Capítulo 8
Simulação de Grandes Escalas de
Escoamentos Turbulentos
8.1. Introdução
• Simulação de Grandes Escalas (SGE) é uma metodologia
intermediária à Simulação Numérica Direta (SND) e à simulação via
equações médias de Reynolds (URANS).
• Em SGE as estruturas turbulentas transportadoras de energia e
quantidade de movimento são resolvidas diretamente da solução das
equações filtradas, enquanto que a transferência de energia entre as
duas partes do espectro é modelada.
• Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais
homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno,
espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes
dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia
média clássica.
• As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que
ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e
transientes das equações de Navier-Stokes.
• Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, tornase possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds.
8.2. Equações da Turbulência
•Equações filtradas: revisão


ui
0
xi
 ui

1  p
   ui

ui u j  

  ij  Cij  Lij

 t  xj
o  xi  x j   x j



T



u jT 
 t  xj
 xj


 T

  j  C j  L j 

  x j







 ij  ui uj



C ij  ui u j  ui uj


L  u u  u u
i j
i j
 ij



 j  ujT 


C j  u jT   ujT 



 L j  u jT  u jT

Tensor de Re ynolds sub  malha

Tensor cruzado

Tensor de Leonard

Fluxo turbulento sub  malha

Fluxo turbulento cruzado

Fluxo turbulento de Leonard
 u
 uj  2
i
  k ij
 ij   t 

  x j  xi  3


k  ui  u j
Lij  Cij 
12  xk  xk
•Testes de importância relativa
DR   .

DL   . Lij  C ij


DM   . 2 Sij

Equações Globais da Turbulência

ui

1  p    ui u j 
 
   ij 

ui u j  



t x j
 xi x j   x j xi 




“Equações Médias de
Reynolds”
Equações Filtradas Globais
Equações Filtradas desprezando-se os
tensores cruzados e de
Leonard
8.3. Modelo sub-malha de Smagorinsky
•Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na
hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a
produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação:
 

   ui uj Sij  2 t Sij Sij   c1 ui uj

3/ 2
Na expressão para ,
 ui uj 
e l, são as escalas de velocidade e de
comprimento respectivamente.
/
•Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de
velocidade e de comprimento, tem-se que:
t  c1
uiuj 
•Com estas três equações, chega-se a uma expressão
para a viscosidade turbulenta:
 t   CS 2 Sij Sij
•A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada
analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e
isotrópica.
•Aplicações para escoamentos não homogêneos e não
isotrópicos?
8.4. Modelo sub-malha Função Estrutura de
Velocidade
•Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de
(viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de
Fourier
•Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta
no espaço de Fourier:
E  kc ,t 

 t  kc ,t    t
kc
•A constante t+ é determinada fazendo-se um balanço de energia
como segue:
kc
2 E k ,t dk   t
2

k
 

0 t
Considerando-se
Obtém-se
E  k ,t   C K  2 / 3 k 5 / 3
3 / 2
 t   2 / 3  C K
Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço
de Fourier exige determinar o nível de energia cinética
turbulenta na freqüência de corte.
Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e
Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem,
utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de
Ordem 2:
F2  x,r ,t   u  x  r ,t   u  x,t 
2
•Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função
estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia
(definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea
e isotrópica.
•Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov,
chega-se ao seguinte resultado:
E  x,kc ,t   0,03  F  x,  ,t 
Logo,
3 / 2  F x,  ,t
 t  x,  ,t   0,104 C K

2
Com
F2  x,r ,t   u  x  r ,t   u  x,t 
2
r 
•Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos
turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões
parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos
parietais, um novo tipo de modelo foi proposto por Germano
(1993)
8.5. Modelagem dinâmica sub-malha
•A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de
proporcionalidade ad-hoc imposta. Apesar das limitações advindas deste
fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes
na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos.
•Os resultados que podem ser obtidos em turbulência
completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a
SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em
laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996).
•Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos
em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da
imposição ad-hoc de uma constante de proporcionalidade
•A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no
cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços
importantes.
•A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos
característicos diferentes.
•No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu
comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha.
•No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para
calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro
teste.
•Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha),
conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do
nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas
entre as escalas dos dois filtros.
•A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de NavierStokes:
 ui

1  p


ui u j  

 t  xj
  xi  x j


  u 
i 

  xj 


Primeiro processo de
filtragem
 ui

1  p


ui ui  

 t  xj
  xi  x j


  u 
i 

  xj 


 ij  ui u j  ui u j
Tensor de Reynolds sub-malha
generalizado
Chega-se a:
  u

i

  ij 
  xj



 ui

1  p


ui u j  

 t  xj
  xi  x j


Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico
superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação
seguinte:
 ui

1  p


ui ui  

 t  xj
  xi  x j

 uˆ i


 t  xj




ˆ
u u    1  p  
 i j
  xi  x j


  u 
i 

  xj 


  uˆ 
i 

  xj 


•Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos
dos dois filtros é utilizada
ˆ  2
•Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro,
também chamadas de sub-teste, como sendo:

Tij  ui u j  uˆ i uˆ j
Logo, tem-se que:
 uˆ i

1  ˆp

ˆ
ˆ

ui u j  

 t  xj
  xi  x j


  uˆ

i

 Tij 
  xj



Filtrando-se a seguinte equação:
 ui

1  p


ui u j  

 t  xj
  xi  x j


 uˆ i
   
1  ˆp

 ui u j   



 t  xj 
  xi  x j


  u

i

  ij 
  xj



  uˆ

i

 ˆij 
  xj



Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo:
 uˆ i

1  ˆp

ˆ
ˆ

ui u j  

 t  xj
  xi  x j

  uˆ

i

 Tij 
  xj



 uˆ i
   
1  ˆp

 ui u j   



 t  xj 
  xi  x j
  uˆ

i

 ˆij 
  xj





Tem-se,


  u

ˆ
ˆ

u

u
u

Tij  ˆij
i j
i
j
 xj 
  xj




Define-se, daí, o tensor global de Leonard:



Li j   ui u j  ui uˆ j   Tij  ˆij






•A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode
ser modelada com a hipótese de Bousinesq
 ij 
 ij
 ij  2 t Sij  2c  x,t   2 S Sij
3
•Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, temse:
 ij
Tij 
Tij  2c  x,t  ˆ 2 Sˆ Sˆ ij
3
•Filtrando-se a primeira destas duas equações equações, tem-se:
ˆij 
 ij

ˆij  2 t Sˆ ij  2c  x,t   2 Sij S ij
3
Utilizando-se estas três equações, mais a identidde de Germano,
isola-se a função de proporcionalidade procurada:
1 Li j M i j
c  x ,t   
2 Mi j Mi j
Com Mi j e Li j dados por:

M i j  ˆ 2 Sˆ Sˆ i j   2 S Si j



Li j   ui u j  ui uˆ j 




8.5. Métodos Numéricos para LES
Discretização
Métodode
Vórtices
Volumes
Finitos
Elementos
Finitos
Diferenças
Finitas
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Esquema temporal: deve ser de, pelo menos, segunda ordem
• Euler: primeira ordem – não recomendado
uin  1  uin
 f ui n ,u j n  Pin  Fin
t


• Adams Bashforth: segunda ordem – apropriado
uin  1  uin 3
1
 f ui n ,u j n  f ui n  1 ,u j n  1  Pin  Fin
t
2
2




8.5. Métodos Numéricos para LES
• Runge Kuta: segunda ordem ou maior – apropriado
n
ui
1
2  un
i  f un ,un  P n  F n
i
j
i
i
t
2


1
1

n

1
n
ui
 ui
 n 2 n 2 
n  Fn
 f  ui
,u j

P
 i
i
t




8.5. Métodos Numéricos para LES
• Esquema espacial: no mínimo de segunda ordem
• Esquemas Up-Wind: não recomendados por apresentar difusão
numérica
• Esquemas centrados: são os mais apropriados por não apresentar
difusão numérica
O esquema centrado de segunda ordem tem sido
considerado inapropriado para discretização do
termo advectivo por ser oscilante!!
A experiência tem mostrado que isto não é um
problema numérico e sim deuso e de interpretação
física.
De fato: quando se associa segunda ordem no tempo
com esquema centrado de segunda ordem no espaço
mais modelagem da turbulência:  estabilidade
numérica, livre de difusão numérica
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Acoplamento pressão velocidade: passo fracionado tem sido
utilizado com sucesso. Nada impede que outros sejam utilizados
com sucesso, desde que garantam convergência e conservação de
massa.
passo fracionado

ui n 1  uin   ui u j

 x j
t


n

n

1

p

 
 ef


 xi x j 



2
n

1
 p'

 .u n  1
t
 u
u j
i


 x j xi

n


   Fi n


 t p' n 1
n

1
n

1
ui
 ui

 x
i
8.5. Métodos Numéricos para LES
• Solver de sistemas lineares:
• SOR: caro e pode patinar
• MSI: método interativo – tem sido utilizado
• Gradiente conjugado: tem sido utilizado
• Multi-grid: é o melhor procedimento do momento – não
patina e é muito mais rápido que os demais  permite chegar
a baixos resíduos de pressão e em consequencia a pequenos
resíduos de massa. No entanto, é umm método mais
apropriado para metodologias implícitas.
8.6. Resultados
Modelagem
Evolução temporal do espectro
de energia cinética turbulentadiferenças finitas centradas de
segunda ordem – sem
modelagem da turbulência:
acúmulo de energia na
frequência de corte.
Malha: 32x32x32
Ilustrativos
–
O
Papel
da
8.6. Resultados
Modelagem
Evolução temporal do espectro
de energia cinética turbulentadiferenças finitas centradas de
segunda ordem – sem
modelagem da turbulência:
acúmulo de energia na
frequência de corte.
Malha: 64x64x64
Ilustrativos
–
O
Papel
da
8.6. Resultados
Modelagem
Evolução temporal do espectro
de energia cinética turbulenta –
a modelagem da turgbulência
de Smagorinsky foi introduzida
a partir de 5 segundos –
Constante de Smagorinsky:
0,18
Transferência excessiva de
energia!
Malha: 64x64x64
Ilustrativos
–
O
Papel
da
8.6. Resultados
Modelagem
Evolução temporal do espectro
de energia cinética turbulenta –
a modelagem da turgbulência
de Smagorinsky foi introduzida
a partir de 5 segundos –
Constante de Smagorinsky:
0,028
Transferência adequada de
energia!
Incoveniente: ajustar a
consntante!!
Malha: 64x64x64
Ilustrativos
–
O
Papel
da
8.6. Resultados
Modelagem
Evolução temporal do espectro
de energia cinética turbulenta –
modelagem Dinâmica da
turbulência foi introduzida a
partir de 5 segundos –
Transferência adequada de
energia!
Vantagem: não ter que ajustar
a consntante!!
Malha: 64x64x64
Ilustrativos
–
O
Papel
da
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de
esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
7.5d
d
16.5d
15d
30d
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de
esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re =
10.000 – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo,
sem modelagem da turbulência
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de
esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
2.0
Re = 10.000
1.5
Cd
Re = 100
Re = 300
1.0
Re = 1.000
0.5
0
100
200
300
tU/D
Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re =
10.000 – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo,
sem modelagem da turbulência
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de
esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de
esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
1.50
without model, Re = 10.000
1.20
Cd
with model, Re = 1.000
0.90
with model, Re = 10.000
0.60
without model, Re = 1.000
0.30
0
50
100
150
200
tU/D
Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de
esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência
Sem modelagem: e Re=10.000 - 125 x 250
pontos
Com modelagem: Re=10.000 - (250 x 500
pontos
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de
esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da
turbulência
1.50
Re = 1.000
1.20
Cd
Re = 10.000
0.90
0.60
0.30
0
50
100
150
tU/D
Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000
8.8. Aspectos conclusivos
• Esquemas centrados no espaço não são instáveis para os termos
advectivos, desde que combinados com esquemas de segunda
ordem no tempo e mais modelagem da turbulência para altos
Reynolds  isto é fisicamente consistente
• Esquemas descentrados de baixa ordem de precisão são sempre
estáveis, independente do número de Reynolds, devido à
“viscosidade numérica” inerente a eles
• Esquemas centrados são preferíveis – exigem modelagem da
turbulência para exercer o papel de transferência de energia
sobre a freqüência de corte, sem a interferência de viscosidade
numérica.
8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de
esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da
turbulência
Cd
Re
Present
work
Braza et
al. (1986)
Henders
on
(1997)
Lima e
Silva
(2002)
Sucker e
Brauer
(1975)
100
1.38
1.36
1.35
1.39
1.45
300
1.22
-
-
1.22
1.22
1.000
1.16
1.20
1.51
-
0.96
10.000
0.91
-
-
-
1.10