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Questão 1
Determine o conjunto de todos os números
reais x para os quais vale a desigualdade
1
|log16 (1 − x2 ) − log4 (1 + x )|< .
2
Resposta
| log16 (1 − x 2 ) − log 4 (1 + x) | <
1
⇔
2
1
⇔ | log16 (1 − x 2 ) − log 16 (1 + x) | <
⇔
2
1
| log16 (1 − x 2 ) − log16 (1 + x) 2 | <
⇔
2 ⇔
1 + x >0
⇔
⇔
(1 + x)(1 − x)
1
1
<
< log16
2 ⇔
2
(1 + x) 2
x > −1
−
1
1−x
< log16
< log16 4
⇔
4
1+x
x > −1
log16
1
1−x
<
<4
⇔ 4
⇔
1+x
x > −1
⇔
Resposta
A área pedida é igual à soma das áreas dos polígonos BMN, EFG, BMEF, BNGF e MNGE. Temos
l l
⋅
2
2
2 = l , área EFG = l ⋅ l =
área BMN =
2
2
8
⎛ l
⎞
+ l⎟ ⋅ l
⎜
⎝2
⎠
l2
e área BMEF = área BNGF =
=
=
2
2
2
3l
.
=
4
O quadrilátero MNGE é um trapézio de lados
l 2
paralelos EG = l 2 e MN =
e lados não para2
lelos EM = GN =
⎛ l⎞
l2 + ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
2
=
l 5
.
2
1 + x < 4 − 4x < 16 + 16x
⇔
x > −1
3
x <
5
1 + x < 4 − 4x
3
⇔ 4 − 4x < 16 + 16x ⇔ x > −
5
x > −1
x > −1
3
3
<x <
5
5
⎤ 3 3
Logo V = ⎥ − ;
⎦ 5 5
⇔−
⎡
⎢⎣.
Questão 2
Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C,
D, E, F, G, H tem lado l. Os pontos M e N são
pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.
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⎛l 2 ⎞
⎟
Sendo h a altura do trapézio, h 2 + ⎜
⎝ 4 ⎠
⎛l 5
=⎜
⎝ 2
⎛l 2
⎜
⎝ 2
=
⎞
⎟
⎠
2
⇔h =
2
=
3 2 ⋅l
. Assim, área MNGE =
4
⎞3 2
⋅l
+l 2⎟
⎠ 4
9 l2
e a área da su=
2
8
2
2
l
l
3 l2 9 l2
perfície do tronco é
+
+2 ⋅
+
=
8
2
4
8
2
13 l
.
=
4
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matemática 2
Questão 3
Questão 4
Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática.
Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14
questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova
como sendo aquelas que seguem o seguinte
padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de
Matemática e, ainda mais: duas questões
de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma
prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba
uma versão classe A?
a) Sendo i a unidade imaginária, determine
as partes real e imaginária do número complexo
1
1
z0 =
−
+ i.
1+i
2i
Resposta
a) Podemos ordenar as 14 questões de 14! maneiras, então há 14! versões distintas da prova.
b) Vamos primeiro contar as maneiras de escolher as posições das questões de cada matéria e
depois as maneiras de ordenar as questões dentro de cada matéria.
Cada questão de Matemática, com exceção da
última, deve ser seguida por uma de Geografia,
formando um bloco MG. Há mais duas questões
de Geografia, que representaremos por G.
Assim, devemos ordenar dois blocos MG e
duas questões G, o que pode ser feito de
(2 + 2)!
= 6 maneiras.
2!2!
Como há 7! ⋅ 4! ⋅ 3! maneiras de ordenar as questões dentro de cada matéria, há 6 ⋅ 7! ⋅ 4! ⋅ 3! versões classe A da prova.
c) Há 7! maneiras de ordenar as questões de Português e 7! maneiras de ordenar as demais, de
modo que há 7!7! provas possíveis que começam
com as 7 questões de Português.
6 ⋅ 7! ⋅ 4! ⋅ 3!
Logo a probabilidade pedida é
=
7!7!
6 ⋅ 4! ⋅ 3!
6
.
=
=
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4!
35
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b) Determine um polinômio de grau 2, com
coeficientes inteiros, que tenha z0 como
raiz.
c) Determine os números complexos w tais
que z0 ⋅ w tenha módulo igual a 5 2 e tais
que as partes real e imaginária de z0 ⋅ w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número
complexo z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equação y − x = 0.
Resposta
1
1
1−i
1−i
=
⋅
=
1+i
1+i 1−i
2
1
1 i
i
−
=−
⋅ = .
2i
2i i
2
1
1
1−i
i
Logo z 0 =
−
+i =
+
+i =
1+i
2i
2
2
1
=
+ i.
2
a) Temos que
e
b) A equação x 2 − (z 0 + z 0 )x + z 0 ⋅ z 0 = 0 tem
raízes z 0 e z 0 .
Como x 2 − (z 0 + z 0 )x + z 0 ⋅ z 0 = 0 ⇔
⇔ x 2 − 2Re(z 0 )x + | z 0 |2 = 0 ⇔
⎛⎛ 1
⇔ x 2 − x + ⎜⎜ ⎜
⎝⎝ 2
2
⎞
⎞
2
⎟ + 1 ⎟⎟ = 0 ⇔
⎠
⎠
⇔ 4x 2 − 4x + 5 = 0 ( ∗), a equação ( ∗) satisfaz as
condições do problema.
c) Das condições dadas, z 0 ⋅ w = a(1 + i) com
|z 0 ⋅ w | = 5 2 ⇔ a2 + a2 = 5 2 ⇔
⇔ | a | 2 = 5 2 ⇔ | a | = 5 ⇔ a = ±5
Como z 0 ⋅ z 0 = | z 0 |2 ⇔
1
−i
z0
1
2
⇔
=
=
=
5
z0
| z 0 |2
4
2
2a
= a(1 + i) ⋅ (1 − 2i) =
5
5
= 2(3 − i) = 6 − 2i ou w =
a(1 + i)
2
(1 − 2i), w =
=
z0
5
(3 − i). Ou seja, w =
−2(3 − i) = −6 + 2i .
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matemática 3
(x − 4)(x 2 − 10x + 16) = 0 ⇔ x − 4 = 0 ou
x 2 − 10x + 16 = 0 ⇔ x = 4 ou x = 2 ou x = 8 .
a) V = {2, 4, 8}
b) k = 56
d)
Questão 6
Da figura anterior, temos que o simétrico de qualquer ponto (a; b) em relação à reta y − x = 0 é
1
(b; a). Logo o simétrico de z 0 =
+1 =
2
1
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
= ⎜ ; 1⎟ é z1 = ⎜1; ⎟ = 1 +
i.
⎝2 ⎠
⎝ 2⎠
2
As circunferências 1 e 2 estão centradas
em O1 e O2 , têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente.
Uma reta t é tangente a 1 no ponto P1 , tangente a 2 no ponto P2 e intercepta a reta O1O2
no ponto Q. Sendo assim, determine
a) o comprimento P1 P2 ;
b) a área do quadrilátero O1O2 P2 P1 ;
c) a área do triângulo QO2 P2 .
Resposta
Questão 5
a)
As raízes da equação do terceiro grau
x 3 − 14 x2 + kx − 64 = 0
são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine
a) as raízes da equação;
b) o valor de k.
Resposta
então
m
, m e mq (m ≠ 0 e
q
q ≠ 0), das relações entre coeficientes e raízes,
( −64)
m
temos que
⋅ m ⋅ mq = −
⇔ m 3 = 64 ⇔
q
1
⇔ m = 4. Substituindo essa raiz na equação, temos
4 3 − 14 ⋅ 4 2 + 4k − 64 = 0 ⇔ 4k = 224 ⇔
⇔ k = 56.
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, utilizando
a raiz igual a 4, obtemos:
Sendo as raízes da equação
4
Temos O1O2 = 3 + 12 = 15 e sendo P1P2 // O1P ,
1
−14
56
−64
1
−10
16
0
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ter a-feira, 11 de janeiro de 2011 22:20:20
P1P2 = O1P .
Temos
ainda
que
P1O1 = P2 P = 3 , assim PO2 = 9. Logo (O1O2 ) 2 =
= (P1P2 ) 2 + (PO2 ) 2 ⇔ 15 2 = 9 2 + (P1P2 ) 2 ⇔
⇔ P1P2 = 12 .
b) O quadrilátero O1O2 P2 P1 é um trapézio retângulo cuja altura é P1P2 , assim sua área é
(12 + 3) ⋅ 12
= 90.
2
PO2
c) Como ΔQP1O1 ~ ΔO1PO2 , então
=
P1O1
PO1
9
12
=
⇔
=
⇔ P1Q = 4.
P1Q
3
P1Q
Assim a área do triângulo é
(4 + 12) ⋅ 12
= 96.
2