ISCTE
ANEXO
Madalena Ramos
Depto. Métodos Quantitativos
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NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
INTRODUÇÃO
O conjunto dos números inteiros relativos designa-se pela letra Z e inclui todos
os números inteiros positivos e negativos, incluindo o zero.
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...}
O valor absoluto de um número é o que fica representado se à sua
designação retirarmos o sinal. Por exemplo: o valor absoluto de +12 é 12; o
valor absoluto de -15 é 15.
Números simétricos são aqueles que têm o mesmo valor absoluto e sinais
diferentes. Com excepção do zero, dado um número relativo qualquer, há
sempre um outro com o mesmo valor absoluto.
Exemplos: +3 é o simétrico de -3
-5 é o simétrico de +5
Se sobre uma recta fixarmos um ponto M para assinalar o zero, os números
positivos marcam-se para a direita e os negativos para a esquerda. Por este
motivo, a recta em que se fixou um sentido (positivo “da esquerda para a
direita” e negativo “da direita para a esquerda”), toma o nome de eixo ou recta
orientada.
-4 -3
-2
-1
+1
0
+2
+3 +4
Se situarmos os valores num eixo podemos convencionar que os números
relativos aumentam “da esquerda para a direita”
-4
-2
0
+1
+3
Assim,
• Entre dois números negativos, é maior o que tiver menor valor absoluto
-2 > -4
• O zero é maior que qualquer número negativo
0 > -1
0 > -2
• Qualquer número positivo é maior que zero
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+1 > 0
+2 > 0
• Entre dois números positivos, é maior o que tiver maior valor absoluto
+3 > +1
+15 > +10
• Todo o número positivo é maior que qualquer número negativo
+1 > -2
+2 > -5
ADIÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS
Sempre que só intervenham números positivos ou zero, a adição em Z mantém
a tabuada de N0 (números inteiros positivos); o aparecimento de parcelas
negativas é que cria a necessidade de regras novas.
A adição em Z é um prolongamento da adição em N.
• A soma de zero com qualquer número relativo é igual a esse número
0 + (+3) = +3
(-4) + 0 = -4
0+0=0
• A soma de dois números relativos do mesmo sinal é um terceiro número
relativo do mesmo sinal e cujo valor absoluto é a soma dos valores
absolutos das parcelas
(-2) + (-3) = -5
(+4) + (+3) = +7
• A soma de dois números relativos de sinais contrários é um terceiro número
relativo cujo valor absoluto é a diferença dos valores absolutos das parcelas
e cujo sinal é o da parcela de maior valor absoluto.
(-1) + (+4) = +3
(+6) + (-8) = -2
• A soma de dois números simétricos é zero
(-1) + (+1) = 0
(+3) + (-3) = 0
Madalena Ramos
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO EM Z
• A adição em Z é comutativa: a+b = b+a
(-16) + (+22) = +6
(+22) + (-16) = +6
• A adição em Z é associativa: (a+b)+c = a+(b+c)
[( +24) + ( −18)] + ( +7) = ( +6) + ( +7) = +13
( +24) + [( −18) + ( +7)] = ( +24) + ( −11) = +13
• O zero é o elemento neutro da adição em Z: a+0 = 0+a = a
(+15) + 0 = +15
(-19) + 0 = -19
• Todos os elementos de Z têm oposto para a adição: a+x = x+a = 0
⇒ oposto para a adição é um número x tal que, somado a a, dá como
resultado o elemento neutro - zero; por outras palavras, é o simétrico de a.
(+16) + (-16) = 0
(-14) + (+14) = 0
• Adição Sucessiva
Consideremos a expressão
(+4) + (-3) + (+7) + (-4) + (+3)
ela representa a soma de vários números relativos que, por definição, se obtém
da seguinte forma:
adicionando a 1ª parcela com a 2ª;
adicionando o resultado com a 3ª;
adicionando o resultado com a 4ª;
e assim sucessivamente...
(+4) + (-3) + (+7) + (-4) + (+3) =
= (+1) + (+7) + (-4) + (+3) =
= (+8) + (-4) + (+3) =
= (+4) + (+3) =
= +7
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Poderíamos, entretanto, proceder de forma mais cómoda, atendendo às
propriedades comutativa e associativa generalizadas:
(+4) + (-3) + (+7) + (-4) + (+3)
= (+4) + (-4) + (-3) + (+3) + (+7)=
= 0 + 0 + (+7)=
= +7
Por vezes, associam-se, por um lado, os números positivos e, por outro, os
negativos:
(+4) + (-3) + (+7) + (-4) + (+3) =
= (+4) + (+7) + (+3) + (-3) + (-4) =
= (+14) + (-7) =
= +7
SUBTRACÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS
A subtracção em Z é a operação inversa da adição em Z.
Para subtrair dois números relativos, adiciona-se ao aditivo o simétrico (ou
oposto para a adição) do subtractivo.
b - a = b + (-a)
aditivo
subtractivo
Exemplos:
(+12) - (+4) = (+12) + (-4) = +8
(-6) - (+3) = (-6) + (-3) = -9
(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8
(-3) - (-2) = (-3) + (+2) = -1
• Soma algébrica
Observemos a expressão
(+7) + (-4) - (+3) - (-10) + (+1)
Nela figuram adições e subtracções sucessivas de números relativos.
Como calcular o seu valor?
Sabemos que as subtracções se podem converter em adições; sabemos como
efectuar uma adição sucessiva; então...
(+7) + (-4) - (+3) - (-10) + (+1) =
= (+7) + (-4) + (-3) + (+10) + (+1) =
= (+7) + (+10) + (+1) + (-4) + (-3) =
= (+18) + (-7) =
= +11
Às expressões que, como aquela que foi dada, podem converter-se numa
adição sucessiva de números relativos, é costume chamar somas algébricas.
Madalena Ramos
117
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• Simplificação da Escrita
Seja a soma algébrica
(+7) + (-3) - (-4) - (+1) + (-2)
há sinais de adição e subtracção, mas podemos convertê-los todos em sinais
de adição
(+7) + (-3) + (+4) + (-1) + (-2)
Agora já todos os sinais operacionais são de adição.
Podemos aceitar a ideia de os não escrever, desde que fique assente que a
operação que liga dois quaisquer dos números é sempre uma adição. A
supressão dos sinais, por sua vez, torna desnecessários os parêntesis.
Vem então:
+7-3+4-1-2
que é uma expressão muito mais simplificada.
Podemos ainda convencionar não escrever o sinal da 1ª parcela sempre que
ela seja positiva:
7-3+4-1-2
O número designado pela expressão calcula-se, agora, facilmente:
7-3+4-1-2 =
= 7+4-3-1-2 =
= 11 - 6 =
=5
(associando as parcelas do mesmo sinal)
Outro exemplo:
(-4) + (-8) - (-9) + (+12) - (+1) =
= (-4) + (-8) + (+9) + (+12) + (-1) =
= -4 -8+9+12-1 =
Esta é já a forma simplificada ou abreviada. Se compararmos com a forma
inicial, verificamos que dois sinais consecutivos acabaram por dar origem a um
só.
(-4) + (-8) - (-9) + (+12) - (+1) =
-4 -8
+9
+12
-1
Dois sinais contrários dão origem a um só sinal Dois sinais iguais dão origem a um só sinal +
E o número designado pela expressão é
-4-8+9+12-1 =
= -4-8-1+9+12=
= -13+21 =
=8
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Outro exemplo:
(+3) - (-5) + (-17) - (+8) + (+13) =
= 3+5-17-8+13 =
= 3+5+13 -17-8 =
= 21-25 =
= -4
• Uso de parêntesis
Seja a expressão
5 + (-1+3-4)
O uso de parêntesis a envolver a soma algébrica -1+3-4 equivale a considerála efectuada. Mas a propriedade associativa da adição permite escrever
5 + (-1+3-4) = 5-1+3-4
Dizemos, nestas condições, que nos desembaraçámos de parêntesis.
NOTA: até agora, trabalhámos apenas com números inteiros relativos. No
entanto, existem também números relativos fraccionários.
As regras de cálculo estudadas para a adição e subtracção em Z
estendem-se a Q.
Q = Z ∪ { x : x é um nº fraccionário }
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS
A multiplicação em Z é também um prolongamento da multiplicação em N0. No
entanto, à semelhança da adição, surgem algumas regras novas pela
introdução de factores negativos.
• O produto de dois números positivos é outro número positivo cujo valor
absoluto é o produto dos valores absolutos dos factores
(+3) × (+4) = 12
(+4) × (+3) = 12
• O produto de qualquer número relativo por zero é igual a zero
(-4) × 0 = 0
(+4) × 0 = 0
• O produto de dois números relativos com sinais contrários é um número
negativo cujo valor absoluto é o produto dos valores absolutos dos factores
(+4) × (-3) = -12
(-3) × (+4) = -12
(-5) × (+2) = -10
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(+2) × (-5) = -10
• O produto de dois números negativos é um número positivo cujo valor
absoluto é o produto dos valores absolutos dos factores
(-4) × (-3) = 12
(-5) × (-6) = 30
Regra dos sinais
×
+
-
+
+
-
+
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO EM Z
• A multiplicação é comutativa: a×b = b×a
(+2) × (+3) = 6
(+3) × (+2) = 6
• A multiplicação em Z é associativa: (a×b)×c = a×(b×c)
[( −2) × ( −3)] × ( +4) = (−6) × (+4) = 24
( −2) × [ ( −3) × ( +4)] = ( −2) × ( −12) = 24
• Existe elemento neutro da multiplicação em Z: é (+1)
a×(+1) = (+1)×a = a
(-2) × (+1) = -2
(+3) × (+1) = 3
• Existe elemento absorvente da multiplicação em Z: é o zero
a×0 = 0×a = 0
(+3) × 0 = 0
(-4) × 0 = 0
0×0=0
• A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição algébrica:
a×(b+c) = a×b + a×c
(-5) × (-2+4) = (-5) × (-2) + (-5) × (+4) = 10 + (-20) = 10-20 = -10
NOTA: as regras operatórias relativas à multiplicação em Z estendem-se,
naturalmente, ao conjunto Q.
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NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais abrange, para além dos inteiros relativos, o
conjunto dos números decimais (de dízima finita), as fracções propriamente
ditas, e ainda os números cuja raíz é exacta.
Q = Z ∪ {números fraccionários}
Assim, todos os inteiros se podem escrever como racionais, com o
denominador igual a 1.
2=
2
;
1
−3 = −
3
1
Os decimais ou as raízes exactas
0,3 =
3
;
10
9 = ±3 ;
0,25 =
25 1
= ;
100 4
−0,6 = −
6
3
=−
10
5
4 = ±2
Nas operações com racionais são válidas as regras dos sinais
vistas anteriormente.
SOMA ALGÉBRICA EM Q
Para adicionarmos algebricamente fracções é necessário:
• reduzi-las ao mesmo denominador;
• somar algebricamente os numeradores, mantendo o denominador comum.
exemplo:
6
1
1
1
+
−
=
12
2
3
4
(6)
(4)
(3)
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+
4
12
−
3
12
122
=
7
12
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6
5
7
8
2
1
7
−
+
=
−
+
=
15
15
15
15
5
3
15
(3)
(5)
(1)
3
+
5
=
2 −
1
−
6
2
3
1
2
1
+ 1 =
+
−
+
=
3
5
6
3
1
(6)
(5)
(10)
(30)
18
5
20
30
33
11
+
−
+
=
=
30
30
30
30
30
10
1
−
3
1
=
6
12
2
1
1
−
−
=
6
1
3
6
(6)
( 2)
(1)
−
2
6
−
1
=
6
9
=
6
3
2
MULTIPLICAÇÃO EM Q
Para multiplicarmos números racionais, muliplicam-se os numeradores e os
denominadores.
Exemplo:
2 1 2 ×1 2
=
× =
5 3 5 × 3 15
1  3
3 3 9
− × −  × 3 = × =
5  2
10 1 10
DIVISÃO EM Q
Para dividirmos números racionais, multiplicamos o primeiro pelo inverso do
segundo.
Exemplo:
2 3 2 4 8
÷ = × =
5 4 5 3 15
−2 ÷
3
2 5
10
=− × =−
5
1 3
3
Madalena Ramos
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SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM INCÓGNITAS
ax
coeficiente
parte literal
Exemplo:
• 2x + 3x - x - 5x = -x
Somam-se algebricamente os coeficientes e dá-se a mesma parte literal
• 2b × 3b = 6b2
Multiplicam-se os coeficientes e as partes literais
Nota: Quando numa expressão numérica existem monómios com letras não é
possível operá-los com monómios numéricos
2x + 5 - 3x = 2x - 3x + 5 = -x + 5
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
A resolução de equações do 1º grau assenta fundamentalmente em duas
regras:
a) regra da adição: obtém-se uma equação equivalente a uma equação dada
(isto é, com a mesma solução) quando se passa um termo de um membro
para o outro, desde que se lhe troque o sinal.
x+8=6
x=6-8
x = -2
b) regra da multiplicação: obtém-se uma equação equivalente a uma equação
dada quando se multiplicam ou dividem ambos os membros da equação por
um número diferente de zero.
2x = 6
2x 6
=
2
2
x=3
Exemplo:
Madalena Ramos
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ISCTE
-2x + 3 = -8x + 10
-2x + 8x = 10 - 3
6x = 7
6x 7
=
6 6
x=
7
6
Etapas para a resolução de equações do 1º grau:
1. Se a expressão tiver parêntesis, resolva os parêntesis.
2. Passar para o primeiro membro os termos com a incógnita e para o segundo
os termos que não têm incógnita, de acordo com a regra da adição.
3. Simplificar cada um dos membros.
4. Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita e simplificar.
Exemplo:
-2 ( x + 5) = 2 - (3 - x)
-2x - 10 = 2 - 3 + x
-2x - x = 2 - 3 + 10
-3x = 9
−3 x 9
=
−3 −3
x = -3
EQUAÇÕES DO 2 º GRAU
Uma equação completa do 2º grau apresenta-se na forma canónica (mais
simples)
ax2 + bx + c = 0
• com um termo quadrado: ax2
• com um termo linear: bx
• com um termo independente: c
e pode ser resolvida aplicando a fórmula resolvente
Madalena Ramos
125
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−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
que gera 2 raízes
x1 =
− b + b 2 − 4 ac
2a
−b − b 2 − 4ac
x2 =
2a
Exemplo:
x2 - 7x + 10 = 0
x=
7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3
=
=
2
2
2
x1 =
7+3
=5
2
x2 =
7−3
=2
2
No caso da equação não se apresentar completa, ou seja:
ax2 + bx = 0
ou
ax2 + c = 0
a fórmula resolvente poderá ainda ser aplicada ( em que c=0 ou b=0,
respectivamente) se bem que existam outras formas de as resolver.
• ax2 + bx = 0
(ax + b) x = 0
x=0
ax + b = 0 ∴ ax = −b ∴ x = −
b
a
Exemplo:
2x2 + x = 0
(2x + 1) x = 0
x=0
2 x + 1 = 0 ∴ 2 x = −1 ∴ x = −
• ax2 + c = 0
1
2
ax2 = -c
Madalena Ramos
126
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ISCTE
(só é possível se a < 0)
x2 =
−c
a
x=± −
c
a
Exemplo:
-2x2 + 8 = 0
-2x2 = -8
x2 =
−8
=4
−2
x = ± 4 = ±2
Esquema Resumo
Equações do 2º grau
ax2 + bx + c = 0 , com a ≠ 0
∆ = b2 - 4ac
∆=0
Uma só solução
Madalena Ramos
∆>0
Duas soluções
127
∆<0
Não tem soluções reais
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