempo de uso contínuo, aproximadamente, a bateria
analisada apresentará 4,2 unidades
de energia?
&N NJOVUPT PV TFKB IPSBT F NJOVUPT P HSÈmDP
OÍP QFSNJUF VNB MFJUVSB QSFDJTB EB JOGPSNBÎÍP QPSUBOUP
No gráfico de setores representamos valores, geralmente porcentagens, por partes de
um círculo, partes de uma coroa circular ou
partes de um cilindro. O trabalho com gráfico
de setores pode ser iniciado na 5a série/6o ano,
porém o conhecimento ainda restrito sobre ângulos condicionará a retomada do assunto na
6a série/7o ano com mais detalhes. As atividades
com gráficos de setores propostas a seguir têm
como objetivo apresentar o assunto de forma
significativa, porém ainda sem os cálculos do
ângulo central correspondente a cada setor.
QFRVFOPTEFTWJPTFNSFMBÎÍPBFTTBSFTQPTUBTÍPQFSGFJUBNFOUFBDFJUPT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT**F7
70
7. Observe atentamente os dois gráficos a seguir e responda às perguntas propostas.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Classes de matrícula na educação especial por etapa de ensino
Brasil - 2012
Classes especiais e escolas exclusivas
Ed. Profissional
0%
EJA
28%
Ed. Infantil
9%
b) Qual é o segmento na Educação Especial que concentra o maior número de
alunos com necessidades especiais matriculados no Brasil em 2012?
/P&OTJOP'VOEBNFOUBMDPNOBT&TDPMBT&TQFDJBJTF&YDMVTJWBTFOBT&TDPMBT$PNVOT"MVOPTJODMVÓEPT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT*F**
Médio
1%
Fundamental
62%
Classes de matrícula na educação especial por etapa de ensino
Brasil - 2012
Classes comuns (alunos incluídos)
Médio
7%
Ed. Profissional
0%
Ed.
EJA
Infantil
8%
7%
c) O setor referente a aproximadamente
25% ou 1 de volta completa de alunos
4
com necessidades especiais matriculados
em ambas as escolas está contemplado
em qual das etapas de ensino?
A pergunta está se referindo ao setor do gráfico que contemQMBBQSPYJNBEBNFOUFEBTNBUSÓDVMBT1SPGFTTPSDBTPKÈ
UFOIBUSBCBMIBEPBNFEJEBEFÉOHVMPTFNHSBVQPEFSÈEJ[FS
RVFBSFTQPTUBEPFYFSDÓDJPÏEFBQSPYJNBEBNFOUFVNÉOHVMPSFUPPVTFKBVNÉOHVMPEF¡DPOTJEFSBOEPPHSÈmDPEP
EJA referente a Classes Especiais e Escolas Exclusivas.
A &TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT***F7
Fundamental
78%
Fonte: Inep, 2012. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
educacao_basica/censo_escolar/resumos_tecnicos/resumo_tecnico_
censo_educacao_basica_2012.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2013.
d) Sabendo-se que o total de alunos com necessidades especiais matriculados nas Escolas Especiais/Escolas exclusivas foi de
199 656 e nas Escolas Comuns, 620 777.
Observando o valor percentual que aparece na EJA das Escolas Comuns, calcule
o total de alunos que foram matriculados
no ano de 2012 no Brasil.
EF BMVOPT MPHP TF NVMUJQMJDBSNPT
a) Dos alunos portadores de necessidades
especiais matriculados no Brasil em
2012 nos dois tipos de escolas, qual a
diferença de porcentagem dos que pertenciam ao Ensino Médio?
uBMVOPT$PNPOÍPQPEFNPTRVBOUJ-
NBUSJDVMBEPTOB&+"FN&TDPMBTDPNVOTBMVOPTJODMVÓEPT
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT*F**
A&TTFJUFNUSBCBMIBDPNBTIBCJMJEBEFT***F7
mDBSEFVNBMVOPEFTDPOTJEFSFPTDFOUÏTJNPT1PSUBOUPUFSFNPTBMVOPTNBUSJDVMBEPTOB&+"FNFTDPMBT DPNVOT BMVOPT JODMVÓEPT
0VUSB TVHFTUÍP Ï GB[FS P
DÈMDVMPEFEFPVTFKBBMVOPT
71
Considerações sobre a avaliação
Os conteúdos e habilidades a serem avaliados após o desenvolvimento da Situação
de Aprendizagem 6 são: habilidade de extrair
informações do título, dos eixos e da legenda
de um gráfico, e habilidade de identificar e
compreender informações numéricas absolutas e relativas (porcentagens) apresentadas em um gráfico. A avaliação pode ser
feita por meio de provas, nas quais haverá
interpretação e análise de gráficos selecionados e/ou por meio de trabalhos com gráficos extraídos de jornais e revistas: o próprio
aluno selecionará esses gráficos, formulará e
responderá a perguntas com base nas informações presentes.
A compreensão do conceito de porcentagem e seu uso em situações simples também
devem ser avaliados. Nesse sentido, procure,
sempre que possível, formular perguntas a
partir de um gráfico, nas quais o aluno tenha
que interpretar indicações de porcentagem ou
fazer cálculos porcentuais utilizando dados.
Havendo alunos com dificuldade nesse tipo
de cálculo, recomendamos listas de exercícios
específicos sobre o assunto.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
Conteúdos e temas: construção de gráficos de barras, linhas, setores, dispersão; escalas e medi-
das; uso de régua.
Competências e habilidades: expressar informações quantitativas por meio da linguagem gráfica
procurando escolher o tipo mais adequado de gráfico para expressar determinada informação ou para representar determinado problema.
Sugestão de estratégias: apresentar tabelas com conjuntos de dados e solicitar que o aluno cons-
trua gráficos que expressem determinada relação; fazer pesquisa em classe com os alunos
para que eles elaborem tabelas e, em seguida, construam gráficos; formular perguntas que
problematizem aspectos relacionados à escolha adequada de escala, à escolha adequada do
tipo de gráfico, à escolha de cores, etc.
72
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 7
A boa representação de um conjunto de
dados por meio da linguagem gráfica pressupõe a escolha do tipo de gráfico mais conveniente àquilo que desejamos expressar, a determinação da escala mais apropriada e um
tratamento adequado de cores, iconografia e
legendas. Na Situação de Aprendizagem 7,
indicaremos possibilidades para um trabalho de classe focado no desenvolvimento das
habilidades necessárias à construção de um
bom gráfico.
Partindo de uma tabela contendo dados
sobre determinado grupo de alunos, podemos
investigar as informações indicadas e discutir
com a classe qual seria o tipo de gráfico mais
adequado para representá-las.
Os dados da tabela podem ser obtidos em sala
de aula, a partir de uma pesquisa com os alunos,
ou disponibilizados previamente. No primeiro
caso, a vantagem é a contextualização da informação, o que possibilita uma discussão posterior
acerca do perfil de cada estudante. No segundo
caso, a vantagem é a chance de preparar os dados
para contemplar aspectos importantes a serem
discutidos, como, a escolha de uma boa escala,
o agrupamento da informação em intervalos, a
interpretação de determinadas informações por
meio dos gráficos etc.
Depois de haver trabalhado, na Situação de
Aprendizagem 6, a análise de gráficos de barras,
linhas, setores e pictogramas, solicite a elaboração de alguns gráficos específicos. Estes devem
ser construídos em papel milimetrado e, de forma complementar, utilizando recursos do computador, caso o equipamento esteja disponível
na escola (os programas de planilha de cálculo
permitem a construção de gráficos variados a
partir de conjuntos de dados). Proponha, por
exemplo, a construção de um gráfico que apresente como informação as idades dos alunos da
classe. Nesse caso, discuta o seguinte:
f um gráfico que apresenta adequadamente a informação desejada é o de
barras (ou colunas);
f no eixo vertical, colocaremos a indicação das idades, escolhendo uma escala
que permita representar todos os dados
no espaço disponível no papel milimetrado do qual dispomos para a construção do gráfico;
f no eixo horizontal, colocaremos o nome
dos alunos.
As informações dos eixos horizontais e
verticais podem ser trocadas.
1. A tabela a seguir foi montada com base em uma entrevista feita com 11 alunos de
uma mesma classe.
73
(em anos)
Altura
(em m)
N de
irmãos
No de livros
consultados
na biblioteca
em 2008
Ana
12
1,54
1
6
Corinthians Corinthians
C
Bruno
12
1,56
0
4
São Paulo
Corinthians
B
Carla
13
1,55
3
4
Corinthians Corinthians
C
Diego
12
1,60
2
2
Palmeiras
Palmeiras
C
Fábio
12
1,62
4
0
São Paulo
São Paulo
D
Helena
13
1,60
3
12
Corinthians Corinthians
A
João
13
1,63
2
5
Corinthians Santos
B
Júlio
14
1,66
1
8
Santos
Santos
C
Laura
12
1,58
2
10
São Paulo
São Paulo
Maria
10
1,52
3
3
Flamengo
Corinthians
D
Rita
13
1,60
0
4
Palmeiras
São Paulo
C
Nome
Idade
o
Construa um gráfico de barras representando a idade dos alunos entrevistados.
Atenção!
O gráfico deve ser feito com precisão.
6NBQPTTÓWFMTPMVÎÍPÏ
Conceito
na primeira
prova de
Matemática
Não fez
e a análise da informação, conforme veremos
na atividade a seguir.
2. Analisando o gráfico que você construiu,
responda:
a) Quem é o aluno mais velho? E o mais
novo do grupo analisado?
b) Existe um padrão médio relativo às idades apresentadas ou elas são muito distintas entre os alunos?
&YJTUFVNQBESÍPNÏEJPFNUPSOPEFBOPT
Alunos da classe
Após a construção do gráfico, formule algumas perguntas que problematizem a leitura
74
Time de
futebol
do pai
+ÞMJPÏPNBJTWFMIP.BSJBBNBJTOPWB
An
a
#SV
OP
Ca
rla
Die
go
'ÈC
J
He P
len
a
+PÍ
P
+ÞM
JP
Lau
ra
Ma
ria
Rit
a
*EBEFFNBOPT
Idade dos alunos da classe
Time de
futebol
Outra tabela interessante apresentaria
como informação a altura dos alunos da
classe, para posterior construção de gráfico.
Explore a questão referente à escolha da es-
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Alunos da classe
RITA
MARIA
LAURA
JÚLIO
JOÃO
HELENA
FÁBIO
DIEGO
CARLA
BRUNO
ANA
RITA
MARIA
LAURA
JÚLIO
JOÃO
HELENA
FÁBIO
166
165
164
163
162
161
160
159
158
157
156
155
154
153
152
151
150
DIEGO
Possivelmente, o aluno dirá que a tarefa é impossível, porque em 10 cm de papel
(100 mm) só poderíamos representar 20 cm
de altura. Sugira, porém, que se inicie, no eixo
vertical, as marcações de medidas das alturas
a partir de uma certa altura que não seja o
zero. Se iniciarmos, por exemplo, com 150 cm
de altura em uma das marcas do eixo vertical,
teremos o seguinte gráfico:
CARLA
"MUVSBFNDN
Gráfico manuscrito em papel milimetrado
A escolha da escala “1 mm para cada 2 cm
de altura” fez com que todas as barras ficassem
com alturas muito próximas umas das outras.
Apresente uma proposta de construção do gráfico de barras, no mesmo tamanho de papel, que
use escala “5 mm para cada 1 cm de altura”.
Altura (em cm
3. Com base nos dados da tabela da
atividade que você fez em classe, construa um gráfico de barras para representar a altura dos 11 alunos entrevistados.
Atividade opcional
BRUNO
A construção do gráfico, conforme os
cálculos descritos, não utiliza a escala mais
adequada para apontar de maneira clara a
diferença de altura entre os alunos, porém,
tem grande utilidade em virtude da discussão
proposta, como veremos adiante por meio de
uma atividade.
Professor, a atividade seguinte não está
proposta no Caderno do Aluno. Todavia,
na disponibilidade de tempo, é interessante
desenvolvê-la tendo em vista a utilização
de escalas.
ANA
cala utilizada. Digamos, por exemplo, que o
pedaço de papel milimetrado disponível seja
retangular, de dimensões 10 cm por 15 cm.
Em geral, as turmas apresentam o seguinte tipo de solução: colocamos 10 cm (100
mm) no eixo vertical, no qual iremos representar as alturas e, levando-se em consideração a maior altura, que é 166 cm, podemos
usar 5 mm do gráfico para indicar 10 cm de
altura da pessoa, ou seja, cada milímetro
do gráfico corresponde a 2 cm de altura do
aluno. Nesse caso, usaremos 83 mm na escala vertical, o que nos deixa uma margem de
17 mm de folga no papel.
Alunos da classe
Por meio desse gráfico, a nova escala permite melhor diferenciação visual da altura dos
alunos. É conveniente observar que o recurso
de não iniciar o eixo vertical com valor zero
75
é muito utilizado na construção de gráficos.
Uma atividade interessante que pode ser feita na sequência dessa atividade é propor uma
pesquisa de gráficos em jornais e revistas que
utilizam esse tipo de recurso.
Continuando a explorar os dados da tabela,
pode-se propor aos alunos o desafio de confeccionar um gráfico que evidencie que, em média,
os meninos da classe são mais altos do que as
meninas. Isso exigirá que os alunos usem cores
diferentes para meninos e meninas, agrupem
separadamente meninos e meninas ou aproveitem ambas as estratégias. Veja a seguir uma
solução possível para esse problema.
em um gráfico, normalmente agrupamos as
informações em intervalos. No caso da nossa
tabela, referente aos 11 alunos de uma classe,
a pequena quantidade de dados não justifica o
agrupamento das informações, porém, nada nos
impede de fazê-lo para desenvolver essa habilidade, como veremos na atividade a seguir.
4. Desejamos construir um
gráfico de barras para representar o número de livros consultados na biblioteca pelos 11 alunos da
tabela, porém, queremos que seja feito com
apenas 4 barras. Proponha uma forma de
construção e, em seguida, represente-a na
malha quadriculada abaixo ou em um programa de computador.
Altura das meninas e dos meninos da sala (em m)
Altura (em m)
1,70
1,65
1,60
2VFN DPOTVMUPV NFOPT MJWSPT OÍP DPOTVMUPV OFOIVN F
1,55
RVFNDPOTVMUPVNBJTMJWSPTDPOTVMUPV%JWJEJOEPTFQPS
1,50
RVFÏPOÞNFSPEFCBSSBTRVFRVFSFNPTGB[FSEFUFSNJOBo
NPTPTFHVJOUFJOUFSWBMPQBSBDBEBVNBEFMBT
Júl
i
o
Joã
Fá
bio
ego
o
Di
a
ta
un
Br
Ri
ura
a
rla
len
He
La
Ca
An
Ma
ria
1,45
#BSSBEFBMJWSPTABMVOPT
Alunos da classe
Quando temos à nossa disposição uma quantidade muito grande de dados para representar
76
#BSSBEFBMJWSPTABMVOPT
#BSSBPVNBJTMJWSPTABMVOPT
7BMFPCTFSWBSBGPSNBDPSSFUBEFFTDSFWFSPTJOUFSWBMPTFWJtando que se repitam os extremos. O gráfico a seguir repreTFOUBBJOGPSNBÎÍPEFTFKBEB
Quantidade de livros consultados em 2012
pelos alunos da classe
Quantidade de alunos
Na solução encontrada, separamos as barras
das meninas (à esquerda, em cor rosa) daquelas
dos meninos (à direita, em cor azul). Por meio
da análise gráfica, percebemos com clareza que
os meninos da classe têm altura maior ou igual
à altura da menina mais alta da sala, exceto um
deles, Bruno; que ainda assim tem altura maior
do que três das seis meninas da classe. Esse tipo
de exploração das informações de um gráfico é
extremamente útil para percebermos a utilidade
da linguagem gráfica diante de simples disposições dos dados em uma tabela.
#BSSBEFBMJWSPTABMVOPT
EFB
livros
EFB
livros
EFB
livros
PVNBJT
livros
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Na atividade a seguir, o trabalho de construir um gráfico de setores está diretamente
associado ao trabalho com medida e construção de ângulos com o transferidor, porém,
se fizermos algumas adaptações, conforme a
atividade 5, é possível solicitar a construção
de um gráfico desse tipo antes mesmo que o
aluno saiba lidar com o transferidor. A partir da tabela, represente as notas da classe na
primeira prova de Matemática. Observe que a
distribuição dessas notas permite entender a
ideia de ângulo como “fração de giro de uma
volta completa”.
5. Seu professor vai orientá-lo sobre a construção de um gráfico de setores. Em seguida, preencha a tabela com os dados obtidos nas entrevistas com os 10 alunos que
realizaram a prova.
Se o aluno ainda não sabe utilizar o transferidor, a construção do gráfico de setores deve
ser feita da seguinte forma: 1) construa uma
circunferência com o compasso; 2) marque um
diâmetro para definir um ângulo de meia volta;
3) em uma das “meias voltas” da circunferência,
oriente o aluno a marcar cinco arcos de mesma
medida (na 5a série/6o ano, aceitamos que as
marcações sejam feitas visualmente se o uso do
transferidor e/ou o uso do compasso para o traçado da bissetriz de um ângulo não foram trabalhados); 4) uma das cinco marcas corresponderá
ao setor de 1 de volta, e dois pares de marcas
10
consecutivas corresponderão, cada um deles,
aos setores de 1 de volta.
5
6. Agora, construa um gráfico de setores com
os dados da tabela preenchida na atividade
anterior.
Distribuição de notas dos 10 alunos que fizeram
a primeira prova de Matemática
Distribuição de notas dos alunos que fizeram
a primeira prova de Matemática
Nota
Número
de alunos
Porcentagem
Ângulo
A
de volta
B
de volta
C
Meia volta
D
de volta
Total
WPMUB
A
D
#
C
Um tipo de gráfico pouco explorado na
5 série/6o ano e que pode ser boa porta de
entrada para a discussão da localização de
pontos em um plano é o gráfico de dispersão.
Normalmente, esse tipo de gráfico é utilizado
para avaliar, por meio de imagens, a existência
ou não de correlação entre duas grandezas. As
colunas da nossa tabela, que apresentam dados
a
Caso você tenha colocado no planejamento a discussão sobre a unidade de
medida “grau”, poderá explorar nessa
atividade o cálculo dos ângulos da última
coluna da tabela (36o, 72o, 180o e 72o).
77
sobre o time de futebol para o qual torce o aluno
ou para o qual torce seu pai, constituem dados
interessantes para um gráfico como esse. Veja
a seguir um modelo no qual a informação é
representada por cores.
7. O gráfico a seguir foi feito com
base nos dados da tabela dos 11
entrevistados.
entrevistadas.
d) Calcule a porcentagem de alunos que
torcem para times diferentes dos times
de seus pais.
"QSPYJNBEBNFOUF
tes dos de seus pais.
No gráfico, os pontos azuis ou vermelhos
indicam o time para o qual o aluno torce. Assim, as linhas correspondentes a cada time
apontam o total de torcedores daquela agremiação entre os alunos da classe. Note que a
linha correspondente ao Corinthians possui
mais pontos (4 pontos), porque é o time com
mais torcedores. Para indicar se o aluno torce
ou não pelo mesmo time do pai, utilizamos elementos de cores: ponto azul para o caso de o
aluno torcer pelo mesmo time do pai e ponto
vermelho para o caso de torcer por um time
diferente daquele do pai. Com essa opção de
cores, quanto mais azul estiver o diagrama de
pontos, maior será a correlação entre o time do
aluno e o de seu pai. No caso do diagrama analisado, observamos mais pontos azuis do que
vermelhos, o que sugere que a maior parte dos
alunos torce pelo mesmo time do pai. Gráficos
como esse exigem interpretação mais delicada,
consequente de leitura atenta e compreensão
de todos os elementos visuais, por isso eles
são importantes em um programa cujo objetivo seja desenvolver e aprimorar a competência
leitora referente à linguagem gráfica.
c) O Corinthians é o time que tem mais bolinhas alinhadas na sua linha horizontal.
Qual é o significado dessa representação
na comparação com os outros times?
O aluno também deverá saber construir e
analisar um gráfico de linhas. Como discutimos na Situação de Aprendizagem 6, esses gráficos são usados, em geral, quando desejamos
Flamengo
Santos
Palmeiras
São Paulo
Rita
Laur
a
Maria
Júlio
na
Torce para o mesmo
time do pai
João
Hele
o
Fábio
Dieg
o
Carla
Brun
Ana
Corinthians
Torce para time diferente
do time do pai
a) Qual é o significado das bolinhas azuis?
E o das bolinhas vermelhas?
"TCPMJOIBTB[VJTSFQSFTFOUBNBTQFTTPBTRVFUPSDFNQBSBP
NFTNPUJNFEPQBJFBTCPMJOIBTWFSNFMIBTBTQFTTPBTRVF
torcem para um time diferente do time do pai.
b) Nesse gráfico, a presença de mais bolinhas azuis do que de bolinhas vermelhas tem um significado. Explique.
0OÞNFSPEFQFTTPBTRVFUPSDFNQBSBPNFTNPUJNFEPQBJ
ÏNBJPSEPRVFPEFQFTTPBTRVFUPSDFNQBSBUJNFTEJGFSFO-
78
)È VN OÞNFSP NBJPS EF DPSJOUJBOPT FOUSF BT QFTTPBT
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
representar a evolução de certa informação ao
longo de um período de tempo. A tabela seguinte fornece dados que permitem uma boa discussão sobre a construção de um gráfico de linhas.
8. Observe os dados da tabela e
construa um gráfico de linhas
para representá-los.
Emissões de gases do efeito estufa no Brasil
(Total, em milhões de toneladas de CO2 )
Setores
1990
1995
2000
2005
2010
2011
2012
Agropecuária
306
343
349
423
430
452
445
Energia
195
229
371
329
384
406
430
Mudança de
uso da Terra
807
2 199
1 558
1 478
598
577
474
Processos
industriais
56
57
70
70
70
78
89
Fonte: UOL, 2013. Disponível em:<http://noticias.uol.com.br/meio ambiente/ultimas-noticias/redacao/2013/11/07/brasil-temmenoremissao-em-20-anos-mas-numero-deve-crescer-em-ate-3 anos.htm>. Acesso em: 20 dez. 2013. Adaptado para fins didáticos.
0TEBEPTEBUBCFMBTÍPJOUFSFTTBOUFTQPSBMHVOTNPUJWPTRVF
VNB EJTDVTTÍP JOUFSFTTBOUF OP NPNFOUP EB DPOTUSVÎÍP
MJTUBNPTBTFHVJS
do gráfico.
t 0TEBEPTTÍPGPSOFDJEPTFNNJMIÜFTEFUPOFMBEBTFJTTP
t 0UJQPEFJOGPSNBÎÍPUSBOTNJUJEBUFNHSBOEFSFMFWÉODJB
exige do aluno uma escolha cuidadosa de escala.
EPQPOUPEFWJTUBEBTEJTDVTTÜFTBNCJFOUBJTFQFSNJUFFYQMPrar a interdisciplinaridade.
Discuta com a classe as escolhas mais adequadas de escala, co-
t /PUF RVF P JOUFSWBMP EPT BOPT DVKBT JOGPSNBÎÜFT GP-
SFTMFHFOEBTBUSJCVJÎÍPEFUÓUVMPBPTFJYPTFUD"QSFTFOUBNPT
SBN EJTQPOJCJMJ[BEBT OÍP Ï DPOTUBOUF P RVF QPTTJCJMJUB
BTFHVJSVNBQPTTJCJMJEBEFEFHSÈmDPQBSBPTEBEPTEBUBCFMB
79
Emissões de gases do efeito estufa no Brasil
2400
2 199
2200
Total, em milhões de toneladas de CO2
2000
1800
1 558
1600
1 478
1400
Agropecuária
1200
Energia
1000
800
Mudança de uso da Terra
807
Processos industriais
598
600
400
200
306
195
56
577
430
452
384
406
474
445
430
70
70
78
89
2005
2010
423
343
229
349
371
329
57
70
0
1990
1995
2000
2011
2012
Anos
Fonte: UOL, 2013. Disponível em:<http://noticias.uol.com.br/meio ambiente/ultimas-noticias/redacao/2013/11/07/brasil-temmenoremissao-em-20-anos-mas-numero-deve-crescer-em-ate-3 anos.htm>. Acesso em: 20 dez. 2013. Adaptado para fins didáticos.
Note que utilizamos uma “descontinuidade” no eixo horizontal para representar
um intervalo diferente do que vinha sendo utilizado no mesmo gráfico (de 1990 a
1995, de 1995 a 2000, de 2000 a 2005 e de
2005 a 2010, são 5 anos, e de 2010 a 2011,
de 2011 a 2012, que é 1 ano).
A rigor, boa parte dos gráficos de linhas
ou segmentos deveria indicar apenas os
pontos correspondentes aos pares de informações abordadas, contudo, é comum que
se faça a linha cheia ligando estes pontos,
mesmo sabendo que o significado matemático de tal linha não é preciso. Entendemos
não haver problemas no uso de linhas ligando pontos, porém é fortemente recomendado discutir com os alunos o significado figurativo daquilo que está sendo feito.
80
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 7 trabalhamos com a construção de gráficos de barras (colunas), linhas (segmentos), setores e dispersão.
As expectativas mínimas de aprendizagem são:
f o aluno deve saber selecionar o melhor
tipo de gráfico para representar determinado conjunto de dados;
f o aluno deve saber escolher e calcular adequadamente a escala dos eixos para representar
dados em um gráfico de barras e/ou linhas;
f o aluno deverá saber utilizar cores, legendas
e informações nos eixos para representar a
informação de maneira clara e precisa;
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
f o aluno deverá aprender o uso correto da
régua e do papel milimetrado.
Reforçamos, mais uma vez, que o conjunto de atividades apresentadas deve ser interpretado como sugestão de abordagem do assunto, cabendo ao professor adaptá-lo às suas
necessidades e ao seu planejamento anual.
Por meio da proposta de construção de
gráficos a partir de tabelas de dados prede-
finidas e/ou a partir de dados pesquisados e
tabelados pelo aluno, é possível verificar se o
aprendizado dos temas desenvolvidos. Um aspecto importante a ser trabalhado com alunos
de 5a série/6o ano diz respeito à organização e
à qualidade do registro. O tema desenvolvido
na Situação de Aprendizagem 7 privilegia o
desenvolvimento desses aspectos procedimentais. Portanto, sempre que necessário, indique
o que deve ser refeito para obter como resultado um trabalho de qualidade.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Conteúdos e temas: ideias intuitivas de população e amostra; medidas de tendência central:
média, moda, mediana; porcentagem.
Competências e habilidades: compreender e avaliar de forma crítica as principais características das medidas de tendência central, tendo como objetivo a escolha criteriosa daquela mais conveniente para representar determinada situação ou para resolver determinada
situação-problema.
Sugestão de estratégias trabalho em grupo (pesquisa estatística); listas de exercícios sobre me-
didas de centralidade.
Roteiro para aplicação da
Situação de Aprendizagem 8
Estatística é a parte da Matemática que
trata da organização dos dados e das informações, tendo em vista a realização de inferências, ou estabelecimento de conclusões a partir
delas. A palavra vem do latim status, estando
relacionada, inicialmente, à organização de dados numéricos (registros de nascimentos e mor-
tes, tábuas de mortalidade) que possibilitariam
conhecimento adequado do Estado. De modo
geral, a Estatística fornece informações sobre o
estado em que se encontra certo agrupamento
de pessoas com relação à população no que se
refere a escolaridade, renda, emprego etc.
Uma tarefa interessante que nem sempre
recebe a atenção merecida no tratamento de
temas de Estatística do programa escolar é
81
o da elaboração de questionários para uma
pesquisa, que pode ser feita com a totalidade da população ou com amostras dela. Um
questionário mal elaborado é capaz de comprometer definitivamente uma pesquisa de
estatística e, portanto, investir certo tempo
na reflexão sobre o assunto contribui para a
ampliação de horizontes do estudante com
relação ao alcance e às formulações próprias
dessa área de conhecimento.
A seguir, propomos uma atividade de pesquisa. Proponha um tema ou deixe que os
alunos, divididos em grupos, o escolham. O
objetivo de cada grupo será compreender as
características dos colegas de sala com relação
ao tema escolhido e, portanto, os questionários devem dar conta de investigar tudo que
se deseja saber sobre o tema. A elaboração e
aplicação dos questionários, a posterior tabulação dos dados, a representação da informação na forma de gráficos e a análise dos
resultados e dos problemas encontrados no
decorrer da pesquisa fazem parte da tarefa.
Para que um exercício em grupo seja produtivo, é muito importante organizar bem a classe; deixe claro quais são as etapas e os objetivos,
e, se possível, estabeleça, ao longo do processo,
momentos para avaliar a produção parcial e
para sinalizar possíveis correções no direcionamento da atividade. Vejamos uma sugestão de
pesquisa a ser apresentada e o esclarecimento
do que deve ser realizado, além de um roteiro
contendo as etapas necessárias ao trabalho.
82
Roteiro de trabalho em grupo para a
pesquisa de Estatística
Qual será a preferência musical dos
alunos da nossa classe? Será que em nossa classe há mais corintianos ou são-paulinos? Qual é a porcentagem de canhotos
entre nós? Quantas horas semanais, em
média, assistimos à TV? Como é nossa
alimentação? Desde que formuladas adequadamente, inúmeras perguntas podem
nos ajudar a conhecer o perfil de nossa
classe, e esse será o objeto de estudo para
o trabalho em grupo cujo tema central
será a Estatística. Você fará agora uma
pesquisa para investigar questões como
essas sobre os alunos da sua classe. Seu
professor vai ajudar na montagem dos
grupos e na escolha dos temas.
A seguir, apresentamos sete propostas
de temas para essa pesquisa, e cada grupo
poderá desenvolver uma delas. Em cada
caso, apresentamos alguns exemplos de
perguntas que podem ser formuladas.
I. Esporte
f Qual é o time de futebol preferido
na sala?
f Qual é o time de futebol preferido de
nossos pais?
f Qual é o esporte preferido das meninas? E dos meninos?
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
f Quantas horas semanais, em média,
gastamos com a prática de atividades físicas?
II. Características físicas
f Qual é a altura média dos meninos
da classe? E das meninas?
f Qual é a porcentagem, em sala, de
pessoas com cabelos claros em relação àquelas que têm cabelos escuros?
f Qual é o número de sapato mais comum na classe?
III. Hobby e lazer
f Qual é a porcentagem de alunos que
têm bicho de estimação?
f Qual bicho de estimação surge mais
vezes na pesquisa?
f Quantos alunos da classe fazem algum tipo de coleção? Qual é o tipo
de coleção mais citado?
f Qual é o gênero musical preferido
pelos alunos da classe?
IV. Família
f Qual é a média do número de irmãos
dos alunos da classe? Qual é a média
do número de irmãos de nossos pais?
f Quantos de nossos pais nasceram em
São Paulo?
f Quantos alunos têm familiares próximos (pais, avós, bisavós) nascidos
em outro Estado do país?
V. Alimentação e hábitos pessoais
f Qual é o alimento preferido pelos
alunos da classe?
f Quantas frutas, em média, comemos
por semana?
f Quantas horas semanais, em média,
gastamos assistindo à TV? Qual é o
tipo de programa mais visto?
f Quantas horas semanais dedicamos
às tarefas de casa e aos estudos?
f Quem usa computador com regularidade?
VI. Curiosidades
f Qual é a distribuição dos signos astrológicos dos alunos da classe?
f Quantos livros cada um já leu na vida?
Qual é a média de livros lidos por ano?
VII. Conhecimentos gerais
f Quantos alunos sabem em que Estado brasileiro nasceu o presidente da
República?
f Qual é o idioma mais falado no
mundo?
f Quantos alunos conhecem Mauricio
de Sousa? E Monteiro Lobato?
f Qual a profissão que cada aluno da
classe deseja seguir?
Caso algum grupo tenha interesse em investigar um tema diferente desses que foram listados,
poderá sugeri-lo ao professor, que avaliará se é
adequado ou não. A seguir, propomos algumas
etapas para o desenvolvimento do trabalho.
Etapas do trabalho
I. Elaboração de perguntas para o questionário
f Essa etapa será iniciada em classe,
do mês de
,e
no dia
83
concluída fora do horário de aula. Recomendam-se uma ou duas reuniões
do grupo para elaborar o questionário,
que deverá ser entregue ao professor
do mês de
.
no dia
O professor deverá devolver os
questionários com comentários, sugestões e correções no dia _____ do
mês de_____. Em seguida, cada grupo deverá se reunir fora do horário de
aula para finalizar o questionário, levando em conta as observações feitas
pelo professor.
Lembre-se de que, ao elaborar as
perguntas para o questionário, o grupo deve ter em vista o tipo de gráfico
a ser construído para a apresentação
dos dados.
II. Aplicação dos questionários em classe
f O questionário será aplicado no dia
_____ do mês de ___________. Nesse dia, cada grupo deverá trazer para
a aula o questionário em número
suficiente de cópias para que seja
respondido por todos os alunos da
turma. Todo questionário deve ter
um espaço no final, reservado para
observações feitas pelo entrevistado
sobre sua eventual dificuldade em
responder a alguma(s) pergunta(s).
III. Tabulação dos dados, construção dos
gráficos e análise dos resultados
f Os gráficos devem ser construídos
em papel milimetrado.
84
f O grupo deverá elaborar cartazes para
a apresentação dos resultados em
do
classe, que acontecerá no dia
.
mês de
Além da apresentação do trabalho, o
grupo deverá preparar um relatório sobre
a pesquisa, que deve ser entregue no dia
do mês de
. Esse relatório
deve conter:
Introdução: apresentação do tema, cópia
do questionário aplicado, breve descrição dos
objetivos de cada pergunta.
Tabulação dos dados: apresentação de tabelas.
Análise dos resultados: breve texto apresentando as conclusões da pesquisa.
Análise das eventuais falhas ocorridas durante a pesquisa: são exemplos de falhas uma
pergunta mal elaborada que tenha dificultado o entendimento, uma pergunta que tenha
causado dificuldades na hora de tabular os
dados ou de fazer os gráficos, uma pergunta
que não tenha possibilitado investigar exatamente o que se pretendia etc.
Ao propor esse trabalho, o professor deverá dar instruções sobre o tipo de problema
que o aluno poderá encontrar ao elaborar um
questionário. Os problemas mais frequentes
são: opções de resposta que dão margem a
interpretações erradas; pergunta formulada
de tal maneira que não permite tabulação dos
dados; pergunta envolvendo tema capaz de
constranger o entrevistado, o que implicará
respostas pouco confiáveis etc.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
Estatística descritiva
Outro campo de estudos interessante para
se iniciar na 5a série/6o ano é o da estatística
descritiva. Nela, realizamos cálculos numéricos com os dados de uma amostra da população para compreender melhor determinadas
características do conjunto de informações.
1. Calcule a média dos seguintes
conjuntos de dados referentes às
idades de grupos de 5 pessoas e,
em seguida, responda se os resultados de cada
cálculo representam apropriadamente os números por meio dos quais foram obtidos.
a) 10, 11, 11, 12, 13.
Nos programas de estatística descritiva do
Ensino Fundamental tratamos basicamente de
dois tipos de medidas estatísticas: as medidas
de tendência central (média, moda, mediana)
e as medidas de dispersão (desvio médio, desvio padrão). Na 5a série/6o ano, propomos que
sejam apresentadas as três medidas principais
de tendência central e que sejam trabalhados
problemas para que o aluno consiga compreender e avaliar de forma crítica as principais
características dessas medidas, tendo como
objetivo a escolha criteriosa da mais conveniente para representar determinada situação
ou resolver determinada situação-problema.
Média
Com relação à média, recomendamos que
se discuta, além da média aritmética simples,
a média aritmética ponderada. Como 2012 foi
um ano de olimpíada, dados do esporte podem motivar a discussão sobre o cálculo da
média, como veremos na atividade 2.
b) 12, 12, 13, 45, 14.
c) 13, 10, 12, 12, 1.
/PJUFNB
BNÏEJBOÍPTFBGBTUBNVJUPEPTEBEPTBOBMJTBEPTF
QPSUBOUPÏVNJOEJDBEPSSFQSFTFOUBUJWPEBUFOEÐODJBEBTJEBEFT
EBTQFTTPBT/FTTFDBTPTFEJTTFSNPTRVFBNÏEJBEFJEBEFEP
HSVQPÏEFBOPTJNBHJOBNPTRVFBTQFTTPBTEFTTFHSVQP
UÐNJEBEFBQSPYJNBEBEFTTFOÞNFSPPRVFÏWFSEBEF/PTJUFOT
C
FD
BNCPTPTOÞNFSPTOÍPTÍPCPBTSFQSFTFOUBÎÜFTEBUFOEÐODJBEPTEBEPT/PDBTPC
OPUFRVFBNBJPSJBEBTJEBEFTHJSB
FNUPSOPEFBOPTTFOEPRVFBNÏEJBBQSFTFOUBDFSDBEF
BOPTEFJEBEF&ND
PTEBEPTFTUÍPFNUPSOPEFFBNÏEJBÏ
BQSPYJNBEBNFOUFPVTFKBTVCFTUJNPVPRVFEFGBUPPDPSSF
em termos de tendência central dos dados.
/PUFRVFFNC
FFND
PRVFGF[DPNRVFBNÏEJBEFJYBTTFEFTFSVNBCPBNFEJEBEFSFQSFTFOUBÎÍPEBUFOEÐODJB
dos dados foi o fato de termos dados extremos muito discreQBOUFTEPTEFNBJT&NC
BOPTEFJEBEFÏVNOÞNFSPRVF
está muito acima da idade dos demais integrantes do grupo,
É importante discutir com os alunos a
questão da representatividade dos dados
para o cálculo da média. Vejamos uma atividade que pode desencadear essa discussão.
FOPDBTPD
BOPEFJEBEFFTUÈNVJUPBCBJYPEBRVFMBTEPT
demais integrantes desse grupo.
Explorando outros exemplos como esse, desejamos estimular a percepção de que a média é
85
uma medida de tendência central muito afetada
por valores extremos. Sabendo disso, podemos
dizer que se o nosso conjunto de dados possui
uma distribuição de valores relativamente uniforme e que a média será um bom indicador
de tendência central; mas, se encontrarmos nos
dados valores extremos que se afastam muito
do padrão dos demais, a média não será uma
medida representativa dos dados.
A pergunta que surge agora é: se a média
não é uma boa representante da tendência
central dos dados dos itens b) e c), que outro
indicador poderia ser? A resposta virá na sequência da discussão, porém, antes exploraremos um pouco mais a ideia de média.
Vejamos uma atividade que explora o cálculo da média aritmética ponderada. Como
essa atividade envolve muitas contas, sugerimos permitir o uso de calculadora e, se possível, que se faça um trabalho com alguma
planilha eletrônica de cálculo.
2. A classificação dos países no quadro geral
de medalhas de uma Olimpíada é realizada
considerando-se o total de medalhas de ouro
conquistadas; depois, consideram-se as de
prata e de bronze. Tal critério pode gerar algumas distorções, porque um país com grande quantidade de medalhas de prata e bronze, mas sem nenhuma medalha de ouro, ficar
atrás de um país que ganhasse apenas uma
medalha de ouro. A tabela a seguir mostra
a classificação dos 25 primeiros colocados
nos Jogos Olímpicos de Londres (2012), na
Inglaterra, de acordo com esse critério.
86
Posição
País
Ouro Prata Bronze Total
1
Estados Unidos
46
29
29 104
2
China
38
27
23
88
3
Grã-Bretanha
29
17
19
65
4
Rússia
24
26
32
82
5
Coreia do Sul
13
8
7
28
6
Alemanha
11
19
14
44
7
França
11
11
12
34
8
Itália
8
9
11
28
9
Hungria
8
4
5
17
10
Austrália
7
16
12
35
11
Japão
7
14
17
38
12
Cazaquistão
7
1
5
13
13
Holanda
6
6
8
20
14
Ucrânia
6
5
9
20
15
Nova Zelândia
6
2
5
13
16
Cuba
5
3
6
14
17
Irã
4
5
3
12
18
Jamaica
4
4
4
12
19
República Tcheca 4
3
3
10
20
Coreia do Norte
4
0
2
6
21
Espanha
3
10
4
17
22
Brasil
3
5
9
17
23
África do Sul
3
2
1
6
24
Etiópia
3
1
3
7
25
Croácia
3
1
2
6
Fonte: Folhapress. Disponível em: <http://olimpiadas.uol.com.
br/quadro-de-medalhas>. Acesso em: 26 mar. 2014.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
a) Se fizermos uma reclassificação desses
países levando em consideração, como
critério de ordenação, o maior número
de medalhas, quais seriam algumas das
mudanças na tabela?
Posição
País
1
Estados Unidos
2
China
3
3ÞTTJB
"3ÞTTJBBTTVNJSJBB‹DPMPDBÎÍPOPMVHBSEB(SÍ#SFUBOIB
4
(SÍ#SFUBOIB
RVFDBJSJBQBSBPMVHBS""MFNBOIBQBTTBSJBQBSBPMVHBS
5
Alemanha
6
'SBOÎB
7
+BQÍP
8
Austrália
9
$PSFJBEP4VM
10
*UÈMJB
11
Holanda
12
Hungria
13
Ucrânia
14
Espanha
15
$B[BRVJTUÍP
16
#SBTJM
17
Nova Zelândia
18
$VCB
19
*SÍ
20
Jamaica
PTBMVOPTBTSB[ÜFTQFMBTRVBJTPCUJWFNPTBMHVNBTNVEBO-
21
3FQÞCMJDB5DIFDB
ÎBT1PSFYFNQMPQPEFTFEJTDVUJSRVFP#SBTJMRVFPDV-
22
Coreia do Norte
23
«GSJDBEP4VM
24
Etiópia
25
Croácia
RVFBOUFTQFSUFODJBË$PSFJBEP4VM&TUBÞMUJNBDBJSJBQBSBP
Ouro Prata Bronze Média
MVHBS0+BQÍPTVCJSJBEPMVHBSQBSBPMVHBS
b) Vamos propor outro critério para estabelecer a classificação no quadro de
medalhas em uma Olimpíada: “medalha de ouro vale 3 pontos; medalha de
prata, 2 pontos, e medalha de bronze,
1 ponto. Será mais bem classificado,
portanto, o país com maior média ponderada de pontos”.
Monte uma tabela estabelecendo a
classificação de acordo com esse critério e compare com a classificação
oficial.
" UBCFMB B TFHVJS NPTUSB B OPWB DMBTTJGJDBÎÍP VUJMJ[BOEP
VNB DBTB EFDJNBM EF BQSPYJNBÎÍP OP DÈMDVMP EB NÏEJB
QPOEFSBEB&TTBUBCFMBQPEFTFSVUJMJ[BEBQBSBEJTDVUJSDPN
QBWB B DPMPDBÎÍP TVCJV QPTUPT QBTTBOEP B PDVQBS
a
B a. Tal fato ocorreu porque outros países com menos
NFEBMIBTEPRVFFMFQPSÏNDPNNBJTNFEBMIBTEFPVSP
PDVQBSBNDMBTTJGJDBÎÜFTNFMIPSFT
87
Mediana
Se nosso conjunto de dados apresenta valores díspares, distribuídos ao acaso ou variando
em torno de valores extremos, vimos que a média é enganosa.
A mediana é outra medida de tendência
central, calculada da seguinte maneira:
f ordenamos os dados do nosso conjunto;
f se tivermos um número ímpar de dados,
a mediana será o termo do meio dessa
ordenação; caso tenhamos um número
par de dados, a mediana será a média aritmética simples dos dois termos centrais.
realizam o cálculo da mediana com base em
um conjunto de dados, ordenados ou não).
Uma das desvantagens da mediana é a
seguinte: se um dos dados do centro muda
ligeiramente, a mediana pode se alterar significativamente, o que já não acontece com a
média, que é relativamente pouco afetada por
uma pequena mudança nos números centrais.
No entanto, conta a favor da mediana o fato
de que, se um dos valores extremos muda,
mantendo-se a ordem, a mediana permanece
inalterada. No caso da média, quando os valores extremos mudam ou desaparecem, essa
medida pode ser significativamente alterada.
Moda
3. Calcule a mediana dos conjuntos de idades
apresentados nos itens b e c da atividade 1 desta seção. Em seguida, responda se a mediana é
uma boa representante dos dados ou não.
"PSEFOBÎÍPEPTEBEPTEPJUFNC
Ï$PNP
UFNPT VN OÞNFSP ÓNQBS EF EBEPT B NFEJBOB Ï P UFSNP
DFOUSBMPVTFKBÏJHVBMBBOPTEFJEBEF
&NSFMBÎÍPBPTEBEPTEPJUFND
BPSEFOBÎÍPTFSÈ
Chama-se moda o valor que se repete mais
vezes no conjunto de dados. Por exemplo, no
item c da atividade 1 a moda é 12 anos de idade. Se todos os dados do conjunto são diferentes entre si, dizemos que não há moda. Um
conjunto de dados pode ter duas, três ou mais
modas, como nos exemplos a seguir:
FBNFEJBOBBOPTEFJEBEF/PUFRVFFNBNCPTPTDBTPTBNFEJBOBÏVNBCPBSFQSFTFOUBOUFEPTEBEPTBOBMJTBEPT
Vale destacar que o cálculo da mediana foi
simples porque nosso conjunto de dados tinha
poucos elementos. No caso de um conjunto
muito grande de dados não ordenados, o cálculo manual da mediana seria extremamente desgastante, uma vez que ele envolve a ordenação
dos dados. Nesses casos, os estatísticos usam o
computador para fazer o cálculo (as planilhas
de cálculo e as calculadoras científicas também
88
f 20, 20, 40, 50, 50, 70, 80: esse conjunto tem duas modas, que são o 20 e o 50
(dizemos que é um conjunto bimodal);
f 15, 23, 12, 15, 23, 23, 15, 17, 17, 17, 17,
15, 23: esse conjunto tem três modas,
que são 15, 17 e 23 (dizemos que é um
conjunto trimodal).
Assim como as demais medidas, a moda
apresenta vantagens e desvantagens. Note que,
em um conjunto de dados como 1, 1, 54, 76, 129,
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
140, a moda é 1, e não é uma boa representante
dos dados. Se, por outro lado, trocarmos um valor 1 por 76, a moda altera-se totalmente, o que
mostra ser um tipo de medida que pode ser muito afetado pela mudança de um único elemento
do conjunto de dados. Apesar dessa desvantagem, a moda é uma medida estatística útil. Note
que tanto no caso da média como da mediana,
essas medidas podem ser boas representantes
dos dados, mas raramente correspondem diretamente a um dos dados do conjunto (a não ser
no caso da mediana de um número ímpar de termos). No caso da moda, isso não ocorre, já que
ela necessariamente corresponde a um dado do
conjunto. A atividade a seguir pretende caracterizar uma utilidade prática da moda.
4. Os salários pagos aos 8 funcionários de
uma empresa são: R$ 500,00, R$ 600,00,
R$ 600,00, R$ 600,00, R$ 800,00, R$ 810,00,
R$ 810,00, R$ 9 000,00. Calcule a média, a
mediana e a moda dos salários, e, em seguida, responda à seguinte pergunta: qual seria o salário mais provável de um funcionário que viesse a ocupar o cargo de um dos
funcionários dessa empresa, se um desses
cargos ficasse vago?
.ÏEJB3
.FEJBOB
Ÿ3
.PEB3
$PNP IÈ VN OÞNFSP NBJPS EF GVODJPOÈSJPT OB FNQSFTB
DPN TBMÈSJP DPSSFTQPOEFOUF Ë NPEB PV TFKB 3 F
BENJUJOEPTF RVF RVBMRVFS VNB EBT WBHBT TFKB JHVBMNFOUF
QSPWÈWFM B DIBODF NBJPS Ï EF RVF P TBMÈSJP EP DBSHP TFKB
JHVBMB3/FTTFDBTPBNPEBGPJPWBMPSNBJTTJHOJmcativo para representar o que queremos.
Inúmeros problemas podem ser criados
para verificar utilidades e limitações de cada
uma dessas três medidas de centralidade.
Nossa proposta com essa breve apresentação
foi apenas a de sinalizar para o tipo de discussão que consideramos relevante no estudo da estatística descritiva na 5a série/6o ano
do Ensino Fundamental.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 8, analisamos, inicialmente, aspectos relacionados
à produção de questionários, à coleta e à
tabulação de dados, e à montagem de gráficos. Na sequência, discutimos o cálculo, as
vantagens e os limites de cada uma das três
principais medidas de tendência central: média, moda e mediana. Consideramos como
pré-requisito mínimo de aprendizagem desses conteúdos:
f a organização de registros em tabelas
e gráficos;
f o uso dos dados para produção de texto
consistente e coerente (nos relatórios do
trabalho proposto os alunos terão que
argumentar sobre os resultados obtidos
na pesquisa);
f o cálculo da média, moda e mediana de
um conjunto de dados;
f saber escolher a melhor medida representativa da centralidade de um conjunto de dados, bem como compreender
as vantagens e os limites de cada uma
das medidas.
89
A avaliação dos temas desta Situação de
Aprendizagem privilegia o trabalho em grupo.
Avaliar o trabalho em grupo em Matemática
demanda a organização de etapas de acompanhamento, todas envolvendo algum critério de avaliação. A primeira etapa pode ser a
produção de questionários para aplicação em
classe. Após analisar a produção dos grupos,
sugira ajustes e marque uma nova data para
que essa etapa do trabalho seja concluída e
reavaliada. O objetivo é incentivar o progresso na produção do grupo. Outra etapa é a da
tabulação dos dados e, nesse caso, o que se
deve avaliar é se o aluno organiza os dados em
tabelas de maneira apropriada. A construção
dos gráficos com os dados da pesquisa constitui outra etapa de avaliação do trabalho em
grupo. Verifique se os alunos estão escolhendo
o tipo de gráfico mais adequado para representar a informação desejada, se estão trabalhando corretamente com escalas e com o uso
de outros elementos como cores, legendas etc.
O último item a ser avaliado é o tipo de análise das informações obtidas: a turma consegue
estabelecer relações entre os dados obtidos?
Consegue confrontar os dados com hipóteses
iniciais de previsão de resultados? Consegue
identificar limitações na pesquisa?
Além da avaliação formal em etapas, os
trabalhos em grupo também propiciam um
ambiente favorável à autoavaliação. Uma
etapa importante da aprendizagem escolar
é aquela cujo objetivo é colocar o indivíduo
diante de uma avaliação crítica sobre a própria produção e participação no trabalho
coletivo. Nesse aspecto, incentive sempre o
espírito de cooperação entre os integrantes e
a avaliação crítica da produção, o que pode
ser estimulado por meio da autoavaliação, na
qual o estudante atribui uma nota para si e
justifica essa atribuição.
Exercícios sobre medidas de tendência
central são encontrados na maioria dos livros didáticos. Ressaltamos mais uma vez,
no entanto, a importância de valorizar problemas que trabalhem mais com o significado dessas medidas do que com seu cálculo,
isoladamente.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
As quatro situações de aprendizagens iniciais destacam o trabalho com a formação do
pensamento geométrico. Mas, caso identifique
que os objetivos mínimos não foram plenamente atingidos por algum aluno, o professor
pode diversificar a abordagem dos temas por
meio de novos exercícios ou de novas situações-problema com o uso do material sugerido. Além disso, o professor também pode uti-
90
lizar alguns exercícios do livro didático sobre
o assunto para sistematizar conhecimentos.
Em algumas situações, é possível utilizar
malhas como suporte para o desenho das
representações dos sólidos. O trabalho com
a manipulação de sólidos já construídos, em
que os alunos têm que identificar os elementos e a relação entre os elementos dos objetos
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
(arestas, vértices e faces), também é uma estratégia possível para recuperação.
Para a discussão sobre perímetro e área
de figuras, bem como para o trabalho com
frações, o uso de papel quadriculado pode
ser um suporte alternativo. O professor poderá preparar uma lista de exercícios na
qual os alunos deverão compor e decompor
figuras em um papel quadriculado para trabalhar área e perímetro, pedindo-lhes que
pintem barras no papel quadriculado para
representar as frações e a operação de adição entre elas. Uma alternativa ao trabalho,
na Situação de Aprendizagem 4, com malhas
na recuperação envolvendo os conceitos de
área e perímetro, é a utilização do tangram.
Já as quatro últimas Situações de Aprendizagens abordam o tema Tratamento da Informação. Um conceito importante a ser trabalhado neste tema é a porcentagem. Caso a
dificuldade esteja relacionada especificamente
ao cálculo com porcentagens, é de extrema importância que se proponham novos exercícios
e, também, que se utilize a calculadora como
ferramenta de investigação. Se a dificuldade
estiver na organização e análise de dados em
tabelas, sugerimos a produção de um texto em
que se explique a informação de uma tabela
publicada em jornal ou revista.
A iniciação da leitura de dados em gráficos
é um fator importante nas unidades referentes
ao assunto Tratamento da Informação; mas,
caso o aluno encontre dificuldades na assimilação desse conceito, recomenda-se a retomada da produção de gráficos, solicitando
novas atividades elaboradas pelo professor ou
retiradas de livros didáticos. Além disso, você
também pode buscar auxílio em planilhas eletrônicas para construir gráficos, no caso de
haver a possibilidade de se utilizar esses equipamentos na escola.
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
Sites
CEMPEM. Geoplano. Disponível em: <http://
www.cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/cursos/
el654/2001/pedro_e_fabio/EL654/geoplano/
geoplano.htm>. Acesso em: 13 nov. 2013.
EDUCOM. Pentaminós. Disponível em: <http://
escolovar.org/mat_geometri_pentaminos.htm>.
Acesso em: 2 dez. 2013.
EDUCOM. Tangram. Disponível em: <http://
escolovar.org/mat_tangram.htm>. Acesso em:
2 dez. 2013.
FACULDADE DE CIÊNCIAS. Escher. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/
icm2001/icm21>. Acesso em: 13 nov. 2013.
FUNDAÇÃO SEADE. Disponível em: <http://
www.seade.gov.br>. Acesso em: 13 nov. 2013.
91
IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: <http://www.ibge.gov.
br>. Acesso em: 13 nov. 2013.
RECICLAGEM DO LIXO. Disponível em:
<http://www.recicloteca.org.br/Default.asp>.
Acesso em: 13 nov. 2013.
UFSC. Software Geoplano Computacional.
Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/~edla/
projeto/geoplano/software.htm>. Acesso em:
13 nov. 2013.
MOTTA, Ivani Aparecida Rodrigues da. Tangram. Projeto Teia do Saber. Unesp campus
92
Guaratinguetá. São Paulo, 2006. Disponível
em: <http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/
trab_finais/TrabalhoIvany.pdf>. Acesso em:
13 nov. 2013.
GEOPLANO. Disponível em: <http://paje.
fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/material/_
private/geoplano.htm>. Acesso em: 13 nov. 2013.
Como sugestão geral para o professor,
válida para todos os Cadernos, indicamos a
Revista do Professor de Matemática (coleção
completa), editada pela Sociedade Brasileira
de Matemática, disponível em: <http://www.
rpm.org.br/cms/>. Acesso em: 2 dez. 2013.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste volume, destinado à 5a série/6o ano
dos Ensino Fundamental – Anos Finais, foram abordados aspectos teóricos sobre a Geometria e o Tratamento da Informação. Nos
estudos destinados à Geometria, ressaltamos
as habilidades de reconhecimento, observação
e classificação de figuras planas e espaciais,
com ênfase para a iniciação da interpretação e
utilização correta do vocabulário geométrico.
Sendo assim, foram desenvolvidas as Situações de Aprendizagem, que, de maneira geral,
foram desenvolvidas segundo os aspectos destacados a seguir.
Na Situação de Aprendizagem 1, propomos algumas atividades cujo objetivo é a compreensão das figuras geométricas; na Situação
de Aprendizagem 2, por sua vez, são propostas atividades de construção de sólidos com a
utilização de materiais manipulativos. Já na
Situação de Aprendizagem 3, exploraram-se
os fundamentos de perímetro e área a partir
do uso de malhas, ao passo que na Situação
de Aprendizagem 4, utilizou-se o mesmo material no estudo de ampliação e redução de
figuras geométricas. Sendo assim, o objetivo
dessas quatro primeiras Situações de Aprendizagem é possibilitar o desenvolvimento da
criatividade, da observação, do senso estético
e da identificação de padrões e regularidades.
Na Situação de Aprendizagem 5, o foco central foi a produção e análise de dados em tabelas
e, na Situação de Aprendizagem 6, tratamos da
leitura, análise e interpretação de gráficos. Na
Situação de Aprendizagem 7, tratamos da construção desses gráficos, ao passo que, na Situação de Aprendizagem 8, focamos em aspectos
relacionados tanto à elaboração de uma pesquisa estatística e ao cálculo, quanto à análise das
principais medidas de tendência central de um
conjunto de dados.
As sugestões apresentadas devem ser compreendidas como um material de apoio, para
que o professor prepare suas aulas com autonomia e de acordo com o seu planejamento;
ou seja, entender esse material e os demais
como algo pronto para ser usado em sala de
aula consiste em um equívoco sobre os objetivos centrais desse Caderno.
Por fim, no quadro de conteúdos apresentado ao final deste Caderno, destacamos aqueles
que mantêm relação, direta ou indireta, com
os temas explorados neste volume. O objetivo
dessas indicações seria mapear algumas possibilidades concretas do currículo em espiral, no
qual os temas aparecem e reaparecem, sempre
tratados de uma maneira mais aprofundada ou
sob novos pontos de vista.
Vale lembrar que as oito Situações de
Aprendizagem propostas não esgotam as
possibilidades de abordagem dos assuntos
considerados, tampouco exploram diretamente todos aqueles listados no quadro de
conteúdos. A opção de não explorar direta-
93
mente problemas de contagem, que constam
no quadro do volume, não significa que estes
sejam menos importantes ou que não devem
94
ser propostos, mas apenas que nossas escolhas foram condicionadas às possibilidades
mais inovadoras de abordagem dos temas.
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
ANEXO 1
1
2
3
5
4
6
9
8
7
12
11
14
13
10
15
95
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
ANEXO 2
97
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
ANEXO 3
99
Matemática – 5a série/6o ano – Volume 2
QUADRO DE CONTEÚDOS DO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
5a série/6o ano
Volume 1
NÚMEROS NATURAIS
– Múltiplos e divisores.
– Números primos.
– Operações básicas.
– Introdução às potências.
FRAÇÕES
– Representação.
– Comparação e
ordenação.
– Operações.
NÚMEROS DECIMAIS
– Representação.
– Transformação em
fração decimal.
– Operações.
Volume 2
SISTEMAS DE MEDIDA
– Comprimento, massa
e capacidade.
– Sistema métrico
decimal.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Formas planas e espaciais.
– Noção de perímetro e área
de figuras planas.
– Cálculo de área
por composição e
decomposição.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
– Média aritmética.
– Problemas de contagem.
6a série/7o ano
NÚMEROS NATURAIS
– Sistemas de numeração na
Antiguidade.
– O sistema posicional decimal.
NÚMEROS INTEIROS
– Representação.
– Operações.
NÚMEROS RACIONAIS
– Representação fracionária
e decimal.
– Operações com decimais
e frações.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Ângulos.
– Polígonos.
– Circunferência.
– Simetrias.
– Construções geométricas.
– Poliedros.
NÚMEROS/
PROPORCIONALIDADE
– Proporcionalidade direta
e inversa.
– Razões, proporções,
porcentagem.
– Razões constantes na
Geometria: .
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Gráficos de setores.
– Noções de probabilidade.
ÁLGEBRA
– Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
– Conceito de equação.
– Resolução de equações.
– Equações e problemas.
7a série/8o ano
8a série/9o ano
NÚMEROS RACIONAIS
– Transformação de
decimais finitos em fração.
– Dízimas periódicas e
fração geratriz.
NÚMEROS REAIS
– Conjuntos numéricos.
– Números irracionais.
– Potenciação e radiciação
em IR.
– Notação científica.
ÁLGEBRA
– Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
– Noções básicas sobre
função; a ideia de
interdependência.
– Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
POTENCIAÇÃO
– Propriedades para
expoentes inteiros.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– A linguagem das
potências.
ÁLGEBRA
– Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
– Produtos notáveis.
– Fatoração algébrica.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES
– Equações de 1o grau.
– Sistemas de equações e
resolução de problemas.
– Inequações de 1o grau.
– Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
– Área de polígonos.
– Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Proporcionalidade, noção
de semelhança.
– Relações métricas entre
triângulos retângulos.
– Razões trigonométricas.
– O número π; a
circunferência, o círculo
e suas partes; área do
círculo.
– Volume e área do
cilindro.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Contagem indireta e
probabilidade.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
101
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrella.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula
de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro
e Neide Ferreira Gaspar.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira
Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos
Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata
Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da
Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e
Roseli Gomes de Araujo da Silva.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas
Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Log Print GráÅca e Logística S. A.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva
Mauro de Mesquita Spínola
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. Bezerra,
Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva,
Bruno Reis, Carina Carvalho, Carolina H. Mestriner,
Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes,
Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros,
Giovanna Petrólio Marcondes, Gisele Manoel,
Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo,
Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Maíra de
Freitas Bechtold, Marina Murphy, Michelangelo
Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone,
Paula Felix Palma, Pietro Ferrari, Priscila Risso,
Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Renata
Regina Buset, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção
Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas
de Almeida.
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e
Sérgio Adas.
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
(coordenadora) e Ruy Berger (em memória).
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Dayse de Castro Novaes Bueno, Érica
Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da
Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo
Forli, Maria Magalhães de Alencastro, Vanessa
Bianco e Vanessa Leite Rios.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design GráÅco e Occy Design (projeto gráÅco).
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são
indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados
e como referências bibliográficas. Todos esses endereços
eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é
um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de
terceiros e mantêm as características dos originais, no que
diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos
elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no
Caderno do Professor para apoiar na identificação das
atividades.
S2+1m
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática,
ensino fundamental ¹ anos Ånais, -a série/6o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria
Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. - São Paulo: SE, 2014.
v. 2, 104 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino
Médio e Educação ProÅssional ¹ CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.
ISBN 1/0-0--/041-6/2-2
1. Ensino fundamental anos Ånais 2. Matemática +. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V.
Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: +/1.+:006.10
Validade: 2014 – 2017