MATEMÁTICA I
Adriane Violante de Carvalho Ramos
Sumário
1.
NÚMEROS REAIS ............................................................................................................... 4
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ............................................................. 4
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS .................................................... 4
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS.................................................... 5
SIMPLIFICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS .............................................................. 5
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ............................................................ 5
DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ........................................................................... 6
POTENCIAÇÃO:................................................................................................................. 7
2.
TEORIA DOS CONJUNTOS .............................................................................................. 7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
DEFINIÇÃO........................................................................................................................ 7
CONJUNTOS VAZIO E UNITÁRIO ..................................................................................... 8
SUBCONJUNTO .................................................................................................................. 8
COMPLEMENTAR ............................................................................................................. 9
OPERAÇÕES ...................................................................................................................... 9
3.
TEORIA DOS INTERVALOS .......................................................................................... 12
3.1
OPERAÇÕES .................................................................................................................... 14
4.
RELAÇÕES E FUNÇÕES ................................................................................................. 15
4.1
4.2
4.3
4.4
PAR ORDENADO ............................................................................................................. 15
PRODUTO CARTESIANO ................................................................................................. 16
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................. 17
DOMÍNIO E IMAGEM ...................................................................................................... 18
5.
FUNÇÃO DO 1º GRAU ...................................................................................................... 19
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
DEFINIÇÃO...................................................................................................................... 19
CASOS PARTICULARES .................................................................................................. 20
GRÁFICO ......................................................................................................................... 20
RAIZ OU ZERO ................................................................................................................ 21
ESTUDO DO SINAL .......................................................................................................... 22
INEQUAÇÕES................................................................................................................... 23
APLICAÇÕES ................................................................................................................... 23
6.
FUNÇÃO DO 2º GRAU ...................................................................................................... 24
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
DEFINIÇÃO...................................................................................................................... 24
RAIZ OU ZERO ................................................................................................................ 24
GRÁFICO ......................................................................................................................... 26
VÉRTICE DA PARÁBOLA ................................................................................................ 27
ESTUDO DO SINAL .......................................................................................................... 27
INEQUAÇÕES................................................................................................................... 30
2
6.7
APLICAÇÕES ................................................................................................................... 30
7.
MATRIZES ......................................................................................................................... 31
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
DEFINIÇÃO...................................................................................................................... 31
TERMO GERAL ............................................................................................................... 32
TIPOS DE MATRIZES ...................................................................................................... 33
IGUALDADE DE MATRIZES ............................................................................................ 35
ADIÇÃO DE MATRIZES ................................................................................................... 36
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES............................................................................................ 37
MULTIPLICAÇÃO DE UM Nº REAL POR UMA MATRIZ ................................................... 37
MATRIZ TRANSPOSTA ................................................................................................... 38
MATRIZ SIMÉTRICA....................................................................................................... 39
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ................................................................................... 39
EQUAÇÕES MATRICIAIS ................................................................................................ 40
8.
SISTEMAS LINEARES ..................................................................................................... 41
8.1
8.2
APLICAÇÕES: MATRIZ INVERSA ................................................................................... 43
APLICAÇÕES: DETERMINAÇÃO DA LEI DE FORMAÇÃO ............................................... 44
9.
DETERMNANTES ............................................................................................................. 45
9.1
9.2
DETERMINANTE DE ORDEM 2 ....................................................................................... 45
DETERMINANTE DE ORDEM 3 ....................................................................................... 46
ANEXO A: OPERAÇÕES ALGÉBRICAS .................................................................................. 48
ANEXO B: PRODUTOS NOTÁVEIS .......................................................................................... 53
ANEXO C: FATORAÇÃO ........................................................................................................... 54
ANEXO D: INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE ........................................................... 56
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................. 58
3
1. NÚMEROS REAIS
O objetivo desse capítulo é fazer uma breve revisão do cálculo com
números inteiros e fracionários.
1.1
Adição e Subtração de números inteiros
2+5=
8+1=
5–3=
9–8=
7–9=
–5 + 1 =
–3 + 7 =
–3 – 8 =
–8 + 3 =
–8 – 2 =
Sinais iguais
Sinais diferentes
1.2
RESULTADO
Somar os números e repetir o sinal
Diminuir os números e colocar o sinal do maior
Multiplicação e Divisão de números inteiros
3.2=
(–3) . 5 =
2. (–7) =
(–10) . (–4) =
8÷4=
(–10) ÷ 5 =
(–16) ÷ (–4) =
18 ÷ (–5) =
Sinais iguais
Sinais diferentes
Exercício 1:
Calcule:
a)
8+3=
b)
–5 + 12 =
c)
10 – 3 =
d)
–13 + 8 =
e)
–5 – 4 =
f)
–3 – 10 =
g)
72 + 18 =
h)
59 – 18 =
i)
–38 + 17 =
j)
–43 + 52 =
k)
–18 – 23 =
l)
14 . 7 =
1º) Multiplicação e divisão na
ordem que aparecem
2º) Adição e subtração na
ordem que aparecem
RESULTADO
Sinal sempre positivo
Sinal sempre negativo
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
(–21) . 3 =
42 . (–5) =
(–17) . (–4) =
100 ÷ (–5) =
(–20) ÷ (–4) =
84 ÷ (–21) =
(–120) ÷ 20 =
4 – 16 ÷ 2 =
(18 . 2 – 6) ÷ (–5) =
2 – (7 . 5 ÷ 5)=
14 ÷7 – 5 . 3 =
1º) parênteses
2º) colchetes
3º) chaves
4
1.3
Adição e subtração de números fracionários
1.4
Simplificação de números fracionários
Exercício 2:
Simplifique:
a)
b)
c)
1.5
Multiplicação de números fracionários
5
1.6
Divisão de números fracionários
Exercício 3:
Calcule:
a)
i)
b)
j)
c)
k)
d)
l)
e)
m)
f)
n)
g)
o)
14 =
h)
p)
q)
r)
6
1.7
Potenciação:
32 =
23 =
52 =
(-2)2 =
(-3)3 =
80=
=
- 22 =
Expoente par
Expoente ímpar
RESULTADO
Sempre positivo
Mantém o sinal
Todo número elevado a zero é igual a 1.
2. TEORIA DOS CONJUNTOS
2.1
Definição
Conjunto é qualquer coleção de objetos.
Exemplos:
1) Conjunto dos estados da Região Sul:
2) Conjunto dos números naturais ímpares:
Chamamos cada objeto de um conjunto de elemento.
Quando um elemento a pertence a um conjunto A, escrevemos:
Caso contrário:
Exemplos:
3) Paraná
S
Rio de Janeiro
4) 16
27
S
I
I
7
Exercício 1:
Escreva cada conjunto abaixo:
a) A = {números naturais pares maiores do que 5}
b) B = {números naturais entre 2 e 8}
c) C = {letras da palavra conjunto}
d) D = {números primos}
Exercício 2:
Utilizando os conjuntos do exercício 1, classifique em V ou F:
a) 18 A
b) 2 B
c) j C
d) 9 D
e) 4 A
f) m C
g) 7 D
h) 6 B
2.2
Conjuntos Vazio e Unitário
Conjunto Vazio é o conjunto que não possui elementos.
Exemplos:
1) A = {números naturais ímpares menores do que 1}
2) B = {estados da região sudeste que começa com a letra p}
Conjunto Unitário é o conjunto que possui apenas 1 elemento.
Exemplos:
3) C = {números primos pares}
4) D = {consoantes da palavra céu}
2.3
Subconjunto
Dados dois conjunto A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os seus
elementos também são elementos de A.
Exemplos:
1) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 4, 5}
Nesse caso:
8
2) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {2 ,3 ,6}
Nesse caso:
Também podemos dizer que:
Exercício 3:
Sejam A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, C = {1, 3, 5}, D = {2, 8, 12} e
E ={ 1, 12}. Complete com o símbolo adequado:
a)
C
A
g)
C
b)
D
B
h)
B
B
c)
E
B
i)
{1, 4} A
d)
B
A
j)
B
{2, 4, 6, 8, 10}
e)
A
C
k)
{12}
E
f)
B
D
l)
2
D
2.4
Complementar
Sejam A e B dois conjuntos, com B A. Chamamos de complementar de B em
relação a A ao conjunto formado pelos elementos de A que não estão em B.
Notação:
Exemplo:
Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {0, 1, 6}.
=
=
Exercício 4:
Sejam: A = {x/ x é natural menor do que 8}
B = {x/ x é natural ímpar menor do ou igual a 7}
C = {x/ x é natural entre 2 e 5}
Calcule:
a)
=
2.5
b)
=
c)
=
Operações
A) União
Sejam A e B, dizemos que a união entre A e B é o conjunto formado pelos
elementos de A mais os elementos de B.
Notação: A B
9
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8}
A B=
B) Interseção
Sejam A e B, dizemos que a interseção entre A e B é o conjunto formado pelos
elementos comuns a A e a B.
Notação: A B
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8}
A B=
C) Diferença
Sejam A e B, dizemos que a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos
elementos de A que não estão em B.
Notação: A – B
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8}
A–B=
B–A=
A – B ≠ B –A
Exercício 5:
Sejam A = {0, 1, 2, 4, 6, 7}, B = {1, 3, 5} e C = {2, 4, 6}. Determine:
i) A – C =
a) A B =
j) C – A =
b) A C =
k) B – C =
c) B C =
l) C – B =
d) A B =
m)
=
e) A C =
n)
=
f) B C =
o)
=
g) A – B =
h) B – A =
Exercício 6:
Sejam A = {x/ x é natural ímpar menor do que 10}
B = {x/ x é natural par entre 3 e 11}
C = {x/ x é natural menor do que 5}.
Determine:
a) A B =
b) A C =
c) B C =
d) A B =
e) A C =
f)
g)
h)
i)
B
(A
(A
(A
C=
B)
C)
B)
C=
B=
C=
10
Exercício 7:
Sejam A = {7, 8, 9} e B = {8, 9, 10, 11}. Determine:
a) A B =
b) A B =
c) A – B =
d) B – A =
e)
=
f)
, onde U = {x/ x é natural menor do que 13}
Exercício 8:
Numa pesquisa: 90 jovens disseram gostar de música, 70 gostam de esportes, 25
de ambos e 40 não gostam de nenhum dos dois. Quantos jovens foram
entrevistados?
Exercício 9:
Em uma pesquisa com 50 pessoas perguntou-se o esporte que elas gostam:
23 gostam de futebol
18 gostam de basquete
14 gostam de vôlei
10 gostam de futebol e basquete
9 gostam de futebol e vôlei
8 gostam de basquete e vôlei
5 gostam dos três
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum esporte?
b) Quantas gostam apenas de futebol?
c) Quantas não gostam de basquete nem de vôlei?
Exercício 10:
Numa entrevista questionou-se o jornal lido por cada entrevistado:
22 lêem os jornais A, B e C
30 lêem os jornais A e B
40 lêem os jornais B e C
35 lêem os jornais A e C
50 lêem o jornal A
62 lêem o jornal B
54 lêem o jornal C
27 não lêem nenhum jornal
a) Quantas pessoas foram entrevistadas?
b) Quantas lêem apenas o jornal B?
c) Quantas não lêem nem A nem B?
11
3. TEORIA DOS INTERVALOS
Os subconjuntos dos números reais determinados por desigualdades são
chamados de intervalos.
Considere a,b
com a<b, temos:
A) Intervalo aberto
(a,b)
{x
/ a < x < b}
B) Intervalo fechado
[a,b]
{x
/ a ≤ x ≤ b}
C) Intervalo fechado à esquerda e aberto a direita
[a,b)
{x
/ a ≤ x < b}
D) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
(a,b]
{x
/ a < x ≤ b}
Exercício 1:
Represente graficamente:
a) [1 , 3)
b) (-2 , 0)
c) (-1 , 4]
d) [0 , 1]
12
Exercício 2:
Represente em intervalos:
a)
3
5
b)
c)
d)
-3
-1
0
3
4
8
E) Semi-reta esquerda fechada
(-∞, a]
{x
/ x ≤ a}
F) Semi-reta esquerda aberta
(-∞, a)
{x
/ x < a}
G) Semi-reta direita fechada
[a,+∞)
{x
/ x ≥ a}
H) Semi-reta direita aberta
(a,+∞)
{x
/ x > a}
Exercício 3:
Represente graficamente:
a) [-1 , 3]
b) (0 , +∞)
c) (4 , 5,2)
d) (-∞ , -1]
e) {x
f) {x
/ -3 ≤ x ≤ 0}
/ x > 1/4}
13
Exercício 4:
Represente em intervalos e conjuntos:
a)
-2
3
b)
-3
c)
4
d)
6
-7
3.1
Operações
Exemplos:
1) A = {x / -1 ≤ x ≤ 1}
B = [0 , 5)
2) A = [2 , 5]
B= (3 , 6]
3) A = (-2 , 1)
B = [-3 , 0]
14
4) A = {x
B= {x
/ x ≤ 4}
/ 0 ≤ x < 5}
5) A = [0 , 2]
B = [-2 , -1]
Exercício 5:
Sejam A = [1 , 3], B = (0 , 6] e C = [-1 , 4). Determine:
a) A B
d) A C
b) A B
e) B C
c) A C
f) B C
Exercício 6:
Sejam A = [0 , 3) e B = (0 , 5]. Determine:
a) A B
b) A B
Exercício 7:
Sejam A = [1 , 4] e B = (7 , 9). Determine:
a) A B
b) A B
4. RELAÇÕES E FUNÇÕES
4.1
Par Ordenado
Se a,b
, então (a , b) é um par ordenado.
Todo par ordenado é representado no plano cartesiano como um ponto.
(a , b) ≠ (b , a)
15
Exercício 1:
Marque cada ponto no plano cartesiano:
M = (2 , 3)
N = (3 , 2)
P = (-1 , 4)
Q = (-2 , -1)
R = (3 , -2)
S = (4 , 0)
T = (-3 , 0)
U = (0 , 1)
V = (0 , -3)
O
=
(0
,
0)
Exercício2:
Determine cada par ordenado:
5
y
4
E
C
3
2
1
A
F
x
0
G
H
-1
-2
D
-3
I
B
-4
-5
-5
4.2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Produto Cartesiano
Sejam dois conjuntos A e B. Chamamos de produto cartesiano de A por B ao
conjunto formado por todos os pares ordenados (a , b) onde a A e b B.
Notação: AxB
Exemplo:
A = {1, 3, 5}
B = {4, 5}
AxB =
BxA =
AxB ≠ BxA
#(AxB) = #(A) . #(B)
Exercício 3:
Sejam A = {-1, 1} e B = {1, 2, 3}. Determine:
a) AxB =
b) BxA =
16
Exercício 4:
Sejam A = {0, 1} e B = {-1, 0}. Determine:
a) AxB =
b) A2 =
Exercício 5:
Sabendo que:
#(AxB) = 6
#(A) = 3
(-1 , 2) AxB
(0 , 3) AxB
Determine o conjunto B.
4.3
Definição de Função
Podemos entender os produtos cartesiano AxB como relações de A em B.
Quando a relação associa a cada elemento de A um único elemento de B,
dizemos que é uma função de A em B.
Exemplos:
a)
A
B
2
3
3
5
4
7
12
b) A
B
2
3
4
3
5
7
12
3)
A
B
2
3
4
3
5
7
12
17
4)
A
B
2
3
3
5
4
7
12
Exercício 6:
Sejam A = {1, 2, 3}
função.
a) R5 = {(x , y)
b) R6 = {(x , y)
c) R7 = {(x , y)
d) R8 = {(x , y)
4.4
e B = {1, 2, 3, 4, 5, 9}. Determine se cada relação é uma
AxB/ y = x+1}
AxB/ y > x+2}
AxB/ y = x2}
AxB/ y = 2x}
Domínio e Imagem
Considere A e B e seja f uma lei que associa cada elemento x
elemento y B, temos então uma função f de A em B:
f:A B
Exemplo:
Sejam A = {2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 8, 10}. Considere f : A
= 2x + 2.
3
A
2
4
3
5
4
6
A a um único
B definida por f(x)
B
8
10
Chamamos de:
Domínio (D(f)) ao conjunto A
Contradomínio (Cd(f)) ao conjunto B
Imagem (Im(f)) ao subconjunto de B cujos elementos são os
associados dos elementos de A
18
Exercício7:
Sejam A = {0, 1, 2, 3}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e f(x) = x – 1. Determine:
a) D(f)
e) f(3)
b) Cd(f)
f) x tal que f(x) = 0
c) Im(f)
g) x tal que f(x) = 3
d) f(0)
Exercício 8:
Seja g(x) = 2x – 3. Calcule:
a) g(-4)
b) g(0)
c) g(2/3)
d) g(1)
e) g(-1/2)
Exercício 9:
Seja f(x) = x2 + 3 Calcule:
a) f(1)
b) f(-2)
c) f(0)
Exercício 10:
Sendo f(x) = 4x – 3, calcule x tal que:
a) f(x) = 0
b) f(x) = 12
c) f(x) = 5
5. FUNÇÃO DO 1º GRAU
5.1
Definição
Chamamos de função do 1º grau a toda função do tipo:
f(x) = ax + b
com a,b
e a ≠ 0.
Exemplos:
1) f(x) = 2x + 1
2) f(x) = –x + 4
3) f(x) = 7 – 3x
4) f(x) = 8x
5) f(x) =
6) f(x) = x2 + 1
19
a
b
5.2
coeficiente angular
coeficiente linear
Casos Particulares
A) Função Linear
Nesse caso, b = 0.
Exemplos:
1) f(x) = 3x
2) f(x) = –5x
3) f(x) =
B) Função Identidade
Nesse caso, a = 1 e b =0, ou seja, f(x) = x.
C) Função Constante
Essa função não é função do 1º grau, porém precisamos citá-la e esse é
um ótimo momento.
É do tipo: f(x) = b.
Exemplos:
1) f(x) = 2
2) f(x) = –7/3
3) f(x) =
5.3
Gráfico
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.
Exemplos:
1) f(x) = 2x + 1
20
2) f(x) = –3x + 2
a>0
a<0
função crescente /
função decrescente \
Exercício 1:
Construa o gráfico:
a) f(x) = 2x – 6
b) f(x) = –x – 1
c) f(x) = 3x
d) f(x) = –5
O gráfico de uma função linear passa pela origem.
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.
5.4
Raiz ou Zero
Chamamos de raiz da função o valor de x que a anula, ou seja,
x tal que f(x) = 0.
Exemplos:
1) f(x) = 2x + 1
2) f(x) = –3x + 2
21
Exercício 2:
Ache a raiz:
a) f(x) = 2x – 6
b) f(x) = –2x
c) f(x) = –x – 1
d) f(x) =
O gráfico da função do 1º grau corta:
Eixo x: no valor da raiz
Eixo y: no valor de b
Exercício 3:
Para cada função abaixo, determine:
i.
Coeficiente angular
ii.
Coeficiente linear
iii.
Raiz
iv.
Gráfico
a) f(x) = 2x + 4
b) f(x) = 3 – x
c) f(x) = –5x
5.5
Estudo do Sinal
Note que o gráfico de uma função do 1º grau um pedaço da reta está acima
do eixo x (f(x) > 0) e o outro pedaço está abaixo (f(x) < 0).
Observe ainda que o valor que delimita esses pedaços é a raiz da função (f(x)
= 0)
Exemplos:
1) f(x) = 3x + 9
f(x) > 0
f(x) = 0
f(x) < 0
2) f(x) = 2x + 1
f(x) > 0
f(x) = 0
f(x) < 0
22
Para x à direita da raiz, a função tem o mesmo sinal de a.
Para x à esquerda da raiz, a função tem o sinal contrário ao
de a.
Exercício 4:
Faça o estudo do sinal de:
a) f(x) = 3x – 5
b) f(x) = 3 – x
5.6
Inequações
Podemos resolver inequações do 1º grau através do estudo do sinal.
Exemplos:
1) 2x – 5 > 0
2) 7x + 1 ≤ 0
Exercício 5:
Resolva:
a) 2x – 8 > 0
b) 3 – 2x ≥ x – 12
5.7
Aplicações
Exercício 6:
Certa locadora de automóveis cobra R$35,00 por dia mais R$0,55 por
quilômetro rodado.
a) Expresse o custo para alugar um carro por um dia em função do
número de quilômetros rodados e desenhe o gráfico relacionado.
b) Quanto custa alugar o carro por um dia para uma viagem de 50
quilômetros?
c) Quantos quilômetros o carro rodou se o preço do aluguel por um dia
foi R$72,00?
23
Exercício 7:
Um industrial compra R$20.000,00 em equipamentos que sofrem uma
depreciação linear, a qual reduz seu valor a R$1.000,00 após 10 anos.
a) Expresse o valor dos equipamentos em função do tempo e desenhe o
gráfico relacionado.
b) Determine o valor dos equipamentos após 4 anos.
Exercício 8:
A temperatura em graus Fahrenheit é uma função da temperatura em graus
Celsius.
a) Use o fato de que 0° C = 32° F e 100° C = 212° F para escrever uma
equação para essa função.
b) Converta 15° C para Fahrenheit.
c) Converta 68° F para Celsius.
6. FUNÇÃO DO 2º GRAU
6.1
Definição
Chamamos de função do 2º grau a toda função do tipo:
f(x) = ax2 + bx + c,
onde a,b,c
e a ≠ 0.
Exemplos:
1) f(x) = 3x2 – 5x + 1
2) f(x) = –x2 + 9x – 3
3) f(x) = 2x2 + 10
4) f(x) = –3x2 – 7x
5) f(x) = –x2
6) f(x) =
7) f(x) = x3 + 7x + 2
6.2
Raiz ou Zero
O valor de x que anula a função, ou seja, x tal que f(x) = 0.
Equação do 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
24
Para resolver uma equação do 2º grau devemos utilizar a fórmula de
Báskara:
= b 2 – 4.a.c
Exemplos:
1) x2 – 5x + 6 = 0
2) 4x2 – 4x + 1 = 0
3) 3x2 – 5x + 3 = 0
>0
=0
<0
2 raízes reais diferentes
2 raízes reais iguais ou 1 raiz real
não possui raízes reais
Exercício 1:
Ache as raízes de cada função:
a) f(x) = x2 – 2x – 15
b) f(x) = –x2 + 5x
c) f(x) = 3x2 – 12
d) f(x) = –3x2 + 18x – 27
e) f(x) = 3x2 + 8x + 5
f) f(x) = 2x2 + 7x + 3
25
6.3
Gráfico
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.
Exemplos:
1) f(x) = x2 – 6x + 8
2) f(x) = –2x2 + 6x
a>0
a<0
O gráfico da função do 2º grau corta:
Eixo x : no valor das raízes
Eixo y: no valor de c
> 0 a parábola corta o eixo x em
2 pontos
=0
a parábola toca o eixo x em
1 ponto
< 0 a parábola não toca o eixo x
Exercício 2:
Construa o gráfico:
a) f(x) = x2 – 9
b) f(x) = –x2 + 4x – 4
c) f(x) = 2x2 + 3x + 5
d) f(x) = –x2 – 2x + 3
26
6.4
Vértice da Parábola
O “bico” da parábola é chamado de vértice.
Podemos encontrar seu valor através da fórmula:
O vértice determine o valor mínimo ou máximo da função:
a>0
a<0
valor mínimo
valor máximo
Exemplos:
1) f(x) = x2 – 6x + 5
2) f(x) = –3x2 + x
Exercício 3:
Em cada função determine seu vértice e diga se é ponto de mínimo ou de
máximo.
a) f(x) = x2 + 4x + 3
b) f(x) = 2x2 + 18
c) f(x) = –x2 + 16
d) f(x) = –2x2 + 5x – 1
6.5
Estudo do Sinal
Uma função do 2º grau pode ser positiva ou negativa para um determinado
valor de x. Temos 3 casos para estudarmos o sinal de uma função quadrática
conforme o valor de .
27
1º Caso: > 0
Nesse caso o gráfico da função intercepta o eixo dos x em 2 pontos distintos.
Exemplos:
1) f(x) = x2 – 3x
2)
f(x) = –x2 + 4x – 3
Assim concluímos que no caso > 0, temos:
Para x “fora” das raízes, a função tem o mesmo sinal de a.
Para x “entre” as raízes, a função tem o sinal contrário ao de a.
2º Caso: = 0
Nesse caso há apenas um ponto de interceptação entre o gráfico da função e
o eixo dos x.
Exemplos:
3) f(x) = x2 – 6x + 9
28
4) f(x) = –x2 – 4x – 4
Assim concluímos que no caso = 0, temos:
Para todo x real, com x raiz, a função tem o mesmo sinal de a.
3º Caso: < 0
Nesse caso o gráfico da função não intercepta o eixo dos x.
Exemplos:
5) f(x) = x2 + 9
6) f(x) = –x2 – 5x – 10
Assim concluímos que no caso = 0, temos:
Para todo x real, a função tem o mesmo sinal de a.
Exercício 4:
Faça o estudo do sinal:
a) f(x) = 3x2 + 5x + 2
b) f(x) = x2 + 7x
c) f(x) = –x2 + 9
d) f(x) = x2 + 2x + 1
29
6.6
Inequações
Exemplos:
1) x2 + 7x + 6 ≥ 0
2) x2 + 4 < 0
Exercício5:
Resolva:
a) x2 + 4x < 0
b) x2 + 8x + 16 > 0
c) –x2 – 7x – 12 ≤ 0
6.7
Aplicações
Exercício 6:
Um fabricante pode produzir gravadores por um custo de R$40,00 a
unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por x reais a
unidade, os consumidores comprarão (120 – x) gravadores por mês.
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço.
b) Faça um gráfico.
c) Estime o preço ótimo de venda.
Exercício 7:
Uma livraria pode obter um atlas de uma editora por um preço de R$10,00 o
exemplar e estima que se vender o atlas por x reais o exemplar,
aproximadamente 20.(22 – x) exemplares serão vendidos por mês.
a) Expresse o lucro mensal com a venda do atlas.
b) Faça um gráfico.
c) Estime o preço ótimo de venda.
d) Determine o lucro máximo.
Exercício 8:
Um objeto é arremeçado verticalmente para cima a partir do solo. Sua altura,
em metros, t segundos mais tarde, é dada por:
H(t) = –4,9t2 + 49t.
a) Faça um gráfico.
b) Determine o instante que o objeto se chocará co o solo.
c) Determine a altura máxima atingida pelo objeto.
30
7. MATRIZES
Estamos acostumados a trabalhar com tabelas onde reunimos informações
dispostas em linhas e colunas.
Exemplo:
Em uma editora, as vendas de livros de Matemática, Física e Química, no
último trimestre, foram assim contabilizadas:
Matemática
Física
Química
Mês 1
20.000
15.000
16.000
Mês 2
32.000
18.000
17.000
Mês 3
45.000
25.000
23.000
Na Matemática damos o nome de matrizes a essas tabelas.
7.1
Definição
Denomina-se matriz mxn a uma tabela numérica formada por m linhas e n
colunas. Dizemos que a matriz possui ordem mxn.
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
31
7.2
Termo Geral
Observe a matriz abaixo:
O elemento 1 está na 1ª linha e 1ª coluna então dizemos:
O elemento 4 está na 3ª linha e 2ª coluna, então dizemos:
a21 =
a22 =
a13 =
Genericamente:
Ou ainda,
A = (aij)mxn onde i é aposição em relação a linha e j é aposição em relação a
coluna.
Exemplos:
1) Escreva a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = 3i – 2j + 4.
2) B = (bij)2x2 tal que bij = i2 + j2.
3) X = (xij)3x3 tal que
32
4) Y= (yij)2x3 tal que
Exercício 1:
Escreva a matriz A = (aij)2x4 tal que aij = i – j.
Exercício 2:
Escreva a matriz B = (bij)4x2 tal que bij = 2i2 – j.
Exercício 3:
Escreva a matriz C = (cij)1x3 tal que cij =
.
Exercício 4:
Escreva a matriz D = (dij)3x2 tal que dij =
7.3
Tipos de Matrizes
A) Matriz – Linha
Possui apenas 1 linha.
Exemplos:
1)
2)
B) Matriz – Coluna
Possui apenas 1 coluna.
Exemplos:
1)
2)
C) Matriz – Quadrada
Possui o número de linhas igual ao número de colunas. Nesse caso,
dizemos que a ordem da matriz é n.
Exemplos:
1)
2)
33
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal da matriz como
sendo os elementos onde i = j.
Exemplos:
1)
2)
A outra diagonal é chamada de diagonal secundária.
Exemplos:
1)
2)
D) Matriz – Triangular
É a matriz quadrada cujos elementos acima ou abaixo da diagonal
principal são zeros.
Exemplos:
1)
2)
E) Matriz – Diagonal
É a matriz quadrada cujos elementos são zeros, exceto os elementos da
diagonal principal.
Exemplos:
1)
2)
34
F) Matriz – Identidade
É a matriz diagonal cujos elementos não nulos dão todos 1.
Exemplos:
1)
2)
G) Matriz – Nula
É a matriz cujos elementos são todos nulos.
Exemplos:
1)
2)
Exercício 5:
Escreva a matriz quadrada A de ordem 2 tal que aij = 4i – 2j + 3.
Exercício 6:
Seja a matriz
. Se x é o produto dos elementos da diagonal
principal e y o produto dos elementos da diagonal secundária, calcule x –
y.
Exercício 7:
Escreva a matriz triangular superior B cujos elementos não nulos são
dados por bij = 3i + 4j.
7.4
Igualdade de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem, temos que A = B se s seus
elementos correspondentes são iguais.
Dizemos que dois elementos são correspondentes se ocupam a mesma
posição em relação à linha e à coluna.
Exemplos:
1)
35
2)
3) Sabendo que
, determine x e y.
Exercício 8:
Se
, calcule m e n.
Exercício 9:
Calcule as incógnitas:
a)
b)
c)
d)
7.5
Adição de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn, dizemos que C = A +
B, com C de ordem mxn, se cada elemento cij é obtido pela adição aij + bij.
Exemplos:
1)
2)
3)
Exercício 10:
Sejam
. Calcule:
a) B + C
b) A + B
c) A + B + C
36
Exercício 11:
Determine as incógnitas:
a)
b)
c)
Matriz Oposta ( A)
Matriz oposta de uma matriz A é a matriz cujos elementos são os
opostos dos elementos de A.
Exemplos:
1)
2)
7.6
Subtração de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes mxn, definimos A – B = A + (-B).
Exemplos:
1)
2)
7.7
Multiplicação de um nº real por uma Matriz
Seja A uma matriz mxn e k um número real, então kA é uma matriz mxn
cujos elementos são obtidos pela multiplicação de k por cada elemento
de A.
Exemplos:
1)
2)
3)
37
4)
Exercício 12:
Sejam
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7.8
e
. Calcule:
2A
3B
A+B
2A + 3B
A + 4B
Matriz Transposta
Seja A matriz mxn. Definimos a matriz transpostas de A como a matriz
nxm cujas linhas são as colunas de A.
Exemplos:
1)
2)
Exercício 13:
Sejam
e
. Calcule:
AT
a)
+B
b) 3AT
Exercício 14:
Sejam
e
. Calcule:
a) A + B
b) A + BT
38
7.9
Matriz Simétrica
Observe:
Temos que:
AT =
Vemos que A = AT, nesse caso dizemos que A é simétrica.
Exemplo:
Calcule a, b e c para que a matriz A seja simétrica:
7.10 Multiplicação de Matrizes
Sejam A, matriz mxn, e B, matriz nxp, definimos C = A.B, cuja ordem é
mxp, como a matriz cujos elementos cij são obtidos pela multiplicação
ordenada da linha i de A pela coluna j de B.
Exemplos:
1)
2)
3)
39
Exercício 15:
Sejam
e
. Calcule se
possível:
a) A.B
b) A.C
c) B.C
d) C.B
e) (2A)(3B)
7.11 Equações Matriciais
Exemplos: Sejam
e
. Ache X tal que:
1) X + A = B
2) 2X + A = 3B
3)
Exercício 16:
Ache X tal que X – A + B = 0 com
e
.
Exercício 17:
Seja X tal que 5X – 2A = 2X. Se
, calcule X.
40
Exercício 18:
Sejam
e
. Calcule
X tal que:
8. SISTEMAS LINEARES
Chamamos de sistemas lineares do tipo 2x2 ao conjunto de 2 equações
com 2 incógnitas.
Existem vários métodos de resolução, porém aqui veremos apenas o
método da adição. Esse método consiste em somar as duas equações
para que uma das incógnitas desapareça, caso isso não ocorra
inicialmente, podemos multiplicar as equações por números reais.
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
41
5)
6)
7)
8)
42
9)
10)
8.1
Aplicações: Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que X é a inversa de A
se
A.X = In
Notação: A-1
Exemplos:
1)
2)
43
3)
Exercício1:
Ache a inversa:
a)
b)
8.2
Aplicações: Determinação da lei de formação
Já sabemos traçar o gráfico de uma função do 1º grau dada a lei de
formação. Mas e o contrário, como determinar a lei de formação através
de um gráfico?
Como já sabemos que toda função do 1º grau tem como gráfico uma reta e
que a lei de formação tem a forma:
y = ax + b,
se tivermos dois pontos pelos quais essa reta passa, podemos formar um
sistema de equações nas variáveis a e b. Esses dois pontos serão
determinados pelo gráfico.
Exemplos:
1) Determine a lei de formação da função do 1º grau cujo gráfico é:
44
Devemos tomar dois pontos por onde a reta passa.
Por exemplo, 2, 1 e 1, 4 .
Substituindo esses pontos na lei geral y = ax + b, temos:
2x b 1
x b
4
Resolvendo esse sistema encontramos como solução: a = 1 e b = 3.
Assim a lei de formação dessa função é:
y = x +3.
Determine a equação da reta que passa pelos pontos 0, 1 e
3, 2 .
Substituindo esses dois pontos na lei geral teremos o seguinte sistema:
b 1
3a b
2
1
e b =1.
3
Cuja solução é: a =
Assim a equação dessa reta é:
y=
1
x+1
3
9. DETERMNANTES
Toda matriz quadrada te um número associado a ela, chamado de
determinante.
9.1
Determinante de Ordem 2
Seja
.
Definimos:
Exemplos:
1)
45
2)
3)
4)
9.2
Determinante de Ordem 3
Seja
.
Definimos:
Regra de Sarrus
Para obter o determinante de uma matriz de ordem 3 podemos utilizar o
seguinte procedimento:
Exemplos:
1)
46
2)
3) Ache x:
Exercício 1:
Calcule
.
Exercício 2:
Resolva
Exercício 3:
Calcule
.
Exercício 4:
Sejam
e
.
Calcule x tal que detA = detB.
Exercício 5:
Ache x tal que
,
47
ANEXO A: Operações Algébricas
Expressões Algébricas
Chamamos de termo algébrico aos produtos do tipo:
2x; 5ab; -12xyz; -x2
Todo termo é formado por um coeficiente e uma parte literal:
Termo Algébrico
2x
5ab
-12xyz
-x2
Coeficiente
2
5
-12
-1
Parte Literal
x
ab
xyz
x2
Dizemos que todo número real é um termo algébrico sem parte literal.
Assim definimos expressão algébrica como a reunião de um ou mais termos
algébricos.
Exemplos:
1) 2x é uma expressão algébrica de um só termo
2) 5x + 6 é uma expressão algébrica de dois termos
3) x + x2 + x3 é uma expressão algébrica de três termos
Valor Numérico das Expressões Algébricas
Toda expressão algébrica equivale a um número, quando substituímos sua
parte literal por valores conhecidos. O número obtido chama-se de valor
numérico (VN) da expressão.
Exemplos:
1) 3ab, para a = 2 e b = -3, tem VN = 3.2.(-3) = -18
a
a2
5a
3)
a
2a
4)
a
2)
3b
3 3.( 2) 3 6
3
, para a = 3 e b = -2, tem VN =
2
9 1
8
1
3 1
5.2 ( 1) 10 1
b
, para a = 2 e b = -1, tem VN =
11
2 ( 1)
2 1
b
b
2.1 1 2 1 3
, para a = 1 e b = 1, tem VN =
como não há
b
1 1
0
0
divisão por zero, dizemos que a expressão não tem valor numérico para a = 1
e b = 1.
48
Monômios e Polinômios
Monômio é toda expressão algébrica de um só termo.
Exemplos:
1) 3ax
2) -5ax2
3)
1 3
a bx
3
Identifica-se o grau de um monômio pela soma dos expoentes das variáveis
de sua parte literal.
Exemplos:
1) 2x2 é de grau 2
2) -2x2y é de grau 3
3) a2b2x é de grau 5
Polinômio é toda expressão algébrica com mais de um termo.
Exemplos:
1) x3 – x2 + 2x + 1
2) 5x2 + 3xy + 2y2
3) a2 + 2a+ 1
O grau do polinômio é igual ao maior grau entre todos os seus monômios.
Exemplos:
1) a2 + 2a + 1 é de grau 2
2) x3 – 2x2 + 2x – 1 é polinômio de grau 3
3) x2y + 2x2y3 – y2 + x é polinômio de grau 5
Operações com Monômios
Termos Semelhantes
Termos semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal.
Exemplos:
1) 4x2 e -3x2 são termos semelhantes
2) -5ax e 3ax são termos semelhantes
3) -5x2y e 6xy2 não são termos semelhantes
49
Adição e Subtração de Monômios
Só podemos adicionar ou subtrair monômios semelhantes.
Exemplos:
1) 3a + 5a = (3+5)a = 8a
2) 5x + 8x = (5+8)x = 13x
3) -5x2 + 2x2 = -3x2
4) -3ax – 4ax = -7ax
5) –abc + 7abc = 6abc
Multiplicação de Monômios
Para se obter o produto de monômios, basta aplicar a lei:
am.an = am+ n
Exemplos:
1) 3ab2 . (-5ab3) = 3.(-5).a1+1.b2+3 = -15a2b5
2) -4x3y3 . (-2xy) = (-4).(-2).x3+1.y3+1 = 8x4y4
3) 7xy2. 2x2y2 = 14x3y4
Divisão de Monômios
Numa divisão de monômios, o quociente é obtido pela lei:
am an = am – n
Exemplos:
1) 15a3x (-5a2x) = 15 (-5).a3-1.x1-1 = -3ª
2) 14x4y3 2xy = 7x3y2
3) –a3 5a2 =
1
a
5
Potenciação de Monômios
Devemos recordar as seguintes propriedades:
(a.b)p = ap.bp
(am)n = am.n
Exemplos:
1) (2a2bx3)3 = 23.(a2)3.b3.(x3)3 = 8a6b3x9
2) (-x2yx3)2 = x4y2z6
3) (-3x4y)3 = -27x12y3
Operações com Polinômios
Adição
Somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplos:
1) (6x3 + 4x -1) + (2x3 -5x +5) = 6x3 + 2x3 + 4x – 5x -1 + 5 = 8x3 – x + 4
2) (5x2y + 2xy – 4x) + (-2x2y + xy + 7y) = 5x2y – 2x2y + 2xy + xy – 4x + 7y = =
3x2y + 3xy – 4x + 7y
3) (3x3 – 2x2 + 3x) + (6x + 4) + (-x3 + 5x) =
= 3x3 – x3 – 2x2 + 3x + 6x + 5x + 4 = 2x3 - 2x2 + 14x + 4
50
Processo prático: os termos semelhantes são colocados um debaixo do outro.
6 x3 4 x 1
1)
2 x3 5x 5
8x3
x 4
5 x 2 y 2 xy 4 x
2)
2 x 2 y xy
7y
3x 2 y 3xy 4 x 7 y
3x 3 2 x 2 3x
3)
6x 4
x
3
5x
2 x 3 2 x 2 14 x 4
Subtração
Procedemos como na adição, apenas tomando cuidado com os sinais.
Exemplos:
1) (7x2 - 4x + 9) – (3x2 + 8x -1) = 7x2 – 3x2 – 4x – 8x + 9 + 1 =
= 4x2 – 12x + 10
2) (-4xy + 2) – (3xy –x + 5) = -4xy – 3xy + x + 2 – 5 = -7xy +x -3
3) (7x4 – 4x3 + 6x2 – x – 2) – ( 4x4 – 3x3 + 5x2 + x – 1) =
=7x4 – 4x4 – 4x3 + 3x3 + 6x2 – 5x2 – x – x – 2 + 1 =
=3x4 – x3 + x2 – 2x – 1
Processo prático:
7 x2 4x 9
1)
3x 2 8 x 1
4 x 2 12 x 10
2)
4 xy
2
3 xy x 5
7 xy x 3
7 x 4 4 x3 6 x 2
3)
4x
4
3x 4
3x
x3
3
5x
2
x 2
x 1
x2 2x 1
51
Multiplicação
1º Caso: Multiplicação de Monômio por Polinômio
Exemplos:
1) (2x).(x2 + x + 5) = 2x.x2 + 2x.x + 2x.5 = 2x3 + 2x2 + 10x
2) (-3ax).(9ax2 – 5a2x – 6a) = -27a2x3 + 15a3x2 + 18a2x
3) (8x2).(-5x3 – 2x – 3) = -40x5 – 16x3 – 24x2
2º Caso: Multiplicação de dois Polinômios
Exemplos:
1) (3x+5).(6x+2) = 3x.6x + 3x.2 + 5.6x + 5.2 = 18x2 + 6x + 30x + 10 = =18x2 + 36x
+ 10
2) (4x3 + 5x2y – 2xy2).(2x2y + 3xy2) =
=8x5y + 12x4y2 + 10x4y2 + 15x3y3 – 4x3y3 – 6x2y4=
= 8x5y + 22x4x2 + 11x3y3 – 6x2y4
3) (x3 – x2 + 2x – 1).(x – 1) = x4 – x3 –x3 + x2 + 2x2 – 2x – x + 1 =
= x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + 1
Divisão
1º Caso: Divisão de Polinômio por Monômio
Exemplos:
1) (12x4 – 16x3 + 4x2) (4x) = 12x4 4x – 16x3 4x + 4x2 4x = 3x3 – 4x2 + x
2)
(10x3y2 – 20x2y3 – xy4) (2xy) = 5x2y – 10xy2 -
3)
(12x3 – 24x4 – 30x5) (-6x2) = -2x + 4 x2 + 5x3
1 3
y
2
2º Caso: Divisão de Polinômio por Monômio
Exemplos:
1) (3x2 – 7x + 3) (x - 2)
3x 2
7x 3
3x 2 6 x
x 2
3x 1
x 3
x 2
1
52
2)
(10x4 + 3x3 – 5x2 + 7x -3) (2x2 – x + 1)
10 x 4 3 x 3 5 x 2
7x 3
10 x 4 5 x 3 5 x 2
2x2
x 1
5x 2
4x 3
8 x 3 10 x 2 7 x 3
8x3 4 x 2 4 x
6 x 2 3x 3
6 x 2 3x 3
0
3)
(12x3 – 4x + 9) (2x2 + x + 3)
12 x 3 0 x 2 4 x 9
2x2
12 x 3 6 x 2 18 x
6x 3
6x
2
22 x 9
6x
2
3x 9
19 x 18
x 3
ANEXO B: Produtos Notáveis
Há algumas multiplicações muito freqüentes na álgebra conhecidas pelo nome
de produtos notáveis. Para cada um desses produtos costumamos deduzir
uma regra geral. Existem vários casos de produtos notáveis:
1. Quadrado da Soma
(a+ b)2 = a2 + 2.a.b + b2
Exemplos:
1) (2 + a)2 = 22 + 2.2.a + a2 = 4 + 4a + a2
2) (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
3) (2y + 3x)2 = 4y2 + 12xy + 9x2
2. Quadrado da Diferença
(a – b)2 = a 2 – 2.a.b + b2
Exemplos:
1) (x – 2)2 = x2 – 2.x.2 + 22 = x2 – 4x + 4
2) (3a – 1)2 = 9a2 – 6a + 1
3) (2y – 3x)2 = 4y2 – 12xy + 9x2
53
3. Produto da Soma pela Diferença
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Exemplos:
1) (m + 5)(m – 5) = m2 – 52 = m2 – 25
2) (ab2 – c3)(ab2 + c3) = a2b4 – c6
3) (x2 + 4)(x2 – 4) = x4 – 16
4. Produto da forma (x + p)(x + q)
(x + p)(x + q) = x2 + (p +q)x + pq
Exemplos:
1) (x + 2)(x + 5) = x2 + (2 + 5)x + 2.5 = x2 + 7x + 10
2) (x + 4)(x – 6) = x2 – 2x – 24
3) (x – 2)(x – 7) = x2 – 9x + 14
5. Cubo da Soma
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Exemplos:
1) (a + 2)3 = a3 + 3.a2.2 + 3.a.22 + 23 = a3 + 4a2 + 12a + 8
2) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
3) (m2 + n)3 = m6 + 3m4n + 3m2n2 + n3
6. Cubo da Diferença
(a + b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3
Exemplos:
1) (a - 2)3 = a3 - 3.a2.2 + 3.a.22 - 23 = a3 - 4a2 + 12a - 8
2) (x - 1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1
3) (m2 - n)3 = m6 - 3m4n + 3m2n2 - n3
ANEXO C: Fatoração
Fatorar é transformar uma expressão algébrica no produto de dois ou mais
fatores mais simples. Existem vários casos de fatoração:
1. Fator Comum
Utilizado quando os membros da expressão algébrica possuírem fatores
comuns.
Exemplos:
1) ax + bx = x(a + b)
2) 2x + 8 = 2(x + 4)
3) 3x2 – 6xy = 3x(x – 2y)
4) 10a – 5 = 5(2a – 1)
5) 12ax2z + 24axz2 – 12a2xz = 12axz(x + 2z – a)
54
2. Agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum de uma maneira
especial.
Exemplos:
1)
ax ay



bx by



a é o fator comum
b é o fator comum
a(x
y)
b(x
y)
(x
y)(a
b)
2) x2 – 3x + ax – 3x = x(x – 3) + a(x – 3) = (x – 3)(x + a)
3) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 = b2(2 + a) + c3(2 + a) = (2 + a)(b2 + c3)
3. Diferença de Quadrados
Consiste em transformar a diferença de dois quadrados no produto da soma
pela diferença das raízes quadradas de cada termo.
Exemplos:
1) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
2) 16x2 – 1 = (4x + 1)(4x – 1)
3) 9a2 – 25b2 = (3a + 5b)(3a – 5b)
4. Trinômio Quadrado Perfeito
Um trinômio é quadrado perfeito se ele é igual ao quadrado de um binômio.
Por exemplo: (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.
Logo x2 + 4x + 4 é um trinômio quadrado perfeito.
O que queremos agora é determinar se um trinômio é quadrado perfeito e
então escrevê-lo na sua forma fatorada.
Exemplos:
x 2 10 x 25 ( x 5) 2
x 5

2. x .5 10 x
1) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2
2) 16x2 – 24xy + 9y2 = (4x – 3y)2
3) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Observação 1:
x 2 10 x 16
x 4

2. x .4 8 x 10 x
55
5. Trinômio da Soma e Produto das Raízes
Quando estivermos trabalhando com um trinômio que não seja quadrado
perfeito da forma: x2 + bx + c.
Consiste em encontrar suas raízes e escrevê-lo na forma (x – x1)(x – x2) onde x1
e x2 são as raízes.
Lembre que a soma das raízes é dada por –b/a e o produto das raízes é dado
por c/a.
Exemplos:
1) x2 – 10x + 16 = (x – 2)(x – 8)
x1 2
soma 10
produto 16 x2 8
2) x2 – 5x – 24 = (x + 3)(x – 8)
soma 5 x1
produto -24 x2
3
8
3) x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
4) x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)
5) x2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3)
Observação 2: Devemos sempre fatorar por completo cada expressão
algébrica, isto é, em alguns casos devemos aplicar mais de um caso de
fatoração.
Exemplos:
1) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2
2)
x4 – 81 = (x2 + 9)(x2 – 9) = (x2 + 9)(x + 3)(x – 3)
3)
2x2 – 50 = 2(x2 – 25) = 2(x+5)(x-5)
4) a2x – b2x + a2y – b2y = x(a2 – b2) + y(a2 – b2) = (a2 – b2)(x + y) =
= (a + b)(a – b)(x + y)
ANEXO D: Inequação Produto e Quociente
Vamos resolver inequações onde temos o produto ou o quociente entre duas
ou mais funções do 1º grau. Para isso faremos o estudo do sinal de cada
função.
56
Exemplos:
1) Resolva a inequação (2x+1)(4 – x) < 0.
Temos f(x) = 2x + 1 e g(x) = 4 – x e queremos determinar para que valores de x
temos o produto das duas funções negativo.
Para encontrar a solução fazemos inicialmente o estudo do sinal da cada uma
das funções:
Sinal da f:
Sinal da g:
Estudamos o sinal do produto fazendo uma tabela:
1
2
fx
4
+
+
gx
+
+
f x .g x
+
Assim a solução da inequação é:
S= x
;x
1
ou x
2
2) Determine x de modo que
Sinal de f(x) = 2x – 1
4
2x 1
x 3
0.
Sinal de g(x) = x + 3
57
1
2
-3
fx
+
gx
+
f x .g x
+
+
+
Assim a solução é:
S= x
;x
3 ou x
1
2
x = -3 é raiz da função g(x) e assim anula o denominador, portanto deve ser
excluído da solução da inequação.
BIBLIOGRAFIA
BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. Ed. Moderna.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação e
integração. Makron.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Volumes 1 e 2. Ed. Ática.
BUCCHI, P. Matemática. Ed. Moderna.
WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra.
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