PHD-2301 Hidráulica I-Orifícios e Bocais
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária
PHD 2301 - HIDRÁULICA I
Roteiro elaborado pelo Profº
Dr. Podalyro Amaral de Souza(1987)
Revisado em 2000 por
Prof. Livre-Docente Paolo Alfredini
Digitação e Layout
Reginaldo Galhardo Martins
São Paulo
2004
Escola Politécnica da USP - Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária
1
PHD-2301 Hidráulica I-Orifícios e Bocais
Sumário
Experiências
páginas
1-
ORIFÍCIOS E BOCAIS................................................................................................................................... 3
2-
HIDROMETRIA.............................................................................................................................................14
3-
VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA..........................................................................................................22
4-
RESSALTO HIDRÁULICO...........................................................................................................................28
5-
FILTRAÇÃO ..................................................................................................................................................33
6-
CANAL EM REGIME PERMANTE UNIFORME E GRADUALMENTE VARIADO..............................40
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PHD-2301 Hidráulica I - Orifícios e Bocais
1 -
ORIFÍCIOS E BOCAIS
1.1. Introdução
Uma abertura executada na parede lateral ou no fundo de um recipiente que
contenha líquido, e que possibilita o escoamento desse líquido, é genericamente
denominada orifício. O orifício mais comum é o de forma circular com borda biselada
externamente de modo a formar uma aresta viva internamente, como indicado na Figura
1.
C
D
Dc
C
Figura 1 - Corte de um orifício circular de parede delgada
Quando a parede do reservatório é espessa ou quando um tubo é adicionado
externamente ao orifício, como na Figura 2, de modo que o jato líquido possa fluir colado
à parede , tem-se o que se convencionou chamar de bocal cilíndrico externo.
C
1
D
C
1
Figura 2 - Corte de um bocal cilíndrico externo
Quando um tubo curto é adicionado internamente a um orifício, como mostrado na
Figura 3, tem-se o caso de um bocal cilíndrico interno. Neste caso o jato deve fluir sem ter
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3
PHD-230 Hidráulica I - Orifícios e Bocais
contato com a parede interna do bocal para aproximar-se das hipóteses requeridas para a
aplicação da equação da quantidade de movimento.
D
Dc
Figura 3 - Corte de um bocal cilíndrico interno
Estes três dispositivos aqui apresentados são geralmente empregados como
medidores de vazão em volume ou simplesmente como drenos.
1.2. Tratamento Analítico
1.2.1 - Considerações Gerais
Os principais símbolos utilizados neste tratamento do fenômeno:
!"A = área de seção transversal
!"C e K = coeficiente
!"D = diâmetro
!"H = carga total
!"h = altura da água no reservatório em relação ao centro do dispositivo de
saída
!"Z = cota
!"g = aceleração gravitacional
!"V = velocidade
!"p = pressão
!"ρ = massa específica da água
!"x, y = posição em relação à seção contraída (orifício e bocal interno) ou
seção de saída (bocal externo) ver Figura 4
!"Q = vazão volumétrica
!"t = tempo
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4
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!"L = distância entre os fios da harpa graduada
!"α = ângulo da harpa em relação a horizontal
!"Re = número de Reynolds
Índices:
!"c = contração, seção contraída
!"v = velocidade
!"Q = vazão volumétrica
!"t = teórico
!"r = real
!"res = reservatório
!"ci = contração interna (bocal externo)
!"0 = inicial
O tratamento analítico do escoamento de jato através de orifícios e bocais é feito
com base em três princípios da Física: Primeira Lei da Termodinâmica, Conservação de
Massa e Conservação da Quantidade de Movimento. As seguintes hipóteses
simplificadoras serão adotadas ao presente caso:
a) Escoamento não permanente, com o reservatório se esvaziando lentamente;
b) Líquido incompressível;
c) Orifícios e bocais de pequenas dimensões em relação à carga;
d) A pressão é atmosférica na superfície livre do reservatório e na saída do jato
adotada como zero (pressão relativa);
e) Os orifícios e bocais estão em paredes verticais e lançam jatos com velocidades
iniciais horizontais;
f) Não existe, no reservatório, nenhuma máquina hidráulica fornecendo ou
retirando trabalho;
g) No reservatório, em pontos não vizinhos do orifício ou bocal, a pressão distribuise hidrostaticamente.
As partículas fluidas procedentes dos mais diversos pontos do reservatório
aproximam-se do orifício ou do bocal descrevendo trajetórias convergentes. Isto obriga o
jato formado a sofrer uma contração em uma seção transversal, ocorrendo um valor
mínimo de área na seção em uma posição em que os filetes são paralelos, denominada
seção contraída (ver seção C-C na Figura 1). A razão entre a área do jato na seção
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5
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contraída, Ac = πDc /4, e a área nominal do orifício ou bocal, A = πD /4, define o
2
2
denominado Coeficiente de Contração Cc:
Dc
A
Cc = c =
A
D
2
( )<1
Equação 1
Com base nas hipóteses adotadas, a Primeira Lei da Termodinâmica fica reduzida
à equação de Bernoulli:
V12
p2
p1
V22
+
= Z2 +
+
+ perdas
ρg
ρg
2g
2g
H1=H2 + ∆H = Z1 +
Equação 2
entre dois pontos 1 e 2 quaisquer de um filete. Para o filete indicado na Figura 4 aplica-se
a Equação 2 entre o ponto “o” e o ponto “c”, que está no centro da seção contraída,
obtendo-se a Equação 3:
Z0 +
p0
+
ρg
V 02
2g
≈
= 0 (d)
= Zc+
pc
ρg
+
V c2
2g
+ perdas
= 0 (d)
0 (a)
Equação 3
h
Figura 4 - Esquema do reservatório com emissão de jato
Chamando-se Vc = Vr (velocidade real do jato), substituindo-se (Z0 - Zc) por h, e
expressando-se as perdas por KVr2/2g, pode-se transformar a Equação 3 em:
1
Vr =
√1 + K
√ 2gh
Equação 4
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Define-se agora a velocidade teórica do jato, Vt, como sendo aquela que o jato
adquiriria se não houvesse perdas (K=0). Com base na Equação 4, Vt será expressa
como:
Vt = √ 2gh
Equação 5
A razão entre a velocidade real e a teórica é denominada Coeficiente de
Velocidade, com notação Cv, conforme indicado na Equação 6.
Vr
Cv =
<1
Vt
Equação 6
Outro coeficiente importante no estudo dos orifícios e bocais é o denominado
Coeficiente de Vazão, CQ, definindo como razão entre a vazão real, Qr = VrAc, e a vazão
teórica, Qt = Vt A, ou seja:
Qr
CQ =
=
Qt
ACVr
AVr
= Cc . Cv
Equação 7
1.2.2 - Bocal Cilíndrico Externo
O bocal cilíndrico externo, funcionando com o jato colado à parede do bocal, não
apresenta contração na saída do jato. Internamente ao bocal, ver Figura 2, existe uma
contração que provoca o descolamento da camada limite com conseqüente aparecimento
de uma depressão. Esta depressão provoca um aumento do coeficiente de vazão deste
bocal quando comparado a um orifício de parede delgada de mesmo diâmetro. As
aplicações da equação de Bernoulli, entre o NA do reservatório e a seção de saída do
bocal, da equação da conservação de massa (continuidade), com as perdas expressas
pela equação experimental de Borda-Bélanger:
∆H =
(Vc - V1)2
2g
+ 0,115
V12
2g
Equação 8
(Vc e V1 são velocidades das seções indicadas na Figura 2), e com o coeficiente interno
de contração adotado com Cci=0,62, leva o bocal cilíndrico externo, a:
CQ = Cv = 0,82
Equação 9
Pela aplicação da equação de Bernoulli entre as seções c-c e 1-1 da Figura 2,
lançando-se mão da Equação 8, do resultado da Equação 9 e admitindo-se que o
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7
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coeficiente interno de contração seja Cci=0,62, não é difícil mostrar que a pressão na
seção contraída, pc, é negativa e equivale a uma carga:
pc
ρg
= -0,75 h
Equação 10
1.3.Verificações Experimentais
1.3.1 - Objetivo
A presente experiência objetiva a determinação dos coeficientes de contração,
velocidade e vazão, respectivamente Cc, Cv e CQ, para um orifício circular de parede
delgada, um bocal cilíndrico externo e um bocal cilíndrico interno em função da carga
sobre o orifício ou bocal.
1.3.2 - Montagem
A montagem consta de:
!"Reservatório de nível variável;
!"Piezômetro para a leitura da
carga do reservatório;
!"Harpa
graduada
para
a
localização do jato;
!"Cronômetro
!"Orifício de parede delgada;
(medição
!"Bocal cilíndrico externo;
acumulados).
com
de
"lap"
tempos
!"Bocal cilíndrico interno;
fotografia 1 - Vista Frontal da Bancada de Orifícios, Bocais e Vertedores
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fotografia 2 -Vista Lateral da Bancada de Orifícios, Bocais e Vertedores
1.3.3 -Procedimentos
1.3.3.1.Para o orifício de parede delgada
a) Verificar se todos os orifícios e bocais estão fechados;
b) Encher o reservatório até a altura indicada pelo professor;
c) Fechar a alimentação;
d) Abrir o orifício e acionar o cronômetro sincronizadamente com a passagem do
jato por um dos fios da harpa, anotando o número do fio;
e) Acionar o "lap" do cronômetro sempre que o centro do jato estiver coincidindo
com um dos fios da harpa graduada, que caracteriza uma posição (x, y), e
simultaneamente marcar o correspondente valor de carga h (para posterior
leitura). Anotar o tempo t;
f) Obter não menos que três valores de t e os correspondentes valores de h (ver
Figura 4);
g) Os seguintes valores são necessários para os cálculos:
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Ares = (1,09 )
D = (24/24/28)
m2
Área em planta do reservatório
mm
Diâmetro do orifício/bocal externo/bocal interno
x0 = (304/244/355) mm
Coordenadas do fio 0 em relação à seção contraída,
y0 = (646/646/226) mm
no orifício/bocal externo/bocal interno
L = (40)
mm
α = (45)
graus (º)
Distância entre os fios da harpa
Ângulo da harpa em relação a horizontal
Valores a serem marcados durante o ensaio
t
Z cota do nível d'água
(s)
(m)
Nº do fio
1.3.3.2. Para o bocal cilíndrico externo:
Repetir os mesmos procedimentos indicados para o orifício de parede delgada.
Lembrar que o jato deve operar colado internamente ao bocal. Notar que as coordenadas
(x0,y0) são em relação ao centro da seção de saída do jato.
Para uma das medições anotar o valor da carga piezométrica na seção contraída
(interna) pc/(ρg) para comparar com a Equação 10.
1.3.3.3. Para o bocal cilíndrico interno:
Repetir os mesmos procedimentos indicados para o orifício de parede delgada.
Lembrar que o jato deve operar descolado, como indicado na Figura 3.
1.3.4 - Orientações complementares
Para cada instante em que foi registrada a passagem do centro do jato por um dos
fios da harpa deve-se calcular o valor da altura h = Z -Zc e das coordenadas (x, y) de
cada fio em relação à seção contraída (para orifício e bocal interno) e em relação à seção
de saída (bocal externo):
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x = x0 + nº fio . L . cos α
y = y0 - nº fio . L . sen α
Equações 11 e 12
O cálculo da velocidade real do jato, Vr, é feito a partir de valores x e y medidos nos
procedimentos acima, com base nas equações:
x = Vr δt
g(δt)2
2
y=
Equações 13 e 14
da balística, onde δt é eliminado entre as equações 13 e 14, fornecendo:
√
Vr = x
g
2y
Equação 15
A partir dos valores medidos ti, hi pode-se estimar a derivada (dh/dt)i como a seguir:
O tempo de esvaziamento do reservatório de h0 a h é t, dado por:
t=
2 . Ares
CQ A√2g
(√ h0 - √ h )
Equação 16
com CQ localmente constante e t0 = 0, define-se:
K=
2 . Ares
CQ A√2g
Equação 17
Para um par ti, hi pode-se determinar o correspondente Ki (Equações 16 e 17).
Também da Equações 16 e 17 tem-se:
h = h0 -
2 √ h0
1
( )( )
t+
K
2 √ h0
dh
=dt
K
(
K2
Equação 18
2
) ( K )t
+
t2
2
Equação 19
Obtém-se então o seguinte algoritmo:
a) Dados ti, hi, i=0, 1, ... , n
b) Para i>0
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(b.1)
Ki=
ti
√ h0 - √ hi
Equação 20
(b.2)
2 √ h0
dh
=dt t=t
Ki
i
(
2
) ( K )t
+
i
2
i
Equação 21
2 √ h0
dh
=dt t=0
K1
c) Para i=0
(
(c.1)
)
Equação 22
Notar que os valores de (dh/dt) são negativos, uma vez que ocorre o esvaziamento
do reservatório, e conseqüente redução de h.
Em resumo, com base nos dados e nas grandezas medidas, as seguintes
grandezas devem ser determinadas:
√
Vr = x
g
2y
Equação 23
Vt = √ 2gh
Equação 24
Qr = - Ares dh
dt
Equação 25
Qt = A Vt = A√2gh
Equação 26
Vr
Cv =
Equação 27
Vt
Qr
CQ =
Equação 28
Qt
Cc == CQ/ Cv
Equação 29
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Os coeficientes Cc, Cv e CQ devem ser "plotados" em função do número de
Reynolds, definido como:
Re =
D . √2gh
ν
Equação 30
Onde ν é a viscosidade cinemática da água.
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2 -
HIDROMETRIA
2.1. Introdução
Sob o título HIDROMETRIA será tratado nesta experiência o problema da medição de
uma vazão com o uso de três dispositivos medidores, sendo um em conduto forçado e
dois em conduto livre.
O medidor em conduto forçado é um DIAFRAGMA. Essencialmente é constituído por
uma placa plana provida de um orifício circular com diâmetro menor que o da tubulação
onde se encontra instalado. A placa é instalada perpendicularmente ao eixo da tubulação
de modo que o eixo contenha o centro do orifício. De cada lado da placa existe uma
câmara anular que se comunica com a região interna da tubulação através de uma fresta
perimetral. Dentro da câmara anular a pressão reinante é a pressão média da seção do
escoamento que passa pela fresta perimetral. Em cada câmara há uma tomada de
pressão para conexão de mangueira de manômetro.(Ver Figura 5)
A velocidade do escoamento aumenta na passagem pelo orifício enquanto a
pressão diminue. Isto provoca uma diferença de pressão entre as seções 1-1 e 2-2
(indicadas na figura 7), diferença esta que é unívoca à vazão, como será mostrado
adiante.
Os dois medidores em conduto livre são: um VERTEDOR RETANGULAR
DE
SOLEIRA
DELGADA e um VERTEDOR TRIANGULAR DE SOLEIRA DELGADA. (Figura 8).
A medição de vazão em conduto livre é de óbvia importância para a engenharia,
nos campos de irrigação, drenagem e controle de inundação. O uso de vertedor
retangular de soleira delgada é geralmente limitado a pequenos canais, como em
laboratórios, por exemplo. O vertedor triangular de soleira delgada é especialmente
indicado para pequenas vazões (Q< 50l/s), pois sua seção triangular leva a uma variação
de carga relativamente grande, aumentando a precisão da medição.
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Tomadas de Pressão
D
d
Fresta Perimetral
câmara
Figura 5- Esquema de um Diafragma
Figura 6 - Esquema de Vertedor de Soleira Delgada
2.2. Tratamento Analítico
2.2.1 - Diafragma
As hipóteses aqui adotadas são:
a) Escoamento permanente;
b) Fluido incompressível;
c) Escoamento turbulento;
d) Distribuição uniforme de velocidade no tubo e na seção contraída do jato
emitido através do orifício do diafragma, como na Figura 7.
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1
2
dc
D
d
Seção
Contraída
1
2
Figura 7 - Esquema de escoamento em um diafragma
Aplicando-se a equação de BERNOULLI entre as seções 1-1 e 2-2, obtém-se:
V12
p1
ρ g + 2g
p2
V c2
Vc 2
= ρ +
+ K
2g
2g
g
Equação 31
Onde: Vc é a velocidade do jato na seção contraída e K é o coeficiente de perda
local. Não tem sentido se usar a velocidade média V2 da seção 2-2 porque a distribuição
da velocidade não se aproxima de distribuição uniforme. Na seção contraída do jato (ver
Figura 7) a distribuição da velocidade é uniforme e nela passa toda a vazão Q.
A equação da continuidade, neste caso, permite ter-se:
πdc2
πD2
Q = V1
= Vc
4
4
Equação 32
O diâmetro “dc“ da seção contraída do jato pode ser relacionado com o diâmetro “d”
do orifício através de um coeficiente de contração Cc, tal que:
dc2 = Ccd2
Equação 33
Fazendo-se:
∆H =
p1 - p2
ρg
Equação 34
E tendo-se em conta as Equações 32 e 33, pode-se explicitar Vc na Equação 31 e
obter-se:
Q = Vc
πdc2
4
πd2
= Cc
4
2g∆H
1 - CC
d
D
4
( )+ K
2
Equação 35
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Englobando-se os termos constantes da Equação 35 em uma única constante C,
chega-se a:
Q = C ∆H
Equação 36
Que é adotada como lei de descarga do diafragma. O valor de C é determinado
experimentalmente.
2.2.2 -Vertedor Retangular de Soleira Delgada
As hipóteses aqui adotadas:
a) Escoamento permanente;
b) Fluido incompressível;
c) Distribuições uniformes de velocidade nas seções 1 e A-B;
d) Superfície livre horizontal entre as seções 1 e A-B;
e) Pressão atmosférica em “A” e em “B”.
Para estas hipóteses a velocidade em um ponto C é igual a (2gh)1/2 e a vazão
teórica é dada por:
V0 2
H+
V02
2g
2B 2g
B 2gh dh =
3
{(
H+
V02
2g
3/2
V 02
3/2
) ( )}
-
2g
= Qt
2g
Equação 37
Onde h é medido a partir da linha de carga e B é a largura da soleira.
Na realidade a linha d'água não é horizontal e há uma contração do jato emanado
da soleira, como esquematizado na Figura 6. A vazão Q real pode então ser expressa a
partir da vazão teórica Qt pela introdução de um coeficiente de contração Cc:
Q = CC
2B 2g
3
{(
H+
V 02
2g
3/2
V 02
3/2
) ( )}
-
2g
Equação 38
Esta Equação 38 pode ser escrita em forma mais compacta e conveniente para
aplicações práticas:
Q = CQ
2B 2 g 3/2
H
3
Equação 39
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Onde:
{(
1+
CQ = C C
V 02
2gH
3/2
V02
3/2
) ( )}
-
2gH
Equação 40
É razoável supor-se que Cc e a razão V02/(2gh) sejam dependentes apenas da
geometria do contorno, em particular dependentes de H/∆Z. A partir de resultados
experimentais Rehbock evidenciou a dependência entre CQ e H/∆Z. Seus resultados
ajustaram-se bem à fórmula:
CQ = 0,611 + 0,08
H
∆Z
Equação 41
2.2.3 -Vertedor Triangular de Lâmina Delgada
Para as mesmas hipóteses do item 2.2.2 e desprezando-se a carga cinética da
aproximação (V0≈0), a vazão teórica Qt para o vertedor triangular é expressa por:
H
2(H - h) tg (α ) 2gh dh
2
0
Equação 42
Que após a integração resulta em:
Q t=
8 tg α
2g H 5/2
15 ( 2 )
Equação 43
A vazão real Q é então obtida pela introdução de um coeficiente de contração Cc
no segundo membro da Equação 43, ou seja:
Qt=
8 tg α
C ( ) 2g H5/2
15 c 2
Equação 44
Em forma mais compacta pode-se escrever a Equação 44 como:
Q = C H5/2
Equação 45
Onde:
8
α
C = 15 Cctg (2 ) 2g
Equação 46
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Experiências de laboratório têm evidenciado que C ≈ 1,42 para vertedor triangular
com α=90º(Thompson).
2.3. Verificação Experimental
2.3.1 - Objetivo
Esta experiência objetiva a determinação do valor de uma mesma vazão constante
fazendo-se uso de: um diafragma, um vertedor retangular de soleira delgada, um vertedor
triangular 90º de soleira delgada.
2.3.2 - Montagem
A montagem de laboratório é constituída em série de um diafragma, um vertedor
retangular de soleira delgada(Rehbock) e um vertedor triangular 90º de soleira delgada
(Thompson) .
Existe uma ponta limnimétrica para cada vertedor e um manômetro diferencial de
mercúrio para o diafragma.
fotografia 3 - Vista de Montante para Jusante da Bancada de "Hidrometria em Canais"
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fotografia 4 - Vista de Jusante para Montante da bancada de "Hidrometria em Canais"
2.3.3 - Procedimentos
a) Abra convenientemente o registro de alimentação e aguarde a permanência do
regime;
b) Leia o manômetro do diafragma;
c) Leia a carga do vertedor retangular;
d) Leia a carga do vertedor triangular;
e) Repita os procedimentos anteriores para duas outras vazões;
f) A altura ∆Z da lâmina do vertedor retangular é de 34,5cm e a sua largura B é de
59cm.
2.3.4 - Consideração Complementares
As três vazões ensaiadas deverão ser calculadas pelas fórmulas dos medidores:
diafragma, vertedor retangular e vertedor triangular.
Toda e qualquer medição realizada durante os ensaios está sujeita a erro de
leitura. O conhecimento da incerteza de leitura permite a estimativa da incerteza na
determinação da vazão. No caso do vertedor triangular, por exemplo, tem-se:
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Q = 1,42 H5/2
Equação 47
Que em forma logarítmica fica:
ln Q = ln 1,42 + 5 ln H
2
Equação 48
Que após diferenciação transforma-se em:
∆Q
5 ∆H
=
2 H
Q
Equação 49
Quando se mede H=100 mm a incerteza de leitura é da ordem de ∆H=0,1mm. Com
H=0,10m a Equação 47 fornece:
Q=0,00449 m3/s ≈ 4,5 l/s
Assim ter-se-á, pela Equação 49:
∆Q = 4,5 l/s x 2,5 x 0,1 mm/100mm
∆Q = 0,011 l/s
Todas as vazões calculadas por todas as fórmulas deverão ter a incerteza ∆Q
estimada. Isto facilitará a evidência do medidor mais preciso.
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3 -
VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA
3.1. Introdução
Existem dois regimes bem distintos nos quais uma vazão constante pode escoar
num canal: regime
FLUVIAL
(subcrítico) e regime
TORRENCIAL
(ou supercrítico). No regime
fluvial as velocidades são baixas e as profundidades grandes, ocorrendo o contrário no
regime torrencial.
A ocorrência de uma soleira no fundo de um canal com regime fluvial a montante
proporciona, sobre a soleira, a mudança do regime fluvial para torrencial, passando pelo
regime crítico em algum ponto sobre a soleira. (Ver Figura 8).
N.A.
V12
2g
h
y
V22
2g
Q
yc
y
∆Z
Z
1
2
Figura 8- Vertedor de soleira espessa
A aplicação da Equação de Energia (Bernoulli) juntamente à Equação da
Conservação de Massa (Continuidade) ao escoamento sobre uma soleira espessa, leva a
uma fórmula para a determinação Q. Vê-se assim que a soleira espessa pode ser usada
como dispositivo medidor de vazão em um canal.
3.2. Tratamento Analítico
As seguintes hipóteses simplificadoras serão aqui adotadas:
(a) Escoamento permanente;
(b) Fluido incompressível;
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22
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(c) Pressões distribuídas hidrostaticamente;
(d) Velocidades distribuídas uniformemente;
(e) Não existe perda de carga entre as seções 1 e 2, indicadas na Figura 8;
(f) Os filetes sobre a soleira são paralelos a esta.
Considera-se uma seção retangular de escoamento como a da Figura 9 e escrevese a carga H com a origem da cota no fundo do canal; ou seja
pM
V2
ρg + 2g
B
+z=H
Equação 50
a
y
M
z
Figura 9 - Seção retangular de escoamento
Pela hipótese (c) tem-se pM/(ρg) = a e pela observação da Figura 9 a + Z = y. Isto
permite que a carga seja expressa por:
V2
2g
+y=H
Equação 51
quando a origem de Z coincide com o fundo do canal. As cargas nas seções 1 e 2 são
então expressas por:
V12
H1 =
+ h + ∆Z
2g
H2 =
Equação 52
V22
+ y2 + ∆Z
2g
Equação 53
Pela hipótese (e) tem-se H1 - H2 = 0 ou
V22
V12
+h=
+ y2
2g
2g
Sem perda de generalidade faz-se
2
y=y2, V=V2, H=(V1 )/2g
V2
H=
+y
2g
Equação 54
+ h, o que permite obter-se:
Equação 55
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23
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Introduz-se a vazão a partir da substituição de V=Q/(By) na Equação 55 que resulta
em:
Q2
H=
+y
2gB2y2
Equação 56
Para uma vazão constante a representação gráfica da Equação 56 tem o aspecto
indicado na Figura 10. A carga específica H passa por um valor mínimo para uma
profundidade denominada PROFUNDIDADE CRÍTICA (yc). Derivando-se a expressão de H em
relação a y e igualando-se a zero, obtém-se:
Q2
dH
=
+1=0
dy
gB 2y3
Equação 57
De onde
Q2
= yc 3
gB2
Com este resultado reescreve-se a Equação 56, na condição crítica, como:
yc =
2
H
3
Equação 58
A Equação 56 na condição crítica explicitada em relação à vazão é:
Q = Byc 2g(H-yc)
Equação 59
Usando-se a Equação 58 para eliminar yc da Equação 59, chega-se a:
1
Torrencial
0,9
Fluvial
H = H’ + H”
0,8
0,7
H’=y
H
0,6
0,5
0,4mín
H
0,3
H” =
0,2
Q2
2B2y2g
0,1
0
0
0,2
yc
0,4
y
Q=
0,6
2
3 3
Figura 10 - 1Gráfico de H=H(y) para Q=cte
0,8
BH 2gH
Equação 60
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24
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Esta Equação 60 é a fórmula
TEÓRICA
para o cálculo de Q. O valor
REAL
da vazão
pode ser obtido pela introdução de um coeficiente de descarga Cd<1 na Equação 60, que
para g=9.81 m/s2, fornece:
Q = Cd . 1,70 . B . H 3/2
Equação 61
A "British Standard 3680" sugere a expressão:
Cd =
2χL
1B
(
χL
1h
)(
3/2
)
Equação 62
com:
χ = 0,01867. e-6,7177.h
Equação 63
para estimativa de Cd, onde L é o comprimento e B a largura da soleira em estudo.
A Equação 63 foi obtida experimentalmente para a soleira em análise.
3.3. Verificação Experimental
3.3.1 - Objetivo
Esta
experiência
objetiva
aferir
um
vertedor
de
soleira
arredondamento a montante e comparar o seu comportamento com
espessa
com
o previsto pela
British Standard 3680.
3.3.2 - Montagem
A montagem consta de:
(a) Vertedor triangular, alimentado por um reservatório de nível constante, como
medidor de vazão;
(b) Ponta limnimétrica no vertedor triangular;
(c) Canal retangular horizontal com 0,10m de largura;
(d) Soleira espessa com largura B=0,10m, altura ∆Z=0,11m e comprimento
L=0,26m;
(e) Ponta limnimétrica para medição da profundidade h, a montante da soleira,
como na Figura 8.
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25
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fotografia 5 - Vista Lateral da Bancada do Vertedor de Soleira Espessa
3.3.3 - Procedimentos
(a) Estabeleça uma vazão Q em regime permanente;
(b) Leia a ponta limnimétrica do vertedor triangular, para posterior determinação da
vazão;
(c) Leia a ponta limnimétrica que está imediatamente a montante da soleira, para
determinação de h, como na Figura 8.
(d) Repita os procedimentos (a) e (c) para dois outros diferentes valores de vazão.
3.3.4 - Considerações Complementares
As vazões escolhidas devem proporcionar sempre a ocorrência de profundidade
crítica sobre a soleira. Se as perturbações provocadas sobre a soleira não se propagam
para montante, fica caracterizado a ocorrência da profundidade crítica.
Os valores de h devem satisfazer à condição:
0,08L < h < 0,50L
O limite inferior está relacionado com a hipótese (e), enquanto o superior relacionase com as hipóteses (c) e (f).
A face inferior do jato a jusante da soleira deve ficar à pressão atmosférica.
Para cada par (Q , h) deverão ser calculados:
!"A velocidade de Aproximação;
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26
PHD-2301 Hidráulica I - Vertedor de Soleira Espessa
V1=
Q
B(h+∆Z)
!"A carga específica;
V12
H=y+
2g
!"O valor experimental de Cd, Equação 61;
!"O valor de Cd proposto pela BS3680, Equação 62;
Represente, em uma mesma figura, os conjuntos de pares de pontos:
!"{(Cd = 1, h)};
!"{(Cdexper. , h)};
!"{(CdBS3680 , h)};
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27
PHD-2301 Hidráulica I - Ressalto Hidráulico
4 -
RESSALTO HIDRÁULICO
4.1. Introdução
Num canal, a passagem do regime fluvial para o torrencial ocorre sem que se
verifique descontinuidade no perfil na linha
d'água: um exemplo desta mudança de
regime pode ser verificado quando um escoamento passa sobre uma soleira
descarregadora (vertedor tipo Creager), como na Figura 11:
Fluvial
Torrencial
Q
Figura 11 -Transição entre tipos de escoamentos
A passagem do regime torrencial para o fluvial já não se faz de maneira contínua.
Como essa passagem exige que a linha d'água seja crescente, ocorre uma instabilidade
no escoamento e, consequentemente, uma descontinuidade na linha d'água. Este
fenômeno é denominado RESSALTO HIDRÁULICO (Ver Figura 12). Pode-se então dizer que
RESSALTO HIDRÁULICO é o fenômeno caracterizado pela passagem brusca do regime
torrencial para o regime fluvial num escoamento de líquido com superfície livre.
Fluvial
Torrencial
yc
Q
Figura 12 - Ressalto Hidráulico
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28
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A mais importante aplicação do ressalto hidráulico na Engenharia Civil é como
mecanismo dissipador de energia dos escoamentos torrenciais provocados nas obras de
aproveitamento hidrelétricos. A dissipação de energia que se verifica em um ressalto é
devida à elevada turbulência nele presente.
4.2. Tratamento Analítico
4.2.1 -O número de Froude
Reportando-nos à Figura 9, o adimensional (positivo) denominado
NÚMERO DE
FROUDE, denotado por F, é:
F2 =
Q2B
V2
=
g(By)3
gy
Equação 64
A Equação 57 pode ser transformada em:
F=1
Equação 65
Observando-se a Figura 10 e, tendo-se em conta a Equação 65 que vale para
H=Hmin, pode-se concluir que:
F>1
F=1
F<1
⇔
⇔
⇔
Regime Torrencial
Regime crítico
Regime Fluvial
4.2.2 - Profundidades Conjugadas
As profundidades conjugadas do ressalto hidráulico (indicadas na Figura 13) são
determinadas a partir da aplicação das equações da QUANTIDADE
DE
MOVIMENTO e da
CONSERVAÇÃO DE MASSA ao volume de controle (∀C) indicado na Figura 13. Nas seções 1
e 2 do ∀C as velocidades são admitidas uniformes e as pressões hidrostaticamente
distribuídas. Desprezando-se as tensões viscosas nas paredes do canal, a equação da
quantidade de movimento, em condições permanentes, projetadas em x (horizontal)
fornece:
Empuxo em 1
ρgB
2
y1
2
- ρgB
y22
2
Empuxo em 2
= − ρV12By1 + ρV22By2
Equação 66
Nas mesmas condições, a equação da conservação de massa (continuidade),
aplicada ao ∀C, resulta:
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29
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V1By1= V 2By2= Q
Equação 67
A Equação 66, após a eliminação de V2 pelo uso da Equação 67 e posterior
simplificação, leva a:
y2
1 (
=
y1
2
1 + 8F12 - 1)
Equação 68
Que relaciona as PROFUNDIDADES CONJUGADAS com o número de Froude F1 do
∀C
escoamento torrencial.
Q
ρgBy22/2
y1
ρgBy12/2
1
y2
x
2
Figura 13 - Volume de Controle contendo o Ressalto Hidráulico
4.2.3 - Perda de Carga
As cargas específicas nas seções 1 e 2 são respectivamente :
V12
H1 =
+ y1
2g
Equação 69
V22
H2 =
+ y2
2g
e
Equação 70
A perda de carga no ressalto hidráulico é então dada por:
∆H = H1 - H 2 = y1 - y2 +
V12 V22
2g
2g
Equação 71
Usa-se a Equação 67 para eliminar V2 da Equação 71 e obtém-se após
simplificações:
∆H =
(y2 - y1)3
4y1y2
Equação 72
4.2.4 - Eficiência de Dissipação de Energia
A eficiência η da dissipação de energia para cada ressalto formado é dada pela
equação:
η(%) =
∆H
.100
H1
Equação 73
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30
PHD-2301 Hidráulica I - Ressalto Hidráulico
Onde ∆H é dado pela Equação 72.
4.3.Verificação Experimental
4.3.1 - Objetivo
Esta experiência tem por objetivo a verificação experimental das profundidades
conjugadas, da perda de carga, da eficiência de dissipação de energia e do comprimento
do ressalto.
4.3.2 - Montagem
A montagem consta, basicamente, de um canal prismático de seção retangular e
declividade nula. Neste canal, na parte de montante, há um vertedor Creager que além de
servir de medidor de vazão também proporciona a ocorrência de escoamento torrencial
em seu pé. No fundo da extremidade de jusante do canal há uma comporta plana
articulável que permite a formação de escoamento fluvial no trecho entre ela e o pé do
vertedor.
Há também uma ponta micrométrica para a medição da profundidade torrencial y1
e uma ponta limnimétrica para a medição da carga no Creager.
fotografia 6 -Vista Lateral da Bancada de Ressalto Hidráulico
4.3.3 - Procedimentos
(a) Posicione a comporta em uma inclinação conveniente e regule a vazão até fixar
o ressalto imediatamente a jusante de ponta micrométrica que mede y1. Leia a
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31
PHD-2301 Hidráulica I - Ressalto Hidráulico
carga no vertedor Creager e obtenha a vazão segundo a equação da vazão
fornecida;
(b) Meça, com a ponta de medida, a profundidade torrencial y1 e, com uma escala
milimetrada, a profundidade fluvial y2;
(c) Estime o comprimento L do ressalto com a escala milimetrada;
(d) Repita, para duas outras vazões, os procedimentos de (a) a (c).
4.3.4 - Orientações Complementares
É conveniente medir a largura B do canal.
A ponta micrométrica deve ser zerada junto ao fundo do canal.
Para se verificar a equação das profundidades conjugadas, deve-se adotar como
corretos os valores experimentais de y1 e Q. Assim, podem ser calculados os valores de
y2 "teóricos", que devem ser comparados com os de y2 experimentais.
As perdas de carga e as eficiências de dissipação de energia devem ser calculadas
tanto para os valores experimentais como para os valores teóricos de y2.
Confronte os comprimentos estimados para os ressaltos com os fornecidos pela
fórmula empírica de Chertoussov:
L = 10,3y1(F1 - 1)0,81
Equação 74
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32
PHD-2301 Hidráulica I - Filtração
5 -
FILTRAÇÃO
5.1. Introdução
A palavra infiltração indica, em geral, o conjunto de fenômenos de movimento de
um fluido através de um meio permeável ou poroso, por exemplo, um meio constituído
pelos grãos de um terreno arenoso ou argiloso.
Os movimentos de filtração são frequentes na Engenharia Civil, podendo-se citar
os que ocorrem através de: barragens de terra ou de enrocamento, solos naturais nas
circunvizinhanças de poços freáticos e artesianos e filtros das estações de tratamento de
água para abastecimento público.
Devido à extrema complexidade do sistema de condutos formados pelos vazios de
um meio poroso por onde o fluido se movimenta não é conveniente o uso de um
tratamento microscópio para descrever tal movimento. É preferível descrever-se o
movimento no seu aspecto global, em termos de grandezas médias .
5.2. Tratamento Analítico
A cada ponto do meio poroso associa-se uma COTA PIEZOMÉTRICA h definida por:
p
h=z+ ρ
g
Equação 75
Onde:
!"z
cota geométrica
!"p pressão
!"ρ massa específica do fluido
!"g aceleração gravitacional
Algumas definições fazem-se necessárias neste ponto:
!"POROSIDADE n: é a razão entre o volume de poros ∀p e volume total de uma
amostra de um meio poroso, isto é:
n=
∀p
∀
Equação 76
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33
PHD-230 Hidráulica I - Filtração
!"VELOCIDADE
DE
FILTRAÇÃO V: é a razão entre a vazão Q do fluido e a área A
normal à direção do movimento, ou seja:
V=
!"VELOCIDADE MÉDIA EFETIVA Vm:
Vm =
Q
Equação 77
A
V
Equação 78
ns
onde ns = Ap /A, sendo Ap a área de poros que existe em A.
Quando um movimento de fluido através de um meio poroso é laminar e na direção
S, o escoamento é governado pela lei de Darcy:
V=K
dh
ds
Onde K, que tem dimensão LT-1, é denominado
Equação 79
COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE
e
é constante para cada meio poroso fixado.
A Equação 79 é válida apenas para escoamentos com características laminares
nos interstícios do meio poroso. O parâmetro usado para classificar um escoamento
quanto ao seu grau de turbulência é o número de Reynolds que, em princípio, pode ser
definido como:
ρVmd
Re =
µ
Equação 80
Onde “d” é o diâmetro médio associado aos poros e µ é o coeficiente de
viscosidade dinâmica.
A grande dificuldade que surge com o número de Reynolds definido pela Equação
80 é quanto à fixação do diâmetro médio d. Esta dificuldade pode ser superada pela
introdução de uma grandeza denominada COEFICIENTE INTRÍNSECO DE PERMEABILIDADE k
que será definido mais adiante.
O coeficiente de permeabilidade K depende de propriedades físicas do fluido e de
características geométricas do meio poroso. Relacionando tais grandezas existe uma
relação funcional.
F0(K ,ρg ,µ,n ,T ,d)=0
Equação 81
onde T é a TORTUOSIDADE do meio definido por T = (SISe)-2 , com S e Se sendo distâncias
indicadas na Figura 14.
Se
S
Figura 14 - Meio poroso com indicação das distâncias S e Se.
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34
PHD-2301 Hidráulica I - Filtração
A análise dimensional permite transformar o funcional (81) em:
F1
Kµ
(
)
,n,T
ρgd2
=0
Equação 82
Da Equação 82 pode-se escrever:
Kµ
ρgd2
( )= C
= F2 n , T
Equação 83
onde C é uma constante para cada meio poroso e onde n e T são constantes.
A Equação 83 pode ser reescrita como:
Cd2 ρg
K=
µ
Equação 84
2
No segundo membro da Equação 84, o produto Cd depende
características geométricas do meio poroso. Tal produto define o
DE PERMEABILIDADE,
unicamente de
COEFICIENTE INTRÍNSECO
isto é, cd2 = k. Tem-se assim:
K=
k ρg
µ
Equação 85
Pela definição de k fica estabelecido que d ≈ k1/2. A grandeza linear k1/2, que se
determina experimentalmente dentro da validade da Lei de Darcy, pode, sem perda de
generalidade, substituir “d” na definição do número de Reynolds, resultando em:
ρVk 1/2
Rek =
µ
Equação 86
onde também se substituiu Vm por V.
Quando nos interstícios de um meio poroso o escoamento deixa de ser laminar, a
lei de Darcy não mais consegue modelar o fenômeno de filtração. Neste caso, uma lei do
tipo:
dh
ds
= αV + βV 2
Equação 87
proposta por Forchneimer, pode representar com sucesso o fenômeno da filtração.
Dentro da validade da lei de Darcy tem-se αV >>> βV2 e a Equação 87 recai na lei
de Darcy, Equação 79. Isto evidencia que:
α=
1
K
=
µ
ρgk
Equação 88
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35
PHD-2301 Hidráulica I - Filtração
Arbhabhirama, por analogia experimental com a fórmula universal de perda de
carga propôs um fator de atrito para escoamento em meio poroso na forma:
fk = Rek-1 + B
Equação 89
que permite a estimativa do gradiente da carga (perda unitária) no meio poroso através da
Equação 90:
dh = f 1 V2
k k g
ds
Equação 90
A constante B é associada à filtração turbulenta.
5.3.Verificação Experimental
5.3.1 - Objetivo
A presente experiência tem por objetivo a determinação do coeficiente intrínseco
de permeabilidade k e do coeficiente B de uma amostra de um meio poroso.
5.3.2 - Montagem
A montagem está indicada na fotografia 7. Os principais elementos que constituem
a montagem são:
!"Bomba centrífuga ;
!"Amostra de meio poroso;
!"Registros de gaveta;
!"Tubo Dall para medição da vazão;
!"Manômetro
diferencial
água-ar
conectado ao tubo Dall;
!"Multimanômetro diferencial água-ar
para medição da perda de carga
piezométrica
do
escoamento
através da amostra.
fotografia 7 -Vista geral da Bancada de
Filtração
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36
PHD-2301 Hidráulica I - Filtração
fotografia 8 -Vista Detalhada da Instalação
5.3.3 -Procedimentos
a) Meça a diferença piezométrica no tubo Dall e com ela determine a vazão que
escoa através do meio poroso;
b) Meça as cargas piezométricas no multimanômetro diferencial e com elas calcule
a perda unitária dh/ds na amostra;
c) Os procedimentos (a) e (b) devem ser realizados para dez diferentes vazões,
sendo que para as cinco menores vazões o escoamento através do meio
poroso deve ser laminar, isto é, deve estar dentro do limite da lei de Darcy, o
que pode ser obtido para diferenças piezométricas no multimanômetro menores
que 2 cm .
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37
PHD-2301 Hidráulica I - Filtração
5.3.4 - Orientações Complementares
A partir das vazões medidas calcule as velocidades V de filtração. Isto é obtido
dividindo-se a vazão Q pela área A da seção transversal da amostra do meio poroso.
Faça um gráfico cartesiano que represente os pares de pontos experimentais
(dh/ds, V), onde dh/ds é a perda de carga por unidade de comprimento da amostra do
meio poroso. A Figura15 esquematicamente tal representação.
V
θ
0
dh/ds
Figura 15 - Valores experimentais de dh/ds x V.
Na Figura 15, por exemplo, os três pontos experimentais correspondentes às três
menores vazões estão alinhados e por eles está traçada uma reta que deve passar pela
origem. Estes pontos alinhados satisfazem a lei de Darcy, Equação 79, o que permite a
obtenção do coeficiente intrínseco de permeabilidade k, pois:
tg θ = K = k.ρ.g / µ
Equação 91
Obtendo-se então:
k = (µK).(ρg)-1 = (νK).(g)-1
Equação 92
Para cada ensaio calcule o fator de atrito fk do meio poroso pela Equação
90.Também calcule os correspondentes valores de Rek pela Equação 86.
Onde: ν = µ/ρ é a viscosidade cinemática. Para água a 20ºC tem-se ν ≈10-6 m2/s.
Em papel bilog represente os pares dos pontos (Rek, fk) assim como a curva
correspondente à equação fk = 1/Rek que é exatamente a lei de Darcy.
Verifique os valores de B somente para os valores dados não utilizados pela lei de
Darcy.
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38
PHD-2301 Hidráulica I - Filtração
O que você acha que acontecerá se os ensaios forem repetidos com o mesmo
material do meio poroso estudado apenas mais adensado?
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39
PHD-2301 Hidráulica I - Canal em Regime Permante Uniforme e Gradualmente Variado
6 -
CANAL
EM
REGIME
PERMANTE
UNIFORME E GRADUALMENTE VARIADO
6.1. Canal em Regime Uniforme
6.1.1 - Introdução
O escoamento de um líquido num canal aberto é classificado como em REGIME
UNIFORME quando a velocidade média do escoamento, a declividade do canal, a área da
seção hídrica e a profundidade permanecem constantes ao longo do canal. Nestas
condições a vazão do escoamento é
constante e o regime do escoamento é
PERMANENTE.
É oportuno ressaltar que um escoamento permanente e uniforme só pode ocorrer
num canal de geometria prismática.
A profundidade associada ao regime uniforme é denominada
NORMAL
PROFUNDIDADE
e denotada dor y0. A pressão distribui-se hidrostaticamente ao longo de y0.
As principais características geométricas e físicas usadas no tratamento do regime
normal são:
y0
A
P
RH = A/P
DH = 4RH
Q
V = Q/A
i = tg θ
τ0
K
ν
Re = vDH/ν
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Profundidade normal
Área molhada
Perímetro molhado
Raio hidráulico
Diâmetro hidráulico
Vazão em volume
velocidade média
Declividade de fundo
Tensão de cisalhamento na parede do canal
Rugosidade equivalente da parede do canal
Viscosidade cinemática
Número de Reynolds
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40
PHD-2301 Hidráulica I - Canal em Regime Permante Uniforme e Gradualmente Variado
Q
τ0
A
y0
P
θ
Figura 16 - Características de um canal
6.1.2 - Tratamento Analítico
O escoamento permanente e uniforme encontra-se em equilíbrio dinâmico, isto é, a
soma das forças externas é igual a zero.
Para o trecho elementar de canal indicado na Figura 17, de comprimento ∆x e
delimitado pelas seções 1 e 2, a condição de equilíbrio dinâmico é expressa por:
ρg . A . ∆x(sen θ) - τ0 . P. ∆x = 0
Equação 93
Considerando-se um canal de pequena declividade, isto é, um canal onde
senθ≈tgθ=i e tendo em conta que A/P = RH, a Equação 93 fica reescrita como:
τ0 = ρgRHi
Equação 94
Evidências experimentais têm sugerido que a tensão de cisalhamento τ0 (aqui
suposta distribuída uniformemente) é proporcional ao quadrado da velocidade média, ou
seja:
τ0 = aV2
Equação 95
Onde “a” é uma constante de proporcionalidade.
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41
PHD-2301 Hidráulica I - Canal em Regime Permante Uniforme e Gradualmente Variado
∆x
ρg.A.∆x.sen θ
ρg.A.∆x
τ0
A
1
θ
2
Figura 17 – Trecho elementar de canal
A eliminação de τ0 entre as equações 94 e 95 fornece:
V=
Ou
ρg
RHi
a
V = C RHi
Equação 96 - Equação de Chézy
Onde C= (ρg/a)  é o coeficiente de Chézy com dimensão (m / s).
Pode-se também multiplicar os dois membros da Equação 96 pela área A e
reescrevê-la na forma:
Q = C.A.(RHi) 
Equação 97
A perda de carga num canal é dependente da rugosidade relativa (K/DH) e do grau
de turbulência expresso através do número de Reynolds. Assim deve-se ter:
C=C(K/DH,Re)
Outros pesquisadores propuseram fórmulas para os escoamento em regime
uniforme que, em comparação com a fórmula de Chézy, nada mais são do que
expressões para a determinação do coeficiente C. A seguir estão algumas das mais
consagradas destas fórmulas.
6.1.2.1. Fórmula de Manning-Strickler
C=
Aqui "n" é denominado
1
R 1/6
n H
COEFICIENTE DE
Equação 98
MANNING, está associado à rugosidade do
canal e não leva em conta o efeito da viscosidade. Esta fórmula não deve ser aplicada a
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canais de pequenas dimensões onde o efeito da viscosidade é importante. O Coeficiente
(1/n) é denominado COEFICIENTE DE STRICKLER.
6.1.2.2. Fórmula Universal
Obtém-se a fórmula universal para escoamento uniforme em canal a partir da
analogia entre a fórmula de Chézy e a fórmula Universal (Darcy-Weisbach) para conduto
forçado cilíndrico circular:
∆H =
f.L
V2
2g
DH
Equação 99
Tendo-se em conta que ∆H/L = i e fazendo-se D=DH=4RH, a Equação 99 refundese:
V=
8g
8g
RHi ⇒ C =
f
f
Equação 100
Para conduto forçado tem-se:
1
f
K
(3,71R
+
= -2 log 10
H
2,52
Re f
)
Equação 101
Como não existe analogia entre distribuições de velocidade em conduto forçado e
em canal, Henderson propôs que a constante 3,71 fosse alterada para 3,00 visando
melhorar a adequação da fórmula Universal ao escoamento em canal, ficando então:
C= -2 8g log 10
(12RK
2,52
+
Re f
H
)
Equação 102
Como Re= VDH/ν e, da fórmula Universal, f = V . (2g∆HDH) L , tem-se:
-1
Re f =
DH
ν
-
8gR Hi
Equação 103
Transforma-se a expressão para o cálculo de C em:
C= -2 8g log 10
(12RK
+
H
2,52ν
4RH 8gRHi
)
Equação 104
Que corresponde à FÓRMULA UNIVERSAL.
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43
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6.1.3 - Verificações Experimentais
6.1.3.1. Objetivo
A presente experiência objetiva estabelecer as condições de escoamento em
regime uniforme num canal de seção retangular e obter os coeficientes C de Chézy, n de
Manning e o valor da rugosidade equivalente K.
6.1.3.2. Montagem
Ponta limnimétrica do vertedor
Reservatório
de nível
constante
Pontas limnimétricas para determinações
das profundidades
Canal retangular com 0,35 m de
largura e 0,01 m/m de declividade,
revestido de pedregulho
H
y1
Registro de controle de
alimentação do canal
y2
Vertedor Retangular de soleira delgada para
medição de vazão do canal
Comporta plana vertical para
auxiliar no estabelecimento do
regime uniforme
Figura 18 - Esquema de montagem
fotografia 9 - Vista de Montante para Jusante da Bancada de Regime Permanente Uniforme e
Gradualmente Variado
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44
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6.1.3.3. Procedimentos
a) Alimente o canal com uma vazão constante;
b) Com a ponta limnimétrica meça a carga H para posterior determinação do
valor da vazão Q através da lei do vertedor;
c) Com auxílio da comporta imponha o regime uniforme, isto é, y1=y2;
d) Meça a profundidade normal: y0=y1=y2;
6.1.3.4.Orientações Complementares
Deverão ser calculados o raio hidráulico RH, o diâmetro DH, o coeficiente de Chézy
C, o coeficiente de Manning n e a rugosidade equivalente K.
É de tudo oportuno observar a ordem de grandeza da rugosidade que existe no
canal, pois o valor de K determinado a partir dos ensaios deve estar na mesma faixa.
Os resultados experimentais devem ser comparados com os encontrados nos
textos de hidráulica geral.
6.2. Curvas de Remanso
6.2.1 - Introdução
Nos escoamentos permanentes com superfície livre, as possíveis ocorrências de
perfis longitudinais de interface água-ar são genericamente denominadas
CURVAS DE
REMANSO.
O conhecimento das possíveis curvas de remanso em um rio, por exemplo, é de
grande importância para o aproveitamento dos recursos hídricos.
A determinação de uma particular curva de remanso é uma tarefa árdua no caso de
um curso d'água natural. Em se tratando de um canal artificial, onde a forma de seção
transversal e a rugosidade do revestimento são conhecidas, as equações tornam-se mais
simples, permitindo até mesmo soluções analíticas em casos especiais.
6.2.2 - Tratamento Analítico
Considere-se um canal prismático de seção retangular com largura B. Um
escoamento permanente nesse canal é governado apenas pela equação da quantidade
de movimento:
gA(1-F2)
dy
+ gA(j - i) = 0
dx
Equação 105
Onde:
A = By ⇒ área molhada;
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45
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y ⇒ profundidade;
i ⇒ declividade de fundo;
F2 = Q2B/(gA3) = V2/(gy) ⇒ no de Froude ao quadrado;
j ⇒ declividade da linha da carga;
x ⇒ eixo horizontal orientado segundo o escoamento.
A Equação 105 é geralmente apresentada na forma:
dy
i-j
=
1 - F2
dx
Equação 106
Que é mais conveniente para aplicação de métodos numéricos de soluções de
equações diferenciais ordinárias.
A declividade da linha de carga (linha de energia), também denominada declividade
de atrito, é definida por:
V2
Q2
=
j = 2 2
C A RH C2RH
A
equação
diferencial
do
remanso,
Equação
Equação 107
106,
pode
ser
resolvida
numericamente pelo Standard Step Method (profundidade calculada a partir das
distâncias). O método tem como base a discretização do canal em pequenos intervalos
onde se pode aplicar a equação de Manning.
Quando o numerador do segundo membro da Equação 106 é igual a zero, isto é,
i=j. tem-se um escoamento permanente e uniforme. Com j expresso pela Equação 107,
obtém-se:
Q = CA RHi
Equação 108
Que é a equação do
REGIME PERMANENTE E UNIFORME,
é denominada PROFUNDIDADE NORMAL
cuja profundidade associada
OU UNIFORME, yn.
Quando o denominador do segundo membro da Equação 106 é igual a zero, isto é,
F2=1, tem-se um
ESCOAMENTO CRÍTICO,
cuja profundidade associada denomina-se
profundidade crítica, yc.
6.2.3 -Verificações Experimentais
6.2.3.1. Objetivo
A presente experiência objetiva a medição das profundidades em duas seções de
um canal de seção retangular com escoamento permanente não uniforme, e a
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46
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comparação dessas profundidades com as obtidas pela aplicação do Standard Step
Method.
6.2.3.2. Montagem
É a mesma do item anterior.
6.2.3.3. Procedimentos
a) Com auxílio da comporta imponha uma curva de remanso com profundidade
crescente no sentido do escoamento para a condição já estabelecida em
6.1.3.3.d;
b) Meça as profundidades nas duas seções onde se localizam as pontas
limnimétricas, y1 e y2.
A distância L12 entre as seções é de 12,38m.
6.2.3.4. Orientações Complementares
É conveniente impor-se a máxima diferença possível entre os valores de y1 e y2.
Para facilitar os cálculos, sugere-se a seguinte seqüência :
(i)
Utilize a profundidade normal calculada para o canal em regime uniforme;
(ii)
Calcule a profundidade crítica yc(F2=1);
(iii)
Classifique o canal com relação à sua declividade e a curva de remanso
decorrente da imposição da vazão de ensaio;
(iv)
As possíveis discrepâncias deverão ser explicadas ou comentadas;
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47
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7 – ONDAS DE OSCILAÇÃO
7.1. Introdução
Ondas de Oscilação são movimentos periódicos que se
propagam praticamente sem que haja transporte de massa, ou
seja, as partículas que participam do movimento, retornam a
suas posições iniciais após a passagem da onda.
As Ondas
de Oscilação que ocorrem nos grandes corpos
d’água
como
mares
e
reservatórios
são
geradas
pela
transferência de energia de outras fontes como o vento e
tremores sísmicos, para a superfície líquida que as transporta
e as transfere para alguma estrutura ou linha de costa (ou
margem), que, em geral, dissipa uma parcela da energia e
reflete o restante. Assim, as ondas são o principal agente
modelador da costa, pelo transporte de sedimentos que
acarretam, bem como produzem muitas das forças às quais as
estruturas marítimas e lacustres estão submetidas.
Desta forma, conhecer o comportamento das Ondas de
Oscilação passa a ser essencial para determinar o comportamento
morfológico dos litorais, bem como para dimensionar as
estruturas costeiras e portuárias. Neste sentido, surgiu a
Teoria Linear de Ondas (ou Teoria Elementar de Ondas
Progressivas, ou ainda, Teoria de Airy).
Este experimento visa comprovar a Teoria Linear de Ondas,
utilizando, para tanto o Canal de Ondas existente no Grande
Hall de modelos do Laboratório de Hidráulica (ver fotografia
10).
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48
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fotografia 10 – Vista lateral do Canal de Ondas do Laboratório de
Hidráulica
7.2. Tratamento Analítico
7.2.1 - Definições básicas
Estão apresentadas na Figura
básicas relacionadas a uma onda
sinusoidal simples.
19, algumas definições
oscilatória progressiva
Figura 19- Definições básicas de uma onda oscilatória progressiva
sinusoidal
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49
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Onde:
Crista é o ponto mais alto atingido pela onda acima do
nível d’água em repouso, enquanto cavado é o ponto mais baixo;
a é a amplitude da onda, que pode ser medida entre o nível
d’água em repouso e a crista ou cavado;
H é a altura da onda, correspondente ao desnível entre a
crista e o cavado da onda, sendo, portanto, igual a 2a ;
L é o comprimento da onda, correspondente à distância
entre duas cristas consecutivas;
T é o período
da onda, que corresponde ao intervalo de
tempo entre a passagem de duas cristas consecutivas por um
ponto fixo;
h é a profundidade em relação ao nível d’água em repouso;
C é a celeridade ou velocidade de fase da onda, podendo
ser descrita por:
C=L
T
Equação
109
h é o deslocamento do nível d’água em relação ao de repouso como função da
dimensão x e do tempo t.
7.2.2 – Equacionamento resultante
Utilizando os conceitos fundamentais da mecânica dos fluidos ideais, Airy propôs e
solucionou as equações para as grandezas envolvidas nas ondas de oscilação, estando estas
apresentadas a seguir.
η = a ⋅ cos(kx − ωt ) = a cosθ
Equação
110
Onde:
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50
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k=
2π
: número de onda;
L
ω=
2π
: freqüência angular.
T
L=
g ⋅T
tanh (kh )
ω
Equação
111
Onde g é a aceleração gravitacional.
C=
L g
= tanh (kh )
T ω
Equação
112
Note-se que as Equações 111 e 112 são iterativas, visto que o comprimento
também aparece no segundo termo das equações, no fator k. Por isso algumas
simplificações são apresentadas a seguir:
No caso da onda se propagando em águas profundas (h≥L/2), a tangente
hiperbólica tende para a unidade, o que resulta em:
L0 =
g ⋅T g ⋅T 2
=
= 1,56T 2
ω
2π
Equação
113
g g ⋅T
=
= 1,56T
ω 2π
Equação
114
C0 =
Outras grandezas envolvidas estão relacionadas com as órbitas descritas
pelas partículas de água pertencentes ao movimento oscilatório. Na Figura 20 estão
apresentados estes parâmetros.
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Figura 20 – Deslocamentos das partículas d’água de sua posição média para
águas rasas e profundas
Sendo A o semi-eixo maior (horizontal) e B o semi-eixo menor (vertical) dados
por:
A=
a ⋅ cosh[k (z + h )]
senh(kh) )
Equação
115
B=
a ⋅ senh[k (z + h )]
senh(kh) )
Equação
116
Novamente, no caso de águas profundas a órbita se torna circular, com raio
dado por:
A = B = a ⋅ e kz
Equação
117
7.3. Verificação Experimental
7.3.1 – Objetivo
Este experimento objetiva medir uma série de parâmetros obtidos a partir de
ondas geradas no Canal de Ondas do Laboratório de Hidráulica da Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo e comparar com os resultados esperados
pela Teoria Linear de Ondas.
7.3.2 – Montagem
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A montagem consta de:
(a) Canal prismático de 50x1x1,40 m;
(b) Gerador de ondas tipo pistão com 0,80 m de curso;
(c) Circuito analógico para controle do motor que permite
gerar ondas sinusoidais de diversos períodos e amplitudes;
(d) Pontas capacitivas para registro das ondas geradas
(e) Programa desenvolvido no software LabView para
aquisição dos sinais enviados pelas pontas capacitivas,
apresentação e geração de arquivo;
(f) Trena para medir o comprimento da onda e da órbita;
(g) Cronômetro para medir o período e a celeridade da
onda;
(h) Disquete para gravar os arquivos de saída do software.
Gerador de
ondas
Pontas
capacitivas
Software de aquisição
dos dados
fotografia 11 –
da montagem do
Principais elementos
experimento
7.3.3 – Procedimentos
(a) Meça o nível d’água em repouso a partir da régua
instalada no visor do canal de ondas;
(b) Coloque em funcionamento o software clicando na seta
preta existente no canto superior esquerdo da tela;
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53
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(c) Espere até que o indicador de varredura do gráfico
(linha vertical vermelha) esteja se movimentando, o que
indica que o programa já se inicializou;
(d) Peça a um dos instrutores que coloque o gerador de
ondas em funcionamento com a freqüência de 0,60Hz, e uma
amplitude entre 20 e 30%;
(e) Meça, na própria régua fixada no canal, a altura (H)
da onda gerada;
(f) Extraia o período da onda (T) cronometrando o tempo
necessário para a passagem de um número razoável de
cristas consecutivas (10, por exemplo) e dividindo pelo
número de intervalos medidos;
(g) Para obter-se o comprimento da onda (L) mova o
carrinho que contém a segunda ponta capacitiva até que,
observando o gráfico gerado pelo software, tenha-se os
sinais das duas pontas sobrepostos, pois assim pode-se ter
certeza que ambos estão distantes um número exato de
comprimento de ondas;
(h) Meça, com a trena, a distância entre as hastes das
duas pontas capacitivas e conte quantas ondas completas
existem entre elas;
(i) Cronometre ainda, o tempo gasto para que uma crista
que passa pela primeira ponta alcance a segunda, para
obter a celeridade (C);
(j) Observe as órbitas formadas pelas bolinhas dispostas
no canal verificando o comportamento do seu diâmetro em
função da profundidade;
(k) Meça, empregando uma caneta de hidrocor e régua, os
diâmetros horizontais e verticais das órbitas formadas
pelas bolinhas (2*A e 2*B respectivamente), para tanto,
não esqueça de descontar o diâmetro da bolinha da conta;
(l) Aperte o botão de parada do software (aquele escrito
STOP em vermelho), de um nome sugestivo ao arquivo e salve
no disquete disponibilizado pelos instrutores. (não
esqueça de mencionar o nome do grupo, a data e a
freqüência ensaiada)
(m) Peça para que um dos instrutores desligue o gerador de
ondas, espere que o nível d’água se estabilize e repita
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os passos de (a) a (l) com a freqüência de 1,20Hz e uma
amplitude entre 10 e 20%;
(n) Faça uma cópia dos arquivos (.txt) gerados pois estes
serão utilizados na elaboração do relatório, como será
visto mais adiante.
7.3.4 – Considerações Complementares
O arquivo gerado em cada ensaio deve ser importado para um
software de planilha, sempre tomando cautela com relação ao
separador decimal.
Isso feito, pode-se perceber que o arquivo possui, na
primeira coluna, o tempo em segundos e, nas duas seguintes, os
valores medidos pelas pontas capacitivas 1 e 2 em centímetros.
Com estes dados pode-se calcular com melhor precisão a
altura (H) e o período (T) da onda. Para tanto, deve-se plotar
um gráfico da leitura das pontas em função do tempo, e escolher
um trecho de aproximadamente dez ondas, onde as duas pontas são
aproximadamente coincidentes nas leituras.
Para este trecho pode-se calcular, utilizando apenas a
ponta 1, o período médio da onda (entre zeros ascendentes ou
entre máximos consecutivos) e a altura média (média da
diferença entre máximos e mínimos consecutivos).
Com estes dois valores pode-se calcular, empregando a
Teoria Linear de Ondas o comprimento da onda (L), a celeridade
da onda (C) e os semi-eixos orbitais (A e B) para as
profundidades onde estes foram medidos por intermédio das
bolinhas. Não se esqueça que alguns destes cálculos são
iterativos.
Por fim, compare os valores medidos com os encontrados
pela Teoria Linear de Ondas, comente os resultados e justifique
eventuais discrepâncias.
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Comente também, as diferenças observadas entre as duas
freqüências ensaiadas.
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