SUMÁRIO
DO
VOLUME
MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA
5
1. Porcentagens
1.1 Porcentagens
2. Desconto e aumento
3. Operações comerciais
4. Juro simples
5
6
14
18
22
NÚMEROS REAIS
28
5. Números irracionais
6. Ponto, reta, plano e postulados
6.1 Representação dos números irracionais na reta numérica
6.2 Teorema de Pitágoras
6.3 Raízes não exatas
6.4 Propriedades dos radicais
6.5 Propriedades operacionais dos Números Reais
6.6 Subconjuntos reais
31
34
36
37
46
46
48
52
GRÁFICO DE SETORES E ÂNGULOS
60
7. Gráﬁco de setores
8. Ângulos
8.1 Deﬁnição de ângulo
8.2 História sobre o grau e o radiano
8.3 Ângulos opostos pelo vértice
8.4 Operações com ângulos
61
63
63
64
70
71
PARALELISMO
81
9. Retas Paralelas
9.1 Construção de retas paralelas
9.2 Ângulos entre retas paralelas
81
81
82
CÁLCULO ALGÉBRICO
88
10. Introdução ao cálculo algébrico
10.1 Expressões algébricas
10.2 Valor numérico de uma expressão algébrica
10.3 Polinômios
10.4 Operações com monômios e polinômios
88
88
89
91
93
PRODUTOS NOTÁVEIS
11. Introdução ao produto notável
11.1 Quadrado da soma de dois termos
11.2 Quadrado da diferença de dois termos
11.3 Produto da soma pela diferença de dois termos
11.4 Cubo da soma de dois termos
11.5 Cubo da soma de dois termos
105
105
106
111
114
117
118
Matemática
SUMÁRIO COMPLETO
VOLUME 1
UNIDADE: INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Porcentagens
2. Desconto e aumento
3. Operações comerciais
4. Juro simples
UNIDADE: NÚMEROS REAIS
5. Números irracionais
6. Ponto, reta, plano e postulados
UNIDADE: GRÁFICO DE SETORES E ÂNGULOS
7. Gráﬁco de setores
8. Ângulos
UNIDADE: PARALELISMO
9. Retas Paralelas
UNIDADE: CÁLCULO ALGÉBRICO
10. Introdução ao cálculo algébrico
UNIDADE: PRODUTOS NOTÁVEIS
11. Introdução ao produto notável
VOLUME 2
UNIDADE: FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES NOTÁVEIS
12. Fatoração
UNIDADE: OS TRIÂNGULOS E SEUS PONTOS NOTÁVEIS
13. Triângulos
14. Perpendicularismo
UNIDADE: O ESTUDO DOS QUADRILÁTEROS
15. Quadriláteros
VOLUME 3
UNIDADE: POLÍGONOS, MOSAICOS E POLIEDROS
16. Polígonos convexos
17. Poliedros regulares
UNIDADE: EQUAÇÕES E SISTEMAS
18. Equações fracionarias e literais
19. Sistemas e equações
UNIDADE: UMA IDEIA REDONDA
20. Circunferência
3
4
Matemática
5
Matemática
Porcentagem
INTRODUÇÃO
À
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. PORCENTAGEM
Texto e contexto
Leia os textos a seguir:
TEXTO 1
“Nem sempre ganhando,
nem sempre perdendo,
mas aprendendo a jogar..."
Aprendendo a Jogar – Elis Regina e Francis Hime
TEXTO 2
“Errei mais de 9 000 cestas e perdi quase 300 jogos. Em 26 diferentes ﬁnais de partidas
fui encarregado de jogar a bola que venceria o jogo... e falhei.
Eu tenho uma história repleta de falhas e fracassos em minha vida. E é exatamente por
isso que sou um sucesso."
Michael Jordan
TEXTO 3
Neste ano, o ouro é a aplicação mais rentável.
COTAÇÃO DO OURO
APLICAÇÕES
(preço do grama, em reais)
43
2006*
62
72
48,40
2007*
Dólar
4,3%
2008*
2009*
CDB
3,5%
Fundo DI
3,5%
Ibovespa
2010**
Banco do Brasil e Anbima
63,95
(variação em 2010, até maio)
Ouro
16,1%
–8,1%
Busca
*Valor no fim do ano
**Valor em 11 julho
CDB – Certiﬁcado de Depósito Bancário – são títulos nominativos emitidos pelo banco e vendidos
ao público como forma de captação de recursos.
Fundo DI – fundos de investimentos – vários investidores que se juntam para a realização de
investimento ﬁnanceiro organizado sob a forma de pessoa jurídica, dividindo despesas e receitas
geradas no empreendimento.
IBOVESPA – O Índice Bovespa (Ibovespa) é o mais importante indicador do desempenho médio
das cotações das ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo. É formado pelas ações com
maior volume negociado nos últimos meses.
6
Matemática
Porcentagem
Minhas ideias, nossas ideias
De acordo com os textos, responda a estas questões:
1
Analisando a letra da música Aprendendo a Jogar, Texto 1, para você, o que signiﬁca – “nem sempre
ganhando, nem sempre perdendo, mas aprendendo a jogar”?
2
Qual a mensagem transmitida por Michael Jordan no Texto 2?
3
Observando o Texto 3, o que você conclui?
4
A cotação do ouro teve somente alta no período contemplado no gráﬁco? Justiﬁque com pontos do
mesmo.
5
Qual o percentual de aumento da cotação do ouro de 2006 para 2009?
6
O que signiﬁca no gráﬁco de colunas que as aplicações na IBOVESPA foi de - 8,1%?
7
Os números apresentados no Texto 2 são todos números inteiros? E no Texto 3, os números pertencem
a que conjunto numérico?
8
Os textos falam de perdas e ganhos. Para você , eles tratam desse assunto com interpretações diferentes?
Argumente.
Trabalhando com Pesquisa
Você sabe o que é o ouro?
“É um metal de transição brilhante, amarelo, pesado, dúctil, que
não reage com a maioria dos produtos químicos. À temperatura ambiente,
apresenta-se em estado sólido. Para ser usado, o ouro puro é endurecido
formando uma liga metálica com prata e cobre.”
Disponível em: <dorlingkinderslet-uk.com>. Acesso em 17 Ago. 2010
1.1 Porcentagens
Você se lembra...
Você percebeu que os dados do gráﬁco de colunas
foram apresentados em porcentagens. Você se lembra do
conceito de porcentagens?
Porcentagem é uma
comparação, ou seja, é uma
fração cujo denominador é cem, se o numerador for
um número natural. Se o numerador for decimal, o
denominador será uma potência de 10 ou qualquer
representação equivalente a ela. É uma razão (fração)
entre a parte e o todo.
No gráfico do Texto 3, a variação da IBOVESPA é 8,1%. Isso significa que o índice da Bovespa variou
8,1 ⁄ 100, ou seja o todo é representado por 100, e a parte, 8,1. Acompanhe outra situação: Um circo
esteve em Uberaba durante dez dias. Apresentaram-se três espetáculos por dia. Em relação ao total de
apresentações, qual a porcentagem de espetáculos em uma semana?
Vamos levantar alguns dados:
• total de espetáculos – 30 espetáculos
• parte – espetáculos em uma semana – 21 espetáculos ( 3 por dia; são 7 dias)
7
Matemática
Porcentagem
Cálculo da porcentagem:
Parte = 21 = 7 = 0,7 = 0,70 = 70 = 70%
100
10
todo 30
Significa 70 partes em um todo de 100 partes.
Se você preferir, apesar de não haver necessidade, pode-se montar a regra de três simples:
espetáculos
porcentagem
30
→
100%
21
→
x
30 . x = 21 . 100%
x = 21. 100 → x = 70%
30
→
Essa situação também pode ser resolvida montando-se a proporção (igualdade entre duas razões):
30 = 100 → 30 . x = 21 . 100 → x = 70%
x
21
Resposta: A porcentagem de espetáculos apresentados é de 70%.
Exercícios de sala
1
O conceito de porcentagem é muito útil no nosso cotidiano. Podemos calcular o percentual observando
o número de meninos e meninas na sala de aula. Para isso, vamos montar uma tabela . Preencha-a
de acordo com a quantidade de cada item apresentado em sua sala de aula e responda às questões a
seguir:
Cores dos cabelos dos meninos
Cores dos cabelos das meninas
Escuros
Escuros
Ruivos
Claros
Ruivos
Claros
Quantidade
% sobre o total do
mesmo sexo
% sobre o total de
alunos
a) O percentual de meninos ruivos é o mesmo que o de meninas de cabelos escuros? Justiﬁque
comparando os cálculos.
8
Matemática
Porcentagem
b) Qual é a cor de cabelo que predomina nos meninos? E nas meninas?
c) Podemos aﬁrmar que na sua sala de aula existe um tipo predominante? Se positivo, com qual cálculo
você poderia justiﬁcar sua resposta?
Atenção: Você deve ter notado que algumas frações não apresentaram o denominador igual
a 100. Para transformá-las em porcentagens, basta dividir o numerador pelo denominador,
e o número decimal encontrado deverá ser multiplicado por 100. Dessa forma, você terá a
porcentagem procurada.
Podemos representar porcentagens de várias maneiras. Acompanhe este exemplo.
Represente:
a) 20% na forma decimal.
b) 0,03 na forma de porcentagem.
c) 13 na forma de decimal e de porcentagem.
25
Resolução:
a) Transforme a porcentagem em fração decimal.
20% = 20 = 0,20 = 0,2
100
b) Transforme o decimal em fração com denominador 100.
0,03 = 3 = 3%
100
c) Transforme a fração em decimal
13 = 0,52
25
25
– 130 0,52
125
– 50
50
0
Transforme o decimal para porcentagem: deslocar a vírgula duas casas para a direita (isso significa
multiplicar o número por 100).
0,52 = 52%
•
2 casas
• Transforme o decimal em fração com denominador 100.
52
0,52 = 100 = 52%
Poderíamos ter optado diretamente pela fração equivalente:
Matemática
Porcentagem
13
25
52 = 52% (multiplicamos o denominador por 4, pois 25 . 4 = 100. Para não alterarmos
100
a fração, o numerador também foi multiplicado por 4, resultando na fração equivalente 52 ).
100
=
Porcentagens em quantias
Durante a apresentação de um espetáculo de um circo, o pipoqueiro da entrada fez a seguinte
promoção:
Promoção
01 saco de pipoca → R$ 8,00
02 sacos de pipoca → R$ 7,00 cada
O pipoqueiro está ganhando ou perdendo? Vamos ajudá-lo a analisar esta questão!
Qual o percentual de desconto que o pipoqueiro ofereceu para uma pessoa que comprou dois
saquinhos de pipoca?
Você poderá resolver a questão proposta analisando o valor do desconto em cada saquinho – R$ 1,00
por saquinho.
*porcentagem =
parte = 1,00 = 0,125 = 12,5%
todo
8,00
Pode-se, também, fazer a análise sobre o preço total:
02 saquinhos sem desconto → R$ 16,00
02 saquinhos com desconto → R$ 14,00
Diferença (desconto) → R$2,00
Porcentagem = parte = 2,00 = 1 = 0,125 = 12,5%
todo
16,00
8
Resposta: O pipoqueiro ofereceu 12,5% de desconto. E quanto à questão de ganho ou perda, teríamos
que saber a quantidade de saquinhos que ele vendeu com e sem desconto.
Exercícios de sala
2
Numere a 2a e a 3a colunas de acordo com a 1a, associando as representações percentuais em
fracionárias e/ou decimais (podem sobrar itens sem associação).
(1) 2,5%
( ) 0,6
(
) 2,4
(2) 31%
( ) 31
10
( ) 0,025
(3) 0,3%
( ) 0,06
( )
(4) 60%
( ) 250
200
( ) 0,031
(5) 240%
( ) 62
200
( ) 0,240
3
1000
9
10
Matemática
Porcentagem
3
Em um supermercado trabalhavam 36 mulheres e 64 homens. Quantos homens devem sair desse
supermercado para que a porcentagem dos homens se reduza para 40%?
4
João Pedro foi à papelaria e comprou seis cadernos. Sabendo que cada caderno custa R$ 8,00 e que ele
pagou 60% em dinheiro, quanto João Pedro ﬁcou devendo?
5
Calcule e responda:
a) Quanto é 30% de R$ 70,00?
b) Quantos por cento de 90 são iguais a 36?
c) 7 são 35% de que número?
d) R$12,00 correspondem a 15% de que quantia?
e) Em relação a um total de R$ 500,00, a quantia de R$ 240,00 corresponde a quantos por cento?
11
Matemática
Porcentagem
f) 0,5% de R$ 32,00 é mais ou menos que 1% de R$17,00?
6
Em uma avaliação temática de 48 questões, um aluno acertou 36. Qual foi a taxa percentual de acertos
desse aluno?
7
Em uma liquidação, comprei um armário por R$ 320,00. Dei 20% de entrada e pagarei o restante em
08 prestações iguais. Quanto será o valor de cada prestação?
8
Complete a tabela:
Porcentagem
50%
100%
Número decimal
9
200
100
15
100
Fração com denominador 100
83
100
0,02
1,3
Observe as ﬁguras a seguir divididas em regiões numeradas:
6
5
2
4
3
2
1
3
1
1,12
12
Matemática
Porcentagem
Responda às questões:
a) Considerando a área total da Figura 1, qual o percentual dessa área na região 6? E na região 4?
b) Considerando que a medida da área da Figura 2 é de 180 cm², determine a medida da área da
região 2 dessa ﬁgura.
10 Pingado é o nome dado para a mistura de leite com café em São Paulo. Seja uma mistura formada por
120 ml de leite e 60 ml de café.
a) Qual é a taxa percentual de leite na mistura? E de café?
b) Retirando-se 20 ml de leite da receita original, qual será a porcentagem de café na nova receita do
pingado?
c) Para que a receita tenha 50% de leite e 50% de café, mantendo-se a quantidade inicial do café,
quanto será a quantidade da mistura?
d) Para que a quantidade de leite seja 60% da mistura e a quantidade de café seja 30 ml, quanto deverá
ser a quantidade de leite?
13
Matemática
Porcentagem
11 A figura a seguir é composta por 25 quadradinhos iguais. Alguns deles foram coloridos . Qual é o
percentual dos quadradinhos coloridos em relação à ﬁgura inteira?
12 Na entrada de uma loja havia uma sequência de tapetes retangulares desenhados na seguinte ordem:
T1 = D1 (tapete 1 = desenho 1); T2 = D2 (tapete 2 = desenho 2); T3 = D3 (tapete 3 = desenho 3)
T4 = D4 (tapete 4 = desenho 1) ; T5 = D2 (tapete 5 = desenho 2)
T1
T2
T3
T4
Os tapetes T1, T2, T3, T4... representados são congruentes e estão divididos em regiões de
mesma área. Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e a área total de cada um dos tapetes
retangulares T1, T2, e T3, veriﬁca-se que os valores obtidos formam uma sequência numérica.
a) Responda:
• Qual é o desenho do tapete que ocupa a 38a posição?
• Qual é o percentual não colorido no terceiro tapete?
b) Escreva a sequência numérica em porcentagem que representa a parte colorida em cada um dos três
tapetes desenhados inicialmente.
14
Matemática
Desconto e aumento
2. DESCONTO
E AUMENTO
Você sabe calcular o valor de um desconto?
No nosso dia a dia, sempre nos deparamos com ofertas em lojas, supermercados, com aumentos de
preços de combustíveis, de salários, de mensalidades escolares. Como saber se o que estão oferecendo ou
cobrando é o correto? Será que estamos perdendo ou ganhando? Este é o nosso próximo assunto.
Observe este exemplo:
A apresentação no Nordeste da temporada do espetáculo Quidan do Cirque Du Soleil está marcada
para 09/07 em Recife(PE). Os preços são:
*setor Premium: R$ 490,00
*setor II: R$ 350,00
*setor I: R$ 420,00
* setor III: R$ 230,00
A família de Maria Luiza irá assistir ao espetáculo. Para isso, ela comprou dois ingressos pagando
inteira e três ingressos pagando meia, todos no setor II. Quantos reais Maria Luiza gastou?
Busca
Pagar meia signiﬁca ter um desconto de 50% no valor total do ingresso.
Observe que podemos calcular o desconto de Maria Luiza de duas maneiras:
a) Cálculo do desconto do ingresso:
50 de 350,00 = 1 . 350 = R$ 175,00
100
2
Valor a ser pago em cada ingresso(meia): 350 – 175 = 175 → R$ 175,00
b) Podemos calcular o valor após o desconto, utilizando apenas o percentual pago:
100% – 50% = 50% (total – desconto = percentual a ser pago)
Agora basta calcular o percentual pago do preço original.
50 . 350,00 = 175,00
100
Atenção: 50% corresponde à metade do valor. Logo, pagar meia significa dividir o valor
original, no caso do ingresso, por dois.
Maria Luiza pagará:
02 ingressos (inteira) → 2 . 350 = 700
03 ingressos (meia) → 3 . 175 = 525
Total = 700 + 525 = 1 275 (valor total pelos 05 ingressos)
Resposta: Maria Luiza pagará R$1 275,00 para assistir ao espetáculo Quidan.
Observe:
Marcelo foi fazer compras. Ao perguntar o preço de uma camiseta, o vendedor respondeu-lhe:
– O preço é R$50,00. Se for à vista, você terá 30% de desconto; se pagar em 30 dias, seu desconto
será de 10%; se escolher a camiseta de cor branca, seu desconto será de 40%.
Com tantas opções, Marcelo resolveu fazer os cálculos para ver qual seria a melhor opção. Vamos
ajudá-lo?
15
Matemática
Desconto e aumento
Resolução:
Calculando as opções:
a) à vista, 30% de desconto:
100% – 30% = 70% (valor total – desconto = valor a ser pago após o desconto) 70 . 50 = 35,00
100
Ou você poderá primeiramente calcular o desconto e depois subtraí-lo do preço inicial:
30 . 50 = 15 (valor do desconto)
100
50 – 15 = 35 (total a ser pago após o desconto)
b) em 30 dias, desconto de 10% do valor da camiseta:
* 100% – 10% = 90% (percentual total – percentual do desconto = percentual a ser pago) 90 . 50 = 45,00
100
Pode-se primeiramente calcular o desconto e depois subtraí-lo do preço inicial:
10 . 50 = 0,1 . 50 = 5 (valor do desconto)
100
50 – 5 = 45 (valor da camiseta – valor do desconto = valor após desconto)
c) valor da camiseta de cor branca: 60 . 50 = 30,00 (60% = 100% – 40%)
100
Resposta: Assim, Marcelo comparou os preços após os descontos oferecidos: R$ 35,00, R$ 45,00 e R$ 30,00,
e percebeu que o mais barato seria levar a camiseta branca, confirmando o que ele havia pensado, pois o
desconto proposto era o maior.
Atenção: vamos sintetizar o que aprendemos?
Para calcular o preço de uma mercadoria com desconto de 25%, basta multiplicar o preço da
mercadoria original por 0,75, que corresponde a 75% deste valor, pois (100% – 25% = 75%).
Analogamente, quando vamos calcular o aumento do preço de uma mercadoria, por exemplo, em 40%,
basta multiplicarmos o preço original por 1,40, pois 1,40 = 100% + 40% = 140% .
Portanto, temos o seguinte cálculo sobre o preço original(X):
Desconto de 10%:
100%- 10% = 90% = 0,90
Preço final após o desconto = 0,90 . X
Aumento de 10%:
100% + 10% = 110% = 1,10
Preço final após o aumento = 1,10 . X
Assista no Youtube à apresentação da Aula de Porcentagem do Novo Telecurso – Ensino
Fundamental – Matemática – aula 27 (aulas 1 e 2).
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